8/14/2019 Fsica - B2 01 Introduo ao Estudo das Ondas

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Sumrio:Apresentao do programa das disciplinas de Fsica Geral II e de Complementos deFsica.Introduo ao estudo das ondas. Descrio matemtica de um pulso unidimensional

Introduo ao estudo das ondas

A Fig. 1.1 mostra ondas numa corda quando se agita a sua extremidade paracima e para baixo. Cada ponto da corda move-se para cima e depois para baixo,novamente para cima, para baixo, e assim sucessivamente

Figura 1.1

o efeito da agitao que se desloca, sem que a corda se desloque como um todo deum stio para o outro! Algo semelhante acontece com as ondas de mar.

Figura 1.2

A Fig. 1.2 representa uma onda de mar que se desloca da esquerda para a direita(mostram-se duas imagens tomadas em instantes diferentes). A bia apenas oscilaverticalmente.

Uma onda , portanto, a propagao de uma "perturbao". No caso da Fig. 1.1 a"perturbao" o deslocamento vertical dos pontos da corda e no caso da Fig. 1.2 odeslocamento (tambm vertical) dos pontos da superfcie do lquido.

As ondas, sejam elas quais foram na corda, no mar, no ar (ondas sonoras) naTerra (ondas ssmicas) precisam de um meio para se propagar. Mas as ondas

electromagnticas, no! Propagam-se mesmo no vazio. Apesar de o espao entre o Sol ea Terra ser vazio, a radiao solar constituda por ondas electromagnticas chega Terra. A sua velocidade de propagao a velocidade da luz, que se representa por c, etem o valor 300 000 km/s. Estudaremos mais pormenorizadamente as ondaselectromagnticas adiante neste curso. Para j, vamos abordar aspectos genricosrelativos a todos os tipos de ondas, independentemente da sua natureza mas tomaremospreferencialmente, a ttulo de exemplo e para tornar as ideias mais concretas, ondas emmeios materiais.

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Quando as ondas se propagam em meios materiais falamos muitas vezes deondas mecnicas. A velocidade de propagao destas ondas depende da natureza domeio. No ar, por exemplo, as ondas sonoras propagam-se com velocidade de cerca de340 m/s. Na gua as ondas propagam-se a cerca de 1500 m/s e no ao a mais de6000 m/s.

Se tivermos uma corda sob tenso, a velocidade de propagao das ondas nessa

corda depende de dois factores: da tenso na corda, T e da massa por unidade decomprimento, que designamos por . Demonstra-se (no o fazemos aqui) que avelocidade de propagao dada por

Tv = (1.1)

Quanto mais tensa estiver a corda, mais rpida a propagao. Por outro lado, paracordas do mesmo material, a que tiver menor massa por unidade de comprimento, aque propaga a onda com maior velocidade. As maiores velocidades de propagaoconseguem-se, pois, em cordas finas e muito tensas.

Descrio matemtica de um pulso unidimensional

Numa onda de matria h partculas que se deslocam da sua posio deequilbrio. Vamos comear por considerar uma perturbao gerada, por exemplo naextremidade de uma corda, onde se produz uma oscilao brusca. A perturbao umafuno do espao e do tempo. Designemos essa perturbao por ),( txy , ondex designaa coordenada ao longo da direco de propagao da onda e t designa o tempo. Afuno y representa, por exemplo, o deslocamento vertical em relao posio deequilbrio ( 0=y ). A figura mostra um pulso gerado no instante inicial ( 0=t ), ou sejaa funo

)()0,( xfxy = . (1.2)

A varivelx reporta-se ao referencial S que se mostra na figura.

x

yS

Figura 1.3

Um pulso assim pode ser gerado num corda com uma s agitao vertical de vaivm (eno com repetidas agitaes como na Fig. 1.1).

