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O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
A HISTÓRIA DO ENIGMA QU CONFUNDIU AS MAIORES MENTES DO MUNDO DURANTE 358
ANOS
PROFMAT
TURMA 2011
O ÚLTIMO TEOREMA DE
FERMAT
Introdução
Prefácio
Capitulo 1
Capítulo 2
Capítulo 3
Capítulo 4
Capítulo 5
Capítulo 6
Capítulo 7
Epílogo
O ÚLTIMO TEOREMA DE
FERMAT
Introdução
Prefácio
Capitulo 1
Capítulo 2
Capítulo 3
Capítulo 4
Capítulo 5
Capítulo 6
Capítulo 7
Epílogo
O ÚLTIMO TEOREMA DE
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Prefácio
Capitulo 1
Capítulo 2
Capítulo 3
Capítulo 4
Capítulo 5
Capítulo 6
Capítulo 7
Epílogo
“Acho que Vou Pararpor Aqui”
KeylaJossara
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Capitulo 1
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Capítulo 7
Epílogo
“Acho que Vou Pararpor Aqui”
Arquimedes será lembrado enquanto Ésquilo foi esquecido, porque idiomas morrem mas as ideias matemáticas permanecem.“Imortalidade” pode ser uma ideia tola, mas provavelmente um matemático tem a melhor chance que pode existir de obtê-la.
G. H. Hardy
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Capítulo 5
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Epílogo
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Epílogo
23 De Junho De 1993, Cambridge
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Epílogo
• “A vida de um matemático é muito curta. Seu trabalho raramente melhora depois da idade de vinte ou trinta. Se ele não conseguiu muita coisa até essa idade, não vai conseguir mais nada.”
Alfred Adler
• Os jovens devem provar os teoremas, os velhos devem escrever livros.”
G. H. Hardy
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Epílogo
• Srinivasa Ramanujan: eleito membro da Sociedade Real com 31 anos
• Niels Henrik Abel( século XIX): maiores contribuições à Matemática aos dezenove anos.
• “Ele deixou o suficiente para manter os matemáticos ocupados durante 500 anos.”
Charles Hermite
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Capitulo 1
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Epílogo
Évariste Galois(século XIX): realizou suas descobertas quando era adolescente.
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Epílogo
O Último Problema“Eu adorava
resolver problemas na escola. Eu os
levava para casa e criava novos.
Mas os melhores problemas eu encontrava na
biblioteca local.”
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Capítulo 6
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Epílogo
“Parecia tão simples, e no entanto nenhum dos
grandes matemáticos da história conseguira resolvê-lo. Ali estava um problema que eu, um menino de dez anos, podia entender e eu sabia que a partir daquele momento nunca o deixaria
escapar. Tinha de solucioná-lo.”
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Capitulo 1
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Capítulo 6
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Epílogo
Provar que não existe solução em inteiros para a seguinte
equação:
para n maior do que 2
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Capítulo 6
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Epílogo
O teorema de Pitágoras
Num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Ou:
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Epílogo
Pitágoras de Samos• viagens
• Irmandade Pitagórica
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Epílogo
Números perfeitosAqueles cujos divisores somados produziam eles
mesmos.
1+2+3=61+2+4+7+14=28
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Epílogo
Número excessivoA soma dos divisores do
número é maior do que ele.Exemplo: 12
Número deficienteA soma dos divisores é menor
do que o número.Exemplo: 10
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Epílogo
Números ligeiramente deficientesNúmeros cujos divisores somados são
uma unidade a menos do que o número original.
Exemplo: 4
Números ligeiramente excessivosNúmeros cujos divisores somados excedem em uma unidade o número
original.Exemplo: ?
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Epílogo
Tudo É NúmeroComo Pitágoras descobriu os princípios básicos da harmonia musical,segundo Iamblicus (século IV)
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Capítulo 6
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Matemática e Música
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Capítulo 5
Capítulo 6
Capítulo 7
Epílogo
Matemática na Natureza Pi na água A constante matemática está na rota de todos os rios curvos que deságuam no mar. A sinuosidade de um rio é descrita pelo comprimento de sua curva dividido pela distância deste ponto até o oceano em linha reta. O resultado é que, em média, os rios têm uma sinuosidade de aproximadamente 3,14 – o número pi.
