fis06parteii ondas

PARTE II: ONDAS MECÂNICAS

OOOBBBJJJEEETTTIIIVVVOOOSSS::: Esta unidade destina-se à apresentação dos principais conceitos relativos a ondas mecânicas. Ao final desta unidade espera-se que os alunos sejam capazes de: (a) conceituar ondas mecânicas e as diferentes propriedades a elas relacionadas; (b) calcular as funções e os parâmetros das ondas progressivas em diversas situações; (c) realizar cálculos dos parâmetros de ondas estacionárias.

LLLEEEIIITTTUUURRRAAA RRREEECCCOOOMMMEEENNNDDDAAADDDAAA::: Para uma melhor compreensão deste assunto, o aluno deverá ler o(s) seguinte(s) livro(s): (a) CURSO DE FÍSICA BÁSICA – H. M. Nussenzveig – V. 2 – 2a Ed.; Cap. 5 – pág. 154 a 193. (b) FÍSICA - R. Resnick & D.Halliday - Vol.2 - 4a Edição; Cap.19 - pág. 108 a 138

BBBRRREEEVVVEEE RRREEESSSUUUMMMOOO DDDAAA TTTEEEOOORRRIIIAAA::: 1. O CONCEITO DE ONDA (ondas progressivas)

Num sentido bastante amplo, uma onda é qualquer sinal que se transmite de um ponto a outro de um meio, com velocidade definida, sem que haja transporte direto de matéria.

A onda transporta energia e momento, ou seja, é capaz de realizar trabalho e causar impulso.

Como exemplos de ondas, podemos citar o sinal transmitido na superfície da água por uma pedra que cai num lago, a onda de compressão numa mola, a onda sonora e a onda eletromagnética.

De um modo geral, quando uma onda se propaga num meio elástico, os pontos deste meio oscilam em torno das posições de equilíbrio.

2. CLASSIFICAÇÕES DAS ONDAS As classificações de ondas progressivas podem ser feitas conforme diversos aspectos

relacionados à propagação da energia. 2.a) Ondas progressivas e estacionárias.

Chamamos uma onda de progressiva se esta transmite energia de um ponto a outro. Caso contrário, se a onda serve “apenas” para armazenar a energia, sem transmiti-la de um ponto a outro, chamamos de onda estacionária. Como exemplo de onda estacionária, podemos apresentar a onda formada numa corda de violão. Mais adiante, ainda nessa unidade, iremos desenvolver a teoria sobre ondas estacionárias.

2.b) Ondas uni, bi e tridimensionais. Uma onda é dita unidimensional se a energia transmitida se propaga ao longo de uma única direção (ex: onda numa corda). Já numa onda bidimensional a energia se propaga ao longo de uma superfície (ex: onda na superfície da água). Nas tridimensionais a energia se propaga em todas as direções do espaço (ex: ondas sonoras, ondas de rádio).

2.c) Ondas transversais e longitudinais. Uma onda é dita longitudinal se os pontos do meio material oscilam na mesma direção em que se dá a propagação da energia transportada pela onda (ex: onda de compressão na mola, onda sonora). Já nas ondas transversais, os pontos do meio material oscilam numa direção transversal (perpendicular) à direção de propagação da onda (ex: onda numa corda, onda no lago, onda eletromagnética).

2.d) Pulso e trem de ondas. Definimos pulso ondulatório quando o sinal, ou perturbação, transmitida pela onda ocorre uma única vez (neste caso os pontos do meio material oscilam apenas uma vez). Teremos trem de ondas se os pulsos forem gerados repetidas vezes. O trem será periódico se a repetição se der em intervalos iguais de tempo (e neste caso os pontos do meio irão oscilar de forma periódica).

UUUNNNIIIDDDAAADDDEEE 000333::: OOOnnndddaaasss MMMeeecccââânnniiicccaaasss Prof. Paulo Sizuo Waki

Paulo Waki Página 1 3/2/2010

3. FUNÇÃO DE ONDA

Vamos iniciar o estudo abordando o caso mais simples, em que as ondas se propagam numa única direção. Consideremos um pulso ondulatório que se propaga numa corda esticada na direção x, no sentido positivo.

O pulso está se movendo com velocidade v, de forma que após um tempo t estará deslocado de uma distância v.t em relação à sua posição inicial. Se a forma do pulso se manteve inalterada, do ponto de vista matemático a função que a descreve continua a mesma, apenas deslocada de v.t para a direita, ou, de forma equivalente, o eixo y se deslocando para a esquerda. Assim, a função de onda pode ser escrita como:

( ) ( )tvxftxy ., −= (3.1)

Na figura ao lado, um pulso está se propagando para a direita. A forma deste pulso é dada pela função matemática: ( )0,xfy =

t=0

O x

y

v

vt

O

v t=t

O’

y' y

xA expressão (3.1) é chamada função de onda para uma onda progressiva unidimensional.

É fácil notarmos que, para ondas se propagando para a esquerda, teremos: ( ) ( )tvxftxy ., += . Para ondas tridimensionais, teremos: ( ) ( )tvztvytvxftzyxy zyx .,.,.,,, −−−= , que pode ser

escrita de forma compacta usando a notação vetorial. ( ) ( )tvrftry ., rrr

−= onde: zzyyxxr ˆˆˆ ++=r

e zvyvxvv zyx ˆˆˆ ++=r

(3.2) Pode-se afirmar que qualquer onda que se propaga no espaço pode ser descrita em termos

de uma função matemática, chamada FUNÇÃO DE ONDA, que descreve a forma dessa onda no espaço e no tempo.

4. EQUAÇÃO DE ONDA Toda função de onda é solução de uma equação diferencial, chamada EQUAÇÃO DE

ONDA, que estabelece as condições físicas da propagação ondulatória.

Derivando duas vezes (3.1) em relação a x temos: ( )( ) (( tvxf ))x

txyx

., 2

2

2

2

−∂∂

=∂∂ (4.1)

Derivando duas vezes (3.1) em relação a t temos: ( )( ) ( )( tvxft

txyt

., 2

2

2

2

− )∂∂

=∂∂ (4.2)

Definindo: tvxu .−= , teremos: 1=∂∂

xu e v

tu

−=∂∂ (4.3)

De (4.1) , (4.2) e (4.3) teremos: ( )( ) ( )( )ufu

txyx 2

2

2

2

,∂∂

=∂∂ e ( )( ) ( )( )uf

uvtxy

t 2

22

2

2

,∂∂

=∂∂

Donde concluímos: ( )( ) ( )( txyt

)v

txyx

,1, 2

2

22

2

∂∂

=∂∂

(EQUAÇÃO DE ONDA EM 1 DIMENSÃO)

Para ondas tridimensionais teremos: ( )( ) ( )( )trytv

try ,1, 2

2

22 rr

∂∂

=∇

5. ONDAS HARMÔNICAS Um caso particular extremamente importante é o de ondas harmônicas, assim chamadas

porque a perturbação, num dado ponto x, corresponde a uma oscilação harmônica simples. O perfil da onda será, assim, uma função senoidal. ( ) ( )δ+= kxAxf cos (5.1)


Para uma onda progressiva que se propaga para a direita, substituímos x por (x-v.t), donde:

( ) ( )( )δ+−= vtxkAtxy cos, (5.2)

Podemos reescrever a expressão (5.2): ( ) ( )δ+−= tvkkxAtxy ..cos, onde podemos identificar

Tfvk ππω 2..2. === , obtendo: ( ) ( )δω +−= tkxAtxy .cos, (5.3)

Parâmetros de um MHS: ω (freqüência angular); f (freqüência) e T (período).

