Ficha de avaliação da Matemática A – 10.º Ano Página 1/8 – Versão 1

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A – 10.º Ano – Versão 1

Nome ________________________________ Nº ___ Turma: ___ Data: __ / __ /__

Professor ____________________________ 10.º Ano Classificação ____________

Apresente o seu raciocínio de forma clara,

indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato.

(10) 1. De um conjunto de cinco números inteiros positivos sabe-se que a média, a mediana e a

moda são números consecutivos, tais que, ~

x x Mo .

Determine cinco números nessas condições, explicando todos os raciocínios efetuados.

Para haver moda é necessário que haja, pelo menos, dois números iguais. No entanto, se houver

três números iguais a moda é necessariamente igual à mediana, o que não pode acontecer. Assim,

só podemos ter dois números iguais que representarão à moda.

Como as três medidas são inteiros consecutivos, se ~

x x então 1Mo x e 1x x .

Sejam 1 1 x a, x b, x, x , x os cinco números, com a b , pois só podem haver dois números

iguais.

De 1x x resulta 1 1

15

x a x b x x xx

5 2 5 5x a b x 7a b

Assim, para 1b (por exemplo) temos 6a .

Portanto, uma possível solução é da forma: 6 1 1 1 x , x , x, x , x

Ora, para 7x obtemos a solução: 1 6 7 8 8 , , , , , sendo 6x , 7~

x e 8Mo

Outras soluções: para 2b temos 5a , gerando soluções da forma: 5 2 1 1 x , x , x, x , x

Agora, para 10x obtemos a solução: 5 8 10 11 11 , , , , , sendo 9x , 10~

x e 11Mo

…

Outro processo de resolução (mais simples): Ver última página

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2. A partir de um estudo sobre o número de irmãos dos 160 alunos que frequentam o 10.º ano de

uma escola secundária elaborou-se o gráfico da função cumulativa das frequências relativas,

representado ao lado.

(5) 2.1. A variável em estudo é …

Qualitativa

Qualitativa discreta

Quantitativa discreta

Quantitativa contínua

(10) 2.2. Complete a tabela seguinte.

Número

de irmãos

Frequência

absoluta

Frequência relativa Acrescentando colunas para a média e …

simples acumulada

i in x 2

ix x 2

i in x x xi ni fi Fi

0 40 0,25 0,25 0 (0 –1,3)2 67,6

1 64 0,4 0,65 64 (1 –1,3)2 5,76

2 32 0,2 0,85 64 (2 –1,3)2 15,68

3 16 0,1 0,95 48 (3 –1,3)2 46,24

4 8 0,05 1 32 (4 –1,3)2 58,32

208 193,6

(10) 2.3. Indique os valores de 2n e 2F , em percentagem, e diga o que representam no contexto deste

problema.

2 64n significa que 64 dos alunos do 10.º ano têm 1 irmão.

2 0 65 65F , % significa que 65% dos alunos do 10.º ano têm 0 ou 1 irmão.

(10) 2.4. Calcule a média do número de irmãos de cada aluno.

Média = i ix n

xN

= 0 64 64 48 32

160

=

208

160 = 1,3

Cada aluno tem, em média, 1,3 irmãos.

(10) 2.5. Calcule o desvio-padrão do número de irmãos de cada aluno.

Mediana =

2

i in x x

N

= 193 6

160

, = 1,1

O desvio-padrão do número de irmãos de cada aluno é 1,1.

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3. No seguimento do estudo referido na questão anterior construiu-se também o histograma

seguinte.

(10) 3.1. Indique o valor lógico das afirmações seguintes:

V A mediana das alturas dos alunos pode ser 164.

F 20 alunos têm altura no intervalo [148, 156[.

V 120 alunos têm altura superior ou igual a 1,56 metros.

V 25% dos alunos têm altura inferior a 156 cm.

F A altura média dos alunos é 1,60 metros.

(10) 3.2. Construa, sobre o histograma, o polígono das frequências absolutas e calcule o valor da área

limitada pelo eixo horizontal e pelo polígono de frequências.

O polígono das frequências absolutas é a linha que

une os pontos médios das bases superiores de cada

barra, prolongado até ao eixo horizontal (imaginando

classes com a mesma amplitude e de frequência zero).

