fÍsica experimental iii - joinville.udesc.br · generalidades sobre construÇÃo de grÁficos...

Física Experimental III – Construção de Gráficos

CONTRUÇÃO

DE

GRÁFICOS

FÍSICA EXPERIMENTAL III

“ A Ciência está escrita nestegrande livro colocado semprediante dos nossos olhos – oUniverso – mas não podemos lê-losem aprender a linguagem eentender os símbolos em termosdos quais está escrito. Este livroestá escrito na linguagemmatemática ” – Galileu Galilei

José Fernando FragalliDepartamento de Física – Udesc/Joinville

1. Introdução – Relembrando o Método Científico

2. Sistema de Coordenadas Cartesianas

3. Precisão do Instrumento de Medida

4. Prefixos do SI e Notação Científica

5. Critérios de Arredondamento

6. Operações com Algarismos Significativos

CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS

7. Teoria de Erros

8. Propagação de Erros


3

Definir e/ou indentificar o problema

Formar uma hipótese

Fazer observações (Medidas

de grandezas físicas)Testar hipótese/Fazer experimentos

Organizar e analisar dados

(Tratamento de Dados)

Os experimentos e observações

suportam a hipótese?

Sim!

Fazer conclusõesPublicar resultados

NãoErro nos experimentos?

Novos experimentos


1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO

O Método Científico




3. Generalidades sobre Construção de Gráficos





7. Teoria de Erros



5

Seja uma grandeza física dependente u.

Vamos admitir que u varie em função de outra grandezafísica z, esta agora uma variável independente.

Representamos matematicamente o que está escritoacima na forma

Se a função u = f(z) for conhecida de forma explícitapode-se representá-la graficamente em um sistema decoordenadas cartesianas.

( )zfu =



2. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Representação cartesiana de uma grandeza

6

Um sistema cartesiano consiste de duas retasperpendiculares entre si, tal que

a) eixo x (abcissas), onde é representado a variávelindependente z.

b) eixo y (ordenadas), onde é representado a variáveldependente u.

No laboratório medimos um conjunto de de grandezas(zi,u i), a partir do qual construímos um gráfico que representao fenômeno.




Definições: abcissas e ordenadas

7

O conjunto dos pontos experimentais Pi(zi,u i) édenominado curva da função u = f(z) .

Como construir um gráfico? Que técnicas utilizar?




No gráfico cartesiano, a cada par ordenado (x i,y i) →→→→ (zi,u i)corresponde um ponto no eixo das abcissas x i = zi e no eixodas ordenadas y i = u i.

Exemplo de representação cartesiana








7. Teoria de Erros



9

No dia a dia do laboratório em geral usamos três tipos deescala para a construção de gráficos:

a) Escala milimetrada : ambos oseixos (abcissa e ordenada) sãodescritos com escalas lineares, comomostrado ao lado.



3. GENERALIDADES SOBRE CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS

Seleção do tipo de escala a ser usada

10





Mais tipos de escala usadas

b) Escala mono-log : um dos eixos(em geral a abcissa) tem escala linear eo outro (em geral a ordenada) temescala logarítmica, como mostrado aolado.

11





Agora o último tipo de escala usada

c) Escala di-log : osdois eixos (abcissa eordenada) tem escalalogarítmica, como mostradoao lado.

12

Para cada experimento (conjunto de pontosexperimentais (x i,y i)) devemos escolher o tipo de escalaadequada para representar o fenômeno físico desejado.




Regra geral da escolha da escala

13

No eixo das abcissas ( eixo horizontal ) deve ser registradaa variável independente ( eixo dos x ).

Esta variável estás associada à grandeza física que, aovariar, assume valores que não dependem dos valores daoutra grandeza física.

No eixo das ordenadas ( eixo vertical ) deve ser registradaa variável dependente ( eixo dos y ).

Esta variável estás associada à grandeza física que, aovariar, depende de como varia a outra grandeza física.




Definição dos eixos

14

Seja um experimentador medindo o volume ( V) que umadmite a uma dada temperatura ( T).

Neste caso, o volume varia de acordo com a temperatura,e não o contrário.

Assim, o gráfico y versus x (V××××T) deve ser de V versus T(V××××T), e nunca de T versus V , pois V = V(T).