Se os pontos do meio executam MHS, que é um movimento oscilatório e periódico, podemos concluir que pelo meio está passando um trem de ondas periódico. Mais ainda, pela forma da função de onda, podemos afirmar que o trem de ondas é senoidal.

y

x

A

-A λ

Instantâneo da onda:Representação de um trem de ondas senoidal para um dado instante t (fixo). λ - comprimento de onda

(distância de separação entre dois pontos semelhantes consecutivos)

Oscilação de um ponto:Representação gráfica da oscilação de um ponto do meio: posição x fixa. T – período da onda

(separação temporal entre duas oscilações consecutivas)

y

t

A

-A T

5.1) Relações entre os parâmetros de uma onda senoidal Lembrando que a função seno possui periodicidade 2π , da análise da expressão (5.3) é

fácil ver que:

kk πλπλ 22. =⇒= e ωππω 22. =⇒= TT

Lembrando que: vk.=ω , obtemos: Tv.=λ

Nomenclatura:

λ : comprimento de onda T : período temporal k : número de ondas ω : freqüência angular A : amplitude da onda f : frequência

( ) δωϕ +−= tkxtx, : fase da onda δ : constante de fase

5.2) Expressões alternativas para a função de onda harmônica As funções trigonométricas permitem mais de uma forma de expressão. A expressão (5.3)

pode ser escrita como:

( ) ( )δω +−= tkxAtxy .sen,

ou ( ) ( )[ ]{ }δω +−= tkxiAtxy .expRe,

5.3) Função de onda harmônica tridimensional A generalização para ondas harmônicas tridimensionais é bastante simples, obtendo:

( ) ( )δω +−= trkAtry ..cos, rrr


6. EXEMPLO: EQUAÇÃO DAS CORDAS VIBRANTES Como exemplo de aplicação vamos estudar vibrações transversais em uma corda esticada,

como os que encontramos em instrumentos musicais de cordas (violão, violino, piano, harpa...). Imaginemos uma corda de densidade μ, massa por unidade de comprimento, tracionada por uma tensão T.

Δx x

y T-T

A massa do elemento infinitesimal de corda será: xm Δ=Δ .μ

Se um pulso de onda for introduzido na corda, os seus pontos irão sofrer deslocamentos em relação à posição de equilíbrio, quando o pulso estiver passando por eles.

Supondo que o pulso cause somente pequenos deslocamentos dos pontos da corda, de modo que se possa considerar a magnitude da tensão F como sendo constante ao longo da mesma, pode-se fazer uma análise do comportamento dinâmico do elemento Δx.

Δx

y

x

De modo análogo, podemos escrever a componente y no ponto x+Δx:

( ) ( ) ( )x

txxyFxxFxxF∂

Δ+∂=Δ+≈Δ+

,tansen θθ

A força vertical resultante sobre o elemento Δx da corda é dada por:

( ) ( )( ) ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ∂

∂−

∂Δ+∂

Δ=∂

∂−

∂Δ+∂

xx

txyx

txxy

xFx

txyFx

txxyF

,,,,

O termo entre colchetes é a própria definição da derivada ( )

2

2 ,x

txy∂

∂ , donde teremos:

( )2

2 ,..x

txyxFFres ∂∂

Δ=

Por outro lado, da 2a Lei de Newton temos: ( ) ( )

2

2

2

2 ,..,..t

txyxt

txymamFres ∂∂

Δ=∂

∂Δ== μ

Obtemos assim: ( ) ( )

2

2

2

2 ,,t

txyx

txyF∂

∂=

∂∂ μ ( ) ( )

2

2

2

2 ,,t

txyFx

txy∂

∂=

∂∂ μ

Identificando com a Equação de onda em 1 dimensão: ( ) ( )

2

2

22

2 ,1,.t

txyvx

txy∂

∂=

∂∂

Obtemos, finalmente: μFv = que é a expressão da velocidade de propagação da onda.

F

F

y A componente y da tensão no ponto x, devida à porção da corda à esquerda do ponto x, é dada por:

( ) ( ) ( )x

txyFxFxF∂

∂=≈

,tansen θθ

onde θ é o ângulo entre a tangente à corda e o eixo Ox que, no caso, estamos considerando como sendo pequeno (θ<<1).

θ(x+Δx)

θ(x)

O x x x+Δx


7. ENERGIA, POTÊNCIA E INTENSIDADE DE UMA ONDA Conforme mencionado no item 1 deste texto, uma onda progressiva transporta energia.

Neste item iremos ver como se calcula essa energia transportada pela onda. Quando se fala em energia transportada pela onda, devemos lembrar que essa energia será

responsável pela oscilação dos pontos do meio material (elástico) que suporta a onda. Dessa forma, a energia será a própria energia de oscilação dos pontos do meio.

Retomemos o exemplo da onda senoidal gerada numa corda esticada:

O elemento de corda de massa Δm oscila em MHS de amplitude A, donde a energia associada será: y

222

21

21 AmKAE ωΔ==Δ

A energia de oscilação ΔE é introduzida no ponto x pela passagem da onda. Num processo

contínuo, haverá a introdução de novas quantidades de energia no início da corda e, portanto, a transmissão dessa energia se dará de forma contínua no tempo. Definimos assim a potência média transmitida pela onda:

2222 ..21

21 AvA

tx

tEP ωμωμ =

ΔΔ

=ΔΔ

=

sendo v a velocidade de propagação da onda através da corda.

7.1) Intensidade de uma onda Em geral, as ondas na natureza são tridimensionais, ou seja, a energia se propaga em todas

as direções do espaço. Mesmo quando a direção de propagação seja uma única, o fluxo de energia se dá através do espaço tridimensional, donde podemos definir uma grandeza que expresse uma densidade de potência transmitida pela onda, por unidade de área da secção transversal através da qual escoa a energia.

Para ondas unidimensionais costuma-se associar a intensidade de onda à própria potência média transportada.

8. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO Sejam y1(x,t) e y2(x,t) duas soluções quaisquer da equação de ondas unidimensionais

( )( ) ( )( txytv

txy )x

,1, 2

2

22

2

∂∂

=∂∂

. Da teoria de equações diferenciais, qualquer combinação linear

dessas duas soluções também será solução da equação: ( ) ( ) ( txbytxaytxy ,,, 21 + )= . Este princípio remete a propriedades importantíssimas dos fenômenos ondulatórios.

8.1) Interferência de ondas Por uma questão de simplicidade, os desenvolvimentos a seguir serão para ondas

unidimensionais. No entanto, a generalização para casos tridimensionais é sempre válida. Sejam: ( ) ( 11111 cos, )δω +−= txkAtxy e ( ) ( )22222 cos, δω +−= txkAtxy . A onda resultante

da superposição dessas duas será: ( ) ( ) ( )txytxytxy ,,, 21 += .

Δm onde K é a constante elástica de restituição do MHS e, lembrando que xm Δ=Δ .μ , teremos:

22..x x x+ΔxO

21 AxE ωμ Δ=Δ

fonte S

A intensidade da onda será definida como:

SPI =

Onde P é a potência média e S a área da secção transversal à direção de propagação da onda (frente de onda).


8.1a) Interferência de ondas na mesma direção e sentido e com freqüências iguais Neste caso teremos: ( ) ( )111 ..cos, δω +−= txkAtxy e ( ) ( )222 ..cos, ω δ= − +txkAtxy . A

onda resultante da superposição dessas duas será:

( ) ( ) ( ) ( )1221 ..cos,,, δω +−=+= txkAtxytxytxy

onde: 122122

21

2 cos2 δAAAAA ++= e 1212 δδδ −= é a diferença de fase entre as ondas.

Como as intensidades das ondas são proporcionais aos quadrados das amplitudes, pode-se

obter facilmente que: 122121 cos2 δIIIII ++= .

8.1b) Interferência de ondas na mesma direção e sentido, amplitudes iguais e freqüências próximas: BATIMENTO

Pode-se considerar, sem perda de generalidade, que as fases iniciais sejam nulas. Tem-se, portanto: ( ) ( txkAtxy 111 cos, )ω−= e ( ) ( )txkAtxy 222 cos, ω−= . A onda resultante será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]txktxkAtxytxytxy 221121 coscos,,, ωω −+−=+=

Usando a identidade trigonométrica: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+2

cos2

cos2coscos βαβαβα

Obtêm-se: ( ) ( )txktxkAtxy ..cos22

cos2, ωω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−Δ

=

Onde: 221

21kkkkkk +

=<<−=Δ e 221

21ωωωωωω +

=<<−=Δ

A expressão da onda resultante pode ser reescrita como:

( ) ( ) ( )txktxtxy ..cos,, ω−Α= com ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−Δ

=Α txkAtx22

cos2, ω

que pode ser interpretada como sendo uma onda de freqüência ω elevada, cuja amplitude é modulada por outra onda de freqüência ( tx,Α ) ωΔ bem mais baixa. Este fenômeno é

conhecido como batimento e pode ser representado graficamente como segue abaixo:

Velocidade de fase:

kv ω

=

Em muitos casos a velocidade de fase varia com o comprimento de onda (ou com o número de ondas k).

( ) ( )kvkk

kv ff .=⇒= ωω

Obtendo-se: ff

fg vdkdv

kvdkdv ≠+==

ω

Quando a velocidade de grupo é diferente da velocidade de fase, diz-se que ocorre dispersão.

