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Física 1 – Capítulo 2 – Movimento em 2,3D – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.

1

Movimento Retilíneo.

Velocidade média:

m

sv

t

2 1

2 1

m

s sv

t t

Velocidade instantânea:

dsv t

dt

0limt

sv t

t

Aceleração média:

m

va

t

2 1

2 1

m

v va

t t

Aceleração instantânea:

dva t

dt

0limt

va t

t

Observações:

1n ndt n t

dt

cosd

sent tdt

cosd

sentdt

t tde e

dt

1ln

dt

dt t

0 0lim lim

t t

s t t s tsv t

t t

Função posição:

dsv t ds v t dt

dt

s t v t dt

Velocidade instantânea:

dva t dv a t dt

dt

v t a t dt

Observações: 1

11

nn t

t dt C nn

cos tdt sent C

cossentdt t C

t te dt e C

1lndt t C

t

Lançamento Oblíquo

g

Eixo Ox: Movimento uniforme. MU

Eixo Oy: Movimento uniformemente variado.

MUV.

0 0xx x v t

2

0 02y

gy y v t t

0yy y

dyv v v g t

dt

0

0x

x xt

v

2

0 00 0

0 02y

x x

x x x xgy y v

v v

Decomposição da velocidade:

0 0 cosx

v v

0 0yv v sen

2 2

0 0 0x yv v v

2 2

x yv v v

0 2

0 0 02

0 02

y

x x

v gy y x x x x

v v


2

200 0 02

0 0cos 2 cos

v sen gy y x x x x

v v

2

0 0 02

02 cos

gy y tg x x x x

v

Tempo de subida ou de descida:

00 0yyv v g t

0y

s

vt

g

Tempo total:

02

y

t

vt

g

Alcance:

0xx v t

0

0 2y

x

vx v

g

0 02x y

v vx

g

0 02 cosv v senx

g

2

02 cosv senx

g

2 2 cossen sen 2

0 2v

x seng

Observação: Alcance máximo:

2 1 22

sen

454

2

0 2v

R seng

2

0 0

02

y y

y

v vgh v

g g

2

0

2

yv

hg

Exemplos

1. Suponha que a velocidade de um carro seja

dada por:

260 0.5v t t SI

(a) Encontre a aceleração média entre os instantes

t1 = 1.0 s e t2 = 3.0 s.

(b) Encontre a aceleração instantânea nos instantes

t1 = 1.0 s e t2 = 3.0 s.

Solução: (a) aceleração média entre os instantes t1 = 1.0 s e

t2 = 3.0 s.

2 1

2 1

m m

v vva a

t t t

2

1 1 11 60 0.5 1 60.5m

v t vs


3

2

2 2 23 60 0.5 3 64.5m

v t vs

64.5 60.5

3 1ma

22m

ma

s

(b)

2 10 0.5 2dv

a a t tdt

a t t

1 1 1 21 1 1

ma t a

s

2 2 2 23 3 3

ma t a

s

2. Um motociclista se dirige para o leste e acelera

a moto depois de passar pela placa que indica os limites

da cidade. Sua aceleração é constante e igual a 4.0 m/s2.

No instante t = 0 ele está a 5m a leste do sinal,

movendo-se para leste a 15 m/s.

(a) Determine sua posição e velocidade no instante

t1 = 2.0 s.

(b) Onde está o motociclista quando sua velocidade

é 25m/s?

Solução: t = 0s

a = 4m/s²

v0 = 15m/s

0 x0= 5 s(m)

2

0 02

ax x v t t

245 15

2x t t t

2

1

42 5 15 2 2

2x t

1 2 43x t m 25 15 2x t t t

2 10 15 1 2 2

dxv t v t t

dt

15 4v t t

1 1 2 15 4 2v t

t = 2s1 23

mv

s

a = 4m/s²

v1 = 23m/s

0 x= 43m x(m)

(b) 15 4 25v t t

4 25 15t 10

2.54

t t s

22.5 5 15 2.5 2 2.5x t

2.5 55x t m

3. Uma moeda é largada da Torre de Pisa. Ela

parte do repouso e move-se em queda livre. Calcule sua

posição e velocidade nos instante 1.0, 2.0 e 3.0 s.

v0 = 0

0

50 x(m)

4. Um motociclista doido se projeta para fora da

borda de um penhasco. No ponto exato da borda, sua

velocidade é horizontal e possui módulo 9.0 m/s. Ache

a posição, a distância da borda e a velocidade depois de

0.5 s.


