fascículo 5- situações em que se aplicam a multiplicação e a divisão

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_______________________________________________________________________________________________________ “Este documento foi classificado pelo DEPEJA – Setor de Educação de Jovens e Adultos e o acesso está

autorizado exclusivamente para colaboradores da Fundação Bradesco”

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Coletânea de Jogos e Situações-Problemas

AS DIFERENTES SITUAÇÕES EM QUE SE APLICAM A

MULTIPLICAÇÃO OU A DIVISÃO

FASCÍCULO 5

(Google/Paint)

Setor de Educação de Jovens e Adultos

FUNDAÇÃO BRADESCO

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FASCÍCULO 5

As diferentes situações em que se aplicam a multiplicação ou a divisão

SUMÁRIO

1 APRESENTAÇÃO 3 2 OBJETIVOS DO FASCÍCULO 4

3 4

FOCO PARA O TRABALHO

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO EM CONTEXTO

4 5

5 SUGESTÕES DE ATIVIDADES/JOGOS/RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

5.1- Multiplicação e Divisão – Área

5.11 Multiplicação e Divisão – Área no Mapa Curricular

5.2 Multiplicação e Divisão – Fatos Fundamentais

5.21 Multiplicação e Divisão – Fatos Fundamentais no Mapa Curricular

5.3 Multiplicação e Divisão – Algoritmo

5.31 Multiplicação e Divisão – Algoritmo no Mapa Curricular

5.4 Multiplicação – Cálculo Mental e Propriedades

5.41 Multiplicação– Cálculo Mental e Propriedades no Mapa Curricular

5.5 Multiplicação – Medidas de Tempo

5.51 Multiplicação – Medidas de Tempo no Mapa Curricular

5.6 - Multiplicação – Tratamento da Informação

5.61 - Multiplicação – Tratamento da Informação no Mapa Curricular

5.7- Multiplicação e Divisão – Situações Problemas

5.71 - Multiplicação e Divisão – Situações-Problemas no Mapa

Curricular

6. REFERÊNCIAS

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1. APRESENTAÇÃO

Apresenta-se a Coletânea de Jogos e Situações-Problemas, resultado de pesquisas em livros e autores sobre o assunto, com o objetivo de subsidiar o trabalho do educador por meio de recursos que favoreçam a aprendizagem e a aplicação dos conhecimentos e conceitos matemáticos.

As situações-problemas e jogos em si não se constituirão em boas estratégias de ensino, e sim, se inseridas em um contexto das aulas por meio de ações didáticas e intervenções com intencionalidade, atendendo aos objetivos de ensino e aprendizagem estabelecidos no Plano de Ensino e das habilidades e competências apresentadas na Matriz de Referência para Avaliação.

O Alfabetizador deverá planejar o uso dos jogos e situações-problemas que são apresentados em seis fascículos, abarcando os Eixos Temáticos da Matriz de Referência de Avaliação do Programa de Alfabetização de Jovens e Adultos da Fundação Bradesco - Matemática:

Fascículo 1: O emprego dos números naturais como código ou medida; Fascículo 2: Regras do Sistema de Numeração Decimal (SDN) para ampliar a capacidade de leitura e escrita numéricas; Fascículo 3: Características de figuras geométricas em objetos ou figuras presentes em diferentes contextos; Fascículo 4: Situações em que se aplicam a adição ou a subtração (Campo Conceitual Aditivo); Fascículo 5: Situações em que se aplicam a multiplicação ou a divisão (Campo Conceitual

Multiplicativo); Fascículo 6: Representações fracionárias e decimais dos números racionais e seu emprego em outras áreas do conhecimento.

Nos seis fascículos, trabalhamos os jogos e as situações-problemas observando as três competências apresentadas na Matriz de Avaliação:

C1- Interpretar e utilizar linguagem matemática, percebendo-a na linguagem corrente (textos, gráficos, tabelas, infográficos etc.);

C2- Apropriar-se de conhecimentos de Matemática para selecionar, organizar, relacionar e interpretar dados expressos em diferentes formas para tomar decisões e enfrentar situações-problemas;

C3- Aplicar os conhecimentos adquiridos na resolução de situações-problemas da realidade imediata, avaliando sua adequação ao contexto proposto.

A Coletânea tem como foco:

Fornecer alicerces para a aprendizagem e uso dos conhecimentos matemáticos, bem como base para abstração;

Proporcionar conexões entre o conceito, ideias matemáticas e situações do dia a dia; Favorecer a utilização dos jogos e atividades de forma individual e em grupo.

Destacamos que alguns jogos ou atividades integram mais de um eixo temático e habilidades, extrapolando também mais de uma competência.

Buscamos, por meio da Coletânea, o sucesso e a autonomia dos alunos na realização das propostas e o benefício nos investimentos efetivos por melhores resultados no processo de ensinar e aprender.

Setor de Educação de Jovens e Adultos FUNDAÇÃO BRADESCO

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2. OBJETIVO

Apresentar procedimentos, jogos e sugestões de situações-problemas com foco em situações em que se aplicam a multiplicação e a divisão (Campo Conceitual Multiplicativo).

3. FOCO PARA O TRABALHO

O foco para o trabalho relaciona-se à resolução de situações-problemas e jogos pautados nas competências e habilidades 30 a 40 Eixo 5 da Matriz Referência para Avaliação de Matemática:

Vale lembrar que os alunos não desenvolvem e adquirem o conhecimento matemático da mesma forma, e nem nos mesmos instantes, o que requer do alfabetizador promover boas intervenções pautadas nas experiências de ensino, respeitando o nível de aprendizagem de cada um, e ao mesmo tempo possibilitando avanços significativos. Contar, calcular, comparar, medir, estimar, construir figuras, resolver problemas são algumas ações realizadas pelos alunos jovens e adultos no seu cotidiano de forma natural e intuitiva. Cabe à escola, aproveitá-las ao máximo e valorizar as experiências trazidas por eles.

O domínio sobre o conhecimento matemático pressupõe a realização das atividades que exigem do aluno mobilizar conceitos e procedimentos para resolver quaisquer problemas, dessa forma, pensar em exercícios intensivos com procedimentos de cálculos não é um pré-requisito ou prioridade. O treino mecanizado de um procedimento de cálculo, bem como o conhecimento de termos memorizados não os auxilia na compreensão do que é a Matemática e sua aplicabilidade na prática.

Dessa forma, as situações do cotidiano trabalhadas por meio de jogos e da resolução de problemas oferecem boas oportunidades para lidarmos com os diferentes usos da Matemática. Cabe ressaltar que resolver problemas não modifica apenas a Matemática, mas também aquele que os resolve. É ampliando os conhecimentos e sabendo utilizá-los que se faz possível resolver, a cada dia, problemas mais complexos.

Nesta coletânea, a utilização de jogos está baseada na resolução de problemas com perspectivas na proposição e no enfrentamento de situações lúdicas e educativas, em que o aluno é levado a resolver situações que não possuem soluções evidentes, mas que exigem a combinação de conhecimentos e a decisão por formas próprias de resolução.

Neste fascículo, em especial, priorizaremos o trabalho com foco em situações em que se aplicam a multiplicação e a divisão (Campo Conceitual Multiplicativo) visando o desenvolvimento do pensamento, linguagem e afetividade por meio da resolução de problemas aliadas aos jogos. Destacamos que o desenvolvimento das estruturas multiplicativas devem ocorrer ao longo dos cinco primeiros anos de escolaridade, no nosso caso no ALFA I e II, portanto, nesse segmento, é necessário favorecer a

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aprendizagem de conceitos e noções que poderão potencializar a médio e a longo prazo a capacidade de resolução de problemas que leve em consideração a sua própria bagagem.

Bibliografia consultada: BERTON, Ivani da C. Borges e ITACARAMBI, Ruth Ribas. Números, brincadeiras e jogos. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.

FNDE/MEC. Trabalhando com a Educação de Jovens e Adultos. O processo de Aprendizagem dos Alunos e Educadores, 2006.

4. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO EM CONTEXTO

Aprender sobre multiplicação e divisão requer aprender muito mais do que procedimentos de cálculo. Mais do que destreza no fazer contas – e habilidade nas técnicas operatórias, espera-se que os alunos compreendam o que fazem e construam os conceitos envolvidos nessas operações, e é neste sentido, que se estabelece, neste fascículo, um diálogo com a Resolução de Problemas. A compreensão dos conceitos referentes às operações de multiplicação e divisão deve evidenciar as relações existentes entre essas operações mesmo antes da sistematização de seus algoritmos. Segundo o PCN (1997), é frequente a abordagem da multiplicação como um caso particular da adição em que as parcelas envolvidas são todas iguais. Mas essa abordagem não é suficiente para que os alunos compreendam e resolvam outras situações relacionadas à multiplicação que não sejam essencialmente aditivas. No campo conceitual multiplicativo, é necessário desenvolver um trabalho com os significados de proporcionalidade, organização retangular e combinatória. Os campos aditivos e multiplicativos devem ser ensinados paralelamente e de forma não linear. É preciso que as relações existentes entre a adição e a multiplicação e entre a subtração e a divisão sejam explicitadas, pois esse tipo de trabalho ajuda a desenvolver as estruturas numéricas aditivas e multiplicativas. A compreensão dos conceitos referentes às operações de multiplicação e divisão deve começar a ser construída desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, e deve-se buscar evidenciar as relações existentes entre essas operações mesmo antes da sistematização de seus algoritmos. É frequente a abordagem da multiplicação como um caso particular da adição em que as parcelas envolvidas são todas iguais. Mas essa abordagem não é suficiente para que os alunos compreendam e resolvam outras situações relacionadas à multiplicação que não sejam essencialmente aditivas (PCN, 1997). Além disso, desenvolve-se no campo conceitual multiplicativo um trabalho com os significados de proporcionalidade, organização retangular e combinatória. Os problemas apresentados, neste volume visam a discutir o significado de comparação entre razões, ou seja, a ideia de proporcionalidade. Nos problemas trabalhados, é possível os alunos perceberem a regularidade entre os elementos propostos. São ampliados os conhecimentos com a utilização de problemas do campo multiplicativo que envolvem o significado de organização retangular. Esses problemas incluem o desafio de descobrir a área de uma superfície, ou seja, uma análise dimensional. E são estudados também problemas do campo multiplicativo com o significado de combinatória. Esses últimos podem ser resolvidos com diferentes notações, as quais são de grande importância para a compreensão da operação.

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Os campos aditivos e multiplicativos devem ser ensinados paralelamente e de forma não linear. É preciso que as relações existentes entre a adição e a multiplicação e entre a subtração e a divisão sejam explicitadas, pois esse tipo de trabalho ajuda a desenvolver as estruturas numéricas aditivas e multiplicativas. Neste fascículo, exploram-se diferentes procedimentos de cálculos: cálculo mental e aproximado, exato e escrito. No dia a dia, usamos mais os cálculos mental e aproximado – desenvolvidos em atividades deste volume, além das atividades baseadas em estimativas – antes da resolução da operação. Alguns erros cometidos pelos alunos, nos cálculos, são produtos da falta de estimativas. Fazer a antecipação dos valores auxilia na identificação de possíveis erros. É necessário explorar toda essa diversidade de problemas em sala de aula, para que os estudantes se familiarizem com os diferentes tipos, podendo relacionar problemas já conhecidos e discutidos durante as aulas com os novos que serão propostos.

Bibliografia consultada: BERTON, Ivani da C. Borges e ITACARAMBI, Ruth Ribas. Números, brincadeiras e jogos. São Paulo: Editora Livraria da Física,

2009 Programa de Formação continuada de educadores dos anos/séries iniciais do Ensino Fundamental. Pró Letramento. (Fascículo

1): Números Naturais. Brasília: Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica, Universidade de Brasília - UNB, 2007. (Domínio Público)

STAREPRAVO, Ana Ruth. Jogando com a Matemática: números e operações. Curitiba: Aymará, 2009. Adição e subtração para 1º, 2º e 3º anos. Disponível em: <http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-1/roteiro-didatico-adicao-subtracao-1-2-3-ano-matematica-637802.shtml?page=3.2>. Acesso em: 29 set.2014. 15h26min.

5. SUGESTÕES DE ATIVIDADES/JOGOS/RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Educador: sugerimos, a seguir, alguns jogos e atividades para que os alunos possam explorar situações em que se aplicam a multiplicação e a divisão (Campo Conceitual Multiplicativo). As situações e jogos apresentados neste fascículo tem como foco discutir o significado de comparação entre razões, ou seja, a ideia de proporcionalidade. Dessa forma, é possível os alunos perceberem a regularidade entre os elementos propostos e ampliar os conhecimentos com a utilização de problemas do campo multiplicativo que envolvem o significado da organização retangular. Avalie a extensão do trabalho a ser desenvolvido com as Habilidades e Competências da Matriz de Referência. Procure adaptar e alterar as regras e as instruções, sempre combinando previamente com sua turma.

Oriente os alunos para que eles próprios elaborem os jogos, que são de confecção bem simples, bem como realizem as atividades. Essa estratégia promove uma atividade mental autoestruturante, baseada na suposição de que “o aluno entende o que faz e por que faz e tem consciência, em qualquer nível, do processo que está seguindo” (ZABALA, 1998). Assim, ele pode se responsabilizar por sua aprendizagem, ao perceber suas dificuldades, revisar o que propõe, dividir as tarefas ou pedir ajuda quando sentir necessidade.

Vale a pena conferir também o Mapa Curricular de Matemática - Eixo 5, disponível no Portal EJ@. Recomendamos que planeje suas aulas utilizando os recursos disponibilizados:

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5.1- Multiplicação e Divisão - Área

Área e Perímetro

Área e perímetro são duas medidas distintas, onde a área é a medida de uma superfície e o perímetro é

a medida do comprimento de um contorno. Ex.:

(Adaptado no Paint)

O contorno do mapa do Brasil é o perímetro que determina sua área total.

Sobre as medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano: Qual a área desta sala? Qual a área dessa casa? Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa cozinha? Qual a área desse campo de futebol? Qual a área pintada dessa parede? Superfície e Área Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície. Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado(m²) e os seus múltiplos e submúltiplos. São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire. Na geografia e cartografia, o termo "área" corresponde à projeção num plano horizontal de uma parte da superfície terrestre. Assim, a superfície de uma montanha poderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Conceito

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie

http://pt.wikipedia.org/wiki/Metro_quadrado

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%BAltiplos_e_sub-m%C3%BAltiplos

http://pt.wikipedia.org/wiki/Are

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hectare

http://pt.wikipedia.org/wiki/Alqueire

http://pt.wikipedia.org/wiki/Geografia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Cartografia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Proje%C3%A7%C3%A3o_(geometria_descritiva)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie_terrestre

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Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número. Metro Quadrado A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado. O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.

(Adaptado/Paint)

(Adaptado/Paint)

Exemplos de transformações de unidades de medidas de superfície:

(Adaptado/Paint)

Perímetro O que é perímetro? E como o calculamos? Perímetro é a medida do comprimento de um contorno. A medida do perímetro de um polígono é a soma das medidas dos lados do polígono.

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O polígono é uma figura geométrica: plana, simples, fechada e formada por segmentos de retas. Exemplo: Observe um campo de futebol, o perímetro dele é o seu contorno que está com a borda em destaque:

(Adaptado/Paint)

Calculando o perímetro do campo de futebol temos: Perímetro = 70 m + 100 m + 70 m + 1 00 m = 340 m O perímetro da figura abaixo é o contorno dela, como não temos a medida de seus lados, para medir o seu perímetro devemos contorná-la com um barbante e depois esticá-lo e calcular a medida.

(Adaptado/Paint)

Por exemplo:

O perímetro da figura é a soma de todos os seus lados

(Adaptado/Paint)

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P = 10 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 + 2 +3 P = 18 + 4 + 9 + 5 P = 22 + 14 P = 36 A unidade de medida utilizada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de medida de comprimento: metro, centímetro, quilômetro... Área Área é a medida de uma superfície. A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado). Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:

(Adaptado/Paint)

Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área. A unidade de medida da área é: m2 (metro quadrado), cm2 (centímetro quadrado), e outros. Se tivermos uma figura do tipo:

(Adaptado/Paint)

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Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades.

Bibliografia consultada: Programa de Formação continuada de professores dos anos/séries iniciais do Ensino Fundamental. Pró Letramento. (Fascículo 5): Grandezas e Medidas. Brasília: Ministério da Educação. Secretaria de

Educação Básica, Universidade de Brasília - UNB, 2007. (Domínio Público) ÁREA. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea>. Acesso em: 11 dez. 2014. 14h42min.

ÁREA e Perímetro. <http://www.mundoeducacao.com/matematica/area-perimetro.htm>. Acesso em: 12 dez. 2014. 13h55min.

Educador: as propostas a seguir têm como foco explorar área e perímetro nas situações do dia a dia.

1- Perímetros e áreas em diferentes contextos Foco:

Calcular perímetros e áreas de figuras sobrepostas em malhas quadriculadas. Utilizar procedimentos e instrumentos de medidas em função do problema e da precisão do

resultado. Compreender a necessidade da divisão de terras no Brasil.

Material:

Malha quadriculada transparente Mapa de uma pequena porção de terra

Sugestões:

Leve um mapa de um pedaço de terra da região. Ex.:

(Adaptado/Paint)

Faça a análise da imagem e discuta sobre a importância da divisão de terras no país, considerando

que existem muitas pessoas que têm grandes lotes de terras e usam uma pequena parte deste lote, ficando o restante sem utilização, o que acaba sendo injusto com as pessoas que não têm terra para viver. Essa discussão oferece oportunidade para que o educador conheça o que os alunos pensam sobre o assunto. Um texto ou notícia de jornal sobre movimento dos “Sem Terra” ou Reforma agrária pode complementar as discussões.

Após as reflexões, pergunte aos alunos o que é área.

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea

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Em seguida, divida a sala em grupos, fornecendo uma malha de papel quadriculado e um mapa como o da figura acima para cada grupo.

Peça aos alunos que sobreponham em malha quadriculada ao mapa de uma forma que caiba a maior quantidade de quadrados no interior da figura.

Educador: explique aos alunos que cada quadradinho da malha tem uma área de “um centímetro quadrado”, isto é, tem uma área correspondente a um quadrado que tem 1cm em cada lado. Deve,

também, apresentar a representação dessa medida: 1 cm².

(Adaptado/Paint)

Peça aos alunos para contarem quantos quadradinhos de 1 cm² cabem na figura. O resultado dessa contagem representa aproximadamente a área do mapa. Nesta oportunidade, pede-se, também, para que discutam o que entenderam por área.

Trabalhe o conceito de perímetro, no mapa, trazido por você, sobrepondo novamente a malha quadriculada e somando os lados dos quadrados que coincidirem com o contorno do mapa para encontrar um valor aproximado do perímetro deste.

Educador: no momento em que trabalhar com o tema transversal/político-social a questão de divisão de terras no Brasil, é importante respeitar o nível de desenvolvimento dos alunos em relação à questão para que o trabalho não seja ineficiente. Para que haja um maior entendimento da questão, pode-se apresentar um mapa do Brasil sob a malha quadriculada para mostrar, por exemplo, que a figura possui muitos quadrados e que apenas pequenos grupos de pessoas são possuidoras da maioria desses quadrados e que há pessoas sem nenhum quadradinho, ou seja, não possuem terras, pois a distribuição da mesma é desigual. Esse fato é uma contradição, pois sendo o Brasil um país que ocupa uma grande área, há quadradinhos para todos, ou seja, terras para todos. Explore hipóteses do porquê a divisão de terras é desigual, fundamentando-se nos processos histórico e econômico do país. A malha quadriculada pode ser confeccionada em qualquer material transparente como: papel de seda, papel vegetal, transparência, sacos plásticos transparentes em que possam ser escritos etc. Pode-se trabalhar com mais de um mapa, inclusive um da própria escola ou bairro ou até confeccionar um outro.

Para complementar esta atividade, a professora ou o professor deve propor, como exercício, que

os alunos calculem áreas e perímetros de figuras geométricas como: quadrado, retângulo e outras, para que o aluno possa ampliar a noção destes conceitos e aplicá-los.

Como por exemplo: Cesar vai cercar com um muro o seu terreno. O lado maior do terreno mede 12 m e o lado menor 6 m. Calcule o perímetro deste terreno para o pai de Marcos saber quantos metros de muro precisará construir. Calcule, também, a área do terreno.

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Educador: tanto o conceito de área quanto o de perímetro devem ser trabalhados baseando-se em aproximações, no caso dos mapas, pois os mesmos são irregulares. Sendo assim, a professora ou o professor pode auxiliar os alunos na aproximação; quando, por exemplo, um pedaço da figura a ser medida não preencher o quadrado inteiro, porém falta muito pouco para completá-lo, podemos considerar um quadrado inteiro.