G

F

vg f

é a velocidade com que se desloca um ponto de fase constante.

Veloc. de grupo: dkd

kvg

ωω≈

ΔΔ

=

é a velocidade com que se desloca o grupo de ondas como um todo.

vf


8.1c) Interferência de ondas de amplitudes e freqüências iguais, de mesma direção e sentidos opostos: ONDAS ESTACIONÁRIAS

Pode-se considerar, sem perda de generalidade, que as fases iniciais sejam nulas. Tem-se, portanto: ( ) ( tkxAtxy .cos,1 )ω−= e ( ) ( )tkxAtxy .cos,2 ω+= . A onda resultante será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )txkAtxytxytxy .cos.cos2,,, 21 ω=+=

A figura da onda resultante será: Os pontos N permanecem sempre em

repouso, e chamam-se nodos. Os pontos V, situados a meio caminho entre os nodos oscilam até a amplitude máxima e são chamados ventres. Neste caso não há transporte de energia ao longo do meio, pois se os nodos nunca oscilam, por eles não há passagem de energia, que fica “aprisionada” entre os nodos.

y

x

2A

N 2A

V N V

A onda estacionária não transporta energia porque as ondas componentes têm fluxos de energia iguais e contrários, que se cancelam na resultante, de modo que o fluxo médio de energia é nulo.

9. REFLEXÃO DE ONDAS Imaginemos um pulso de onda se propagando numa corda de comprimento L, presa nas

duas extremidades: O pulso ondulatório que se propaga

para a direita, vai “puxando” os pontos da corda para cima a medida em que vai passando por ela. Quando chega ao final da corda, ao tentar puxar o último ponto para cima, como este está fixo à parede, sofre a reação da parede, tendo como resultado uma onda (refletida) para baixo. Quando o pulso refletido (e invertido) atinge a extremidade à esquerda, como esta se encontra presa ao gerador, sofrerá nova inversão e retorna para a direita, recomeçando todo o processo. Se o gerador de vibrações estiver gerando um trem de ondas senoidal, a superposição de ondas que caminham para a direita e as ondas refletidas (que caminham para a esquerda) podem gerar ondas estacionárias, desde que certas condições estejam satisfeitas. Essas condições são chamadas CONDIÇÕES DE RESSONÂNCIA e correspondem à situação onde o retorno da onda refletida ao gerador coincide com a geração de novo pulso para cima, originando uma interferência construtiva.

gerador de vibrações

L

v

v

v

v

v


9.1) Condição de ressonância para cordas fixas nas duas extremidades Se a distância 2L (L é o comprimento da onda) for igual ou múltiplo inteiro do comprimento

de onda, a onda duplamente refletida estará em fase com a nova onda que está sendo gerada no momento da segunda reflexão, ocorrendo assim uma interferência construtiva. Então, cada nova onda gerada, estará em fase com as ondas refletidas pelo gerador, e a amplitude continuará crescendo a medida em que a onda for recebendo energia do gerador (ressonância). O processo continuará até que seja atingida uma amplitude máxima, quando ocorrerá o equilíbrio entre a energia absorvida e dissipada.

A condição de ressonância será que a distância 2L seja igual a múltiplo inteiro do comprimento de onda:

λnL =2 com n = 1, 2, 3, ....... Ou, escrevendo em termos de freqüência:

fvnL =2 L

vnf2

= com n = 1, 2, 3, .......

Lembrando que numa corda temos: μFv =

Escrevemos: 1. fnfn = (Freqüências Naturais)

Onde μF

LLvf

21

21 == (Freqüência Fundamental)

9.2) Condição de ressonância para cordas fixas em uma extremidade Consideremos uma corda fixa na extremidade junto ao gerador e livre na outra.

Condição de ressonância: 22 TnvL

= com n = 1, 3, 5, 7, .......

v

v

v Quando a onda é refletida na extremidade livre, ela não será invertida, ocorrendo a inversão somente por ocasião da segunda reflexão, junto ao gerador. Agora, a interferência construtiva ocorrerá somente quando o intervalo de tempo necessário para a onda percorrer 2L for múltiplo inteiro e ímpar de semiperíodo.

Ou, escrevendo em termos de freqüência: Lvnf

4= com n = 1, 3, 5, 7, .......

Ou ainda: 1. fnfn = com n = 1, 3, 5, ... (Freqüências Naturais)

Onde μF

LLvf

41

41 == (Freqüência Fundamental)

10. MODOS NORMAIS DE VIBRAÇÃO Há uma forma alternativa de proceder a análise do item anterior, que dispensa a discussão

em cima de ondas progressivas que sofrem reflexões, proporcionando uma visão diferente do mesmo problema, através de ondas estacionárias que correspondam aos modos normais de vibração.


Para o exemplo da corda fixa nas duas extremidades, essa situação pode ser expressa pelas condições de contorno:

( ) ( ) 0,,0 == tLyty para qualquer instante t. Um modo normal se caracteriza pelo fato de todos os elementos da corda oscilarem com a

mesma freqüência e em fase. Cada ponto da corda oscila com uma amplitude A(x) característica do modo e a função de onda pode ser escrita como:

( ) ( ) ( )δω += txAtxy .cos, que corresponde a uma onda estacionária.

Sendo uma função de onda, deve satisfazer à equação de onda:

( )( ) ( )( txytv

txy )x

,1, 2

2

22

2

∂∂

=∂∂

( ) ( ) ( ) ( )δωωδω +−=+

∂∂ txA

vt

xxA .cos.cos 2

2

2

2

resultando na equação: 022

2

=+∂∂ Ak

xA

com: v

k ω=

A solução geral dessa equação será: ( ) ( ) ( )kxbkxaxA sencos +=

Para que as condições de contorno sejam satisfeitas teremos: ( ) ( ) 00 == LAA donde teremos: ( ) 00 == aA ( ) ( )kxbxA sen=

donde teremos: ( ) ( ) 0sen == kLbLA ( )L

nkkL nπ

=⇒= 0sen com ...3,2,1=n

Como v

k ω= teremos: v

Lnvknn

πω == Lvnfn 2

= como obtido anteriormente.

( ) ( ) ( )= +ω δtxAtxy .cos, ficam sendo: As expressões dos modos normais de vibração

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= nnn vt

Lnx

Lnbtxy δππ cossen, (n = 1, 2, 3, ...)

11. ANÁLISE E SÍNTESE DE FOURIER Apesar de todos os desenvolvimentos aqui apresentados serem para ondas harmônicas,

isto não quer dizer que a teoria sofre limitações, sendo válida somente para estes tipos de ondas. Como foi enunciado por Fourier em 1807, toda função periódica pode ser descrita como uma série de funções senos e cossenos, ou seja, qualquer forma de onda pode ser estudada como sendo a superposição de ondas harmônicas com amplitudes e fases adequadas.

Se, ao invés de um trem de ondas periódico, tivermos um pulso ou um trem não periódico, ainda assim os mesmos poderão ser descritos em termos de ondas harmônicas. Neste caso, usa-se a transformada de Fourier, ou seja, uma “série contínua” de funções trigonométricas para escrever a função de onda desejada.

Trem de ondas periódico: ( ) (∑∞

=

++=1

cos,n

nnnn txkAtxy δω )

Pulso ou trem não-periódico: ( ) ( ) ( )[ ] ωωω dxdtkxikgtxy .exp,, −= ∫∫∞

EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS RRREEESSSOOOLLLVVVIIIDDDOOOSSS::: 1) Mede-se a velocidade v de propagação de ondas

transversais num fio com uma extremidade presa uma parede e que é mantido esticado por um peso suspenso na outra extremidade. Ao se mergulhar o bloco na água, até que 2/3 de sua altura fique submerso, verifica-se que a velocidade de propagação cai para 95,5% da anterior. Determine a densidade do bloco em relação à água.


Antes de se mergulhar o bloco na água, a tensão F na corda era igual ao peso do bloco:

mgPF ==

Logo, a velocidade de propagação da onda era: μμ

mgFv == .

Mergulhando o bloco (até 2/3 de sua altura) na água, o empuxo irá reduzir o valor de F.

