Algumas ferramentas para resolução de problemas deOtimização Linear

Guilherme H. Polo Gonçalves

Departamento de InformáticaUniversidade Estadual de Maringá (UEM) – Maringá, PR – Brasil

ggpolo@gmail.com

1. Introdução

Problemas de otimização reais podem requerer uma quantidade muito grande de variá-veis e restrições, sendo impraticáveis para resolução manual. O trabalho apresentado em[Castro and Frangioni 2000] descreve uma instância de um problema contendo mais de2,45 milhões de variáveis e cerca de 267 mil restrições. Assim, utilizar ferramentas pararesolução de problemas de programação linear se torna imprescindível.

Nesse trabalho apresentamos, nessa ordem, as ferramentas COIN-OR LP (CLP)[COIN-OR 2010], ConVeX OPTimization (CVXOPT ) [CVXOPT 2009], GNU LinearProgramming Kit (GLPK ) [GNU 2008], Matlab [MathWorks 2010] e seutoolbox deotimização, e também aMOSEK [MOSEK ApS 2008]. Vale observar que todas essasferramentas são capazes de resolver muitos outros tipos de problemas que fogem donosso escopo, e, portanto, elas serão apenas brevemente exploradas. Em seguida ummesmo problema é solucionado com o CVXOPT, GLPK e Matlab, permitindo umarápida análise entre os mesmos. Um segundo problema, dessa vez teórico, é apresentadoe resolvido mas apenas uma parte dele é modelado e solucionado com essas mesmasferramentas.

2. Ferramentas

2.1. CLP

O projetoComputational Infrastructure for Operations Research (COIN-OR) foi criadopela IBM em 2000. Dentro do COIN-OR existe uma coleção de projetos, todos desenvol-vidos seguindo a filosofia de código livre, em várias categorias. O CLP faz parte dessacoleção, servindo como um solucionador para problemas de programação linear. EscritoemC++, já foi testado com modelos contendo até 1,5 milhões de restrições, e tem sidoutilizado pela Yahoo.

Através de um utilitário chamadoclp pode-se resolver problemas escritos no for-mato MPS (Mathematical Programming System). Essa é a forma mais simples de utilizaro CLP, mas também a mais limitada. Essa ferramenta foi projetada na forma de bibliotecae boa parte de suas funcionalidades só podem ser acessadas por meio desta. Para exempli-ficar, poderíamos escrever um pequeno programa que lê um arquivo no formato MPS ouGMPL (GNU Mathematical Programming Language) e resolve o problema utilizando ométododual simplex com a API (Application Programming Interface) existente. O trechoseguinte implementa tal funcionalidade, porém nem mesmo exibe a solução obtida:

Código 1. Uso básico da API da CPL para ler e resolver um problema no formato MPS ou GMPL

1 #include <string.h>2 #include "ClpSimplex.hpp"3

4 int main (int argc, const char *argv[])5 {6 ClpSimplex modelo;7 int erro = 1, status = 1;8

9 if (argc == 3) {10 if (!(strcmp(argv[1], "-mps"))) {11 erro = modelo.readMps(argv[2]);12 } else if (!(strcmp(argv[1], "-gmpl"))) {13 erro = modelo.readGMPL(argv[2]);14 }15 if (!erro) {16 modelo.dual();17 status = 0;18 }19 }20 return status;21 }

2.2. CVXOPT

CVXOPT é um pacote para a linguagemPython que foi escrito em 2004 e é distribuídosob a licença GPL. É utilizado pelo projeto Sage [Sage 2010],que é uma alternativa livreao Maple, Mathematica ou Matlab. O CVXOPT permite o uso das ferramentas GLPKou MOSEK, mas também tem o própriosolver escrito emPython. Entre os aplicativosdesenvolvidos com ele, encontra-se um plugin para o OpenOffice.org Calc.

Solucionar um problema de otimização com essa ferramenta consiste em mo-delar o mesmo utilizando a linguagemPython. Para essa tarefa existe o módulocvxopt.modeling, um exemplo mais a frente demonstra como realizar essa ativi-dade. Estruturas para manipulação de matrizes e vetores sãofornecidas, permitindoo uso de uma notação próxima da forma matricial. Problemas demaximização de-vem ser convertidos para minimização, já que a função existente para criar um modelo(cvxopt.modeling.op) espera ter a função objetivo sempre como de minimização.

2.3. GLPK

O GLPK foi escrito emC no ano de 2000 e faz parte do projeto GNU. Diversas linguagens,comoR, Python ou Matlab, possuembindings para o GLPK de forma a possibilitarseu uso através dessas. Também é possível utilizá-lo diretamente através do programaglpsol em linha de comando, que é o foco desse trabalho.

