ficha de trabalho n.3

Matemática A – 10º ano 2011/ 2012 1/8

QUESTÕES DE ESCOLHA MÚLTIPLA

1. Com base no cubo ao lado, qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) Os planos ABG e DCE são paralelos.

(B) O plano ABG é paralelo ao plano EFH.

(C) As retas AB e CG são complanares.

(D) A reta HF é concorrente com o plano HGC.

2. Considera o cubo ao lado. Os pontos M e N são pontos médios dos

segmentos [AB] e [BF], respetivamente.

A secção produzida no cubo pelo plano MNG é um:

3. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) Duas quaisquer arestas de um cubo definem um plano.

(B) Duas quaisquer faces de um cubo intersetam-se segundo uma reta.

(C) O centro de um cubo e dois vértices quaisquer definem um plano.

(D) O centro de um cubo e uma aresta qualquer definem um plano.

4. Considera o cubo da figura ao lado, que tem de aresta 2 unidades.

A área da secção produzida no cubo pelo plano ACG é:

5. Considera as retas a, b e c, representadas no seguinte referencial cartesiano. Podemos afirmar que:

(A) : ; : 1; : 2a y x b x c y= − = = − ;

(B) : ; : 1; : 2a y x b y c x= = = − ;

(C) : ; : 1; : 2a y x b x c y= = = − ;

(D) : ; : 1; : 2a y x b y c x= − = = − .

(A) triângulo equilátero. (B) triângulo isósceles.

(C) paralelogramo. (D) trapézio.

(A) 2 2 (B) 4 2 2+

(C) 4 2 6+ (D) Nenhuma das anteriores é verdadeira.

Ficha de Trabalho n.º 3

Geometria no Plano e no Espaço I


6. O conjunto de pontos no plano definido pela condição

1 0 0 1x y− ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

pode ser representado, num referencial Oxy , por:

7. Uma equação da reta que passa pelo ponto (-2, π ) e é perpendicular à reta de equação x = -3 é:

(A) x = -2 (B) y = -2 (C) x = π (D) y = π

8. A condição que define a região de pontos do plano a sombreado é:

9. A reta que passa pelos pontos A(2 , 3) e B(2 , 4):

(A) passa pela origem das coordenadas (B) é paralela ao eixo dos xx

(C) é paralela ao eixo dos yy (D) não é paralela a nenhum dos eixos coordenados.

10. A figura ao lado é constituída por seis cubos geometricamente

iguais e de aresta unitária. As coordenadas dos pontos A, B e C

são, respetivamente:

11. A figura representa um cilindro e o ponto A tem coordenadas (0, 5, 0)− .

Sabendo que o volume do cilindro é 125π , então o ponto D tem

coordenadas:

(A) 0 1 2y x x y≥ ∧ ≥ ∧ < <

(B) 1 2y x y≥ ∧ < <

(C) 0 1 2y x x y≥ − ∧ ≥ ∧ < <

(D) 0 2y x x y≤ − ∧ ≥ ∧ <

(A) (0,0,1) , (1,2,1) (1,2,1)A B e C

(B) (0,0,2) , (2,1,2) (1,1,1)A B e C

(C) (0,0,2) , (1,2,2) (2,1,1)A B e C

(D) (0,0,1) , (1,2,2) (1,1,1)A B e C

(A) ( 5, 5, 5)− (B) (0, 5, 5)

(C) (0, 5,10) (D) (5, 5, 5)


12. Na figura seguinte está representado um paralelepípedo num

referencial o.m. no espaço.

Admite que:

•••• A face [OBCA] está contida no plano xOy ;

•••• O ponto C tem coordenadas ( )3,4,0 ;

•••• 2OE = .

A condição 2y = define:

13. A interseção de um círculo de raio 2 e centro na origem com a reta de equação y=-1 é:

(A) um conjunto vazio.

(B) um conjunto de dois pontos.

(C) um segmento de reta paralelo ao eixo OX.

(D) um segmento de reta paralelo ao eixo OY.

14. Considera o ponto ( ), 3A π− . Acerca deste ponto, qual das afirmações seguintes é verdadeira?

15. Uma condição que define o conjunto de pontos a sombreado no

A) 2 2( 1) ( 1) 4 1x y x y x− + − ≤ ∧ ≥ ∧ ≤

(B) 2 2( 1) ( 1) 4 1x y x y x− + − ≤ ∧ ≥ ∧ ≥

(C) 2 2( 2) ( 1) 4 1x y x y x− + − ≤ ∧ ≥ ∧ ≥

(D) 2 2( 2) ( 1) 4 1x y x y x− + + ≤ ∧ ≥ ∧ ≤

16. Em 2ℝ , uma condição que define o círculo tangente ao eixo Oy e com centro no ponto C(3,-2) é:

(A) um plano paralelo a xOy (B) uma reta paralela ao eixo Oy

(C) o plano mediador do segmento [ ]EG (D) a reta BA

(A) O ponto A pertence à reta de equação y π=− .

