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c� PAVF �

Fundamentos I

� Conjuntos

� Fun�c�oes

� N�umeros reais

� Seq�u�encias

� Fun�c�oes cont��nuas

� Fun�c�oes diferenci�aveis

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c� PAVF �

Conjuntos

No�c�oes primitivas

� Conjunto� cole�c�ao� fam��lia

� Elemento� membro

Seja A um conjunto e x um elemento� Ent�ao

x � A � x pertence a A� x est�a contido em Ax �� A � x n�ao pertence a A

Sejam A�B conjuntos� Ent�ao

� Se x � A implica que x � B� diz�se que A est�a contidoem B� ou que B cont�em A� ou que A �e um subconjuntode B

A � B ou B � A

� A � B se e somente se A�B cont�em os mesmos elementosA � B implica A � B e B � A�

� Se A � B e A �� B� ent�ao A �e um subconjunto pr�opriode B

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c� PAVF �

Conjuntos

Descri�c�oes de conjuntos

�� Listando�se seus elementos

� Especi�cando�se uma propriedade comum aos elementosdo conjunto

A �� fx � P�x�g ou A �� fx � S � P�x�g

isto �e� todos os elementos de A satisfazem a propriedadeP

Conjuntos especiais

�� Conjunto dos n�umeros naturais N �� f�� �� �� � � �g � Conjunto dos n�umeros inteiros Z �� f����������� � � �g�� Conjunto dos n�umeros racionais

Q �� fm�n � m�n � Z e n �� �g

�� Conjunto dos n�umeros reais� R

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c� PAVF �

Conjuntos

Exemplos

a�

A �� f�� �g�� fx � N � x� � �x � �g

b�

A �� f�� �g�� fx � N � � � x� � ��g�� fx � N � x� � �� � � �g�� fy � N � y � � x� x � � ou x �g

c� Naturais pares�

A �� fy � N � y � �x� x � Ng

�� f�x � x � Ng nota�c�ao abreviada�

d� Teorema de Fermat�

A �� f�� �g

�� fn � N � xn yn � zng� x� y� z � N

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c� PAVF �

Conjuntos

Conjunto vazio� �

N�ao possue elementos� Se A �e qquer conjunto� � � A

Opera�c�oes

Uni�ao�

A � B �� fx � x � A ou x � Bg �ou� inclusivo�

Interse�c�ao�

A B �� fx � x � A e x � Bg

Se A B � �� ent�ao A e B s�ao disjuntos

Complemento� de B relativo a A�

AnB �� fx � A � x �� Bg

AnB � A �menos� B� A� B� A B�

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c� PAVF �

Conjuntos

Propriedades

Idempot�encia�

A A � A� A �A � A

Comutatividade�

A B � B A� A � B � B �A

Associatividade�

�A B� C � A �B C�� �A � B� � C � A � �B � C�

Distributividade�

A �B � C� � �A B� � �A C�A � �B C� � �A � B� �A� C�

Leis de DeMorgan�

An�B � C� � �AnB� �AnC�An�B C� � �AnB� � �AnC�

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Conjuntos

Nota�c�oes especiais�

�i�I

Ai ��n�i��

Ai �� A� �A� � � � � �An

�i�I

Ai ��n�i��

Ai �� A� A� � � � An

I � conjunto de ��ndices

MATLAB

A���a���b���c���d���e���f���g���h���i���j���k���l��

�m���n���o���p���q���r���s���t���u���v���w���x��

�y���z����

ismember��a��A�

ans � �

ismember����A�

ans �

B���a���e���i���o���u��� C���k���w���y���

BuC�union�B�C�� AcB�setdiff�A�B�� AcC�setdiff�A�C��

L�setdiff�A�BuC�

L � bcdfghjlmnpqrstvxz

R�intersect�AcB�AcC�

R � bcdfghjlmnpqrstvxz

An�B � C� � �AnB� �AnC� �

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Conjuntos

Produto carteziano

Sejam A e B conjuntos n�ao�vazios� O produto cartezianoA � B de A e B �e o conjunto formado por todos os paresordenados �a� b�� com a � A e b � B