Ao fazer uso doglpsol, a modelagem por meio do formato MathProg (tambémchamada de GMPL), MPS, MPS livre ou ainda CPLEX LP pode ser empregada para des-crição de um problema qualquer. A documentação oficial do GLPK possui a referênciacompleta para a MathProg, assim como os outros formatos já mencionados também pos-suem material extenso e não são detalhados aqui. Mais adiante é apresentado um exemplomodelado em GMPL, que não impõe a restrição descrita para o CVXOPT.

2.4. Matlab

Matlab (de MATrix LABoratory) foi inicialmente desenvolvimento por Cleve Moler nofinal dos anos 70, mais tarde foi reescrito e a MathWorks surgiu. A linguagem fornecemaneiras convenientes de se trabalhar com vetores e matrizes, permitindo um melhorrelacionamento entre um modelo na forma matricial e a aplicação do método simplex.Atualmente apresenta uma interface gráfica que, por meio de um interpretador, facilita averificação e testes de pequenos trechos de código. Nesse trabalho estamos interessadosem seutoolbox de otimização, que dispõe de uma funçãolinprog e o aplicativo gráficooptimtool para resolver os problemas descritos aqui.

O Matlab apresenta duas semelhanças com o projeto CVXOPT. A modelagem e aresolução de um problema acontece por meio do uso da linguagem Matlab. A segundasemelhança é a necessidade de tratar a função objetivo como de minimização. Porém, afunçãolinprog define ainda mais limites na modelagem. Apenas restrições demenor-igual e de igualdade são aceitas, e essas ainda devem ser separadas. O problema exemploque é resolvido mais adiante explicita essas restrições. O aplicativooptimtool simpli-fica (um pouco) a descrição do modelo, mas não é necessário seuuso.

2.5. MOSEK

O MOSEK, assim como o GLPK, pode ser utilizado em diversas linguagens (além deCeC++) através de bindings existentes paraC#, Python e outras, além de disponibilizarum outrotoolbox de otimização para oMatlab. Uma ferramenta em linha de comandotambém acompanha o pacote. Não é livre, e é pago assim como oMatlab.

Essa ferramenta apresenta um diferencial em relação ao formato de problemaaceito, o OPF (Optimization Problem Format) (mas também aceita os formatos MPS eLP). O OPF é uma alternativa aos formatos antigos MPS e LP, orientados a coluna e dedifícil leitura, e não tanto um concorrente ao MathProg. Tem-se também como diferencialum programa que analisa o modelo descrito e relata dados como: número de restrições evariáveis livres/fixas/limitadas superiormente/limitadas inferiormente, valores absolutos/mínimos/máximos de coeficientes da função objetivo, além deoutras informações.

3. Problemas exemplo

A seguir apresentamos dois problemas utilizados na discussão de algumas ferramentas. Oprimeiro é direcionado a resolução de um pequeno modelo existente e o segundo validaalgumas questões teóricas a respeito da programação lineare o método simplex. Como asferramentas estudadas não dispõem de um “modo didático”, não é tão interessante utilizá-las para validar os itens da questão 2 e, assim, só fazemos taltrabalho com o segundo item.

1. Resolva o problema a seguir.

minimizar f(x1, x2, x3) = 3x1 + 2x2 + 7x3

sujeito a−x1 + x2 = 102x1 − x2 + x3 ≥ 10

ex1, x2, x3 ≥ 0

2. Classifique e justifique cada afirmação a seguir como verdadeira ou falsa:

(a) Em uma determinada iteração do método simplex, se houverum empatepara qual variável deverá ser a variável básica que sai, então a solução BVseguinte deve ter pelo menos uma variável básica igual a zero.

(b) Se não houver nenhuma variável básica que sai na mesma iteração, entãoo problema não tem nenhuma solução viável.

(c) Se pelo menos uma das variáveis básicas tiver um coeficiente igual a zerona linha 0 da tabela final, então o problema tem soluções ótimas múltiplas.

(d) Se o problema tiver soluções ótimas múltiplas, então o problema tem queter uma região de soluções viáveis limitada.

