Leandro  Seixas  SAMPA/IF/USP  

¡  Transporte  paralelo  e  adiabático  de  um  pêndulo  numa  esfera.  

¡  Processo  adiabático  feito  em  ciclos  (loops).  

¡  Ângulo  adquirido  neste  processo  é  chamada  do  ângulo  de  Hannay.  

¡  Em  uma  evolução  adiabática  o  sistema  varia  lentamente  com  o  tempo.  

)(,)()()()( tnn n RRRRRR == εH

Um  sistema  com  autoestado  instantâneo  |n(R)  〉  que  evolui  adiabaticamente  permanece  no  mesmo  estado  ao  longo  da  evolução.  

Teorema  adiabático  

Os  vetores  R(t)  pertencem  à  um  espaço  de  parâmetros  D-­‐dimensional  que  variam  adiabaticamente  no  tempo.  

¡  Quando  o  sistema  evolui  adiabaticamente  o  estado  quântico  dependente  do  tempo  é  

)(ee)( )()( Rnt titin

nn ϑγψ =

∫−=t

nn tdtt0

)'('1)( εϑ!

Fase  geométrica   Fase  dinâmica  Tem  origem  na  evolução  adiabá3ca   Tem  origem  na  equação  

de  Schrödinger  dependente  do  tempo  com  Hamiltoniano  H(t).  

Substituindo    o  estado  na  equação  de  Schrödinger,  obtemos  

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−= )()()()()()( RRRRRR ndtdniniin nnn εγε

!"!

dtdnnit

dtd

nRRR R )()()( ∇=γ

Fazendo  o  produto  interno  com  〈n(R)| e  usando  a  regra  da  cadeia  para  R=R(t),  chegamos  em  

0)0( =nγ∫ ⋅∇=f

i

dnniTnR

RR RRR )()()(γ

Integrando  de  0  à  T,  obtemos  

¡  Para  ciclos  fechados  (loops)  a  fase  geométrica  torna-­‐se  

,)(∫ ⋅=C

RAR nn dγ

Fase  de  Berry  

)()()( RRRA R nnin ∇=

Conexão  de  Berry  

¡  Usando  o  teorema  de  Stokes,  a  fase  de  Berry  é  descrita  por  

∫ ⋅=S

S )()( RΩS nn dγ

∫∫ ×∇⋅=⋅SC

)()( rFSrFR dd

Teorema  de  Stokes  (3D)   )()( RARΩ nn ×∇=Curvatura  de  Berry  

nnn RA ∇−= Im

nnn RRΩ ∇×∇−= Im

( )∑≠ −

∇×∇−=

nn nnn EE

nnnn

'2

'

''Im

HH RRΩ

A  conexão  de  Berry  pode  ser  escrita  de  forma  alternativa  como  

A  curvatura  de  Berry  será  escrita  então  como  

Aplicando  o  gradiente  na  equação  de  autovalores  na  equação  acima,  a  curvatura  de  Berry  torna-­‐se  

¡  Para  uma  superfície  fechada  R  (compacta  e  sem  bordas)  ,  uma  superfície  S  ⊂R  tem  um  complemento  Sc

)()()( RΩSRAR nnn dd ⋅=⋅= ∫∫SC

Sγ

)()()( RΩSRAR nnc

nc

dd ⋅=⋅= ∫∫− SC

Sγ

Para  um  loop  C  no  sentido  anti-­‐horário  

Enquanto  que  no  sentido  horário  (loop  -­‐C)  a  fase  é  

)()( eec

nn ii SS γγ −=

∫∪

=⋅=+c

Nd nc

nnSS

SS πγγ 2)()()( RΩS

Uma  evolução  adiabática  em  um  loop  C  cria  uma  fase  que  é  a  inversa  do  loop  -­‐C (sentido  contrário)  

Usando  a  propriedade  da  superfície  fechada  R,  chegamos  em  

RSS =∪ c

¡  O  número  de  Chern  é  definido  por  

)(21 RΩS∫ ⋅=

RndN

πLembrar:    Superfície  fechada!  

¡  Número  de  “monopolos”  associados  à  curvatura  de  Berry  que  estão  dentro  da  superfície  fechada  R.  

¡  O  número  de  Chern  é  um  número  quântico  topológico.  

Se  a  conexão  de  Berry  for  o  potencial  vetor,  a  curvatura  de  Berry  será  o  campo  magnético  e  o  número  de  Chern  será  o  número  de  monopolos  magnéticos.  

