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FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2012

TÍTULO: O USO DE DOBRADURA EM GEOMETRIA

Autor Ana Lucia Hirata

Disciplina/Área (ingresso no PDE)

Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual José de Anchieta – Ensino Fundamental e Médio

Município da escola

Londrina

Núcleo Regional de Educação

Londrina

Professor Orientador

Profª Drª Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho

Instituição de Ensino Superior

Universidade Estadual de Londrina – UEL

Relação Interdisciplinar

Arte

Resumo

O objetivo desse projeto é apresentar através da utilização de materiais manipuláveis, uma alternativa para o processo de ensino e aprendizagem de geometria. Pretende-se mostrar que, trabalhando com atividades como Origami, aumenta a motivação, um fator importante para a ocorrência da aprendizagem, contribui para o aumento da criatividade, criticidade, concentração, organização e socialização proporcionando a construção do conhecimento matemático de forma lúdica.

Palavras-chave

Ensino Fundamental, Geometria, Dobradura, Poliedros de Platão

Formato do Material Didático

Unidade Didática

Público Alvo

Alunos do 9º ano, Ensino Fundamental

PRODUÇÃO DIDÁTICA PEDAGÓGICA – UNIDADE DIDÁTICA

O USO DE DOBRADURA EM GEOMETRIA

1 APRESENTAÇÃO

A proposta desse trabalho é apresentar alternativas para o ensino

e aprendizagem de geometria, através de materiais manipuláveis com alunos do

9º ano. A metodologia a ser usada no desenvolvimento do trabalho será aplicar

em classe a prática da dobradura, como auxilio e motivação direcionando o

processo de ensino e aprendizagem, para que o aluno organize as ideias e

estratégias na intenção de solucionar problemas específicos, tais como, medidas

de ângulos, área de figuras planas, área da superfície lateral, área da superfície

total e volume de sólidos geométricos entre outros. O processo de ensino e

aprendizagem de geometria a partir das dobraduras, também conhecido como

origami tratará de forma lúdica a aprendizagem matemática, proporcionando ao

aluno construir seu próprio conhecimento.

A técnica do Origami utiliza papel em suas construções, não

podendo usar lápis, cola, régua ou tesoura, para suas criações.

Pretende-se com este trabalho procurar um equilíbrio entre teoria

e a prática para tornar mais fácil a compreensão de conteúdos, conhecer e aplicar

e explorar a geometria de maneira agradável.

2 TEMA DO PROJETO

O uso de dobraduras em geometria

3 JUSTIFICATIVA

A intenção de buscar alternativas diferenciadas para ensinar o

conteúdo de geometria, vem para incentivar e motivar os alunos, despertar a

curiosidade e oportunizar a assimilação de conceitos e conteúdos matemáticos

vivenciados em atividades práticas.

É importante relacionar o conhecimento matemático prévio do

aluno com as atividades de visualização, representação e construções

geométricas.

De acordo com os PCN os conteúdos de geometria estão

inseridos como, Espaço e Forma, onde um dos objetivos é reconhecer diferentes

figuras geométricas planas e não planas, levando o aluno a trabalhar com formas

e sólidos para resolver situações-problema.

Formas diferentes de aprender e ensinar matemática auxiliam na

construção e generalização das abstrações matemáticas.

Ao lidar com planificação de embalagens, em séries mais avançadas, pode-se além de estabelecer relações de forma e características entre as figuras espaciais e planas, trabalhar a relação entre o cálculo de área das figuras planas (base da figura espacial) e o volume das figuras espaciais (PARANÁ, 2008, p.56).

O atual currículo recomenda considerar o aspecto lúdico da

matemática, pois tais atividades são motivadoras. Nesse sentido, o trabalho será

desenvolvido preocupando-se em explorar a habilidade do aluno, para que

aprenda por meio de materiais manipulativos o uso e a aplicabilidade dos sólidos

geométricos na resolução de problemas. Logo, a proposta desta intervenção

consiste em buscar estratégias que levem o estudante a adquirir esse

conhecimento.

4 PÚBLICO OBJETO DA INTERVENÇÃO

Alunos do 9º ano do Ensino Fundamental.

5 OBJETIVOS

5.1 OBJETIVO GERAL

Explorar a aplicabilidade do uso de dobraduras na construção de

sólidos geométricos para auxiliar na interpretação e resolução de problemas.

5.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

a) Identificar algumas formas geométricas planas.

b) Diferenciar formas geométricas planas de formas geométricas

espaciais.

c) Explorar a planificação dos prismas.

d) Construir prismas usando dobraduras.

e) Reconhecer as formas de prismas em objetos.

f) Identificar os ângulos e polígonos formados com as dobras

do origami (dobradura).

g) Desenvolver estratégias na resolução de problemas por meio

da visualização de materiais manipuláveis.

6 ESTRATÉGIAS DE AÇÃO

O estudo será desenvolvido com alunos do 9º ano do ensino

fundamental do Colégio Estadual José de Anchieta, da cidade de Londrina no

Paraná.