Exemplo da definição dos eixos

15

O símbolo que representa a grandeza da variávelindependente deve ser registrada na parte inferior do eixodas abcissas, à direita.

Importantíssimo: o símbolo da grandeza física deve serregistrado com sua respectiva unidade entre parênteses .




Registro da variável independente

16

O símbolo que representa a grandeza da variáveldependente deve ser registrado na parte superior do eixo dasordenadas, à esquerda.

Importantíssimo: o símbolo da grandeza física deve serregistrado com sua respectiva unidade entre parênteses .




Registro da variável dependente

17

Observe que a unidade da grandeza física pode incluirpotências de 10 (notação científica).

O expoente de uma potência de 10 pode ser positivo ounegativo.

Também podemos usar os prefixos comumente usadospara representar potências de 10 .




Considerações gerais sobre o registro das variáveis

18

As planilhas de cálculo podem ser muito úteis naconfecção de gráficos.

Toda planilhas contém um algoritmo interno queautomaticamente otimiza o uso do espaço do gráfico.




O uso de planilhas no auxílio à construção de gráficos

Sua utilidade torna-se evidente no momento de distribuiros pontos experimentais através do plano cartesiano.

Por otimização entende-se ocupar o melhor possível oespaço da folha de papel com os pontos experimentais.

19

Também nas planilhas de cálculo a escala usada em umeixo é totalmente independente da escala usada no outro .

O algoritmo interno da planilha já define os fatores deescala que definem o tamanho de cada eixo.




Alguns detalhes gerais sobre as planilhas

Nas planilhas a escala logarítmica não é flexível: uma vezque ela própria escolhe uma potência de 10 as demais estãoautomaticamente definidas .

Assim, não precisamos nos preocupar com definirmos osfatores de escala em cada eixo.

20

Os valores indicados nos eixos devem ter a mesmaquantidade de algarismos significativos das medidas .

Como todo programa de computador, as planilhas decálculo vem com uma situação de “default”, isto é, com umaconfiguração básica.




O que em geral as planilhas não fazem...

Esta configuração básica pode e deve ser alterada deacordo com os dados experimentais a serem lançados para aconstrução do gráfico.

Por exemplo, é necessário editar no gráfico os valoresque a planilha.

21

Marcação dos pontos experimentais

Os pontos devem ser identificados por um sinal que nãodeixe dúvidas sobre sua localização.

Exemplos de marcadores:

É fundamental que os pontos experimentais sejam bemmarcados no gráfico.




22

Marcação dos pontos experimentais

Depois de marcado o ponto experimental não façanenhuma marcação adicional.

Não faça tracejados desde o ponto até os eixos.

Identifique apenas os pontos experimentais!




23

Traçado da curva

O traçado da curva deve ser suave e contínuo, ajustando-se o melhor possível aos pontos experimentais.

Nunca una os pontos experimentais por linhas retas.

Caso isto seja feito indicaria que a relação entre asgrandezas físicas é descontínua, o que dificilmente seráverdadeiro.




24

Determinação da escala do papel: exemplo para papel milimetrado

Sejam os dados abaixo de uma experiência de dilataçãovolumétrica de uma esfera .

Neste experimento medimos o volume da esfera paravárias temperaturas , com os seguintes dados

V(××××10-9 m3) 64,1 80,7 97,8 114,9 138,0 162,5 195,0 223,3 260,0

T(°C) 60,00 65,00 70,00 75,00 80,00 85,00 90,00 95,00 100,00




25

3. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS

Indicação dos valores nos eixos






4. Construção de Gráficos Lineares

5. Linearização a partir dos Dados Experimentais

6. Construção de Gráficos na Escala Mono-log


7. Construção de Gráficos na Escala Di-log

8. Considerações Finais


27

Sejam os dados abaixo de uma experiência domovimento de um bloco que desce deslizando por um planoinclinado.

Neste experimento medimos a velocidade do bloco emfunção do tempo de deslocamento, com os seguintes dados

v(××××10-3 m/s) 105,0 150,0 240,0 290,0 340,0 430,0 500,0

t(×10-2 s) 1,00 2,50 6,00 8,00 10,00 13,50 16,00

Sabemos, portanto que o bloco executa um movimentoretilíneo uniforme, logo o gráfico de v××××t deve ser linear.



Exemplo de gráfico linear

4. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS LINEARES

28

Usaremos aqui a planilha EXCEL, mas qualquer outrapode ser usada, desde que o estudante tenha familiaridadecom ela.

