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Prof. Renan José dos Santos Viana

Departamento de Informática – DPI

Sala: CCE 303-B

INF 280- Pesquisa Operacional

Problema Dual

Problema Primal e Dual O problema dual é um problema de PL definido diretamente

e sistematicamente de acordo com o problema de PL primal

(original).

Os dois problemas guardam uma relação tão estreita que a

solução ótima de um problema fornece automaticamente a

solução ótima do outro.

Para todo modelo de PL (primal) existe um modelo dual

correspondente.

O dual do modelo dual é o próprio primal.

Problema Primal e Dual O modelo dual é construído da seguinte forma:

• Seja um modelo primal de maximização com todas as restrições ≤, o

modelo dual é de minimização com todas as restrições ≥.

• Para cada restrição do primal existe uma variável no dual (e vice-

versa).

• Os termos independentes (lado direito) do primal são coeficientes da

função objetivo do dual (e vice-versa).

• A matriz de coeficientes das restrições do primal é a transposta da

matriz de restrição do dual (e vice-versa).

Problema Primal e DualPrimal

Max f(x) = 20x1 + 24x2

S.a.

2x1 + 3x2 ≤ 12

2x1 + 1x2 ≤ 8

x1 0, x2 0


Max f(x) = 20x1 + 24x2

S.a.

2x1 + 3x2 ≤ 12

2x1 + 1x2 ≤ 8

x1 0, x2 0

Dual

Min g(u) = 12u1 + 8u2

S.a.

2u1 + 2u2 20

3u1 + u2 24

u1 0, u2 0


Max f(x) = 30x1 + 20x2 + 50x3

S.a. x1 + x2 + x3 ≤ 18

2x1 + x2 + 2x3 ≤ 30

x1 + x2 + 2x3 ≤ 24

x1 0, x2 0, x3 0


Max f(x) = 30x1 + 20x2 + 50x3

S.a. x1 + x2 + x3 ≤ 18

2x1 + x2 + 2x3 ≤ 30

x1 + x2 + 2x3 ≤ 24

x1 0, x2 0, x3 0

Dual

Min g(u) = 18u1 + 30u2 + 24u3

S.a. u1 + 2u2 + u3 30

u1 + u2 + u3 20

u1 + 2u2 + 2u3 50

u1 0, u2 0, u3 0

Problema Primal e Dual Note que as variáveis são ≥ 0 no primal e também no dual.

Exceções:

• Em um modelo max as restrições são normalmente ≤; restrições ≥ em

modelo max geram variáveis duais ≤ 0.

• Em um modelo min as restrições são normalmente ≥; restrições ≤ em

modelo min geram variáveis duais ≤ 0.

• Restrições = (igualdade) geram variáveis irrestritas, (e vice-versa).


Max f(x) = 5x1 + 4x2

S.a. 6x1 + 4x2 ≤ 24

x1 + 2x2 ≤ 6

x1 - x2 2

x2 ≤ 2

x1 0, x2 0


Max f(x) = 5x1 + 4x2

S.a. 6x1 + 4x2 ≤ 24

x1 + 2x2 ≤ 6

x1 - x2 2

x2 ≤ 2

x1 0, x2 0

Dual

Min g(u) = 24u1 + 6u2 + 2u3 + 2u4

S.a. 6u1 + 1u2 + 1u3 + 0u4 5

4u1 + 2u2 - u3 + u4 4

u1, u2, u4 0, u3 ≤ 0


Max f(x) = 5x1 + 4x2

S.a. 6x1 + 4x2 ≤ 24

x1 + 2x2 ≤ 6

-x1 + x2 ≤ -2

x2 ≤ 2

x1 0, x2 0


Max f(x) = 5x1 + 4x2

S.a. 6x1 + 4x2 ≤ 24

x1 + 2x2 ≤ 6

-x1 + x2 ≤ -2

x2 ≤ 2

x1 0, x2 0

Dual

Min g(u) = 24u1 + 6u2 -2u3 + 2u4

S.a. 6u1 + 1u2 - 1u3 + 0u4 5

4u1 + 2u2 + u3 + u4 4

u1, u2 , u3, u4 0

Problema Primal e Dual Na prática, muitos problemas de Programação Linear contêm

restrições do tipo ≤, ≥ ou =.

Além disso, podem existir variáveis livres (irrestritas de sinal)

ou variáveis negativas.

