Curso Estratégia Petróleo e gás Natural

Matéria: Matemática e Física 1. Velocidade média

A velocidade escalar média de um móvel é definida pelo quociente entre a variação de espaço e o

intervalo de tempo.

m

SV

T ,Onde oS S S

S é a variação de espaço e T é o intervalo de tempo

Podemos também escrever esta expressão da seguinte forma:

om

o

S SV

T T, sabendo – se que:

oS Posição inicial

S Posição final

T= tempo final

T0=tempo inicial No sistema internacional de unidades (SI), a velocidade é dada em m/s, mas é comum utiliza-se

também como unidade o km/h e o cm/s.

Algumas vezes será necessário fazer algumas transformações nas unidades de velocidade, para isso

devemos atentar para a seguinte regra:

x3,6

100

Km/h m/s cm/s

3,6 x100

2. Movimento Uniforme

Um móvel realiza movimento uniforme quando ele mantém sua velocidade constante e diferente de zero

em todos os pontos de sua trajetória.

0Movimento uniforme v cte

2.1 Equação Horária do M.U A partir da posição inicial de um móvel podemos determinar sua futura posição, através da equação das

posições em função do tempo.

Sabemos que m

sV

t, como no movimento uniforme a velocidade média coincide com a

velocidade instantâneapodemos escrever:

o

o

S SV

T T, sendo To=0, temos: . .o

o

S SV S S V T S So V T

T

Logo a equação do M.U é:

Exemplo :Um carro parte de São Paulo às8h e chega a Curitiba às 16h. Sabendo que a distância

Curitiba – São Paulo seja 400km e que houve uma parada de 3 h para almoço, podemos dizer que a

velocidade média é:

a) 50km/h

b) 50m/s

c) 40km/h

d) 100m/s

e) 20km/h

.S So V T

Solução:A velocidade média é calculada pela expressão m

SV

T,o

deslocamento do carro no percurso é de 400 km e ele saiu as 8h e chegou às 16h,

portanto o intervalo de tempo é 8h, não levando-se em conta as três horas de

parada pois não influencia no tempo que o carro ficou em movimento daí vem:

40050 /

8m

SV km h

T, logo a alternativa correta é a letra a

2.2 Gráficos do M.U

Como sabemos a função horária das posições no M.U, .S So V T é uma função do 1º grau em

relação ao tempo, portanto o seu gráfico é representado por uma reta, sendo assim temos dois casos:

1º caso: Velocidade positiva, V>0

Neste caso suas posições crescem algebricamente no decorrer do tempo e o seu movimento é dito

progressivo.

s

oS

t

2º Caso: Velocidade negativa, V<0

Este é o caso em que suas posições decrescem no decorrer do tempo e o seu movimento é dito

retrogrado.

s

So

t

Observações:

1. A ordenada onde a reta corta o eixo S, indica o valor de So e a abscissa em que a reta corta o eixo

T representa o instante em que o móvel passa pela origem.

2. Quando o móvel estiver em repouso, ou seja, V=0, a posição do móvel é a mesma para qualquer

instante, neste caso o gráfico fica assim:

V=0repouso V=0 repouso

So

So

2.3Gráfico da velocidade em função do tempo.

Com no M.U a velocidade é constante e diferente de zero, podemos ter dois tipos de gráficos.

Com no M.U a velocidade é constante e diferente de zero, podemos ter dois tipos de gráficos.

V V

V 0 t

v

0 t

Obs: No gráfico da velocidade em função do tempo o módulo deslocamento do móvel é dado pela área da

figura representa no gráfico.

V

t

3. Movimento Uniformemente Variado - M.U.V São pouco comuns os móveis que realizam movimento uniforme, todo móvel em movimento tem

necessidade de varia a sua velocidade, portanto todo movimento que se processa com variação de

velocidade no decorrer do tempo é chamado movimento variado.

S=A

3.1Aceleração Média

Quando um corpo varia a sua velocidade no decorrer do tempo ele está acelerando ou desacelerando, com

isso podemos dizer que a aceleração é a grandeza física que é responsável pela rapidez com que um

móvel muda de velocidade.