Pretende-se trabalhar o conteúdo de geometria através de

dobraduras (origami), usando papéis na confecção dos poliedros, a metodologia a

ser usada neste projeto será de abordagem qualitativa, com aulas dinâmicas,

produções individuais, discussões, pesquisas, confecção de materiais,

proporcionando ao aluno a confeccionar o material que será utilizado no estudo

da geometria.

As imagens do passo a passo para a construção das dobraduras

e montagem do caleidoscópio serão mostradas através da TV pendrive.

Depois da construção e montagem dos sólidos geométricos,

serão propostas atividades envolvendo cálculos de área da face, área da

superfície lateral, área da superfície total e volume dos sólidos construídos, entre

outros.

7 CONTEÚDOS

7.1 CONTEÚDOS ESPECÍFICOS DE MATEMÁTICA

- Classificação de retas.

- Classificação de triângulos quanto aos ângulos internos.

- Classificação de triângulos quanto aos lados.

- Área de figuras planas.

- Volume de prismas.

- Teorema de Pitágoras.

- Relação de Euler.

- Planificação.

- Frações.

- Ângulos formados por duas paralelas com uma transversal.

- Figuras geométricas espaciais.

- Diagonais.

- Razão.

- Porcentagem.

7.3 CONTEÚDOS ESPECÍFICOS DE ARTE

- Ponto

- Linha

- Forma

- Cor

- Semelhança

- Figuras Bidimensionais

- Figuras Tridimensionais

8 ATIVIDADES

As atividades serão desenvolvidas ao longo do 1ºBimestre.

ATIVIDADE 1

OBSERVAR OBJETOS

Objetivos Específicos

Diferenciar figuras geométricas planas de figuras geométricas

espaciais.

Diferenciar corpos redondos de poliedros.

Calcular área de figuras planas.

Materiais

Pedir aos alunos que tragam materiais que lembrem sólidos

geométricos (caixas de remédio, bola, latas, dado, etc ...).

COLÉGIO ESTADUAL JOSÉ DE ANCHIETA ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO

Rua Riachuelo, 89 - Vila Higienópolis - CEP: 86015-110 - Fone / Fax (43) 3324-2625

Aluno: ________________________________n°:______9ºano/turma:______

Disciplina: Matemática Profª: Ana Lucia Data:____/____/______

Observar objetos

1) Observar e manusear os objetos em todas as direções e posições.

2) Escolher um objeto e descrever suas características.

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3) De acordo com os materiais que foram manuseados relacione alguns

objetos que possuem as características a seguir:

Corpos redondos Poliedros

4) Usando a régua para medir e desenhar, escolha um poliedro do seu grupo

de objetos para reproduzir as figuras geométricas planas que observou.

5) Calcule a área das figuras encontradas no objeto de sua escolha.

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ATIVIDADE 2

CAIXAS


Identificar a diagonal do quadrado.

Verificar que o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos

catetos em um triângulo retângulo (Teorema de Pitágoras).

Identificar os elementos de um prisma (aresta, vértice, face, base).

Calcular área da base, área da superfície lateral e volume do prisma.

Caixa 1

Passos para construção

1º PASSO - Usando uma folha de

formato quadrado dobrar ao meio

na horizontal, abrir e dobrar ao

meio na vertical, abrir e dobrar ao

meio na diagonal uma de cada vez.

2º PASSO – Dobrar levando os

vértices do quadrado ao meio,

formando um novo quadrado.

Fonte : Acervo pessoal.

3ºPASSO – Dobre o novo

quadrado ao meio, formando um

retângulo.

5º PASSO – Abra apenas as

dobras laterais, até formar um

hexágono.

4ºPASSO – Abra o retângulo

formado e dobre cada metade para

o meio.

6º PASSO – Dobre as laterais do

hexágono para o meio.

7º PASSO – Levante as laterais do

hexágono (formando as faces).

8º PASSO – Levante um dos

vértices do hexágono para formar

outra face (acompanhe as dobras

para encaixe).

Fonte : Acervo pessoal.

9º PASSO – Dobre para dentro da

caixa ajuste as dobras para

encaixe.

10º PASSO – Proceda da mesma

forma com o outro vértice.

Fonte: Acervo pessoal.

11º PASSO – Para fazer a tampa da caixa use um papel um pouquinho

maior, usando os mesmos passos do origami.

Caixa 2


1º PASSO - Usando uma folha de

formato quadrado dobrar ao meio na

vertical e nas diagonais.

2º PASSO – Usando um dos

retângulos formado na primeira dobra,

dobre a diagonal desse retângulo.


3º PASSO – No ponto formado pela

diagonal do retângulo com a diagonal

do quadrado, dobre o papel para trás

formando uma reta paralela com a

dobra inicial da vertical, formando um

retângulo.

4º Passo – Dobre o retângulo formado

ao meio, observe que o quadrado

inicial está dividido em três partes

iguais, ficando sobrepostas.

5º PASSO – Abra o papel e observe

dois retângulos menores ao centro e

dois retângulos maiores nas laterais.