A

B

�a� b�

a

b

A� B

Exemplos�

a� A �� f�� �� �g� B �� f � �g

A � B � f��� �� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� �� ��� ��g

b� A �� fx � R � � � x � �gB �� fx � R � � � x � �g

A � B � f�a� b� � � � a � �� � � b � �g

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c� PAVF �

Fun�c�oes

Fun�c�ao

� Nos prim�ordios� referia�se a f�ormulas do tipo

f�x� �� x� �x ou f�x� ��Z x

��e�t

dt

� A cada x � R associa�se um �unico f�x� � R

� Algumas fun�c�oes n�ao s�ao exatamente f�ormulas

f�x� �

���������������������

�� se x � �

�� se x � �

��� se x � �

� Generaliza�c�ao uma fun�c�ao f de A para B �e uma regraque atribui a cada x � A um �unico elemento f�x� de B

� Regra �e um conceito difuso� Fun�c�ao pode ser melhor de��nida em termos de conjuntos e conceitos associados

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Fun�c�oes

Fun�c�ao

Sejam dois conjuntos A�B� Uma fun�c�ao de A para B �e umconjunto f de pares ordenados �a� b� em A � B tal que paracada a � A existe um �unico b � B com �a� b� � f � isto �e�

�a� b� � f e �a� b�� � f b� � b

� A �e o dom��nio da fun�c�ao� D�f�

� O conjunto de todos os elementos de B que ocorrem comosegundos elementos de f �e o range de f � R�f�

a

b

f

�a� b�

A

B R�f�

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Fun�c�oes

Nota�c�ao�

f � A � B

� f �e uma fun�c�ao de A para B� f �e um mapeamento de A em B� Se �a� b� � f � costuma�se escrever b � f�a�� onde b �e ovalor ou imagem de a sob f

Transforma�c�ao

Representa�c�ao geom�etrica de uma fun�c�ao

a b

f

b � f�a�

A B

R�f�

Representa�c�ao �util� principalmente se A e B n�ao s�ao subcon�juntos do plano

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c� PAVF ��

Fun�c�oes

MATLAB

fplot�f��xmin xmax��

f � express�ao simb�olica de f em termos de xxmin� xmax � valores m��nimo e m�aximo de x

Exemplo� f�x� �� sin �x��� x � ��� ���

fplot��sin�x������ � pi���

0 1 2 3 4 5 6−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

f

R�f�

Alternativa

x�linspace��� pi����

f�sin�x�����

plot�x�f��

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c� PAVF ��

Fun�c�oes

Exemplo� Subplots de

f��x� �� x�� f��x� �� sin �x�� cos �x�

f��x� �� sin �x���x e f��x� �� e�x�

no intervalo ����� ���

x�linspace����pi���pi����

f�x�� subplot������ plot�x�f� grid

f��sin�x����cos�x��eps� subplot������� plot�x�f�� grid

f �sin�x�������x�eps� subplot����� � plot�x�f � grid

f��exp��x���� subplot������� plot�x�f�� grid

−10 −5 0 5 10−300

−200

−100

0

100

200

300

−10 −5 0 5 10−40

−20

0

20

40

−10 −5 0 5 10−1

−0.5

0

0.5

1

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xx

xx

f�

f�

f�f�

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Fun�c�oes

Imagens direta e inversa

Sejam f � A � B� E � A e H � B

Imagem direta�

f�E� �� ff�x� � x � Eg

y� � f�E� � �x� � E � y� � f�x��

Imagem inversa�

f���H� �� fx � A � f�x� � Hg

x� � f���H� � y� �� f�x�� � H

Exemplo

Sejam f�x� �� x� e E �� fx � � � x � �g� Ent�ao

f�E� � fy � � � y � g

Entretanto

f���f�E�� � fx � �� � x � �g �� E

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Fun�c�oes

Fun�c�ao injetiva

f � A � B �e injetiva se sempre que x� �� x� obt�em�sef�x�� �� f�x��� ou seja� f�x�� � f�x�� implica x� � x� paratodos x�� x� � A

Fun�c�ao inversa

Seja f � A � B uma fun�c�ao injetiva� Se g �� f�b� a� �B�A � �a� b� � fg� ent�ao g � R�f�� A �e a fun�c�ao inversade f � denotada por f��

Exemplo

Seja A �� fx � R � x �� �g� Ent�ao f � A � B de�nida por

f�x� ���

x

�e injetiva� O range de f �e R�f� � fy � R � y �� �g e a inversade f �e

f���y� ��

y

Nota� f � A � B �e sobrejetiva se R�f� � B e bijetiva se aomesmo tempo �e injetiva e sobrejetiva

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Fun�c�oes

Fun�c�ao composta

Sejam as fun�c�oes f � A � B e g � B � C� A fun�c�aocomposta g � f �e a fun�c�ao g � f�x� �� g�f�x��� x � A� de Apara C

f gA B C

R�f�

R�g�

g � f

Exemplos

a� f�x� �� x �� g�x� �� x�� x � R� como D�g� � R eR�f� � R� D�g � f� � R e

g � f � g�f�x�� � �x ��� � x� �x �

b� f�x� �� �� x�� g�x� ��px� x � R� a fun�c�ao

g � f � g�f�x�� �p�� x�

est�a de�nida somente em fx � R � �� � x � �gf�x� � ��

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N�umeros reais

Axiomas de campo

Sobre R est�ao de�nidas duas opera�c�oes bin�arias� ��� e � � ��adi�c�ao e multiplica�c�ao� que satisfazem as propriedades abaixopara todos x� y� z � R

�� x y � y x

� �x y� z � x �y z�

� Existe um elemento � � R tal que � x � x

�� Para cada x � R� existe �x � R tal que x ��x� � �

�� x � y � y � x

� �x � y� � z � x � �y � z�

�� Existe um elemento � �� � tal que � � x � x

�� Para cada x � R� x �� �� existe ��x � R tal que x����x� � �

�� x � �y z� � �x � y� �x � z�

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c� PAVF ��

N�umeros reais

Axiomas de ordem

Existe um subconjunto R� � R� chamado de conjunto den�umeros positivos� tal que

�� Se x� y � R�� ent�ao x y � R�

� Se x� y � R�� ent�ao xy � R�

� Se x � R�� ent�ao �x �� R�

�� � �� R�

De�ni�c�oes de �� �� � e �

x � y y � x � R�

y � x x � y

x � y x � y ou x � y

y � x x � y

Teorema Sejam x� y� z � R� Ent�ao

a� Se x � y e y � z� ent�ao x � z

b� Ou x � y� ou x � y� ou x � y �ou� exclusivo�

c� Se x � y e y � x� ent�ao x � y

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c� PAVF ��

N�umeros reais

Valor absoluto

O valor absoluto de x � R �e de�nido como

j x j ��

���������������������

x� se x � �

�� se x � �

�x� se x � �

Propriedades � Para quaisquer x� y � R�

a� j x j � �� j x j� � � x � �

b� j �x j� j x jc� j xy j� j x j j y jd� j x j � c � �c � x � c �c � ��

e� � j x j � x � j x j

f� j x y j � j x j j y j Desigualdade Triangular�

g� jj x j � j y jj � j x� y jh� j x� y j � j x j j y j

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c� PAVF �

N�umeros reais

Reta real

� � � �������

� j x j� x � R �e a dist�ancia de x �a origem �

� j x�y j �e a dist�ancia entre elementos x� y � R quaisquer

Vizinhan�ca

Seja a � R e � � �� A ��vizinhan�ca de a �e o conjunto

V��a� �� fx � R � j x� a j� �g

Se x � R� ent�ao

�� � x� a � � � a� � � x � a �

aa� � a �

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N�umeros reais

Supremo

� b � R �e um limitante superior de S � R se

x � b para todo x � S

� Se S �e limitado superiormente� ent�ao b �e o supremo deS se n�ao existe limitante superior para S menor do que b

Nota�c�oes� sup S� supx�S x ou sup fx � x � Sg

�In�mo

� a � R �e um limitante inferior de S � R se

a � x para todo x � S

� Se S �e limitado inferiormente� ent�ao a �e o ��n�mo de Sse n�ao existe limitante inferior para S maior do que a�

Nota�c�oes� inf S� infx�S x ou inf fx � x � Sg

S

inf S sup S

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N�umeros reais

Conjunto limitado

Um conjunto S � R �e limitado se possui limitantes superiore inferior� e ilimitado� caso contr�ario