2- Medindo áreas na EJA Foco:

Compreender que a medida envolve a comparação entre duas grandezas da mesma natureza e a verificação de quantas vezes uma grandeza tomada como unidade de medida cabe na outra.

Identificar relações entre áreas de figuras geométricas por meio da composição e decomposição de figuras.

Materiais:

Quadrados, retângulos, trapézios, hexágonos, losangos e círculos de papel colorido Coleção de quadrados, círculos e retângulos de papel

Sugestões:

Educador: é bastante provável que os jovens e adultos com pouca escolaridade possuam vários conhecimentos relacionados a medidas. Dessa forma, as primeiras atividades para explorar esses conteúdos consistem em discutir as noções de grandezas de que os alunos dispõem - como comprimento, massa, capacidade, temperatura, unidades de tempo e valores monetários - de acordo com o que se vai trabalhar.

Organize uma roda de conversa e pergunte aos alunos o que significam expressões como:

"A área do terreno da minha casa é maior do que a da sua." Ou "A área da quadra de futebol de salão é de 375 m²."

Os alunos podem dizer que a área é um espaço que ocupa a casa ou a quadra. Questione se conhecem outras medidas de superfície como hectare ou alqueire, muito utilizadas

em medidas agrárias. Prepare um painel com as informações recolhidas e deixe-o exposto na sala. À medida que as

atividades forem avançando, acrescente outras informações. Distribua quadrados, retângulos e círculos de papel colorido aos alunos (um para cada um)

explique que servirão como unidade de medida de algumas superfícies. Forme grupos com quatro ou cinco alunos e proponha que cubram com papéis com formas diferentes um dos objetos da sala de aula - como a superfície superior da carteira, o assento da cadeira, a porta da sala, a porta do armário. É mais interessante para discussão posterior se mais de um grupo fizer a medição de um mesmo objeto.

Solicite que cada grupo apresente suas conclusões e como procedeu para medir a superfície dos objetos. Havendo diferenças significativas entre as medidas de um mesmo objeto, coordene as explicações dos grupos para que se chegue o mais próximo da medida correta.

Em seguida, dê aos alunos algumas formas reduzidas planas (retângulos, triângulos, trapézios, hexágonos) e uma coleção de quadrados, círculos e retângulos de papel. Peça que recubram cada forma com as distintas peças de papel das coleções. Registre os resultados e discuta-os: "Que forma recobre melhor o objeto? Por quê?".

Proponha a construção de uma série de formas com áreas variadas usando papel quadriculado. Peça aos alunos que as ordenem da maior para a menor área. Depois, peça que contem os quadrados que há em cada forma.

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Use o geoplano para desenvolver a comparação de áreas. Dê aos alunos um conjunto particular de formas e pergunte qual a de maior área. Construa figuras no geoplano e conte os quadrados para medir a área.

Geoplano de madeira ou de papel

Em seguida, organize a turma em grupos e dê a todos a mesma figura. Os grupos precisam explicar por que o retângulo proposto tem a mesma área que a figura dada; oriente os alunos a utilizarem qualquer material que julgarem necessário para a tarefa (régua, papel quadriculado ou milímetro e outros).

Se alguns alunos ou grupos não conseguirem chegar a um retângulo de mesmo tamanho, será preciso reorganizá-los nos grupos para que façam, com base na mesma proposta, a medição de outra figura. Acompanhe de perto estes alunos e faça intervenções quando necessário.

Após as atividades, reserve um tempo para reflexões, sistematização e registro das descobertas.

Bibliografia consultada: MEDINDO áreas na EJA. Disponível em: <http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/medindo-areas-na-eja>. Acesso em:29 set. 2014. 14h12min.

3- Peças do Tangram como unidade de medida

Foco: Compreender que a medida envolve a comparação entre duas grandezas da mesma natureza e a

verificação de quantas vezes uma grandeza tomada como unidade de medida cabe na outra. Identificar relações entre áreas de figuras geométricas por meio da composição e decomposição

de figuras. Materiais:

Tangram recortado Papel milímetro Organize a turma em grupos e dê a todos a mesma figura. Os grupos precisam explicar por que o

retângulo que propõe tem a mesma área que a figura dada; oriente os alunos a utilizarem qualquer material que julgarem necessário para a tarefa (régua, papel quadriculado ou milímetro e outros)

Se alguns alunos ou grupos que não conseguirem chegar a um retângulo de mesmo tamanho, será preciso reorganizá-los nos grupos para que façam, com base na mesma proposta, a medição de outra figura. Acompanhe de perto estes alunos e faça intervenções quando necessário

Sugestões:

Oriente o desenho do Tangram em papel milímetro num quadrado de 10 cm de lado; peça que recortem cada peça e comparem as áreas.

http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/medindo-areas-na-eja


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Solicite que expliquem como chegaram à área da figura. O que se espera é que concluam que o papel milimetrado auxilia na medição das peças, e, portanto, pode ser usado como unidade de medida de outras figuras.

Organize a turma em duplas e proponha que desenhem o contorno de várias figuras usando as peças do Tangram, como está indicado a seguir.

Modelo de Tangran para trabalhar em sala de aula (Adaptado/Paint)

Pergunte aos alunos quais figuras são de maior, menor ou igual área, tendo como auxílio as peças

do Tangram. As figuras podem ser reproduzidas em cartolina. Peça que expliquem suas conclusões. Anote-as num cartaz para que sejam consultadas posteriormente.

Apresente uma série de figuras de formas diversas, porém com poucas diferenças em suas áreas. Os alunos devem ordená-las, da menor para a maior, e justificar suas respostas. A tarefa a seguir será determinar a ordem correta usando qualquer método e unidades que desejarem.

Proponha que eles construam um retângulo que tenha o mesmo tamanho de outra figura previamente escolhida (de forma irregular, um triângulo ou inclusive outro retângulo) utilizando as peças do Tangran.

Bibliografia consultada: MEDINDO áreas na EJA. Disponível em: <http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/medindo-

areas-na-eja>. Acesso em:29 set. 2014. 14h12min.



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5.11- Multiplicação e Divisão - Área no Mapa Curricular

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5.2- Multiplicação e Divisão – Fatos Fundamentais

A multiplicação (bem como todas as outras operações, a noção de número e o sistema de numeração decimal) precisa ser construída e compreendida. Esta construção é o resultado de um trabalho mental por parte do aluno. Nesse processo a tabuada (termo bastante antigo que designa um conjunto de fatos) é imprescindível. Exemplo:

Esses fatos têm sido chamados, por diversos autores, de fatos fundamentais da multiplicação. Trabalhando com materiais variados (papel quadriculado, grãos, palitos), explorando jogos e situações diversas (quantos alunos serão necessários para formar 4 times de vôlei?), os alunos poderão, aos poucos, construir e registrar os fatos fundamentais que compõem a tabuada. É necessário compreender a construção da tabuada pois a sua mecanização pura e simples não leva a reflexão. Recitar a tabuada "duas vezes um, dois; duas vezes dois, quatro; ...", com o único objetivo da memorização não levará a compreensão matemática da operação. Enfatizamos que a memorização deve ser precedida pela compreensão. A ênfase do trabalho deve ser posta na construção dos conceitos. A preocupação com a memorização não deve exagerada.

1- Construindo a tabuada

Proponha aos alunos a construção da tabuada, partindo de alguns fatos simples e possivelmente já conhecidos (até 5 x 5).

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5

2 2 4 6 8 10

3 3 6 9 12 15

4 4 8 12 16 20

5 5 10 15 20 25

6

7

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9

Peça que completem a tabela

Educador: é fácil completar a primeira linha, pois ela se refere à multiplicação por 1. Também é fácil completar a primeira coluna.

Proponha aos alunos que descubram quanto dá, por exemplo, 8 x 3. Eles podem obter este resultado, por exemplo, por meio de adições sucessivas:

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Mas podem também obter 8 x 3 de outro modo. Como 8 = 5 + 3, podem perceber que: 8 x 3 = 5 x 3 + 3 x 3

Na tabela, temos os valores de 5 x 3 e 3 x 3, logo: 8 x 3 = 15 + 9 = 24

Da mesma forma, podem fazer: 9 x 3 = 5 x 3 + 4 x 3 = 15 + 12 = 27 7 x 4 = 3 x 4 + 4 x 4 = 12 + 16 = 28

Peça que registre os produtos obtidos na tabela. EX.:

(Adaptado/Paint)

Faça pausas para reflexão e instigue os alunos a perceberem situações como: do 3 x 5 = 5 x 3, 2 x 4 = 4 x 2, etc. Assim, como já descobriram que 8 x 3 = 24, concluem que 3 x 8 = 24; como 9 x 3 = 27, então, 3 x 9 = 27. E a tabela vai sendo completada.

(Adaptado/Paint)

INTERNA

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19

Educador: note que nesta construção, usa-se intuitivamente, diversas propriedades da multiplicação. Ao longo dessa atividade, a compreensão da multiplicação está presente o tempo todo.

(Adaptado/Paint)

Uma vez completada a tabela, podemos prosseguir explorando-a: Faça questionamentos:

A linha do 1 é igual a coluna do 1?

A linha do 2 é igual a coluna do 2?

Educador: isto ocorre porque 3 x 1 =1 x 3, 2 x 4 = 4 x 2 etc. Na linha do 1 (e na coluna do 1) os números aumentam de 1 em 1.

Na linha 2 (e na coluna do 2) os números aumentam de 2 em 2.

Note que nesta construção, vão sendo usadas intuitivamente, diversas propriedades da

multiplicação. Ao longo dessa atividade, a compreensão da multiplicação está presente o tempo todo.

INTERNA

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X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Prossiga explorando-a ainda mais a tabela:

Na linha do 1 (e na coluna do 1) os números aumentam de que forma? (de 1 em 1).

E na linha 2 (e na coluna do 2) os números aumentam como? (de 2 em 2).

E assim por diante. Na linha 9, (e na coluna do 9) os números aumentam de 9 em 9.

Educador: é fundamental explorar este ritmo, esta regularidade da tabuada.

Peça aos alunos que localizem todos os 12 da tabela.

Educador: ele aparece quatro vezes. Estas quatro aparições correspondem aos produtos 3 x 4, 4 x 3,2 x 6 e 6 x 2. Faça o mesmo com outros números, com 16, 15 etc. Uns aparecem três vezes, outros duas e outros ainda só uma vez. A memorização também é necessária, uma vez compreendidos os fatos fundamentais, que eles sejam, aos poucos, memorizados pelos alunos. Para isso, é interessante utilizar jogos variados.

Bibliografia Consultada:

BERTON, Ivani da C. Borges e ITACARAMBI, Ruth Ribas. Números, brincadeiras e jogos. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.

TABELA Pitagórica para aprender multiplicação. Disponível em: <http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/tabela-

pitagorica-para-aprender-multiplicacao>. Acesso em: 10 dez.2014. 10h

2- Tabela Pitagórica para aprender multiplicação

Foco: Adquirir recursos para reconstruir rapidamente os resultados das multiplicações básicas. Sistematizar e ampliar o repertório de multiplicações. Explorar as relações de proporcionalidade envolvidas nas multiplicações.

Material:

Tabela pitagórica para completar (uma por aluno) Cartaz com a mesma tabela (reproduzida em tamanho grande) para a análise coletiva posterior Tabelas com alguns erros para os alunos corrigirem

http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/tabela-pitagorica-para-aprender-multiplicacao


INTERNA

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Sugestões: Proponha que os alunos completem a tabela pitagórica. Peça que analisem diferentes relações

entre os números e de que maneira podem encontrar alguns resultados das multiplicações a partir de outros. Por exemplo, para saber quanto é 7 x 8, é possível pensar no dobro de 7 x 4, ou no quádruplo de 7 x 2, ou ainda, pensar em 5 x 8 + 2 x 8, ou em 7 x 10 - 7 x 2.

Apresente uma tabela pitagórica para os alunos e explique como preenchê-la. Proponha que, individualmente, preencham os quadradinhos correspondentes àqueles produtos

que lembram de memória.

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Reserve um tempo para que preencham os resultados que lembram de memória e em seguida proponha a discussão coletiva.

Educador: o aspecto central dessa discussão é que os alunos reflitam sobre como usar os resultados que se lembram para encontrar outros a partir das relações entre as diferentes fileiras e colunas desta tabela. Para a tabuada do 5, por exemplo, é interessante retomar o que os alunos sabem sobre a multiplicação por 10, chegando a formulações como: a tabuada do 5 é fácil porque todos os números terminam em 0 ou em 5; se olharmos a tabuada do 5 de dois em dois quadradinhos, a partir do 10 (5 x 2), encontramos a tabuada do 10, porque duas vezes cinco equivale a uma vez dez; se olharmos a tabuada do 5 de dois em dois quadradinhos, a partir de um número que termina em 5, chega-se em outro número que também termina em 5, que é o resultado de se somar 10 ao resultado anterior; multiplicar por 5 é a metade de multiplicar por 10. Veja:

Do mesmo modo, é possível analisar a relação entre as fileiras ou colunas do 2 e do 4, onde os resultados da segunda são o dobro dos da primeira; ou entre o 4 e o 8; entre o 3 e o 6; o 5 e o 10. Ou as relações entre a fileira ou a coluna do 2 e do 8, em que os resultados da segunda são o quádruplo dos da primeira; ou do 9 e do 3, em que os resultados da primeira são o triplo dos da segunda. Também é possível estabelecer que os resultados da fileira ou da coluna do 7 podem ser constituídos somando os resultados das fileiras ou colunas do 3 e do 4; ou subtraindo, por exemplo, das multiplicações por 10 os resultados da multiplicação por 3, etc. Do mesmo modo, é possível conhecer os resultados de outras multiplicações, tais como as multiplicações por 9, a partir da soma dos resultados da multiplicação por 4 e por 5; por 7 e por 2, ou ao subtrair 9 do resultado das multiplicações por 10, etc.

INTERNA

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22

Proponha que realizem algumas atividades para sistematização das discussões:

a) Para cada um dos seguintes pares de operações, marque qual tem resultado maior, sem fazer o

cálculo. Anote o que considerou para a tomada de decisão:

(Adaptado no Paint)

b) Sem fazer o cálculo, escreva as seguintes contas em ordem crescente: 6x6 3x5 4x5 6x7 5x5 8x7 9x8 9x10 8x8

c) Complete as seguintes tabelas:

X 2 8 5 9 4

4 32

8 16 40 72

9 36

X 3 4 5 6 7

3

6

9

Educador: em síntese, trata-se de estabelecer uma rede de relações entre multiplicações a partir da tabela da multiplicação, porém estas relações não substituem a memorização dos resultados no momento de realizar um cálculo.

A propriedade comutativa da multiplicação faz com que baste memorizar a metade dos produtos do quadro. Esse aspecto se refere aos resultados que se repetem a partir de um eixo de simetria constituído por uma diagonal do quadro. Isto, baseado na comutatividade da multiplicação, permite reconstruir uma metade do quadro a partir do conhecimento da outra metade.

INTERNA

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23

Proponha aos alunos a análise coletiva e registre, no caderno, as descobertas que fizerem acerca do eixo de simetria.

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Educador: se sabemos que 4 x 6 é igual a 24, fica fácil saber que 6 x 4 também é igual. O mesmo com 8 x 9, que é igual a 72, 9 x 8 também é igual a 72. Ter consciência de que os resultados da metade da tabela pitagórica são os mesmo, da outra metade, facilita o entendimento das regularidades e a memorização dos resultados.

Proponha a reflexão sobre o que acontece quando se multiplica por 0 e por 1, respectivamente. Organize anotações no caderno.

Educador: as multiplicações por 0 e por 1 são casos especiais.

Periodicamente, entregue uma série de cálculos para os alunos realizarem, individualmente em

um curto período de tempo e sem consulta às pistas do caderno, a fim de verificarem se o repertório de cálculos memorizados está aumentando gradativamente.

Proponha problemas que devam ser resolvidos com a calculadora. Tais problemas devem requerer a reconstrução de um resultado da tabela da multiplicação a partir de outros:

Se na calculadora você precisar fazer as seguintes multiplicações, mas a tecla do 8 não estiver funcionado. Como poderá fazê-las? 4 x 8 = 6 x 8 = 7 x 8 = 5 x 8 = Se você precisar fazer estas outras multiplicações sem usar a tecla do 6? 9 x 6 = 8 x 6 = 7 x 6 = E se você precisar fazer estas outras sem usar a tecla do 7? 4 x 7 = 10 x 7 = 5 x 7 =

Bibliografia Consultada: BERTON, Ivani da C. Borges e ITACARAMBI, Ruth Ribas. Números, brincadeiras e jogos. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.





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3- Jogando com a Tabela Pitagórica

Foco: Sistematizar e ampliar o repertório de multiplicações.

Material:

Tabela pitagórica para completar (uma por aluno) Cartaz com a mesma tabela (reproduzida em tamanho grande) para a análise coletiva posterior Tabelas

Sugestões:

Proponha aos alunos um jogo para sistematizar as descobertas sobre as regularidades e propiciar o aumento do repertório de cálculos: mostre aos alunos a tabela da multiplicação do cartaz completa, com alguns quadradinhos tapados, e peça que anotem em seus cadernos os resultados das multiplicações que se encontram ocultos (eles não podem consultar suas tabelas pessoais). Ex.:

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 2 3 4 5 6 8 9 10

2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 0 3 6 9 15 18 21 24 27 30

4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 0 5 10 15 20 25 30 40 45 50

6 0 6 18 24 30 36 42 48 60

7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 0 8 16 24 40 48 56 64 72 80

9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 0 10 20 30 50 60 70 100

Proponha aos alunos que busquem diferentes multiplicações que cheguem a um mesmo resultado. Por exemplo, 24, 18, 30, 32, 36.

Em outro momento, entregue tabelas completas, mas contendo alguns erros, e solicite que os alunos os corrijam.

Educador: é necessário propor, em sucessivas oportunidades, um trabalho sistemático dirigido a memorização deste repertório pelos alunos. Para isto, peça que anotem quais são as multiplicações que recordam facilmente, de memória, e não precisam voltar a calcular a cada vez e, quais as que são mais difíceis de recordar. Em momentos coletivos, os alunos poderão apresentar as multiplicações que consideram mais difíceis e, junto com seus colegas, buscar pistas - a partir das diferentes relações - que permitam recordá-las.

Por exemplo, se alguém não lembra quanto é 9 x 8, é possível reconstruir essa multiplicação a partir de: 9 x 4, vimos que 9 x 8 é o dobro de 9 x 4: 9 x 8 = 9 x 4 x 2 = 36 x 2 = 72; 9 x 8 = 9 x 5 + 9 x 3 = 45 + 27 = 72;

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9 x 8 = 5 x 8 + 4 x 8 = 40 + 32 = 72; 10 x 8 - 8 = 80 - 8 = 72; 9 x 10 - 9 x 2 = 90 - 18 = 72; etc. Estas "pistas" ficarão registradas nos cadernos para que os alunos possam voltar a elas tantas vezes quanto seja necessário. Toda essa bagagem de conhecimentos constituirá uma trama que contribuirá para o trabalho de memorização das tabuadas que, inevitavelmente, os alunos deverão realizar. Periodicamente, entregue uma série de cálculos para os alunos realizarem individualmente em um curto período de tempo e sem consulta às pistas do caderno, a fim de verificarem se o repertório de cálculos memorizados está aumentando gradativamente.





4- Jogo Multiplicando

Foco: Controlar quais são os resultados das multiplicações que se recordam e quais não. Sistematizar e ampliar o repertório de multiplicações.

Material:

Caderno Lousa, giz

Sugestões: Fale uma multiplicação e anote-a na lousa. Dê um breve tempo para que os alunos,

individualmente, a escrevam em seus cadernos e anotem também seu resultado. Em seguida, dite outra multiplicação e os alunos repetem o procedimento. Mesmo que não lembrem o resultado copiam a multiplicação.

Depois de várias multiplicações, solicite que confiram os resultados com a calculadora. Proponha a discussão coletiva sobre quais foram as multiplicações que vários alunos não puderam

responder ou erraram. Selecione quais multiplicações irão analisar e coordene, uma discussão coletiva entre todos os

jogadores. Peça que, coletivamente, construam “pistas" que permitam recordar essas multiplicações em

uma próxima oportunidade. Oriente os alunos para organizarem as multiplicações que precisam estudar. Para isto, proponha

o trabalho individual no caderno e peça que agrupem as multiplicações mais difíceis, que anotem as pistas sugeridas na aula e que, além disso, solicitem pistas para algumas multiplicações que não foram discutidas coletivamente. Oriente que organizem um estudo diário ao longo dos dias.



