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  • C A P T U L O 1 FLAMBAGEM

    UERJ FEN ESTR - Resistncia dos Materiais IV Luciano Lima

    1. Introduo

    O que leva falha de uma estrutura?

    Um engenheiro sempre deve considerar possveis modos de falha ao projetar

    uma estrutura. Algumas delas so:

    O escoamento em tenses baixas;

    As deformaes e deflexes; e

    A fadiga provocada por ciclos de carregamentos repetidos.

    Para evitar os tipos de falha mencionados acima, devem ser considerados

    critrios de projeto baseados em resistncia (tenso) e rigidez (deflexo).

    Este captulo, porm, aborda como tema principal outro modo importante de

    falha: a flambagem.

    Um exemplo tpico desse fenmeno pode ser observado ao se aplicar uma

    carga axial a uma rgua (Figura 1). Outro exemplo clssico envolve uma trelia com

    duas barras, sendo que uma est submetida compresso e outra a trao (Figura 2).

    Figura 1 - Carga axial elemento esbelto

    Figura 2 - Trelia de duas barras

    Nesses dois exemplos, pesos so adicionados at que seja atingida uma

    determinada carga: o Pcrtico do elemento sob compresso. Aps esse limite, o

    elemento subitamente deflete lateralmente sob a carga compressiva axial.

    Anteriormente, na anlise de deformaes axiais, considerava-se que,

    mesmo sob carregamento compressivo, o elemento que sofria carregamento

    axial permanecia reto e as nicas deformaes possveis eram a reduo ou o

    alongamento do elemento na direo longitudinal.

  • UERJ FEN ESTR - Resistncia dos Materiais IV Luciano Lima

    2 CAPTULO 1 FLAMBAGEM

    Porm, estudos aprofundados observaram que a partir de um determinado

    valor em carregamentos axiais de compresso, a rgua ou a barra comprimida da

    trelia no permanecem mais retas, ou seja, defletem lateralmente de modo sbito,

    como uma viga. Esta deflexo lateral ocasionada pela compresso axial

    denominada flambagem.

    Falhas por flambagem so frequentemente sbitas e catastrficas, por isso, a

    sua preveno de grande importncia.

    1.2 Estabilidade de Estruturas

    Todo e qualquer problema de Engenharia Civil envolve equilbrio. Neste

    captulo, necessrio definir os tipos de equilbrio associados a diferentes formas de

    estabilidade.

    Este conceito pode ser demonstrado muito claramente considerando-se o

    equilbrio de uma esfera sobre trs superfcies diferentes.

    Figura 3 - Tipos de equilbrio

    A Figura 3 apresenta trs situaes em que a esfera est em equilbrio, ou

    seja, 0Fx , 0Fy e 0M . Na primeira parte da Figura 3, a esfera encontra-

    se em equilbrio estvel, pois, seja qual for o deslocamento provocado nela, quando

    solta, a esfera retornar sempre posio de equilbrio no fundo do vale.

    No ltimo quadro da Figura 3, apesar da esfera estar na posio de equilbrio,

    qualquer deslocamento aplicado a ela far com que ela se afaste cada vez mais da

    posio de equilbrio inicial, o que caracteriza um equilbrio instvel.

    E, finalmente no meio da Figura 3, a esfera encontra-se sobre uma superfcie

    perfeitamente plana, na qual se obtm uma configurao de equilbrio neutro. Se a

    esfera for ligeiramente deslocada para qualquer um dos lados, ela no tem tendncia

    a se mover nem para a posio original, nem para um ponto alm. Com isso, aps

    esse evento, a esfera estar em equilbrio, novamente, numa posio deslocada da

    original.

  • UERJ FEN ESTR - Resistncia dos Materiais IV Luciano Lima

    3 CAPTULO 1 FLAMBAGEM

    1.2.1 Aplicao do Equilbrio a Elementos Submetidos Compresso

    Deseja-se dimensionar a coluna AB de comprimento L que vai suportar a carga

    P conforme apresentado na Figura 4 a seguir. O elemento AB tido como

    perfeitamente reto e rgido e considera-se que no h frico no pino em A e que a

    carga P aplicada no eixo do elemento.

    Inicialmente, poderamos concluir que a coluna estaria bem dimensionada se a

    rea A da seo transversal fosse escolhida de modo que o valor da tenso ( = P/A)

    em qualquer ponto da barra esteja abaixo da tenso admissvel adm do material

    utilizado e se a deformao ( = PL/AE) se mantiver dentro das especificaes

    recomendadas.

    No entanto, o fenmeno de flambagem pode ocorrer na barra. Ao aplicar a

    fora P; em vez de permanecer com o seu eixo retilneo, a coluna se torna

    subitamente encurvada. Quando isso ocorrer, sob um carregamento especificado no

    clculo, significa que a coluna no foi dimensionada corretamente.

    Figura 4 Barra submetida compresso

    Na Figura 4 no ponto A, observa-se uma mola com constante elstica k . Ao

    ser provocado um deslocamento na barra, a mola produz em A um momento de

    restaurao MAR que tende a retornar o elemento sua posio original. Este

    momento em A proporcional ao ngulo de deflexo do elemento AB em relao

    vertical.

