FIII 01 01 Eletromagnetismo como uma teoria de foras

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    1.1 Introduo Eletromagnetismo como uma teoria de foras

    A disciplina Fsica III uma introduo ao eletromagnetismo, que compreende os fenmenos eltricos e magnticos. As aplicaes do eletromagnetismo so universalmente presentes na vida moderna. difcil imaginar qualquer atividade do homem moderno que no envolva alguma utilizao da eletricidade, seja para a simples gerao de luz, gerao de baixas temperaturas para poder desfrutar uma cerveja gelada, seja nas inmeras atividades que envolvem informao, como aqueles relacionadas televiso, telefonia, computao eletrnica etc. Seria desejvel que qualquer cidado da vida moderna tivesse algumas noes bsicas do eletromagnetismo. Uma das principais caractersticas que diferencia o ser humano dos demais primatas sua habilidade de compreender, pelo menos parcialmente, as suas condies de vida de forma consciente. O macaco vive muito bem na floresta e cumpre suas tarefas de vida eficientemente, mas ele no tem a mnima ideia das condies necessrias que permitem o crescimento das bananas que ele come. Grande parte da sociedade moderna voltou ao estado de macaco, navega eficientemente na internet e toma a cerveja gelada sem ter a mnima noo dos fenmenos fsicos que esto por trs destas maravilhas tcnicas que ele utiliza. Se desejvel que o homem comum tenha noes bsicas do eletromagnetismo, imaginem ento um engenheiro ou um cientista! Estes devem dominar este assunto com elevado grau de perfeio!

    O eletromagnetismo no apenas a base de um vasto mundo de aplicaes tcnicas, mas ele tambm umas das bases do funcionamento da prpria vida. Toda ligao qumica mantida por foras eltricas. Ento qumicos e bilogos deveriam saber algo do eletromagnetismo, mesmo que a atividade de um bilogo raras vezes dependa diretamente deste conhecimento.

    No estudo do eletromagnetismo conheceremos passo a passo uma estrutura de estranha e elevada beleza e, surpreendentemente, certos elementos desta estrutura parecem ser universais; se aplicam tambm a outras foras bsicas da natureza, como a fora fraca (responsvel pelo decaimento beta) e a fora forte que mantm os ncleos dos tomos juntos. O descobrimento das leis do eletromagnetismo foi uma das maiores conquistas da humanidade e ela provavelmente a chave de entrada para outras descobertas a respeito da natureza do nosso Universo. O estudante que faz um curso de Fsica III pode se considerar uma pessoa privilegiada por ter a oportunidade de conhecer esta rea do conhecimento humano. Em contrapartida, esperamos dos estudantes um comportamento srio de estudo. O aluno que comea a decorar algumas solues de exerccio uma semana antes da prova no ter a mnima chance de ser aprovado nesta disciplina!

    O eletromagnetismo uma teoria de foras. Para poder apreciar o que isto significa, vamos nos deter um pouco no conceito de fora. Este conceito introduzido com a segunda lei de

    Newton; fora massa vezes acelerao; F ma=

    . No entanto esta lei no de fcil compreenso. Da forma como a frase anterior formulou esta lei, parece se tratar de uma

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    simples definio de fora e de no uma lei da natureza. De fato a segunda lei de Newton define a fora; mesmo assim ela tem contedo observacional e vai alm de uma mera definio. A essncia da segunda lei que, na maioria dos casos, ela uma equao diferencial que permite prever o futuro comportamento de um sistema mecnico. Veremos com um exemplo o que isto significa:

    Fig. 1.1.1 Trilho de ar com sistema massa-mola. Considere um carrinho de massa m num trilho sem atrito preso numa mola espiral, como mostrado da figura 1.1.1.

    Podemos colocar o carrinho em diversas posies e podemos atribuir ao carrinho diversas velocidades. Mas no conseguiremos atribuir livremente diferentes valores da acelerao ao carrinho depois que a posio for escolhida. Depois que a posio escolhida, a acelerao no pode mais ser escolhida, ela depende da posio. Colocando o carrinho em muitas posies diferentes e medindo as aceleraes, podemos elaborar uma tabela de dados e podemos tentar ajustar estes dados com uma funo simples. Encontramos a seguinte lei emprica:

    ( ) ( )0a x K x x= (1.1.1)

    onde K e 0x so constantes. Aqui usamos uma descrio unidimensional e suprimimos o

    carter vetorial da acelerao. Quando falamos de constantes, sempre importante mencionar quais so as variveis das quais estas grandezas no dependem. Aqui constante significa que K e 0x no dependem da posio x do carrinho. Se trocamos o carrinho por

    outro de massa maior, descobrimos que o valor de K muda, mas o valor de 0x , no.