Programa de Formação continuada de professores dos anos/séries iniciais do Ensino Fundamental. Pró Letramento. (Fascículo 1): Números Naturais. Brasília: Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica, Universidade de

Brasília - UNB, 2007. (Domínio Público) TABELA Pitagórica para aprender multiplicação. Disponível em: <http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/tabela-

pitagorica-para-aprender-multiplicacao>. Acesso em: 10 dez.2014. 10h.





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5- Jogo Tabuleiro

Foco:

Explorar fatos fundamentais. Material:

Tabuleiro com 36 casinhas, desenhado em cartolina ou qualquer outro papel Dois dados

(Adaptado/Paint)

Os números que nele aparecem são os resultados das multiplicações de 1, 2, 3, 4, 5 e 6 por 1, 2, 3, 4, 5 e 6: 5 x 6 = 30, 1 x 2 = 2, 3 x 3 = 9, 4 x 6 = 24 etc.

Sugestões:

Dividir a turma em duplas. Propor que um aluno jogue contra outro. Na sua vez, cada jogador lança os dois dados, observa

os dois números obtidos e procura, no tabuleiro, o produto dos mesmos, colocando no local um grão de feijão, por exemplo.

O outro jogador deve assinalar seus resultados com outra marca, como tampinhas por exemplo. Vence o jogador que tiver 3 marcadores numa mesma linha, coluna ou diagonal.



6- Gincana da multiplicação

Foco:

Explorar fatos fundamentais. Material: Tabuleiro com 36 casinhas, desenhado em cartolina ou qualquer outro papel Dois dados

INTERNA

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Sugestões:

Divida os alunos em duplas e proponha que um grupo faça perguntas a outro ex.: quanto é 3 x 9?". Ou, então, um grupo diz o produto (por exemplo: 63) e o outro encontra os fatores (7 e 9).

Educador: essas atividades contribuem para a memorização da tabuada. É claro que este esforço de memorização não deve ser intenso. Se um aluno, em algum momento, não se lembrar, por exemplo, de quanto é 7 x 8, é importante que ele tenha a chance de pensar e descobrir por si próprio. É recomendável refletir com eles sobre a necessidade dessa memorização para que apresentem um bom desempenho em situações mais complexas. Dessa forma, a necessidade da memorização justifica-se pois não é à toa que os fatos fundamentais têm esse nome. A fixação dos mesmos é importante para que o aluno compreenda e domine algumas técnicas de cálculo. Na exploração de novas ideias matemáticas (frações, geometria, múltiplos, divisores etc.), a multiplicação aparecerá com frequência. Se o aluno não fixar os fatos fundamentais, certamente apresentará dificuldades na tabuada, desviando sua atenção das novas ideias em desenvolvimento.


Programa de Formação continuada de professores dos anos/séries iniciais do Ensino Fundamental. Pró Letramento. (Fascículo 1): Números Naturais. Brasília: Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica, Universidade de Brasília - UNB, 2007.

(Domínio Público) BERTON, Ivani da C. Borges e ITACARAMBI, Ruth Ribas. Números, brincadeiras e jogos. São Paulo: Editora Livraria da Física,

2009.

5.21 – Multiplicação e Divisão – Fatos Fundamentais no Mapa Curricular

INTERNA

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5.3- Multiplicação e Divisão – Algoritmo

Cálculos e algoritmos

Aprender sobre adição e subtração, multiplicação e divisão, envolve construir estratégias variadas e resolver diferentes problemas. No entanto, é importante lembrar que a compreensão dos conceitos próprios a essas operações requer coordenação com os diferentes sistemas de representação, o que torna clara a importância da interação do aluno com diferentes formas de registros, dentre eles, os numéricos. Portanto, afirmar a necessidade de comprometer o processo de alfabetização matemática com o desenvolvimento das operações de pensamento necessárias para que os alunos se tornem capazes de resolver diferentes situações, não significa dizer que cálculos numéricos não devam ser trabalhados. Pelo contrário, desempenham um papel fundamental no processo. Como afirmam Nunes, Campos, Magina e Bryant: “[...] enfatizar o raciocínio não significa deixar de lado o cálculo na resolução de problemas: significa calcular compreendendo as propriedades das estruturas envolvidas. Destaca-se que à medida que a dificuldade dos problemas avança e o campo numérico é ampliado, os cálculos numéricos tornam-se recursos importantes e necessários para a resolução e é fundamental que sejam trabalhados nas séries iniciais do Ensino Fundamental. O algoritmo da multiplicação

Quando afirmamos a importância do trabalho com cálculos, não estamos nos referindo apenas aos procedimentos de cálculo tradicionalmente ensinados na escola, que envolvem técnicas operatórias determinadas, tais como: “vai um”, “pede emprestado”, “deixar uma casa em branco”, “abaixar o número”, entre outros, usados nos algoritmos tradicionais. Estamos nos referindo também a outros procedimentos de cálculo, como estratégias inventadas pelos alunos e o uso de recursos didáticos como o ábaco, material dourado e a calculadora. Dificilmente os algoritmos tradicionais com lápis e papel são utilizados em situações extraescolares. Muitos adultos e crianças desenvolvem técnicas de cálculo próprias a partir da necessidade de resolver problemas numéricos do seu dia a dia. Dividiremos a etapa de aprendizagem do algoritmo da multiplicação em três estágios. Trabalhar com os alunos diferentes registros e representações pode ajudá-los a compreender as regras do algoritmo. Como na adição e na subtração, enfatizamos que o algoritmo (às vezes chamado de “conta em pé”) só precisa começar a ser utilizado para multiplicações nas quais um dos fatores tem mais do que um algarismo. Multiplicações entre números de apenas um algarismo são fatos básicos (tabuada) e o algoritmo não ajuda a encontrar seu resultado. 1° estágio – Observe como podemos representar a multiplicação de 36 por 4. Faça a seguinte arrumação na conta:

Pergunte aos alunos:

Que resultado obtivemos depois que multiplicamos 4 por (30+6)?

O que precisamos fazer com os resultados 24 e 120 para encontrar o resultado desta multiplicação?

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O aluno deve concluir que é preciso somar estes dois resultados parciais, recorrendo ao algoritmo da adição. Com apoio de material concreto, você pode ajudar seus alunos a compreenderem que multiplicamos 6 unidades por 4 e 3 dezenas também por 4 e que, depois, juntando os resultados encontrados (120 e 24) chegamos ao resultado, 144.

(Adaptado/Paint)

A partir destas experiências, resta apenas associá-las ao registro formal do algoritmo da multiplicação, escrevendo os resultados parciais de forma conveniente para o uso do algoritmo da adição

(Adaptado/Paint)

2° estágio – Incentive o cálculo mental Nesse estágio, a criança já deve ter fixado todo o desenvolvimento do processo para que possa efetuar mentalmente algumas operações. Por exemplo: Para multiplicar 32 por 6, efetue a operação com a criança, mostrando que ao multiplicarmos o 6 por 2, escrevemos como resultado parcial apenas as duas unidades, guardando mentalmente a dezena do produto 12. Explique que esta dezena será adicionada às outras dezenas do produto, quando multiplicarmos as 3 dezenas por 6.

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30

(Adaptado/Paint)

3° estágio – Multiplicação por números de dois dígitos Nesta última etapa, veremos o algoritmo da multiplicação de dois números, cada um deles representado no SDN (Sistema de Numeração Decimal) por dois algarismos. Neste momento, as crianças já devem ter uma base para aprender o algoritmo, o que inclui um mínimo de novas técnicas. Por exemplo: Vamos calcular o produto de 43 por 27. Iniciamos por fazer o produto 7 x 43.

(Adaptado/Paint)

Faça essa etapa com as crianças, mostrando que estamos multiplicando sete unidades por 43 e que o processo é igual ao da etapa anterior. Efetue, agora, o produto das duas dezenas que será adicionado ao produto das unidades. Dê muita ênfase ao valor do 2 no número 27, ou seja, enfatize que ele representa 2 dezenas; logo, nessa segunda multiplicação, estaremos multiplicando o 3 por duas dezenas e obteremos 6 dezenas, que devem ser colocadas na ordem das dezenas. Em seguida, mostre que ao multiplicarmos as duas dezenas por 4 dezenas acharemos 8 centenas, as quais devem ser colocadas na ordem das centenas. O desenvolvimento deste algoritmo deve ser feito através de muitos e variados exercícios.

(Adaptado/Paint)

1) Proposta: Desenvolva as etapas do primeiro estágio para o produto 67 x 8.

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O algoritmo da divisão por subtrações sucessivas O processo das subtrações sucessivas é uma opção para se efetuar a divisão e, tem como ponto de partida, a relação que existe entre a subtração e a divisão. Optamos por apresentá-lo, neste fascículo para enriquecer e ampliar seu conhecimento sobre a divisão. Consideramos que este algoritmo também é uma boa opção para alunos que tenham dificuldades na compreensão e utilização do algoritmo da divisão, apresentado através dos processos longo e abreviado. Quando o processo das subtrações sucessivas é bem explorado, a criança consegue efetuar as etapas necessárias com segurança e estabelece mais facilmente relações com o algoritmo longo da divisão, o que contribui para a compreensão de todo o processo. Apresente o esquema do algoritmo (escreva apenas o 18 e o 3) e converse sobre a forma como ele se apresenta. Paralelamente, dê 18 objetos para os alunos e peça que formem grupos de três elementos. Peça que tirem um grupinho de três elementos de cada vez, e pergunte:

Quantas vezes você tirou grupos de três elementos? (6)

(Adaptado/Paint)

Numa primeira apresentação do algoritmo pelo processo das subtrações sucessivas registre, com seus alunos, cada uma das vezes que retirarem um conjunto de 3 elementos, fazendo perguntas que relacionem a ação sobre os objetos e o registro.

Como descobriremos quantos objetos você retirou, se você retirou uma vez 1 conjunto? (multiplicando 1 por 3).

Quantos objetos você tirou? (3).

Que devo fazer para saber com quantos objetos você ficou? (subtrair 3 de 18).

Posso continuar tirando grupos de três, agora que tenho 15 objetos? (sim) ... continue ...

Agora, que você não pode mais tirar nenhum grupo de 3, responda: quantas vezes você tirou um conjunto de três?” (6)

Que operação você fez para achar essa quantidade?” (adição dos “uns”)

Educador: repita as perguntas até se esgotarem todas as possibilidades de se retirarem grupos de três, observando as quantidades restantes e fazendo o registro no algoritmo depois de cada pergunta; não o apresente pronto como está ilustrado acima. Depois de algumas atividades como esta e entendido o processo, pergunte:

Será que é necessário tirar apenas um grupo de três de cada vez?

INTERNA

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32

Peça que os alunos peguem outra vez 18 objetos e que formem alguns grupos de 3 para se retirar de uma só vez. Vamos “fazer de conta” que um aluno sugira começar tirando 4 grupos de 3 objetos de 18.

(Adaptado/Paint)

A cada passo, continue registrando no quadro o que se faz concretamente:

Quantos objetos você tem agora? (6)

Com essa quantidade você ainda pode formar conjunto de 3? (posso)

Quantos?” (2) “Então, quantas vezes você vai retirar um conjunto de 3? (duas)

Que operação você deve fazer para saber quantos objetos retirou?” (2 x 3)

Que operação você deve fazer para saber quantos objetos sobraram?” (6 – 6)

(Adaptado/Paint)

Quantos objetos você tem agora?” (nenhum)

É possível fazer novos grupos de 3?” (não)

Que operação você deve fazer para calcular o número total de vezes em que você retirou grupos de 3, de 18?” (4 + 2)

Só depois que os alunos já estiverem familiarizados com a técnica do algoritmo, que se baseia em subtrações repetidas, e utilizarem os fatos básicos já conhecidos, é que estarão prontos a aprender situações mais complexas da divisão, como por exemplo, uma divisão de 86 por 5. Escreva no quadro:

(Adaptado/Paint)

Pergunte:

Alguém sabe quantos grupos de 5 temos no número 86?” (vamos supor que tenham dito 8)

Vamos ver se está correta a resposta. Quantos grupos de 5 você formou?” (8)

Que operação você deve fazer para saber quantos objetos você tem que retirar?” (multiplicar 8 por 5)

Que operação você tem que fazer para saber quantos objetos sobraram?” (subtrair 40 de 86)


(Adaptado/Paint)

INTERNA

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Com essa quantidade, você ainda pode formar grupos de 5?” (posso)

Quantos?” (supor que tenham sido 7)

Quanto você vai retirar de 46 então?” (7x5 = 35)

Que operação você deve fazer para saber quantos objetos sobraram? (subtrair 35 de 46)

(Adaptado/Paint)


É possível ainda fazer grupos de 5? (sim)

Quantos?” (a criança a essa altura deve perceber que, com 11, só é possível fazer 2 grupos de 5)

Quantas vezes você retirou agora um conjunto de 5?” (duas)

Que operação você deve fazer agora para saber quantos objetos sobraram? (subtrair 10 de 11)


É possível ainda fazer grupos de 5? (não)

Que operação você deve fazer para calcular o número total de vezes em que você retirou grupos de 5, de 86?” (adicionar 8, 7 e 2, obtendo 17)

(Adaptado/Paint)

2) Proposta: Faça a divisão de 137 por 8 por subtrações sucessivas. Pense em grupos para formar que facilitem suas contas. A partir de suas escolhas, pense em sugestões que você pode oferecer aos alunos para facilitar suas tarefas.

Educador: pelo processo das subtrações sucessivas, também fica fácil convencer seu aluno que o resto de uma divisão nunca pode ser igual ou maior que o divisor, pois, caso contrário, ainda seria possível fazer mais uma subtração. Ele pode e deve chegar, a essa conclusão.

INTERNA

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34

3) Desafie os alunos a resolver situações onde o algoritmo tradicional pode ser substituído por

outras estratégias de cálculo. Veja o exemplo: Determinar o preço a pagar por 8 metros e meio de fita sendo que o metro custa R$ 1,50.

Elabore outras situações para reflexão junto aos alunos;

Educador: para situações como essa, o algoritmo tradicional pode ser substituído por estratégias de cálculo mais eficientes e rápidas, como:

1,5 x 2 metros = R$ 3,00. (preço a cada dois metros) 4 x R$ 3,00 = R$ 12,00. (preço de 8 metros)

R$ 0,75 (preço de meio metro) R$ 12,00 + R$ 0,75 = R$ 12,75 (preço total)

Adultos e crianças constroem métodos próprios de calcular situações-problema do cotidiano. Mesmo sem dominar as técnicas operatórias. Van de Walle (2009) refere-se a essas formas de calcular como estratégias “inventadas” e as define como métodos pessoais e flexíveis de calcular que são compreendidos pela pessoa que os usa. São estratégias que podem ser feitas mentalmente ou por escrito, mais rápidas e menos sujeita a erros do que os algoritmos tradicionais, uma vez que fazem sentido para quem as utiliza. Para ele o desenvolvimento dessas estratégias inventadas, além de proporcionar fluência no cálculo e possibilitar que se tornem mais ágeis e cometam menos erros, expressam uma compreensão rica e profunda do sistema numérico, fornecendo uma base sólida para o cálculo mental e por estimativas e contribuem para o envolvimento num processo de “fazer matemática”.

A importância de trabalharmos com cálculos na escola de modo distinto ao que é tradicionalmente trabalhado e de modo bastante semelhante ao realizado por adultos e crianças fora do contexto escolar já foi defendida por Parra (1996), também há algum tempo. Sua proposta envolve trabalhar com cálculos que denominou “pensados” ou “refletidos”, ou seja, procedimentos mentais ou escritos selecionados em função dos números e da operação envolvida num problema, não automatizados e diferentes dos algoritmos tradicionais, mas apoiados nas propriedades do sistema de numeração decimal e nas propriedades das operações. Esses cálculos colocam em ação, conforme a autora, diferentes relações entre os números. Em outras palavras, permitem “raciocinar” sobre o que está sendo feito, ao contrário de utilizarem algoritmos de forma mecânica. Estratégias de cálculo diferentes das tradicionais são construídas a partir da compreensão das propriedades das operações e do Sistema de Numeração Decimal de quem as “inventa”. Por exemplo, cálculos realizados por decomposição de números são utilizados com frequência por facilitar e tornar mais ágil o processo e estão apoiados na compreensão do princípio aditivo do sistema de numeração decimal.

A proposta didática de Parra (1996) é que os alunos possam articular o que sabem com o que têm que aprender diante de situações partindo da análise dos dados, buscando os procedimentos que lhes pareçam mais úteis, discutindo suas escolhas e analisando sua pertinência e sua validade. Nessa perspectiva, cada cálculo é um problema novo e o caminho a ser seguido é próprio de cada aluno, o que faz com que para uns possa ser mais simples e, para outros, mais complexo.

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O fato é que, estratégias de cálculo construídas a partir dos conhecimentos que já fazem parte da bagagem dos alunos e a partir das relações sobre os números e operações que os envolvem, costumam ser mais rápidas e eficientes para quem as utiliza. Estratégias como essas não surgem do nada. Precisam ser trabalhadas em sala de aula.

Bibliografia consultada: BIGODE, Antonio J. L.; FRANT, Janete Bolite. Matemática: Soluções para dez desafios do educador. São Paulo: Editora Ática, 2011.

BORIN, J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática. São Paulo: IME-USP, 1996. CARDOSO, V. C. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo: IMEUSP, 1996.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO BÁSICA. DIRETORIA DE APOIO À GESTÃO EDUCACIONAL. Pacto nacional pela alfabetização na idade certa: operações na resolução de problemas. Brasília: MEC, SEB, 2014.

PROGRAMA de Formação continuada de educadores dos anos/séries iniciais do Ensino Fundamental. Pró Letramento. (Fascículo 2): Operações com Números Naturais. Brasília: Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica, Universidade

de Brasília, 2007. (Domínio Público)

4) Avançando com o resto

Foco:

Explorar estratégias de divisão.

Materiais:

Tabuleiro (modelo abaixo). 1 dado de 6 faces.

Disponível em: <http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/matematica/extensao/lab-mat/jogos-no-ensino-de-matematica/>. Acesso em 14 nov. 2014. 9h15min.

Sugestões:

Divida os alunos em duas equipes e oriente-os para que joguem alternadamente. Cada equipe movimenta a sua ficha colocada, incialmente, na casa de número 39, e na sua vez, joga o dado e faz uma divisão em que:

o dividendo é o número da casa onde sua ficha está;

o divisor é o número de pontos obtidos no dado.

http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/matematica/extensao/lab-mat/jogos-no-ensino-de-matematica/


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Em seguida, calcule o resultado da divisão e movimente sua ficha o número de casas igual ao resto da divisão.

A equipe que, na sua vez, efetuar um cálculo errado perde a vez de jogar. Cada uma deverá obter um resto que chegue exatamente à casa marcada FIM sem ultrapassá-la,

mas se isso não for possível, ela perde a vez de jogar e permanece no mesmo lugar. Vence a equipe que chegar primeiro ao espaço com a palavra FIM.

Bibliografia consultada: BORIM, Julia - Jogos e Resolução de problemas: Uma estratégia para as aulas de Matemática – IME-USP, 1996.

KAMII, C.; JOSEPH, Linda L. Crianças pequenas continuam reinventando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. Trad. Vinicius Figueira – 2ª ed. Campinas, SP. Artmed, 2005.

5.31 - Multiplicação e Divisão – Algoritmo no Mapa Curricular

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5.4- Multiplicação e Divisão – Cálculo Mental

Educador: o Cálculo Mental é reflexivo, no sentido de que, cada vez que os realizam, os alunos devem tomar decisões. Não se aplica automaticamente um mesmo método para todos os casos. Para decidir os procedimentos que permitem o controle e o seu uso é necessário dispor de certos recursos na memória. Para realizar qualquer tipo de cálculo é preciso ter resultados parciais. Vide texto Fascículo 4 p. 63 a 66 que amplia a visão sobre procedimentos e uso do Cálculo Mental.

Segue algumas atividades e jogos

1- Batalha das Operações:

Foco: Explorar procedimentos de cálculo mental apoiados nas propriedades do Sistema de Numeração

Decimal e das Operações. Desenvolver a agilidade no cálculo mental.

Material:

20 cartas (duas de cada valor), sendo elas múltiplos de 2, 5 ou 10 Sugestões:

Divida a turma em duplas e combine a operação a ser utilizada (Multiplicação / Divisão / Subtração / Adição).

Peça que embaralhem as cartas e distribuam aos jogadores, sendo 10 para cada um. Oriente para que, sem olhar, cada jogador faça a sua frente uma pilha com as cartas viradas para

baixo. A um sinal combinado, os dois jogadores simultaneamente viram as primeiras cartas de suas

respectivas pilhas. O jogador, que primeiro disser o resultado da subtração, adição ou multiplicação entre os números mostrados nas duas cartas, fica com elas.