Os dados devem ser expressos com seus respectivosnúmeros de algarismos significativos.



Usando uma planilha de cálculo


t (s) v (m/s)0,0100 0,10500,0250 0,15000,0600 0,24000,0800 0,29000,1000 0,34000,1350 0,43000,1600 0,5000

No EXCEL na coluna da esquerdadevem ser lançados os dados da variávelindependente e na coluna da direita osdados correspondentes da variáveldependente.

29



Obtendo o gráfico e a equação da reta


v(t) = 2,598 ⋅⋅⋅⋅t + 0,0820

0,0000

0,2000

0,4000

0,6000

0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000

v (m/s)

t (s)

Movimento Retilíneo Uniformemente Variado 2/598,2 sma =

smv /0820,00 =

A partir dos dados experimentais apresentados, o gráficofinalizado é apresentado abaixo, inclusive com a equaçãoque representa a reta.

31

Sejam os dados abaixo de uma experiência domovimento de um móvel que se move em movimentoretilíneo por uma estrada.

Neste experimento obtivemos medidas da posição domóvel em função do tempo como mostrados na tabelaabaixo.

x(m) 58,0 84,0 105,0 150,0 188,0 240,0

t(s) 5,25 7,00 8,00 10,00 11,50 13,00

Não sabemos o tipo de movimento do móvel, e para quetenhamos uma ideia deste movimento devemos construir umgráfico da sua posição em função do tempo.



Exemplo de linearização a partir de dados experimentais

5. LINEARIZAÇÃO A PARTIR DE DADOS EXPERIMENTAIS

32

Novamente usaremos aqui a planilha EXCEL, ressaltandomais uma vez que qualquer outra pode ser usada, desde queo estudante tenha familiaridade com ela.




Usando a planilha de cálculo



t (s) x (m)

5,25 58,0

7,00 84,0

8,00 105,0

10,00 150,0

11,50 188,0

13,00 240,0

33



Obtendo o gráfico não linearizado


A partir dos dados experimentais apresentados, o gráficode x××××t finalizado é apresentado abaixo.

0,0

100,0

200,0

300,0

0,00 5,00 10,00 15,00

x (m)

t (s)

Móvel em um movimento retilíneo O gráfico ao ladoaparenta ter a forma deuma parábola.

Assim, podemos tentarlinearizar esta curvafazendo o gráfico de x××××t2.

34

Construímos então uma outra tabela, agora com osdados de x e t2.

No cálculo de t2 deve ser levado em conta oarredondamento seguindo as regras já estabelecidas.



Construindo uma nova tabela



t (s 2) x (m)

27,6 58,0

49,0 84,0

64,0 105,0

100,0 150,0

132,3 188,0

169,0 240,0

35



Obtendo o gráfico linearizado

A partir dos dados experimentais apresentados, o gráficode x××××t2 finalizado é apresentado abaixo.


x(t) = 1,277 ⋅⋅⋅⋅t2 + 22,2

0,0

100,0

200,0

300,0

0,0 60,0 120,0 180,0

x (m)

t2 (s2)

Movimento de um móvel em movimento retilíneo

36



Obtendo os parâmetros do movimento

Como vemos, o gráfico de x××××t2 é linear.

Isto significa que o móvel executa um movimentouniformemente variável, com velocidade inicial nula.


Com a equação da reta obtidaexperimentalmente, temos então que( ) 2

0 2

1taxtx ⋅⋅+=

2/554,2 sma = mx 2,220 =

Logo, a equação que representa este movimento é escritana forma

38

Sejam os dados abaixo de uma experiência em que ovapor d’água tem sua pressão medida em váriastemperaturas, com os dados mostrados na tabela abaixo.

Queremos determinar o valor da constante λλλλ, sabendoque o valor da constante dos gases é R = 8,314 J/mol ⋅⋅⋅⋅K.

P(mm⋅⋅⋅⋅Hg) 2,149 4,579 14,532 50,218 149,381 355,239

T(K) 263,2 273,1 293,2 313,1 333,1 353,2

Sabemos que o comportamento dapressão em função da temperatura édado por



Exemplo de gráfico mono-log

6. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NA ESCALA MONO-LOG

( ) TRePTP ⋅−

⋅=λ

0

39

Usaremos novamente aqui a planilha EXCEL, masressaltamos de novo que qualquer outra pode ser usada,desde que o estudante tenha familiaridade com ela.