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Capítulo 6
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Epílogo
O TEOREMA DE PITÁGORASConhecido pelos chineses e babilônios 1000 anos antes de Pitágoras.
Teorema. Num triângulo retângulo qualquer, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Proposição(Recíproca do Teorema de Pitágoras).Se o quadrado da medida de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, então é retângulo, tendo o ângulo reto oposto ao primeiro lado.
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Epílogo
Prova Absoluta
O conceito de prova
em matemática
X
O conceito de prova
entendido pelos físicos e químicos
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Capítulo 7
Epílogo
A descoberta da prova, ou demonstração, do teorema de Pitágoras
Desenvolveu a ideia da prova;
Ligou o método matemático abstrato a alguma coisa tangível.
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Epílogo
Uma Infinidade de Trios
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Capítulo 7
Epílogo
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Epílogo
Do Teorema de Pitágoras ao Último Teorema de Fermat
“O último problema”, de Eric Temple Bell
O teorema de Pitágoras e sua infinidade de trios
Uma equação parecida na qual x, y e z são elevados ao cubo
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Epílogo
Será possível juntar os tijolos de dois cubos de modo a formar um terceiro cubo ainda maior?
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Epílogo
O Último Teorema de Fermat, como é conhecido, declara que
não tem solução no campo dos números inteiros para n maior do
que 2.
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Epílogo
Andrew Wiles e o desafio de Fermat
“Acho que vou parar por aqui”
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Epílogo
O CRIADOR DE ENIGMAS
Geraldo Lopes JuniorFabrício Dias
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Epílogo
Fermat nasceu em 20 de agosto de 1601 na França. Filho de um rico mercador de peles, tornou-se um funcionário público em
1631 como conselheiro na câmera de requerimento.
Ascendendo ao cargo de juiz devido à morte de outros juízes
por causa da peste. Em seus momentos vagos dedicava-se à
matemática.
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Epílogo
Fermat é chamado o “Príncipe dos Amadores”.
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Epílogo
No começo do século XVII a matemática se recuperava da idade das trevas e não era um assunto muito respeitado, os
matemáticos não tinham muito prestígio e a maioria tivera que custear seus próprios estudos
como Galileu Galillei. No entanto Fermat , era auto didata, e vivia
longe da comunidade de matemáticos de Paris, a qual, incluía nomes como Pascal e o
padre Marin Mersenne.
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Epílogo
O padre Mersenne era o interlocutor entre os
matemáticos, e pregava a divulgação do conhecimento livre. Foi o último contato de
Fermat com outros matemáticos. Apesar dos esforços do padre,
Fermat se recusa a revelar suas demonstrações, mas desafia os
seus contemporâneos a encontrar provas dos seus teoremas.
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Epílogo
O único relato de troca de conhecimento de Fermat com outros matemáticos foi com
Pascal, com quem criou a teoria da probabilidade. Fermat também esteve profundamente envolvido
na criação do cálculo. Newton escreveu que tinha desenvolvido
seus cálculos no método de Fermat para estabelecer
tangentes. No entanto suas maiores realizações foram a teoria
dos números.
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A Evolução da Teoria dos Números
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Epílogo
Depois da morte de Pitágoras, a ideia da
demonstração matemática se espalhou no mundo civilizado. Na grande
biblioteca de Alexandria, Euclides usava a redução ao
absurdo em suas demonstrações, como para a prova da irracionalidade de
raiz de 2.
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Epílogo
Outro matemático importante foi Diofanto de Alexandria, que escreveu sobre aritmética em
seu livro. Após ele muitos avanças aritméticos vieram, como a criação do zero e a utilização dos números indo
arábicos, divulgados na europa pelo Padre francês Gerb de Aurillac que se tornou Papa Silvestre II, alavancando a
matemática ocidental.
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O NASCIMENTO DE UM ENIGMA
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Epílogo
Em seu tempo livre Fermat estudava matemática através de uma tradução
da aritmética de Diofanto feita por Claude Gaspar Bachet que era
considerado o homem mais culto da França. A aritmética continha mais de
cem problemas, e para cada um Diofanto dava uma solução detalhada.
Fermat escrevia comentários as margens do livro juntamente com
fórmulas e conjecturas que ele dizia ter as demonstrações, mas não gostava de perder tempo de escrevê-las, pois lhe bastava convencer a se mesmo.
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Epílogo
Uma das descobertas de Fermat era sobre números amigáveis.