A nova força que traciona a corda será, portanto:

( ) gVFgVVEPF BABAABB ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇒−=−= μμμμ

32''

A nova velocidade será dada por:

μ

μμ

μ

gVFv

BAB

F

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==32

'

Antes de mergulharmos o bloco na água tínhamos: μ

μμμ

gVmgFv BB===

Como vvF .955,0=μ

μμ

μμgV

gVBB

BAB

955,032

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

BAB μμμ 912,032

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ABB μμμ32912,0 =− AB μμ

32088,0 = AB μμ .6,7=

A tração em z será: MgF = onde ( )zLM −= μ e ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

mkg

Lm 50,0

0,20,1μ

Portanto: ( )gzLF −= μ

g

z

L-z

z=0

2) Uma corda de comprimento L= 2,0 m e massa m = 1,0 kg encontra-se presa ao teto conforme mostra a ilustração ao lado. Um vibrador colocado junto ao teto gera ondas de freqüência f = 15,5 Hz na corda. Determine a expressão do comprimento de onda gerada na corda, como função da posição vertical z, medida a partir do vibrador. (Dica: a tração que mantem a corda esticada é o próprio peso desta e, neste caso, para cada trecho da corda, somente a parcela da corda situada abaixo é que exerce a tração).

Resolução:Considera-se um pequeno elemento de corda situado na posição z. A tração sobre este elemento é exercido pelo peso da corda que se encontra situado abaixo de z.

E

P

Peso do corpo: gVmgP BBμ== onde μB é a densidade do bloco e V

B

BB o volume do bloco.

Empuxo: gVE AAμ= onde μA é a densidade da água e VA o volume da água deslocada pela parte submersa do bloco:

BA VV32

=


A velocidade da onda em z será: ( )gzLFv −==μ

O comprimento de onda será: fvTv == .λ

( )f

gzL −=λ ( )z−= 0,220,0λ

3) A função de onda estacionária numa corda é dada por: ( ) ( ) ( )txtxy .800cos.4cos04,0, ππ= . Se a corda tem 1,25 m de comprimento e a sua massa é 2,5 g, pede-se:

(a) O comprimento de onda e a freqüência das ondas que geraram a onda estacionária.

Analisando a expressão da função de onda, temos: λππ 24 ==k m5,0=λ

A freqüência pode ser calculada a partir de ω que, por sua vez, pode ser obtido a partir da

função de onda estacionária: ω = 800π e ππ

πω

2800

2==f Hzf 400=

(b) A amplitude de cada onda original que se superpõe. A expressão geral da função de onda estacionária é: ( ) ( ) ( txkAtxy .cos.cos2, )ω= , donde a

amplitude A de cada onda que se superpõe é: 204,0

=A mA 02,0=

(c) A quantidade de nós da onda estacionária (excetuando os nós nas extremidades).

A distância entre dois nós numa onda estacionária é: mdnos 25,02

==λ

.

Dividindo o comprimento total da corda pela distância entre os nós têm-se: 525,025,1

==n .

Donde se conclui que a onda possui 5 ventres e 4 nós , excetuando-se os extremos.

(d) A intensidade da tensão na corda.

Do item (a) podemos obter a velocidade de propagação das ondas na corda: fv .λ= .

Por outro lado: ( )222 .. fLmv

LmvFFv λμ

μ===⇒= NF 80=

Solução:

A força de tração na corda será: e a densidade linear da corda: MgF =Lm

=μ

A velocidade da onda será: m

MgLFv ==μ

Como a onda estacionária terá 4 ventres, tem-se:

4) Uma corda de 1,4 m de comprimento e 19,6 g de massa, presa nas duas extremidades, encontra-se tracionada por uma massa M, conforme é mostrada na figura ao lado. Determinar o valor de M para que seja estabelecida uma onda estacionária na corda, com 4 ventres e período T = 0,10 s.

4 ventres n = 4


A condição de ressonância leva a freqüência: mLMg

Lvf 2

24 ==

A relação entre a freqüência e o período é: MgmLT

MgmLT

Tf

41

211 2 =⇒=⇒=

Finalmente: 241

gTmLM = kgM 210.0,7 −=

EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS PPPRRROOOPPPOOOSSSTTTOOOSSS::: 1) Uma corda uniforme, de 20 m de comprimento e massa 2,0 kg, está esticada sob uma

tensão de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma das extremidades da corda, com amplitude de 3,0 cm e freqüência de 5,0 Hz. Se no instante inicial o deslocamento da extremidade da corda era 1,5 cm para cima, pede-se: (a) a velocidade de propagação e o comprimento de onda; (b) a expressão do deslocamento transversal y de um ponto da corda situado na posição x; (c) a intensidade I da onda progressiva gerada. (Desprezar a reflexão no problema).

Respostas: (a) v = 10 m/s; (b) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++= −

3.10.cos10.0,3, 2 π

ππ txtxy ; (c) I = 0,89 watt

2) Desprezando efeitos de tensão superficial, pode-se mostrar que ondas na superfície da água, com comprimento de onda muito menor que a profundidade da água, propagam-se

com velocidade de fase πλ

2gv f = , onde g é a aceleração da gravidade. Mostre que a

velocidade de grupo correspondente é fg vv21

= .

3) Duas ondas transversais de mesma freqüência f = 100 s-1 são produzidas num fio de aço de 1 mm de diâmetro e densidade 8 g/cm3, submetido a uma tensão F = 500 N. As ondas são dadas por: ( ) ( ) ( ) ( )tkxAtxy .sen2,26/.cos,1 − + πω= tkxAtxy e − ω= com A = 2 mm. (a) Escreva a expressão da onda harmônica progressiva resultante da superposição dessas duas ondas. (b) Calcule a intensidade da resultante. (c) Se fizermos variar a diferença de fase entre as duas ondas, qual é a razão entre os valores máximo e mínimo possíveis da intensidade da resultante? Respostas: (a) ( ) ( )3/2.2002,2cos10.5,3, 3 ππ ++= − txtxy ; (b) I = 4,2 watt ; (c) razão = 5

4) A equação de uma onda estacionária numa corda é dada por: ( ) ( ) ( )tkxAtxy .cossen, ω= onde ; e . (a) Calcule a distância entre os nós. (b) Qual o comprimento de onda das ondas que geram a onda estacionária? (c) Qual a freqüência de vibração? (d) Com que velocidade as ondas se propagam? (e) Qual a amplitude de cada onda original que se superpõe?

mA 04,0= 14 −= mk π 1.800 −= sπω

Respostas: (a) d = 0,25 m ; (b) λ = 0,5 m ; (c) f = 400 Hz ; (d) v = 200 m/s ; (e) A = 0,02 m

5) Uma corda de 1,0 m de comprimento e 5,0.10-3 kg de massa, está sob tensão de 50 N. (a) Qual a velocidade da onda que se propaga na corda? (b) Se a corda estiver vibrando em quatro segmentos (com cinco nós), qual a freqüência do som que ela estará produzindo? (c) Supondo que a onda estacionária tenha amplitude A, escreva a função de onda para a onda estacionária, tomando como origem uma das extremidades. Respostas: (a) v = 100 m/s ; (b) f = 200 Hz ; (c) ( ) ( ) ( txAtxy .400cos.4cos, )ππ=

6) A corda mi de um violino tem uma densidade linear de 0,5 g/m e está sujeita a uma tensão de 80 N, afinada para uma freqüência f = 660 Hz. (a) Qual é o comprimento da corda? (b) Para tocar a nota lá da escala seguinte, de freqüência 880Hz, prende-se a corda com um dedo, de forma a utilizar apenas uma fração Q do seu comprimento. Calcule o valor de Q.


Respostas: (a) L = 0,30 m ; (b) Q = 0,75

7) Uma corda uniforme de comprimento L, densidade linear μ e tensão F, vibra com amplitude An no enésimo modo (enésimo harmônico). Mostre a que a sua energia total de oscilação é dada por: onde f é a freqüência. ( ) LAfE n .. 22 μπ=

8) Um fio de alumínio de comprimento L1 = 60,0 cm e 1,00.10-2 cm2 de área transversal está soldado a um fio de aço de mesma área transversal e com L2 = 86,6 cm. O fio assim constituído suporta um bloco de massa 10,0 kg. Uma fonte externa de freqüência produz ondas transversais no fio. (a) Determine a freqüência mais baixa capaz de estabelecer onda estacionária com nó na junção dos fios.

