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APEL – Associação Promotora do Ensino Livre

Matemática A - 11º ano 2013 - 2014

Ficha de trabalho nº 3 (sala de estudo)Unidade Temática – Trigonometria (círculo trigonométrico) Bom

trabalho!

PARTE TEÓRICA Círculo trigonométrico é o círculo limitado por uma circunferência de raio 1 e orientada positivamente no sentido anti-horário.

Arcos côngruos são arcos que possuem as mesmas extremidades

Exemplo: 60º e 240º são arcos côngruos.

O que é o seno?

O que é o cosseno?

O que é a tangente?

Sinal das razões trigonométricas

Variação das razões trigonométricas:

α 1º Quadrante 2º Quadran

te

3º Quadran

te

4º Quadra

nteseno Crescente Decresce

nteDecresce

nteCrescent

ecosseno Decrescente Decresce

nteCrescente Crescent

etangente Crescente Crescente Crescente Crescent

e

Enquadramento das razões trigonométricas:

Para todo α temos que:

PARTE PRÁTICA1_Usando o círculo trigonométrico ao lado complete a tabela seguinte.

2_Considere a função gdefinida em [0 , π ] por:

g( x )=senx (1+2cos x )Mostre que para qualquer x∈ ]0 , π

2[, g( x )é a área de um

triângulo [ABC ] e que x é a amplitude do ângulo BC¿̂A

¿; [HC ] é a altura relativa ao

vértice B; BC=2 e AH=1

3_Uma circunferência está dividida em quatro arcos com medidas de

comprimento 2, 5, 6 e x. Qual o valor de x sabendo que o arco com medida de comprimento 2 faz um ângulo ao centro de amplitude 30º?

−1≤senα≤1 −1≤cosα≤1 tanα∈]−∞ ,+∞[

α

30 ºou π6

45 ºou π4

60 ºou π3

150 ºou 5π6

240 ºou 4 π3

330 ºou 11π6

sinα12

cos α √32

tan α √33

4_ Determine os valores reais de m, de modo que tenham significado as expressões:

4.1 9cos α=m2

4.2 senα=m+1

2e cos α=m

3

4.3 senα=1

3e tg α=−2m

4.4 2 sen α=m2+1

5_ Considere o triângulo isósceles [ABC]. Sabe-se que AB=10 e α é a amplitude do ângulo BAC.

Mostre que, qualquer que seja α∈ ]0 , π

2[, a área do

triângulo [ABC], em função de α , é dada pela expressão A( α )=100 sen α⋅cos α .

6_ Na figura estão representados um semicírculo de diâmetro [AB] e um triângulo [ABC] nele inscrito. Sabe-se que: x é a amplitude do

ângulo BAC e x∈ ]0 , π

2[e AB=10

6.1 Prove que a área do triângulo [ABC] é dada pela expressão A( x )=50 senx cos x

6.2 Calcule, recorrendo à função, a área do triângulo para x=π4

7_ A figura ao lado representa um corte transversal de uma caleira.

7.1 Mostre que a área da secção da caleira, em função de θ

é dada pela expressão A(θ )=100 senθ (cosθ−1 ) , ∀ θ∈ ]0 , π

2[

7.2 Calcule a área da secção da caleira para Yθ=π3 .

8_ A que quadrante pertencem os ângulos que satisfazem cada uma das

seguintes condições:

8.1 O seno e o cosseno são decrescentes.

8.2 sinα×cos α>0 ¿ sin2α

cos3α<0

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) No 2º quadrante, cos α⋅tg α>0 .(B) No 3º quadrante, o cosseno e o seno têm sinais diferentes.

(C) Existe um ângulo no 4º quadrante cujo cosseno é igual a

52 .

x

C

BA

O Trapézio é isósceles

(D)Não existe nenhum ângulo no 1º quadrante cuja tangente seja igual a 5.

9_ Observe a figura. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A)A abcissa do ponto P é maior que a ordenada de P.

(B)A ordenada do ponto P é igual ao co-seno de 30º.

(C)A ordenada do ponto P é igual ao seno de 330º.

(D)As coordenadas do ponto P são (−√3

2;12 ).