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FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO
PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2012
Titulo: As operações Matemática Fundamentais em um Contexto Histórico e Na Perspectiva
da Resolução de Problemas
Autor Itamar Aparecido Borges
Disciplina/Área (ingresso no
PDE)
Matemática
Escola de Implementação do
Projeto e sua localização
Colégio Estadual Olídia Rocha - EFM
Município da escola Nova Tebas
Núcleo Regional de Educação Pitanga
Professor Orientador Lindemberg Souza Massa
Instituição de Ensino Superior UNICENTRO
Relação Interdisciplinar
História, Geografia , Artes e Língua Portuguesa
Resumo
O cidadão do século XXI vive em um mundo rodeado por
números, no entanto, apesar do reconhecimento da importância
que o conhecimento matemático pode representar na vida do
cidadão moderno, a alfabetização matemática ainda não atinge
parcela significativa de nossa população. Desta forma, sabendo
da importância da disciplina de Matemática e, reconhecendo a
defasagem de aprendizagem apresentada por nossos alunos
nessa disciplina, foi construída a presente proposta de
intervenção na escola. Portanto o presente trabalho que tem
como objetivo principal, verificar a eficácia de implantação de
um sistema de monitoria na educação básica, foi desenvolvido
na perspectiva de resolução de problemas levando em
consideração o contexto histórico no qual o conhecimento
matemático foi produzido.
Palavras-chave Monitoria, história da Matemática e Resolução de Problemas
Formato do Material Didático Caderno Pedagógico
Público Alvo
Alunos do 6º ano das séries finais do ensino fundamental
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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE
MATERIAL DIDÁTICO
Professor PDE: Itamar Aparecido Borges
Orientador: Lindemberg Souza Massa
NOVA TEBAS
SETEMBRO/2012
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MATERIAL MULTIMIDIA
AS OPERAÇÕES MATEMÁTICA FUNDAMENTAIS EM UM CONTEXTO
HISTÓRICO E NA PERSPECTIVA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Professor PDE: Itamar Aparecido Borges
Orientador: Lindemberg Souza Massa
NOVA TEBAS
SETEMBRO/2012
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AS OPERAÇÕES MATEMÁTICA FUNDAMENTAIS EM UM CONTEXTO
HISTÓRICO E NA PERSPECTIVA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
1. Introdução
O presente material didático-pedagógico, desenvolvido durante o Programa de
Desenvolvimento Educacional – PDE/2012 faz parte de um projeto de pesquisa mais
amplo, cujo processo investigativo está norteado pela questão: É possível implementar
um projeto de monitoria, na perspectiva de aprendizagem cooperativa, na Educação
Básica?
A elaboração desse material está vinculada ao processo de implementação do
Projeto de Intervenção Pedagógica, uma das etapas do PDE, a ser realizado no Colégio
Estadual Olídia Rocha – Ensino Fundamental e Médio, pertencente ao município de
Nova Tebas, Núcleo Regional de Educação de Pitanga. Objetiva também oferecer aos
professores da Educação Básica subsídios teórico-práticos para o trabalho pedagógico
por meio da articulação das tendências metodológicas atualmente sugeridas, Nas
Diretrizes Curriculares, para a Educação Matemática: História da Matemática e
Resolução de Problemas articulado com a manipulação do Soroban.
Espera-se que ao mesclar a utilização de tais tendências no ensino e
aprendizagem da Matemática juntamente com a técnica do Soroban de a possibilidade
ao professor de enfatizar que o conhecimento matemático foi construído como
resposta a perguntas e problemas oriundos das mais diferentes situações. A motivação
para resolver problemas de ordem prática como: o número de ovelhas de um rebanho,
cálculo da área de terras entre outros, além de problemas vinculados a outras ciências
como a Física, Astronomia, navegações e que possibilitaram ao ser humano fazer
Matemática..
Ao contextualizar historicamente o conteúdo matemático é possível
compreender as ideias que geraram muitos conceitos e permite observar que a
Matemática é um processo contínuo. Desta forma, a História da Matemática
“oportuniza um estudo cultural e crítico da Matemática, o que se constitui num desafio
para professores e alunos” (PACHECO, 2010, p. 40).
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A abordagem dos conteúdos matemáticos por meio da Resolução de Problemas
permite que o aluno faça a seguinte reflexão: O que vem antes a definição matemática
ou o problema? Compreendendo que primeiro surge um problema para somente a
seguir buscar a sua solução é que serão desenvolvidos conceitos, ideias e métodos
matemáticos, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo
de estratégia para resolvê-las. Assim, como afirma D’Ambrósio (1996), o
conhecimento é produzido para resolver situações e problemas em seus contextos
socioculturais.
O uso de problemas históricos, que foram desenvolvidos ao longo da história
da humanidade, pelas mais diferentes civilizações trata-se de um exemplo de
atividade que tem a possibilidade de contextualizar o conhecimento matemático e de
mostrar que sociedades distintas trataram de questões semelhantes ao longo tempo.
Também cria a possiblidade de, “desenvolver nos alunos a capacidade de elaboração
própria, pesquisa, investigação, argumentação, formulação de hipóteses, entre outras”.
(PACHECO, 2010, p. 13).
Com a intenção de articular a História da Matemática, Resolução de
Problemas e o Soroban, intencionou-se desenvolver esse trabalho, o qual se propõe a
utilizar as contribuições que a História da Matemática pode oferecer para que o aluno
crie e desenvolva estratégias para a Resolução de Problemas. Também espera que o
Soroban, instrumento desenvolvido e aperfeiçoado historicamente ao longo de
gerações humanas, possa servir como uma ferramenta útil nas operações
matemáticas.
O presente trabalho tem como objetivo central: verificar a eficácia de
implementação de um grupo de monitoria na Educação Básica, Assim ao final de cada
unidade didática estão previstas atividades, extras a serem desenvolvidas no contra
turno e com a participação de “alunos monitores”. O grande problema que deu origem
a esse trabalho é a defasagem de aprendizagem matemática, desta forma espera-se que
esta proposta possa contribuir para melhoria da formação matemática nas escolas
públicas paranaenses.
2. Fundamentação Teórica
2.1. História da Matemática e Educação Matemática
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O cidadão contemporâneo precisa estar alfabetizado matematicamente, precisa
conhecer Matemática para raciocinar criticamente acerca de assuntos do cotidiano. As
pessoas precisam pensar quantitativamente e individualmente, usar a Matemática por
elas mesmas para tirarem suas conclusões a cerca do mundo em que vivem.
De acordo com Moura(2004, p.5)
“Cidadãos quantitativamente alfabetizados precisam conhecer mais que
fórmulas e equações. Eles precisam de uma predisposição para olhar o
mundo através de olhos matemáticos, para ver os benefícios (e riscos) de
pensar quantitativamente acerca de assuntos habituais, e para abordar
assuntos complexos com confiança no valor do raciocínio cuidadoso.
Alfabetização quantitativa dá poder às pessoas ao fornecer-lhes ferramentas
para que pensem por si próprias, para fazer perguntas inteligentes aos
especialistas, e para confrontar a autoridade com confiança. Essas são
habilidades requeridas para prosperar no mundo moderno.”
A disciplina de Matemática tem uma história muito antiga e, assim,
civilizações antigas como, árabe, grega, egípcia romana foram desenvolvendo seus
sistemas numéricos. Mas já na antiguidade, no surgimento da matemática, essa, era
uma ciência elitista e se destinava a contribuir com as desigualdades e manutenção do
poder. Já na antiguidade as relações entre os povos, eram marcadas por profundas
desigualdades e contradições.
Na sociedade democrática escravocrata grega, onde estão as raízes da
formação do conhecimento e do pensamento ocidental fica evidente a quem destinava
o conhecimento matemático. A sociedade grega é descrita por Machado (1991:63),
“(...) numa sociedade como a grega, onde a matemática era destinada ao deleite da
elite intelectual e os escravos podiam, e até deviam, ficar longe dela.”
A realidade é que mesmo a Matemática tendo surgido a milênios, a ideia de
que os cidadãos “comuns” de uma maneira em geral, sejam alfabetizados
matematicamente é algo recente, novo.
Conforme Moura (2004, p.6)
“(...) a expectativa que os cidadãos comuns sejam quantitativamente
alfabetizados é fundamentalmente um fenômeno do final do século XX. Em
tempos antigos, números, especialmente números grandes, serviam mais
como metáforas do que como medições. A importância de métodos
quantitativos nas vidas de pessoas comuns emergiu muito lentamente na
idade média quando artistas e mercadores aprenderam o valor de impor
padrões de medida de comprimento, tempo, e dinheiro nas suas artes e
ofícios (...)”
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Assim, alfabetizar matematicamente a população em geral é uma exigência e
uma necessidade da contemporaneidade e, os indicadores educacionais mostram que o
pais está superando a questão do acesso à escola, mas, em relação à efetivação da
aprendizagem ainda existe um fosso muito grande. A questão da aprendizagem é
problema para todas as disciplinas, mas, em relação à Matemática esta realidade é
ainda mais dramática.
D’Ambrósio (2001) conceitua a educação como sendo a estratégia da
sociedade para facilitar que cada indivíduo atinja seu potencial e também como
ferramenta para que cada indivíduo possa colaborar com outros em ações comuns na
busca do bem comum. Mesmo autor reconhece que o trabalho dos educadores é
potencializar suas ações ao máximo, com o desafio de pôr em prática hoje o que vai
servir para o amanhã.
D’Ambrósio (2001) enfatiza que o conteúdo matemático, quando abordado sob
uma perspectiva histórica, ganha novos significados, contribuindo para que o aluno
sinta motivação pelo aprendizado.
A História da Matemática é um recurso pedagógico que deve ser incorporado à
prática da sala de aula, dado a importância que esse instrumento representa na
valorização da Matemática, além de prestar um papel imensurável na ampliação do
conhecimento de nossos alunos ao mostrar a amplitude da disciplina, fazendo-os
perceber que a Matemática vai muito além dos cálculos.
No Paraná Documentos oficial, como as Diretrizes Curriculares de
Matemática, incentivam o uso da História da Matemática em sala de aula.
De acordo com as DCEs,
A História da Matemática é um elemento orientador na elaboração de
atividades, na criação de situações-problema, na busca de referências para
compreender melhor os conceitos matemáticos. Possibilita ao aluno analisar e
discutir razões para aceitação de determinados fatos, raciocínios e
procedimentos (PARANÁ, 2008, p. 66).
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A História da Matemática, desta forma, deve ser a espinha dorsal que sustenta
as explicações dadas aos conceitos matemáticos, podendo, contribuir para uma
aprendizagem mais significativa e crítica, além de oportunizar ao estudante a
oportunidade de compreender que o conhecimento matemático foi construído a partir
de situações concretas e necessidades reais da vida humana e de seu contato com a
natureza. Assim, a Matemática prestou e presta um papel relevante na busca incessante
da humanidade no domínio da natureza.