6º PASSO – Dobre os retângulos das

laterais ao meio e para dentro.

7º PASSO – Vire o papel, observe

que este lado mostra divisões com

quatro retângulos iguais.

8º PASSO - Dobre os retângulos das

laterais para dentro encontrando o

vinco do meio, ficando os retângulos

sobrepostos.

Fonte: Acervo pessal.

9º PASSO – Abra uma das laterais,

dobre as extremidades do retângulo

formando triângulos.

10º PASSO – Feche a lateral, e abra

a outra, proceda da mesma forma,

formando triângulos nas extremidades

do hexágono.

11º PASSO – A figura apresentada é

um hexágono, dobre os vértices das

extremidades, na altura que termina o

triangulo, para formar um retângulo.

12º PASSO – Abra a última dobra,

retornando ao hexágono, feche a

lateral, observe que formaram dois

bolsos internos.

13º PASSO – Puxe para fora,

ajustando as dobras, levantando as

laterais, que formaram as faces

laterais da caixa.




Aluno: ________________________________n°:______9°ano/turma:______


Caixas

Responda as questões para a caixa 1 e para a caixa 2.

1) Qual o formato inicial do papel?

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2) Ao dobrar o papel na diagonal do 1º passo, use a régua para medir os

lados do triangulo formado, depois calcule elevando ao quadrado a medida

dos lados, procure uma relação entre os cálculos obtidos.-

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3) Ao final da construção, qual a figura formada na base da caixa?

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4) Calcule a área da base, área da superfície lateral e área da superfície total

da caixa.

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5) Calcule o volume de areia que poderia ser colocado na caixa.

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ATIVIDADE 3

QUEBRA CABEÇA


Representar matematicamente a razão de dois números racionais.

Representar em forma porcentual uma razão.

Calcular o volume de prismas.

Calcular o volume do cubo.

Peças do Quebra Cabeça

Quebra Cabeça Montado




Aluno: ________________________________n°:______9ºano/turma:______


Quebra-Cabeça

1) Um cubo deve ser formado com as peças do quebra cabeça cujas

peças tem formas de prismas e cubos e são:

6 peças de dimensões 4 un, 2 un, 1 un.



a) Calcule o volume de cada peça do quebra cabeça.

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b) Monte um cubo com as peças e diga: qual a medida da aresta do cubo

formado? Calcule o volume com a medida da aresta.

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c) Visualizando as faces do cubo todas são iguais na disposição das peças

que a formam. Separando as peças que formaram uma das faces, na

mesma posição em que se encontram, calcule o volume formado por elas.

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d) Qual a razão do volume dos cubos menores para o volume final do cubo

formado com todas as peças? Qual a porcentagem que o volume dos

cubos menores representa em relação ao volume total do cubo formado?

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ATIVIDADE 4

TETRAEDRO


Classificar os triângulos quanto aos ângulos.

Reconhecer os ângulos determinados por duas retas paralelas cortadas

por uma transversal.

Calcular área da face.

Calcular a área da superfície total do tetraedro.

Tetraedro


1º Passo – Usando um papel de formato quadrado, dobre ao meio na vertical.

2º Passo – Abra o papel e dobre as laterais para dentro até encontrar o vinco do meio.


3º Passo – Dobre ao meio na horizontal.

4º Passo – Abra a última dobra. Dobre as laterais até encontrar o vinco do meio.

5º Passo – Abra a última dobra e observe que formou um quadrado acima e outro abaixo do vinco horizontal no meio do retângulo.

6º Passo – Dobre o quadrado de cima, de forma que um de seus lados saia de um vértice e o outro vértice fique com intersecção na linha da horizontal, formada anteriormente.

7º Passo – Proceda da mesma forma com o outro vértice.

8º Passo – Proceda da mesma maneira com o outro quadrado abaixo do vinco horizontal.


9º Passo – Observe que as dobras formam um losango dentro de um retângulo.

10º Passo – Abra todo o papel, dobre uma faixa nas extremidades do papel no ponto onde fica o vértice do losango.

11º Passo – Dobre os vértices do retângulo formado de modo que, saindo do vértice do losango a dobra externa deve acompanhar o lado do losango.

12º Passo – Dobre o papel para dentro seguindo as marcas de passos anteriores, formando um paralelogramo.

13º Passo – Observe nas dobras quatro triângulos equiláteros.

14º Passo – Construa mais um módulo, até o passo 10.


15º Passo – Dobre os vértices do retângulo, opostos ao passo do módulo já formado. Saindo do vértice do losango a dobra externa deve acompanhar o lado do losango.

16º Passo – Dobre o papel para dentro seguindo as marcas de passos anteriores, formando um paralelogramo. Observe que os módulos ficaram com formatos opostos.

17º Passo – Marque os vincos formados pelos triângulos equiláteros.

18º Passo – Encaixe os módulos seguindo as dobras dos triângulos equiláteros.

19º Passo – Tetraedro concluído.