4. Resolução dos problemas

4.1. Problema 1

Código 2. CVXOPT

1 from cvxopt.modeling import variable, op2

3 x1, x2, x3 = variable(), variable(), variable()4

5 r1 = (- x1 + x2 == 10)6 r2 = (2*x1 - x2 + x3 >= 10)7 nao_neg = [(x1 >= 0), (x2 >= 0), (x3 >= 0)]8 restricoes = [r1, r2] + nao_neg9 modelo = op(3*x1 + 2*x2 + 7*x3, restricoes)

10 modelo.solve()11

12 print "%f %f %f" % (x1.value[0], x2.value[0], x3.value[0])13 print "%f" % modelo.objective.value()[0]

Código 3. GLPK, exemplo1.gmpl (glpsol -m exemplo1.gmpl -o solucao)

1 var x1 >= 0;2 var x2 >= 0;3 var x3 >= 0;4

5 minimize z: 3*x1 + 2*x2 + 7*x3;6

7 s.t. r1 : - x1 + x2 = 10;8 s.t. r2 : 2*x1 - x2 + x3 >= 10;9

10 end;

Código 4. Matlab

1 Aineq = [0 0 0; -2 1 -1];2 Aeq = [-1 1 0; 0 0 0];3 bineq = [0 -10];4 beq = [10 0];5 nao_neg = zeros(3, 1);6 [x z] = linprog([3 2 7], Aineq, bineq, Aeq, beq, nao_neg)

Uma forma de programação simbólica é observada no código emPython aoutilizar o pacote da CVXOPT. As restriçõesr1 e r2 são declaradas de forma quaseidêntica à aquelas no modelo em MathProg, diferindo apenas no operador de igualdade(= e ==). Cada objeto de tipovariable nesse exemplo é um vetor com uma coluna,e, por isso, na apresentação dos resultados acessamos o índice 0 para obter o valor alicontido.

O modelo em MathProg para o GLPK ficou bastante próximo daqueles vistos emtextos relacionados a programação linear. A abreviaçãos.t. vem desubject to (sujeitoa). O arquivo “solucao” contém a descrição da resposta, e nãoé tão direto quanto asoutras duas ferramentas:

1 Problem: exemplo12 Rows: 33 Columns: 34 Non-zeros: 85 Status: OPTIMAL6 Objective: z = 120 (MINimum)7

8 No. Row name St Activity Lower bound Upper bound Marginal9 --- ----------- ---- -------- ----------- ----------- --------

10 1 z B 12011 2 r1 NS 10 10 = 712 3 r2 NL 10 10 513

14 No. Column name St Activity Lower bound Upper bound Marginal15 --- ----------- ---- -------- ----------- ----------- --------16 1 x1 B 20 017 2 x2 B 30 018 3 x3 NL 0 0 2

O conteúdo acima foi editado, retirando partes finais e ajustando as colunas para cabernuma folha de papel. Na linha 1 temos o nome do arquivo que contém o modelo agoraresolvido, a linha 5 indica que foi encontrada uma solução ótima e seguida dela temoso valor ótimo paraz acompanhado do tipo de problema (minimização nesse caso). Aslinhas 16, 17 e 18 na colunaactivity apresentam os valores finais para as variáveis dedecisão.

Matlab apresenta o código mais breve, mas se distancia um pouco do modelooriginal ao impor a necessidade de separar inequações (Aineq ebineq) de menor-igualdas restrições de igualdade (Aeq e beq). A funçãozeros na linha 5, da forma que éutilizada, retorna uma matriz 3× 1 e representa as restrições de não negatividade para asvariáveis de decisão. O código em questão precisa ser escrito no interpretador do Matlabpara que, após a linha 7, o resultado seja exibido.

O resultado obtido, como esperado, é o mesmo para todos:x1 = 20, x2 = 30,x3 = 0 comz = 120.

4.2. Problema 2

(a) Verdadeiro. Isso é uma característica da existência de solução degenerada.(b) Falso. Se um variável já foi escolhida para entrar mas nãoé possível determinar uma

para sair então ocorre que temos um problemailimitado. Isso ocorre se as variáveis

básicas atuais possuírem coeficientes negativos ou nulos nas restrições, fazendo como que teste da razão mínima não consiga determinar uma limitepara a variável básicaque entraria.

(c) Falso. Uma variávelnão-básicaprecisa ter coeficiente igual a zero na linha 0 finalpara se ter soluções ótimas múltiplas.

(d) Falso. Pode ocorrer de termos um conjunto ilimitado de soluções ótimas em umaregiãoilimitada.