2.2. Resolução de Problemas
A importância de conhecer a história da Matemática não fica restrita às
discussões sobre as origens dos conceitos matemáticos. Também é importante
conhecer a história de como se deu o ensino de Matemática nas diferentes civilizações
ao longo da trajetória humana. E nesse cenário geral é importante contextualizar a
educação e a educação Matemática no Brasil
A educação brasileira é marcada, historicamente, por ser uma escola
excludente e para poucos. A educação no Brasil, ao longo dos seus mais de 500 anos
de história, pautou-se por ser elitista e destinada a atender aos anseios dessa pequena
parcela da sociedade brasileira.
Somente nas últimas décadas, com a implantação da lei 9394/96, a LDB (Lei
de Diretrizes e Bases) tornou obrigatório, pelo estado, a oferta de Educação Básica a
toda a população brasileira. A lei garantiu o acesso, à escola, a essa grande parcela da
população brasileira formada por: negros, índios, miscigenados, pobres, escravizados
por séculos, explorados e em sua maioria “deculturados”. Esta é a população que
frequenta a escola pública no Brasil.
Até o início do século XX e, talvez até os dias atuais, o ensino da Matemática
foi ou é caracterizado pela repetição. O professor fala, o aluno recebe as informações
escreve, memoriza e repete. Anos depois com o escolanovismo passou a valorizar a
compreensão. Passado mais algum tempo, o ensino da Matemática foi influenciado
pelo movimento conhecido como “Matemática Moderna”, passou a preocupar-se com
abstrações matemáticas excessivas, formalização e um ensino voltado a símbolos e
terminologias complexas, desta forma também comprometeu a aprendizagem da
população.
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No início do anos 80, a Resolução de Problemas passou a ser discutida como
uma estratégia para o ensino e aprendizagem de Matemática.
Segundo Onuchic (1999), a justificativa para se ensinar Matemática,
na perspectiva de Resolução de Problemas deve-se ao fato de que, o ensino e
aprendizagem de Matemática, quando se dá, através da Resolução de Problemas
proporciona ao estudante a oportunidade de compreender os conceitos, os processos, e
as técnicas operatórias necessárias dentro do trabalho feito em cada unidade temática.
Assim, ensinar Matemática através da Resolução de Problemas é dar aos alunos um
meio que possibilite desenvolver sua própria compreensão. E à medida que a
compreensão dos alunos se torna mais profunda, sua habilidade em resolver problemas
aumenta consideravelmente.
O ensino na perspectiva da Resolução de Problemas permite que o aluno tanto
aprenda Matemática resolvendo problemas, como aprenda Matemática para resolver
problemas. Assim o ensino e aprendizagem, na perspectiva da Resolução de
problemas. Busca usar tudo o que há de bom na repetição, compreensão, uso da
linguagem matemática, aliada à possibilidade do aluno participar na construção de seu
conhecimento.
As DCEs indica a Resolução de Problemas como uma das tendências
metodológicas a serem empregadas pelo professor na abordagem dos conteúdos
matemáticos. Este mesmo documento oficial, do governo paranaense, abre a discussão
sobre as possibilidade de fazer Matemática na sala de aula a partir da História da
Matemática.
Desta forma, neste trabalho, as tendências da Educação Matemática como a,
Resolução de Problemas e a História da Matemática incrementadas com a utilização
do Soroban serviram como elementos orientadores para o processo de ensino e
aprendizagem e elaboração das atividades se darão nesta perspectiva. Desta forma
espera-se que o estudante possa compreender melhor os conceitos matemáticos, ao ter
a possibilidade de analisar e discutir as razões para aceitação de determinadas
definições e procedimentos.
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3. Atividades a serem desenvolvidas na execução do projeto
Este trabalho será desenvolvido com o 6º e 7º ano, do Colégio Estadual Olídia
Rocha – Ensino Fundamental e Médio, do município de Nova Tebas.
O material está subdividido nas seguintes unidades:
Unidade 1: filme: “A história do número 1”.
Unidade 2: de onde vem o número?
Unidade 3: As diferentes civilizações e o número.
Unidade 4: A nossa numeração de onde veio?
Unidade 5: O sistema de numeração decimal e as ideias de adição e subtração.
Unidade 6: O sistema de numeração decimal e as ideias multiplicação e divisão
Unidade 7: As operações fundamentais e o soroban
Unidade 8: A história da Matemática e a Resolução de Problemas..
O trabalho será dividido em oito unidades. Em todas as unidades será feito uso
da TV multimídia para a apresentação de slides e “filmes”. Faz parte de cada uma das
unidades uma série de atividades de aplicação, os quais serão trabalhados com os
alunos após as apresentações. Também compõe cada unidade atividades
complementares que poderão ser utilizadas nas “tarefa de casa”.
Nosso trabalho prevê a utilização de alunos monitores, em contra turno e,
verificar a eficácia de tal procedimento. Desta forma, para uma das turmas, estas
atividades complementares, no caso da turma assistida pelo monitor será realizada
com o auxilio deste aluno colaborador. Para a outra turma estas atividades serão
utilizadas como tarefa de casa.
Na primeira unidade será apresentado e discutido o filme “A História do
Número 1”. As demais unidades seguirão sempre com a mesma metodologia:
utilização da TV multimídia para apresentação, atividades de aplicação realizadas em
sala de aula após a apresentação e atividades complementares “para casa”, a serem
realizadas em casa, no caso de uma das turmas e a serem realizadas na escola, com o
auxílio de “alunos monitores”, neste último caso em contra turno.
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Exibição do filme “A História do Número 1”.
É um filme que apresenta de forma muito divertida a história dos números em
diferentes civilizações ao longo história da humanidade. Além de ser importante para a
compreensão da construção do número pela humanidade, que se deu a partir de
necessidades básicas de nossos antepassados, também é uma ótima ferramenta
interdisciplinar ao fazer a conexão entre a História e a Matemática
Outro dado importante é o fato de ser uma ferramenta disponível no Portal Dia a Dia.
É só baixar no pendrive e utilizar na TV multimídia. O endereço é seguinte:
http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=9624
Professor
Durante a apresentação do filme é importante que os alunos façam anotações de partes
que considerarem interessantes ou importantes bem como as possíveis dúvidas. A
forma de exibição do filme fica a critério do professor, se vai ser uma exibição continua
sem interrupções deixando as discussões para o final, ou, se preferir pode fazer as
interpelações. ao longo da exibição. O importante é que haja essa discussão e que ela se
de forma registrada no caderno de anotações do aluno.
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01) Após ter assistido o filme, “a História do número 1”, produza um texto, de no
mínimo 12 linhas, comentando sobre o filme e a importância do número em
nossa sociedade. Não se esqueça de dar um título bem legal ao seu texto e
procure ser criativo ao escrever.
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DE ONDE VEM O NÚMERO?
A História da Matemática está vinculada ao desenvolvimento das atividades humanas.
A necessidade de contar foi desenvolvida pela sociedade primitiva como forma de
controle sobre a quantidade do rebanho, como saber se uma ovelha havia sido roubada
ou estava perdida. Assim as primeiras marcações de quantidades eram feitas com
pedrinhas, marcas em ossos e madeira, desenhos em cavernas, nós em uma corda e
outras formas de registros que pudessem ser usadas, sempre em uma correspondência
um a um. Ainda hoje podem ser encontrados vestígios dessa forma primitiva de
registrar quantidades em tribos de povos considerados primitivos da África, da
Austrália e até do Brasil
Com o passar do tempo e o desenvolvimento das atividades comerciais, quando
o homem precisou registrar quantidades cada vez maiores, surgiu a necessidade de
ampliação do conceito de número. No processo de formação da sociedade, o homem
passa a ter novas necessidades, como, por exemplo, armazenagem e registro de
colheitas, calendários, surgem as cobranças de impostos entre outras tantas coisas.
Desta forma vai surgindo a necessidade de lidar com números cada vez maiores.
Também surge a necessidade de comunicação entre os homens. As novas necessidades
é que vão levar à criação de símbolos e regras que lhes permitissem lidar com
quantidades cada vez maiores.
Professor
As atividades desenvolvidas nesta unidade serão trabalhadas objetivam levar o aluno a
descobrir que a matemática foi surgindo, sendo produzida, com o intuito de resolver
questões diárias. Os primeiros registros que podem ser classificados, como a gênese
da Matemática, onde começa a surgir uma linguagem, que pode ser classificada como
Matemática nascem da necessidade do homem de representar quantidades de objetos.
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DE ONDE VEM O NÚMERO?
DE ONDE VEM O NÚMERO?
Em suas atividades diárias você usa o número em diversas situações. Mas você já pensou sobre o assunto: a) Quem inventou o número? b) Os números sempre foram como os conhecemos
hoje?
Há cerca de 30 000 anos atrás, a vida humana era bem diferente da que temos hoje: Os humanos viviam em pequenos grupos e moravam em grutas ou cavernas. Nesta época o ser humano era coletor e sua alimentação vinha diretamente da natureza: caça, frutos, sementes, ovos,.... Mas o homem já começava os primeiros passos da
contagem.
Os primeiros registros que se tem na história mostram que o homem para registrar quantidades fazia a correspondência um a um, por exemplo: a) Cada peixe pescado um risco no osso; b) Cada animal caçado uma marca em uma vareta; c) Cada ovelha solta para pastar uma pedra
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Assim foi contando objetos com outros objetos. Em um artifício conhecido como correspondência um a um, é que a humanidade começou a construir o conceito de número. Esta correspondência um a um resolvia o problema do homem das cavernas. E como por aproximadamente 20 000 anos nossos antepassados viveram em cavernas essa Matemática dava conta de suas necessidades.
Porém! Há mais ou menos 10 000 anos atrás, o ser humano começou a modificar seu modo de viver. Nesta época o ser humano começa a deixar de ser nômade e passa a construir sociedades. Neste período começam a surgir as primeiras comunidades que se fixam às margens de rios. O homem abandona as cavernas e passa a construir sua casa para morar. Em vez de apenas coletar o homem passa a cultivar plantas.
Este período marca o início da agricultura. Com o passar dos tempos, os agricultores passam a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades gerando assim excedentes. Com a produção de excedentes surgem a necessidade de trocas, já que nem todos produziam as mesmas coisas. Com as trocas surge o comércio. É o fim da pré-história e o início da História.
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1ª Atividade:
A vida de um pastor primitivo era simples demais, pela manhã ele levava as ovelhas
para pastar. À noite, com medo de outros animais atacarem suas ovelhas, recolhia as
ovelhas dentro de um cercado. Para controlar seu rebanho o jeito encontrado, pelo
pastor, foi contar ovelhas com pedras. Para cada ovelha que saia, do cercado para
pastar, ele colocava uma pedrinha em um saquinho, ao final do dia à medida que as
ovelhas iam entrando no cercado, ia retirando as pedras do saquinho.
a) À tardinha, depois de recolher as ovelhas que voltaram saciadas da pastagem, o
pastor verificou que restavam 8 pedrinhas no saco. O pastor ficou pensativo:”
O que será que aconteceu?
b) O pastor decidiu ir atrás das ovelhas que estavam perdidas e recomeçou a
contagem jogando fora uma pedrinha para cada ovelha perdida que encontrava.