Aluno: ________________________________n°:______9°ano/turma:______


Tetraedro Responda as questões de acordo com as observações realizadas na confecção e no manuseio do tetraedro.

1) Quantas arestas chegam a cada vértice do poliedro?

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2) As faces desse poliedro são todas iguais? Quantas são?

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3) No 9º passo, observe os triângulos formados e classifique quanto aos

ângulos.

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4) Usando régua para medir e desenhar, reproduza a face do poliedro e

calcule sua área.

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5) Calcule a área da superfície total desse poliedro.

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6) No 10º passo, podemos observar ângulos formados entre retas paralelas e

retas transversais, cite três posições de ângulos formados entre as retas.

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ATIVIDADE 5

CUBO

Objetivos

Identificar as diagonais de um polígono.

Identificar retas paralelas.

Identificar e representar frações.

Planificar um cubo.

Calcular área da face e área da superfície total do cubo.

Calcular volume do cubo.

Cubo Passos para construção

1º Passo - Usando um papel de formato quadrado, dobre ao meio na vertical.

2º Passo - Abra o papel e dobre as laterais para dentro até encontrar o vinco do meio.


3º Passo - Abra o papel, observe que formaram quatro retângulos, dobre as pontas dos retângulos que estão nas extremidades, de maneira que as pontas dobradas fiquem na diagonal do quadrado.

4º Passo – Retorne as laterais ao meio. Dobre um dos vértices do retângulo acompanhando a dobra anterior.

5º Passo – Observe o triangulo formado na última dobra. Encaixe-o debaixo da lateral.

6º Passo – Proceda da mesma forma na outra extremidade, dobre o triangulo e encaixe, formando um paralelogramo.

7º Passo – Vire o papel. Dobre as pontas uma pra cima, outra para baixo, observe que o encontro das dobras forma a diagonal do quadrado.

8º Passo – Construa mais cinco módulos, num total de seis.

Fonte: Acervo Pessoal.

9º Passo – Encaixe os módulos, coloque as pontas dentro dos bolsos formados nos módulos, procurando formar o cubo.

10º Passo – Cubo formado.

Fonte: Acervo Pessoal.



Aluno: ________________________________n°:______9°ano/turma:______


Cubo

Responda as questões de acordo com as observações realizadas na confecção e

no manuseio do cubo.

1) Ao final do 2º passo as dobras apresentam que tipos de retas?

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2) As faces desse poliedro são todas iguais? Quantas são?

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3) Qual o nome dado a esse poliedro de acordo com o número de faces?

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4) Usando régua para medir e desenhar, faça a planificação do cubo.

5) Calcule a área da face e área da superfície total desse poliedro.

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6) Calcule o volume do cubo.

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7) No 7º passo, qual a fração que representa a superfície da figura do

paralelogramo em relação a superfície do papel inicial?

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8) Ao final do 7º passo obteve-se a diagonal do quadrado. Quantas diagonais

tem um quadrado? Quantas diagonais tem um cubo?

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ATIVIDADE 6

OCTAEDRO

Objetivos

Identificar figuras geométricas durante a execução do trabalho.

Identificar e representar frações.


Calcular área de trapézio.

Calcular área da face e área da superfície total do octaedro.

Octaedro

Passo a passo

Face Modular

1º Passo – Usando um papel de forma quadrada, dobrar ao meio na vertical, abrir e dobrar ao meio na horizontal.

2º Passo – Dobre o papel de modo que o lado do quadrado saia de um vértice e o outro vértice fique com intersecção na linhada horizontal.


3º Passo – Marque o ponto de encontro do lado com a linha da vertical.

4º Passo – Dobre o papel de forma que o outro lado do quadrado inicial saia de um dos vértices e passe pelo ponto marcado no anterior.

5º Passo – Observe que o verso do papel forma um triangulo equilátero.

6º Passo – Dobre o papel para cima para que o ponto médio da base encontre o vértice do triangulo.

7º Passo – Dobre um dos vértices para trás acompanhando o triangulo do verso.

8º Passo – Dobre o outro vértice, e encaixe no bolso formado na face triangular.


9º Passo – Dobre um pequeno triangulo na aba que ficou ao lado do triangulo.

10º Passo – Dobre a aba encaixando uma parte no bolso formado na face.

11º Passo – Para construir o octaedro você precisa de oito faces iguais a estas.


Módulo de Encaixe

1º Passo – Corte o quadrado inicial em quatro quadrados iguais.

2º Passo – Usando um pequeno quadrado, dobre ao meio na horizontal, abra e dobre ao meio na vertical.


3º Passo – Dobre os vértices para dentro até encontrar o ponto central.

4º Passo – Para formar o octaedro você precisa de doze módulos de encaixe.


Montagem do octaedro

1º Passo – Usando os módulos triangulares, encaixe-os nos bolsos formados nas faces triangulares, formando uma pirâmide de base quadrada.

2º Passo - Faça duas pirâmides.

3º Passo – Encaixe a base de uma pirâmide na outra pirâmide, formando o octaedro.




