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Fenômenos de Transporte I
Aula 02
Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez
1
3. Estática dos fluidos3.1- Introdução
Por definição, um fluido deve deformar-se continuamente quando
uma tensão tangencial de qualquer magnitude lhe é aplicada. A
ausência de movimento relativo (e por conseguinte, de deformação
angular), implica a ausência de tensões de cisalhamento.
Na estática dos fluidos, a velocidade relativa entre as partículas do
fluido é nula, ou seja, não há gradiente de velocidade. Uma vez que
não há movimento relativo dentro do fluido, o seu elemento não se
deforma.
Portanto, em fluidos em equilíbrio estático atuam somente forças
de campo gravitacional e normais e não há esforços tangenciais.
2
3.2- Equação básica da estática dos fluidos
Em um fluido em repouso (estático), submetido ao campo
gravitacional, as únicas forças que atuam sobre um elemento fluido
são o peso e as forças devidas às pressões estáticas p = p(x, y, z).
Consideremos um elemento de volume xyz, com faces paralelas
aos planos de um sistema de coordenadas retangulares x, y, z,
isolado de um fluido em repouso com massa específica , conforme
é mostrado na Figura 1.
As forças de pressão atuam sobre o elemento fluido de acordo com
a coordenada de posição da face do elemento cúbico sobre a qual
atua a pressão.
3
Figura 1: Elemento de volume isolado de um fluido em repouso
com as pressões estáticas exercidas pelo restante do fluido
4
gρ W zyx
A força peso do elemento fluido é dado por:
( 1 )
A força de superfície resultante, devida às pressões estáticas que
atuam sobre o elemento, é dada por:
kp p jp p ip p F z zzy y yx x xp yxzxzy
Como o fluido está em repouso, a força resultante que atua sobre
um elemento de volume deve ser nula, ou seja, tem-se um condição
de equilíbrio dada por:
0 F W F p ( 3 )
( 2 )
5
( 1 ) e ( 2) em ( 3 ):
Dividindo a equação (4) pelo volume xyz, rearranjando os
termos e fazendo o limite quando o volume do elemento de fluido
tende a zero, obtém-se
( 4 )
( 5 )
kp
jp
ip
pzyx
O termo do lado esquerdo da equação (6) é a definição do
gradiente de pressão, em coordenadas retangulares, dado por:
( 7 )
gρ kp p
jp p
ip p
lim z zzy y yx x x
0
zyxzyx
0 kp p jp p ip p gρ z zzy y yx x x
yxzxzyzyx
gρ kp
jp
ip
zyx( 6 )
6
Portanto, a equação (6) pode ser escrita como:
gρ p ( 8 )
A equação (8) é equação básica da estática dos fluidos.
Considerando o sistema de coordenadas retangulares mostrado na
Figura 1, a equação (8) pode ser decomposta nas componentes
escalares.
xx
ρg p
y
yρg
p
z
zρg
p
Por conveniência, escolhemos o referencial com o eixo y paralelo
ao vetor gravidade, de forma que:
0 g x g g y 0 g z
7
Assim, considerando um eixo y vertical com sentido positivo para
cima, conclui-se que a pressão varia somente em função de y, de
maneira que se pode escrever,
( 9 )
e que o plano xz horizontais são planos isobáricos, ou seja, pontos
que estão à mesma altura (ou profundidade) dentro do mesmo
fluido, possuem pressões estáticas iguais.
ρg p
y
8
3.3- Variação da pressão em um fluido em repouso
a) Variação da pressão em um fluido incompressível ( = cte)
Um fluido incompressível tem massa específica constante, de forma
que a integração da equação básica da estática dos fluidos fica
simplificada.
Tem-se que:
( 10 )
e, considerando um referencial com eixo y vertical, com sentido
positivo para cima, resulta que a equação (10) fica sendo:
constante ρg d
dp
y( 11 )
gρ P
9
00y
y
p
p
y y ρg p p
dρg dp
0
y
0
y
y
A variação da pressão com a altura é determinada por meio da
integração da equação (11) com as condições de contorno
adequadas. Considerando que a pressão num nível de referência
y0 é p0 , determina-se a pressão p(y) numa altura y com a
integração da equação (11), de forma que:
ou seja, a diferença de pressão entre dois pontos, num fluido
incompressível, é diretamente proporcional à diferença de
altura entre esses dois pontos.