Regras para construir o Dual de qualquer problema de

Programação Linear:

Problema de

Maximização

Problema de

Minimização

Variáveis

0

Restrições 0

Livre =

Restrições

0

Variáveis 0

= Livre


Max f = 5x1 + 2x2

s. a: x1 ≤ 3

x2 ≤ 4

x1 + 2x2 ≤ 9

x1 0, x2 0

Dual

Min g = 3y1 + 4y2 + 9y3

S.a. y1 + y3 ≥ 5

y2 + 2y3 ≥ 2

y1 ≥ 0

y2 ≥ 0

y3 ≥ 0

Max f = 5x1 + 2x2 + 0x3+ 0x4+ 0x5

S.a. x1 + x3 = 3

x2 + x4 = 4

x1 + 2x2 + x5 = 9

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0.


Max f = 3x1 + 2x2 + x3 + 6x4 + 5x5 + 4x6

S.a.

x1 + x2 + x3 = 10

x4 + x5 + x6 = 15

3x1 + 2x2 + x4 + 3x5 ≤ 20

x1 + x3 + 2x4 + x6 ≤ 30

x1, x2, x3 0; x4, x5 e x6 livres

Problema Primal e DualDual

Min g = 10y1 + 15y2 + 20y3 + 30y4

s.a.

y1 + 3y3 + y4 3

y1 + 2y3 2

y1 + y4 1

y2 + y3 + 2y4 = 6

y2 + 3y3 = 5

y2 + y4 = 4

y3 0, y4 0; y1 e y2 livres.

Problema Primal e Dual Par primal - dual

Primal

Max f = cx

S.a.

Ax ≤ b

x ≥ 0

Dual

Min g = bTy

S.a.

ATy ≥ c

y ≥ 0

Problema Primal e Dual Propriedades do par primal - dual

1) Se x e y são soluções viáveis do problema primal

e dual, respectivamente, então f(x) g(y).

2) Se x* e y* são soluções viáveis do problema

primal e dual, respectivamente, tal que f(x*) =

g(y*), então ambas são soluções ótimas dos

correspondentes problemas.

* *

F.O.DualF.O. Primal

j j i i

j i

c x b y

Problema Primal e Dual Teorema da existência

Para um par de problemas primal x dual, apenas uma

das situações é possível:• Ambos possuem solução ótima finita (nesse caso são

iguais).

• Um tem solução ótima ilimitada e o outro não tem solução

viável.

• Nenhum dos problemas tem solução.

Problema Primal e DualPropriedade

Suponha que x e y sejam soluções ótimas dos

modelos primal e do dual, respectivamente.

g(y) = by = yTb

f(x) = cx = cBxB + cNxN , xN = 0,

f(x) = cBxB

f(x) = cBB-1b

Se g(y) = f(x) então, yTb = cBB-1b

yT = cBB-1 vetor multiplicador simplex

Problema Primal e DualTabela simplex do primal:

xB xN

-f 0 cj – cBB-1aj – cBB-1b

xB I B-1N B-1b

Custos reduzidos:

zj = cj – cBB-1aj, j índice das variáveis não-básicas

zj = cj – yaj

onde y é o vetor multiplicador simplex

(variável do Dual)

Problema Primal e DualA seguinte propriedade permite determinar a solução ótima de

um dos problemas (primal ou dual) quando a solução ótima do

outro é conhecida.

Propriedade (Folgas complementares)

As soluções xRn e yRm são ótimas do modelo primal e do

modelo dual, respectivamente, se e somente se:

Ax + s = b, x ≥ 0 (x é variável primal, s variáveis de folga)

ATy + w = c, y ≥ 0 (y é variável dual, w variáveis de folga)

wj xj = 0, j = 1,…,n (folgas complementares)

sj yj = 0, j = 1,…,m (folgas complementares)

Problema Primal e Dual

Exemplo. Considere os problemas Primal e Dual

Primal:

Seja a solução ótima do primal:

x1 = 9, s1 = 5, x2 = s2 = 0, f = 27.

Max f = 3x1 – 4x2

S.a. x1 + x2 ≥ 4

2x1 + 3x2 ≤ 18

x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

Dual:

Min g = 4y1 +18y2

S.a. y1 + 2y2 ≥ 3

y1 + 3y2 ≥ -4 y1 ≤ 0, y2 0

Max f = 3x1 – 4x2 + 0s1 + 0s2

s.a: x1 + x2 – s1 = 4

2x1 + 3x2 + s2 = 18

x1, x2, s1, s2 0

Min g = 4y1 +18y2

S.a. y1 + 2y2 – w1 = 3

y1 + 3y2 – w2 = -4y1 ≤ 0, y2, w1, w2 0


Solução ótima do primal:

x1 = 9, s1 = 5, x2 = s2 = 0, f = 27.