(B) O ponto A pertence ao semiplano definido pela condição 3,14x>− .

(C) O simétrico de A relativamente ao eixo Oy é o ponto de coordenadas ( , 3)π .

(D) O ponto A pertence ao 4º Quadrante.

(A) ( ) ( )2 23 2 2x y− + + ≤ (B) ( ) ( )2 2

3 2 4x y− + + ≤

(C) ( ) ( )2 23 2 3x y− + + ≤ (D) ( ) ( )2 2

3 2 9x y− + + ≤


17. Considera, num referencial do plano Oxy, a representação gráfica da figura.

Qual das seguintes expressões pode definir a região sombreada?

18. Considera as seguintes afirmações:

(i) os pontos da reta y=2 têm a mesma abcissa.

(ii) o ponto de coordenadas (1,-2) pertence ao semiplano inferior definido pela reta y=-3.

(iii) Os pontos de coordenadas A(-2,-2) e B(2,2) são simétricos em relação à origem do referencial.

Qual das afirmações é verdadeira?

19. A área do domínio plano definido pela condição 2 2 4 0 0x y x y+ ≤ ∧ ≥ ∧ ≥ é:

20. Se os planos α e β definidos num referencial ortogonal e monométrico Oxyz por

3z = e 1z = − , respetivamente, e se a esfera é tangente a ambos, então uma

condição que define a esfera nesse referencial pode ser:

21. Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, uma circunferência

de centro no ponto ( )2, 1P − .

Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a

fronteira?

(A) 2 2( 2) ( 1) 4 0x y x− + + ≤ ∧ ≥

(B) 2 2( 2) ( 1) 4 0x y y− + + ≤ ∧ ≥

(C) 2 2( 2) ( 1) 4 0x y y+ + − ≤ ∧ ≥

(D) 2 2( 2) ( 1) 4 0x y x+ + − ≤ ∧ ≥

(Teste Intermédio Maio-2009)

(A) 2 2 2x y x y x+ ≤ ∧ − ≤ ≤

(B) 2 2 2x y y x y x+ ≤ ∧ ≥ − ∧ ≥

(C) 2 2 4x y y x y x+ ≤ ∧ ≥ − ∧ ≥

(D) 2 2 4x y x y x+ ≤ ∧ − ≤ ≤

(A) Apenas a (i) (B) Apenas (ii) (C) Apenas (iii) (D) Nenhuma

(A) π (B) 4 (C) 4π (D) 2π

(A) 2 2 2 2x y z+ + ≤ (B) ( ) ( )2 22 1 1 2x y z+ + + − ≤

(C) ( ) ( )2 221 1 4x y z+ + + − ≤ (D) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 4x y z+ + + + + ≤


22. Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, uma

semicircunferência de centro na origem e que passa nos pontos P e Q.

O ponto P tem coordenadas ( )3,4− e o ponto Q tem coordenadas

( )3,4 .

Na figura está também representado o segmento de reta [PQ].

Qual das condições seguintes define o domínio plano sombreado?

(A) 2 2 25 3 3x y x+ ≤ ∧ − ≤ ≤ (B) 2 2 25 4x y y+ ≤ ∧ ≥

(C) 2 2 16 3 3x y x+ ≤ ∧ − ≤ ≤ (D) 2 2 16 4x y y+ ≤ ∧ ≥

(Teste Intermédio maio – 2010)

23. Considera os pontos A, B, C e D do plano. Sabendo que ADAC = e que BDBC = podemos concluir

que:

24. Considera o ponto ( )2 ; 3 2 ,P b b− ∈ℝ . Para que valor de b o ponto P pertence à bissetriz

dos quadrantes ímpares?

25. Num referencial xOy do plano, os pontos ( , )P a b e ( , )Q c d são simétricos relativamente à bissetriz

dos quadrantes ímpares.

Então, pode concluir-se que:

26. O ponto ( ) IRk , 22k , 2kP ∈−+ , pertence à bissetriz dos quadrantes pares se o valor de k é:

27. A condição ( )2 2 2x 1 y z 34 x 4− + + = ∧ = define:

(A) O círculo centrado em (1,0,0) e raio 6.

(B) A circunferência centrada em (1,0,0) e raio 6.

(C) O círculo centrado em (4,0,0) e raio 5.

(D) A circunferência centrada em (4,0,0) e raio 5.

(A) A=B (B) A e B são pontos da mediatriz de [ ]CD .

(C) A é o ponto médio de [ ]CD . (D) B pertence à circunferência de diâmetro [ ]CD

(A) 0 (B) 2 3

3 (C) 3− (D)

2 6

3

(A) a d e b c= = (B) a c e b d=− =

(C) a c e b d= =− (D) a d e b c=− =−

(A) 3 (B) 20− (C) 10 (D) 24−


QUESTÕES DE RESPOSTA ABERTA

28. Na figura está representado um paralelepípedo retângulo tal

que AE 6cm= , ED LI HC 3cm= = = , EF 3ED= e

LJ 3 2cm= .