Como mencionado antes, analisamos o item “b”. Supondo um modelo como:

maximizar f(x1, x2) = x1 + x2

sujeito a x1 + 4x2 ≥ 24x1 + x2 ≥ 4

ex1, x2 ≥ 0

Podemos verificar que sua representação geométrica na figura1 demonstra que há a pos-sibilidade de não existir solução ótima, porém há infinitas soluções viáveis.

x1

x2

x2

I

II

Ilimitado

Figura 1. Região ilimitada sem solução ótima

Modelando o problema em CVXOPT, GLPK e Matlab verificamos que oúltimodesses apresenta mais informações que possam nos interessar aqui e portanto seu códigoé exibido. Dessa vez é feito uso de algumas opções, forçando ouso do algoritmo simplexe a exibição de resultados parciais durante a tentativa de resolução do problema. Lem-brando que a funçãolinprog trabalha apenas com função objetivo de minimização,convertemos a mesma.

Código 5. Problema ilimitado no Matlab

1 Aineq = [-1 -4; -4 -1];2 bineq = [-2 -4];3 nao_neg = zeros(2, 1);4

5 opc = optimset(’Simplex’, ’on’, ’LargeScale’, ’off’,’Display’, ’iter’);

6 [x z] = linprog([-1 -1], Aineq, bineq, [], [], nao_neg, [], [], opc)

Como saída obtemos:

Phase 1: Compute initial basic feasible point.Iter Infeasibility0 61 12 -0

Phase 2: Minimize using simplex.Iter Objective Dual Infeasibility

f’*x A’*y+z-w-f0 -1.2 0.2828431 -2 1

Exiting: The problem is unbounded; the constraints are notrestrictive enough.

x =

1.0e+16 *

1.00000

z =

-1.0000e+16

Dentre as informações exibidas, vemos que um valor paraz foi obtido. As variá-veis de decisão receberam valores também,x1 obteve um valor bastante alto (1 × 1016)enquanto quex2 ficou com 0. A função objetivo, passando para maximização, obteve orespectivo valor dex1. Se não utilizarmos nenhuma daquelas opções, as variáveis rece-bem valores mais altos ainda:x1 ≈ 1.1895×1082 ex2 ≈ 1.1331×1082. Resolvendo essemesmo problema com o GLPK (fazendo conversão para minimização como no Matlab,ou não), verificamos que o resultado obtido foix1 = 2 e x2 = 0, indicando que os doisutilizaram algoritmos diferentes em todos os casos. Ao tentar resolver utilizando o CV-XOPT, obtivemos uma resposta que não satisfez as restrições. Por essa razão, o códigofeito com esse pacote também é exibido agora:

Código 6. Modelagem e resolução do problema 2.b utilizando CVXOPT 1.1.1

1 from cvxopt.modeling import variable, op2

3 x1, x2 = variable(), variable()4

5 r1 = (x1 + 4*x2 >= 2)6 r2 = (4*x1 + x2 >= 4)7 nao_neg = [(x1 >= 0), (x2 >= 0)]8 restricoes = [r1, r2] + nao_neg9 modelo = op(-x1 -x2, restricoes)

10 modelo.solve()11

12 print "%f %f" % (x1.value[0], x2.value[0])13 print "%f" % modelo.objective.value()[0]

O resultado obtido com o código acima é:x1 = 0.619906 ex2 = 0.380094, fazendo comque4x1 + x2 � 4.

5. Conclusão

Apenas uma noção da utilização de cada uma das 5 ferramentas foi passada. Entre elas,fizemos uso da CVXOPT, GLPK e Matlab para resolução de dois problemas. O primeirodesses teve problemas para definir uma solução viável em um modelo com região factívelilimitada. O GLPK e seu formato MathProg fornecem uma representação bastante seme-lhante a forma em que os problemas são naturalmente escritos. Matlab e o MOSEK sãoas duas ferramentas pagas mencionadas, onde a primeira facilita a utilização de matrizese vetores.

Referências

Castro, J. and Frangioni, A. (2000). A parallel implementation of an interior-point al-gorithm for multicommodity network flows. InVECPAR ’00: Selected Papers andInvited Talks from the 4th International Conference on Vector and Parallel Processing,pages 301–315, London, UK. Springer-Verlag.

COIN-OR (2010). Coin-or linear programming solver.https://projects.coin-or.org/Clp.

CVXOPT (2009). Python software for convex optimization.http://abel.ee.ucla.edu/cvxopt/.

GNU (2008). Gnu linear programming kit.http://www.gnu.org/software/glpk/.

MathWorks (2010). Matlab. http://www.mathworks.com/products/matlab/.

MOSEK ApS (2008). The mosek optimization software.http://www.mosek.com/.

Sage (2010). Sage: Open source mathematics software.http://www.sagemath.org/.