Exemplo de tabela de multiplicação:

Algumas possibilidades:

Peça aos alunos para registrarem as operações utilizadas;

http://www.eja.educacao.org.br/areadoeducador/Socializao%20de%20Prticas%20Pedaggicas/Coletânea%20de%20Jogos%20e%20Situações-problemas/Fascículo%204_Matemática_2014_Operaçãoes_Rew.pdf

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Sugira que, enquanto jogam, anotem em quais as tabuadas há mais dificuldades. Combine

um tempo para estudo na semana e agende um novo jogo para que avaliem se houve

mudanças.

Faça adaptações do jogo ampliando o grau de dificuldades utilizando as quatro operações.

SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; CANDIDO, P. Jogos de Matemática de 1º ao 5º ano. Porto Alegre: Artmed, 2007. (Série Cadernos do Mathema - Ensino Fundamental).

2- Multiplicação e divisão de números naturais por base 10 Foco:

Observar a regularidade envolvida na multiplicação e na divisão de um número natural por 10, 100 ou 1.000.

Explicitar as operações ocultas no sistema numérico e compreender que elas determinam a posição ocupada pelos algarismos em todos os números.

Utilizar a estratégia multiplicativa por potências de 10 para resolver problemas com o cálculo mental.

Material:

Uma calculadora por aluno ou por dupla Sugestões:

Apresente aos alunos uma lista de multiplicações por 10 envolvendo unidades, dezenas e centenas. Por exemplo: 4 X 10, 25 X 15, 3 X 10, 30 X 10 e 300 X 10.

Peça que eles resolvam utilizando a calculadora. Caso não saibam operá-la, realize algumas atividades para que se familiarizem com a máquina e, durante a atividade, circule pela sala para verificar possíveis dificuldades.

Solicite que anotem os resultados. Os cálculos podem ser feitos individualmente ou em duplas. Em seguida, com a ajuda da turma, levante quais os resultados obtidos e anote-os no quadro.

Pergunte o que eles podem observar em relação aos resultados das multiplicações. Questione se há alguma semelhança entre eles e qual é.

Educador: é importante que eles não só notem que ao multiplicar um número natural por 10 acrescenta-se o zero à direita desse número. É preciso que compreendam que o valor muda com o acréscimo do dígito à direita, o número passa para outra ordem de grandeza. Para trabalhar isso, problematize os resultados obtidos. Por exemplo, em 72 X 10 = 720, questione se o 2 tem o mesmo valor em 72 e em 720 e quais são os valores em cada situação. Os alunos devem notar que no número 72, o 2 vale dois e que em 720, representa vinte. Isto é, a classe identificará a multiplicação oculta no sistema numérico que determina a posição que os algarismos ocupam nos números.

Selecione alguns números e pergunte à classe quais deles poderiam ser resultado de uma multiplicação por 10. Você pode usar, por exemplo: 168, 7.980, 7.809, 9.800, 5.076 e 3.460. É esperado que os alunos respondam que podem ser todos os terminados em zero (no caso dos exemplos, 7.980, 9.800 e 3.460). É possível que eles fiquem em dúvida se 9.800 é uma resposta válida, pois termina em dois zeros. Problematize a questão.

Proponha aos alunos que completem a tabela:

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Cálculo Quociente Resto

20 : 10

340 : 10

1.230 : 10

1.235 : 10

1.230 : 100

Faça o mesmo processo da etapa anterior, pedindo que os estudantes usem a calculadora nas resoluções e observem a regularidade envolvida nos resultados. Na divisão, o processo é o oposto da multiplicação, a ordem de grandeza diminui e quando o número natural termina em zero, deve-se retirar no número um, dois ou três zeros.

Proponha agora multiplicações e divisões por 100 e por 1.000. Siga a mesma sequência realizada na multiplicação de números naturais por 10, selecionando os números para os cálculos com intencionalidade.

Por exemplo, para a multiplicação por 100, proponha 23 X 100, 20 X 100, 105 X 100, 123 X 100 e 120 X 100.

Questione o que os alunos podem concluir sobre as multiplicações e divisões realizadas nesta etapa.

Educador: para sistematizar as descobertas, escreva coletivamente a regra no quadro e oriente que todos a anotem no caderno. Espera-se que os alunos tenham identificado a regularidade envolvida nos processos multiplicativos. Multiplicar qualquer número natural por 10, 100 e 1.000 muda a ordem de grandeza, acrescentando-se um, dois ou três zeros, respectivamente, à direita da cifra. Por exemplo, em 23, o 3 vale três, mas depois que ele é multiplicado por 100, resultando em 2.300, o 3 vale trezentos. Explique que a regra elaborada em conjunto pode ser utilizada para solucionar outros cálculos, a fim de agilizar e facilitar a resolução. Assim, não há a necessidade de "armar a conta" nem utilizar a calculadora.

Desafie os alunos apontarem em quais dos números a seguir poderiam ser resultado de uma multiplicação por 100: 450, 400, 2.350, 2.300, 2.003, 2.030 e 1.200.000. Observe as respostas apresentadas e questione as escolhas: 2.030 pode ser resultado de uma multiplicação por 100? Por quê? E 1.200.000?

Peça que os alunos resolvam mentalmente novos cálculos envolvendo 10, 100 e 1.000 (sem usar a calculadora). Peça que utilizem o que aprenderam sobre a regularidade envolvida nesse tipo de cálculo sistematizado anteriormente. Quando terminarem os cálculos, oriente as crianças a checar os resultados na calculadora para conferir se estão corretos. Por exemplo:

45 X ___ = 4.500 128 X ___ = 1.280 17 X ____ = 17.000 ___ X 10 = 320 ___ X 100 = 800 ___ X 100 = 1.300 ___ X 100 = 4.000 ___ X 1.000 = 7.000 ___ X 1.000 = 29.000 ___ X 1.000 = 50.000

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Oriente, em seguida, o grupo a registrar as divisões que podem ser elaboradas com base nas multiplicações feitas nessa etapa, por exemplo, em referência à primeira (45 X ___ = 4.500), é possível ter 4.500 : 100 = 45 e 4.500 : 45 = 100.

Desafie os estudantes a resolver outra série de cálculos com múltiplos de 10, 100 e 1.000 (como 20, 320 e 1.300) usando procedimentos próprios. Assim como na etapa anterior, a calculadora só deve ser usada ao final da atividade, para conferir os resultados.

Peça que registrem as estratégias usadas.

Educador: ao se apropriarem das multiplicações e divisões trabalhadas anteriormente, os alunos começam a utilizá-las como apoio na resolução de cálculos mais complexos, como os propostos agora. Eles podem lançar mão da decomposição dos números, por exemplo. Caso o cálculo seja 20 X 43, a turma pode, por exemplo, fazer 10 X 2 X 43.

Socialize as estratégias, perguntando como os estudantes resolveram os cálculos. Registre no quadro as diferentes propostas para que todos possam se apropriar das estratégias dos colegas.

Elabore uma série de situações-problema envolvendo as multiplicações e divisões por 10, 100 e 1.000, como:

Marina guarda anéis e pulseiras em caixinhas. Em cada uma delas, podem ser colocadas 10 peças. Se Paula tem 8 caixas, quantas bijuterias ela pode guardar?

Oriente a resolução em duplas, para que o grupo possa debater as estratégias. Quando todos tiverem terminado, organize a socialização das estratégias.

Bibliografia consultada: Bibliografia consultada: BIGODE, Antonio J. L.; FRANT, Janete Bolite. Matemática: Soluções para dez

desafios do educador. São Paulo: Editora Ática, 2011. MULTIPLICAÇÃO e divisão de números naturais por base 10. Disponível em: <http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-

aula/multiplicacao-e-divisao-de-numeros-naturais-por-base-10>. Acesso em: 10 dez. 2014. 09h05min.

3- Divisões equitativas

Foco:

Resolver problemas de divisão com procedimentos numéricos. Relacionar a divisão com a multiplicação. Construir tabuadas proporcionais e análise das primeiras relações numéricas multiplicativas. Explorar estratégias de cálculo mental para resolver multiplicações e divisões.

Material:

Papel para confeccionar um cartaz e pincel atômico Sugestões:

Proponha o seguinte problema para ser resolvido individualmente: Maria ganhou um buquê com 12 flores e colocou-as em 2 vasos. Quantas flores ela colocou em cada vaso?

Entregue uma folha para cada aluno fazer registros e resolver o problema. Assim que todos terminarem de resolver, compartilhe os resultados.

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Faça questionamentos supondo que os alunos dividirão as flores de maneira equitativa. Pergunte, então, se é possível distribuí-las de maneira não equitativa. Retome o enunciado e discuta as possíveis respostas.

Peça que digam o que o enunciado deveria explicitar para que cada vaso recebesse a mesma quantidade de flores.

Educador: a discussão deve mostrar que não há necessidade de se colocar o mesmo número de flores, já que não foi solicitado que se faça a divisão equitativa. A finalidade desse trabalho é que, diante das propostas, os alunos analisem se há ou não uma restrição de divisão equitativa. Ler enunciados, revisá-los, transformá-los, considerar a quantidade de soluções possíveis faz parte da tarefa de aprender a resolver um problema. Se você julgar que os números envolvidos na tarefa não representam desafios para seus alunos, proponha essa mesma discussão e conclusão com números maiores.

Proponha um novo problema, ainda com a finalidade de promover reflexões sobre as divisões equitativas e não equitativas: Maria ganhou um buquê com 12 flores e quer colocar 3 flores em cada vaso. De quantos vasos Maria precisará?

Peça que os alunos tentem resolver o problema individualmente e que depois compartilhem os resultados. Compare e relacione as estratégias que utilizam desenhos (gráficos) e números.

Educador: muitos dos alunos já conseguem utilizar procedimentos numéricos, como subtrações e adições sucessivas, para resolver problemas de divisão como este. Produza um cartaz, com os registros dos diferentes procedimentos utilizados pela turma. Se nas primeiras etapas a divisão apresentada nos problemas não era equitativa, nesta, o desafio envolve esse tipo de divisão. Explicite essa decisão aos alunos e discuta com eles os conhecimentos que já têm e podem usar para resolvê-los. Exemplo: se o problema envolver repartir por dois, o conhecimento de dobros e metades de certos números funcionará como um recurso disponível.

Proponha que resolvam o seguinte: Tenho 45 reais e gasto 5 reais por dia de transporte. Para quantos dias o meu dinheiro será suficiente?

Educador: os alunos podem resolver esse problema por meio de diferentes recursos: subtrações sucessivas, contagem de 5 em 5, até chegar aos 45. Sugira que, nesta aula, os alunos utilizem procedimentos numéricos - e não desenhos. Se necessário, relembre os procedimentos expostos no cartaz e diga aos estudantes que os utilizem como suporte e discutam as diferentes estratégias. Incentive-os a abandonar estratégias gráficas em favor das numéricas - caso elas não apareçam, apresente-as.

Faça a tabulação das estratégias usadas na resolução dos problemas, observando os avanços dos estudantes e verifique quais passaram a utilizar procedimentos numéricos.

Os resultados serão importantes no planejamento das aulas seguintes. Para que as aulas de matemática se convertam em um ambiente de trabalho propício para a elaboração de diversas estratégias, é importante promover, após a resolução de um problema, uma instância de trabalho coletivo que permita compará-las. O registro das conclusões ou dos diversos recursos possíveis em cartazes e nos cadernos ajudará os alunos a se apropriar do que foi produzido coletivamente em aula.

Bibliografia consultada: BIGODE, Antonio J. L.; FRANT, Janete Bolite. Matemática: Soluções para dez desafios do educador. São Paulo: Editora Ática, 2011. DIVISÕES equitativas. <http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/divisoes-equitativas>.

Acesso em 29 set. 2014. 15h25min.

http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/divisoes-equitativas

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4- Feche a caixa (multiplicação)

Foco:

Desenvolver estimativa, cálculo mental envolvendo adição e multiplicação.

Materiais:

Tabuleiro, 40 marcadores e dois dados (1 de 6 faces e 1 de 10 faces)

(Adaptado/Paint)

Sugestões:

Distribuir o material para as duas equipes. Decidir qual das equipes iniciará o jogo. O jogador joga os dois dados e multiplica os números obtidos. Ele poderá cobrir (fechar) a casa

com o resultado obtido ou com as casas correspondentes a decomposição do resultado na soma de dois ou mais números.

Vence a equipe que cobrir todas as casas do seu tabuleiro.

Possibilidades:

Uma alternativa para o jogo é cobrir apenas um dos lados da caixa, não considerando o lado

pintado.

Se depois de três jogadas de uma equipe, nenhuma casa for coberta, encerra-se o jogo. Ganha a equipe que estiver com maior número de pontos através dos valores das casas fechadas.

Bibliografia Consultada. FECHE a caixa. Disponível em: <http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/matematica/extensao/lab-mat/jogos-no-ensino-de-matematica/.>. Acesso

em: 26 out.2014. 22h59min.


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5- Gincana matemática

Foco:

Desenvolver cálculo mental envolvendo as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.

Material:

Cartões com expressões numéricas. Ex.:

(Adaptado/Paint)

Sugestões:

Divida a turma em dois times. Embaralhe os cartões, dispostos em duas pilhas sobre uma mesa, sendo 15 em cada pilha. Os jogadores (1 de cada time por vez) devem ir até a mesa, pegar um cartão da pilha e, ir ao

quadro, colocar e resolver a expressão matemática. Ganhará 2 pontos da rodada o jogador que retornar primeiro à mesa com a resposta correta e 1

ponto o jogador que retornar depois com a resposta correta. Se o jogador chegar primeiro mas a resposta estiver errada, não leva ponto. Se o adversário

estiver com a resposta correta, leva o ponto mesmo tendo chegado por último. Se os dois jogadores chegarem juntos, e ambos estiverem com a resposta correta, ambos levam

2 pontos. Se ambos errarem, ninguém leva o ponto. A equipe que soprar perderá um ponto. Vence o time que tiver mais pontos.

Bibliografia consultada: GINCANA matemática. Disponível em: <http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/matematica/extensao/lab-mat/jogos-no-ensino-de-matematica/.>.

Acesso em: 26 out.2014. 22h59min.


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6- Dominó das operações com números naturais

Foco:

Utilizar o cálculo mental envolvendo as operações fundamentais com números naturais.

Material:

Dominó com operações. Ex.:

(Adaptado/Paint)

Educador: crie várias peças do dominó, observando o nível de dificuldades de acordo com a turma e foco para o trabalho. Elabore peças para todas as operações e utilize as quatro operações em uma única vez, respeitando o número de peças.

Sugestões:

Forme grupos de 4 participantes.

Distribua sete peças do dominó para cada participante.

Combine uma estratégia de saída para iniciar o jogo. O próximo participante a jogar será o imediatamente à direita daquele que inicia a partida; caso este não tenha a pedra, "passará a vez" ao próximo e assim sucessivamente.

Peça aos participantes para registrarem as operações realizadas durante o jogo.

Será vencedor aquele que primeiro conseguir encaixar, no dominó exposto à mesa, todas as suas peças.

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Caso não haja opções de jogada para nenhum dos participantes (fechamento do jogo), o vencedor será aquele que tiver a menor quantidade de peças nas mãos; persistindo o empate, o vencedor será o que tiver a peça de menor valor.

Promova um momento de reflexão sobre as operações realizadas, observando os registros de acertos e erros dos alunos, bem como as estratégias de cálculos utilizadas.

Bibliografia consultada: Bibliografia consultada: DOMINÓ das operações com números naturais. Disponível em:

<http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10748>. Acesso em 12 dez.2014. 11h37min.

7- Cinco em linha

Foco:

Utilizar o cálculo mental envolvendo as operações fundamentais com números naturais. Material:

Tabuleiro e fichas (marcadores)

(Adaptado/Paint)

Sugestões:

Divida a turma em duas equipes. Cada uma das equipes recebe 20 fichas (marcadores). A primeira equipe a jogar escolhe dois números do tabuleiro menor indicando-as à equipe

adversária. Em seguida calculam, dizendo em voz alta, o produto dos números escolhidos, procuram este

valor no tabuleiro maior e colocam sobre ele um de seus marcadores. Uma vez colocada esta ficha não pode mais ser retirada. Se a equipe, na sua vez, errar ou fizer uma multiplicação ou divisão que já tenha sido marcada,

passa a vez sem colocar nenhuma ficha. Ganha o jogo a primeira equipe que conseguir cobrir cinco números seguidos do tabuleiro maior,

em qualquer direção (horizontal, vertical, diagonal). Se nenhuma equipe conseguir colocar cinco fichas em linha e o tabuleiro ficar completo, ganha o

jogo a que tiver colocado mais marcadores no tabuleiro.

Bibliografia consultada: CINCO em linha. Disponível em: <http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/matematica/extensao/lab-mat/jogos-no-ensino-de-matematica/>. Acesso em

16 dez. 2014. 11h46min.>. Acesso em: 26 out.2014. 22h59min.

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10748


http://www.ibilce.unesp.br/Home/Departamentos/Matematica/labmat/cinco_em_linha_multiplicacao.pdf

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8- Adivinhe a multiplicação

Foco: Relacionar os fatores da multiplicação ao produto entre eles e desenvolver estratégias de cálculo

mental. Refletir sobre o seu desempenho no conhecimento das tabuadas.

Material:

Todas as cartas de um baralho comum, exceto damas, reis e valetes Sugestões:

Divida a turma em trios, sendo um juiz e dois jogadores. Peça aos alunos que decidam quem será o juiz. Esse deve embaralhar as cartas e dar a metade delas para cada jogador. Nenhum deles poderá ver as cartas que tem.

Os dois jogadores sentam-se um de frente para o outro e cada um segura suas cartas viradas para baixo.

A um sinal do juiz, os dois jogadores pegam a carta de cima de seus respectivos montes e falam adivinhe, segurando-a perto de seus rostos, de maneira que possam ver somente a carta do adversário.

O juiz usa os dois números a mostra e diz o produto. Cada jogador tenta deduzir o número de sua própria carta apenas olhando a carta do adversário e conhecendo o produto falado pelo juiz. Por exemplo, um jogador viu um 6 e o outro viu um 5 e o produto dito pelo juiz foi 30. O jogador para levar as duas cartas deve dizer 6 e 5 ou 5 e 6.

O jogador que disser primeiro o número das duas cartas fica com elas. O jogo acaba quando as cartas acabarem. Ganha o jogo quem tiver mais pares de cartas no final.

Algumas possibilidades:

Proponha o jogo pela primeira vez sem avisar os alunos. Deixe que eles percebam suas

próprias dificuldades com a tabuada.

Em um segundo momento, proponha o jogo avisando os alunos. Peça que estudem e se

preparem e observem o seu desempenho com as tabuadas.

Bibliografia consultada: SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; CANDIDO, P. Jogos de Matemática de 1º ao 5º ano. Porto Alegre: Artmed, 2007. (Série Cadernos do Mathema - Ensino Fundamental).

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5.41- Multiplicação e Divisão – Cálculo Mental no Mapa Curricular

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5.5 – Multiplicação Medidas de Tempo

Como medir o tempo? Para medir-se o tempo é necessário um referencial e um evento que se repita com regularidade, p. ex., a rotação da Terra. […] O tempo marcado pelo relógio não é universal, mas sim uma construção histórica. Medir o tempo significa em princípio registrar coincidências. Quando alguém marca um compromisso, digamos às 13:00 horas do presente dia, está informando que ela estará no local combinado quando o ponteiro grande do relógio colocado naquele local coincidir com a marca no dial sobre a qual há a inscrição "12", e o ponteiro pequeno coincidir com a marca associada à inscrição "1".

A medida de tempo requer, portanto, um aparelho que produza eventos repetitivos e regulares - o relógio.

[…] Embora relógios com elevada precisão sejam artefatos encontrados com uma enorme facilidade nas mais variadas formas, modelos e tamanhos nos dias atuais, e às vezes custando menos que banana, tal precisão e acessibilidade é algo muito recente na história das sociedades. Na época das grandes navegações, há cerca de 500 anos atrás, dispositivos como estes estavam apenas nos sonhos dos navegadores. A história do relógio dá por si só um livro, e prêmios milionários eram oferecidos para quem conseguisse construir um relógio com precisão requerida à navegação àquela época, visto que a determinação da longitude quando em alto mar não era viável através da observação das estrelas a menos que se estivesse de posse de tal equipamento com precisão razoável. Em suas primeiras versões, a construção de relógios com incertezas de dezenas de minutos ao dia já implicava um grande progresso.