Os dados de T-1 são expressos seguindo os critérios dearredondamento previamente estabelecidos.




Como sabemos o comportamentoda pressão em função datemperatura, já apresentamos atabela com o inverso da temperaturana coluna da esquerda e a pressão nacoluna da direita.

T (K) T-1 (K-1) P (mm ⋅⋅⋅⋅Hg)263,1 0,003801 2,149273,1 0,003662 4,579293,2 0,003411 14,532313,1 0,003194 50,218333,1 0,003002 149,381353,2 0,002831 355,239


40



Obtendo o gráfico linearizado em “papel mono-log”

A partir dos dados experimentais apresentados, o gráficode P××××T-1 finalizado na forma de “papel mono-log” éapresentado abaixo.

P(T) = 1E+09⋅⋅⋅⋅e-5283/T

1

100

0,0025 0,003 0,0035 0,004

P (mm⋅⋅⋅⋅Hg)

T-1 (K-1)

Pressão de Vapor d'água


41



Obtendo o gráfico linearizado em “papel milimetrado”

A partir dos dados experimentais apresentados, o gráficode P××××T-1 finalizado na forma de “papel milimetrado”, mas coma curva que representa o fenômeno, é apresentado abaixo.

P(T) = 1E+09⋅⋅⋅⋅e-5283/T

0

100

200

300

400

0,0025 0,003 0,0035 0,004

P (mm⋅⋅⋅⋅Hg)

T-1 (K-1)

Pressão de Vapor d'água


42

Os dois gráficos fornecem a mesma função para P(T), oque não é estranho já que os dados experimentais são osmesmos.

A partir da curva experimental para P(T) e com o valor daconstante dos gases é R = 8,314 J/mol ⋅⋅⋅⋅K, calculamos o valordo parâmetro λλλλ.



Cálculo do parâmetro λλλλ


molkJ /92,43=λ

44

Neste experimento medimos a intensidade da ondaeletromagnética em função do módulo do campo elétrico.

I(W/m2) 18 35 65 110 150

E(V/m) 80 120 160 200 240



Exemplo de gráfico di-log

7. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NA ESCALA DI-LOG

Sejam os dados abaixo de uma experiência em que semede a dependência da intensidade de uma ondaeletromagnética com o módulo do campo elétrico.

Sabemos que o comportamentodesta intensidade com o campo elétricoé dado por

( ) nEAEI ⋅=

45

Mais uma vez usaremos aqui a planilha EXCEL,ressaltando que qualquer outra pode ser usada, desde que oestudante tenha familiaridade com ela.






7. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS NA ESCALA DI-LOG

E (V/m) I (W/m2)

80 18

120 35

160 65

200 110

240 150

46



Obtendo o gráfico linearizado em “papel mono-log”

A partir dos dados experimentais apresentados, o gráficode I××××E finalizado na forma de “papel di-log” é apresentadoabaixo.


I(E) = 0,003⋅E1,98

10

400

50

I (W/m2)

E (V/m)

Intensidade de uma Onda Eletromagnética

47



Obtendo o gráfico linearizado em “papel milimetrado”

A partir dos dados experimentais apresentados, o gráficode I××××E finalizado na forma de “papel milimetrado”, mas com acurva que representa o fenômeno, é apresentado abaixo.


I(E) = 0,003⋅E1,98

0

40

80

120

160

0 100 200 300

I (W/m2)

E (V/m)

Intensidade de uma Onda Eletromagnética

48

Os dois gráficos fornecem a mesma função para I(E), oque não é estranho já que os dados experimentais são osmesmos.

A partir da curva experimental para I(E) calculamos ovalor do parâmetro n.



Cálculo dos parâmetros A e n


98,1

2003,0

⋅

=V

m

m

WA 98,1=n

50

Os dois gráficos fornecem a mesma função para I(E), oque não é estranho já que os dados experimentais são osmesmos.

A partir da curva experimental para I(E) calculamos ovalor do parâmetro n.



Cálculo do parâmetro

8. CONSIDERAÇÕES FINAIS

98,1=n

fÍsica experimental iii - joinville.udesc.br · generalidades sobre construÇÃo de grÁficos...

Documents