L2L1

Alumínio Aço

(b) Qual é o número de nós observados nessa freqüência, excetuando os dois das extremidades? (Densidade do alumínio é 2,60 g/cm3 e a do aço 7,80 g/cm3)

Respostas: (a) f = 326 Hz ; (b) N = 6 nós


PARTE II: ONDAS MECÂNICAS UU

OOOBBBJJJEEETTTIIIVVVOOOSSS::: Esta unidade destina-se à apresentação dos principais conceitos relativos a ondas sonoras. Ao final desta unidade espera-se que os alunos sejam capazes de: (a) conceituar ondas sonoras e calcular os principais parâmetros; (b) conceituar as principais propriedades da propagação de ondas sonoras, calculando alguns

parâmetros; (c) realizar cálculos de variações de freqüências por efeito Doppler; (d) Conceituar altura e timbre em sons musicais.

LLLEEEIIITTTUUURRRAAA RRREEECCCOOOMMMEEENNNDDDAAADDDAAA::: Para uma melhor compreensão deste assunto, o aluno deverá ler o(s) seguinte(s) livro(s): (c) FÍSICA - R. Resnick & D.Halliday - Vol.2 - 4a Edição; Cap.20 - pág. 139 a 164 (d) CURSO DE FÍSICA BÁSICA – H. M. Nussenzveig – V. 2 – 2a Ed.; Cap. 6 – pág. 194 a 249.

BBBRRREEEVVVEEE RRREEESSSUUUMMMOOO DDDAAA TTTEEEOOORRRIIIAAA::: 1. O CONCEITO DE ONDAS SONORAS

As ondas sonoras são ondas mecânicas longitudinais que podem se propagar em sólidos, líquidos e gases. As partículas materiais que transmitem a onda oscilam paralelamente à direção de propagação da própria onda. O intervalo de freqüência audível (ondas que podem ser percebidas pelo ouvido humano) fica entre 20 Hz e 20 kHz. Abaixo deste intervalo estão as ondas infra-sônicas e acima as ultra-sônicas.

Os infra-sons de interesse são geralmente produzidos por fontes de grande tamanho, sendo exemplos os terremotos. Os ultra-sons podem ser produzidos por efeito piezelétrico, que consiste em vibrações de cristal de quartzo induzidos por ressonância com um campo elétrico. Já as ondas audíveis originam-se em cordas vibrantes (violino, cordas vocais humanas, etc...), em colunas de ar em vibração (órgão, clarineta, etc...) e em placas e membranas vibrantes (xilofone, alto-falante, tambor, etc...). Todos estes elementos vibrantes comprimem e rarefazem o ar em volta, num movimento de vai-e-vem.

Uma onda sonora periódica, ou aproximadamente periódica, produzem uma sensação agradável, e podem ser os sons musicais. Já o barulho é essencialmente aperiódico, podendo ser representado pela superposição de um grande número de componentes periódicos.

2. PROPAGAÇÃO DE ONDAS LONGITUDINAIS EM TUBOS Se não encontrarem obstáculos, as ondas sonoras se propagam em todas as direções do

espaço, exigindo tratamento para a descrição tridimensional de seu comportamento. Pode-se obter um tratamento simplificado de propagação unidimensional, estudando a propagação do som por um tubo.

Se o êmbolo oscilar para a frente e para trás, um conjunto de compressões e rarefações se propagará ao longo do tubo, de modo semelhante às ondas transversais numa corda. Podemos expressar, usando as leis de Newton, a velocidade de propagação dessa onda. De início consideraremos o tubo como sendo muito longo, de modo que possam ser desprezadas as reflexões na extremidade direita do tubo.

UNNNIIIDDDAAADDDEEE 000444::: OOOnnndddaaasss SSSooonnnooorrraaasss Prof. Paulo Sizuo Waki


Considera-se um pulso de compressão se propagando para a direita, dentro de um tubo.

C A

Zona de compressão p + Δp p p

v B

v + Δv v • Por simplicidade, consideram-se uniformes a pressão e a massa específica do fluido,

tanto na zona de compressão quanto na região não comprimida (obviamente os valores são diferentes em cada uma delas).

v.Δt (v + Δv).Δt v.Δt

• Considera-se um sistema de referencial que acompanha o pulso que se propaga para a direita (isto é, o pulso permanece em repouso neste referencial). Neste caso, tudo se dá como se o meio se propagasse para a esquerda.

• O elemento de fluido situado em A desloca-se para a esquerda com velocidade v. Ao chegar no limite da zona de compressão, a diferença de pressão Δp faz com que o elemento seja comprimido e desacelerado. A velocidade nessa zona será (v + Δv), que é menor que v, pois Δv é uma quantidade negativa. Ao sair da zona de compressão, a velocidade volta a ser o que era antes de penetrar na zona.

Pelas Leis de Newton, a força resultante sobre o elemento de fluido enquanto este penetra a zona de compressão será:

( ) mapApAAppF =Δ=−Δ+= onde A é a área da secção reta do tubo.

Teremos assim:

( )tvtvApA

ΔΔ−

Δ=Δ 0ρ

onde 0ρ é a massa específica do fluido fora da zona de compressão. Essa expressão pode ser reescrita como:

vvpv

vpv

/2

00 ΔΔ−

=⇒ΔΔ−

= ρρ

Por outro lado, definindo tAvV Δ= , o volume do elemento de fluido antes da zona de compressão, este volume será comprimido de: ( ) tvAV ΔΔ=Δ . Dessa forma, teremos:

VVpv

vv

tAvtvA

VV

/2

0 ΔΔ−

=⇒Δ

=ΔΔΔ

=Δ ρ

Finalmente, define-se a grandeza denominada módulo volumétrico: VpVB

ΔΔ

−=

Obtendo a expressão da velocidade de propagação da onda no tubo:

0ρBv = (B é uma propriedade elástica característica do meio)

3. FUNÇÕES DE ONDAS SONORAS Uma onda sonora pode ser considerada tanto como uma onda de deslocamento quanto

uma onda de pressão.

3.1) Onda de deslocamento Neste caso, a função de onda pode ser escrita como:

( ) ( )δω +−= tkxytxy m .cos, onde y(x,t) representa o deslocamento de uma partícula a partir de sua posição de equilíbrio. Note-se que o deslocamento y(x,t) se dá na mesma direção da propagação x.

3.2) Onda de pressão

Da relação: VpVB

ΔΔ

−= VVBp Δ

−=Δ


Representando por p a variação de pressão ( )pp Δ≡ em relação ao valor da pressão não perturbado , escreve-se: 0p

xAyAB

VVBp

ΔΔ

−=Δ

−=..

Se fizermos teremos: 0→Δx ( )δω +−=∂∂

−= tkxBkyxyBp m .sen

Como 0ρ

Bv = teremos: [ ] ( )δωρ +−= tkxyvkp m .sen20

Finalmente: ( )δω +−= tkxPp .sen com myvkP 20ρ= (amplitude da pressão)

Observa-se, portanto, que a onda de deslocamento está defasada de 900 em relação à onda de pressão, isto é, quando o deslocamento de um ponto do fluido em relação à posição de equilíbrio for máximo ou mínimo, o excesso de pressão naquele ponto é nulo, e vice-versa.

4. INTENSIDADE DE ONDA SONONORA Como foi visto na Unidade 3, a intensidade da onda sonora será a potência por ela

transmitida por unidade da área da secção transversal por onde essa potência escoa. A energia associada ao elemento de fluido de espessura Δx=v.Δt será:

220

220

22

21

21

21

mmm ytAvyxAymE ωρωρω Δ=Δ=Δ=Δ

A potência média transportada pela onda será: 2202

1myvA

tEotP ωρ=

ΔΔ

=

A intensidade da onda será: 2202

1myv

AotPI ωρ==

A intensidade pode ser escrita em termos da amplitude de pressão: , donde

teremos:

myvkP 20ρ=

420

2

22242

022

vkPyyvkP mm ρ

ρ =⇒= . Dessa forma: 30

2

22

420

2

22

0 21

21

vkP

vkPvI

ρω

ρωρ == .

Finalmente: k

v ω= v

PI0

2

21

ρ=

4.1) Limiar de audibilidade Corresponde à intensidade do som mais fraco que pode ser ouvido pelo ser humano. Seu

valor depende da freqüência. Para uma freqüência típica f = 103 Hz o valor é: I0 = 10-12 W/m2

Para sons se propagando pelo ar a temperatura ambiente ( e ), a

amplitude de pressão associada a I

30 /3,1 mkg≈ρ smv /340≈

0 será: . Já a amplitude de deslocamento

associada será: Å, que é menor que o diâmetro de um átomo.