10
P(h)
h
Patm
+y
0
g
Para líquidos, geralmente é mais conveniente a adoção de um
referencial com um eixo h, paralelo ao vetor campo gravitacional,
com origem na superfície livre e sentido positivo para baixo,
conforme é mostrado na Figura a seguir;
0 h ρg p p
dρg dp
atmh
h
0
p
p
h
atm
y
11
( 12 )
Assim, num fluido incompressível ( = constante):
- a pressão varia linearmente com a profundidade;
- a pressão é a mesma em todos os pontos sobre um dado plano
horizontal y no fluido.
( Equação da hidrostática )
A equação (12) é conhecida como a lei de Stevin, que diz que a
diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é
igual ao produto do peso específico () do fluido pela diferença de
cotas entre dois pontos (h).
h γ p p
h γ p p
ρgh p p
atmh
atmh
atmh
12
Pressão atmosférica
Para se determinar a pressão atmosférica a uma dada altitude, é
necessário conhecer-se primeiro como a temperatura varia com a
altitude. Uma boa aproximação para a troposfera (altitudes de até
11000 km) é aquela que considera que a temperatura reduz-se
linearmente com a altitude. Nesse caso, e considerando o ar
atmosférico como gás ideal, a pressão à altitude z acima do nível do
mar, poderá ser estimada por meio da seguinte equação:
T
B. 1p p
26,5
0
atm
z( 13 )
onde patm = 101325 N/m2 (pressão atmosférica ao nível do mar na
altitude zero), B = 6,5x10-3 Kelvin/m e T0 = 288,16 Kelvin (15C).
13
Exemplo. Estimar a pressão atmosférica à altitude de 3000m,
utilizando a equação (13) e comparar o valor obtido com aquele
utilizando a lei de Stevin (eq. 12).
Utilizando a fórmula dada pela equação (13), temos:
70086N/m p
288,16K
m3000K/m6,5x10 1101325N/m
T
B. 1p p
2
26,532
26,5
0
atm
z
2
32atm
66015N/m p
3000m11,77N/m 101325N/m h γ p p
Por outro lado, utilizando a lei de Stevin com ar = 11,77N/m3, temos:
Isso representa uma diferença de apenas 5,8% com relação ao
valor exato obtido por meio da equação (13). Para altitudes
inferiores a 1000m, os erros serão inferiores a 5%.14
b) Variação da pressão em um fluido compressível ( é variável)
A variação da pressão em um fluido compressível também é
determinada através da integração da equação básica da estática
dos fluidos dada por:
gρ P ( 14 )
Para um fluido compressível a massa específica não é
constante, de forma que é necessário expressá-la em função de
outra variável na equação (14). Uma relação entre a massa
específica e a pressão pode ser obtida através da equação de
estado do gás ou por meio de dados experimentais.
15
RT
PM ρ
ρRT RTV
m PM
perfeitos) gases dos (lei RTM
m nRT PV
gRT
PM P ( 15 )
A equação (15) introduz outra variável, que é a temperatura, de
maneira que é necessária uma relação adicional da variação da
temperatura com a altura.
16
3.4- Medidas de pressão.
3.4.1- Barômetro de mercúrio.
As medidas de pressão são realizadas em relação a uma
determinada pressão de referência. Usualmente, adota-se como
referência a pressão nula existente no vácuo absoluto.
A pressão relativa ocorre porque muitos instrumentos de pressão
são do tipo diferencial, registrando não a magnitude absoluta,
mas a diferença entre a pressão do fluido e a atmosfera que pode
ser positiva (manômetros) ou negativa (vacuômetros).
17
Deve-se observar que, nas equações de estado, a pressão utilizada é
a absoluta, dada por:
p p p relativaatmabsoluta
( 16 )
A pressão atmosférica local, representada por patm pode ser
medida por um barômetro. O mais simples é o barômetro de
mercúrio construído por Evangelista Torricelli em 1643.