Mas algo estranho aconteceu, pois acabou todas as pedrinhas que ele tinha no
saquinho e ainda restavam algumas ovelhas. Como explicar este fato curioso?
O que pode ter ocorrido?
c) No dia seguinte, o pastor volta à rotina diária. De manhã solta o rebanho para
pastar, sempre colocando uma pedrinha, dentro do saquinho, para a cada
ovelha que sai do cercado. Mas esse não foi um dia normal, pois além de
chover apareceu um lobo que assustou as ovelhas. No fim do dia quando ele
Professor
Ao final da apresentação dos slides é importante fazer uma discussão com os
alunos sobre a vida do homem primitivo como, o início das sociedades, da
agricultura e comércio, fazer uma comparação inclusive com a nossa vida na
atualidade. Também é importante reforçar como eram feito os primeiros
registros de quantidades pelo homem primitivo. Logo após a discussão deverá
ser trabalhado as atividades de aplicação. Estas atividades objetivam a
ampliação da compreensão por parte do aluno da correspondência um a um
entre objetos, também é objetivo da atividade proporcionar ao aluno a
possibilidade de resolver problemas na perspectiva da Resolução de problemas.
Ou seja, para cada atividade o aluno deverá vivenciar as etapas para a resolução
de Problemas como, traçar um plano, colocar o plano em prática e comprovar
os resultados.
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conseguiu recolher as ovelhas restavam ainda nove pedrinhas no saquinho.
Como ele poderá resolver essa situação no próximo dia quando ele for soltar as
ovelhas. Afinal ele irá tentar encontra-las no dia seguinte.
2ª Atividade:
Os números fazem parte de nosso cotidiano. Escreva algumas situações diárias nas
quais você faz uso do número. Como um homem primitivo representaria essas
situações? Será que ele teria as mesmas preocupações que temos atualmente?
3ª Atividade:
Após o homem primitivo começar a criar animais e cultivar a terra, começou a gerar
excedentes, ou seja, começou a produzir mais do que necessitava para a sua
sobrevivência. Assim alguns grupos produziam arroz outro produziam feijão. Alguns
criavam ovelhas, porcos, galinhas. Desta forma criou-se a necessidade de troca de
mercadorias, era o início do comércio. Supondo que as trocas pudessem ser
estabelecidas, por exemplo, uma ovelha trocada por 15 galinhas ou 20 porções de
arroz ou feijão.
a) Um produtor de feijão que quisesse adquirir cinco ovelhas. Quantas porções
de feijão precisaria ter?
b) Crie novas situações de troca envolvendo outros animais e também os cereais.
4ª Atividade:
O homem pré-histórico fazia a correspondência entre grupos de elementos diferentes,
mas com quantidades diferentes sempre na correspondência um a um. Agora pense
como um homem primitivo e verifique se existe a correspondência um a um entre:
a) A quantidade de carteiras e a quantidade de alunos na sua sala?
b) A quantidade de alunos e a quantidade de professores de sua sala?
c) Escreva três situações, na atualidade, em pode aparecer a correspondência um a
um.
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01) Você já observou que realizamos, todos os dias, diversas atividade nas quais
necessitamos contar? Contamos as pessoas, o dinheiro, o tempo na escola, o
tempo no ônibus etc.
Agora pense um pouco e responda as atividades a seguir:
a) Escolha cinco atividades diárias, nas quais você use a contagem.
b) Faça uma comparação entre as atividades escolhidas por você e as de seus
colegas.
c) Fale com as pessoas de sua família, peça que digam algumas atividades
cotidianas em que usem contagem.
02) O homem primitivo não sabia contar, e nem precisava, mas com o
desenvolvimento humano a necessidade de reconhecer e de comparar
quantidades apareceu e o homem aprendeu a contar. Quantos animais tem esse
rebanho? Quantas luas se passaram desde o dia em que meu filho nasceu?
Quantas pessoas tem na minha tribo? São questões desse tipo é que fez com que
surgisse a necessidade de contagem e como consequência o número.
Agora, vamos pensar um pouco. Em quais das questões a seguir você responde
contando:
a) Quantos alunos estudam em sua sala?
b) Qual a sua idade?
c) Qual o seu peso?
d) Qual o CEP de sua Cidade?
e) Qual o número de seu telefone?
f) Quantos irmãos você tem?
g) Qual a distância de sua casa à escola?
03) Elabore Três questões com as palavras “quantos” e “quantas” para fazer para algum
colega da classe. Depois faça a troca das questões, você responde as que ele formulou e
ele deve responder às formuladas por você.
Professor
Nas atividades de atividades de aplicação e nas complementares o objetivo é
desenvolver nos alunos a compreensão de que o surgimento do número esta ligado à
necessidade de contagem desenvolvida pelo ser humano. Atualmente usamos os
números naturais em nosso cotidiano nas:
CONTAGENS: a população do Brasil é de aproximadamente 195 milhões de
pessoas.
ORDENAÇÕES OU POSIÇÕES: O campeonato brasileiro de futebol, série A 2011,
terminou com:
1º Corinthians;
2º Vasco da Gama;
3º Fluminense.
CÓDIGOS: O número de sua casa;
MEDIDAS: A sua altura.
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A NUMERAÇÃO EM DIFERENTES CIVILIZAÇÕES
Estamos no século XXI e vivemos em mundo rodeado de números. Mas nem
sempre foi assim, para chegarmos ao estágio de desenvolvimento observado
atualmente, na escrita dos números, foram necessários séculos e séculos de
descobertas e aperfeiçoamentos.
A necessidade de contagem e de registro de quantidades surgiram com o
desenvolvimento das atividades humanas. Assim foram aparecendo as primeiras
marcações de quantidades feitas em cavernas, nós de cordas, pedrinhas, talhos em
ossos e madeiras e outros tipos de registros que pudessem fazer a relação um a um.
A seguir vamos examinar os registros e símbolos de alguns povos da antiguidade,
iremos fazer uma viagem no tempo com a história dos números. Imaginaremos cada
uma das épocas, como esses povos viviam, o que faziam, quais foram as suas
necessidades que os levaram registrar quantidades com símbolos.
Material para apresentação de slides na TV Multimídia:
Professor
Esta aula deverá ser iniciada com apresentação de slides sobre a numeração nas
antigas civilizações. Serão abordados os símbolos egípcios, babilônicos, gregos,
maias, chineses e romanos, bem como as estruturas que esses sistemas de numeração
apresentam. É importante, de posse de um mapa, situar geograficamente as referidas
civilizações.
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POVOS PRIMITIVOS
Pesquisas arqueológicas mostram
que no período compreendido entre
30 000 e 20 000 a.c., o homem
contava fazendo marcas em pedaços
de madeira ou de osso.
Com o passar do tempo veio o
pastoreio e o início do comércio. Foi
quando o homem quando o homem
passou a precisar registrar
quantidades cada vez maiores. Assim
surgiu a necessidade de fazer
desenhos e símbolos, técnica que foi
sendo aperfeiçoada ao longo dos
séculos.
O SISTEMA DE NUMERAÇÃO
EGIPCIO
Os egípcios, por volta de 3000 anos antes
de cristo (3000 a. C.), desenvolveram um
dos primeiros sistemas de numeração
que a história registra. Registravam
quantidades usando símbolos
relacionados a imagens familiares a eles
portaldoprofessor.mec.gov.br
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SISTEMA DE NUMERAÇÃO
MESOPOTÂMICO OU BABILÔNICO
Milhares de anos atrás, alguns povos,
alguns povos habitavam a região que
atualmente inclui o Iraque (3500 a. C –
500 a. C.). Essa região era conhecida
como Mesopotâmia. Um dos povos que
ali viveram foram os babilônios. Os
babilônios desenvolveram uma técnica,
toda particular, para representar
quantidades. Eles desenhavam cunhas
em argila mole, que depois eram
secadas ao sol ou levadas ao forno.
No sistema numérico babilônico, a
unidade era representada por um sinal
em forma de cunha. Os números eram
escritos com pequenos bastões em
placas de barro que secavam ao sol.
A escrita dos mesopotâmicos era
chamada cuneiforme por causa dos
símbolos em forma de cunha. Os
números eram agrupados de 60 em 60.
No quadro a seguir estão representados
alguns dos números do sistema
mesopotâmico.
portaldoprofessor.mec.gov.br
CIVILIZAÇÃO GREGA
Por volta do ano 500 a. C.,
desenvolveu-se a civilização grega.
Para a civilização ocidental esta foi a
civilização mais importante. A sua
influência chegou até os dias atuais.
Em Alexandria reuniram-se todos os
intelectuais daquele tempo. Assim
grande parte dos matemáticos da
antiguidade ou foram professores ou
alunos da biblioteca de Alexandria.
Nomes importantes para a
Matemática como Pitágoras, Tales de
Mileto, Euclides de Alexandria entre
outros, tiveram a possibilidade de
desenvolver seu trabalho a partir da
criação de um centro acadêmico em
Alexandria.
A numeração Grega era representada
pelas letras do alfabeto grego.
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22
CIVILIZAÇÃO MAIA
Os mesopotâmios habitavam a Ásia, os
egípcios a África e os gregos a Europa.
A América também era habitada e os
povos que aqui viviam por volta de 1
500 a. C. habitavam principalmente a
região da América central, onde hoje
está o México. O declínio desses povos
se deu por volta da século XVI com a
invasão espanhola. Mas trata-se de um
grupo de povos resistentes que até hoje
constituem o maior grupo de
camponeses do México. Os mais
desenvolveram um sistema bastante
engenhoso e prático, baseado no número
vinte. Os Maias criaram um símbolo
para o zero. O ano Maia era formado por
18 meses de 20 dias cada um.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO MAIA
CIVILIZAÇÃO ROMANA
A civilização romana foi durante séculos
a mais importante na Europa e no
mundo conhecido fora da Europa. Sua
influência começa por volta de 753 a. C.
e se estende até por volta do ano 476. d.
C.. Com o centro localizado na cidade
de Roma, seus habitantes enfrentaram
um número incalculável de guerras e
pouco a pouco colocou sobre seus
domínios toda a península itálica e o
restante da Europa, além de uma parte
da Ásia e o norte da África. Os romanos
criaram o seu sistema de numeração com
sete símbolos, os quais lembram letras
do alfabeto latino. A característica
principal do sistema romano é fato de
ser aditivo e decimal. Os romanos não
usavam símbolo para representar o zero.
Na numeração romana é utilizada apenas sete
símbolos:
Romanos I V X L C D M
Valores 1 5 10 50 100 500 1000
Os símbolos I, X, C e M são chamados de
fundamentais. O sistema apresenta as
seguintes regras:
1ª) Os símbolos fundamentais, podem ser
repetidos num mesmo número, no máximo
três vezes.