Os pitagóricos conheciam 220 e 284. Fermat descobriu 17.296 e
18.216. Depois dele Descart achou mais um par e Euller. Fermat descobriu que 26 é o
único número que fica entre um quadrado e um cubo, dizia que a
demonstração, desafiou matemáticos ingleses a
encontrá-la, mas eles desistiram.
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ANOTAÇÃO NA MARGEM
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Epílogo
Quando Fermat se deparou com a Tríade Pitagórica
contemplava uma variante com cubos no lugar dos
quadrados, e declarou que, era impossível achar números
que satisfizessem se a potência fosse maior que 2. Dizia ter uma demonstração
maravilhosa, mas as margens não cabiam.
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Capítulo 6
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Epílogo
O ÚLTIMO TEOREMA É PUBLICADO
AFINAL
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Epílogo
Cerca de 30 anos depois de ter escrito nas margens do
livro. Fermat morre, e coube ao seu filho não permitir que
seus escritos caíssem no esquecimento. Este publica Aritmética de Diofant com comentários de Fermat.
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Epílogo
As notas pessoais de Fermat continham diversos problemas, mas nenhuma demonstração.
Euller demorou 7 anos para provar um desses teoremas
sobre os números primos. Cada um dos teoremas de Fermat, que antes era congecturias, foram demonstrados, exceto um que foi conhecido como o Último Teorema de Fermat.
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Epílogo
Uma Desgraça Matemática
Antonio Carlos MendesVanessa Vânia Silva Marinho Ribeiro
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Último teorema de Fermat“ Desde que vi o teorema pela primeira vez, ainda criança, ele se tornou minha grande paixão”. (Andrew Wiles).
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Epílogo
O cíclope da Matemática
Euler foi um grande matemático e físico suíço que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha.
Leonhard Euler (Basileia, 15 de abril de 1707 —
São Petersburgo, 18 de setembro de 1783)
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Epílogo
Euler fez importantes descobertas em campos variados
nos cálculos e grafos. Fez também muitas contribuições
para a matemática moderna no campo da terminologia e notação,
em especial para as análises matemáticas, como a noção de
uma função matemática.
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Epílogo
O Rio Pregel divide a cidade de Königsberg em quatro partes separadas, unidas por sete
pontes. Euler conseguiu explicar porque era impossível fazer todo passeio sem atravessar as sete
pontes.
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Epílogo
•Leonhard Euler fez o primeiro avanço na prova
do último teorema de Fermat.
•Euler provavelmente deve ter tentado mostrar
que se uma das equações não tinha solução,
então, por extrapolação do resultado, poderia
mostrar que todas as outras não teriam soluções.
•Ele descobriu uma pista no livro “Aritmética” de
Fermat, onde havia esboçado a demonstração
para n = 4 e incorporado este resultado em um
outro problema.
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Epílogo
• A ideia de Fermat para mostrar que x4 + y4 = z4 não tem soluções é conhecido como método da descida infinita.
• De modo a provar que não existem soluções para a equação x4 + y4 = z4, Fermat começou presumindo que existisse uma solução hipotética x = X1, y = Y1 e z = Z1.
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Epílogo
• Examinando as propriedades de (X1,Y1, Z1), Fermat poderia demonstrar que, se esta solução hipotética existisse, então existiria uma solução menor (X2, Y2, Z2). E, ao analisar esta segunda solução, Fermat poderia mostrar a existência de uma solução ainda menor (X3, Y3, Z3), e assim por diante.”(p.97)
• Contudo, x, y, z devem ser números inteiros, e portanto a descida infinita é impossível, porque deve existir uma menor solução possível, essa contradição prova que a hipótese inicial de que deve existir uma solução (X1, Y1, Z1) deve ser falsa. (p. 98)
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FERMAT
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Epílogo
• “No passado outros matemáticos tentaram adaptar o método de Fermat de descida infinita para resolver outros casos, além de n = 4, mas cada uma dessas tentativas de estender a prova levara a brechas na lógica. Euler mostrou que, incorporando-se o número imaginário i em sua prova, ele poderia tapar os buracos na demonstração e forçar o método da descida infinita a funcionar para o caso n =3.” (p.103)
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Epílogo
• Após os avanços feitos por Euler, surgiu a seguinte ideia na comunidade matemática: a de demonstrar que o último teorema de Fermat deveria ser demonstrado para os valores de n primos, pois assim, todos os outros valores seriam múltiplos dos casos primos e estariam demonstrados implicitamente.