Aluno: ________________________________n°:______9°ano/turma:______


Octaedro Responda as questões de acordo com as observações realizadas na confecção e no manuseio do octaedro.

1) Observe no 2º passo da face modular o triângulo em destaque, classifique-

o quanto aos ângulos.

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2) No 5º passo da face modular, classifique o triângulo em destaque, quanto

aos ângulos e quanto aos lados.

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3) Ao término do 6º passo da face modular, qual a figura em destaque, calcule

sua área.

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4) Quantas faces possui esse poliedro?

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5) Calcule a área da face desse poliedro.

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6) Calcule a área da superfície total desse poliedro.

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7) Qual a fração que a face modular ao final da dobradura representa em

relação ao triangulo formado no 5º passo.

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ATIVIDADE 7

DODECAEDRO

Objetivos

Identificar reta perpendicular.

Identificar as diagonais do pentágono.


Calcular área da face e área da superfície total.

Dodecaedro

Passo a Passo

1º Passo – Usando um papel retangular, dobre ao meio para formar o vido na horizontal e na vertical.

2º Passo – Dobre os vértices que estão na diagonal do retângulo até encontrar o conto central do papel.


3º Passo – Proceda da mesma forma com os outros vértices.

4º Passo – Observe que formou um hexágono. Dobre-o ao meio, formando um pentágono.

5º Passo – Encaixe as dobras internas do pentágono.

6º Passo – Dobre um dos lados médios do pentágono de encontro com o lado maior.

7º Passo – Proceda da mesma forma com o outro lado.

8º Passo – Dobre para trás o vértice na altura dos pontos formados nas dobras anteriores, formando o vinco de uma das diagonais do pentágono.


9º Passo – Em um dos pontos formados pela diagonal, dobre o papel seguindo a diagonal do pentágono.

10º Passo – Proceda da mesma forma com o outro lado.

11º Passo – Construa mais onze módulos iguais a estes.

12º Passo – Encaixe nove módulos, três a três.

13º Passo – Encaixe esses novos módulos um no outro.

14º Passo – Os três módulos restantes deverão ser encaixados observando que as arestas onde não possuem a abertura de encaixe se encontram, formando assim o dodecaedro.




Aluno: ________________________________n°:______9°ano/turma:______


Dodecaedro Responda as questões de acordo com as observações realizadas na confecção e no manuseio do dodecaedro.

1) Qual a posição das retas formadas no 1º passo?

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2) Qual a figura formada ao final do 3º passo?

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3) Quantas são as faces desse poliedro e qual o nome dessa face?

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4) Use a régua para medir, desenhar e depois calcule a área da face do

poliedro. Obs: Dividir a face em polígonos triangulares para calcular a área.

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5) Calcular a área da superfície total do poliedro.

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6) Quantas diagonais tem o polígono formado pela face do dodecaedro?

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7) Com um lápis partindo de um dos vértices do pentágono formado na face

do dodecaedro, pode se percorrer todas as diagonais sem tirar o lápis do

papel, sem passar duas vezes na mesma diagonal, retornando ao ponto

inicial. Qual o comprimento do percurso percorrido?

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ATIVIDADE 8

ICOSAEDRO

Objetivos



Calcular área da face e área da superfície total do icosaedro.

Icosaedro

Passo a passo

1º Passo – Construir vinte faces modulares.(Passos na atividade 6).

2º Passo – Construir trinta módulos de encaixe. ( Passos na atividade 6).

3º Passo – Usando as faces triangulares e os módulos de encaixe, forme duas pirâmides de base pentagonal.

4º Passo – Com os triângulos restantes, encaixe-os formando uma faixa.


5º Passo - Encaixe a faixa na base de uma das pirâmides.

6º Passo – Encaixe a outra pirâmide na outra extremidade da faixa, formando o icosaedro.




Aluno: ________________________________n°:______9°ano/turma:______


Atividade 8 - Icosaedro

Responda as questões de acordo com as observações realizadas na confecção e

no manuseio do icosaedro.

1)Quantas são as faces desse poliedro?

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2)Quantas são as arestas desse poliedro?

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3)Quantas arestas chegam a cada vértice desse poliedro?

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4)Usando régua para medir e desenhar, reproduza a face do poliedro e calcule

sua área.

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5)Calcule a área da superfície total desse poliedro.

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ATIVIDADE 9

RELAÇÃO DE EULER

Objetivos

Identificar os elementos de um prisma (vértice, face, aresta).

Compreender a relação entre o nº de vértices, arestas, faces: a relação de

Euler.

Identificar os poliedros de Platão.



Aluno: ________________________________n°:______9°ano/turma:______


Relação de Euler

1)A partir da observação dos poliedros que foram construídos, preencha a

tabela a seguir:

Poliedro Tipo de face Nº de faces Nº de vértices Nº de arestas

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

3) Descrever as características comuns para que um poliedro seja

considerado poliedro de Platão.