I = 1 10 = X 100 = C
2 = II 20 = XX 200 = CC
3 = III 30 = XXX 300 = CCC
1 000 = M
2 000 = MM
3 000 = MMM
23
2ª) Um símbolo colocado à esquerda de
outro símbolo de maior valor indica que o
primeiro é subtraído do segundo.
IV = 4, pois 5 -1 = 4
IX = 9, pois 10 – 1 = 9
XL = 40, pois 40 – 10 = 50
XC = 90, pois 100 – 10 = 90
CD = 500, pois 500 -100 = 400
CM = 900, pois 1 000 – 100 = 900
3ª) Na representação dos números, os
símbolos são justapostos e seus valores
adicionados. Observe:
VIII = 5 + 3 = 8
CCXXXII = 200 + 30 + 2 = 232
MMDI = 2 000 + 500 + 2 + 2 502
4) Uma barra sobre o símbolo de um
número indica a multiplicação desse
número por 1 000. Verifique:
__
VI = 6 000
_____
XXVI = 26 000
O sistema de numeração romano, foi
muito utilizado até o século XIII e, os
romanos não usavam símbolo para
representar o zero. Ainda hoje esse
sistema é empregado, normalmente em:
Mostradores de relógio;
Numeração dos capítulos de
livro
Designação de séculos;
Designação, pela ordem
cronológica, de reis e papas de
mesmo nome.
IMPORTANTE
Um símbolo colocado à esquerda de outro
símbolo de maior valor indica que o
primeiro é subtraído do segundo. De acordo
com a 2ª regra. Porém tem algumas
observações, veja:
I pode ser subtraído apenas de V e
de X;
X pode ser subtraído apenas de L e
de C;
C pode ser subtraído apenas de D e
de M;
Os símbolos V, L e D nunca podem
ser subtraídos de outros símbolos.
24
_____________________________________________________________________
1ª Atividade:
A história do homem com os números surge da necessidade de representar
quantidades. Assim, os homens começam usando pedras, nós, riscos feitos em ossos,
etc. Mas com o aparecimento de grupos sociais e, consequentemente as primeiras
sociedades, surge a necessidade de ampliação, ou melhor, de produção de uma nova
forma de representar números. A sociedade egípcia foi uma das primeiras a se formar
e, seus escribas desenvolveram um sistema numérico através de símbolos.
Assim, como um escriba do antigo Egito use os antigos símbolos egípcios para
representar:
a) A data de hoje.
b) A quantidade de alunos de sua escola.
c) A quantidade de alunos de sua sala de aula.
2ª Atividade:
Os egípcios têm a sua contribuição registrada na história da humanidade. No antigo
Egito foram construídas dezenas de pirâmides. As três maiores estão incluídas entre as
sete maravilhas do mundo, são a pirâmide de Quéops com 146 metros de altura, a
pirâmide de Quéfren com 143 metros e a pirâmide de Miquerinos com 66 metros de
altura.
a) Represente as medidas das pirâmides com símbolos egípcios.
3ªAtividade:
Os algarismos romanos não permitiam que seus usuários fizessem cálculos com
facilidade. Esses números se destinavam quase que exclusivamente para anotar
informações e dados quantitativos que muitas vezes causavam confusão. Foi o que
aconteceu com a herança do Imperador Tibério, deixada por sua mãe Lívia, que ao
invés de receber 50 000 000 sestércios recebeu apenas 50 000 sestércios. (Sestércio:
antiga moeda romana criada por volta de 211 a.C.) ¹
a) Represente estes números com algarismos romanos.
b) Quanto o Imperador Tibério deixou de receber por causa do engano?
25
4ª Atividade:
Os romanos formaram um grande império que durou muitos séculos. Para explicar
como surgiu a cidade de Roma, existe uma curiosa lenda: a dos gêmeos Rômulo e
Remo. Segundo essa história, os dois irmãos foram abandonados ainda bebês, sendo
salvos por uma loba, que os amamentou. Depois, eles foram encontrados por pastores,
por quem foram criados. Anos mais tarde, Rômulo teria fundado a cidade que recebeu
seu nome, Roma.
Numa das batalhas travadas pelos romanos, eles capturaram MDCCL homens,
CDXXII mulheres e CCIV crianças e se apossaram de MMDXC cavalos para o
transporte dos soldados. Calcule o total de prisioneiros capturados pelos romanos
nessa batalha, incluindo os cavalos, e expresse-o com palavras, por extenso. Dê a
resposta também em algarismos romanos.
01) Joaquim José da Silva, o Tiradentes, foi um dos envolvidos em um dos
primeiros movimento de independência do Brasil que ficou conhecido como
Inconfidência Mineira.
Usando Símbolos romanos escreva:
a) Tiradentes nasceu em 1746;
b) Tiradentes foi enforcado em 1792;
c) Quantos anos ele viveu?
02) A seguir são relatados alguns fatos históricos relacionados à história do Brasil.
Represente, em algarismos romanos, o ano e o século em que cada fato
ocorreu.
a) Em 1492, a serviço da Espanha, chega à América o navegador genovês
Cristóvão Colombo. No mesmo século, só que em 1498, chega às Indias o
navegador português Vasco da Gama.
b) Em 1549 chegam ao Brasil os primeiros negros escravizados.
c) Em 1808 chega ao Brasil a família real portuguesa.
26
E OS NOSSOS NÚMEROS DE ONDE VIERAM?
A nossa história com os números começa na Idade da Pedra lascada e até hoje
não terminou.
Os sistemas de numeração desenvolvidos pelos egípcios, babilônios, gregos,
maias, romanos, entre outros, representaram um grande avanço em relação às marcas
feitas em pedras, paus e ossos ou a sacolas contendo pedras que faziam a relação um a
um entre os objetos.
Foi a partir destas atividades, sempre relacionadas às necessidades humanas, é
que começou toda a nossa história com os números. O primeiro instrumento de contar
foi a mão do homem. Portanto é fácil de perceber que até hoje é assim que aprendemos
a contar. É graças às nossas origens que aprendemos a contar usando as mãos. Mas, os
dedos das mãos não dão conta de todas as operações que foram surgindo a partir das
necessidades humanas cada vez mais complexas.
Assim, o ser humano, começa a desenvolver instrumentos e técnicas de
calcular cada vez mais complexas para atender às suas necessidades cada vez maiores.
As pedras iniciaram o homem na arte de calcular e, este passou a desenvolver
instrumentos como o ábaco, soroban que antecederam às máquinas de calcular que
eram mecânicas e atualmente são eletrônicas.
Foi na Índia que nasceu, por volta do século V, que nasceu o nosso sistema de
numeração. Atualmente ele é conhecido pela denominação indo-arábico e, isto deve-se
ao fato de os árabes terem tomado conhecimento das descobertas hindus, no século
VII, e passarem a adotá-lo devido à sua praticidade o que facilitava e, muito os
cálculos.
Assim, o sistema de numeração que é adotado atualmente, foi criado pelos
hindus, que habitavam as terras às margens do rio Indo, mas foram os árabes que o
aperfeiçoaram e o divulgaram, por isso é conhecido como sistema de numeração indo-
arábico. Hoje é um sistema de numeração universal, aceito no mundo inteiro
Professor
A aula será iniciada com a apresentação dos slides, na TV pendrive, e terá como
objetivo principal mostrar aos alunos o por quê, do sistema de numeração indo-
arábico ter se sobressaído entre os demais e ter se tornado universal. Assim, é
importante que o aluno conheça as características desse sistema.
27
SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-
ARÁBICO
A denominação indo-arábico para o
sistema de numeração que utilizamos,
deve-se ao fato de que os símbolos e as
regras terem sido inventadas pelo hindus,
e de ter sido aperfeiçoado e divulgado
pelo árabes.
Al-Khowarizmi, astrônomo e geógrafo
que viveu no século IX (viveu de 780 a
850, aproximadamente), é o nome de um
dos matemáticos árabes que auxiliaram
na divulgação do sistema de numeração
indo-arábico na Europa.
Astronomia, navegação, comércio,
engenharia e guerra foram alguns dos
campos que fizeram que o sistema de
numeração indo-arábico fosse utilizado,
pois facilitava e agilizava os cálculos,
tornando-os mais precisos.
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CARACTERÍSTICAS DO
SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-
ARÁBICO
1ª) São usados dez símbolos para
representar qualquer quantidade: 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Os símbolos são
chamados dígitos ou algarismos.
2ª) Agrupamos de dez em dez para
facilitar a contagem. Portanto é um
sistema de numeração decimal, pois a
base é dez, assim:
10 unidades formam uma
dezena;
10 dezenas formam uma
centena;
10 centenas formam uma
unidade de milhar;
10 unidades de milhar formam
uma dezena de milhar. E assim
por diante.
28
3ª) Outra característica, importante, de
nosso sistema de numeração é o fato de ser
também posicional. Posicional pois cada
algarismo tem um determinado valor, de
acordo com a posição que ocupa na
representação do número.
Assim, cada posição contada da direita para
a esquerda, recebe o nome de ordem.
1ª posição: ordem das unidades;
2ª posição: ordem das dezenas;
3ª posição: ordem das centenas;
4ª posição: ordem das unidades de milhar;
5ª posição: ordem das dezenas de milhar.
E assim por diante
4ª) Todo algarismo tem valor posicional
dez vezes maior do que teria se estivesse
ocupando uma posição imediatamente à sua
direita, principio da posição decimal. Por
exemplo:
a) 444
C D U
4 4 4
400 40 4
b) 7777
UM C D U
7 7 7 7
7 000 700 70 7
O ZERO
Como já vimos, foi a necessidade de
determinar e expressar quantidades que
levou à criação dos números.
Foram os hindus, por volta de 650, que
viram a necessidade de criar uma
representação para o nada. Assim,
também criaram o zero.
A criação de um símbolo para o zero, é
considerada até hoje uma das mais
brilhantes da Matemática. A criação do
zero trouxe grande desenvolvimento
para cálculos astronômicos e
aritméticos.
Hoje para um cidadão moderno é difícil
imaginar uma vida sem o zero, mas,
como podemos perceber o zero também
tem a sua história.
29
1ª Atividade:
A china, atualmente, é considerada uma potência internacional, um pais importante
para o comércio mundial, inclusive para o Brasil. Porém o povo chinês tem uma
cultura milenar. Esse povo construí uma muralha impressionante, sua estrutura com
sete mil quilômetros de extensão, foi construída durante a China Imperial para se
proteger do ataque inimigo. Sua construção iniciou por volta de 221 a.C. por
determinação do primeiro imperador chinês Qin Shihuang, terminando apenas no
século XV durante a dinastia Ming. Por quantos anos durou a construção desta
muralha?
Inimigos vindos do norte tentaram ultrapassar a muralha, a tentativa foi feita no ponto
A: km 748, no ponto B: km 2 675 e no ponto C: km 5 847, porém, sem sucesso.
Escreva por extenso os números que indicam onde o inimigo tentou o ataque. Qual a
distância entre os pontos A e B e entre A e C?