Axioma de completividade

Todo conjunto n�ao�vazio de n�umeros reais que possui umlimitante superior inferior� possui um supremo ��n�mo�

Exemplo � Seja o conjunto

S �����

��� � � � �

��

n

�n� � � �

onde��

n

�n� ����� � � � � e quando n��� Ent�ao

supS � e� inf S � �

Notas

� supS � e �� S� S n�ao possui um menor limitante superior racional

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N�umeros reais

Intervalos

Sejam a� b � R tais que a � b

Aberto

�a� b� �� fx � R � a � x � bg

Fechado

�a� b� �� fx � R � a � x � bg

Semi�abertos Semi�fechados�

�a� b� �� fx � R � a � x � bg�a� b� �� fx � R � a � x � bg

In�nitos �Raios��

�a��� �� fx � R � x � ag���� a� �� fx � R � x � ag�a��� �� fx � R � x � ag

���� a� �� fx � R � x � ag

a� b � pontos extremos

R �� ������

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N�umeros reais

Intervalos limitados�

�a� b�� �a� b�� �a� b�� �a� b�

Se I �e qquer intervalo limitado�

inf I � a� sup I � b

Intervalos ilimitados�

�a���� ���� a�� �a���� ���� a�

Possuem apenas supremo ou ��n�mo

M�aximo e M��nimo

Se x � sup S e x � S� ent�ao x �e o m�aximo de S� Damesma forma� se x � inf S e x � S� ent�ao x �e m��nimo de S

Nota�c�oes�

max S� maxx�S

x ou maxfx � x � Sg

min S� minx�S

x ou minfx � x � Sg

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c� PAVF ��

Seq�u�encias

Seq�u�encia em R

Uma seq�u�encia em R �e uma fun�c�ao com dom��nioN e rangecontido em R

�xk�� �xk� k � N�

Limite de �xk�

x � R �e um limite de �xk� se para todo � � �� existe umK��� � N tal que

j xk � x j� � para todo k � K���

Nota�c�oes�

lim �xk� � x� limk��

xk � x ou xk � x

� Se �xk� possui um limite� ent�ao �xk� �e convergente� casocontr�ario� �xk� �e divergente

� Se x �e um limite de �xk�� ent�ao �xk� converge para x

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c� PAVF ��

Seq�u�encias

Unicidade do limite

Uma seq�u�encia pode ter no m�aximo um limite

Prova� Sejam x� �x limites de �xk� x �� �x�� Escolhe�se � � �tal que

� ��

�j x� �x j

Ent�ao V��x�V���x� � �� SejamK� fK � N tais que xk � V��x��se k � K e xk � V���x�� se k � fK� FazendoK� � max�K� fK��ent�ao xk � V��x� e xk � V���x�� se k � K�� contradizendoV��x� V���x� � �� Portanto� x � �x �

Exemplos

a� lim ���k� � �� De fato

j ��k � � j� ��k

e dado qquer � � �� determina�seK � ���� Ent�ao ��k � �para todo k � K

b� �����k� n�ao converge para � ou para ���� De fato� sex � � e � � �� n�ao existe K � N tal que

j ����k � � j� � para todo k � K

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c� PAVF ��

Seq�u�encias

Seq�u�encia limitada

�xk� �e limitada se existe um real M � � tal que j xk j �Mpara todo k � N

Teorema

Uma seq�u�encia convergente �e limitada

Prova� Assuma lim �xk� � x e � � �� Ent�ao existe K � K���tal que j xk � x j� � para todo k � K� isto �e�

j xk j� j x j � para todo k � K

Se M �� sup fj x� j� j x� j� � � � � j xK�� j� j x j �g� ent�aoj xk j � M para todo k � N �

Opera�c�oes

Sejam �xk� e �yk� seq�u�encias e � � R� De�ne�se

Soma� �xk�� �yk� �� �xk � yk�

Produto� �xk� � �yk� �� �xkyk�

M�ultiplo� � �xk� �� ��xk�

Quociente� �xk���yk� �� �xk�yk� �yk �� �� k � N�

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c� PAVF ��

Seq�u�encias

Subseq�u�encia

Seja �xk� e r� � r� � � � � � rk � � � � uma seq�u�encia estri�tamente crescente em N� A seq�u�encia