4

Movimento em 2 e 3 dimensões

Vetor deslocamento r :

f f i ir r t r t

Vetor velocidade média mv :

m

rv

t

Vetor velocidade instantânea v :

0limt

rv

t

drv

dt

Vetor aceleração média ma :

f i

m m

v vva a

t t

Vetor aceleração instantânea a :

0limt

va

t

dva

dt


5

Exemplo 1: Lançamento oblíquo:

(a) Encontre o vetor posição r t , o vetor

velocidade instantânea v t e o vetor aceleração

instantânea a t para um corpo em lançamento

oblíquo com velocidade 0 0 0ˆ ˆ

x yv v i v j

(b) Um homem lança um objeto a 20 m/s a 30°

com a horizontal do alto de um edifício de 45 m.

Encontre a posição x horizontal que o objeto irá cair.

Solução: (a)

ˆ ˆr t x t i y t j

2

0 0

1ˆ ˆ2x y

r t v t i v t g t j

dr tv t

dt

2

0 0

1ˆ ˆ2x y

d dv t v t i v t g t j

dt dt

0 0ˆ ˆ

x yv t v i v g t j

(vetor velocidade instantânea no lançamento oblíquo)

dv ta t

dt

0 0ˆ ˆ

x y

d da t v i v g t j

dt dt ˆ ˆ0 0 1a t i g j

ˆa t g j

Exemplo 2: Dado o vetor posição r t de um

objeto que se move em relação a um sistema de

coordenadas: 2 3 ˆˆ ˆ2 3 4 5 1r t t i t t j t k

(SI)

Determine:

(a) o vetor velocidade instantânea v t .

(b) o vetor aceleração instantânea a t .


6

(c) O vetor velocidade média entre os instantes

t1 = 0s e t2 = 2s.

(d) O vetor aceleração média entre os instantes

t1 = 0s e t2 = 2s.

Respostas:

(a)2 ˆˆ ˆ6 4 15v t t i t j k

(b) ˆ ˆ6 30a t i t j

(c) ˆˆ ˆ6 10m

mv i j k

s

(b)2

ˆ ˆ6 11m

ma i j

s

Exemplo 3: Um esquiador sai de uma

plataforma a 25m/s na direção horizontal, conforme a

figura que se segue. Encontre d, x e y.

Exemplo 4: Calcule a que distância cairá o

suprimento lançado de um avião a 40m/s e a 200m de

altura.

Exemplo 5: Estime o vetor posição e o

velocidade média entre os instantes:

(a) t0 =0 s e t1 = 1 s.

(b) t1 = 1s e t2 = 2 s.

Encontre a expressão geral para o vetor

velocidade instantânea e calcule a velocidade

instantânea em t = 2 s e seu módulo.

As componentes são dadas por: 22 0.25x t 30.025y t t

(SI)

Solução: (a) t0 e t1.

0ˆ ˆ2 0r i j m

1ˆ ˆ1.75 1r i j m

2ˆ ˆ0.8 2.25r i j m


7

m

rv

t

1 0

1 0

m

r rv

t t

ˆ ˆ ˆ ˆ1.75 1025 2 0

1 0m

i j i jv

ˆ ˆ0.25 1.025m

mv i j

s

(b) ˆ ˆx yv t v i v j

ˆ ˆdx dyv t i j

dt dt

2 3ˆ ˆ2 0.25 0.025d d

v t t i t t jdt dt

2 1 1 1 3 1ˆ ˆ0 0.25 2 1 0.025 3v t t i t t j

2ˆ ˆ0.5 1 0.075v t t i t j

2 2

x yv t v v

Exemplo 6: Calcule os componentes do vetor

aceleração média no intervalo de tempo entre t0 = 0 s e

t1 = 2 s. Ache a aceleração instantâmea para t1 = 2 s e

encontre seu módulo.