2ª Atividade:
Pitágoras afirmou que o número sete é sagrado, perfeito e poderoso. É o número mais
presente em toda a filosofia e literatura sagrada. Escreva quantas unidades representa o
algarismo 7 , dependendo da posição que ele ocupa, nos numerais a seguir:
a) 3 4572=
Professor
Após a exposição de slides e apresentação da aula, os alunos iniciarão as atividades
de aplicação. Durante a realização das atividades certifique-se de que os objetivos
principais estão ficando claro para os alunos. Observe se são capazes de:
Utilizar o princípio da posição decimal;
Traduzir, por meio de representação escrita as unidades das diversas ordens;
Ler e escrever corretamente um numeral;
Usar das operações com números naturais na resolução de problemas;
Conseguem fazer uso das etapas para a resolução de problemas como:
compreender o problema, traçar um plano, colocar o plano em prática e
comprovar os resultados.
30
b) 37 369=
c) 27 628 739=
3ª Atividade:
A partir do século VII, os árabes expandiram seu domínio por toda a região do
Mediterrâneo. Além dos algarismos hindus, difundiram também novas técnicas
agrícolas, a indústria do mosaico, da cerâmica e do vidro.
Um oleiro árabe ao colocar em prática o registro dos algarismos que havia aprendido,
ao anotar o pedido de um cliente que seriam 7 895 tijolos trocou a posição do
algarismo das centenas pelo algarismo das unidades.
Qual a diferença do número registrado com o número correto? Faltaram ou sobraram
tijolos para atender ao pedido?
4ª Atividade:
Uma das mais belas prova de amor já conhecidas é o Taj Mahal, um monumento
situado na cidade de Agra, na Índia. Sua construção é uma homenagem do imperador
Shah Jahan para sua esposa falecida. Mais de 20 mil homens trabalharam nesta
construção que teve início em 1630 e foi concluído em 1652. Em 07 de Julho de 2007
passou a fazer parte das sete novas maravilhas do mundo. Quanto tempo levou para
este monumento passar a fazer parte das sete maravilhas do mundo?
01) Em um cheque foi preenchido, por extenso, a quantia de dois milhões,
dezesseis mil e oito reais. Usando algarismos como registramos essa quantia?
02) Dentre os números a seguir diga quantas unidades o algarismo 5 representa
em cada um deles:
a) 2 501
b) 6 531
c) 7 054
d) 32 052
e) 50 793
3) A distância média da Terra ao Sol é de aproximadamente 149 600 000
quilômetros:
a) Separe esse número em classes;
31
b) escreva como se lê esse numero;
c) Separe esse número em ordens e diga quanto vale cada uma delas.
04) Agora vamos analisar o número 8 514 877.
a) Quantas classes tem esse número? Quais são elas?
b) Qual a ordem do algarismo 1? Qual o seu valor posicional?
c) Qual a ordem do algarismo 5? Qual o seu valor posicional?
d) Quantas ordens tem esse número?
e) Escreva como se lê esse número.
5) Um dos motivos que levaram o sistema de numeração indo-arábico a se
sobressair e tornar-se universal, é o fato deste sistema tornar bem mais fácil os
cálculos. Imagine que você seja um romano e, a você fosse apresentado o
sistema indo-arábico e você tivesse a opção de escolher qual o melhor sistema
de numeração. Faça o cálculo a seguir e escolha:
32
O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL E AS IDEIAS DE ADIÇÃO E
SUBTRAÇÃO
Imagine se não existissem os símbolos e as abreviações que utilizamos na
Matemática. Os cálculos seriam operações longas e exaustivas. Assim, da necessidade
de sistematizar a resolução de problemas e de facilitar a escrita e a leitura de cálculos
matemáticos é que, se desenvolveu toda a linguagem matemática, baseada em
abreviações e símbolos, que são usados hoje.
Com o estabelecimento de um sistema de numeração, o homem pode
desenvolver técnicas de calcular, que o levaram de um instrumento simples como o
ábaco, passaram pelas calculadoras até chegar ao complexo computador.
Quando falamos do sistema de numeração decimal, valor posicional base dez,
precisamos dar uma atenção especial a este que é o momento mais importante, mais
sistemático de nossa relação com os números. Assim, antes do uso formal dos
contadores mecânicos, para realizarmos as quatro operações vamos conhecer o
material dourado, uma espécie de prévia antes de chegarmos à utilização dos
contadores mecânicos.
Maria Montessori, fisioterapeuta e educadora italiana (1870 – 1952),
desenvolveu alguns materiais para trabalhar diversos aspectos cognitivos da criança,
dentre eles destaca-se o material dourado.
O material dourado é um material pedagógico confeccionado em madeira,
portanto manipulável e, baseia-se em regras do nosso sistema de numeração decimal.
É composto por cubos, placas, barras e cubinhos. O cubo é formado por 10 placas, a
placa é formada por 10 barras e a barra é formada por 10 cubinhos.
Assim, quando fazemos a relação entre o material dourado e o nosso sistema de
numeração decimal, temos que, os valores atribuídos a cada peça são:
O cubo menor vale 1 unidade;
A barra vale 10 unidades;
A placa vale 100 unidades;
O cubo maior vale 1000 unidades;
33
Utilizando o material dourado, pode ser
feita a seguinte relação com o nosso
sistema de numeração decimal. Veja:
Imagem adaptada de educadorarosane.blogsp..
Veja como podemos representar o
número 457 no material dourado:
Imagem adaptada de educadorarosane.blogsp..
Professor
Nesta unidade os alunos ao realizar as atividades propostas, estarão lidando
com a base do sistema de numeração decimal, que é a lógica da
operacionalização de qualquer tipo de contadores mecânicos. Os alunos
devem ser estimulados a juntar quantidades,, fazendo substituições. Se um
aluno junta seus oito cubinhos com seis cubinhos do colega, forma um grupo
de dez cubinhos que deve ser trocado pela barrinha que vale 10; restando
ainda 4 cubinhos soltos.
Os elementos primordiais envolvidos na formação do conceito de número são:
Classificação, Seriação\ordenação;
Sequência lógica;
Contagem em diferentes bases;
Inclusão de classe;
Intersecção de classe;
Conservação
A construção do conceito de número é algo que vai ocorrendo
progressivamente por meio dos estágios cognitivos vivenciados no dia-a-dia.
Conforme Vygotsky (apud Kupfer, 1993) a aprendizagem é o processo pelo
qual o indivíduo adquire informações, habilidades, atitudes, valores, entre
outros, a partir de seu contato com a realidade, o meio ambiente e as outras
pessoas.
34
Agora os alunos devem se organizar em duplas. Cada dupla de crianças deve pegar,
por exemplo: Uma placa (100), sete barras (80) e oito cubinhos (8). A outra dupla deve
Professor
Neste momento deve ainda acrescentar peças para que as crianças verifiquem os
novos valores. Devem também ser estimuladas a somarem com as peças dos
colegas. A Adição é uma operação que está ligada a situações que envolvem
conceitos de juntar e acrescentar quantidades. Já a Subtração é uma
operação que pode estar associada às ideias de, tirar, completar ou comparar.
Assim, as operações de Adição e Subtração serão introduzidas com o auxílio do
Material dourado, nesta perspectiva, ou seja, o professor deve estimular os
alunos a construírem suas ideias sobre essas operações, mostrar que surgiram de
necessidades concretas de nossos antepassados e que portanto fazem parte do
legado humano que é transmitido de geração em geração.
Lembre-se também que é Vygotsky que propõe a zona de desenvolvimento
proximal como uma das estratégias que o professor pode lançar mão para
facilitar o processo ensino-aprendizagem. Assim, a troca de experiências entre as
crianças num clima de ajuda mútua favorece a aquisição de conhecimentos.
Agora vamos representar alguns
números utilizando o material dourado e
verificar como fica:
Imagem do autor
Observe a figura a seguir e, responda o
que se pede:
Imagem adaptada de educadorarosane.blogsp..
35
pegar Uma placa (100), cinco barras (50) e sete cubinhos (7). Assim as peças do
material dourado devem ser repartidas entre as duplas de forma que as duplas fiquem
com valores diferentes uma das outras.
Em seguida cada uma das duplas deverá expressar, em seu caderno, o valor
numérico que essas peças representam.
Agora que tal juntar as peças, entre duas duplas, não esqueçam de fazer as
substituições, sempre que necessário trocar dez cubinhos por uma barra, dez barras por
uma placa.
Fiquem atentos. O que acontece com os valores dos números quando são efetuadas as
trocas?
Agora que vocês realizaram várias trocas e juntaram diferentes valores, vamos
iniciar uma nova atividade. Agora será distribuída uma quantidade de peças, para cada
aluno, não é necessário que seja a mesma quantidade.
1) Cada aluno deve anotar, em seu caderno, quanto tem?
2) Agora cada um de vocês me deve 18 cubinhos. Para efetuar o pagamento se
não dispuser de cubinhos suficientes, para poder pagar o que deve você terá
que efetuar trocas.
3) Após efetuar o pagamento. Com quanto você fica?
01) Na cidade de Nova Tebas tem um ginásio de esportes que cabem 350 pessoas
nas arquibancadas e 180 nas cadeiras numeradas. Utilize o material dourado
para:
a) Representar a quantidade de pessoas que cabem nas arquibancadas;
b) Representar a quantidade de pessoas que cabem nas cadeiras;
c) Junte as quantidades 350 e 180 e, obtenha a lotação do ginásio.
02) Em uma eleição para prefeito um dos candidatos obteve 2 870 votos e o
outro, candidato, obteve 1832 votos. Utilize o material dourado para
representar essas quantidades e depois responda:
a) Quantos eleitores votaram, em um dos candidatos, nesta eleição?
Professor
Neste momento estimule que os alunos façam as trocas necessárias para que
possam efetuar o pagamento. Sugira também outros valores de dívida. É
importante ressaltar as principais ideias presentes na subtração: Tirar,
comparar e completar. É a partir da ideia de “tirar” que as demais se
desenvolvem.
36
b) Qual a diferença de votos entre os candidatos?
As atividades a seguir deverão, sempre que possível, serem efetuadas com o auxílio
do Material Dourado. A utilização do Material Dourado é um recurso importante na
formação do conceito de número e para os cálculos com a utilização de instrumentos
mecânicos.
01) Em cada uma das situações a seguir identifique qual a ideia de adição está
presente juntar ou acrescentar. Em seguida responda às questões:
a) João tinha 132 reais e ganhou uma nota de 50 reais de seu avo. Quanto
reais João tem agora?
b) Luiz já caminhou 1830 metros. Se caminhar outros 600 metros, vai
completar um percurso de quantos metros?
02) João tem 187 reais e vai comprar uma camisa que custa 48 reais. Com
quantos reais ele ainda vai ficar?