Na ausência de relógios artificiais a humanidade valeu-se, ao longo de sua história, da regularidade observada em certos fenômenos naturais, com destaque para os astronômicos, para estabelecer seus padrões para a determinação e medida do tempo: nestes termos à rotação da Terra devemos o intervalo de tempo conhecido por 1 dia, às fases da Lua devemos a definição de semana - período equivalente a 7(sete) dias; a Lunação serviu de base para a definição de mês, à Translação da Terra devemos o conceito de ano, e assim por diante.

As unidades de tempo mais usuais são o dia, dividido em horas, e estas em minutos, e estes em segundos. Os múltiplos do dia são a semana, o mês, e o ano, e este último pode agrupar-se em décadas, séculos e milênios.

MEDIÇÃO do tempo. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Tempo#Medi.C3.A7.C3.A3o_do_tempo>. Acesso em: 17 dez.2014. 09h59min.

Educador: o foco para as atividades a seguir é introduzir o trabalho com medidas de tempo de períodos longos (ano, mês, semana e dia) e fazer com que o aluno perceba a relação existente entre essas diversas unidades.

1- Dias, meses e anos

Escreva o dia, mês e o ano do seu nascimento.

Dia Mês Ano

Agora responda:

a) Quantos anos você tem? ___________________________________

http://pt.wikipedia.org/wiki/Referencial

http://pt.wikipedia.org/wiki/Terra

http://pt.wikipedia.org/wiki/Rel%C3%B3gio

http://pt.wikipedia.org/wiki/Luna%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Transla%C3%A7%C3%A3o_da_Terra

http://pt.wikipedia.org/wiki/Dia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hora

http://pt.wikipedia.org/wiki/Minuto

http://pt.wikipedia.org/wiki/Segundo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Semana

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%AAs

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ano

http://pt.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9cada

http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Mil%C3%AAnio

INTERNA

_____________________________________________________________________________________



49

b) Você acha que tem mais ou tem menos que 500 meses? __________

c) Você acha que tem mais ou tem menos que 1000 dias? ___________

Educador: o importante dessa questão é que os alunos percebam que podemos calcular a nossa idade tanto em anos como em meses ou dias. Podemos também usar unidades menores como horas, minutos ou até segundos. Não se espera que saibam fazer os cálculos exatos, mas que percebam que há essa possibilidade. Oriente os alunos para que registrem os cálculos utilizados para se chegar ao resultados das alternativas “b” e “c”.

2- Os meses do ano e o ano

Observe um calendário e complete a tabela, colocando os nomes dos meses que tem 30 dias e os que tem 31 dias.

Total de dias 30 31

Nome dos meses

Agora responda:

a) Todos os meses foram colocados na tabela? Faltou algum? Qual e por quê? _____________________________________________________________________________________ b) Quantos meses tem o ano? __________________________________

c) Quantos dias tem o ano? ____________________________________

3- Continuando a explorar o calendário

Pegue os calendários desse ano e do ano passado. Observe e registre quantos dias teve o mês de Fevereiro:

Fevereiro desse ano: _________________________________________

Fevereiro do ano passado: ____________________________________

Educador: explore com os alunos - Um ano é o tempo que o planeta Terra demora para dar uma "volta completa" ao redor do Sol. Esse tempo, contando em dias, seriam 365 dias e 6 horas. Como um dia tem 24 horas, essas 6 horas que "sobram" a cada ano vão ficando acumuladas. Após 4 anos, essas horas que “sobram” já fazem um total de 24 horas, acrescentando um dia a esse ano. Assim, a cada 4 anos, o mês de fevereiro tem 1 dia a mais, ficando com 29 dias. Quando isso acontece, o ano é chamado de bissexto.

Agora, uma pergunta: O ano 2000 foi bissexto. Quais foram e serão os próximos anos bissextos até o ano 2030?

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

INTERNA

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50

4- Consultando o calendário do ano e do ano passado

Pegue os calendários deste ano e do ano passado, faça as consultas e responda:

a) Em que dia da semana vai terminar o Programa de Alfabetização? __________________

b) Em que dia da semana começou o ano passado? ________________

c) Em que dia da semana caiu ou cairá o seu aniversário neste ano? ________________________

d) E no ano passado, em que dia da semana caiu o seu aniversário? _________________________

f) Em que dia da semana vai começar o próximo ano? __________________

h) Que dia do mês é hoje? ____________________________________

j) Que dia da semana é hoje? _________________________________

l) Se a alfabetizadora disser: "Daqui a duas semanas nós faremos uma prova". Em que dia da

semana e do mês cairá essa prova? ____________________________

m) E se ela disser: “O Campeonato de Futebol do nosso Estado vai começar amanhã e vai durar 15

dias". Em que dia do mês e da semana vai começar e acabar esse campeonato?

Início: Término

Educador: o foco dessa atividade é fazer com que os alunos se familiarizem com o uso do calendário e percebam que o dia da semana muda quando pensamos na mesma data de um ano para outro. As respostas às questões dependem dos anos dos calendários usados.

5- Juntando os meses

Você já deve ter ouvido os seus professores falarem coisas como estas:

"Já estamos quase no fim do semestre, logo vão chegar as férias" ou "Você teve um bom aproveitamento nesse bimestre".

O que significam essas palavras?

Semestre __________________________________________________

Bimestre __________________________________________________

Educador: para facilitar o planejamento e o controle do tempo do ano, os meses podem ser agrupados:

■ de 2 em 2 formando os bimestres

■ de 3 em 3 formando os trimestres

■ de 6 em 6 formando os semestres

INTERNA

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51

Sabendo isso responda:

a) Quantos bimestres tem o ano? _________________________________

b) E quantos trimestres? ________________________________________

E agora, consultando o calendário, responda:

a) No próximo semestre, minha prima vai morar em outra cidade. Que meses do ano ela passará na nova cidade?

____________________________________________________________________________________

6- Explorando o relógio

Imagine se o mostrador fosse assim:

(Adaptado/Paint)

Teríamos que considerar que os números de dentro estariam marcando as horas até o meio-dia,

e os de fora do meio dia até à meia noite. Mas os mostradores dos nossos relógios não são assim! Veja o que acontece após o meio-dia:

(Adaptado/Paint)

Está certo eu falar que agora é 1 hora? Podemos dizer que são treze horas ou uma hora da

tarde. As duas formas estão corretas. Então podemos fazer a seguinte correspondência:

• 13 horas correspondem a 1 hora, portanto dizemos 1 hora da tarde.

• 14 horas correspondem a 2 horas, portanto dizemos 2 horas da tarde.



a) Agora é sua vez. Continue a correspondência.

17 horas ________________________________________________

18 horas ________________________________________________

INTERNA

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19 horas ________________________________________________

b) A cada frase, utilize o relógio para representar os horários:

Ontem fui dormir às 22h.

(Adaptado/Paint)

Hoje acordei às 07 horas.

Fui ao cinema assistir um filme que começou às 19 horas.

Quando saí do cinema o relógio marcava 21 horas.

INTERNA

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Educador: o foco dessa atividade, além da representação de horários depois das 12 horas, é o de perceber como os alunos lidam com a contagem das horas.

Agora responda:

Quantas horas dormi?

Quantas horas durou o filme?

7- Pense e responda

a) A minha aula de Inglês começa às 10 horas e termina às 11 horas e 35 minutos. Quanto tempo

dura essa aula?

b) Saímos de casa para passear ao meio dia e só voltamos às 10 horas da noite. Quanto tempo

durou o passeio?

c) Quando comecei a estudar para as provas finais, o relógio da sala marcava 11:00 e quando parei

14:35. Quanto tempo estudei? _______________

Educador: o foco dessa atividade é levar o aluno a identificar relações entre horas, minutos e segundos, lidando com trocas diferentes daquelas da base dez (aqui, as trocas são realizadas com agrupamentos de 60 unidades).

8- Leia a história

"No último dia letivo, antes das férias a alfabetizadora chegou dizendo que iríamos ter um dia diferente: em vez de 2 horas ficaríamos 3 horas." Escreveu no quadro a programação:

(Adaptado/Paint)

INTERNA

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Eu e meu amigo ficamos tentando achar as 3 horas. Faça o mesmo, resolva do seu jeito e

compartilhe com a turma. Observe se alguém resolveu de forma diferente da sua.

No último dia letivo, a escola realizou também uma gincana para as crianças e uma das

brincadeiras era colocar o tênis e amarrar mais rápido. Veja o resultado:

Aluno

Tempo

Paulo 190 segundos

Meire 120 segundos

João 2 minutos

a) Quem foi o mais rápido?

_______________________________________________________

b) Como você e seus colegas descobriram a resposta? ___________________________________

Educador: o foco desta atividade é que o aluno perceba a relação entre minutos e segundos (1m = 60s), trabalhando com trocas e fazendo comparação. Valorize as justificativas dos alunos e estimule as discussões entre os grupos. É interessante conversar com os alunos sobre as situações em que há necessidade de contar o tempo em segundos. Por exemplo: corridas de automóveis, "batidas" do coração durante um exame médico, competição de natação (e outras modalidades esportivas) etc. Nesse momento, deve-se destacar também a diferença entre os ponteiros do relógio.

9- Mais algumas situações para resolver

a) Paula e Mário foram assistir uma partida de vôlei. Ao final, quiseram saber quanto tempo o jogo tinha durado. Olharam para a placa indicativa:

INTERNA

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Quanto tempo durou a partida?

_________________________________________________________

Educador: nesse caso os alunos devem proceder juntando os minutos e trocando por uma hora toda vez que completarem 60 minutos.

b) Severino foi comprar uma passagem de ônibus para ir da sua cidade, Belo Monte, à cidade de

seus primos, Paraíso. Depois que comprou a passagem para o ônibus das 7h35min, quis saber quanto tempo duraria a viagem. Olhou para o cartaz que estava ao lado do vendedor:

Severino ficou confuso! Ajude-o a descobrir quanto tempo vai durar a viagem.

Ele quis também saber a que horas chegaria na cidade de seus primos se tomasse o ônibus

das 17h45min. E pensou: "Se a viagem durasse o mesmo tempo, era só somar..." Mas

novamente teve dificuldade! Tente achar o horário da chegada de Carlos a Paraíso.

Educador: aqui, há a necessidade da destroca, pois estamos lidando com uma subtração. a) Temos que achar a diferença entre 10h10 min e 7h35min: 10h10 min - 7h35 min = trocando 1 hora por 60 minutos para facilitar a subtração temos: 9h70 min - 7h35 min = 2h35 min. Valorize e explore com os alunos todas as formas de cálculo, com certeza vão aparecer várias estratégias de resolução, essa é apenas a mais formal.

Bibliografia consultada para as atividades de 1 a 9: PROGRAMA gestão da Aprendizagem Escolar - Gestar I. Matemática:

Atividades de Apoio à Aprendizagem 1 – AAA3: Medidas e Grandezas. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica. FNDE/MEC, 2007.

MEDIDA de tempo no calendário. Disponível em: <http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/medida-de-tempo-no-calendario>. Acesso em: 29 set. 2014. 14h07min.

Pró Letramento. (Fascículo 7): Resolver Problemas: o lado lúdico do Ensino da Matemática. Brasília: Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica, Universidade de Brasília, 2007. (Domínio Público)

Linha Belo Monte Saída

Paraíso Chegada

Horários

7h35min

00h10min

17h45min

http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/medida-de-tempo-no-calendario


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10- Medida de tempo no calendário

Foco:

Entender como números funcionam num contexto específico: o calendário. Familiarizar-se com uma forma particular de organizar a informação, identificando a passagem do tempo apoiando-se no calendário.

Medir socialmente o tempo. Material:

Calendário tipo folhinha com uma página para cada mês

Sugestões:

Educador: embora os alunos vejam calendários todos os dias, é importante ampliar e sistematizar as experiências para que todos possam dar sentido a sua utilização. Ele pode ser usado para aprender sobre o tempo, mas também como fonte de informação e pesquisa para a leitura e o registro de números.

Leve para a sala de aula um calendário tipo folhinha e deixe-o em um lugar visível. Pergunte para

a turma quem tem um calendário parecido em casa e como ele é usado. Explique que o calendário poderá ser consultado em diferentes momentos: para associar uma data a uma tarefa, para saber o dia do aniversário dos colegas ou para lembrar a turma de que um passeio está agendado.

Estabeleça que diariamente, um dos alunos será responsável por localizar a data e escrevê-la no quadro para que seus colegas possam anotar em seus trabalhos. Encontrar e copiar uma data ou saber o dia em que se está são atividades que, com o tempo, deixam de ser desafiadoras.

Educador: como exemplo: se você propõe que uma criança marque no calendário o dia de hoje com um X e repete a proposta no dia seguinte, bastará que ela olhe para o número localizado logo depois do X. A tarefa será cumprida de maneira mecânica e sem nenhum ganho de conhecimento. Por isso, apresente aos alunos calendários que não tenham essas marcas para que eles coloquem em ação diferentes procedimentos.

Coloque o calendário no quadro e solicite aos alunos que marquem a data de aniversário de cada

um. Em seguida, monte um quadro, colocando o nome, a data do aniversário e a idade de cada um. Então, elabore questões como: "Quantos alunos fazem aniversário em março?" e "Qual é o mês com a maior quantidade de aniversariantes?".

O calendário é um instrumento importante também para organizar a rotina escolar. Leve-o para a sala de aula devidamente preparado com espaços (veja o exemplo abaixo) e ajude os alunos a marcarem os acontecimentos e compromissos importantes do grupo para o ano - feriados, eventos organizados na escola, passeios etc.

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(Adaptado/Paint)

Utilize-o também, para calcular durações. Por exemplo: quando se deseja saber quantos dias faltam para um passeio, para um aniversário ou para a entrega de uma pesquisa, quantos dias se passaram desde o início do mês, e assim por diante.

Educador: para que pensem sobre isso, você precisará fazer a contagem com os alunos ou colocar uma situação-problema para que eles resolvam, como as seguintes: "Quantos dias faltam para a visita ao jardim zoológico?"; "Vocês já sabem que ensaiamos toda terça-feira. Então, quantos dias teremos de ensaio até a festa de junho?"; "Observem a lua no céu durante duas semanas e marquem no calendário a data em que ela muda de fase". A resolução de problemas envolvendo cálculo de tempo - em dias, meses e anos - também é importante. Por exemplo: "Se um trimestre tem três meses, quantos dias tem um trimestre?". Nesse caso, discuta que valor se deve considerar: se for um trimestre em geral, o senso comum é que se considere o mês de 30 dias - portanto, um trimestre terá 90 dias. Mas se forem os meses de fevereiro, março e abril de 2011, o valor será de 28 + 31 + 30, o que resulta em 89 dias. Também é possível se fazer o cálculo de quantos dias tem o bimestre ou o semestre. Se a classe já trabalha com números maiores, o cálculo pode ser de quantos meses tem 6 ou 7 anos, e quantos meses já viveram até aquele momento. Se achar que a turma está acompanhando o conteúdo, discuta sobre cálculos mais exatos: "Se Maria nasceu a 10 de maio de 2004 e estamos em 20 de agosto de 2011, ela já viveu sete anos e quantos meses?". Aqui entra a discussão de quantos meses inteiros é preciso acrescentar, e pode-se chegar ao cálculo de quantos dias faltam para completar um mês.

Crie situações fictícias que envolvam localizar ou obter informações disponíveis no calendário. Proponha aos alunos que eles localizem no calendário as informações disponíveis em uma carta. Neste problema, a informação dada em linguagem coloquial deverá ser localizada no calendário do mês de janeiro. Observe como os alunos localizam as datas e quais das atividades mencionadas são registradas. Eles podem localizar os dias das excursões, as datas da carta e do começo e do final da viagem de férias.

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Peça que os alunos confeccionem uma agenda. Proponha que eles utilizem um caderno do tipo

caderneta, ou um agrupamento de folhas sulfite cortadas em quatro e grampeadas em número suficiente para o registro de um bimestre. Leve agendas de anos anteriores para que os estudantes observem como são organizadas. Discuta os dados disponíveis nela: dias, meses e ano.

Educador: ao confeccionar a agenda, o propósito é que coloquem em prática os conhecimentos já adquiridos sobre o ano, os meses e os dias.

Elabore com os alunos uma lista do que deve constar na agenda e onde pesquisar o que for necessário (calendário do ano, agendas em geral). Discuta se é necessário deixar espaço para o sábado e o domingo (já que é uma agenda das atividades escolares) e, se for necessário, qual seria esse espaço. Para que a agenda seja realmente usada, proponha que em todo início de aula seja anotado o que foi planejado para o dia e que, ao final do dia, seja registrado o que realmente se efetivou. Para isso, reserve 10 a 15 minutos de aula. Cada aluno faz as suas anotações individuais, sem necessidade de cópia do quadro, principalmente ao final da aula. É possível também fazer anotações de compromissos futuros.

Educador: no segundo semestre, depois de já ter trabalhado todo o primeiro semestre com o calendário, você pode propor que os alunos, divididos em grupos, confeccionem um para o ano seguinte. Para escolher o tema de ilustrações que vão acompanhar cada mês, peça que tragam para a escola diferentes calendários e analisem conjuntamente quais são as temáticas de cada um. Com base nessas referências, cada grupo decide qual será o tema do seu calendário. Nessa confecção, os alunos enfrentam problemas relativos à distribuição da informação, suas características e regularidades (sete dias por semana, a quantidade de dias em cada mês etc.). Por exemplo: por que a tabela começa sempre com um domingo, mas nem sempre a gente coloca um número ali? Por que alguns dias são vermelhos? Quantas folhas terá o nosso calendário? Para ajudar nessa reflexão, você pode propor algumas questões: quantos meses tem um ano? Quantos dias tem uma semana? Quantas semanas tem um mês? Quantos dias tem cada mês? Quais meses têm 30 dias? Quais são os meses com 31 dias de duração? E fevereiro, quantos dias tem? Quantas semanas tem um ano? Além das ilustrações de cada mês, não se deve deixar de registrar os feriados previstos, tanto os nacionais, quanto os estaduais e municipais. Como os alunos já pesquisaram as mudanças de fases da lua, você também pode pedir que pesquisem e registrem em que dias estão previstas as mudanças dessas fases no calendário a ser confeccionado.

Bibliografia consultada: MEDIDA de tempo no calendário. Disponível em: <http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/medida-de-tempo-no-calendario>. Acesso em: 29 set. 2014. 14h07min.

11- Problemas de transformação de medidas de tempo

Foco:

Resolver questões que envolvam a duração de eventos e exijam a transformação de medidas de tempo. Faça uma sondagem para avaliar em quais situações cotidianas o aluno nota noções sobre o tempo.

Materiais:

Lápis e papel Cópias da história usada na 5ª etapa



INTERNA

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Sugestões: Oriente os alunos a estabelecer relações entre horas e minutos. Quantos minutos tem uma hora?

É imprescindível levá-los a compreender que não é possível somar horas a minutos, muito menos subtrair: é preciso fazer conversões.

Proponha que cada aluno marque em uma folha o horário de dormir e de acordar. Deve ser feito o mesmo com o início e o término do café da manhã e com os horários em que saem de casa e chegam à escola.

Oriente que anotem a duração das atividades rotineiras. Na mesma folha em que anotaram os horários, cada estudante deve registrar quanto tempo ele passou dormindo, quanto levou para tomar café da manhã e gastou no trajeto de casa à escola.

Reúna-os em duplas para que conversem sobre suas resoluções e refaçam os cálculos se houver necessidade.

Proponha que, individualmente, calculem a questão da história abaixo. Observe quais são as estratégias que cada um utiliza.

Em casa, Pedro conversa com seu pai: - Pedro, se apresse! O jogo vai começar às 16 horas!

- Eu odeio futebol, pai! No estádio, o papo continua: - Pai, quero ir ao banheiro.

- Mas o jogo acabou de começar! Não dá para esperar até o intervalo?

- E quando vai ser isso? - Entre o primeiro e o segundo tempo! O jogo tem dois tempos de 45 minutos.

E um intervalo de 15 minutos. - Que horas vai acabar?

Recolha o material e analise as estratégias encontradas pelos estudantes para solucionar o problema.

Eleja as dificuldades mais comuns e coloque-as em discussão no quadro e sistematize as informações levantadas pela turma, organizando um cartaz que possa ficar exposto na sala de aula e à disposição das crianças sempre que elas quiserem consultá-lo.

Proponha a eles uma série de questões que envolvam o cálculo de tempo. Atente para a importância de variar a incógnita. Exemplo 1: apresente para a turma um problema em que, depois de informados sobre o horário inicial de uma atividade e quanto tempo ela vai durar, desafie os alunos a responderem qual seria o horário em que ela terminaria.

Sabendo-se o horário inicial e final de uma visita da turma a um museu, qual seria a duração do passeio?