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Epílogo
Um século após a morte de Fermat existiam demonstrações para apenas dois casos específicos do último teorema:
x4 + y4 = z4
x3 + y3 = z3
Para demonstrar o último teorema de Fermat para todos os valores de n só é preciso demonstrá-lo para valores primos de n. Por exemplo nos valores de n até 20, só é necessário demonstrar para seis valores.
Um avanço lento
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Capítulo 6
Capítulo 7
Epílogo
x5 + y5 = z5
x7 + y7 = z7
x11 + y11 = z11
x13 + y13 = z13
x17 + y17 = z17
x19+ y19 = z19
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FERMAT
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Capítulo 6
Capítulo 7
Epílogo
Embora a infinidade de números primos tenha acabado com a esperança precoce para o último teorema de Fermat, este mesmo suprimento incontável de números primos teve implicações bem mais positivas em outras áreas, como a espionagem e a evolução dos insetos.(P.110)
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Epílogo
Através dos séculos as mulheres foram desencorajadas a estudar matemática, mas apesar da discriminação houve algumas que gravaram seus nomes na história desta ciência.
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Capítulo 7
Epílogo
• Filha de um professor de matemática da Universidade de Alexandria.
• Ficou famosa por fazer as dissertações mais populares do mundo conhecido e por ser uma grande solucionadora de problemas.
• Sua devoção à causa levou-a a morte.
Hipácia
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Epílogo
• Também era filha de um matemático ;
• Famosa por seus tratados sobre as tangentes às curvas . ( uma curva estudada por ela foi traduzida erradamente para o inglês como a bruxa Agnesi, e em pouco tempo a própria matemática era chamada pelo mesmo título)
Maria Agnesi
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Epílogo
• Descrita por Einstein como “ o mais significante gênio matemático criativo desde que as mulheres começaram a cursar os estudos superiores”
• Também era filha de um professor de matemática.
• Sofreu muito preconceito “ Eu posso testemunhar que ela é um grande matemático, mas se ela é uma mulher eu não posso garantir”
Emmy Noether
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Epílogo
• A França era o país mais preconceituoso quanto a mulheres instruídas, declarando que a matemática era inadequada para as mulheres e além de sua capacidade mental.
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Epílogo
• Havia uma série de livros escritos para ajudarem as mulheres se inteirarem dos últimos avanços na matemática e na ciência. Entre eles, Francesco Algarotti , escreveu A filosofia de Sir Isaac Newton explicada para as senhoras. Ele tentou explicar as descobertas de Newton através de um diálogo entre uma marquesa e seu namorado.
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Epílogo
• Filha de um negociante, seu interesse pela matemática surgiu ao encontrar na biblioteca de seu pai um livro de História da Matemática. Ao relatar sobre a vida, obras e a morte de Arquimedes, ela concluiu que , se alguém poderia ser tão envolvido por um problema a ponto de ser morto, então a matemática devia ser o assunto mais interessante do mundo.
Sophie Germain
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Capítulo 7
Epílogo
• Em 1794, a École Polytechnique foi inaugurada em Paris. Como se tratava de uma instituição reservada apenas para homens, ela assumiu a identidade de um ex-aluno, Monsieur Antoine-August Le Blanc.
• Lagrange maravilhado com as respostas de Monsieur Le Blanc, quis conhecê-lo, e tornou-se seu amigo e mentor, ao conhecê-la.
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Capítulo 7
Epílogo
• Sophie precisava debater suas ideias, onde ela passou a se corresponder com Gauss.
• Ela delineou um cálculo tomando como base um tipo especial de número primo p de modo que ( 2p + 1) também fosse primo. Ficaram conhecidos como primos de Germain.
Gauss e Monsieur Le Blanc
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Capitulo 1
Capítulo 2
Capítulo 3
Capítulo 4
Capítulo 5
Capítulo 6
Capítulo 7
Epílogo
• Ela desenvolveu um argumento para demonstrar que não existem soluções para xn + yn = zn para valores iguais a esse primos de Germain.
• Se existisse uma solução então x, y e z seriam múltiplos de n e isso colocaria uma séria restrição em qualquer solução.