03) Em Poema, município de Nova Tebas, fica localizada a sede da
COOPERATIVAMA, cooperativa de produtores de frutas pelo sistema
orgânico. No sistema orgânico não são utilizados produtos químicos na
produção, o que torna o produto muito mais saudável para o consumo
humano. A cooperativa firmou convênio com o governo federal para
entregar maracujá, para a safra de 2012 cada produtor poderia contratar até
4 500 kg junto ao Ministério. Carlos, vendo que sua produção seria boa, fez
um contrato o qual se compromete a entregar 4 500 kg de maracujá. Assim
responda:
a) Quantos quilos de maracujá, Carlos já entregou se ele fez as seguintes
entregas à cooperativa: 1ª semana 1 230 kg, 2ª semana 1 325 kg e 3ª
semana 1 180 kg.
b) Quantos quilogramas falta para Carlos cumprir o contrato junto ao
ministério?
37
O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL E AS IDEIAS DE
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
O estabelecimento dos sistemas de numeração e, a adoção do sistema de
numeração decimal indo-arábico, em quase toda parte do mundo permitiu a evolução
dos números até o estágio atual.
Esta evolução sempre aconteceu a partir das necessidades humanas e, como o
ser humano passou a operar com números cada vez maiores e em grandes quantidades,
outras necessidades foram surgindo e a partir dessas necessidades o ser humano
sempre respondeu com o seu poder criativo.
Assim quando surgiu a ideia de juntar quantidades iguais surgiu a
multiplicação. Surgiu a necessidade de repartir em uma quantidade em partes iguais e
a inventividade humana criou a operação de divisão.
1) Vamos construir os seguintes retângulos, utilizando cubinhos;
a) 3 x 4
b) 4 x 5
Professor
Logo após termos introduzido o conceito de subtração vamos introduzir o
conceito de multiplicação. A multiplicação está relacionada com a área de
figuras retangulares (base x altura), noção de proporcionalidade e, também
com o conceito de parcelas iguais.
Uma das ideias relacionadas à
multiplicação é a noção de adicionar
parcelas iguais. Assim, quando efetuo a
operação 4 x 13 é o mesmo que fazer:
4 x 13 = 13 + 13 + 13 + 13 = 52.
A multiplicação também esta
relacionada com a área de figuras
retangulares. Assim 4 x 13, pode ter a
seguinte representação:
Veja como fica a multiplicação 4 x 13,
utilizando o material dourado:
Imagem do autor
38
c) 6 x 4
2) Agora vamos organizar em linhas e colunas para multiplicarmos 12 vezes 13.
Forma-se um retângulo com 12 linhas e 13 colunas da seguinte forma: uma
placa – 10 vezes 10; duas barras abaixo – 2 vezes 10; 3 barras à direita – 10
vezes 3; completa-se com cubinhos – 2 vezes 3. Feita essa configuração, pode-
se agrupar as peças iguais e contar quantas resultaram. Assim, uma placa =
100; 5 barras = 50 e 6 cubinhos = 6, pode se ler: 156. Com a práticas as
crianças lerão o resultado no próprio retângulo.
3) Utilizando o procedimento da atividade anterior multiplique os valores:
a) 12 x 15
b) 13 x 14
1) Agora vamos fazer algumas divisões;
a) 432 : 5
b) 876 : 4
c) 243 : 7
Professor
São duas as ideias presentes na divisão: a ideia de repartição equitativa
e a ideia de medida. Na primeira, uma dada quantidade deve ser
repartida igualmente; na segunda, deve-se descobrir quantas vezes uma
quantidade (medida) cabe em outra ou pode ser retirada
Agora vamos dividir 52 por 4, utilizando
o material dourado. Será uma barra para
cada grupo e, sobra uma. Essa deverá ser
trocada por 10 cubinhos, assim teremos
12 cubinhos que, repartidos serão 3 para
cada grupo. Logo cada grupo terá uma
barra e três cubinhos. O resultado está
pronto, 13 cada grupo e resto zero.
Imagem do autor
Agora vamos dividir 653 por 3, para isso,
vamos utilizar o material dourado. 653
são:
6 placas;
5 barras;
3 cubinhos.
Para fazer a divisão basta dividir as peças
igualmente entre três grupos. As peças
que sobrarem será o resto da divisão.
Vamos começar pelas placas. Serão duas
em cada grupo. As barras darão uma para
cada grupo e sobrará duas. Essas, duas
restantes, deverão ser trocadas por
cubinhos. Assim serão mais vinte
cubinhos que somados aos três já
existentes resultarão em 23 cubinhos. Ao
reparti-los teremos sete cubinhos para
cada grupo e um restante de dois
cubinhos. O resultado está pronto, cada
grupo ficou com 217 com resto de 2.
39
2) Um certo dia uma granja produziu 240 ovos. Esses ovos serão colocados em
embalagens com 12 unidades cada. Quantas dessas caixas foram utilizadas
nesse dia na granja?
Vamos resolver as atividades utilizando o material dourado.
01) Uma lanchonete tem 28 mesas. Em cada mesa podem sentar, no máximo,
quatro pessoas. Quantas pessoas estão sentadas no restaurante, se as mesas
estão totalmente lotadas?
02) Quantas caixas com 10 quilos cada uma podem ser transportadas, de uma só
vez, no elevador com capacidade máxima para 600 quilos?
03) Tenho que distribuir 360 quilos de uva igualmente em caixas, com
capacidade para 8 quilos cada uma. Quantas caixas vou usar?
01) O Colégio Estadual Olídia Rocha, comprou várias caixas de lápis de cor, para
a turma do 6º ano. A turma recebeu 6 caixas com 6 lápis de cor, 10 caixas com
12 lápis de cor e 2 caixas com 24 lápis de cor. Utilize o material dourado e
determine a quantidade de lápis de cor que a turma recebeu.
02) Use o material dourado para representar geometricamente e, calcular o
resultado da seguintes multiplicações:
a) 4 x 7
b) 4 x 10
c) 8 x 10
d) 5 x 6
03) Uma granja, de criação de porcos, comprou 312 fêmeas para iniciar sua
criação. Essas fêmeas deverão ser distribuídas em baias que cabem 8 fêmeas
cada. Quantas baias serão necessárias para acomodar todas as matrizes?
04) Utilize o material dourado para determinar o quociente e o resto nas divisões
de:
a) 648 : 12
b) 240 : 8
c) 550 : 6
d) 760 : 5
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AS OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS E O SOROBAN
O soroban é um contador mecânico japonês, onde é usado há muitos anos em
escolas , no comércio, por engenheiros, bancos, entre outros. No Brasil a sua
adaptação coube a Joaquim Lima de Moraes e sua utilização fica restrita ao uso de
pessoas com deficiência visual.
Neste trabalho faremos a apresentação, do soroban, para alunos do ensino
regular como forma de consolidar o conceito e as bases lógicas do sistema de
numeração decimal. Pois afinal acreditamos que seja importante que a criança
participe de situações nas quais envolvam a ação nessa construção. Nesta fase do
ensino fundamental a qual se encontra a criança é importante que atividades
contemplem tanto o físico como o intelecto, assim deve haver coordenação entre
pensamento e ação.
Acreditamos que o soroban contribua para o desenvolvimento cognitivo, pois
afinal, estimula o raciocínio e desenvolve habilidades mentais. As operações só serão
realizadas com sucesso, se o operador dominar e compreender o conceito de número e
as bases lógicas do sistema de numeração decimal.
Assim neste trabalho a proposta não é esgotar o assunto, que envolve o
soroban, mas antes uma apresentação desta ferramenta, que aliada ao material poderá
se constituir em um grande aliado nesta árdua tarefa de consolidação do conceito de
número e das bases lógicas do sistema de numeração decimal.
Desta forma acreditamos que alguns alunos poderão se interessar pela técnica e
buscar um desenvolvimento maior, mas não é nosso objetivo ficar preso às técnicas
operatórias que envolvem o soroban, o qual pensamos poderá tornar, nesta fase de
desenvolvimento, o trabalho com esse instrumento desgastante e maçante. Uma vez
que as crianças que se encontram já estão familiarizadas com os algoritmos
tradicionais para resolver as operações.
Assim o que faremos é a apresentação do soroban e, sua utilização em
pequenas operações mas, com o objetivo de consolidar o conceito de número e as
bases lógicas do sistema de numeração decimal.
41
1) Agora vamos imaginar que você é pastor, de ovelhas, no antigo Egito. Desta
forma é o responsável pelo rebanho e tem a obrigação de todo mês repassar
informações referentes ao rebanho para o patrão. Cuide bem das ovelhas e não
se perca nas contas.
a) Represente no se marcador a quantia de 35 ovelhas, valor que você recebeu
para cuidar;
b) No segundo mês havia nascidos 8 filhotes, acrescente este valor ao
marcador e verifique quantos animais você tem agora.
c) No terceiro mês o patrão resolveu vender 15 animais. Registre em seu
marcador a saída dos animais. Quantos animais restaram para você cuidar?
Professor
Neste momento de nossa proposta, com o uso e o ensino do soroban, os
alunos já devem ter uma boa base no que se refere à formação do conceito de
número. Assim, de forma rápida, é bom relembrar com os alunos o feito
histórico que marcou a invenção do sistema de numeração decimal valor
posicional. Agora nos contadores mecânicos, soroban, os alunos deverão
representar quantidades sugeridas pelo professor, serão simuladas algumas
brincadeiras que já configuram algumas operações. Assim, vá sugerindo que
eles registrem quatro ovelhas, você ganhou mais três, registre-as. Desta
forma compreenderão o valor das contas no eixo das unidades, das dezenas e
se foram bem sucedido no uso do material dourado, entenderão a lógica até
as ordens superiores.
O soroban é um calculador mecânico,
manual de forma retangular, possui uma
régua horizontal a qual o divide em duas
partes. A parte superior é mais estreita e a
parte inferior é a mais larga:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html
Como registrar um número no Soroban?
São usadas as contas do soroban para
registrar um algarismo. Quando estão
encostadas na régua representam um
número e perdem o valor quando
afastadas. As contas da parte superior tem
valor cinco e na parte inferior o valor é
um. Vejamos como é fácil a
representação dos de 0 a 9:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html
42
1) Vamos registrar em seu contador o valor de R$ 25,00. Desse valor, precisa
retirar R$ 9,00 para pagar uma pizza que você comprou da turma do nono ano.
2) João Carlos tem R$ 15,00, guardado em sua carteira. Registre esse valor em
seu contador.
3) Como ajudou seu pai limpar o quintal no final de semana, ganhou outros R$
9,00. Registre agora o novo valor.
Professor
Agora que o aluno já teve o primeiro contato com o contador, deverá ser
proposto ao aluno problematizações com situações cotidianas e
escolares. Os problemas deverão ser o mais próximo da realidade dos
alunos possível. Algumas sugestões são situações que envolvam
dinheiro, perdas, compras, entre outros.