Os alunos precisam colocar em prática os saberes adquiridos e destacados no cartaz. Com aquele

que não chegarem aos resultados corretos, retome as relações entre horas e minutos.

Bibliografia consultada: PROBLEMAS de transformação de medidas de tempo. Disponível em: <http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/problemas-de-transformacao-de-medidas-de-tempo>. Acesso em: 29 set.

2014. 14h27min.

http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/problemas-de-transformacao-de-medidas-de-tempo

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5.51– Multiplicação Medidas de Tempo no Mapa Curricular

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5.6 - Multiplicação Tratamento da Informação

O trabalho com tratamento da informação Atualmente, a mídia escrita (jornais e revistas) e televisiva veiculam muitas informações por meio de gráficos e tabelas daí a necessidade do desenvolvimento sistematizado desse conteúdo, para que o aluno entenda essas informações. Gráficos e tabelas são duas formas de representações distintas que não se excluem e, sim, complementam-se. Ambos são destinados à organização e comunicação de informações. O gráfico é mais visual, expressa informações por meio de linhas ou de áreas coloridas de diferentes tamanhos, enquanto as tabelas expressam-se por meio de números e de outros dados escritos, distribuídos em linhas e colunas relacionadas entre si. Depois de organizadas, algumas informações prestam-se mais à representação em forma de tabelas e, outras, em forma de gráficos, em razão de sua natureza.

Educador: releia o texto Fascículo 4 p. 94 a 97 que amplia a visão sobre Tratamento da Informação. As atividades a seguir foram planejadas considerando que existem gráficos e tabelas que oferecem diferentes graus de complexidade para leitura e/ou construção. Essas propostas incluem a coleta e a organização de dados. Os alunos devem ser orientados para pensar em como anotar, onde registrar, como organizar a informação etc., e também para a construção de gráficos. O trabalho também é pautado na observação, leitura e interpretação dos gráficos.

1- A tabela a seguir mostra o número de pessoas que fizeram uma refeição em um restaurante

popular”.

(Adaptado/Paint)

De acordo com a tabela, o total de pessoas que fizeram refeições nos meses de janeiro, fevereiro

e março foi de _____________ pessoas.

No ano passado, o número de pessoas atendidas no mês de abril foi o triplo deste ano. Qual foi o número de pessoas atendidas?

Já no mês de janeiro do ano passado houve o dobro de atendimentos. Qual foi o número de

pessoas atendidas?


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2- Na tabela abaixo, estão representados os pontos obtidos pelas seis equipes em 2 rodadas da

gincana escolar. A equipe que possuir maior número de pontos, nas duas rodadas, conquistará o primeiro lugar.

(Adaptado/Paint)

Escreva a classificação final do 1.º ao último lugar.

Analisando os dados da 2ª rodada, podemos dizer que as equipe B e E apresentaram resultados três vezes maiores que a equipe________

3- O gráfico abaixo mostra o número de aniversariantes da turma em cada mês. Observe e responda.

(Adaptado/Paint)

Qual o mês em que há mais aniversariantes? ___________

Quantos alunos há nesta turma? _____________________

Quais são os meses em que o número de aniversariantes é o dobro dos meses de abril e agosto?

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

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4- Leia a situação a seguir:

João vende cachorro quente, no seu carrinho, perto da escola. Do dia 20 de agosto até o dia 24, suas vendas foram: dia 20, 132 cachorros quentes; dia 21, 91 cachorros quentes; dia 22, 206 cachorros quentes; dia 23, 85 cachorros quentes e no dia 24, 110 cachorros quentes.

a) Faça uma tabela com os dados que você leu no texto acima.

b) Escreva três perguntas sobre a tabela que você fez. Depois, responda essas perguntas:

1) ___________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

2) ___________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

3) ___________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

5- Abaixo o gráfico nos mostra a quantidade de livros que foram vendidos durante quatro anos por uma livraria de uma pequena cidade do interior.

(Adaptado/Paint)

INTERNA

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Responda as perguntas, abaixo, analisando o gráfico.

a) Quantos livros foram vendidos no ano de 2012?_____________________________________

b) Em que ano foram vendidos 80 livros?_____________________________________________

c) Em qual ano as vendas de livros foram baixas?______________________________________

d) No ano de 2014, foram vendidos quantos livros?_____________________________________

e) Quantos livros foram vendidos nesses quatro anos?___________________________________

6- Construa um gráfico de barras com base nas informações da tabela.

(Adaptado/Paint)

Após construir o gráfico: Qual é a barra maior? ________________ Elabore outras perguntas envolvendo situações de multiplicação:

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

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7- Eduardo tem uma distribuidora de refrigerantes. Observe como ele organizou uma parte do seu depósito:

(Adaptado/Paint)

a) De acordo com a imagem acima, em quantas filas Eduardo organizou o deposito de garrafas?

_____________________________________________________________________________

b) Quantas garrafas ele tem ao todo? __________________

c) Quantas garrafas contêm em cada fila? ________________

d) Em quantas colunas foram organizadas as garrafas ________________

e) Transforme os dados da imagem em um gráfico de barras.

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8- Ronaldo é dono de uma loja de brinquedos. No final do mês, resolveu fazer um gráfico apresentando as quantidades de brinquedos vendidos. Observe o gráfico e responda.

(Adaptado/Paint)

a) Quais os brinquedos que foram mais comprados? ________________________________________________

b) Quantos brinquedos, ao todo, foram vendidos neste mês? ________________________________________________

c) No ano passado, no mesmo mês vendeu a metade da quantidade de brinquedos. Quantos

brinquedos foram vendidos? ____________________________

9- Em uma década, quantas voltas, aproximadamente a Terra terá dados em torno do Sol?

Organize uma tabela com os dados:

Título: _____________________________________________

Tempo

Número de voltas

Três Décadas

Dois século

Um milênio

Lembre-se:

Bibliografia consultada para as atividades de 1 a 9: PROGRAMA de Formação continuada de educadores dos anos/séries iniciais do Ensino Fundamental. Pró Letramento.

(Fascículo 6): Tratamento da Informação. Brasília: Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica, Universidade de Brasília, 2007. (Domínio Público)

GOVERNO do Estado do Ceará. Secretaria da Educação. 4º ano Caderno de Atividades Matemática. Volume 1. Ceará: Secretaria da Educação - (Programa Aprendizagem na Idade Certa).

PACTO Nacional pela Alfabetização na Idade Certa Operações na Resolução De Problemas. Caderno 04. Ministério da Educação.

Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Apoio à Gestão Educacional: Brasília, 2014. PREFEITURA da Cidade do Rio de Janeiro. Secretaria Municipal de Educação. Subsecretaria de Ensino Coordenadoria de

Educação. M5 Primário Carioca. Matemática - 5.º Ano / 2.º BIMESTRE – 2014.

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10- Leitura e criação de gráficos e tabelas

Foco:

Coletar dados e organizá-los em tabelas e gráficos. Ler e comparar informações de tabelas e gráficos de barras.

Educador: no nosso dia a dia temos contato com jeitos variados de organizar informações e é na escola que os alunos têm a oportunidade de aprender a observar e analisar esses instrumentos. Nesta sequência, a turma conversará sobre os alimentos naturais e não naturais consumidos diariamente e organizará os dados em tabelas e gráficos. As atividades propostas ajudarão ainda a refletir sobre qualidade dos alimentos versus quantidade de calorias.

Discutir os hábitos alimentares da turma é uma boa porta de entrada para se trabalhar a produção e análise de diferentes instrumentos de organização de dados.

Materiais:

Papel, régua, lápis, cartazes e cópias com as tabelas e os gráficos que serão trabalhados.

Sugestões:

Proponha que os alunos se dividam em duplas ou trios e conversem sobre os alimentos naturais e não naturais que cada um consome diariamente.

Peça que compartilhem relatos e opiniões com o restante da turma, enquanto você anota na lousa os alimentos mais citados.

Em seguida, oriente os alunos a escolher dois itens da lista e dizer em que quantidade eles os consomem por dia - anote o número de porções ao lado do respectivo alimento.

Solicite que todos observem os dados da lousa e perguntem se é possível organizá-los de outra maneira. Ouça e registre as sugestões.

Depois, peça aos alunos que voltem a trabalhar em grupos: metade irá organizar as informações levantadas em tabelas e a outra metade, em gráficos de barras.

Educador: se necessário, mostre exemplos publicados em jornais e revistas, permitindo que os alunos usem o material como modelo e relembrem critérios importantes, tais como dar nome ao gráfico ou tabela, selecionar informações, decidir o intervalo dos números que serão tabulados, entre outros.

Circule pela sala de aula, tirando dúvidas. Após todos concluírem e socializarem o material

produzido, chame a atenção para os títulos usados - questionando a turma sobre quais deles favorecem a compreensão do assunto tratado - e também para os diferentes intervalos e critérios. Comente ainda a frequência de consumo dos alimentos, se eles são naturais ou não naturais e quais contribuem com a nossa saúde.

Proponha mais atividades: peça que os alunos observem dois cartazes a seguir: um com o gráfico de barras sobre os alimentos mais consumidos no recreio de uma escola durante três dias e outro com a tabela sobre a quantidade de biscoitos e salgados indicada por especialistas para o período de uma semana.

INTERNA

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Frequência dos alimentos consumidos no recreio durante três dias:

Porções liberadas por especialistas para uma semana:

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Peça que os alunos se organizem em duplas e entregue a cada grupo uma cópia do gráfico e da tabela acima. Oriente-os a desvendar e registrar algumas informações sobre o material. Nesse sentido, você pode propor questões como: PARA O GRÁFICO

Com que faixa etária a pesquisa foi realizada? Onde encontramos essa informação?

Onde encontramos a quantidade de alunos que consome cada alimento?

Qual é o alimento mais consumido pelos alunos? Qual é o menos consumido?

O que há em comum entre os alimentos mais e menos consumidos? Qual é a diferença entre a quantidade desses dois alimentos?

Quantos alunos participaram da pesquisa? Onde encontramos essa informação?

Os alunos dessa escola gostam mais de biscoitos ou frutas?

De salgados industrializados ou lanches caseiros?

É possível dizer se a alimentação desses alunos é saudável ou não?

PARA A TABELA

Qual é o tema tratado na tabela? Onde encontramos essa informação?

Qual é o alimento mais calórico? E o menos calórico?

Qual é a quantidade de biscoito recheado sugerida para uma semana?

Quantas calorias essa quantidade representa?

Quais alimentos da tabela estão presentes no gráfico?

Para ingerir menos calorias, qual desses alimentos é melhor escolher? Por quê?

Como saber o que cada coluna representa?

Sugira que os alunos comparem as informações da tabela e do gráfico que eles produziram no início da atividade com o material analisado na segunda aula, propondo as seguintes questões:

Quais alimentos aparecem nas duas tabelas? Qual é o alimento mais consumido pela classe? Esse alimento aparece no gráfico analisado? Ele está presente na tabela que mostra as calorias dos biscoitos e salgados? Que conclusões importantes podem ser tiradas sobre os alimentos mais consumidos pela classe e os alimentos analisados a partir da tabela e do gráfico?

Proponha que os alunos elaborem situações, a partir dos dados, envolvendo o uso das quatro operações.

Proponha outras coletas de dados pela turma, como atividades realizadas fora da escola e alimentos mais consumidos no final de semana e observe se eles são capazes de ler informações contidas em gráficos de barras e tabelas. Observe se há a presença de título, nomes nas colunas das tabelas e referências nos eixos dos gráficos. Se preferir, use tabelas e gráficos prontos a fim de que os alunos façam a leitura das informações.

Bibliografia consultada: LEITURA e criação de gráficos e tabelas. Disponível em: http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/leitura-e-criacao-de-graficos-e-tabelas>. Acesso em: 29 set. 2014.

13h55min.

11- Leitura de gráficos sobre os animais do zoológico

Foco:

Ler, interpretar e identificar as informações de um gráfico de barra.

http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/leitura-e-criacao-de-graficos-e-tabelas

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Materiais:

Papel, régua, lápis, cartazes e cópias com as tabelas e os gráficos que serão trabalhados Desenvolvimento:

Apresente o gráfico a seguir para os alunos, mostrando e nomeando, se a turma não dominar a terminologia ainda, os eixos verticais e horizontais.

Questione:

Qual o assunto tratado? Quais informações são apresentadas pelo gráfico? O que significam os números que aparecem no eixo vertical?

Educador: essa etapa é uma exploração inicial e global, para que os alunos se apropriem tanto das informações (legendas, título, dados fornecidos...) como da estrutura de organização (relação entre os dados).

Chame a atenção para o fato de que a estrutura de um gráfico permite identificar algumas informações mesmo sem fazer cálculos, como qual a espécie com maior quantidade de animais. Explique que a leitura do gráfico implica na interpretação dos eixos horizontais e verticais (espécie versus quantidade).

Espécies de animais do zoológico de São Paulo

(Adaptado/Paint)

Proponha algumas situações específicas de resolução de problemas a partir das informações fornecidas pelo gráfico da etapa anterior. Em dupla, peça que os estudantes respondam algumas questões:

Qual a espécie que mais tem animais no zoológico de São Paulo? Quantos são os animais dessa espécie?

Qual a diferença entre a quantidade de répteis e mamíferos no zoológico?

Quantas espécies de anfíbios têm no zoológico de São Paulo? Como você fez para descobrir?

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Em dupla, proponha que os alunos analisem o gráfico abaixo e elaborem três perguntas que possam ser respondidas com base nele.

Tempo aproximado de vida de alguns mamíferos do zoológico de São Paulo

(Adaptado/Paint)

Em seguida, troque as perguntas entre os alunos, para que outros alunos possam responder as questões levantadas pelos colegas.

Discuta coletivamente, se todas as perguntas puderam ser respondidas. E questione quais não foram possíveis e os motivos.

Proponha outras atividades para sistematização: ex.: Apresente o gráfico a seguir para os alunos e peça que, individualmente, respondam às questões:

De que trata o gráfico?

Escreva duas informações sobre os animais que aprendeu com a leitura desse gráfico.

Os animais e seus filhotes

(Adaptado/Paint)

Bibliografia consultada: LEITURA de gráficos sobre os animais do zoológico. Disponível em:

<http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/leitura-de-graficos-sobre-os-animais-do-zoologico>. Acesso em: 29 set.

2014. 14h

http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/leitura-de-graficos-sobre-os-animais-do-zoologico

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12- Explorando tabelas

Educador: uma outra possibilidade é a problematização de situações reais de sala de aula.

Por exemplo, a tabela a seguir foi construída tendo como ponto de partida dados coletados por alunos que diziam respeito à quantidade de pontos que conseguiram em um campeonato de tabuadas realizado em dois dias. Alguns valores foram retirados, cabendo aos alunos a tarefa de completá-los com números que podiam ser colados. As hipóteses de soluções eram discutidas:

(Adaptado/Paint)

Educador: a tabela como a apresentada e gráficos simples podem sugerir uma grande variedade de situações-problema, assim como constituem-se como importantes formas de representação.

PACTO Nacional pela Alfabetização na Idade Certa Operações na Resolução De Problemas. Caderno 04. Ministério da Educação.

Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Apoio à Gestão Educacional: Brasília, 2014. (adaptado)

5.61 - Multiplicação Tratamento da Informação no Mapa Curricular

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5.7 - Multiplicação e Divisão – Situações-Problema

Durante um bom tempo, problemas matemáticos foram utilizados na sala de aula como uma forma de treinar o uso de algoritmos. Essas práticas ainda persistem em muitas escolas. No contexto de formação na área de matemática do PACTO, entende-se que a Resolução de Problemas deve desencadear a atividade matemática. Uma proposta pedagógica pautada na Resolução de Problemas possibilita que os alunos estabeleçam diferentes tipos de relações entre objetos, ações e eventos a partir do modo de pensar de cada uma, momento em que estabelecem lógicas próprias que devem ser valorizadas pelos professores. A partir delas, os alunos podem significar os procedimentos da resolução e construir ou consolidar conceitos matemáticos pertinentes às soluções.

Um problema não é um exercício ao qual o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema quando o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão proposta e a estruturar a situação que lhe foi apresentada. Esta afirmação evidencia que problemas matemáticos em que o aluno não precise pensar matematicamente e desenvolver estratégias de resolução, bem como identificar o conceito matemático que o resolve, transforma-se em simples exercício, ou seja, em apenas fazer contas.

Mas, o que é, então, um problema matemático?

Um problema matemático é uma situação que requer a descoberta de informações desconhecidas para se obter um resultado. A solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la.

O processo de construção de solução pelo aluno é fundamental para a aprendizagem e dará sentido matemático para os cálculos e operações que efetuará. É portanto, no interior da atividade de resolução de problemas, que o trabalho com os cálculos deve ser efetivado na sala de aula.

Um aspecto fundamental na atividade com resolução de cálculos e problemas em sala de aula é que os professores observem e considerem os modos próprios de resolução e de aprendizagem de cada aluno. [...] é importante que os professores dediquem um tempo para a interpretação da situação proposta para ser resolvida. Compreendida a situação proposta, oralmente ou no enunciado do problema, os alunos terão condição de desenvolver as estratégias de resolução. É nesse momento que mobilizarão conceitos matemáticos conhecidos e fundamentarão os que estão em processo de construção conceitual. É o importante momento em que os alunos decidirão COMO resolver. Cabe aqui uma observação: este momento só terá valor didático se, de fato, o aluno mobilizar seu pensamento para a construção da estratégia de resolução. Se os alunos estiverem repetindo procedimentos, ou executando o que lhes for dito para fazer, não estarão desenvolvendo estratégias de resolução. O problema estará se convertendo em exercício de repetição ou em execução algorítmica. Observe-se que, nesses casos, a atividade matemática em si (resolver problema por repetição de procedimento ou por execução do que foi dito para fazer) pode ocorrer; o que pode não acontecer é a compreensão conceitual, pois a atividade matemática assim orientada não permite que ocorra. Por isso, enfatizamos que a Resolução de Problema, ou de situação--problema, possibilita uma aprendizagem matemática conceitual.

É interessante que os alunos reflitam sobre a resposta obtida. Os professores devem incentivar os alunos a compararem a resposta obtida com o enunciado do problema, ou com a situação-problema que gerou a necessidade de solução. É preciso que argumentem se a resposta obtida faz sentido no contexto do problema. É preciso examinar o sentido matemático da resposta. Nesse momento, se os alunos perceberem inconsistência entre resposta e dados do problema, eles mesmos deverão rever a estratégia.

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Conhecer os tipos de trabalho é chave para ensinar melhor

Até o 5º ano do Ensino Fundamental, é importante trabalhar com três conceitos do campo multiplicativo: a proporcionalidade, a organização retangular e a combinatória.

Com a proporcionalidade, o aluno percebe a regularidade entre elementos de uma tabela ex.:

Se um pacote tem 5 figurinhas, 2 pacotes têm 10, 3 pacotes têm 15 etc.

Deve também ter oportunidade de constatar a ideia da proporcionalidade inversa (fenômeno da diminuição proporcional de um dos elementos com o aumento do outro. Exemplo: uma caixa-d’água tem seu volume diminuído pela metade a cada semana. Quanto tempo levará para chegar a 1/8 de sua capacidade total? Nessa lógica, quanto maior o tempo, menor é o resultado obtido).

A organização retangular - também conhecida como análise dimensional ou produto de medidas - pode ter mais questões de seu potencial de complexidade tratadas nas séries iniciais.

Algumas propostas envolvem o desafio de descobrir a área de uma superfície, quantas peças cabem em um tabuleiro, o número de casas ou de uma casa específica em jogos com tabelas numéricas. "É comum o aluno não entender de início que um retângulo de três fileiras e quatro linhas tenha o mesmo número de casas que um de quatro fileiras e três linhas", pois segundo Ana Ruth Starepravo, educadora e pesquisadora da Universidade de São Paulo (USP). "Familiarizar-se com essa noção é importante para o campo multiplicativo e para a geometria e a percepção do espaço", argumenta.

A análise combinatória - conteúdo antes reservado às turmas do Ensino Médio - ganha lugar nas séries iniciais. Os desafios que desenvolvem combinação são adaptados para ficar ao alcance do entendimento dos alunos do Ensino Fundamental I. No início, eles geralmente fazem representações usando desenhos ou identificando, com outras notações, elemento por elemento no papel e, somente depois, fazem a contagem.

Essa estratégia é útil e importante para a compreensão da operação, mas, quando diferentes maneiras de calcular são discutidas pelo grupo e validadas pelo professor e a grandeza dos números envolvidos cresce, é hora de sistematizar o conhecimento. "É preciso dar conta das ideias que estão por trás do concreto", explica Esther Pillar Grossi, doutora em psicologia da inteligência e coordenadora do Grupo de Estudos sobre Educação, Metodologia da Pesquisa e Ação (Geempa), em Porto Alegre. "É importante ter algo que possa ser generalizado, um conhecimento já incorporado e que possa ser usado sem ser preciso inventar uma estratégia a cada problema."