• O trabalho de Germain no teorema foi sua maior contribuição à matemática.
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Capítulo 7
Epílogo
• Depois da descoberta de Sophie Germain, a Academia Francesa de Ciências ofereceu uma série de prêmios ao matemático que pudesse terminar com o mistério do Último Teorema de Fermat.
• Gabriel Lamé e Augustin Louis Cauchy anunciaram estarem terminando de demonstrar. Três semanas depois do anúncio, depositaram envelopes lacrados no cofre da Academia.
Os envelopes lacrados
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Epílogo
• Mandou uma carta para a academia, na qual explicava que os dois franceses estavam se encaminhando para um beco sem saída da lógica.
• Dependiam do uso de uma propriedade dos números conhecida como fatoração única, que foi descoberta por Euclides no séc. IV.
Ernest Kummer
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Epílogo
• Ambas as demonstrações envolviam números imaginários, e embora a fatoração única seja verdadeira para os números reais, ela pode se tornar falsa quando introduzimos os números imaginários.
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Epílogo
• O problema da fatoração única poderia ser evitado para todos os números primos até 31, inclusive. Contudo 37, 59 e 67 são casos problemáticos. Porém, os números primos irregulares, assim chamados, eram agora os obstáculos contra a demonstração.
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Epílogo
• André Willes estudara o trabalho de Euler, Germain, Cauchy, Lamé e finalmente Kummer. Ele esperava aprender com os erros de cada um.
• Tendo aprendido tudo que havia para aprender sobre a matemática do séc. XIX, Wiles decidiu se armar com técnicas do séc. XX.
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Epílogo
Mergulho na Abstração
O Último Teorema de Fermat: sonho romântico de uma
época que passara.
Juliana Elvira M. de OliveiraJuliana de Oliveira Chaves
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Epílogo
• Família Wolfskehl – famosa por sua riqueza e pelo modo como apoiava a arte e as ciências.
• Paul Wolfskehl e o prêmio de 100 mil marcos.
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Epílogo
• Durante a última metade do século XIX a abordagem lúdica encontra espaço na imprensa popular
• Criadores de enigmas: Henry DudeneyReverendo Charles Dodgson (Lewis Carrol)Sam Loyd (1841 – 1911) – “criador do enigma 14-15”
• Invariante
A Era dos Enigmas, Charadas e Quebra-Cabeças
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Epílogo
• Virada do século: amadores ávidos por novos desafios
• “A arte da teoria dos números é tão abstrata que é muito fácil alguém se desviar do caminho da lógica sem ao menos perceber que mergulhou no absurdo”.
• Fim do século:amadores x profissionais
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Epílogo
• Axiomas da Matemática: hipóteses fundamentais são auto – evidentes e podem ser facilmente testadas.
• “A lógica é a higiene que os matemáticos praticam para manter as ideias fortes e saudáveis”. H. Weyl
Os Fundamentos do Conhecimento
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Epílogo
• David Hilbert: Tudo na matemática poderia e deveria ser provado a partir de axiomas básicos.
• Kurt Gödel: Teorema da Indecidibilidade (impossível criar um sistema matemático completo e consistente).
• Último Teorema de Fermat – indecidível?
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Epílogo
• O desejo de solucionar qualquer problema matemático é impulsionado pela curiosidade e a recompensa é a simples mas enorme satisfação derivada da solução do enigma.
A Compulsão da Curiosidade
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Epílogo
“A Teoria dos Jogos e o Comportamento Econômico”.
John Von Neumann
A matemática da quebra de código e a Guerra.
Turing: da máquina imaginária ao primeiro computador.
A Abordagem da Força Bruta
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• Computador – facilidade em realizar cálculos imensos.
• Esperança na demonstração do Último Teorema de Fermat.
• Matemáticos aceitam somente a prova absoluta.
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Epílogo
• Andrew Wiles – 1975: inicia estudo de pós – graduação na Universidade de Cambridge.
• Orientador: John Coates.
• “A definição de um bom problema de matemática reside na matemática que ele produz, não no problema em si”.
• Área de estudo: equações elípticas.
O Estudante de Pós–Graduação
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Matemática japonesa: elo entre as equações elípticas e o Último Teorema de Fermat.