Professor
O objetivo é o aluno aprender a manusear o contador para futuramente operá-lo
com cálculos maiores, tornando-se inviável trabalhar apenas com cálculo
mental. Neste momento é importante ressaltar, que a lógica do contador não
pode ser simplesmente apresentada para o aluno. O conceito precisa ser
vivenciado pelo aluno de forma exaustiva, tem que ser internalizado em seu
repertório simbólico, para que posteriormente seja facilitado a apropriação de
regras sistemáticas para que possa manusear o soroban de forma hábil. Se o
aluno vivenciou e compreendeu a dinâmica do sistema de numeração decimal
resolverá essa situação de forma automática. Caso o professor perceba alguma
dificuldade, deverá rememorar o processo com a utilização do material dourado.
Professor
É importante ressaltar, que na adição deve estar sempre presente a ideia de
juntar. Se o aluno compreendeu a lógica do sistema de numeração decimal,
colocará uma conta onde cada conta vale 10 e retirará 1 conta da ordem
onde cada conta vale 1, ou seja, das unidades. É bom que o aluno perceba
que precisou de mais um grupo de 10 para representar o 9, mesmo retirando
1 unidade que ficaria a mais, do que o aluno entender o motivo tradicional
“vai um”.
Se o aluno não demonstrar ter essa compreensão, o professor poderá
questioná-lo da seguinte forma: “Será que cabem Mais 9 onde já existem 5
unidades? Por que não cabem? E onde tem 9? Tem 9 dentro da conta que
representa um grupo de 10? Podemos acrescentar uma conta que vale 10
para somar 9? Por quê?
Também é importante ter sempre à mão o material dourado, que permite
juntar, trocar, adicionar e representar concretamente as quantidades.
43
1) A professora resolveu fazer uma festa de confraternização, entre os alunos do
6° ano. Foi até a panificadora e encomendou pãozinho, coxinha e pastel. Como
a turma tem 20 alunos, ajude a professora fazer os cálculos do número de
salgados necessários:
a) Se for comprar 3 pães por aluno. Quantos pães serão necessários?
b) Se for comprar 5 coxinhas por aluno. Quantas serão compradas?
c) Se for comprar 4 pastel por aluno. Quantos serão comprados?
1) A turma do nono ano está fazendo uma promoção, de pizzas, para conseguir
recursos para uma viagem de final de ano. Vamos ajuda-los a fazer os cálculos:
a) Quantas azeitonas poderá colocar em cada pedaço de uma pizza dividida
em 6 fatias se ele tem 30 azeitonas.
Professor
As principais ideias presentes na multiplicação são a de área, adição de parcelas
iguais e a noção de proporção. O conceito mais apurado é o de proporcionalidade,
relação entre duas variáveis, o qual é construído usando o raciocínio da
correspondência entre duas variáveis. Por exemplo, numa festa para 30 convidados,
cada um vai ganhar 3 balões. Quantos deverão ser comprados? Essa situação pode
ter desdobramentos do tipo: “Se o número de convidados dobrar”? “Se faltar 10
convidados”. Quantos balões serão necessários? Quantos sobrarão?
Professor
As operações sugeridas, no item anterior, são apenas ilustrativas. Novas
operações e outros possíveis desdobramentos precisam e devem ser
considerados. Ressaltamos também o fato de que ensinar multiplicação
apenas na perspectiva de adição de parcelas iguais é insuficiente para a
consolidação do conhecimento. É importante que o aluno consiga
aprender usando o raciocínio de correspondência, em que se estimula na
mente do aluno uma representação para a relação entre duas variáveis.
Professor
Na divisão são duas as ideias presentes: a ideia de repartição equitativa e a ideia de
medida. Em qualquer das duas situações, os primeiros registros devem ser propostos
pelos alunos a partir do seu cotidiano. Nas atividades iniciais, deverá ser dada ênfase à
divisão efetuada com a quantidade decomposta em ordens como centenas, dezenas e
unidades. Assim compreenderá que o quociente deve ser registrado no contador,
conforme a ordem que ele está trabalhando. Assim, se ele está dividindo na ordem das
dezenas, o quociente vai ser registrado na dezena.
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Na realização das atividades procure fazer as operações utilizando o soroban, se não
for possível faça ao menos a representação dos números envolvidos no instrumento.
01) Uma fazenda de criação de gado, no interior de Goiás, recebeu 390 novilhas.
Com isso seu rebanho passou a ser 956 cabeças de gado. Quantas cabeças de
gado havia na fazenda?
02) Por de 1440, o alemão Gutenberg passou a utilizar tipos móveis e criou a
impressa. A invenção de Gutenberg revolucionou a escrita, já que até aquele
momento, na Europa, os livros eram todos manuscritos. Assim responda:
a) Faz quantos anos que Gutenberg criou a impressão?
b) Gutenberg nasceu na Alemanha em 1398 e faleceu nesse mesmo pais em
1468. Quantos anos ele viveu?
03) Um determinado carro percorre 13 quilômetros com um litro de gasolina.
Quantos quilômetros ele pode percorrer, no total, se cabem 52 litros em seu
tanque de combustível?
04) Um mercado da cidade lançou a seguinte promoção: “a cada 50 reais gastos
podem ser trocados por um cupom, que dá direito a concorrer a um automóvel
zero quilômetro”. Claudia comprou uma geladeira que custou 1 470 reais, nas
compras, realizadas, para casa gastou outros 670 reais. Quantos cupons
Claudia terá direito?
01) Um agricultor observou que cada alqueire de terra produz 140 toneladas de
cana-de-açúcar e que cada tonelada produz 83 litros de álcool. Desta forma,
quantos litros de álcool são produzidos em:
a) Um alqueire de terra?
b) 25 alqueires de terra?
02) Uma pessoa que viveu 75 anos nasceu no século XX e morreu no século XXI.
Se em 2 000, essa pessoa tinha 67 anos, em que ano ela nasceu e em que ano
ela morreu?
03) Dois trabalhadores pegaram o serviço de construção de um curral,
combinaram que receberiam 30 reais por metro construído. Ao final do
serviço receberam 2 760 reais. Quantos metros, de cerca, tem o curral?
04) Uma caixa d’agua com capacidade para 750 litros está sendo enchida com
uma torneira que despeja 30 litros de água a cada 5 minutos. O reservatório já
tem 120 litros de água. Responda:
a) Há quanto tempo a torneira já está ligada?
b) Quanto tempo ainda falta para que a caixa fique totalmente cheia?
45
A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
O homem em uma classificação geral, com todos os seres vivos é classificado
como pertencente ao reino dos animais, somos portanto um animal, um animal
mamífero. Do ponto de vista, puramente biológico, podemos sim ser considerado um
animal. Afinal temos as mesmas necessidades básicas, que os demais seres vivos têm
para se manterem vivos. Nascemos de outro organismo vivo já existente, nos
reproduzimos, nos alimentamos, precisamos de água e ar e morremos. Somos sim um
animal mamífero.
Mas se do ponto de vista biológico somos considerado um animal, o que nos
separa, nos distingue é a nossa capacidade de educar e, de ensinar. Os demais animais
até ensinam seus filhos a caçarem, mas puramente por extinto. Nós humanos, desde
nossos antepassados que viviam nas cavernas, fomos desenvolvendo várias técnicas e,
temos a capacidade de transmitirmos essas técnicas para nossos descendentes.
É a capacidade de produzir arte é que nos torna humanos. Desde os primeiros
registros em ossos, paredes de cavernas, fomos desenvolvendo técnicas cada vez mais
sofisticadas de registros o, que nos permite termos atingidos o grau de evolução
humana vivenciado atualmente.
A mesma história pode ser contada para todas as formas de arte produzidas
pelo ser humano. Todas têm o seu nascimento no homem primitivo, até as mazelas
humanas surgem na antiguidade, para depois serem aperfeiçoadas. Os símbolos que
vão dar origem aos símbolos da linguagem escrita da Matemática, surgem da
necessidade humana de registrar quantidades.
A Matemática não pode ser vista fora do contexto histórico humano, ela é uma
produção humana, que assim como toda produção humana busca satisfazer uma
necessidade humana. Assim quando estamos estudando matemática hoje, estamos
vivenciando uma produção humana de mais de 30 000 anos. A matemática surgiu para
resolver os problemas dos povos na pré-história, foi melhorada para solucionar os
problemas das antigas civilizações egípcia, árabe, romana, maia, entre outras. De uma
forma ou de outra, todas as civilizações tinham problemas matemáticos para serem
resolvidos e, todas em diferentes épocas foram desenvolvendo seus mecanismos de
solução para esses problemas.
Neste trabalho o que fizemos até o momento, foi um passeio pela história da
produção do número e do sistema de numeração que utilizamos. Observamos que os
povos primitivos utilizavam pedras, marcações em ossos, fazendo a referência um a
um. Quando surgiram as primeiras sociedades os problemas ficaram mais complexos
e, o ser humano passou a criar e desenvolver os sistemas numéricos. O sistema indo-
arábico se sobressaiu e, é utilizado atualmente devido a sua praticidade tanto na
representação como na realização de operações.
Agora, após todo esse passeio pela história dos sistemas de numeração,
convido você a resolver alguns problemas que desafiaram nos antepassados em
46
diferentes civilizações. Vamos resolver problemas que desafiaram os chineses,
egípcios, árabes, indianos,... Afinal foi resolvendo problemas que a humanidade se
desenvolveu. E você hoje tem a oportunidade de resolver esses problemas já com as
técnicas desenvolvidas, já nossos antepassados tiveram que desenvolver as técnicas.
Vamos lá, tenho certeza que todos podem resolver.
1º problema:
O papiro de Rhind ou Papiro de Ahmes, é um documento egípcio que data de cerca de
1650 a.C., nele um escriba, de nome Ahmes, detalha a solução de 85 problemas. Um
curioso problema do Papiro Rhind que parece ter se preservado em meio aos quebra-
cabeças do folclore universal diz o seguinte:
Quando ia a Santo Ivo
Encontrei um homem com sete mulheres;
Cada mulher tinha sete sacos;
Cada saco tinha sete gatos;
Cada gato tinha sete gatinhos;
Gatinhos, gatos, sacos e mulheres,
Quantos iam para Santo Ivo?
2º Problema
Professor
O objetivo desta unidade é mostrar ao aluno que a matemática surge para resolver
situações cotidianas. Desta forma espera-se que com a utilização de problemas
históricos, de diferentes civilizações e culturas o aluno possa com base em suas
próprias experiências construir um maior significado para a aprendizagem
matemática.
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O nome de um aluno da sala é Roberto, um nome de 7 letras. Agora escolha um
número entre 10 e 99 e, em seguida faça as seguintes operações: some ao número
pensado o dobro do algarismo das dezenas e, em seguida, subtraia o algarismo das
unidades. Divida o resultado pelo triplo do algarismo das dezenas e por fim some três
Quantas letras tem o seu nome? Você escolheu um número mágico que tem uma
relação misteriosa com o seu nome. (fonte: revista RPM/Rogério Cézar dos Santos)
3º Problema
O faraó egípcio, querendo testar a capacidade dos seus conselheiros matemáticos
apresentou o seguinte problema: Certo homem deve cruzar de uma para a outra
margem do rio Nilo, um lobo, uma cabra e um repolho. Mas sua embarcaçãoe só
aguenta um deles, além do barqueiro. Como se deve fazer para que o lobo não coma a
cabra, nem esta coma o repolho? Diga, quem puder, como foi feita a travessia?