A aceleração média de um móvel é definida pelo quociente ente a variação de sua velocidade num dado

intervalo de tempo T, portanto podemos escrever que:

m

Va

T , onde V é a variação davelocidade. Ou ainda podemos escrever:

Om

O

V Va

T T, onde V= velocidade final

oV Velocidade inicial

Exemplo: ( EE Santos-SP) A velocidade de um automóvel aumenta de 36km/h para 108km/h em 10s. A

aceleração escalar média é:

a) 7,2m/s2

b) 2,0 m/s2

c) 72km/h2

d) 72km/s2

Solução: Devemos primeiro converter a velocidade que está em km/h para m/s, portanto temos:

36 / 10 /

108 / 30 /

km h m s

km h m s, aplicando a fórmula que calcula a aceleração média temos:

230 10 202 /

10 10m m

Va a m s

t

Resposta: alternativa letra b

Equação da velocidade

Considere um móvel que realiza movimento variado, sabemos que a aceleração mede a rapidez com que

esse móvel varia a sua velocidade, neste caso podemos escrever:

Om

O

V Va

T T, considerando o instante

inicialto=0 temos: OV V

aT

.oV V a t , daí temos que:

.oV V a t

Gráfico da velocidade em função do tempo no M.U.V

Como podemos notar a função da velocidade é uma função do 1º grau em t, portanto o seu gráfico é uma

reta representativa dessa função, daí temos os seguintes gráficos.

V V

a) b)

Vo

t t

Observação:

1) Quando o módulo da velocidade do móvel

aumenta no decorrer do tempo o movimento é dito

acelerado

2) Quando ao módulo da velocidade do móvel

diminui no decorrer do tempo o movimento é

retardado

Vo

Gráfico aceleração em função do tempo. Como no M..U.V a aceleração é constante o seu gráfico é uma reta horizontal paralela ao eixo dos

tempos:

a) b)

Observações: 1) No gráfico da velocidade em função do tempo a área da figura é numericamente igual ao

deslocamento do móvel.

2) No gráfico da aceleração em função do tempo a área da figura é numericamente igual a variação da

velocidade do móvel.

3) Quando o módulo da velocidade aumenta no decorrer do tempo dizemos que o móvel realiza um

movimento acelerado

4) Quando o módulo da velocidade do móvel diminui no decorrer do tempo dizemos que ele realiza um

movimento retardado.

3Função Horária das Posições

Esta equação chamada equação horária das posições,,determina a posição de um móvel em um dado

instante T, a partir de uma posição inicial S0.

2

0 0

1

2S S V T aT

Gráfico da função horária das posições

Com vimos a função horária que determina o espaço de um móvel é uma função do 2º grau em T,

portanto o gráfico desta função é uma parábola e sua concavidade será definida pelo sinal da aceleração,

daí temos dois casos:

S

t

Equação de Torricelli

A equação de Torricelli relaciona a velocidade de um móvel em função da distância percorrida por ele. 2 2 2oV V a S

Esta equação fornece a velocidade em função da distância percorrida.

Queda Livre

a>0

t

a<0

t

S=A

v

t

V=A

a

t

So

0a

So

S

t

Observe que os pontos onde

o gráfico corta o eixo dos

tempos (t) é justamente onde

o móvel passa pela origem

das posições.

Quando lançamos um objeto verticalmente para cima, verificamos que a sua velocidade durante a subida

diminui ao passo que quando este mesmo objeto é abandonado de uma certa altura a sua velocidade

aumenta no decorrer do tempo.

O fenômeno da queda livre desde a antiguidade é estuda por grandes filósofos e físicos, um exemplo disto

foi Aristóteles que afirmava que: quando se abandona dois corpos de pesos diferentes, de uma mesma

altura, o corpo de maior peso toca primeiro o solo.

Em 1590, um físico chamado Galileu Galilei ficou famoso ao realizar uma experiência para comprovar

as afirmações de Aristóteles. Conta-se que ele subiu no alto da Torre de Pisa e de lá abandonou,

simultaneamente, duas esferas de pesos diferentes e observou que elas chegaram praticamente juntas ao

solo. Com isso ele concluiu que embora seus pesos fossem diferentes, elas foram igualmente aceleradas.

Hoje podemos observar que para que os resultados obtidos por Galileu sejam verdadeiros, os corpos

devem ser abandonados em queda livre, ou seja, no vácuo, num local onde pode ser desprezada a ação

resistente do ar.