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Prova por Contradição
Alexandre Goulart Arruda
Márcio Roberto Gomes
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Epílogo
Janeiro de 1954
Goro Shimura Mathematische Annalen
Yutakana Taniyana 23/02/1930 artigo Deuring
12/11/1927
Inicio de carreira Tutela de professores - professores cansados – ensinarem a si mesmos
Formas Modulares (Xr , Xi, Yr , Yi) espaço quadrimensional (hiperbólico)
Formas Modulares (nível excessivo de simetria) – Série M: M1, M2
, M3, M4, ...(DNA)
Equações elípticas (não tem relação com simetria) – Série E: E1, E2
, E3, E4, . . . (DNA)
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Seminário, Tóquio, 1955 36 problemas 4 de TaniyamaFormas Modulares Equações
Elípticas Série M Série E
O único aliado de Taniyama era Shimura que colaborou até 1957 quando foi estudar no Instituto de Estudos Avançados de Princeton.
Em 17 de Novembro de 1958 Yutaka Taniyama Suicidou. Algumas semana depois sua noiva, Misako Suzuki, também se matou.
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A Filosofia da bondade“Uma equação elíptica é boa se for definida por uma forma modular. Eu espero que todas as equações elípticas sejam boas” Goro Shimura
Obteve mais evidências da conjectura de Taniyama Shimura
André Weil (teoria dos números sec. XX) divulgou no Ocidente
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Encontrou mais evidências ainda mais sólidas a favor da conjectura.
Conjectura: (Taniyama-Shimura-Weil) , (Taniyama-Weil) , ocasionalmente (Weil)
Pedra de Roseta: em demótico egípcio, no antigo grego e nos hieróglifos.
John Coates, orientador de Andrew Wiles quando estudante, era estudante quando a conjectura começou a ser discutida no Ocidente.
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Na década de 1960,Robert Langlands do Instituto de Estudos Avançados de Princeton, estava confiante que existiam elos entre os principais assuntos da matemática (Programa Langlands)
Na década de 1970, uso da conjectura em centenas de trabalhos de pesquisa.“Presumindo-se que a conjectura de Taniyama-Shimura seja verdadeira...”
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Outono de 1984, simpósio em Oberwolfach, Alemanha
Um dos oradores Gerhard Frey afirmou: “Qualquer um que puder provar que a conjectura de
Taniyama-Shimura é verdadeira também demonstrará imediatamente o Último Teorema de Fermat.”
Equação de Fermat: Xn+Yn=Zn, para n>2.
O que aconteceria se o Último Teorema de Fermat fosse falso, ou seja, se existisse pelo menos uma solução.
Admitindo a solução hipotética A, B, C temos An+Bn=Cn
“Rearrumando” a equação obtem: Y2=X3+(An-Bn)X2-AnBn
Esta nova equação é de fato uma elíptica.
As equações elípticas possuem a forma Y2=X3+aX2+bX+cFazendo a=An-Bn, b=0 e c=-AnBn, vemos a natureza
elíptica da equação de Frey.
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Equação de Fermat equação elíptica (estranha) Último Teorema de Fermat Conjectura de Taniyama-Shimura
O argumento de Frey(1) Se (e somente se) o Último Teorema de Fermat
está errado, então a equação elíptica de Frey existe.
(2) A equação elíptica de Frey é tão estranha que nunca poderá ser modular.
(3) A conjectura de Taniyama-Shimura afirma que toda equação elíptica deve ser modular.
(4) Portanto, a conjectura de Taniyama-Shimura é falsa!
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Frey podia inverter este argumento
(1) Se for verdade a conjectura de Taniyama-Shimura, então toda equação elíptica deve ser modular.
(2) Se equação elíptica deve ser modular, então a equação de Frey não pode existir.
(3) Se a equação elíptica de Frey não existe, então não podem existir soluções para a equação de Fermat.
(4) Portanto, o Último Teorema de Fermat é verdadeiro!
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Embora a visão de Frey fosse brilhante, ele havia cometido um erro elementar em sua lógica.
Um dos matemáticos que tentavam completar a ligação entre a conjectura de Taniyama-Shimura e o Último Teorema de Fermat era Ken Ribet, um professor da Universidade da Califórnia em Berkeley.
Então no verão de 1986, um colega de Ribet, o professor Barry Mazur, estava visitando Berkeley para participar do Congresso Internacional de Matemática.
Agora os matemáticos poderiam atacar o Último Teorema de Fermat adotando a estratégia da prova por contradição.
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