Busquemos a solução ótima do dual:

g = 27

wj xj = 0, sj yj = 0 (folgas complementares)

w1 x1 = 0 w1 = 0 (pois, x1 = 9 > 0)

s1 y1 = 0 y1 = 0 (pois, s1 = 5 > 0)

De: y1 + 2y2 – w1 = 3 2y2 = 3 y2 = 1,5

w2 = 8,5

Dual:

Min g(y) = 4y1 + 18y2

s. a: y1 + 2y2 – w1 = 3

y1 + 3y2 – w2 = -4 y1 ≤ 0, y2 0, w10, w20


Relação de Variáveis

Problema Primal Relação Problema Dual

Variável original

Variável de folga

Variável Básica

Variável Não-básica

Variável de folga

Variável original

Variável Não-básica

Variável Básica

Problema Primal e DualPrimal:

Max f = 5x1 + 2x2

S.a.

x1 3

x2 4

x1 + 2x2 9

x1, x2 0.

Max f = 5x1 + 2x2

S.a.

x1 + 0x2 + s1 + 0s2 + 0s3 = 3

0x1 + x2 + 0s1 + s2 + 0s3 = 4

x1 + 2x2 + 0s1 + 0s2 + s3 = 9

x1, x2, x3, s1, s2, s3, 0

Dual:

Min g = 3y1 + 4y2 + 9y3

S.a.

y1 + y3 5

y2 + 2y3 2

y1, y2, y3 0

Min g = 3y1 + 4y2 + 9y3

S.a.

y1 + 0y2 + y3 – w1 + 0w2 = 5

0y1 + y2 + 2y3 + 0 w1 – w2= 2

y1, y2, y3,w1, w2 0


xB x1 x2 s1 s2 s3

-f 0 0 -4 0 -1 -21

x1 1 0 1 0 0 3

s2 0 0 1/2 1 -1/2 1

x2 0 1 -1/2 0 1/2 3

w1 w2 y1 y2 y3

Tabela ótima do primal:

xB = (x1, s2, x2) xN = (s1, s3)

xB = (3, 1, 3)

yB = (y1, y3) yN = (w1, y2, w2)

yB = (4, 1)

g = f = 21


Modelo Primal Modelo Dual

Inspiração para o Método Dual Simplex

Modelo Dual

Max g = 30u1 + 20u2 + 50u3

S.a.

u1 + u2 + u3 <= 18

2u1 + u2 + 2u3 <= 30

u1 + u2 + 2u3 <= 24

u1, u2, u3 >= 0

Seu dual, entretanto, pode ser

resolvido diretamente pelo

Simplex comum.

Modelo Primal

Min z = 18x1 + 30x2 + 24x3

S.a.

x1 + 2x2 + x3 >= 30

x1 + x2 + x3 >= 20

x1 + 2x2 + 2x3 >= 50

x1, x2, x3 >= 0

Simplex requer variáveis

artificiais, 2 fases, ...


Modelo Dual

Max g = 30u1 + 20u2 + 50u3

S.a.

u1 + u2 + u3 <= 18

2u1 + u2 + 2u3 <= 30

u1 + u2 + 2u3 <= 24

u1, u2, u3 >= 0

Simplex Comum

Modelo Primal

Max -z = -18x1 - 30x2 - 24x3

S.a.

-x1 - 2x2 - x3 <= -30

-x1 - x2 - x3 <= -20

-x1 - 2x2 - 2x3 <= -50

x1, x2, x3 >= 0

Dual Simplex


O quadro do modelo primal apresenta uma solução inviável.

Já no quadro do modelo dual, u3 entra na base e g3 sai.

Pela complementaridade de folga, no quadro do modelo primal: Sai f3 (u3 deixara de ser zero, então f3 deverá ser zero).

Entra x3 (g3 será zero, então x3 é livre para ser >= 0).


No quadro do modelo dual, u1 entra na base e g2 sai.

Pela complementaridade de folga, no quadro do modelo primal: Sai f1 (u1 deixara de ser zero, então f1 deverá ser zero).

Entra x2 (g2 será zero, então x2 é livre para ser >= 0).


Dual chegou na solução ótima.

Primal chegou em uma solução viável (e ótima).

A correspondência entre os quadros gera o método dual simplex.


Resolva o seguinte modelo:

Min 12x1 + 18x2 + 20x3

S.a.

2x1 + 4x2 + 2x3 >= 20

3x1 + 4x2 + 4x3 >= 24

x1, x2, x3>=0


O seguinte modelo foi resolvido pelo LINDOMin 12x1 + 18x2 + 20x3

S.a.

2x1 + 4x2 + 2x3 >= 20

3x1 + 4x2 + 4x3 >= 24

x1, x2, x3>=0

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 102.0000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 4.000000 0.000000

X2 3.000000 0.000000

X3 0.000000 5.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 -1.500000

3) 0.000000 -3.000000

NO. ITERATIONS= 2

Determine a solução do modelo Dual (valores de todas as variáveis)

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