( Barômetro de mercúrio )
18
Na Figura anterior, tem-se:
h é a altura da coluna de mercúrio no tubo de vidro;
Patm é a pressão atmosférica local; e
P0 é a pressão de vapor do mercúrio.
Aplicando a equação básica da estática dos fluidos no barômetro
de mercúrio, temos:
ghρ p p
dgρ dp
gρ d
dp
gρ P
HgAB
h
0
Hg
p
p
Hg
B
A
y
y
19
Pontos que estão a mesma altura, dentro do mesmo fluido, têm a
mesma pressão, de forma que pA = patm e como pB = p0 , obtém-se:
ghρ p p Hgatm0
ough ρ p p Hg0atm ( 17 )
Em condições normais de temperatura e pressão, a pressão de
vapor do mercúrio é praticamente nula, ou seja, p0 0,
resultando:gh ρ p Hgatm ( 18 )
A pressão atmosférica normal, ao nível do mar, corresponde a uma
coluna de mercúrio com altura h = 76 cm. Substituindo os dados,
Hg = 13600 kg/m3 , g = 9,81 m/s2 , h = 0,76 m , na equação (18),
resulta:
patm = 101320 N/m2 (Pa) = 101,32 kPa
1 atm = 101325 Pa(N/m2) = 101,325 kPa = 1,01325 bar = 1,0332 kgf/cm2 = 33,91 ftH2O
= 10,332 mH2O (mca) = 14,7 psi (lbf/in2) = 29,92 inHg = 760 mmHg (Torricelli)
20
Barômetro de Torricelli
O mercúrio é 13,6 vezes mais denso do que a água.
Qual deveria ser a altura de uma coluna de água suportada pela
pressão atmosférica?
O mercúrio permaneceria no tubo
de vidro se fizesse um furo na
extremidade superior do tubo?
Sim ou Não?
00 águaáguaHgHgáguaáguaHgHgatmatm
hhghghpp
10,3mm76,0/0,1
/6,133
3
Hg
H2O
Hg
H2O
cmg
cmghh
21
3.4.2- Manômetro de tubo em U com líquido manométrico.
A introdução de um líquido manométrico no manômetro de tubo
em U, permite utilizá-lo na medição de pressões de gases ou
líquidos, pois esse líquido impede que o gás escape pelo tubo. É
importante que se utilize um líquido manométrico que apresente
um peso específico bastante elevado de modo a evitar colunas
contendo o fluido manométrico muito altas.
22
De acordo com a lei de Stevin (equação 12), a pressão em C em
relação à pressão em B (observando que PB = PA), será dada por:
2A2BC h γ P h γ P P
Ocorre que em C, temos a interface do fluido com o líquido
manométrico, sendo que a pressão aí é igual à pressão em D, por se
tratar de pontos na mesma horizontal de um mesmo líquido, PC =
PD ; assim, tendo em vista o resultado anterior, temos:
2AD h γ P P
( 19 )
( 20 )
Aplicando novamente a lei de Stevin (equação 12), para
determinação da pressão em D, em relação à pressão na superfície
livre do líquido manométrico no tubo, onde reina a pressão
atmosférica local, resulta em:
1LMatmD h γ P P ( 21 )
23
Igualando as equações (20) e (21), resulta o seguinte resultado:
21LMatmA
1LMatm2A
h γ h γ P P
h γ P h γ P
Na equação 22, a pressão PA representa a pressão absoluta no tubo
(como líquido ou gás). Para a medida da pressão relativa (ou
manométrica) o valor da pressão atmosférica é zero (na escala
efetiva). Assim, a pressão manométrica no ponto A será:
( 22 )
21LMA h γ h γ P ( 23 )
Para medir pressões de líquidos (ex. água) utiliza-se mercúrio
como fluido manométrico (SGHg =13,6).