Assim, a área limitada pelo polígono e pelo eixo

horizontal é igual à soma das áreas de todas as barras,

ou seja,

8 (10 + 30 + 40 + 56 + 24) = 8 160 = 1280

(10) 3.3. Indique, justificando, a classe modal e, recorrendo ao histograma, determine uma

aproximação geométrica para a moda das alturas dos alunos.

A classe modal é [164, 172[, pois trata-se da classe de maior frequência.

Uma aproximação geométrica para a moda é 167 centímetros.

Feito no histograma apresentado na questão anterior

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4. Nas tabelas abaixo encontram-se as classificações que duas turmas do 10.º ano obtiveram em

Matemática no final do 2.º período.

Tu

rma A

Nota N.º de alunos Ni

Tu

rma B

Nota N.º de alunos Ni

7 3 3 7 1 1

8 1 4 9 3 4

10 3 7 10 3 7

11 3 10 11 5 12

12 7 17 13 4 16

13 2 19 14 2 18

14 2 21 15 4 22

16 4 25 16 4 26

19 1 26 18 3 29

(10) 4.1. Sabe-se que a média e o desvio-padrão das notas da turma B são, respetivamente:

13 Bx Turma 3 0 BTurma ,

Recorrendo à calculadora, determine a média e o desvio-padrão das classificações da turma

A, com aproximação às décimas.

x (turma A) = 12,0 (Turma A) = 3,0

(10) 4.2. Atendendo apenas aos valores da média e do desvio-padrão de ambas as turmas, diz,

justificando adequadamente, qual das turmas obteve melhores resultados.

A turma B tem melhor média (1 valor acima da média da turma A)

E tem também igual desvio-padrão (3 em ambas as turmas).

Como o desvio-padrão nos dá a dispersão dos dados relativamente à média, essa dispersão é

igual nas duas turmas, o que pressupõe que as duas turmas apresentam a mesma regularidade.

Assim, como a turma B tem uma média mais alta, podemos considerar que obteve melhores

resultados.

(10) 4.3. No início do 3.º período veio um aluno transferido para a turma B. Com a entrada desse aluno

a média das notas da turma subiu 1 décima.

Determine, apresentando todos os cálculos, a classificação que esse aluno tinha.

x (29 alunos) = 13 Portanto, o total das classificações dos 29 alunos era 2913 = 377

x (30 alunos) = 13,1 Portanto, 3013 2913 1

30

x,

30377 30 13 1x , 30 16x

Assim, o novo aluno tinha uma classificação de 16 valores.

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(10) 4.4. A partir da tabela inicial, determine, analiticamente, os quartis (Q1, Q2 e Q3) da distribuição

das classificações da turma A.

Temos N = 26, número par de dados

As frequências absolutas acumuladas estão ao lado da tabela

Q2 = mediana = 13 14

2

~ x xx

=

12 12

2

= 12

Q1 = 13 12

x = 7x = 10 Nota: ficam 13 dados de cada lado da mediana

Q3 = 2113 7x x

= 14

(10) 4.5. A seguir encontra-se o diagrama de extremos e quartis das classificações da turma B.

Construa, paralelo ao diagrama da turma B, o diagrama de extremos e quartis da turma A.

(10) 4.6. Baseando-se apenas nos diagramas da questão anterior, e sabendo que a turma A tem 26

alunos e a turma B tem 29 alunos (suponha que não conhecia as notas de cada turma),

indique o valor lógico das afirmações seguintes:

F A turma A tem maior amplitude interquartis.

V A maior dispersão de classificações da turma A registou-se acima de Q3.

F Na turma A houve 7 notas superiores a 14 valores.

V Na turma B houve pelo menos uma nota igual a 13 valores.

V Em ambas as turmas houve aproximadamente 50% das notas entre Q1 e Q3.

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5. Os diagramas de dispersão apresentados abaixo relacionam algumas variáveis estatísticas de

um grupo de 10 alunos de uma turma escolhidos ao acaso.

Distribuição A Distribuição B Distribuição C

Altura / Massa corporal Notas Português / Matemática Colesterol HDL / LDL

r … 0,95 r … 0,56 r … -0,76

Correlação…positiva forte Correlação…positiva Correlação…negativa

(10) 5.1. Entre os números seguintes encontram-se os coeficientes de correlação das três distribuições.