250 /10.3 mN−≈Ρ

1,010.1,1 11 ≈≈ − mym

4.2) Limiar de sensação dolorosa Corresponde à intensidade sonora máxima que o nosso ouvido pode tolerar. Para uma

freqüência f = 103 Hz o valor é: Im = 1 W/m2

Neste caso, a amplitude de pressão associada a Im será: e a

amplitude de deslocamento associada será: . A dependência com a freqüência se torna maior ainda neste caso, pois o ouvido pode chegar a tolerar pressões adicionais da ordem de 0,5 atm, sem sensação de dor, quando a freqüência é quase nula.

atmmNm42 10.3/30 −≈≈Ρ

mmmym 01,010.1,1 5 ≈≈ −

4.3) Nível de intensidade sonora (α) O nível de intensidade sonora é medido em escala logarítmica, de modo que os incrementos

iguais na escala correspondem a fatores iguais de aumento na intensidade. Uma das razões para isso é o grande alcance de intensidades audíveis, cobrindo muitas ordens de grandeza.


A unidade de nível de intensidade é o bel (homenagem a Alexander Graham Bell). Dois sons diferem de 1 bel quando a intensidade de um é 10 vezes maior que a do outro. Na prática, usa-se o decibel = 0,1 bel. Como intensidade de referência toma-se o valor do limiar de audibilidade I0 = 10-12 W/m2, que corresponde ao nível zero. O nível de intensidade α será:

dbIIi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

010log10α (db = decibéis)

Exemplos típicos de nível sonoro: Limiar de audibilidade 0 db Murmúrio 20 db Música suave 40 db Conversa comum 65 db Rua barulhenta 90 db Avião próximo 100 db

4.4) Sons musicais: altura e timbre A característica que distingue um som musical de um ruído é a periodicidade (pode ser

harmônica ou não). As qualidades que distinguimos num som musical, pelas sensações subjetivas que provoca, são sua intensidade, altura e timbre.

• Intensidade: está relacionada com a amplitude da onda. • Altura: está associada com a freqüência (sons graves e agudos). • Timbre: representa uma espécie de “coloração” do som, que permite distinguir dois sons

de mesma intensidade e altura. Está associada com os perfis (as formas) das ondas periódicas que, embora de mesma freqüência, podem ser bastante distintas quanto aos perfis.

• Notas e escalas musicais: correspondem a sons com certas freqüências bem definidas, obedecendo a convenções estabelecidas no decurso da história. O intervalo entre duas notas musicais de freqüências f1 e f2 é definido pela razão f2/ f1. Em particular, quando f2=2f1, dizemos que é um intervalo de oitava, e os dois sons são percebidos como a mesma nota musical, em alturas diferentes.

Na tabela abaixo são mostrados os intervalos fn/ f1 entre dó e as demais notas na escala diatônica maior “natural” e os intervalos fn/ fn-1 entre duas notas consecutivas.

Nota dó ré mi fa sol lá si dó fn/ f1 1 9/8

(segunda) 5/4

(terça) 4/3

(quarta)3/2

(quinta) 5/3

(sexta) 15/8

(sétima) 2

(oitava) fn/ fn-1 9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15

5. ONDAS LONGITUDINAIS ESTACIONÁRIAS As ondas longitudinais que se propagam ao longo de um tubo são refletidas nas

extremidades dele do mesmo modo que as ondas transversais em uma corda se refletem nas extremidades da corda. A interferência entre as ondas que se propagam em sentidos opostos podem originar ondas estacionárias longitudinais.

Se a extremidade do tubo for fechada, a onda refletida estará defasada de 1800 em relação à onda incidente. A extremidade fechada será um nodo de deslocamento. Deve-se lembrar que um nodo de deslocamento corresponde ao antinodo (ventre) de pressão, e vice-versa.

5.1) Ondas estacionárias em tubos abertos nas duas extremidades

Entrada de ar

L A AN

AA A N

Um tubo de órgão é exemplo simples em que o som se origina em uma coluna de ar em vibração (ondas estacionárias). A coluna de ar ressoará, com suas freqüências naturais de vibração dadas por:

vLnf n 2

= onde n = 1,2,3...

v é a velocidade das ondas na coluna. A freqüência fundamental e os sobretons são excitados simultaneamente. A A N NA N A

N


5.2) Ondas estacionárias em tubos fechados em uma das extremidades

L Num tubo fechado em uma das extremidades, a coluna de ar ressoará, com suas freqüências naturais de vibração dadas por:

vLnf n 4

= onde n = 1,2,3...

v é a velocidade das ondas na coluna. Em um tubo fechado, a freqüência fundamental vale v/4L e apenas os harmônicos ímpares estão presentes. O timbre do som será diferente do timbre de um tubo aberto.

Entrada de ar

A

A A N

A A N N A

N

N N

6. BATIMENTOS

A interferência de duas ondas sonoras de freqüências ligeiramente diferentes gera o fenômeno conhecido como batimento. Por exemplo, num piano essa condição pode ser encontrada quando duas teclas adjacentes são tocadas simultaneamente.

Pode-se considerar, sem perda de generalidade, que as fases iniciais sejam nulas. Tem-se, portanto: ( ) ( txkPtxp 111 cos, )ω−= e ( ) ( )txkPtxp 222 cos, ω−= . A onda resultante será:

( ) ( )txktxkPtxp ..cos22

cos2, ωω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−Δ

=

Onde: 221

21kkkkkk +

=<<−=Δ e 221

21ωωωωωω +

=<<−=Δ

A expressão da onda resultante pode ser reescrita como:

( ) ( ) ( )txktxtxp ..cos,, ω−Ρ= com ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−Δ

=Ρ txkPtx22

cos2, ω

que pode ser interpretada como sendo uma onda de freqüência ω elevada, cuja amplitude é modulada por outra onda de freqüência ( tx,Ρ ) ωΔ bem mais baixa. Graficamente:

Velocidade de fase:

kv ω

=

6. EFEITO DOPPLER

Quando a fonte sonora e o ouvinte se encontram em movimento relativo, a freqüência da onda gerada pela fonte sofre uma distorção quando for recebida pelo ouvinte. Este fenômeno é conhecido como Efeito Doppler.

vg G f

é a velocidade com que se desloca um ponto de fase constante.

Veloc. de grupo: dkd

kvg

ωω≈

ΔΔ

=

é a velocidade com que se desloca o grupo de ondas como um todo.

vf F


6.1) Efeito Doppler para fonte fixa e ouvinte em movimento Considere-se uma fonte sonora pontual em repouso na origem de um sistema de

referencial. Neste caso as frentes de ondas geradas podem ser representadas por círculos concêntricos. Um observador O se aproxima dessa fonte com velocidade vo.

As ondas geradas possuem comprimento de onda λ e se propagam com velocidade v. Se o observador estivesse em repouso em

relação à fonte, receberia vt/λ frentes de onda num intervalo de tempo t. No entanto, como se move com velocidade vo de encontro às frentes, acaba cruzando com uma quantidade adicional vot/λ . Assim, a freqüência f’ que ele ouve, definido como sendo o número de frentes de onda recebido por unidade de tempo, será:

fvvvvv

ttv

tv

f oo

o

D /+

=+

=+

=λ

λλ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

vvff o

D 1

S

vs=0 vo

x

v

A expressão obtida no quadro acima se refere ao caso em que o observador se aproxima da fonte. Para o caso em que o observador se afasta, basta trocarmos o sinal:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

vvff o

D 1

6.2) Efeito Doppler para ouvinte parado e fonte em movimento Quando a fonte se próxima de um observador estacionário, a conseqüência será uma

diminuição do comprimento de onda, pois a fonte desloca-se no sentido do movimento das frentes de onda, que se aproximam do observador e, então, as cristas ficam mais próximas umas das outras.

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

==ssD

D vvvf

fvvvvf

/λ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=s

D vvvff

A freqüência do som ouvido pelo observador será:

Se a freqüência da fonte for f e a sua velocidade de deslocamento vs, durante cada vibração a fonte percorre uma distância vs/f resultando numa diminuição do comprimento de onda que atinge o observador.

fv

fv s

D −=λ

x

vo=0

S

vs

A expressão obtida no quadro acima se refere ao caso em que a fonte se aproxima do observador. Para o caso em que a fonte se afasta, basta trocarmos o sinal:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=s

D vvvff


6.3) Cone de Mach Há muitos casos em que a fonte se move através do meio com velocidade maior do que a

velocidade de fase da onda naquele meio. Em tais casos, a frente de onda adquire a forma de um cone, estando o corpo em movimento localizado no seu vértice. Exemplos deste caso são a onda formada pela proa de uma lancha na água e a “onda de choque” de um avião ou projétil que se movem no ar com velocidade supersônica. A radiação de Cerenkov consiste de ondas luminosas emitidas por partículas carregadas, que se movem em um meio com velocidade maior do que a velocidade da luz neste meio.