Sendo assim podemos concluir que um corpo em queda livre, próximo à superfície da Terra, tem

aceleração constante que denominada aceleração da gravidade, e seu módulo é representado pela letra g.

Na Terra a aceleração da gravidade tem um valor aproximado de g=9,80665 m/s2, mas para efeito de

estudo utiliza-se o valor também aproximado que é g=9,8 m/s2. É comum e mais usual considerar-se nos

exercícios de queda livre g=10 m/s2.

5.1 Funções Horárias no movimento de queda livre.

No movimento de queda livre, devemos observar duas situações:

1) O corpo sendo abandonado de uma determinada altura.

Neste caso o módulo da velocidade do móvel aumenta no decorrer do tempo, sendo assim o seu

movimento é acelerado.

2) O corpo sendo lançado verticalmente para cima com velocidade inicial oV .

Neste caso o módulo da velocidade do corpo diminui no decorrer do tempo, portanto ele realiza

movimento retilíneo uniformemente retardado.

0V

Analisando os itens acima verificamos que tanto na subida como na descida o corpo realiza movimento

uniformemente variado, sendo assim podemos escrever as equações abaixo:

.V Vo g t , equação da velocidade que determina a velocidade num determinado instante

0oV

h

Observe que:

1) No movimento de descida o corpo realiza movimento retilíneo

uniformemente acelerado, pois o módulo de sua velocidade aumenta

durante o percurso.

2) H é a altura de onde o corpo foi abandonado.

3) A aceleração gravitacional g é positiva.

+g

máxh

Observamos neste caso que: 1) No movimento de subida o corpo realiza movimento retilíneo uniformemente

retardado, pois o módulo de sua velocidade diminui no durante o percurso.

2) máxh é a altura máxima alcançada pelo corpo.

3) No ponto de altura máxima a velocidade do corpo é nula.

4) A aceleração gravitacional é negativa

5) O tempo que o móvel leva para subir é o mesmo que ele leva para retornar ao solo.

Portanto temos:

subida descidat t

-g

2

2o o

gth h V t , equação que determina a altura em função do tempo.

2 2 2oV V g h , equação de Torricelli que determina a velocidade em função da altura.

Uma outra maneira de calcular a altura máxima é através da expressão:

.

2

oV V th , expressão que determina a altura do móvel em função do tempo.

Exemplo: Um corpo foi lançado, verticalmente para cima, a partir do solo com velocidade inicial de

40m/s, num local onde g=10 m/s2.Despreze a resistência do ar e determine:

a) O tempo de subida

b) A altura máxima atingida;

c) Velocidade com que volta ao solo.

Solução: Inicialmente vamos selecionar os dados: 240 / 10 / 0oV m s g m s V

a) Tempo de subida

Para calcular o tempo de subida aplicamos a equação da velocidade oV V gt , daí:

400 40 10 10 40 4

10t t t s

b) Altura máxima atingida.

Neste caso, vamos usar a expressão .

2

oV V th , daí vem:

0 40 .4 16080

2 2h h m

c) A velocidade com que o corpo retorna ao solo é a mesma com que ele subiu, portanto

40 /V m s .

Lançamento Oblíquo ou de Projétil

O móvel se deslocará para a frente em uma trajetória que vai até uma altura máxima e depois volta a descer, formando uma trajetória parabólica.

Para estudar este movimento, deve-se considerar o movimento oblíquo como sendo o resultante entre o movimento vertical (y) e o movimento horizontal (x). Na direção vertical o corpo realiza um Movimento Uniformemente Variado, com velocidade

inicial igual a e aceleração da gravidade (g)

Na direção horizontal o corpo realiza um movimento uniforme com velocidade igual a

.

Observações:

Durante a subida a velocidade vertical diminui, chega a um ponto (altura máxima) onde

, e desce aumentando a velocidade.

O alcance máximo é a distância entre o ponto do lançamento e o ponto da queda do corpo, ou seja, onde y=0.

A velocidade instantânea é dada pela soma vetorial das velocidades horizontal e vertical,

ou seja, . O vetor velocidade é tangente à trajetória em cada momento.