Saber armar conta sem saber o porquê não faz sentido

A ideia de que dispomos de um aglomerado de saberes - espécie de rede maleável e aberta que se reorganiza a cada novo conhecimento adquirido, criando novas relações -, trabalhada por seguidores de Vergnaud, remete à visão de que não há sentido em separar o aprendizado das operações, mas aproveitar as relações estabelecidas para avançar no estudo da Matemática (leia mais no quadro abaixo).

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Por que Campo Conceitual Multiplicativo e não Multiplicação e Divisão?

Multiplicação e Divisão no tradicional

Campo Conceitual Multiplicativo

A resolução dos problemas trabalha um único conceito para cada operação, uma única classe de situações para a qual se aplica.

Os problemas não se classificam em função unicamente das operações a eles relacionadas, e sim em função dos procedimentos utilizados por quem os soluciona.

Operações ensinadas uma a uma: primeiro multiplicação, depois divisão.

As ideias relacionadas ao campo conceitual são desenvolvidas concomitantemente, e exploradas nos diferentes conceitos.

Os problemas são apresentados como pretexto para aplicação de algoritmos convencionais.

Os problemas são apresentados em um contexto, e a ênfase recai na exploração dos diferentes procedimentos de resolução, com vistas à construção de algoritmos convencionais.

Mudança de verdade

Romper com a educação matemática tradicional é uma atitude válida desde que a mudança seja construída com consistência pelo educador e embasada por conhecimentos concretos. "O que mais ouço em formações de professores são discursos estereotipados e vazios, como o clichê de desenvolver o raciocínio lógico e de estimular que as crianças ‘vivenciem’ os problemas", conta Silvia Swain Canoas, docente da Universidade do Estado de Minas Gerais (UEMG) e especialista em campo multiplicativo. "Quando pergunto que tipo de prática propicia esses objetivos, eles repetem o velho esquema linear de trabalho com as operações." Para ela, uma das maiores dificuldades dos educadores é o fato de não compreenderem realmente o que se busca com o uso do campo multiplicativo. É preciso ter clareza de que trabalhar nessa linha é oferecer oportunidades de estabelecer mais relações matemáticas com as mesmas operações que são trabalhadas no ensino tradicional. Primeiro, o professor deve saber quais delas podem ser trabalhadas nas séries iniciais - a proporcionalidade (direta e inversa), a organização espacial e a combinatória. Quanto mais amplo for o conhecimento do professor sobre esses conceitos, maior facilidade ele terá para reconhecer os tipos de problema. Assim, a tendência é que a diversidade de questões e de resoluções cresça, assim como a rede de saberes do próprio aluno.

O campo aditivo e o multiplicativo podem ser ensinados paralelamente e de maneira não linear. As relações entre adição e multiplicação e entre subtração e divisão devem ser explicitadas, como explica Esther: "O ensino da disciplina nas séries iniciais caminha em três pistas: desenvolver as estruturas numéricas, aditivas e multiplicativas". Uma vez ativa em todas essas áreas, por mais que não as domine de imediato, o aluno vai gradualmente tecendo as relações entre os conceitos das operações, e o posterior aprendizado do algoritmo ganhará significado.

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Sob esse enfoque, saber armar uma conta sem entender o porquê da escolha da operação não faz sentido. Um termômetro disso é a necessidade do aluno perguntar qual operação deve ser utilizada em cada problema. "Pode-se estabelecer uma analogia com a informática", diz Jorge Falcão, da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE). "Qualquer programador faz o computador calcular. O desafio é conseguir que a máquina interprete o problema e decida qual operação realizar." De todo modo, o algoritmo não deve ser desprezado, mas é crucial que o aluno compreenda o que é o resto, por exemplo, sem pensar que seja simplesmente um dos elementos dos quais tem de dar conta para executar o algoritmo da divisão. Alunos que conseguem enxergar além disso, nas séries iniciais sairá em vantagem no percurso de compreensão da Matemática no Ensino Fundamental.

Para saber mais: Crianças Fazendo Matemática, Terezinha Nunes e Peter Bryant, 246 págs., Ed. Artmed, tel. 0800-703-3444,

edição esgotada.

Bibliografia consultada: MULTIPLICAÇÃO e divisão já nas séries iniciais. Disponível em: <http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fundamentos/multiplicacao-divisao-ja-series-iniciais-500495.shtml>. Acesso em:

11 dez. 2014. 14h22min.

Educador: para ampliar a visão sobre Resolução de problemas releia o texto Fascículo 4 p. 7 a 29.

Veja a seguir exemplos de problemas multiplicativo, envolvendo a ideia aditiva e multiplicativa:

1- Situação-problema multiplicativo, envolvendo a ideia aditiva e multiplicativa

Educador: procure realizar as atividades matemáticas, na medida do possível, de forma interdisciplinar. Delimite um tema a ser abordado e desenvolva uma sequência didática que contemple entre outras, a área da matemática, não esquecendo no entanto, o objeto de estudo de cada área do conhecimento. Dessa forma, pode-se estabelecer uma melhor compreensão e assimilação do conteúdo pelos alunos.

Proponha a leitura e interpretação do problema; Peça que os alunos pintem os algarismos de uma cor e a pergunta do problema de outra; Instigue os alunos a pensarem sobre estratégia de resolução. Utilize material dourado e após o registro com desenho. Peça que os alunos façam a representação na malha quadriculada e pintem as quantidades

obtidas com a manipulação do material dourado. Peça que façam os cálculos envolvendo a ideia aditiva e multiplicativa. Volte à parte grifada em vermelho e pergunte aos alunos o que foi questionado e se a resposta

está coerente. Veja um exemplo:

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fundamentos/multiplicacao-divisao-ja-series-iniciais-500495.shtml


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Educador: reflita a respeito da seguinte questão: Se um aluno utiliza corretamente um algoritmo de multiplicar ou de dividir significa que ele aprendeu a multiplicação ou a divisão?

Se a resposta a esse questionamento for positiva e estiver pautada exclusivamente na concepção de que multiplicar ou dividir é fazer os algoritmos de forma correta, temos aí evidências de redução destas operações a cálculos e à aplicação de procedimentos. Entretanto, se a resposta a esse questionamento for negativa, podemos considerar o entendimento destas operações (multiplicação e divisão) como formas de organização do pensamento a partir das estruturas e conceitos matemáticos específicos de um determinado raciocínio, no caso, do raciocínio multiplicativo.

O raciocínio multiplicativo é diferente do raciocínio aditivo, e é importante conhecermos e diferenciarmos as características de cada um. Para isso, nos fundamentaremos nos estudos de Nunes e Bryant (1997), Nunes et al. (2005) e Correa e Spinillo (2004). Raciocínio aditivo: envolve relações entre as partes e o todo, ou seja, ao somar as partes encontramos o todo, ao subtrair uma parte do todo encontramos a outra parte. Envolve ações de juntar, separar e corresponder um a um.

Raciocínio multiplicativo: envolve relações fixas entre variáveis, por exemplo, entre quantidades ou grandezas. Busca um valor numa variável que corresponda a um valor em outra variável. Envolve ações de correspondência um para muitos, distribuição e divisão.

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O raciocínio multiplicativo envolve a multiplicação e a divisão com diferentes complexidades. É possível observar nos problemas apresentados a seguir como o raciocínio é desenvolvido tanto em relação à multiplicação quanto à divisão.

2- Situações de comparação entre razões

Para compreendermos essas situações multiplicativas, vamos analisar os exemplos que seguem:

Em uma caixa de lápis de cor há 12 lápis. Quantos lápis há em 3 caixas iguais a esta?

É possível pensar que a resolução mais fácil do problema seria adicionar: 12 + 12 + 12 = 36. Na escola é comum o ensino da multiplicação como adição de parcelas iguais. Há, de fato, a possibilidade de resolver alguns problemas multiplicativos mais simples por estratégias próprias ao raciocínio aditivo. No entanto, o raciocínio multiplicativo é diferente e bem mais abrangente e complexo que o raciocínio aditivo.

O problema pode ser resolvido desta forma:

O esquema “um para muitos”, utilizado no registro da resolução é importante para a forma de pensar sobre o problema: para cada caixa correspondem 12 lápis. A quantidade de caixas e a quantidade de lápis (medidas) estão relacionadas por um número fixo de lápis por caixa, ou seja, 12 lápis por caixa. Vejamos: há duas medidas no problema, número de lápis e número de caixas. Estas medidas estão relacionadas por uma relação fixa que é de 12 lápis por caixa. Observe o esquema:

(Adaptado/Paint)

Aumentando o número de caixas numa relação fixa +1, temos um aumento na quantidade de lápis numa relação também fixa: +12.

Observa-se que, embora o problema seja relacionado ao campo multiplicativo, a resolução foi essencialmente relacionada ao campo aditivo. Abaixo, temos um esquema que mostra o raciocínio relativo ao campo conceitual multiplicativo, evidenciando a proporcionalidade:

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(Adaptado/Paint)

Observa-se uma proporção entre a quantidade de caixas e a quantidade de lápis por caixa, uma vez que, sempre que se dobra o número de caixas, dobra-se também, o número de lápis, e, caso se triplique o número de caixas, se triplicará o número de lápis. A correspondência “um para muitos”, “dois para o dobro de muitos” e assim por diante, é a base do conceito de proporção. A proporção entre as coleções permanece constante, mesmo quando o número de caixas e de lápis muda. A proporção é a expressão da relação existente entre as duas coleções.

O raciocínio multiplicativo também envolve situações de divisão.

Exemplo:

Júlia ganhou 12 chocolates e quer dividir entre 4 amigos de sua sala de aula. Quantos chocolates cada um vai receber?

Qual é a expectativa de resposta para essa situação-problema? Provavelmente, o que é bastante comum, espera-se que o aluno utilize um algoritmo para a resolução de tal situação, isto é, faça 12 ÷ 4 = 3. Mas, essa forma de resolução evidencia o raciocínio multiplicativo ou o conhecimento dos procedimentos de cálculo?

O aluno do 1º ao 3º ano do Ensino Fundamental (ALFA I), possivelmente, não utilizará o algoritmo da divisão para a resolução, mas buscará outros meios, como: a contagem de objetos; a ação de repartição entre os amigos ou a representação por meio de desenhos (registro pictórico). O registro pictórico é uma ilustração de como o aluno evidencia seu raciocínio multiplicativo, operando conceitualmente com a questão sem fazer uso do algoritmo. Observe que Maria desenhou os 12 chocolates, circulando a quantidade que cada um receberá.

(Adaptado/Paint)

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É possível distinguir o raciocínio aditivo do multiplicativo analisando o problema anterior: a quantidade de chocolates e de pessoas foi transformada em chocolates por pessoa, isto é, não se trata de uma relação com elementos de uma mesma natureza, chocolate com chocolate ou pessoas com pessoas, conforme acontece com as estruturas aditivas. Mas, de uma relação entre chocolates e pessoas. A transformação reside no princípio de que o resultado dessa relação se constitui em outro elemento, neste caso, chocolates por pessoa. Essa transformação diz respeito ao modo como as informações foram relacionadas, conforme pode ser observado na resolução a seguir:

(Adaptado/Paint)

Para resolver o problema, acima o aluno (de 7 anos), primeiramente destaca, no enunciado, as informações que deverá relacionar. Informa que descobriu a resposta “dando um chocolate para cada um”, pensamento evidente em seu desenho, onde faz corresponder 3 chocolates a cada personagem. Várias possibilidades de resolução do problema poderiam ser adotadas pelos alunos. Um exemplo é quando o aluno “divide” ao seu modo os 12 chocolates entre seus 4 amigos, conforme a ilustração.

(Adaptado/Paint)

Nesse caso, o aluno determinou uma quantidade, diferente de chocolate a cada amigo, dividindo os chocolates a partir de critérios próprios. Ações como essas são comuns entre crianças, bem como, o uso da distribuição para resolver problemas semelhantes.

Já na primeira situação apresentada realizou-se a divisão dos chocolates entre os amigos de modo que todos recebessem a mesma quantidade, distribuindo os chocolates entre eles por um esquema de distribuição: um para você, um para você, um para você, até terminarem os chocolates, garantindo uma divisão equitativa entre os amigos. Nesse caso, recorreu-se a uma estratégia aditiva ao acrescentar +1 chocolate para cada colega a cada rodada da ação de distribuição.

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3- Situações de divisão por distribuição

O problema apresentado na 1ª situação envolve uma divisão por distribuição.

Observe o exemplo:

Júlia ganhou 12 chocolates e quer dividir entre 4 amigos de sua sala de aula. Quantos chocolates cada um vai receber?

Quantidade a ser dividida: 12 chocolates

Número de amigos: 4

Chocolates por amigo: ?

O que caracteriza esses problemas é o fato de a quantidade a ser dividida e o número de amigos que receberão chocolates serem conhecidos. O quanto caberá a cada um é o que deverá ser determinado. Esses problemas são considerados mais simples, e geralmente, são muito explorados nas salas de aula. São conhecidos como típicos problemas de divisão. Mas, é importante estar alerta para o fato de que a divisão envolve situações mais complexas do que a distribuição. O aluno, ao realizar a distribuição, pode fazê-lo simplesmente recorrendo a um raciocínio aditivo em que vai acrescentando mais um elemento a cada rodada até que não haja mais elementos para uma nova distribuição. No entanto, dividir, como uma operação multiplicativa, implica que ele possa também prestar atenção às relações entre as quantidades em jogo. Implica, em outras palavras, poder estabelecer relações de covariação entre os termos envolvidos na operação. (CORREA; SPINILLO, 2004, p. 109-110) Portanto, observa-se que o aluno, do exemplo acima, ainda precisa pensar sobre as relações de covariação entre os termos envolvidos no problema para compreender a divisão como operação multiplicativa. Analisando o problema, podemos observar essas relações. Temos duas variáveis, número de chocolates e número de amigos e uma relação fixa: número de chocolates por colega. No caso da divisão envolvida no problema, a relação entre as variáveis “número de chocolates por amigo” é constante e é justamente o que os alunos precisam compreender e encontrar para a resolução do problema. A relação de covariação está na ideia de que, quando o número de colegas varia, o número de chocolates também varia na mesma proporção. Por exemplo:

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(Adaptado/Paint)

Observa-se novamente que, embora seja do campo conceitual multiplicativo, os alunos os resolvem por estratégias aditivas. A seguir, temos o esquema que evidencia o raciocínio multiplicativo:

(Adaptado/Paint)

Problemas como esses são resolvidos com facilidade pelos alunos no Ensino Fundamental I pelo uso de esquemas de correspondência e distribuição, mas é fundamental que esses esquemas sejam coordenados entre si e possibilitem a resolução de problemas mais complexos. Surge, assim, a necessidade de propor aos alunos a resolução dos mesmos desde o início da escolarização e por meio de diferentes suportes de representação.

Educador: o Material Dourado pode ser um recurso para explorar estratégias mais sistematizadas em relação ao algoritmo tradicional, já envolvendo as propriedades do Sistema de Numeração Decimal

Veja o exemplo:

(Adaptado/Paint)

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Na ilustração, os 12 chocolates são representados, inicialmente, pela barra que corresponde a uma dezena e por 2 cubinhos que correspondem a duas unidades. Entretanto, para a distribuição, conforme fez o aluno em seu desenho, é preciso transformar a dezena em 10 unidades, de modo que resulte em 10 + 2 =12 unidades. Desse modo, torna-se possível a distribuição para os 4 amigos.

4- Situações de divisão envolvendo formação de grupos

Problemas de divisão podem envolver a formação de grupos, quando o tamanho do grupo é conhecido e o número de grupos possíveis deve ser determinado.

Reprodução

Trabalhe problemas do campo multiplicativo a partir do contexto de histórias de vida do grupo: veja um exemplo:

Lúcia tem uma loja de sapatos e todos os meses viaja para São Paulo para fazer compras. Na última, ela comprou 20 caixas de sapatos. A vendedora colocou 4 caixas de sapatos em cada sacola. Quantas sacolas foram utilizadas?

Quantidade a ser dividida: 20 caixas de sapatos

Tamanho do grupo: 4 caixas de sapatos em cada sacola

Número de grupos: ? A quantidade total de caixas de sapatos a ser colocada nas sacolas é conhecida, bem como a quantidade a ser colocada em cada sacola (a quantidade de elementos de cada grupo). Com materiais concretos, os alunos podem facilmente resolver o problema formando grupos de 4 e usando o esquema da correspondência um para muitos: 4 caixas para 1 sacola, uma vez que a relação fixa entre número de caixas e número de sacolas é conhecida. É visível pelo desenho a seguir, que o aluno tentou apagar o que havia feito para desenvolver outro raciocínio. É comum tentarem resolver problemas como esse, distribuindo as caixas em 4 sacolas e obterem o resultado 5. No entanto, nesse caso, o resultado corresponderia a 5 caixas de sapato em cada sacola. Embora o resultado numérico seja o mesmo, foi obtido por um erro de interpretação da situação envolvida no problema.

(Adaptado/Paint)

Este é mais um exemplo de que é necessário observar qual é a compreensão que o aluno tem da situação-problema, considerando o processo de resolução e não apenas o cálculo realizado ou a resposta final apresentada.

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5- Situações de configuração retangular

Os problemas deste tipo exploram a leitura de linha por coluna ou vice-versa. Exemplo:

Lúcia organizou os sapatos na sua loja em 7 fileiras com 5 caixas empilhadas. Quantas caixas de sapatos ela organizou?

Medida conhecida: 7 fileiras

Outra medida conhecida: 5 caixas por fileira

Produto: ?

Para a resolução do problema, um aluno organizou as caixas de sapatos relacionando as duas medidas conhecidas: a quantidade de fileiras com a quantidade de caixas de sapatos por fileiras, constituindo uma representação com linhas e colunas, cujo resultado expressa o produto da relação entre essas quantidades, isto é, 7 fileiras por 5 colunas, resultando em 35. Este tipo de tabela é considerada por Vergnaud (2009) a forma mais natural de representação da relação entre as três medidas envolvidas em problemas dessa natureza. No caso exemplificado, tem-se as duas medidas simples conhecidas e busca-se a medida composta (o produto).

(Adaptado/Paint)

No caso do aluno acima, o registro pictórico permite observar sua compreensão sobre a situação-problema e, também, pode ter contribuído para a busca do procedimento que melhor representasse a operação utilizada para a resolução, pois é possível perceber a tentativa de fazê-lo pelo algoritmo da divisão (escrita apagada por ele). Certamente, como não obteve o resultado esperado, buscou encontrá-lo pelo algoritmo da multiplicação, com sucesso. A opção pela divisão, possivelmente, tenha ocorrido pela ideia de “distribuir” as caixas de sapatos entre as fileiras, gerando um entendimento de que se tratava de um cálculo de divisão. Outro aspecto a destacar é a forma como o algoritmo da multiplicação foi escrito, colocando o 7 na ordem das dezenas e o 5 na ordem das unidades, indicando a necessidade de uma intervenção sobre o modo de compreensão a respeito do significado das ordens numéricas no Sistema de Numeração Decimal.

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6- Situações envolvendo raciocínio combinatório

Algumas situações envolvem a necessidade de verificar as possibilidades de se combinar elementos de diferentes conjuntos. Por exemplo:

Lúcia também trabalha com acessórios e vendeu para uma cliente dois chapéus, um branco (B) e outro preto (P) e três bolsas, uma rosa (R), uma azul (A) e uma cinza (C). De quantas maneiras diferentes Lúcia pode indicar para a cliente o uso dos acessórios?

Conjunto conhecido: 2 chapéus

Conjunto conhecido: 3 bolsas

Número de possibilidades: ?

Temos dois conjuntos conhecidos: chapéus e bolsas, que devem ser combinados, entre si, para determinar o número de possibilidades de combinação. Vejamos como um aluno resolveu o problema:

(Adaptado/Paint)

O aluno constituiu as diferentes possibilidades de formar conjuntos como expressa em seu registro. Combinou os elementos dos conjuntos sem usar um esquema determinado e, a seguir, contou as diferentes possibilidades de conjuntos diferentes. O resultado foi encontrado pela contagem do total de possibilidades de combinações possíveis.