Todas as ondas geradas pela fonte entre S0 e S ficam contidas dentro de um cone, com vértice em S e eixo S0S. O ângulo de abertura é dado por:

vvs=αsen

Este cone se chama cone de Mach, e o ângulo α é o ângulo de Mach. A condição para deslocamento supersônico é que o número de Mach (vs/v) seja maior que 1.

1>vvs

xS

vs

P

S0

v.t

θ α

α

vs.t

Na direção dada pelo ângulo θ , perpendicular à superfície do cone de Mach, a acumulação das frentes de onda que chegam simultaneamente a P provoca uma onda de choque. Este é um efeito bem conhecido no caso de um avião que atinge a velocidade supersônica, quando se observa o estrondo resultante do choque.

vvs== αθ sencos

7. TABELA DE VELOCIDADES DO SOM EM DIVERSOS MEIOS

Meio Temperatura 0C

Velocidade m/s

Borracha vulcanizada 0 54 Oxigênio 0 317,2 Ar 0 331,3 Chumbo 20 1230 Hidrogênio 0 1286 Água 15 1450 Cobre 20 3560 Alumínio 20 3560 Ferro 20 5130 Granito 6000


EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS RRREEESSSOOOLLLVVVIIIDDDOOOSSS::: 1) Dois alto-falantes, S1 e S2, separados por uma distância de 7,0 m, emitem sons de freqüência iguais a 200 Hz em todas as direções do espaço. S1 tem uma potência emissora de 1,2.10-3 W e S2 de 1,8.10-3 W. Considere um ponto P que está a 4,0 m de S1 e 3,0 m de S2.

(a) Qual é a diferença de fase entre as duas ondas que chegam a P?

D1 D2

S1 S1P

Dados:F = 200 Hz; D1 = 4,0 m; D2 = 3,0 m; Potência de S1: P1 = 1,2.10-3 W; Potência de S2: P2 = 1,8.10-3 W. Vamos supor que as ondas saem das fontes em fase.

O tempo que onda que sai de S1 leva para atingir o ponto P será: st 012,0340

0,41 ==

O tempo que onda que sai de S2 leva para atingir o ponto P será: st 009,0340

0,32 ==

A diferença de tempo gasto por cada onda para atingir o ponto P será: sttt 003,021 =−=Δ

A diferença de fase entre as ondas será: ππδ 2212 ⋅⋅Δ=⋅Δ

= ftT

t πδ 2,112 =

Qual é a intensidade do som em P quando:

(b) somente a fonte S1 permanecer ligada;

Neste caso: ( )2

3

21

11 44

10.2,14 ππ

−

==D

PotI 2

61 10.0,6

mWI −=

(c) somente a fonte S2 permanecer ligada;

Neste caso: ( )2

3

22

22 34

10.8,14 ππ

−

==D

PotI 2

51 10.6,1

mWI −=

(d) com ambas as fontes ligadas. Com as duas fontes ligadas, a intensidade resultante será dada por:

2,12121 cos.2 δIIIII ++=

Utilizando os resultados obtidos nos itens anteriores: 2610.15,6

mWI −=

2) Uma fonte sonora fixa emite som de freqüência f0 = 1,0.105Hz. O som é refletido por um objeto que se aproxima da fonte com velocidade v0 e o eco refletido volta para a fonte, onde interfere com as ondas que estão sendo emitidas, dando origem a batimentos com freqüência fBat = 8,62.103Hz. Determine a magnitude v0 da velocidade do objeto móvel.

A freqüência do som recebido pelo objeto que se move sofre distorção por efeito Doppler, devido ao movimento do observador:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

somD v

vff 00 1 (o sinal “+“ é escolhido porque o observador está se aproximando)


A freqüência do som refletido no objeto que se move sofre distorção devido ao efeito Doppler. O objeto em movimento funciona como uma fonte móvel do som refletido.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=0

'vv

vffsom

somDD (o sinal “-“ é escolhido porque a fonte se aproxima do observador)

Unindo os dois efeitos Doppler: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=0

00'

vvvvff

som

somD

Se o observador registra uma freqüência de batimento fBat, tem-se:

2

'2

0ffff DBat

−=

Δ= BatD fff 2' 0 +=

Obtem-se: 1724,121200

00

0

00 =+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⇒+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

ff

vvvvff

vvvvf Bat

som

somBat

som

som

Portanto: ( ) ( ) ( ) somsomsom vvvvvv 11724,111724,11724,1 000 −=+⇒−=+

Finalmente: 3401724,21724,0

0 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=v hkm

smv 97270 ==

3) Dois carros trafegam em sentidos opostos numa estrada, com velocidades de magnitudes v1 = 162 km/h e v2 = 144 km/h. O carro 1 trafega contra um vento de velocidade V = 72 km/h. Ao avistar o carro 2, o motorista do carro 1 pressiona sua buzina, de freqüência f0 = 12 kHz . Se a velocidade do som no ar parado é vsom = 340 m/s, pede-se a freqüência do som percebido pelo motorista do carro 2.

A freqüência ouvida pelo condutor do carro 2 sofrerá dupla distorção por efeito Doppler, porque a fonte (carro 1) está em movimento e porque o observador (carro 2) está em movimento.

Efeito Doppler devido ao movimento do carro 1 (fonte se aproximando do observador):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1

0 vvv

ffsom

somD (o sinal “-“ é escolhido porque a fonte se aproxima do observador)

Efeito Doppler devido ao movimento do carro 2 (observador se aproximando da fonte):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

somDD v

vff 21' (o sinal “+“ é escolhido porque o observador está se aproximando)

Unindo os dois efeitos Doppler: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=1

20'

vvvv

ffsom

somD

Considerado o vento, uma correção deve ser introduzida no valor da velocidade do som: smvsom /32020340 =−=

Obtém-se: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=27536010.2,1

453204032010.2,1' 44

Df Hzf D410.57,1' =

EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS PPPRRROOOPPPOOOSSSTTTOOOSSS::: 2) Uma onda ultra-sônica possui freqüência de 30 kHz. Esta onda quando se propaga num

determinado meio, possui comprimento de onda igual a2 dm; ao passar para outro meio, o

v1 v2

VVV

Dados: smhkmv /45/1621 == smhkmv /40/1441 ==

smhkmV /20/72 == HzkHzf 4

0 10.2,112 ==


comprimento de onda torna-se igual a 3 dm. Calcule a velocidade de propagação desta onda ultra-sônica: (a) no primeiro meio; (b) no segundo meio.

3) O som mais grave perceptível pelo ouvido humano possui freqüência aproximadamente igual a 20 Hz, ao passo que o som mais agudo que o ouvido humano pode detectar vale 20 kHz. Determine os limites de comprimento de onda, no ar, para o intervalo de sensibilidade do ouvido humano. Respostas: 17 m e 1,7 cm.

4) Os morcegos emitem ondas ultra-sônicas. O valor mínimo do comprimento de onda, no ar, da onda emitida por um morcego é aproximadamente igual a 0,33 m. Calcule a freqüência máxima que pode ser emitida por um morcego.

5) O módulo de elasticidade de um tipo de aço vale 2,4.1011 N/m2. A massa específica deste aço vale 7,8 g/cm3. Calcule a velocidade de propagação do som neste material.

6) A velocidade do som em um determinado metal é vm. Uma das extremidades de um tubo longo desse metal, de comprimento L, recebe um golpe forte. Uma pessoa, na outra extremidade, ouve dois sons, um oriundo da onda que se propagou através do tubo e o outro, da onda que se propagou no ar. (a) Se va é a velocidade do som no ar, qual o intervalo do tempo t que decorre entre os dois sons? (b) Suponha t = 1,0 s e que o material do tubo seja ferro. Determine o seu comprimento L.

Respostas: (a) L(vm–va)/(vm.va); (b) 350 m.

7) Um método de detecção da distância entre um observador e um relâmpago consiste em contar os segundos que decorrem desde o instante em que ele vê o relâmpago até o instante em que ouve o trovão e, em seguida, dividir essa contagem por 3. O resultado deve fornecer a distância em quilômetros. Justifique o uso dessa regra e determine o seu erro percentual em condições normais.

