Física Resumo Eletromagnetismo

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Cargas Elétricas Distribuição Contínua de Cargas

1. Linear

𝑄 = 𝑑𝑞 = 𝜆 𝑑𝑙

2. Superficial

𝑄 = 𝑑𝑞 = 𝜎. 𝑑𝐴

3. Volumétrica

𝑄 = 𝑑𝑞 = 𝜌 . 𝑑𝑉

Força Elétrica Duas formas de calcular:

1. Módulo + Direção pelas propriedades das cargas

𝐹 =𝑘 𝑞/ 𝑞0

𝑟0=

𝑞/ 𝑞04𝜋𝜀𝑟0

2. Sem módulo + Direção dada por 𝑟 = 𝑟0 − 𝑟/

r0: vetordaorigematéacargaquesofreaforça

r/: vetordarigematéacargaqueexerceaforça

𝐹0/ =𝑘𝑞/𝑞0𝑟𝑟0

= 𝑘𝑞/𝑞0𝑟𝑟I

Princípio da Superposição: “A força resultante em uma carga é a soma VETORIAL das forças exercidas sobre ela”

Campo Elétrico Linhas de campo elétrico

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Definição

𝐸 =𝑘𝑞𝑟𝑟0

=𝐹𝑞K

q: cargaqueexerceaforça qK: cargadeprova; cargaquesofreaaçãodaforça r: distância entre o ponto em que se quer achar o campo e a carga

Princípio de Superposição “O campo resultante em uma carga de prova ou em um ponto é dado pela soma VETORIAL dos campos gerados pelas cargas ao seu redor. ”

Cálculo do campo para distribuições contínuas de carga

𝐸 = 𝑘𝑑𝑞𝑟0

= 𝑑𝑞

𝑟04𝜋𝜖K

Exemplos mais comuns em prova:

1) Campo elétrico gerado por um anel

3

𝐸 = 𝑘𝑑𝑞𝑟0

=𝜆. 𝑑𝑠𝑟04𝜋𝜖K

Mas, por simetria, só sobra a componente horizontal. Logo:

𝐸 = 𝐸Q =𝜆. 𝑑𝑠𝑟04𝜋𝜖K

. cos 𝛼 =𝜆. 𝑑𝑠𝑟04𝜋𝜖K

. 𝑥

𝑥0 + 𝑎0

Substituindo 𝑟 = 𝑎0 + 𝑥0, temos:

𝐸Q =Q

VWXQW Y/W .[

\]^_𝑑𝑠0]V

K = QVWXQW Y/W .

[V0^_

à 𝐸 = QVWXQW Y/W .

[V0^_

𝑥

2) Campo elétrico gerado por um disco

Basta integrar, ao longo do raio, o campo gerado pelo anel! :) Assim, temos:

𝐸V`ab =𝑥

𝑟0 + 𝑥0 I/0 .𝑞

4𝜋𝜖K→ 𝐸defgh =

𝑥𝑟0 + 𝑥0 I/0 .

𝑑𝑞4𝜋𝜖K

Temos que escrever a integral em função do raio! Note que

dq =𝜎.dA Além disso,

2𝜋𝑟. 𝑑𝑟 = 𝑑𝐴

Portanto,

𝑑𝑟

2𝜋𝑟

4

𝐸 =𝑥

𝑟0 + 𝑥0 I/0 .𝜎𝑟. 𝑑𝑟2𝜖K

V

K= 𝐸 =

𝜎2𝜖K

. 1 −𝑥

𝑥0 + 𝑎0

3) Campo elétrico gerado por uma barra no eixo que passa pelo seu centro

𝐸 = 𝑘𝑑𝑞𝑟0

=𝜆. 𝑑𝑥𝑟04𝜋𝜖K

Mas, por simetria, só sobra a componente vertical, logo:

𝐸 = 𝐸k =𝜆. 𝑑𝑥𝑟4𝜋𝜖K

. cos 𝜃 =𝜆. 𝑑𝑥𝑟04𝜋𝜖K

. 𝑦

𝑦0 + 𝑥0

Substituindo 𝑟 = 𝑦0 + 𝑥0,

𝐸 =𝑦. 𝜆4𝜋𝜖K

𝑑𝑥

𝑦0 + 𝑥0I0

n/0

on/0→ 𝐸 =

𝜆𝐿2𝜋𝜖K𝑦 𝐿0 + 4𝑦0

𝑦

Fluxo Elétrico

Definição

Mede o quanto do campo elétrico atravessa determinada área

∅a = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴fstauvígea

dA: vetordeárea, PERPENDICULARàsuperfície

*Detalhe Importante: O fluxo positivo é aquele que SAI da superfície

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Lei de Gauss A Lei de Gauss é a lei que relaciona o fluxo elétrico em uma superfície fechada com a carga DENTRO dela.