0,05 – 0,76 0,56 1 0,95 – 0,23

Complete a legenda de cada diagrama com o respetivo coeficiente de correção e classifique o

tipo de correlação existente.

(10) 5.2. Calcule, analiticamente, o centro da nuvem de pontos da distribuição C.

Centro da nuvem = x, y

32 38 40 44 46 48 48 50 54 56 456

45 610 10

x ,

105 105 110 115 125 135 140 150 160 165 1310

13110 10

y

Portanto, 45 6 131 x, y , ;

(5) 5.3. A nuvem de pontos da distribuição B tem centro 13 13 x, y , .

Qual das equações seguintes pode representar a reta de regressão desta distribuição?

0 7 3 9y , x , 0 7 3 9y , x ,

0 7 3 9y , x , 0 7 3 9, x y ,

(5) 5.4. Se adicionarmos 5 unidades a todos os valores da variável y na distribuição A obtemos uma

nova distribuição cujo coeficiente de correlação é…

igual ao da distribuição A. 5 unidades superior.

multiplicado por 5. 5 unidades inferior.

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6. Os gráficos seguintes mostram como se distribuíram as notas de Matemática em quatro

turmas do 10.º ano de uma escola secundária, todas com o mesmo número de alunos.

Turma A

10 11 12 13 14

Notas

Nº

de

alu

no

s

Turma B

10 11 12 13 14

Notas

Nº

de

alu

no

s

Turma C

10 11 12 13 14

Notas

N.º

de

alu

no

s

Turma D

10 11 12 13 14

Notas

N.º

de

alu

no

s

(5) 6.1. Relativamente à média, podemos afirmar que:

Todas as turmas têm média 12. A maior média registou-se na turma B.

Só as turmas B e D têm média 12. A turma C tem a menor média.

(5) 6.2. Relativamente à amplitude, podemos afirmar que:

Todas as turmas têm amplitude 4. A turma B tem amplitude 2.

As turmas A e D têm amplitude 5. Só a turma C tem amplitude 4.

(5) 6.3. Relativamente à moda, podemos afirmar que:

Todas as turmas têm moda 12. A turma A tem 5 modas.

Só na turma A não há moda. Na turma C não há moda.

(5) 6.4. Relativamente ao desvio-padrão, podemos afirmar que:

Todas as turmas têm igual desvio-padrão O desvio-padrão é maior na turma B.

As turmas B e D têm igual desvio-padrão O desvio-padrão é maior na turma C.

(5) 6.5. Relativamente à turma B, se todas as notas subirem 1 valor, podemos concluir que:

O desvio-padrão mantém-se igual. Só a média sobe 1 valor.

A moda mantem-se igual. Só a mediana sobe 1 valor.

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ESTA PÁGINA PODE SER UTILIZADA PARA CORRIGIR OU RESOLVER ALGUMA QUESTÃO EM QUE O ESPAÇO APRESENTADO NÃO TENHA SIDO SUFICIENTE.

CASO A UTILIZE, IDENTIFIQUE CLARAMENTE AS QUESTÕES A QUE ESTÁ A RESPONDER.

Outro processo de resolução da questão 1

Para haver moda é necessário que haja, pelo menos, dois números iguais. No entanto, se houver

três números iguais a moda é necessariamente igual à mediana, o que não pode acontecer. Assim,

só podemos ter dois números iguais que representarão à moda.

Como as três medidas são inteiros consecutivos, ~

x x Mo , podemos começar por fixar a moda e a

mediana

Por exemplo: se 10Mo temos 9~

x e 8x

Assim, os números pedidos são 9 10 10 a, b, , , , com a b e inteiros, para haver apenas uma moda.

Como 8x resulta 9 10 10

85

a b 29 40a b 11a b

Agora só temos de escolher dois números inteiros cuja soma dê 11.

Mesmo assim, temos de ter cuidado com as várias possibilidades, como mostra a tabela abaixo

a 1 2 3 4 5 A partir daqui as soluções são simétricas b 10 9 8 7 6

Note-se que as duas primeiras não servem (porquê).

Portanto, uma solução é: 3 8 9 10 10 , , , , , sendo 8x , 9~

x e 10Mo

Mas as soluções 4 7 9 10 10 , , , , e 5 6 9 10 10 , , , , têm as mesmas média, moda e mediana.

BOM TRABALHO!

Prof. José Tinoco