8) Uma pedra é largada, sem velocidade inicial, do alto de um edifício. O observador que largou a pedra ouve o barulho do impacto da pedra com o solo 2,5 s após o instante em que a pedra foi largada. Calcule a altura do edifício. Resposta: 28,5 m.

9) A amplitude do deslocamento de uma onda sonora que se propaga na água vale 10-9m. Considere uma freqüência de 1 kHz. Calcule o valor da amplitude de pressão dessa onda.

Resposta: P = 9,1 N/m2.

10) Duas fontes de som estão separadas por uma distância d = 8 m. Ambas emitem sons com a mesma amplitude e com a mesma freqüência, 400 Hz, mas com uma diferença de fase de 1800. Considere a reta mediatriz perpendicular ao segmento que une as duas fontes. Determine os pontos ao longo desta reta para os quais a intensidade do som terá valores mínimos por causa da interferência destrutiva.

11) Um alto-falante produz som com freqüência f = 2 kHz e intensidade I = 9,6.10-4 W/m2 a uma distância de 6,1 m. Admita que não haja reflexões e que o alto-falante emite em todas as direções. (a) Qual seria a intensidade a 30 m? (b) Qual é a amplitude de deslocamento a 6,1 m? Qual é a amplitude de pressão a 6,1 m?

Respostas: (a) 4,0.10-5 W/m2; (b) 1,7.10-7 m; (c) 0,88 Pa.

12) Um alto-falante de um aparelho de som emite 1 W de potência sonora na freqüência f = 100 Hz. Admitindo que o som se distribua uniformemente em todas as direções, determine, num ponto situado a 2 m de distância do alto-falante: (a) o nível sonoro em decibéis; (b) a amplitude de pressão; (c) a amplitude de deslocamento. Tome a densidade do ar como 1,3 kg/m3 e a velocidade do som como 340 m/s. (d) A que distância do alto-falante o nível sonoro estaria 10 db abaixo do calculado em (a)?

13) Um tubo de órgão aberto tem freqüência fundamental de 300 Hz. O primeiro sobretom de um tubo fechado tem a mesma freqüência que o primeiro sobretom de um tubo aberto. Determinar o comprimento de cada tubo. Resposta: 55 cm e 41 cm.

14) Que comprimento deve ter um tubo de órgão aberto num extremo e fechado no outro, para produzir, como tom fundamental, a nota dó da escala média, f = 262 Hz, a 150C, quando a velocidade do som no ar é de 341 m/s? Qual é a variação de freqüência Δf quando a temperatura sobe para 250C?


15) O comprimento de uma certa corda de violino é de 50 cm; ela está fixada pelos extremos e sua massa é de 2,0 g. A corda emite a nota lá (440 Hz) quando não se exerce pressão dos dedos sobre ela. Onde deve ser colocado o dedo, para que a nota emitida seja o dó (528 Hz)? Resposta: 8,3 cm da extremidade.

16) O nível de água, em tubo vertical de vidro de 1,0 m de comprimento, pode ser ajustado em qualquer posição. Um diapasão cuja freqüência é de 66 Hz é mantido pouco acima da extremidade aberta do tubo. Para que posições do nível de água haverá ressonância?

Resposta: Nível da água na altura de 7/8, 5/8, 3/8 ou 1/8 m.

17) Um tubo de 1,0 m de comprimento é fechado em um dos extremos. Um arame esticado é colocado junto à extremidade aberta. O comprimento do arame é de 0,30 m e sua massa é de 0,010 kg. Está fixo em ambas as pontas e vibra em seu modo fundamental, fazendo com que a coluna de ar no tubo também vibre em sua freqüência fundamental, por ressonância. Ache: (a) a freqüência de oscilação da coluna de ar; (b) a tração no arame.

Respostas: (a) 83 Hz; (b) 82 N.

18) Duas cordas de piano idênticas têm freqüência fundamental de 600 Hz quando mantidas à mesma tensão. Que aumento relativo de tensão de uma das cordas provocará a ocorrência de seis batimentos por segundo quando as cordas vibrarem simultaneamente?

Resposta: 2%.

19) Um observador se encontra em repouso. Uma fonte emite ondas sonoras com freqüência f0 e se aproxima do observador. (a) Determine a freqüência medida pelo observador, supondo que a velocidade de aproximação vs seja paralela à reta que une o observador à fonte. (b) Calcule a freqüência medida pelo observador, supondo que a velocidade faça um ângulo θ com a reta que une o observador à fonte.

20) Quando a fonte e o observador se movem em relação ao meio com velocidades vs e vo, respectivamente, mostre que o observador ouvirá uma freqüência dada pela expressão:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ±=

s

oD vv

vvffm

21) Uma ambulância, em velocidade constante e com sua sereia sempre ligada, passa ao lado de um observador parado. A tonalidade da sereia percebida pelo observador varia de um semitom da escala cromática quando a ambulância passa pelo observador (diferença entre a aproximação e o afastamento). A velocidade do som no ar é de 340 m/s. Calcule a velocidade da ambulância em km/h.

22) Dois trens viajam em sentidos opostos, sobre trilhos paralelos, com velocidades de mesma magnitude. O apito de um deles é percebido por um passageiro do outro, com freqüências que variam de 348 Hz, quando estão se aproximando, e de 259 Hz, quando estão se afastando. A velocidade do som no ar é de 340 m/s. (a) Qual é a velocidade dos trens (em km/h). (b) Qual é a freqüência do apito?

23) Uma sirene emite som de 1 kHz e se afasta do observador se aproximando de um rochedo, à velocidade de 10 m/s. (a) Qual a freqüência do som direto da sirene, ouvido pelo observador? (b) Qual a freqüência do som refletido pelo rochedo, ouvido pelo observador? O observador seria capaz de ouvir a freqüência de batimento?

Respostas: (a) 970 Hz; (b) 1.030 Hz; (c) Não, pois a freqüência é muito alta.

24) Numa estrada de montanha, ao se aproximar de um paredão vertical que a estrada ora contornar, um motorista vem buzinando. O eco vindo do paredão interfere com o som da buzina, produzindo 5 batimentos por segundo. Sabendo-se que a freqüência da buzina é de 200 Hz e a velocidade do som no ar é de 340 m/s, qual é a velocidade do carro (km/h)?

25) Uma fonte sonora fixa emite som de freqüência f0. O som é refletido por um objeto que se aproxima da fonte com velocidade v0. O eco refletido volta para a fonte, onde interfere com as ondas que estão sendo emitidas, dando origem a batimentos com freqüência Δf. Mostre que é possível determinar a magnitude |v0| da velocidade do objeto móvel em função de Δf, f0 e da velocidade do som v. (Este é o princípio utilizado, com ondas eletromagnéticas em lugar do som, na detecção do excesso de velocidade nas estradas com auxílio do radar).


26) Uma mulher parada ao lado de uma rodoviária assopra um apito (altura do som de 800 Hz) para alertar três colegas que se encontram a 200 m de distância, uma ao norte, outra a leste e a terceira ao sul. Uma quarta mulher dirige-se para oeste a 40 m/s. Um vento constante, a 4,0 m/s, sopra do sul para norte. Qual a freqüência do som ouvido por cada uma das mulheres?

27) Dois carros trafegam em sentidos opostos numa estrada, com velocidades de magnitudes v1 e v2. O carro 1 trafega contra o vento, que tem velocidade V. Ao avistar o carro 2, o motorista do carro 1 pressiona sua buzina, de freqüência f0. A velocidade do som no ar parado é v. Qual é a freqüência f do som percebido pelo motorista do carro 2? Com que freqüência f´ ela é ouvida pelo motorista de um carro 3 que trafega no mesmo sentido que o carro 1 e com a mesma velocidade?

28) Um avião a jato supersônico está voando a Mach 2. (a) Qual é o ângulo de abertura do cone de Mach? (b) 2,5 s depois do avião ter passado diretamente acima de uma casa, a onda de choque causada pela sua passagem atinge a casa, provocando um estrondo sônico. A velocidade do som no ar é de 340 m/s. Qual é a altitude do avião em relação à casa?

29) Um avião a jato passa à altura de 5 km, à velocidade Mach 1,5 (1,5 vezes a velocidade do som no ar). (a) Determinar o ângulo formado pela onda de choque com a linha de movimento do avião. (b) Quanto tempo após a passagem do avião diretamente acima da cabeça a onda de choque alcançará o solo?


fis06parteii ondas

Documents