24
Exemplo 01: Água escoa através dos tubos A e B. Óleo com
densidade relativa 0,8, encontra-se na parte superior do tubo em U
invertido. Mercúrio (densidade relativa 13,6), encontra-se no fundo
das curvas do manômetro. Determine a diferença de pressão, PA – PB.
25
5águaFB
4HgEF
3óleoDE
2HgCD
1águaAC
gdρ p p
gdρ p p
gdρ p p
gdρ p p
gdρ p p
gdρ gdρ gdρ gdρ gdρ p p5água4Hg3óleo2Hg1águaAB
gdρ d dgρ d dgρ p p3óleo42Hg51águaAB
C4 a águaóleoóleo
C4 a águaHgHg
C4 a água
fluido
fluido
0
0
0 ρSG ρ
ρSG ρ
ρ
ρ SG
26
3óleo42Hg51águaAB
dSG d dSG d dgρ p p
in
minx0,02540,8x4 5 313,6 8 10
s
m9,81
m
kg10 p p
23
3
AB
atm 0,25 p p
kPa 81,25 p p
1x kPa 81,25 p p
kPa 101,325 atm 1 ; Pa 10 1kPa
Pa43,25814 m
N43,25814 p p
s
m
m
kg43,25814 p p
BA
BA
AB
3
2AB
22AB
27
28
Exemplo 02: Água e óleo fluem em tubulações horizontais. Um
manômetro do tipo tubo “U” duplo é conectado entre as tubulações
como mostrado na figura. Calcule a diferença de pressão entre a
tubulação de água e a tubulação de óleo, P1 – P5.
Dados: água = 9810 N/m3; SG1 = 1,6; SG2 = 0,9; SGAr 0.
Resposta: P1 – P5 = 539,6 Pa ou 0,5396 kPa
Exemplo 03: Ar está passando por um tubo com 4cm de coluna de
água (4,0 cmH2O) de vácuo. O barômetro indica que a pressão
atmosférica local é 730 mmHg. Qual é a pressão absoluta do gás em
polegadas de mercúrio (inHg)?
Dado: 760 mmHg = 29,92 inHg
4 cm
Água
Ar Ar
Vácuo
28,9inHg 760mmHg
29,92inHg730mmHg Patm
29
0,12inHg O33,91ftH
29,92inHg
12in
ft1
2,54cm
1inOcmH4 P
2
2vácuo
P P P
vácuo
relativaatmabsoluta
inHg 28,8 P
0,12inHg 28,92inHg P
P P P
absoluta
absoluta
vácuoatmabsoluta
30
3.4.3- Piezômetro.O piezômetro é o dispositivo mais simples para a medição de pressão.
Consiste na inserção de um tubo transparente no recipiente (tubulação)
onde se quer medir a pressão.
- O líquido subirá no tubo piezométrico a uma altura “h”, correspondente
à pressão interna;
- Devem ser utilizados tubos piezométricos com diâmetro superior a 1cm
para evitar o fenômeno da capilaridade;
- Não serve para a medição de grandes pressões ou para gases.
Aplicando a lei de Stevin (eq. 12), considerando somente a pressão relativa
em A (ou manométrica), temos:
h γ P A ( 24 )
31
3.4.4- Manômetro metálico de Bourdon.Diferentemente dos manômetros de tubo com líquido, o manômetro de
Bourdon (Eugène Bourdon, 1849, França) mede a pressão de forma
indireta, por meio da deformação de um tubo metálico, daí o seu nome.
Conforme indica a Figura a seguir, neste manômetro, um tubo recurvado de
latão, fechado numa extremidade e aberto na outra (denominada tomada de
pressão), deforma-se, tendendo a se endireitar sob o efeito da mudança de
pressão. Um sistema do tipo engrenagem-pinhão, acoplado à extremidade
fechada do tubo, transmite o movimento a um ponteiro que se desloca sobre
uma escala. O tubo recurvado de latão, por estar externamente submetido à
pressão atmosférica local, somente se deformará se a pressão na tomada for
maior ou menor que aquela.
32
Assim, a pressão indicada por este manômetro é sempre a pressão
relativa. Quando não instalado, o manômetro de Bourdon indica
zero, em qualquer altitude.