4º Problema
A fim de incentivar o filho a estudar matemática, o pai, um Imperador Romano. Faz o
seguinte desafio a seu filho: “ vou passar uma lista, contendo diversos problemas
matemáticos, e você deverá resolve-los e, para cada problema que você acertar
pagarei 8 reais, mas como multa, será descontado 5 reais por solução errada. Ao final
de uma semana o menino havia resolvido 26 problemas, não tendo nada a receber ou
pagar. Quantos problemas ele resolveu acertadamente? Quantos errou?
48
1º Problema
Um gavião chega a um pombal e, com toda arrogância diz: “ – Adeus minhas cem
pombas”! As pombas respondem todas juntas: “- Cem pombas não somos nós, com
mais dois tantos de nós e com você junto, meu caro gavião, ai sim, cem pássaros
seremos!” Quantas pombas estão no pombal?
2º Problema:
No ano 1 000 a.C., na casa de um agricultor que produzia cereais na região da Grécia ,
ao final da colheita de trigo, o patrão ordena a seus funcionários que lhe apresentem o
total de sacas de trigo colhidos naquele ano. O trigo estava assim disposto: num dos
galpões havia 15 fileiras com 25 sacas cada uma; no outro galpão havia 12 fileiras com
20 sacas cada uma.
a) Verifique quantas sacas havia em cada galpão;
b) Calcule a quantidade de sacas armazenadas nos dois galpões;
c) Sabendo que atualmente cada saca de trigo, vale aproximadamente 28 reais.
Quanto o patrão poderia faturar se vendesse o trigo hoje?
3º Problema:
Próximo a Tebas, no vale dos reis, no tempo do faraó Ramsés II (1290-1224 a.C.),
ladrões de túmulos acabam de roubar o túmulo real de um soberano da dinastia
precedente. Eles furtaram diademas, brincos, adagas, peitorais, pingentes, entre outros
objetos. Tudo trabalhado em ouro com detalhes em pasta de vidro, ao todo
conseguiram furtar 1674 objetos preciosos. O chefe do bando propõe repartir,
igualmente, o saque entre ele próprio e seus homens, totalizando 12 pessoas. Quantos
objetos tocarão a cada um? Sobrará algum objeto? Caso sobre, proponha um destino
para esses objetos.
3º Problema
A grande pirâmide de Gizé foi construída por volta de 2600 a. C. e envolveu alguns
problemas de matemática e engenharia. Calcule a quantos anos foi construída essa
grande pirâmide egípcia.
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4º Problema:
O faraó resolveu “dar uma festinha” e ficou preocupado se havia cerveja suficiente
para seus convidados. Então foi à adega conferir o estoque de cerveja, lá verificou que
havia 16 filas com 24 barris em cada fila. Calcule para o faraó a quantidade de barris
de cerveja ali existente. Se cada barril continha 20 litros, quantos litros de cerveja
havia?
4) Considerações Finais
Este material foi produzido com a intencionalidade de mostrar que a
Matemática é uma criação humana ao longo de sua história. Portanto buscamos que
diferentes civilizações e, diferentes culturas deram a sua contribuição para termos a
matemática utilizada atualmente.
Também buscamos mostrar que a matemática, enquanto produção humana,
apesar de desempenhar um papel fundamental na vida do ser humano do século XXI,
ainda não chegou a uma parcela significativa de nossa população. Desta forma faz-se
necessário buscar alternativas de ensino e aprendizagem que deem conta de
popularizar o conhecimento matemático.
Desta forma em nesse material didático buscamos aliar a metodologia de
resolução de problemas à história da matemática. Acreditamos ser importante para o
aluno relacionar o saber construído com as necessidades históricas e sociais existentes.
Com o emprego do material dourado e do soroban, buscamos uma forma de
materializar a construção, tanto do conceito de número bem como das bases lógicas do
sistema de numeração decimal.
Assim como em toda aula ao ser planejada é impossível de pensar em todos os
aspectos, acreditamos que este material também tem a sua flexibilidade. Ou seja,
esperamos que possa ganhar vida, no momento de sua implementação e, que em muito
será enriquecido durante a prática pedagógica.
Aliar a História da Matemática à Resolução de Problemas permitirá que o
aluno relacione o saber construído com as necessidades históricas e sociais existentes,
sendo também um recurso didático com inúmeras possibilidades para desenvolver
diversos conceitos, sem reduzi-la a fatos, datas e nomes a serem memorizados.
Este material será um auxiliar e poderá ser enriquecido durante a sua
implementação, pois se constitui como um meio de articulação entre o tema que será
desenvolvido e a prática pedagógica.
50
5) Referências Bibliográficas
ANDRADE, S. Ensino-Aprendizagem de Matemática via resolução, exploração,
codificação e decodificação de problemas. Dissertação (Mestrado) - Universidade
Estadual Paulista. Rio Claro, 1998.
BARONI, R. L. S. ; TEIXEIRA, M. V.; NOBRE, S. R. A Investigação Científica em
História da Matemática e sua Relações com o Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática. In BICUDO, M. A. V. ; BORBA, M. de C. Educação
Matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2004.
BICUDO, M. A. V.; BORBA, Marcelo de Carvalho. Educação Matemática:
pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2004.
BURAK, D.; PACHECO,E. R.; KLUBER, T. E. (Orgs.) Educação Matemática:
reflexões e ações. Curitiba: Editora CRV, 2010.
D’AMBRÓSIO, U. Educação para uma sociedade em transição. Campinas:
Papirus, 1999.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004.
FERNANDES, Cleonice Terezinha. A construção do conceito de número e o pré-
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FIORENTINI, D. ; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática:
percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores associados, 2006.
GIOVANNI, José Ruy, CASTRUCCI, Benedito, GIOVANNI, José Ruy Junior. A
Conquista da Matemática. São Paulo: FTD, 2002.
GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática. São Paulo: Editora Ática,
1997.
IFRAH, Georges. Os Números. História de uma grande invenção. São Paulo:
Globo,2005.
KILPATRICK, J. Investigación en Educación Matemática: Su Historia y Alguns
Temas de Actualidad. México: Iberoamérica, 1994.
MIGUEL, A; MIORIM, M. A. História na Educação Matemática: propostas e
desafios.Belo Horizonte: Autêntica, 2004.
MOURA NETO, Francisco Duarte. (2004). A Matemática Que Faz Bem À
Sociedade. Salvador: II Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, Universidade
Federal da Bahia.
51
MOTA, M.G.B.; Educação Inclusiva – Soroban - Manual de técnicas Operatórias
para Pessoas com Deficiência Visual. Brasília, MEC, 2009.
ONUCHIC, L. de La Rosa. Ensino –Aprendizagem de Matemática Através da
Resolução de Problemas. In BICUDO, M. A. V. Pesquisa em Educação Matemática:
Concepções & Perspectivas. São Paulo: Unesp, 1999.
PARANÁ. Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná. Matemática. Curitiba:
SEED-PR. 2008.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. São Paulo: Interciência, 1945.
Sites:
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=5. Acesso
em 04/12/2012.
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html. Acesso em 04/12/2012.
52
ANEXOS
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ANEXO I
Edital de seleção de alunos monitores
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
NUCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO DE PITANGA
COLÉGIO ESTADUAL OLÍDIA ROCHA – EFM
Edital 01/2013
PROCESSO SELETIVO DE ALUNOS PARA MONITORIA
Tema: Aprendizagem Cooperativa através do Sistema de Monitoria.
I. Justificativa:
O Colégio Estadual Olídia Rocha torna pública a abertura de processo seletivo para
seleção de alunos monitores para a disciplina de Matemática. A implantação de um
projeto de monitoria tem a intenção de colaborar para a construção de uma cultura de
cooperação dentro da escola, espera-se desta forma, que através da cooperação os
envolvidos tomem consciência da importância do trabalho coletivo na construção do
conhecimento. Também objetiva uma melhora nos relacionamentos tanto entre os
discentes, bem como desses com toda a comunidade escolar. Projetos de monitorias
são mais comuns no ensino superior, mas acreditamos ser um recurso pedagógico que
merece ser testado na educação básica, pois ao participar de um projeto de monitoria é
dada a oportunidade, ao aluno, de enriquecimento do processo ensino e aprendizagem.
Também oportuniza uma melhor compreensão dos objetivos e da importância da
disciplina, ao participar ativamente na construção da aprendizagem dos conteúdos
relacionados à disciplina. Ao trabalhar com monitoria na educação básica, sobretudo
na disciplina de Matemática, uma disciplina que carrega o preconceito de ser difícil e
de ser destinada a gênios, principalmente se trabalhado dentro de uma lógica de
cooperação, espera-se trazer para escola uma nova concepção de aprendizagem, uma
concepção mais centrada no aluno, onde este deve participar de forma autônoma de
todo o processo de construção do conhecimento.
II. Número de Monitores:
12 alunos monitores.
III. Público-alvo:
Alunos do 9º ano do turno da manhã e, alunos dos 1º, 2º e 3º anos do ensino médio do
turno da noite.
54
IV. Duração:
Por um período de seis meses.
V. Carga horária:
No máximo 08 horas semanais, no contra turno, totalizando 32 horas mensais.
VI. Perfil desejado dos participantes:
Alunos que mantenham bom relacionamento com o grupo e com médias de notas
acima de 7,0 (sete) e de frequência acima de 75%, ter interesse e disponibilidade para
participar.
VII. Direitos do monitor:
Receber formação inicial para o desenvolvimento de suas atividades, serem
capacitados ao longo de todo o processo por seu professor-orientador.
VIII. Deveres do monitor:
Ter conhecimento das responsabilidades específicas da monitoria, participar das
reuniões de planejamento das atividades propostas pelo orientador, montar roteiro de
tarefas a serem resolvidas, coordenar os monitorados, registrar fatos positivos ou
negativos do grupo, manter o ambiente de trabalho limpo e organizado, entregar
relatórios ao orientador nas datas estabelecidas.
IX. Da Seleção e da Classificação:
A seleção dos alunos será mediante a realização de análise da frequência e análise das
médias bimestrais na disciplina de Matemática, no ano letivo de 2012, onde serão
selecionados por ordem de classificação e de acordo com o nº de vagas contidas no
item II deste edital. Também será levado em consideração o relacionamento do
candidato com toda a comunidade escolar.
X. Período de inscrições:
Início do ano letivo, na supervisão da escola.
XI. Resultados:
Resultado final: será fixado no mural da escola
XII. Início das atividades:
Será estabelecido pelo professor-orientador.
XIII. Disciplina e professor orientador:
55
Matemática: Professor Itamar Aparecido Borges
Nova Tebas, fevereiro de 2013