Solução: Do exemplo 5:

22 0.25x t 30.025y t t

ˆ ˆr t x t i y t j

2 3ˆ ˆ2 0.25 0.025r t t i t t j

dr tv t

dt

ˆ ˆx yv t v i v j

ˆ ˆdx dyv t i j

dt dt

2 3ˆ ˆ2 0.25 0.025d d

v t t i t t jdt dt

2 1 1 1 3 1ˆ ˆ0 0.25 2 1 0.025 3v t t i t t j

2ˆ ˆ0.5 1 0.075v t t i t j

t0 = 0 s:

2ˆ ˆ0 0.5 0 1 0.075 0v t i j

0 0 0

ˆ ˆx y

v v i v j

0ˆ ˆ0 1v i j

t1 = 2 s: 2ˆ ˆ2 0.5 2 1 0.075 2v t i j

1ˆ ˆ1 1.3v i j

1 0m m

v vva a

t t

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1.3 0 1

2 0m

i j i ja

2ˆ ˆ0.5 0.15ma i j m s

dv ta t

dt

ˆ ˆx ya t a i a j

ˆ ˆyxdvdv

a t i jdt dt

2ˆ ˆ0.5 1 0.075d d

a t t i t jdt dt

2ˆ ˆ0.5 0.15a t i t j m s

2ˆ ˆ2 0.5 0.3a t i j m s

2 2

x ya t a a

2 22 0.5 0.3a t

22 0.58a t m s


8

Exemplo 7: Num mesmo instante, dois objetos

iniciam seus movimentos da seguinte forma: um é

lançado de um canhão a uma velocidade vi e ângulo i

com a horizontal e outro é abandonado a uma distância

xT do lançamento. Encontre o tempo de encontro e a

altura do choque entre os dois objetos.

Exemplo 8: Num mesmo instante, dois objetos

caem de formas diferentes: um em queda livre e outro

segundo uma velocidade vo horizontal. Mostre que

ambos chegam no mesmo instante no chão.

Exemplo 9: Num mesmo instante, um caçador

ao mirar sobre um macaco numa árvore atira e o

macaco salto. O tiro atingirá o macaco? Explique.


9

Componentes da aceleração e direção da

velocidade

a t a a


10

j

i

T Na t a a a t a a

Podemos definir os versores r e ˆ dependentes

do tempo da figura acima como os versores que

apontam na direção normal e tangencial ao círculo a

cada instante. Assim, observando a figura vemos que:

ˆˆ ˆcosi r sen

ˆˆ ˆ cosj sen r

Ou:

ˆ ˆˆ cosr i sen j

ˆ ˆ ˆcossen i j

Veja que:

ˆˆ ˆcos

dr d dsen i j

dt dt dt É costume escrever:

d

dt ˆ

ˆ ˆcosdr

sen i jdt

ˆ ˆ ˆˆ ˆcosdr d dr

sen i jdt dt dt

ˆ ˆdr

dt ˆ

ˆ ˆcosd d d

i sen jdt dt dt

ˆˆ ˆcos

di sen j

dt

ˆ ˆˆ ˆ ˆcos

d d di sen j r

dt dt dt

Observe que:

ˆ ˆˆ ˆ ˆcos

d di sen j r

dt dt

Observe que:

ˆ ˆx yv v i v j

ˆ ˆˆ ˆcos cosx yv v r sen v sen r

ˆˆcos cosx y x yv v v sen r v sen v

ˆˆrv v r v

A aceleração será:

dva

dt

ˆˆr

da v r v

dt

ˆˆ ˆˆrr

dvdv dr da r v v

dt dt dt dt

ˆ ˆˆ ˆr ra v r v r v v

ˆ ˆˆ ˆˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ

dr dr drr r

dt dt dt

d d dr r

dt dt dt

ˆ ˆˆ ˆr ra v r v v v r


11

ˆˆr ra v v r v v

Aqui:

v r

rv r

dv dr d

v rdt dt dt

v r r

ˆˆr r

r

a v v r v r r

ˆˆra v v r r r r

2 ˆˆ 2a r r r r r

Vamos analisar o caso em que o módulo da

velocidade é constante. Como o vetor velocidade é

sempre tangente à trajetória, podemos escrever:

ˆ0r

v vv v

v

Nesse caso, o vetor aceleração será:

ˆˆ0 0 0a v r

â v r

ˆv

a v rr

2

ˆv

a rr

Movimento Circular uniforme Quando uma partícula se move sobre uma curva, a

direção da velocidade varia. Se o módulo da velocidade

for constante, não haverá aceleração tangencial. Assim:

a t a

0a

Como o módulo da velocidade é constante:

ˆda v

dt

â v r

Ou seja, a aceleração é dirigida para o centro

da circunferência.

Chamamos de velocidade angular, e no

MCU ela é constante, nas unidades radiano por

segundo: rad/s.