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Para obtermos a descrio matemtica do pulso consideremos agora um novoreferencial mvel, S, que acompanha o pulso: se a velocidade do pulso for v tambm oreferencial S se desloca com velocidade v na direco positiva do eixo dos x. Noreferencial S (de eixos coordenados 'x e 'y ) a perturbao simplesmente descrita poruma funo no depende do tempo )'(' xfy = pois o referencial acompanha aperturbao e esta no muda do ponto de vista do referencial S.

x x'

yS y'S'vt

f(x) f(x')

v

Figura 1.4

Como relacionar y com y e x com x? A Fig. 1.4 figura permite concluir queessa relao

'yy = e vtxx += ' (1.3)

(esta transformao linear de coordenadas chama-se transformao de Galileu1.). Ora,temos ento ( ) ( )vtxfxfytxy === ''),( ou, resumidamente,

( )vtxftxy =),( . (1.3)

Esta equao descreve um pulso de uma forma qualquer descrita pela funo fque sepropaga na direco positiva do eixo dosxx. Se nos deslocarmos de tal forma que

constante= vtx , (1.4)

tambm a funo ser constante: ( ) C= vtxf . De facto, deslocando-nos com avelocidade da onda, estaremos sempre a acompanhar o mesmo ponto (ou fase) do pulso.Tomando a derivada de constante= vtx em ordem ao tempo, encontramos

1 A transformao acima deve ser complementada com a equao 'tt= , ou seja, o tempo flui da mesmamaneira nos dois referenciais. Tal j no acontece na Teoria da Relatividade em que os tempos, no soiguais.

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vt

x=

d

d(1.5)

que se designa por velocidade de fase.Uma funo matemtica que dependa de posio e tempo da forma interligada

expressa pela Eq. (1.3) descreve uma onda que se propaga da esquerda para a direita.

A ideia a reter no que respeita onda pois a seguinte: a perturbao que est aocorrer aqui e agora vai-se passar alm daqui a algum tempo (quando a perturbao lchegar...). Sempre que uma perturbao se propague, indo ocorrer num ponto distanteda mesma maneira que ocorreu aqui embora mais tarde estamos perante umfenmeno de carcter ondulatrio. Mas esta situao ideal! H meios que sodissipativos e, nesse caso, no temos rigorosamente o que acabmos de dizer, j quepode haver uma atenuao da onda medida que ela progride.

Regressemos situao ideal em que no h atenuao. E se o pulso sedeslocasse da direita para a esquerda? Nesse caso, a funo matemtica que odescreveria seria do tipo

( )vtxftxy +=),( (1.6)

(basta fazer a transformao vv ). Podemos portanto concluir que as funesmatemticas que se possam escrever como combinaes lineares de funes do tipo

( )vtxftxy =),( podem representar ondas que progridem no sentido negativo de x(sinal +) ou no sentido oposto (sinal ).

Ilustremos o que acabmos de ver com dois exemplos. Pode a funo

( )[ ]2)1(1

1,

++

=

vtxtx , onde v um parmetro, descrever um fenmeno ondulatrio?

A resposta negativa, pois sua dependncia espcio-temporal no se reduz a

dependncias do tipo vtx

. E a funo

( )2)(1

1,

vtxtxy

+= , (1.7)

ainda com v um parmetro, trata-se ou no de uma onda? A resposta agora afirmativa.Vale a pena, por exemplo, para v = 2 representar as duas funes2 em instantesdiferentes, tais como 0=t , 1=t e 2=t .

2 Estamos a usar unidades arbitrrias (do sistema internacional ou outras quaisquer).

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-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t = 2

t = 1

t = 0

x

Figura 1.5

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t = 0

t = 2

t = 1

y

x

Figura 1.6

No caso da Fig. 1.5 no h qualquer onda. Mas j se tem uma onda no caso da Fig. 1.6:h um pulso que se propaga para a direita (ler do grfico a velocidade de propagaoatendendo posio do pico nos instantes considerados). A Fig. 1.6 foi gerada a partirdo ficheiro Excel ondapro.xls disponvel para download. Nesse ficheiro possvelmodificar a velocidade de propagao da onda.