ficha de exercicios n1-problemas não métricos-2015
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Problemas no mtricos da Geometria Analtica do 1 grau 2015
1 Professora Doutora Natlia V. K. Dias Furtado
FICHA N1.
1. Uma reta r definida parametricamente por
.
,22
,23
z
y
x
1.1. Apresentar equao continua e equao vetorial de r . 1.2. Apresentar equao vetorial, equao paramtrica e equao
cartesiana contnua da reta r , que passa pelo ponto )5,0,1( .
2. Encontrar a equao cartesiana contnua da reta
.0132
,011423:
zyx
zyxr
3. Reduzir a dada equao da reta
.09
,09232:
zyx
zyxr
equao cartesiana contnua.
4. Definir a reta, que passa pelo ponto )1,3,2( e perpendicular ao plano:
4.1. Cujos pontos tm todos ordenada 3.
4.2. 4753 zyx .
4.3. 1,2,111,4,10,0,3,, zyx .
5. Escrever equaes cartesianas da reta que:
5.1. Passa pelo ponto )2,1,4( A e tem a direo do vetor 21 ee .
5.2. Passa pelos pontos )8,9,4(),0,9,1( BA .
5.3. Passa pelo ponto )2,5,0( A e paralela ao eixo dos XX .
5.4. Passa pelo ponto )1,2,3(A e perpendicular ao plano xOz .
5.5. Passa pelo ponto )4,3,2(A e ortogonal ao mesmo tempo aos eixos
dos XX e dos YY .
6. Dados os pontos: )1,1,3(),0,3,1(),1,5,2( CBA determinar o ponto
D do plano yOz tal que as retas AB e CD sejam paralelas.
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Problemas no mtricos da Geometria Analtica do 1 grau 2015
2 Professora Doutora Natlia V. K. Dias Furtado
7. Estudar a posio relativa das retas r e s nos seguintes casos:
7.1. Rkkzyxs
Rzyxr
,6,2,27,0,2,,:
,3,1,11,2,0,,:
7.2. .22212:
,:
zyxs
zyxr
7.3.
.2
1
1
3
2
3:
,2
1
1
2
1
1:
zyxs
zyxr
7.4.
.1
,2:
,2
1
23
2:
zyx
yxs
zyxr
8. Esclarecer a posio relativa de retas:
8.1. 01107,0143,0132 yxyxyx .
8.2. .0278,017,018 yxyxyx
8.3.
.0724
,099142
;0569
,0233
zyx
zyx
zyx
zyx
9. Determinar k de modo que sejam paralelas as retas de equaes:
.023
,02
;,7
,2
,25
zyx
zkyx
Rz
y
x
10. As retas 1r e 2r tm por equaes:
0:,52: 21 zxrzyxr . O ponto A , de coordenadas
)1,0,4( , no pertence a qualquer das retas. Determinar uma equao da reta
que passa por A e interseta as retas 1r e 2r .
11. Determinar a equao vetorial do plano 0632 zyx .
12. Determinar a equao geral do plano , tal que:
12.1. contm o ponto )3,1,2( A e perpendicular ao vetor
)4,2,3( n .
12.2. contm o ponto )4,1,3( A e paralelo ao plano de equao
0632 zyx .
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Problemas no mtricos da Geometria Analtica do 1 grau 2015
3 Professora Doutora Natlia V. K. Dias Furtado
12.3. contm o ponto )2,1,2( A e perpendicular reta
Rkkzyxr ,1,2,30,1,4,,: .
13. Determinar a equao geral do plano , tal que:
13.1. Contm o ponto )1,7,3( A e paralelo aos vetores
)0,1,1(),1,1,1( vu .
13.2. Contm os pontos )1,2,1(),2,1,3( BA e paralelo ao vetor
31 32 eev .
13.3. Contm os pontos )1,1,1(),1,1,2(),0,2,1( CBA .
13.4. Contm as retas
.1
5
1
3
1
:;2
,32: 21
y
zx
rxz
xyr .
13.5. Contm as retas Rkkzyxr ,0,1,14,0,3,,: e
.0
2
1
2
2
:
z
yx
s .
13.6. Contm o ponto )1,2,3( A e a reta
.072
,012:
zyx
zyxr
14. Encontrar a equao do plano, que passa pela reta
,0434
,06523:
zyx
zyxr e paralelo reta
3
1
2
5
3
1
zyx.