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4) Verificar a relação entre arestas vértices e faces para os poliedros a seguir:

Poliedro Nº de faces Nº de vértices Nº de arestas

Pirâmide de base quadrada 5 5

Pirâmide de base pentagonal 6 10

Prisma de base retangular 6

Prisma de base pentagonal 15

Prisma de base hexagonal 12

Prisma de base triangular 5 9

ATIVIDADE 10

CALEIDOSCÓPIO

Objetivos

Identificar os elementos de um prisma.

Calcular área da face, área da superfície lateral e área da superfície total

do prisma.

Calcular o volume do prisma.

Materiais

3 espelhos retangulares de 5 cm por 13 cm.

Fita adesiva.

Plástico grosso transparente.

Canutilhos, lantejoulas e miçangas

Montagem do Caleidoscópio

Materiais

1º Passo – colar com fita adesiva os espelhos de modo que os retângulos se posicionem como faces laterais do prisma, as faces espelhadas devem estar voltadas para dentro.


2º Passo – colar várias camadas de fita adesiva nas arestas laterais do prisma para reforçar a estrutura e evitar cortes.

3º Passo – riscar e recortar um plástico transparente dois a três centímetros maior que a base do prisma.

4º Passo – colocar o plástico transparente nas bases do prisma, fixando com fita adesiva.

5º Passo – cole com várias camadas de fita adesiva as sobras do plástico, dando um bom acabamento.

Obs.; antes de fechar a outra base, colocar miçangas, lantejoulas e canutilhos dentro do caleidoscópio (opcional).

Mosaico formado pelo caleidoscópio.




Aluno: ________________________________n°:______9°ano/turma:______


Caleidoscópio

1) Calcule a área da base, área da superfície lateral e área da superfície total

do prisma.

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2) Calcule o volume do prisma.

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Aluno: ________________________________n°:______9°ano/turma:______


AVALIAÇÃO

1) (OBMEP - 2008) Cubo – Pedro quer pintar uma caixa na forma de um cubo

que tal maneira que as faces que têm uma arestas em comum são pintadas em

cores diferentes. Calcule o número de cores necessárias para pintar o cubo.

2) (OBMEP - 2008) Formiga no cubo – Uma formiga parte de um vértice de cubo

andando somente sobre as arestas até voltar ao vértice inicial. Ela não passa

duas vezes por nenhum vértice. Qual é o passeio de maior comprimento que a

formiga pode fazer?

3) (OBMEP - 2010) Pesando caixas – Num armazém forma empilhadas algumas

caixas que formaram o monte mostrado na figura. Se cada caixa pesa 25 Kg,

quantos quilogramas pesa o monte com toas as caixas?

a) 300 b) 325 c) 350 d) 375 e) 400

4) (OBMEP - 2010) Desenhando o Cubo – A figura ao lado foi desenhada em

cartolina dobrada de modo a formar um cubo.

Qual das alternativas mostra o cubo assim formado?

5) (OBMEP - 2010) Peças de um quadrado – Pedro montou um quadrado em

quatro das cinco peças abaixo. Qual é a peça que ele não usou?

6) (OBMEP - 2010) Números de latas – Uma fábrica embala latas de palmito em

caixas de papelão de formato cúbico de 20 cm de lado. Em cada caixa sã

colocadas 8 latas e as caixas são colocadas, sem deixar espaços vazios, em

caixotes de madeira de 80 cm de largura por 120 cm de comprimento e 60 cm de

altura. Qual é o número máximo de latas de palmito em cada caixote?

a) 576 b) 4608 c) 2304 d) 720 e ) 144

GABARITO DAS ATIVIDADES

Atividade 1 – Observar objetos

1) Pessoal

2) Pessoal

3)

4) Pessoal

5) Pessoal

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Atividade 2 - Caixas

Caixa 1

1) Quadrado (dimensões do papel utilizado lado 15 cm).

2) 152 = 225 cm2, 152 = 225 cm2, (21,2)2 = 449.44 cm2

Pretende-se que o aluno chegue a conclusão de que a soma do

quadrado dos lados menores é igual ou aproximado ao quadrado do

lado maior (Teorema de Pitágoras)

3) Quadrada

4) Área da base = (5,2)2 = 27.04 cm2

Área da superfície lateral = 4.( 5,2 x 2,6 )

= 4. (13,52)

= 54,08 cm2

Área da superfície total = 27,04 + 54,08

= 81,12 cm2

5) Volume = 5,2 x 5,2 x 2,6 = 70,30 cm3

Caixa 2

1) Quadrado (dimensões do papel utilizado lado 15 cm).