    Experimentalmente encontramos que

    1

    K km

    = (1.1.2)

    onde k tambm uma constante. Esta nova constante k constante tanto em relao a x quanto ao valor da massa do carrinho. Ela descreve uma propriedade da mola. Juntando tudo encontramos que ( )0ma k x x= (1.1.3)

    Esta igualdade foi encontrada para posies que colocamos voluntariamente. Mas, se supomos que ela vale tambm para posies atingidas pelo prprio movimento do carrinho, a igualdade se transforma em algo muito diferente e sumamente poderoso: uma equao diferencial. O que uma equao diferencial? Bom, primeiramente temos que entender o que uma equao! A palavra equao provm da palavra igual. Mas nem toda frmula que expressa igualdade ser chamada de equao. Por exemplo 3 2 5+ = uma igualdade, mas uma equao tem algo mais. 3 5x+ = uma equao. Esta ltima igualdade na verdade uma charada. Ela contm a incgnita x e a tarefa encontrar o objeto que, quando posto no lugar do x, transforme a frmula numa igualdade vlida. Ento equaes so charadas em forma de igualdades que contm incgnitas. As incgnitas podem ser nmeros

    0 x

    m

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    desconhecidos, como no caso da equao 3 5x+ = , ou outros objetos matemticos como vetores, matrizes etc. No caso das equaes diferenciais as incgnitas no so nmeros, mas so funes. No caso da equao (1.1.3) a incgnita uma funo do tempo. Para cada instante t o valor ( )x t indica a posio que o carrinho ocupa naquele instante. Esta

    associao de instantes e posies define a funo ( )x e esta a incgnita da equao. No

    lado esquerdo da equao aparece a derivada segunda desta incgnita, pois a (1.1.3) pode ser escrita na forma

    ( )

    ( )( )2

    02

    d x tm k x t x

    dt= (1.1.4)

    Equaes diferenciais so charadas em forma de igualdades nas quais aparecem os valores de derivadas de uma funo incgnita e a tarefa determinar a funo que, quando posta no lugar da incgnita, transforme a frmula numa igualdade vlida para todos os valores da varivel independente, da qual a funo incgnita depende.

    Dos tempos da escola sabemos que equaes podem s vezes ter mais de uma soluo. Por exemplo, a equao 2 2 40 0y y+ = possui duas solues. No caso das equaes diferenciais existe em geral um nmero infinito de solues. Poder-se-ia pensar que uma charada com um nmero infinito de solues no muito interessante. Mas, ao contrrio, justamente por terem tantas solues, as equaes diferenciais so extremamente teis. Por exemplo, as solues da equao (1.1.4) descrevem os possveis movimentos do carrinho. O carrinho pode mover-se de muitas formas diferentes. Todos estes diferentes movimentos so descritos pela nica equao (1.1.4). Dados iniciais como posio e velocidade podem ser usados para selecionar uma das solues da equao. Tendo uma determinada soluo, podemos us-la para prever o comportamento futuro do carrinho. Ento o enorme poder da segunda lei de Newton reside na possibilidade de prever o futuro comportamento de um sistema para uma infinidade de possveis movimentos.

    No entanto este enorme poder da segunda lei de Newton existe somente se conhecermos a fora como funo da posio. No caso do exemplo do carrinho, imaginamos que previamente levantamos um nmero considervel de dados experimentais que permitiram determinar esta funo com um ajuste numa tabela de dados. A segunda lei de Newton se tornaria um instrumento ainda muito mais til se tivssemos uma teoria de foras que permitisse escrever uma funo fora a partir de poucos dados. Bastaria medir a fora para poucas posies para determinar que tipo de partculas esto presentes no sistema fsico, e com esta informao, a teoria permitiria escrever as foras como funes das posies, ou eventualmente tambm como funes das velocidades das partculas. O eletromagnetismo justamente este tipo de teoria. Ela permite determinar as foras para determinado tipo de partculas (as partculas eletricamente carregadas). Com isto a teoria eletromagntica complementa a mecnica de Newton e a torna uma ferramenta ainda mais poderosa. Mas, como veremos ao longo do desenvolvimento desta teoria, o eletromagnetismo no somente complementa a mecnica de Newton, mas ele mostrar tambm que existem graves falhas na mecnica Newtoniana.