∅a = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =𝑞e`�𝜖K

Utilidade Cálculo do campo elétrico gerado por simetrias CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS. Como utilizar? Para aplicar essa Lei é preciso escolher uma superfície fechada (ex: esfera ou cilindro), mais conhecida como superfície Gaussiana, que envolva total ou parcialmente (geometrias infinitas) a geometria que está gerando o campo elétrico. As geometrias mais frequentes em prova são:

1. Esfera, Casca Esférica: Gaussiana Esférica 2. Plano Infinito, Fio Infinito: Gaussiana Cilíndrica

Caso específico: Condutores em equilíbrio Nos condutores a carga se concentra na superfície do material. Ou seja, se quisermos calcular o campo elétrico através de uma superfície contida nesse condutor, a carga interna será nula e, portanto, pela Lei de Gauss, o campo também.

Entretanto, através de uma superfície fora do condutor, a carga interna será a carga total e o campo não será nulo.

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Observação para a MAIORIA das questões de Lei de Gauss

1. 𝐸𝑠𝑒𝑟á𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎

2. 𝐸𝑠𝑒𝑟á𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑎𝑜𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟á𝑟𝑒𝑎

𝐸 ∙ 𝑑𝐴 = 𝐸. 𝑑𝐴 = 𝐸 𝑑𝐴 = E. A

Energia Potencial Eletrostática Força eletrostática - É uma força conservativa, logo:

1. O trabalho por ela exercido independe do caminho 2. Em um caminho fechado, o trabalho é nulo

Definição O trabalho que a força eletrostática exerce sobre uma carga para levá-la de um ponto A para um ponto B é dado por:

∆𝑈 = 𝑈� − 𝑈V = −𝑊V�

Outra forma de calcular este trabalho é:

𝑊V� = 𝐹 ∙ 𝑑𝑙�

�

= 𝑞K 𝐸 ∙ 𝑑𝑙�

�

Para calcular a energia potencial em um único ponto, utiliza-se 𝑈� = 𝑈� = 0. Assim, a energia potencial em um único ponto é dada por:

𝑈V =𝑞K𝑄4𝜋𝜖K

.1𝑟V

Cálculo da energia eletrostática

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A energia eletrostática de uma configuração de cargas é o trabalho necessário para formar a configuração, isto é, para trazer as cargas do infinito até a posição final delas! Para trazer a primeira carga, não é necessário nenhum trabalho, já que ela não está submetida a um campo ou a um potencial. Entretanto, essa primeira carga, uma vez em sua posição final, gera um campo e um potencial. Assim, para trazer as demais cargas, será necessário um trabalho e haverá uma contribuição na energia eletrostática total!

𝑈 =12

𝑞e𝑞�4𝜋𝜖K𝑟e�

�

e,��e

Potencial Eletrostático Definição:

𝑉 =𝑈𝑞K

Partindo da definição, podemos deduzir que o potencial gerado por uma carga pontual é:

𝑉u =𝑄

4𝜋𝜖K.1𝑟

*Para potenciais elétricos, também vale o princípio da superposição! Diferença de potencial elétrico:

𝑉� − 𝑉� = [𝑈� − 𝑈V]/𝑞K = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑙�

�

Potencial em um único ponto:

𝑉� − 𝑉� = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑙�

�

= 𝐸 ∙ 𝑑𝑙�

�

= 𝑉�

Caso especial: Condutores Equilibrados = Volume Equipotencial

Já vimos que, num condutor equilibrado, E =0. Assim:

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𝑉� − 𝑉� = − 0 ∙ 𝑑𝑙�

�

= 0 → 𝑽𝑩 = 𝑽𝑨

Potencial gerado por uma distribuição contínua de cargas num ponto P:

𝑉¢ = 𝑑𝑞

𝑟4𝜋𝜖K

Exemplos mais comuns em prova: Anel, disco e barra

1) Anel

Sabemos que:

• 𝑟 = 𝑅0 + 𝑧0 • No anel, r é constante!

𝑉¢ =1

𝑟4𝜋𝜖K𝑑𝑞 =

1𝑅0 + 𝑧04𝜋𝜖K

𝑑𝑞 =𝑄

𝑅0 + 𝑧04𝜋𝜖K

2) Disco - Um disco é um anel de raio variável. Ou seja, basta integrar ao longo do raio a expressão que achamos para o anel!