15. Dados os planos 032: zyx e 04: yx . Determinar o vetor
diretor e a equao vetorial da reta r , que interseco de e .
16. Dados os pontos )4,1,3(),2,0,2(),1,3,1( CBA .
16.1. Verificar que CBA ,, no so colineares.
16.2. Definir vetorialmente o plano ABC .
16.3. Definir o plano ABC por equao cartesiana geral.
17. Apresentar uma definio vetorial e uma definio cartesiana geral do plano:
17.1. , que passa por )4,1,3(),0,3,1(),0,1,1( CBA ;
17.2. paralelo a e que passa por )5,6,3(M .
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Problemas no mtricos da Geometria Analtica do 1 grau 2015
4 Professora Doutora Natlia V. K. Dias Furtado
18. Determinar:
18.1. Equao vetorial e equao cartesiana geral do plano , que passa por )3,1,3(),2,1,2( BA e paralelo reta
1,0,15,4,3,, zyx . 18.2. Equao cartesiana do plano paralelo a e que passa pela origem
dos eixos.
19. Constituir a equao do plano, que passa pelo ponto )1,1,1(M e
perpendicular ao vetor )3,2,2(n .
20. Dadas as retas
Rkkzyxrxz
xyr
,6,4,23,0,1,,:
;23
,12: 21 .
20.1. Mostrar que so paralelas. 20.2. Definir o plano que contm as duas retas.
21. Calcular m de modo que sejam complanares as retas:
m
zyxs
xz
xyr
12
1:
,13
,32: .
22. Dado o plano de equao 0632 zyx , determinar a interseo do
plano:
22.1. com os eixos coordenados; 22.2. com os planos coordenados.
23. Dada reta
.0234
,0423:
zyx
zyxr Encontrar a projeo ortogonal dela
sobre o plano .07225: zyx
24. Dadas duas retas 01157,0532 yxyx , que se intersetam no
ponto S . Apresentar a equao da reta, que passa por S e perpendicular
reta 01512 yx .
25. Determinar o plano que passa por )1,0,0( M e paralelo reta
zyx
1
1
2 e a )4,2,1( v .
26. Estudar a posio relativa da reta de equaes: 2
1
zyx com o plano de
equao .03 yx
27. Determinar a interseo dos planos e interpretar a soluo geometricamente:
0128,24,22 zxzyyx .
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Problemas no mtricos da Geometria Analtica do 1 grau 2015
5 Professora Doutora Natlia V. K. Dias Furtado
28. Esclarecer a posio relativa de planos:
28.1. .0113169;01332;01523 321321321 xxxxxxxxx
28.2. .0121266;0117213;01 zyxzyxzyx
28.3. .0;0 yzx
28.4. .0424;0122 zyxzyx
28.5. .3;5422;32 zyxzyxzyx
28.6. .7832;562;32 zyxzyxzyx
28.7. .8832;562;32 zyxzyxzyx
28.8. .2;10;2 zxyxzy
29. Reduzir a equao da reta
,05432
,0432
zyx
zyx forma contnua.
30. Constituir equao geral do plano, que perpendicular ao plano
02 zyx e passa pela reta
.032
,02:
zyx
zyxr
31. Formular nos termos de caractersticos e demonstrar a condio necessria e
suficiente para que trs pontos ),(),,(),,( 333222111 baMbaMbaM no
pertenam uma reta.
32. Trs retas so indicadas no plano pelas equaes
3,2,1,021 iCxBxA iii . Formular nos termos de caractersticas e
demonstrar a condio necessria e suficiente para que essas retas no
passem por um ponto comum.
33. Dois planos indicados pelas equaes 2,1,0 iDzCyBxA iiii .
Formular nos termos de caractersticas e demonstrar a condio necessria e
suficiente para que esses planos:
33.1. coincidam; 33.2. tenham um ponto comum; 33.3. sejam paralelos, mas no coincidam.
34. Quatro pontos so indicados pelas suas coordenadas .4,3,2,1),,,( icba iii
Formular nos termos de caractersticas e demonstrar a condio necessria e
suficiente para que esses pontos no se situem num plano.
A Regente da Unidade Curricular: ____________________________
/Natlia V. K. Dias Furtado, Ph.D./