Quando este manômetro ocupa um ambiente onde a pressão seja
diferente da pressão atmosférica local, a pressão indicada Pindicada
(ou manométrica ) será dada por:
onde Pambiente é a pressão no ambiente onde está o manômetro e
Ptomada é a pressão na tomada, ou seja é a pressão absoluta em
relação à pressão do ambiente local onde está instalado o
manômetro.
Uma escala muito utilizada neste manômetro é aquela produzida
em unidades práticas de kgf/cm2. Outras escalas de pressão
utilizadas são bar e psi.
P P P ambientetomadaindicada
( 25 )
33
Exemplo 04: Para a instalação da Figura a seguir, são fornecidos:
pressão indicada no manômetro de Bourdon Pindicada = 2,5 kgf/cm2 e
peso específico do mercúrio Hg = 1,36x104 kgf/m3. Pede-se
determinar a pressão no reservatório 1, P1 .
34
Solução: Determinemos, primeiramente, a pressão no ambiente
onde está o manômetro de Bourdon. Essa pressão é a do gás
contido no reservatório 2, P2, que é a mesma pressão que reina na
superfície livre do reservatório 2. Por sua vez, essa pressão é igual
à pressão em A, pois A está no mesmo plano horizontal da
superfície livre do mercúrio no reservatório 2. Assim, P2 = PA.
Pela aplicação direta da lei de Stevin (eq. 12) em A, levando-se em
consideração a coluna de mercúrio de altura h = 1,5m temos que a
na escala efetiva a pressão no ambiente 2 é:
Então, a pressão relativa no ambiente onde está o manômetro de
Bourdon será:
h γ P PHgA2
h γ P PHg2ambiente
( 1 )
( 2 )
35
Para o manômetro de Bourdon, temos:
com Pindicada = 2,5 kgf/cm2 , Ptomada = P1 e Pambiente = Hg.h
Isolando Ptomada no primeiro membro na expressão acima e
substituindo estes últimos resultados, temos:
Reconhecendo que Hg = 1,36x104 kgf/m3 = 1,36x10-2 kgf/cm3 e que h
= 1,5m = 150cm, temos para P1 o valor de:
P P P ambientetomadaindicada
( 3 )
.h γ 2,5kgf/cm P P PHg
2
ambienteindicada1
2
1
322
1
kgf/cm 4,54 P
cm150kgf/cm1,36x10 2,5kgf/cm P
36
Exemplo 05: Qual é a pressão indicada pelo manômetro C se as
pressões indicadas pelos manômetros A e B são respectivamente PA
= 45 psi e PB = 20 psi? A pressão barométrica é 30,55 inHg.
14,7 = 29,92 inHg (Tabela de conversões de pressão)
Solução: A pressão barométrica correspondente local, Patm é:
15psi 29,92inHg
14,7psi30,55inHg P
atm
37
As pressões nos compartimentos 1 e 2 não estão à pressão
atmosférica local. O manômetro indica a pressão absoluta (tomada)
em relação à pressão do ambiente local onde está instalado o
manômetro:
P P P ambienteAtomada,Aindicada,
psia 60 15 45 P
P P P
Atomada,
ambienteAindicada,Atomada,
A unidade de pressão é psi, a letra “a” no final é para frisar que o
valor da pressão é de pressão absoluta.
Tanto o manômetro A quanto o manômetro B medem a pressão no
compartimento 1. Assim,
psia 60 P PAtomada,Btomada,
38
psia 40 20 60 P
P P P
P P P
ambiente,2
Bindicada,Btomada,ambiente,2
ambiente,2Btomada,Bindicada,
O manômetro C mede a pressão no compartimento 2 (tomada C),
assim:
A leitura do manômetro C então pode ser calculada:
psia 40 P
P P
Ctomada,
ambiente,2Ctomada,
O manômetro B mede a pressão no compartimento 1 (tomada B)
em relação à pressão no compartimento 2, PB:
psi 25 15 40 P
P P P
Cindicada,
ambienteCtomada,Cindicada,
39