    .kMAR Equao 1

    Ao girar a barra de um ngulo muito pequeno, o momento provocado pela

    fora P dado por:

    PLsenMAP Equao 2

    Ou seja, para diferentes valores de P e de tem-se situaes de equilbrio

    distintas. Combinando-se as duas equaes anteriores, os sistemas tm as seguintes

  • UERJ FEN ESTR - Resistncia dos Materiais IV Luciano Lima

    4 CAPTULO 1 FLAMBAGEM

    condies para os equilbrios estvel, neutro e instvel:

    Estvel

    ARAP MM

    .kPLsen

    Neutro

    ARAP MM

    .kPLsen

    Instvel

    ARAP MM

    .kPLsen

    Equao 3

    Em Engenharia Civil, lidamos, apenas, com pequenas deformaes, ou seja,

    tende a zero. E quando o ngulo pequeno, sen e a Equao 3 tem os

    seguintes desdobramentos:

    Estvel

    crPP

    Neutro

    crPP

    Instvel

    crPP

    Equao 4

    Onde:

    L

    kPcr

    Equao 5

    A carga que define a transio entre o equilbrio estvel e o equilbrio instvel

    a chamada carga crtica crP . A perda de estabilidade do equilbrio chamada de

    flambagem, de modo que tambm chamamos crP de carga crtica de flambagem.

    Para ilustrar adequadamente a relao entre a carga aplicada e a estabilidade

    do sistema estrutural, observemos o diagrama de equilbrio apresentado na Figura 5

    abaixo. Trata-se de um grfico de carga P versus o ngulo de deflexo . O ponto B,

    onde o diagrama de equilbrio se divide, chamado de ponto de bifurcao.

    Exatamente no ponto B, onde crPP , o equilbrio do elemento neutro.

    Na configurao vertical, ou seja, 0 , representada pela linha tracejada,

    obtm-se uma situao de equilbrio instvel acima do ponto B; e uma situao estvel

    abaixo dele. Configuraes alternativas de equilbrio estvel ocorrem ao longo das

    curvas BC e BC, com 0 .

  • UERJ FEN ESTR - Resistncia dos Materiais IV Luciano Lima

    5 CAPTULO 1 FLAMBAGEM

    Figura 5 Diagrama de equilbrio

    1.3 Frmula de Euler para Colunas com Extremidades Articuladas

    No exemplo da Figura 4, observou-se o comportamento de uma barra rgida

    associada a uma mola de toro quando submetida compresso. Em casos reais, as

    colunas possuem uma flexibilidade atribuda ao material e no respondem como o

    exemplo citado acima. Para nos aproximarmos da realidade, analisemos atravs da

    Figura 6 uma coluna ideal com pinos em suas extremidades.

    Figura 6 - Coluna ideal

  • UERJ FEN ESTR - Resistncia dos Materiais IV Luciano Lima

    6 CAPTULO 1 FLAMBAGEM

    Para a simplificao do modelo, algumas hipteses so consideradas:

    i. Inicialmente, a coluna perfeitamente reta;

    ii. O material que a compe tem comportamento linear elstico;

    iii. Os pinos das extremidades passam pelo centride da seo transversal;

    iv. A coluna tem liberdade para girar pelos pinos sem que haja frico, assim,

    as restries desses apoios so equivalentes quelas de uma viga bi-

    apoiados;

    v. A coluna simtrica em relao ao plano xy e qualquer deflexo lateral da

    coluna ocorrer neste plano; e

    vi. A coluna recebe uma fora axial compressiva P aplicada atravs do pino

    superior.

    1.3.1 Configurao Flambada

    Analisando os valores atribudos a essa carga:

    crPP Equilbrio estvel: a coluna permanecer reta e seu

    comprimento ser reduzido. A tenso axial uniforme e regida

    pela equao: AP .

    crPP Equilbrio neutro

    Para determinar a carga crtica crP e a configurao da coluna flambada, deve-

    se determinar o valor da carga P quando a coluna estiver ligeiramente fletida e em

    condio de equilbrio.

    1.3.2 Equilbrio de Colunas Flambadas

    Analisando o diagrama de corpo livre da Figura 6, obtm-se:

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    7 CAPTULO 1 FLAMBAGEM

    1

    V = 0 Ax = P

    M = 0 MA,z = 0

    H = 0 Ay = 0

    Como MA = 0, tem-se:

    v(x).PM(x) Equao 6

    Em vigas submetidas flexo, o momento de curvatura definido pela

    equao "v.EI)x(M ; onde 22 dxvd)x("v .

    Substituindo-se na equao acima o M(x) da Equao 6, tem-se:

    v(x).P(x)v".EI

    0v(x).P)x(v".EI Equao 7

    Est a equao diferencial que governa a deformada de uma coluna com

    extremidades em pino. Trata-se de uma equao diferencial ordinria, homognea,

    linear e de segunda ordem.

    As condies de contorno para um elemento vinculado por pinos so:

    v(0) = 0 e v(L) = 0 Equao 8

    A presena do termo v(x) na Equao 7 significa que no se pode integrar duas

    vezes a equao para se obter a soluo. De fato, apenas quando EI for constante,

    existir uma soluo simples para esta equao. Sendo as

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