“Lei  de  Gauss”  

¡  Próximo  à  singularidades  

σRh ⋅= )(H

( )( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=−

2

2

cossin

),(θ

θϕ

ϕθie

u ( )( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

2

2

sincos

),(θ

θϕ

ϕθie

u

Os  auto-­‐estados  são  

A  conexão  de  Berry  e  a  curvatura  de  Berry  são  para  o  estado  de  mais  baixa  energia  são  

( ) 0,cos 22 =−= −−

θθϕ AA θθϕ sin21

=−Ω

Diabolo  

¡  Para  o  caso  

321RRΩ ∓=±

( )zyx ,,==Rh

“Campo  de  monopolo”  

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

−=

ziyxiyxz

HO  Hamiltoniano  torna-­‐se    

),(),(

),(),(

),(),(

ϕθϕθ

ϕθϕθ

ϕθϕθ

±±±

±±±

±±±

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

uz

ui

uy

ui

ux

ui

z

y

x

A

A

A

Componentes  da  conexão  de  Berry  

Teorema  de  Bloch  

)(e)( rar akn

in ψψ ⋅=+

)()( rr kxk

ni

n ue ⋅=ψ

Sistemas  periódicos  que  são  descritos  por  uma  rede  Bravais  com  uma  base.  

As  funções  de  onda  em  sólidos  são  descrita  pelo  teorema  de  Bloch.  

Os  vetores  de  onda  k  estão  mapeados  dentro  da  zona  de  Brillouin.  

Esfera  (S²)   Toro  (T²)  

A  zona  de  Brillouin  tem  a  topologia  de  um  toro.  

A  evolução  adiabática  em  sólidos    fornece  

)()( 2 kΩkk nBZ

n d ⋅= ∫γ )()()( rrkΩ kkkk nnn uiu ∇×∇=

te(t)e EkEk!

"! −=⇒−=

Em  uma  teoria  semiclássica,  a  perturbação  do  campo  elétrico  E  muda  adiabaticamente  os  vetores  de  onda  k  

Devido  à  topologia  da  zona  de  Brillouin,  a  perturbação  do  campo  elétrico  faz  um  loop  no  espaço  de  parâmetros.    

¡  A  fase  de  Berry  é  usada  para:  1.  Efeito  Aharonov-­‐Bohm  2.  Teoria  moderna  de  polarização  em  materiais  

ferroelétricos  3.  Teoria  moderna  de  magnetização  em  materiais  

ferromagnéticos  4.  Teoria  de  efeito  Hall  quântico  (Teoria  TKNN)  

1.  Efeito  Hall  inteiro  2.  Efeito  Hall  anômalo  (Grafeno  e  bicamada  de  grafeno)  3.  Efeito  Hall  de  spin  (Isolantes  topológicos)  

•  Xiao  D.,  Chang,  M.  &  Niu  Q.  Rev.  Mod.  Phys.  82,  1959  (2010).  

•  Griffiths,  D.  J.  Introduction  to  Quantum  Mechanics.  Benjamin  Cummings,  2º  edição.  

•  Berry,  M.  V.  Proc.  R.  Soc.  Lond.  A  392,  45  (1984).  

•  Zak,  J.  Phys.  Rev.  Lett.  62,  2747  (1989).  •  Garg,  A.  Am.  J.  Phys.  78,  661  (2010)  

¡  Em  bicamadas  de  grafeno  o  número  de  Chern  é  dado  por  

)sgn( gVN τ=

Índice  de  vale  Potencial  de  gate  

Textura  de  pseudospin  

¡  Para  um  espaço  de  parâmetros  de  dimensão  D,  temos:  

∫∫ =∧=SS

S nnn RdRdR ΩΩ )()( 2

1µν

νµγ ∫=C

)(RdR nn µ

µγ A

onde                    é  conhecido  como  2-­‐forma  de  curvatura  (funcional  de  um  tensor  de  rank  2).  

nΩ

Aplicação  de  geometria  diferencial  para  o  espaço  de  parâmetros  (espaço  curvo)  de  D  dimensões.  

¡  Fazendo  a  transformação  de  calibre  na  conexão  de  Berry  

)()()( RRARA Rζ∇−→ nn

Podemos  ver  que  a  curvatura  de  Berry  é  invariante  de  calibre  

)()( RΩRΩ nn →

mnn πγγ 2)()( +→ SS

E  a  fase  de  Berry  pode  mudar  no  máximo  por  um  múltiplo  inteiro  de  2π