Vejamos como um segundo aluno resolveu o problema: Ele registra, por desenho, o entendimento da relação de “um para muitos” na organização das combinações possíveis, ou seja, identifica a existência de dois conjuntos básicos: chapéus e bolsas e relaciona-os entre si ligando-os: chapéu branco com bolsa rosa, chapéu branco com bolsa azul, chapéu branco com bolsa cinza. Após esse processo, faz o mesmo com o chapéu preto. Obtém 3 possibilidades de combinar o chapéu preto com as bolsas e três possibilidades de combinar o chapéu branco com as bolsas, ou seja, 2 vezes 3, obtendo ao todo 6 possibilidades de combinações diferentes. Dessa forma, ele valeu-se do raciocínio multiplicativo para a resolução do problema e expressa esta ação escrevendo uma multiplicação. Veja o registro:

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(Adaptado/Paint)

Diagramas que evidenciam as possibilidades de combinações podem ser recursos interessantes para a resolução desses problemas. Por exemplo:

(Adaptado/Paint)

O aluno valeu-se do raciocínio multiplicativo para a resolução do problema e expressa esta ação escrevendo uma multiplicação.

Educador: embora muitas vezes, não sejam familiares aos alunos o uso de diagramas como esses, mas eles podem ser representações interessantes a serem usadas durante as discussões, pois ajudam a organizar o pensamento e compreender o raciocínio envolvido.

Bibliografia consultada para desenvolvimento dos exemplos de situações de 1 a 6: PACTO Nacional pela Alfabetização na Idade Certa Operações na Resolução De Problemas. Caderno 04. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de

Apoio à Gestão Educacional: Brasília, 2014. (texto e situações adaptadas) BIGODE, Antonio J. L.; FRANT, Janete Bolite. Matemática: Soluções para dez desafios do educador.

São Paulo: Editora Ática, 2011.

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7- Diferentes maneiras de resolver problemas de divisão

Foco:

Resolver problemas de divisão com diferentes procedimentos numéricos. Resolve problemas correspondentes a diferentes significados da divisão. Discutir diferentes procedimentos utilizados para resolver o problema (adição ou subtração,

multiplicações).

Sugestões:

Proponha o seguinte problema para ser resolvido em duplas:

"Uma padaria fabrica 180 tortas por dia e as entrega a cada uma de suas 15 filiais de modo que todas recebam a mesma quantidade de tortas. Quantas tortas cada filial recebe?"

Educador: para resolver esse problema os alunos podem:

Fazer desenhos (ou representações gráficas), representando as 180 tortas e as 15 filiais que vão recebê-las, unindo-as com setas. Ou então, desenham as 15 filiais e colocam "marcas" para representar as tortas. Em qualquer um dos casos, os alunos podem distribuir uma torta por vez ou mais de uma. A grande quantidade de tortas dificulta esse tipo de procedimento, tornando-o cansativo e pouco seguro. Esse é um ponto que pode ser colocado em discussão, caso muitas crianças ainda utilizem esse tipo de procedimento.

Utilizar a adição, estimando uma quantidade para cada uma das filiais. Experimentam uma quantidade (quociente) hipotética, repetindo-a 15 vezes e vão ajustando esta quantidade conforme o resultado obtido. Embora não seja um procedimento comum é possível também somar o 15 até chegar ao 180 e depois contar quantos "quinzes" somou.

Fazer aproximações multiplicativas, buscando um número que multiplicado por 15 dê 180, compondo progressivamente o quociente. Por exemplo, se forem 10 tortas para cada filial são 150, faltam 30, então são mais duas tortas para cada filial.

Discussão dos procedimentos utilizados: é provável que os alunos utilizem procedimentos aditivos e multiplicativos para resolver este tipo de problema. Se for este o caso, compare os dois tipos de procedimento, elegendo o mais seguro e econômico. Por outro lado, se muitas crianças utilizarem as representações gráficas, proponha que pensem uma forma de realizar esse cálculo utilizando números.

Divisão sem desenhos

Proponha um novo problema para ser resolvido em duplas: "Num cinema há 250 poltronas. Se há 10 fileiras, quantas poltronas há por fileira?"

Sugira que todos utilizem cálculos numéricos para resolver esse problema, já que envolve números altos e os desenhos seriam inviáveis. Pergunte se contar de 10 em 10 ajuda.

Peça para que alguns alunos apresentem e expliquem os procedimentos utilizados. Analise as características, as regularidades e as relações com o sistema de numeração das multiplicações por 10.

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Educador: faça a tabulação das estratégias usadas na resolução dos problemas, observando os avanços dos estudantes. Verifique quais passaram a utilizar outros procedimentos diferentes da representação gráfica. Esses resultados serão importantes no planejamento das próximas aulas e na definição das intervenções posteriores.

Essa sequência é baseada na proposta de María Emília Quaranta e Susana Wolman no livro Ensinar Matemática na educação infantil e nas séries iniciais, capítulo 6 - Discussões nas aulas de matemática: o que, para que e como se discute, editora Artmed, 2006.

Bibliografia consultada: DIFERENTES maneiras de resolver problemas de divisão. Disponível em: <http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/diferentes-maneiras-de-resolver-problemas-de-divisao.>. Acesso em: 23

set. 2014. 16h01min.

8- Problemas de divisão com o jogo "Quem dirá 20?”

Foco:

Formular representações ou regras. Elaborar provas para convencer seus pares. Dar um novo significado ao resto da divisão. Explorar diferentes abordagens da divisão.

Sugestões:

Apresente o jogo "Quem dirá 20?" explicando as regras: são dois jogadores, sendo que o primeiro diz 1 ou 2. O segundo acrescenta "1" ou "2" ao valor dito e diz o resultado. Quem disser o número 20 ganha a partida.

Jogue duas ou três partidas com os alunos, registrando os valores no quadro. Organize-os em duplas e proponha que joguem anotando os números.

Em outra aula, proponha nova partida, e peça que digam as estratégias que usam (anote-as em um cartaz).

Educador: se necessário, reduza o número do desafio - pode ser, por exemplo, o jogo do "Quem dirá 10?", e ofereça uma lista com as possibilidades de números que podem ser ditos.

Peça para os alunos disputarem o "Quem dirá 20?" entre duplas e conversarem sobre os números que levam a ganhar o jogo. É comum que, após a segunda ou terceira jogada, eles afirmem que quem diz 17 é o campeão (já que se um fala 17, o adversário diz 18 ou 19 e o outro chega ao 20).

Educador: se suas hipóteses estiverem distantes das do grupo, faça dupla com ele e elabore perguntas objetivas. Utilize o quadro numérico para apoiar o cálculo.

Entregue, para cada dupla, uma folha com quatro estratégias consideradas eficientes pelos alunos (algumas válidas e outras não). A tarefa é testá-las e anotar as que funcionam sempre.

Divida a turma em dois grupos e diga que o jogo será disputado entre as equipes. A cada partida, devem conversar sobre as estratégias e os números que ajudam a ganhar o jogo.

Ainda organizados em duas equipes, explique que a atividade será dar dicas sobre como jogar melhor o "Quem dirá 20?".

Oriente os alunos, solicitando que preparem uma lista do que será apresentado. Cada equipe dá uma informação e o concorrente concorda (e então os primeiros ganham um ponto) ou discorda

http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/diferentes-maneiras-de-resolver-problemas-de-divisao

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(nesse caso, os adversários devem defender sua posição. Se convencerem os demais, ganham dois pontos; se não, são os outros que pontuam). Peça que registrem as dicas no caderno, sendo elas verdadeiras ou não, para serem retomadas adiante. Quem fizer mais pontos em quatro rodadas vence.

Recolha as folhas com anotações e reproduza algumas dicas no quadro, dividindo-as em duas colunas: "Isso é verdade" e "Isso não é verdade". Os alunos devem dizer se concordam ou não com o lugar em que está anotado cada dado.

Proponha a análise dos números que ajudam a ganhar o jogo (2-5-8-11-14-17-20):

Que regularidade existe? Por quê?

O que está relacionado às regras do jogo?

Como se pode escrever uma receita para ganhar sempre?

Educador: os alunos podem usar a estratégia que analisa que, se o vencedor tem de dizer 20 e, antes disso, 17, ele também terá de falar 14, e assim por diante. Eles podem usar a subtração sucessiva ou ainda resolver esses desafios com a divisão por 3. Outra maneira de se jogar é com uma operação para encontrar a melhor estratégia: divide-se o valor em que se quer chegar (no caso, 20) pela soma dos números que podem ser utilizados, de acordo com a regra (2 + 1 = 3). O resultado da operação (20 dividido por 3) será 6, e o resto, 2. Para vencer, o participante então deve usar o resto 2, como primeiro número dito, para começar o jogo, e manter um intervalo de 3 entre os números que disser. Essa sistematização faz com que os alunos tenham uma ferramenta mais prática e eficiente para aplicar.

Organize os alunos em grupos de quatro. Peça que encontrem os números que facilitem ao participante ganhar o jogo se fosse chegar a 25, 30, 38 e 40.

Organize uma última rodada de discussões, estabelecendo relações entre a subtração sucessiva e o uso do algoritmo da divisão. Caso considere que já dominam o conteúdo, proponha que joguem com números mais altos e ajustem suas hipóteses. Como exemplo, o jogo pode ser o "Quem dirá 428?", sendo que os números podem ser utilizados para acréscimo.

Bibliografia consultada: <Problemas de divisão com o jogo "Quem dirá 20?” Disponível em: http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/problemas-de-divisao-com-o-jogo-quem-dira-20

Acesso em: 29 set 2014. 14h03min.

9- Proponha situações desafiadoras

Educador: para o desenvolvimento do raciocínio aditivo e multiplicativo, é importante propor aos alunos problemas variados, envolvendo as diferentes situações que compõem os campos conceituais. Assim, pode-se enfrentar situações desafiadoras e não apenas resolver problemas a partir da repetição de estratégias já conhecidas. Sempre que possível, recorra ao uso de jogos e desafios e da calculadora. Leve os alunos a pensarem sobre situações e ideias que sugerem uma ação de multiplicar: dobro, triplo, quádruplo, duplicar, aumentar “tantas vezes”. Explore ideias que valorizem a linguagem do dia a dia. Ex.: bimestre (2 meses), bicicleta (duas rodas) bienal (2 anos) binóculos (dois óculos), trimestre, tricampeão....

Alguns exemplos, a seguir, adaptados do livro: BIGODE, Antonio J. L.; FRANT, Janete Bolite. Matemática: Soluções para dez desafios do educador. São Paulo: Editora Ática, 2011.

a) Na lanchonete do Tuca os clientes podem montar o seu lanche combinando 3 tipos de pão com 4 tipos de recheio. Quantos lanches diferentes é possível combinar?

http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/problemas-de-divisao-com-o-jogo-quem-dira-20

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b) No campeonato de futebol, a vitória vale 3 pontos; o empate apenas 1 ponto; a derrota

zero ponto. O time Perna de Pau Futebol Clube jogou 10 partidas, ganhou 2, empatou 3 e perdeu 5 partidas. Já o Pelé Futebol Clube ganhou 5, empatou 3 e perdeu 2. Quantos pontos cada equipe conseguiu?

c) Se um litro de refrigerante serve 4 copos, quantos copos dá para servir 5 litros de

refrigerante?

d) Se três maços de alface custam R$ 6,00. Quanto custam 06 maços?

e) Se cada caixa de lápis de cor têm 12 lápis. Quantos lápis existem em 05 caixas?

f) Janaína está brincando com a calculadora. Ela teclou um número, em seguida o dobrou, para depois multiplicar o resultado por 5. Apareceu o número 70 no visor. Que número ela teclou no início?

g) João e Alice sempre para passar o tempo usam a calculadora para brincar. João apertou

a seguinte sequência de teclas: ??x? e =. Sabendo que os números da interrogações correspondem as teclas 2,3 e 4, qual é o maior número que pode aparecer no visor como resposta?

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5.11 - Multiplicação e Divisão – Situações-Problema no Mapa Curricular

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6. REFERÊNCIAS A) Bibliografia consultada

BERTON, Ivani da C. Borges; ITACARAMBI, Ruth Ribas. Números, brincadeiras e jogos. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.

BIGODE, Antonio J. L.; FRANT, Janete Bolite. Matemática: Soluções para dez desafios do educador. São Paulo: Editora Ática, 2011. BORIN, J. Jogos e resoluções de problemas: uma estratégia para aula de matemática. São Paulo: USP, 1995.

CARDOSO, Virginia C. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo: USP, 1995.

ITACARAMBI, Ruth Ribas. Resolução de problemas nos anos iniciais do ensino fundamental. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.

KAMII, C; JOSEPH, Linda L. Crianças pequenas continuam reinventando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. Trad. Vinicius Figueira – 2ª ed. Campinas, SP. Artmed, 2005.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO BÁSICA. DIRETORIA DE APOIO À GESTÃO EDUCACIONAL. Pacto nacional pela alfabetização na idade certa: operações na resolução de problemas. Brasília: MEC, SEB, 2014. PREFEITURA DE SÃO PAULO. Secretaria Municipal de Educação. Construindo uma nova EJA para São Paulo. São Paulo: Secretaria Municipal de Educação-DOT, 2004. (Coleção Uma Nova EJA para São Paulo, caderno 4) _______. Secretaria Municipal de Educação. Guia de planejamento de orientações didáticas para o educador de 1º ano do Ciclo 1. São Paulo: Secretaria Municipal de Educação - DOT, 2007. (Programa Ler e Escrever) ______. Secretaria Municipal de Educação. Guia de planejamento de orientações didáticas para o educador de 2º ano do Ciclo 1. São Paulo: Secretaria Municipal de Educação - DOT, 2007. (Programa Ler e Escrever) ______. Secretaria Municipal de Educação. Guia de planejamento de orientações didáticas para o educador de 3º ano do Ciclo 1. São Paulo: Secretaria Municipal de Educação - DOT, 2007. (Programa Ler e Escrever) ______. Secretaria Municipal de Educação. Guia de planejamento de orientações didáticas para o educador de 4º ano do Ciclo 1. São Paulo: Secretaria Municipal de Educação - DOT, 2007. (Programa Ler e Escrever)

PROGRAMA de Formação continuada de educadores dos anos/séries iniciais do Ensino Fundamental. Pró Letramento. (Fascículo 1): Números Naturais. Brasília: Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica, Universidade de Brasília, 2007. (Domínio Público)

______. Pró Letramento. (Fascículo 2): Operações com Números Naturais. Brasília: Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica, Universidade de Brasília, 2007. (Domínio Público)

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______. Pró Letramento. (Fascículo 6): Tratamento da Informação. Brasília: Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica, Universidade de Brasília, 2007. (Domínio Público)

______. Pró Letramento. (Fascículo 7): Resolver Problemas: o lado lúdico do Ensino da Matemática. Brasília: Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica, Universidade de Brasília, 2007. (Domínio Público)

PROGRAMA gestão da Aprendizagem Escolar - Gestar I. Matemática: Atividades de Apoio à Aprendizagem 1 - AAA1: Número Natural: Conceito e representação. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica. FNDE/MEC, 2007. PROGRAMA gestão da Aprendizagem Escolar - Gestar I. Matemática: Atividades de Apoio à Aprendizagem 1 – AAA3: Medidas e Grandezas. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica. FNDE/MEC, 2007. RAMOS, Luzia Faraco. Conversas sobre números, ações e operações. Uma proposta criativa para o ensino de Matemática nos primeiros anos. São Paulo: Ática, 2009.

SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001. ______; CANDIDO, P. Jogos de Matemática de 1º ao 5º ano. Porto Alegre: Artmed, 2007. (Série Cadernos do Mathema - Ensino Fundamental). STAREPRAVO, Ana Ruth. Jogando com a Matemática: números e operações. Curitiba: Aymará, 2009.

Artigos de revistas e sites A BASE das operações matemáticas. Revista Nova Escola, set. 2009. [on-line]. Disponível em: <http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fundamentos/base-operacoes-matematicas-500292.shtml>. Acesso em: 15 maio 2014. 13h23min. CAMPO aditivo com mudança do lugar da incógnita. Planos de aula. Revista Nova Escola [on-line]. Disponível em: <http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/campo-aditivo-com-mudanca-do-lugar-da-incognita>. Acesso em: 29 set. 2014. 11h20min. COMPARAÇÃO de ofertas. Planos de aula. Revista Nova Escola [on-line]. Disponível em: <http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/comparacao-de-ofertas>. Acesso em: 29 set. 2014. 15h38min. INTERPRETAÇÃO de enunciados. Roteiro Didático – Adição e subtração para 1º, 2º e 3º anos. Revista Nova Escola [on-line]. Disponível em: <http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-1/roteiro-didatico-adicao-subtracao-1-2-3-ano-matematica-637802.shtml?page=3.2>. Acesso em: 29 set.2014. 15h26min. PLANOS de Aula 2. Matemática. Revista Nova Escola, Edição Especial, n. 35, São Paulo: Editora Abril.

ROTEIRO Didático – Adição e subtração para 1º, 2º e 3º anos. Revista Nova Escola [on-line]. Disponível em: <http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-1/roteiro-didatico-adicao-subtracao-1-2-3-ano-matematica-637802.shtml?page=3.2>. Acesso em: 29 set. 2014. 15h26min.

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MATEMÁTICA salarial. Revista Nova Escola [on-line]. Disponível em: <http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula/matematica-salarial>. Acesso em: 29 set. 2014. 15h06min. TEORIA, prática e atividades. As melhores estratégias para ensinar os conteúdos de Matemática. Revista Nova Escola, Edição Especial, n. 14, São Paulo: Editora Abril. UM POUCO de tabelas e gráficos. Matemática e suas Tecnologias. Módulo 1. Unidade 9. Disponível em: <http://cejarj.cecierj.edu.br/Material_Versao7/Matematica/Mod0/Matematica_Unidade_09_seja.pdf>. Acesso em: 25 out. 2014. 11h44min. UNESP. Jogos no ensino de Matemática. Disponível em: <http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/matematica/extensao/lab-mat/jogos-no-ensino-de-matematica/.>. Acesso em: 26 out.2014. 22h59min

Sites

http://cederj.edu.br/ceja/material-didatico/ http://www.somatematica.com.br http://portaldoeducador.mec.gov.br http://revistaescola.abril.com.br. http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l2.htm http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/fasciculo_mat.pdf

Curso

FUNDAÇÃO BRADESCO. Formação de alfabetizadores. Curso EaD, 2011.

B) Bibliografia de apoio

ANTUNES, Celso. Jogos para a estimulação das múltiplas inteligências. Petrópolis/RJ: Vozes, 1998.

CARRAHER, D. W.; SCHLIEMANN, A. D. Na vida dez, na escola zero: os contextos culturais da aprendizagem da matemática. São Paulo: Cortez, 1988.

COLL, Cesar; TEBEROSKY, Ana. Aprendendo Matemática. Conteúdos essenciais para o Ensino Fundamental

de 1ª a 4ª série. São Paulo: Ed. Ática, 2000.

DUHALDE, M. H.; CUBERES, M. T. G. Encontros iniciais com a matemática. Porto Alegre: Artmed, 1998. GARCIA, Pedro Benjamim et al. Alfabetização de adultos. Petrópolis: Vozes/NOVA, 1988. (Série de

Cadernos de Educação Popular 8)

KAMII, C. O aluno e o número. São Paulo: Papirus, 2007.

______; DECLARK, G. Reinventando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. 10. ed. Trad. Elenisa Curt, Marina Célia M. Dias, Maria do C. D. Mendonça. Campinas, SP: Papirus, 1995. MACEDO, Lino; PETTY, Ana Lúcia S.; PASSOS, Norimar Christe. Quatro cores, senha e dominó: Oficina de Jogos em uma perspectiva construtivista e psicopedagógica. São Paulo: Casa do Psicólogo, 1997. 2ª ed.

______. Jogos e Situações-Problema. Porto Alegre: ARTMED, 2000.

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SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de estudos e Normas Pedagógicas. Atividades Matemáticas: 2ª série do 1º Grau. 3. ed. Coord. Lydia Condé Lamparelli. São Paulo. SE/CENP, 1988. ______. Secretaria da Educação e Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Proposta Curricular para o Ensino de Matemática: 1º Grau. 4. ed. São Paulo: SE/CENP, 1991. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares Nacionais. Primeiro, segundo, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental – Matemática. Brasília, DF: MEC, 1998. RES SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; CANDIDO, P. Brincadeiras infantis nas aulas de matemática. Porto Alegre: Artmed, 2000. (Coleção Matemática de 0 a 6 anos). TRABALHANDO com a Educação de Jovens e Adultos. O processo de Aprendizagem dos Alunos e Educadores. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria da Educação Continuada, Alfabetização e Diversidade. FNDE/MEC, 2006.

ZUNINO, Delia Lerner. A Matemática na escola: aqui e agora. Porto Alegre: Artes Médicas, 1995.

fascículo 5- situações em que se aplicam a multiplicação e a divisão

Documents