As componentes retangulares da velocidade inicial são:

e

Na vertical temos: Na horizontal temos:

, onde

Lançamento Horizontal

O lançamento horizontal também é resultado da composição de dois movimentos, sendo

que durante a subida o corpo realiza movimento uniformemente variado e na descida

realiza movimento uniforme.

Hidrostática

Chamamos hidrostática a ciência que estuda os líquidos em equilíbrio estático.

Fluido é uma substância que tem a capacidade de escoar. Quando um fluido é submetido a uma força tangencial, deforma-se de modo contínuo, ou seja, quando colocado em um recipiente qualquer, o fluido adquire o seu formato.

Podemos considerar como fluidos líquidos e gases.

Particularmente, ao falarmos em fluidos líquidos, devemos falar em sua viscosidade, que é a atrito existente entre suas moléculas durante um movimento. Quanto menor a viscosidade, mais fácil o escoamento do fluido.

Densidade

Quando comparamos dois corpos formados por materiais diferentes, mas com um mesmo volume, quando dizemos que um deles é mais pesado que o outro, na verdade estamos nos referindo a sua densidade. A afirmação correta seria que um corpo é mais denso que o outro.

A unidade de densidade no SI é kg/m³.

Neste caso temos:

Na vertical Na horizontal

, onde

A densidade é a grandeza que relaciona a massa de um corpo ao seu volume.

Onde:

=Densidade ou massa específica (kg/m³)

m=Massa (kg)

V=Volume (m³)

Pressão

Ao observarmos uma tesoura, vemos que o lado onde ela corta, a

lâmina, é mais fina que o restante da tesoura. Também sabemos que quanto mais fino for o que chamamos o "fio da tesoura", melhor esta

irá cortar.

Isso acontece, pois ao aplicarmos uma força, provocamos uma

pressão diretamente proporcional a esta força e inversamente proporcional a área da aplicação.

No caso da tesoura, quanto menor for o "fio da tesoura" mais intensa

será a pressão de uma força nela aplicada.

A unidade de pressão no SI é o Pascal (Pa), que é o nome adotado para N/m².

Matematicamente, a pressão média é igual ao quociente da

resultante das forças perpendiculares à superfície de aplicação e a área desta superfície.

P=

Sendo:

P= Pressão (Pa)

F=Força (N)

A=Área (m²)

Pressão hidrostática

Da mesma forma como os corpos sólidos, os fluidos também exercem pressão sobre outros, devido ao seu peso.

Para obtermos esta pressão, consideremos um recipiente contendo um líquido de densidade que ocupa o recipiente até uma altura h, em um local do planeta onde a aceleração da gravidade é g.

A Força exercida sobre a área de contato é o peso do líquido.

= densidade do líquido

g= aceleração da gravidade local

h=altura da coluna de líquido.

Pressão atmosférica

Atmosfera é uma camada de gases que envolve toda a superfície da Terra.

Aproximadamente todo o ar presente na Terra está abaixo de 18000 metros de altitude. Como o ar é formado por moléculas que tem massa, o ar também tem massa e por consequência peso.

A pressão que o peso do ar exerce sobre a superfície da Terra é chamada Pressão Atmosférica, e seu valor depende da altitude do local onde é medida.

Quanto maior a altitude menor a pressão atmosférica e vice-versa.

Teorema de Stevin

Seja um líquido qualquer de densidade d em um recipiente qualquer.

Escolhemos dois pontos arbitrários R e T.

"A diferença entre as pressões de dois pontos de um fluido em equilíbrio é igual ao produto entre a densidade do fluido, a aceleração da gravidade e a diferença entre as profundidades dos pontos."

Teorema de Pascal

"O acréscimo de pressão exercida num ponto em um líquido ideal em equilíbrio se transmite integralmente a todos os pontos desse líquido

e às paredes do recipiente que o contém."

Prensa Hidráulica

Uma das principais aplicações do teorema de Pascal é a prensa hidráulica.

A prensa hidráulica consiste em dois vasos comunicantes, com

êmbolos de áreas e sobre as superfícies livres do líquido contido

nos vasos.

Aplicando-se uma força , sobre o êmbolo de área , a pressão

exercida é propagada pelo líquido até o êmbolo de área , sendo

assim temos:

Empuxo

Ao entrarmos em uma piscina, nos sentimos mais leves do que quando estamos fora dela.