28.1. Indica um plano paralelo à reta JG e que passe pelos

pontos B e F.

28.2. Identifica a interseção dos planos JLE e EFG.

28.3. Desenha a secção determinada no paralelepípedo pelo plano BCD e determina o valor exato da

sua área e do seu perímetro.

28.4. Determina o volume do prisma triangular que resulta do corte efetuado no paralelepípedo pelo

plano BCD.

29. A figura representa um paralelepípedo retângulo seccionado

pelo plano ABCD que o separou em dois sólidos diferentes.

Sabendo que 9AB = cm, ED3EF = e o volume do sólido

menor resultante da divisão é 49 cm3, determina:

29.1. ED .

29.2. o volume do sólido maior obtido no corte.

30. Na figura está representado um cubo em que a aresta mede 5 cm.

Sabe-se que 1CRGQEP === cm.

30.1. Utilizando os pontos assinalados na figura, indica:

30.1.1. duas retas não complanares.

30.1.2. duas retas concorrentes.

30.1.3. a interseção do plano AEG com o plano ABC.

30.1.4. a interseção do plano EFG com a reta DH.

30.2. Desenha a secção produzida no cubo pelo plano PQR.

30.3. Indica o maior perímetro da secção produzida no cubo por um plano paralelo ao plano PQR.

30.4. Seja X um ponto da aresta [BF] e α o plano paralelo ao plano EGH e que passa por X.

A que distância do ponto B deve estar o ponto x para que o prisma situado abaixo do plano α

tenha 23

cm de volume?


31. Representa, por uma condição, a região do plano representada pelo conjunto de pontos a sombreado:

31.1.

31.2.

31.3.

31.4. 31.5. 31.6.

32. Representa o conjunto dos pontos do plano definido por:

32.1. 3 1y y≤ ∨ > 32.2. 1 2x y x− < ≤ ∧ ≤

32.3. 3 0 2 1x y− ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ 32.4. 0 3y x x y≥ − ∧ ≤ ∧ > −

33. No referencial Oxyz está representado um paralelepípedo retângulo

[ABCDEFG].

A origem O é o ponto médio de [AD] e F tem coordenadas ( )1,2,3 .

33.1. Indica as coordenadas dos vértices do paralelepípedo.

33.2. Determina as coordenadas do ponto simétrico de F relativamente

a cada um dos eixos coordenados.

33.3. Supõe que a origem do referencial era mudada para o centro do paralelepípedo.

Indica as coordenadas dos vértices mediante esta mudança.

33.4. Indica uma condição que define:

33.4.1. a reta AB. 33.4.2. a reta HD. 33.4.3. o plano EHF.

33.4.4. o plano FGC. 33.4.5. a aresta [AD]. 33.4.6. a face [ABEF].

33.4.7. o plano EHD. 33.4.8. a aresta [FB]. 33.4.9. a face [ABCD].


34. Observa a figura ao lado, onde está representado o sólido

[ABCDOEFGHI].

Sabe-se que as coordenadas do ponto B são ( )3 , 5 , 2− e o ponto I

tem cota 7.

34.1. Indica as coordenadas dos pontos representados na figura.

34.2. Suponhamos que a origem do referencial era o ponto B. Quais

eram, neste caso, as coordenadas dos pontos A, G e I?

34.3. Indica uma condição que defina:

34.3.1. o plano ABF.

34.3.2. a reta paralela a EF e que passe no ponto G.

34.3.3. uma reta perpendicular a EI e que passe no ponto A.

34.3.4. um plano perpendicular a ABC e que passe no ponto O.

35. Admite que, num determinado referencial, as coordenadas dos navios A, B e C, em milhas, são as

indicadas na figura. Supõe que os navios estão parados.

35.1. O navio B lança uma mensagem de socorro. Qual dos navios A ou C poderá prestar auxílio mais

rápido, admitindo que se deslocam à mesma velocidade? Justifica a tua resposta.

35.2. O triângulo [ABC] é retângulo? Justifica.

35.3. Escreve uma equação simplificada da mediatriz do segmento de reta [BC].

35.4. Verifica se o ponto de localização do navio A pertence à mediatriz do segmento de reta [BC].

35.5. O navio B começou a derramar o crude que transportava, criando em volta dele uma mancha

circular. Calcula a área dessa mancha no momento em que ela atinge navio C. Indica o valor

arredondado às unidades. O navio A é atingido por essa mancha até a esse momento? Justifica.

36. Representa num referencial o conjunto de pontos definidos pela condição:

36.1. ( )22 2 4 1x y y+ + < ∧ > − 36.2. ( )2 2 2 21 9 4 0x y x y y− + ≤ ∧ + ≥ ∧ ≥

36.3. 2 2 9 1 0x y y x+ ≤ ∧ ≥ ∧ ≤ 36.4. ( ) ( )2 21 2 16x y y x+ + + ≤ ∧ ≥

y

ficha de trabalho n.3

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