2) 152 = 225 cm2, 152 = 225 cm2, (21,2)2 = 449.44 cm2

Pretende-se que o aluno chegue a conclusão de que a soma do

quadrado dos lados menores é igual ou aproximado ao quadrado do

lado maior (Teorema de Pitágoras)

3) Retangular

4) Área da base = 10 x 5 = 50 cm2

Área da superfície lateral = 2.( 10 x 2,4 ) + 2. ( 5 x 2,4 )

= 2 x 24 + 2 x 12

= 48 + 24

= 72 cm2

Corpos redondos Poliedros

Tapinha de garrafa Caixa de fósforo

Bola Dado

Lápis de cera Caixa de remédio

Pilha

Área da superfície total = 50 + 72

= 122 cm2

5) Volume = 10 x 5 x 2,4 = 120 cm3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Atividade 3 – Quebra-Cabeça

a) 6 peças de volume = 4 x 2 x 1 = 8 un3 6 peças de volume = 2 x 2 x 3 = 12 un3

5 peças de volume = 1 x 1 x 1 = 1 un3

b) volume = 53 = 125 un3

c) volume das peças usadas para compor uma face:

3 peças de 8 un3 + 2 peças de 12 un3 + 1 peça de 1 un3

Volume final 49 un3

d) razão = 1/5 ; porcentagem 4%

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Atividade 4 – Tetraedro

1) Três arestas

2) Sim, são quatro

3) Triangulo acutângulo, triangulo obtusângulo, triangulo retângulo

4) Para esta atividade o papel inicial tem dimensões de 15 cm2

Área de triangulo = b x h / 2

Área da face = 7,5 x 6,5 / 2 = 24,37 cm2

5) Área da superfície total do poliedro = 4 x 24,37 cm2

6) Pessoal

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Atividade 5 – Cubo

1) Retas paralelas

2) Sim, são seis quadradas

3) Hexaedro

4) Pessoal (há varias posições das faces para a planificação do cubo)

5) Para esta atividade foi utilizado um papel de dimensões 9 cm2

Área da face = (3,2)2 = 10,24 cm2

Área da superfície total = 6 x 10,24

= 61,44 cm2

6) Volume = ( 3,2)3 = 32,76 cm3

7) R: ¼

8) Quadrado: 2 diagonais; Cubo: 4 diagonais

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Atividade 6 – Octaedro

1) Triangulo retângulo.

2) Quanto aos lados classifica-se em triangulo equilátero, quanto aos

ângulos classifica-se em triangulo acutângulo.

3) A figura em destaque é um trapézio.

Para esta atividade foi utilizado papel quadrado de lado 9 cm.

Área de trapézio = [(B + b). h] / 2

= [(8,8 + 4,4).3,9] /2

= [13,2 x 3.9 ] / 2

= 51.48 / 2

= 25.74 cm2Oito faces.

4) Área da face = (4,4 x 4,4) / 2

= 19,36 /2

= 9,68 cm2

Área da superfície total = 8 x 9,68

= 77,44 cm2

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Atividade 7 – Dodecaedro

1) Perpendiculares.

2) Hexágono.

3) Dez faces. O nome dado a essa face é pentágono.

4) O papel utilizado para esta atividade tem dimensões 10 cm x 7 cm.

Triangulo 1 = (2,5 x 1,4) /2

= 3,5 / 2

= 1,75 cm2

Triangulo 2 = (2,1 x 3,7) / 2

= 7,77 / 2

= 3,88 cm2

Área da face = 2 x área do triangulo1 + área do triangulo 2

= 2 x 1,75 + 3,88

= 3,5 + 3,88

= 7,38 cm2

5) Área da superfície total do poliedro = 10 x 7,38

= 73,8 cm2

6) 5 diagonais

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Atividade 8 – Icosaedro

1) Vinte faces.

2) Trinta arestas.

3) Cinco.

4) Área da face = (4,4 x 4,4) / 2

= 19,36 /2

= 9,68 cm2

5) Área da superfície total = 20 x 9,68

= 193,6 cm2

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Atividade 9 – Relação de Euler

1)

Poliedro Tipo de

face

Nº de

faces

Nº de

vértices

Nº de

arestas

Tetraedro triangular 4 4 6

Cubo quadrada 6 8 12

Octaedro triangular 8 6 12

Dodecaedro pentagonal 12 20 30

Icosaedro triangular 20 12 30

2) - O nº de arestas é igual em todas as faces.

- Os ângulos poliédricos possuem o mesmo nº da arestas.

- As faces são polígonos regulares.

3)

Poliedro Nº de

faces

Nº de

vértices

Nº de

arestas

Pirâmide de base

quadrada

5 5 8

Pirâmide de base

pentagonal

6 6 10

Prisma de base

retangular

6 8 12

Prisma de base

pentagonal

7 10 15

Prisma de base

hexagonal

8 12 18

Prisma de base triangular 5 6 9

Atividade 10 – Caleidoscópio

1) Área da base = (5 x 4,4) /2

= 22 /2

= 11 cm 2

Área do retângulo = 5 x 13

= 65 cm2

Área da superfície lateral = 3 x 65

= 195 cm2

Área da superfície total = 2 x 11 + 195

= 22 + 195

= 217 cm2

Volume = 11 x 13

= 143 cm3

GABARITO DA AVALIAÇÃO

1) Cubo – Um cubo tem 6 faces distint5as, duas a duas opostas. As faces

opostas não têm aresta em comum. Temos 3 partes de faces opostas, logo três

cores são suficientes, basta pintar as faces opostas da mesma cor. Por outro

lado, é claro que duas cores não bastam.