𝑉¢ =1

4𝜋𝜖K𝑑𝑞

𝑟0 + 𝑧0

Mas, sabemos que: 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝐴 e 2𝜋𝑟. 𝑑𝑟 = 𝑑𝐴 à 𝑑𝑞 = 𝜎2𝜋𝑟𝑑𝑟

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Assim,

𝑉¢ =1

4𝜋𝜖K

𝜎2𝜋𝑟𝑑𝑟𝑟0 + 𝑧0

¤

K=

𝜎2𝜖K

. 𝑧0 + 𝑅0 − 𝑧

3) Barra

Da figura percebemos que: 𝑟 = 𝑥0 + 𝑦0 e y varia! Assim,

𝑉¢ =1

4𝜋𝜖K𝑑𝑞

𝑥0 + 𝑦0

Mas, também sabemos que: 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑦 Portanto,

𝑉¢ =1

4𝜋𝜖K𝜆𝑑𝑦

𝑥0 + 𝑦0

V

oV=

𝜆4𝜋𝜖K

𝑙𝑜𝑔𝑥0 + 𝑎0 + 𝑎𝑥0 + 𝑎0 − 𝑎

Cálculo de E partindo da fórmula de V:

𝐸 = −𝛻𝑉 = −𝜕𝑉𝜕𝑥

𝚤 +𝜕𝑉𝜕𝑦

𝚥 +𝜕𝑉𝜕𝑧𝑘 = −

𝑑𝑉𝑑𝑟

𝑟

Capacitância Um capacitor é um componente eletrônico que serve principalmente para armazenar energia elétrica em um circuito.

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É formado por dois condutores com um isolante entre eles. Os condutores possuem cargas de sinais opostos e módulos iguais, o que gera uma diferença de potencial V.

𝐶 =𝑄𝑉

Cálculo da capacitância:

1. Calcular o campo 𝐸 entre as superfícies, em geral pela Lei de Gauss 2. Calcular V utilizando a expressão:

𝑉� − 𝑉� = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑙�

�

3. Calcular C pela fórmula:

𝐶 =𝑄𝑉

Exemplos mais comuns em prova Capacitor de placas planas, capacitor cilíndrico e capacitor esférico.

1) Capacitor de placas planas

Pela Lei de Gauss, sabemos que o campo elétrico E gerado por uma placa infinita é dado por:

𝐸 =𝜎2𝜖K

O capacitor é formado por duas placas de forma que: 𝐸 = «^_𝑘

*Observação: fora do capacitor, o campo gerado pelas placas se anula!

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- Calculando o potencial, temos:

𝑉� − 𝑉� = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑙�

�

→ 𝑉d − 𝑉K = − 𝜎𝜖K𝑘 ∙ 𝑑𝑙 𝑘

d

K

= − 𝑑𝜎𝜖K

- Aplicando a fórmula da capacitância com 𝑄 = 𝜎. 𝐴

𝐶 =𝑄𝑉=𝑄𝜖K𝑑𝜎

=𝜎𝐴𝜖K𝑑𝜎

=𝐴𝜖K𝑑

2) Capacitor Esférico

Pela Lei de Gauss, temos que:

𝐸 =𝑄𝑟

4𝜋𝑟0𝜖K

Calculando o potencial, temos que:

𝑉V − 𝑉� = 𝑄𝑟

4𝜋𝑟0𝜖K∙ 𝑑𝑟𝑟

�

V

=𝑄 𝑏 − 𝑎4𝜋𝜖K𝑎𝑏

Falta só aplicar a fórmula da capacitância:

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𝐶 =𝑄𝑉=

𝑄𝑄 𝑏 − 𝑎4𝜋𝜖K𝑎𝑏

=4𝜋𝜖K𝑎𝑏b − a

3) Capacitor Cilíndrico

Pela Lei de Gauss, temos:

𝐸 =Q

𝜖K2𝜋𝑟𝐿𝑟

Calculando o potencial, temos que:

𝑉� − 𝑉V = −Q

𝜖K2𝜋𝑟𝐿𝑟 ∙ 𝑑𝑟𝑟

�

V

= −Q

𝜖K2𝜋𝐿ln𝑏𝑎

Por fim, aplicando a fórmula da capacitância:

𝐶 =𝑄𝑉=

𝑄Q

𝜖K2𝜋𝐿ln 𝑏𝑎

=𝜖K2𝜋𝐿

ln 𝑏𝑎

Energia armazenada em um capacitor

𝑈 =𝑄0

2𝐶=𝐶𝑉0

2=𝑄𝑉2

Densidade de Energia num capacitor de placas paralelas

𝑢 =12𝜖K𝐸0

Associação de capacitores 1) Em paralelo:

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𝑄a± = 𝑄/ + 𝑄0 + …+ 𝑄`

𝐶a± = 𝐶/ + 𝐶0 + …+ 𝐶`

2) Em série:

𝑄a± = 𝑄

1𝐶a±

=1𝐶/+1𝐶0+ …+

1𝐶`

Materiais dielétricos Materiais dielétricos são materiais isolantes que podem estar entre as placas do capacitor. O que muda? 𝛜𝟎vira𝐊𝛜𝟎, sendo K a constante dielétrica do material.