â v r

Veja que em uma oscilação completa, teremos:

2 rv

T

t

2

T

2 f


12

1f

T

f é a freqüência nas unidades Hertz: 1Hz=1/s

ou ainda rpm (rotações por minuto): 1 rpm = 1Hz/60

Podemos reparar que:

2v r v r

T

Assim:

ˆv

a v rr

2

ˆv

a rr

2 ˆa r r

Aceleração normal ou centrípeta do MCU:

2 2

N cp

v va a

r r

Outra forma de demonstração:

θ

v(t1)

v(t2) θ α

θ

2 2

N cp

v va a

r r

1 1 1ˆ ˆ

x yv t v t i v t j

1ˆ ˆcosv t v sen i v j

2 2 2ˆ ˆ

x yv t v t i v t j

2ˆ ˆcosv t v sen i v j

v

at

ˆ ˆ ˆ ˆcos cosv sen i v j v sen i v ja

tˆ ˆcos cosv sen v sen i v v j

at

2 cos ˆva j

t

s sv t

t v

2s R s R 2R

tv

2 cos ˆ2

va j

R

v

22 cos ˆ2

va j

R

2 cos ˆ22

va j

R

2

2

cos ˆ2 lim2

va j

R

2

02

2 2

0

2

coscos 2 2

lim lim2

0 0

cos cos cos sin sin2 2 2 2 2 2lim lim

0 0

cos sin2 2 2lim lim


13

0 0 0

2

cossin 1 sin 1 12 2

lim lim lim 12 2 2 2

2

2

cos ˆ2 lim2

va j

R

2 1 ˆ22

va j

R 2

ˆva j

R

Exemplo de situações de movimentos

curvilíneos:

Exemplo 10 – Uma BMW Z3 pode possuir

uma “ aceleração lateral” de 0.87 g, o que equivale a

8.5 m/s². Isso representa a aceleração centrípeta máxima

sem que o carro deslize para fora de uma trajetória

circular. Se o carro se desloca a uma velocidade de 40

m/s = 40/3.6 =144 km/h, qual é o raio mínimo da curva

que ele pode aceitar ? (Suponha que a curva não possua

inclinação lateral).

Solução:

2 240190

8.5rad

vR R R m

a

Exemplo 11 – Em um brinquedo de um parque

de diversões, os passageiros viajam com uma

velocidade constante em um círculo de raio 5 m. Eles

fazem uma volta completa no círculo em 4.0 s. Qual é a

aceleração deles ?

Solução: 22

2

rad rad rad

Rva a a R

R R

2 2

2

2 4rad rada R a R

T T

2

2

2

45 12

4rad rada a m s

Os movimentos circulares são muito freqüentes no

cotidiano. Eles se encontram nas bicicletas, nos

veículos automotores, em fábricas, em equipamentos

em geral, etc.

Ao falar de movimento circular é necessário a

introdução de propriedades angulares como a

aceleração angular, deslocamento angular e velocidade

angular. No caso de movimentos circulares existe ainda

a definição de período, que é uma propriedade utilizada

no estudo de movimentos periódicos.


14

Movimento Circular não uniforme Nesse movimento, a velocidade variará em

direção e valor. Haverá a aceleração tangencial e a

aceleração centrípeta.

Quando a aceleração tangencial aT é constante,

chamamos esse movimento de Movimento Circular

Uniformemente variado (MCUV). Nesse caso, valem as

relações:

0t t

Aceleração angular:

t

Unidade: rad/s²

Função horária angular: 2

0 02

tt t

2 2

0 2

v t R t

Aceleração tangencial:

Ta t R t

Aceleração centrípeta: 2

cp

v ta t

R

Aceleração resultante:

2 2

cp Ta a t a t

Pode-se classificar o MCUV como retardado ou

acelerado, dependendo se a velocidade angular diminui

com o tempo ou aumenta, respectivamente.

O movimento circular ocorre quando em diversas

situações que podem ser tomadas como exemplo:

Satélites artificiais descrevem uma trajetória

aproximadamente circular em volta do nosso planeta.

Uma pedra fixada a um barbante e colocada a girar

por uma pessoa descreverá um movimento circular

uniforme.

Discos de vinil rodam nas vitrolas a uma frequência

de 33 ou 45 rotações por minuto, em MCU.

Engrenagens de um relógio de ponteiros devem

rodar em MCU com grande precisão, a fim de que não

se atrase ou adiante o horário mostrado.

A translação da lua em torno do planeta Terra.

Uma ventoinha em movimento.

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