2) Formigas co cubo – Veja na figura um caminho percorrendo 8 arestas que a

formiga pode fazer partindo do vértice 1.

Será possível ela fazer um caminho passando por 9 arestas? Para fazer esse

caminho, ela teria que passar por 9 vértices, veja no desenho, lembrando que o

vértice de chegada é o mesmo que o de partida porque a formiguinha volta ao

vértice inicial:

Como o cubo só tem8 vértices, esse passeio não é possível. Logo, o passeio de

maior comprimento é o que tem 8 arestas

3) Pesando as caixas: A opção correta é (c)

Na figura podemos ver uma coluna com três caixas, quatro colunas com duas

caixas e três colunas com uma caixa. Logo, o total de caixas é:

1 x 3 + 4 x 2 + 3 x 1 = 14

Como cada caixa pesa 25 Kg, o peso do monte de caixas é 14 x 25 = 350 Kg.

4) Desenhando o cubo – a opção correta é (b)

Vemos que o cubo (a) é igual ao cubo (e) e o cubo (c) é igual ao cubo (d). Como

não podemos trocar a estrela com circuito cheio mantendo o círculo oco no topo,

vemos que a alternativa correta é a (b).

5) Peças de um quadrado - Para que seja possível montar o quadrado, o

número total de quadradinhos, deve ser um quadrado perfeito. Um número inteiro

é um quadrado perfeito se ele é igual ao quadrado de algum número inteiro. Por

exemplo, 1, 4, 9, 16 e 25 são quadrados perfeitos, pois 1= 1², 4 = 2², 9 = 3², 16=

4³ e 25 = 5². Observe que esse cinco inteiros são os únicos quadrados perfeitos

menores do que 30.

Contando o total de quadradinhos apresentados nos cincos opções de resposta

obtemos 4 +5 + 6 + 7 + 8= 30. Portanto, devemos eliminar uma peça com 5

quadradinhos, para restar 16, outro quadrado perfeito, ou eliminar uma peça com

14 quadradinhos, para restar 16, outro quadrado perfeito, ou eliminar uma com

21, para restar 9, ou eliminar uma com 26, para restar 4, ou eliminar uma com 29

quadradinhos, para restar um único. Ocorre que não há peças com 14, 21, 26 ou

29 quadradinhos, restando à única opção de eliminar a peça (b), com 5

quadradinhos.

O único quadrado que Pedro poderia ter montado com quatro peças é não

usando a peça (b). Isto não significa que seja possível montar um quadrado com

as quatro peças resultantes. Mas, sabendo que devemos montar um quadrado

com as quatro peças restantes. Mas, sabendo que devemos montar um quadrado

de lado 5 com as cinco peças (a), (c), (d) e (e), o problema já fica bem mais fácil.

A figura mostra como isso pode ser feito.

6) Números de latas - A opção correta é (a)

Em cada caixote de madeira de dimensões a x b x c cabem (a x b x c)l l³ cubos de

lado l. empilhados regularmente. No caso dos palmitos temos. cm centímetros, a

= 60.b = 80.c = 120 e l 20. Como 60. 80 e 120 são múltiplos de 20, podemos

preencher o caixote, sem deixar espaços, com (60 x 80 x 12O)/20³ = 72 caixas de

papelão de formato cúbico com 20 cm de lado. Logo em cada caixote cabem 72 x

8 = 576 latas de palmito.

9 AVALIAÇÃO

A avaliação ocorrerá durante o processo de implementação os alunos

serão observados quanto a sua participação e desempenho durante a atividade,

pois a participação dos mesmos é muito importante para o entendimento dos

conteúdos matemáticos que serão abordados. Será realizado uma intervenção

oral, através de questionamentos durante as dobradura, observação do

desenvolvimento do aluno durante a confecção dos Origamis, atividades

individuais escritas e questões da OBMEP.

REFERÊNCIAS

BANCO DE QUESTÕES 2010 - OBMEP - Olimpíada Brasileira de Matemática

das Escolas Públicas - 2010.

_______. 2008 - OBMEP - Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas

Públicas - 2008.

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares

Nacionais: Matemática/Secretaria da Educação Fundamental. Brasília:

MEC/SEF,1998.

GENOVA, Carlos. Origami: dobras, contas e encanto. São Paulo: Escrituras

editora, 2008.

INEMES, Luiz Márfcio. Geometria das dobraduras. Vivendo a matemática. 7ª

ed. Ed.Scipione, 1996.

MACHADO, Nilson José. Os poliedros de platão e os dedos da mão. Vivendo

matemática. 4ª ed. Editora Scipione. 1994.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede

Pública do Estado do Paraná. DCE, 2008.

______. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. - Curitiba: Secretaria de Estado da Educação, 2008.

______. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Arte. Curitiba: Secretaria de Estado da Educação, 2008.

ficha para identificaÇÃo - operação de … · total e volume de sólidos geométricos ......

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