Isto acontece devido a uma força vertical para cima exercida pela água a qual chamamos Empuxo,

e a representamos por .

O Empuxo representa a força resultante exercida pelo fluido sobre um corpo. Como tem sentido oposto à força Peso, causa o efeito de leveza no caso da piscina.

A unidade de medida do Empuxo no SI é o Newton (N).

Princípio de Arquimedes

Foi o filósofo, matemático, físico, engenheiro, inventor e astrônomo grego Arquimedes (287a.C. - 212a.C.) quem descobriu como calcular

o empuxo.

Arquimedes descobriu que todo o corpo imerso em um fluido em equilíbrio, dentro de um campo gravitacional, fica sob a ação de uma

força vertical, com sentido oposto à este campo, aplicada pelo fluido, cuja intensidade é igual a intensidade do Peso do fluido que é

ocupado pelo corpo.

Assim:

onde:

=Empuxo (N)

=Densidade do fluido (kg/m³)

=Volume do fluido deslocado (m³)

g=Aceleração da gravidade (m/s²)

Hidrodinâmica A hidrodinâmica estuda os líquidos em movimento, como o vento sobre uma casa ou a água escoando pelo leito de um rio. aqui não serão considerados os casos em que o escoamento do líquido é turbulento. O conhecimento sobre hidrodinâmica é essencial na construção de aviões, navios e carros mais aerodinâmicos, hélices, cata-ventos, bolas de futebol com menor arrasto, etc. Escoamento Estacionário – também conhecido como laminar, é obtido quando a velocidade de escoamento é pequena, ou seja, quando a velocidade de escoamento for a mesma em todos os pontos. Ex.: a água de um rio calmo, escoamento de ar e gases. Escoamento não estacionário – ou turbulento é quando a velocidade do fluído varia no decorrer do tempo. Ex.: quedas d´água em virtude de rochas e outros obstáculos existentes. O tamanho dos tubos (diâmetro) e a viscosidade do fluído influenciam muito no escoamento de fluídos através de tubos, isso porque, com a viscosidade, aparecem forças de movimento relativo entre as camadas do fluído, o que ocasiona a dissipação de energia mecânica. Equação da continuidade Na figura, esquematizamos um tubo. Sejam A1 e A2 as áreas das secções retas em duas partes em duas partes distintas do tubo. As velocidades de escoamento em A1 e A2valem, respectivamente v1 e v2.

Como o líquido é incompressível, ou seja, sua densidade não varia ao longo do

percurso, o volume que entra no tubo, no tempo é aquele existente no

cilindro de base A1 e altura . Esse volume é igual aquele que, no mesmo tempo, sai da parte cuja secção tem área A2. Sendo assim o volume (1)=volume (2)

Dividindo –se o volume escoado pelo tempo de escoamento, teremos um grandeza denominada vazão, que iremos representar pela letra Q, logo teremos:

Onde: Q = vazão V = volume do fluído t = tempo Sua unidade no SI é m³/s Questões

1. Umcorpocaindo do alto de uma torre chega ao solo em 5s. Qual aaltura da torre,

considerandog=10m/s²?

a) 130 m

b) 122 m

c) 245 m

d) 125 m

e) 250 m

2. O gato consegue sair ileso de muitas quedas. Suponha que a maior velocidade com a qual ele

possa atingir o solo sem se machucar seja de 8m/s.Então, desprezando-se a resistência do ar, a altura

máxima de queda, para que o gato nada sofra, deve ser: (Dado: g = 10m/s2)

a) 3,2m

b) 6,4m

c) 10m

d) 8m

e) 4m

3. Partindo do repouso, um trem percorre os trilhos da Lapa com aceleração constante, e atinge a

velocidade de 20m/s em 25 segundos. A aceleração, em m/s², é de:

a) 0,8

b) 0,2

c) 6,0

d) 0,1

e) 2,0

4. Um carro com velocidade de 20m/s é freado bruscamente e pára em 5s. A distância percorrida

pelo carro até parar é:

a) 100m

b) 80m

c) 50m

d) 40m

e) 30m

5. Observando a equação horária de um determinado movimento 220 5. 2S t t , podemos

afirmar que a velocidade inicial é:

a) 20 m/s

b) 2 m/s

c) 5m/s

d) 10m/s

e) 30 m/s