�xrk� � �xr�� xr�� � � � � xrk � � � � �

�e chamada de subseq�u�encia de �xk�

Exemplos � Seja �xk� k � N�� S�ao subseq�u�encias de �xk�

a� �xrk�� r� � �� r� � �� r� � �� � � � � rk � �k � �� � � �

b� �xrk�� r� � �� r� � � r� � � � � � � rk � �k� � � �

c� �xrk�� r� � �� r� � �� r� � ��� r� � ��� � � �

Teorema

Se �xk� converge para x � R� ent�ao qquer subseq�u�encia de�xk� converge para x

Crit�erio de Diverg�encia� Se alguma subseq�u�encia n�ao con�vergir para x� ent�ao a seq�u�encia n�ao converge para x

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c� PAVF ��

Seq�u�encias

Exemplo � A seq�u�encia �xk� cujo termo geral �e

xk �� �� e�k���

�e tal que xk � x � �

� � �

k

� Quaisquer que sejam r� � r� � � � � � rk � � � �

�xrk� � ��� e�r����� �� e�r����� � � � �

tamb�em converge para x � �

� �xrk� pode ser vista como resultado da remo�c�ao de termosde �xk�� Os termos restantes constituem uma subseq�u�enciaconvergente para x � �

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c� PAVF �

Seq�u�encias

Teorema �Bolzano�Weierstrass�

Uma seq�u�encia �xk� limitada possui uma subseq�u�encia con�vergente

Notas

� Uma seq�u�encia ilimitada pode possuir subseq�u�encias con�vergentes� Exemplo�

�xk� �� ����

�� ��

� � � � �

� Uma seq�u�encia limitada pode possuir subseq�u�encias con�vergindo para diferentes limites� Exemplo�

�����k� k � N�� k par xk � ��� k impar xk � ���

� Pode possuir subseq�u�encias que n�ao convergem� Exemplo�

�����k� k � N�� k � �� �� �� �� �� � � �

Teorema

Seja �xk� uma seq�u�encia limitada tal que toda subseq�u�enciaconvergente de �xk� converge para x � R� Ent�ao �xk� convergepara x

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c� PAVF ��

Seq�u�encias

Seq�u�encia de Cauchy

�xk� �e uma seq�u�encia de Cauchy se para todo � � �� existeK � K��� tal que

j xn � xm j� � para todos n�m � K

� Exige que os termos de �xk� se aproximem qdo k ��� N�ao envolve a utiliza�c�ao de limites de seq�u�encias

Teorema

�xk� �e convergente se e somente se �xk� �e uma seq�u�encia deCauchy

Exemplo� Seja �xk� �� ���k�� Dado � � �� existe K � K���tal que K � ���� Portanto� se n�m � K� tem�se ��n � ��K���m � ��K e

�n ��

m

� �

n

m� �

K� � para todos n�m � K

Conclui�se que ���k� �e uma seq�u�encia de Cauchy e� peloTeorema� que ���k� �e convergente

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c� PAVF ��

Seq�u�encias

Ponto limite

x � R �e um ponto limite de �xk� se para todo k � N etodo � � ��

j xn � x j� � para algum n � k

Notas

� Se existir� o limite de �xk� �e um ponto limite da �xk�

� A seq�u�encia �����k� n�ao possui limite� mas possui doispontos limites �� e ��

Teorema

x � R �e um ponto limite de �xk� se e somente se existe umasubseq�u�encia de �xk� que converge para x

Nota

� Se �xk� converge para x � R� ent�ao qquer subseq�u�enciade �xk� tamb�em converge para x� Portanto� x �e o �unicoponto limite de �xk�

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c� PAVF ��

Fun�c�oes cont��nuas

Ponto de acumula�c�ao

Seja A � R� Diz�se que x� �e um ponto de acumula�c�ao deA se toda ��vizinhan�ca V��x�� �� �x�� �� x� �� de x� cont�emao menos um ponto de A distinto de x�

Limite de f em x�

Sejam A � R� f � A � R e x� um ponto de acumula�c�aode A� Diz�se que L �e um limite de f em x� se� para qquerV��L�� existe V��x�� tal que se x � A V��x��� x �� x�� ent�aof�x� � V��L�

���V��L�

���V��x��x�

L

x

f�x�

f

Atrav�es de modi�ca�c�oes convenientes� pode�se caracterizarlimites de f �a esquerda x� x�� � e �a direita x� x�� � de x�

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c� PAVF ��

Fun�c�oes cont��nuas

Continuidade

Sejam A � R� f � A � R e x� � A� Diz�se que f �econt��nua em x� se� para qquer V��f�x���� existe V��x�� talque se x � A V��x��� ent�ao f�x� � V��f�x���

���V��f�x���

���V��x��x�

f�x��

x

f�x�

f

� Se x� � A �e um ponto de acumula�c�ao� ent�ao f �e cont��nuaem x� se e somente se f�x�� � lim

x�x�f�x�

� Se x� � A n�ao �e um ponto de acumula�c�ao� ent�ao x� �e umponto isolado e f �e cont��nua em x�

� Se f �e cont��nua em cada ponto de A� ent�ao diz�se que f�e cont��nua em A

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c� PAVF ��

Fun�c�oes cont��nuas

Exemplo

N�ao s�ao cont��nuas em x� � ��

a� f�x� � sign �x�� porque limx��

sign �x� n�ao existe

b� f�x� � ��x� porque n�ao est�a de�nida em x � �

c� f�x� �

��� �� se x � ��� se x �� �

� porque f��� �� limx��

f�x�

a�� b� e c� s�ao cont��nuas para todo x �� �

Teorema

Sejam A � R� f � A � R e x� � A� Ent�ao as seguintescondi�c�oes s�ao equivalentes

a� f �e cont��nua em x�

b� Para qquer � � �� existe � � � tal que� para todo x � Acom j x� x� j� �� obt�em�se j f�x�� f�x�� j� �

c� Se �xk� for qquer seq�u�encia emA convergindo para x�� ent�ao�f�xk�� converge para f�x��

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c� PAVF ��

Fun�c�oes cont��nuas

Opera�c�oes

Sejam A � R� f � A � R� g � A � R e � � R� Se f e gs�ao cont��nuas em x� � A� ent�ao f g� f � g� fg� �g e f�gg�x� �� �� x � A� s�ao tamb�em cont��nuas em x� � A

MATLAB

Sejam f�x� �� x� � � g�x� �� x� � e � � ���

x�sym��x��� f�x����� g�x����� alfa����

subplot�������� ezplot�f�g�� grid�

� � �

−5 0 5

−200

−100

0

100

200

300

−5 0 5

−6000

−4000

−2000

0

2000

4000

6000

−5 0 5

−100

−50

0

50

100

−5 0 5

−6

−4

−2

0

2

4

6

xx

xx

f g fg

�f f�g

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c� PAVF ��

Fun�c�oes cont��nuas

Fun�c�ao limitada

f � A � R �e limitada em A se existe M � � tal quej f�x� j �M para todo x � A

Exemplo

a� f�x� � sin �x� � cont��nua e limitada para qquer A � R

b� f�x� � ��x � cont��nua e ilimitada em A �� ��� ��

c� f�x� � sign �x� � descont��nua em x� � �� mas limitadaqquer que seja A � R

f �e limitada sse R�f� �e um conjunto limitado

Teorema

Seja I �� �a� b� um intervalo fechado e limitado e f � I � Ruma fun�c�ao cont��nua em I� Ent�ao f �e limitada em I

Exemplo

a� f�x� � sin �x� � cont��nua e limitada em A �� ����� ���

b� f�x� � ��x � cont��nua e limitada em A �� ��� ��

c� f�x� � ex � cont��nua e limitada em A �� ���� ��

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c� PAVF ��

Fun�c�oes cont��nuas

M��nimo global

Seja A � R� Diz�se que f � A � R possui um m��nimoglobal em A se existe x� � A tal que

f�x�� � f�x� para todo x � A

f�x�� � min f�A� � minx�A

f�x�

M�aximo global

Seja A � R� Diz�se que f � A � R possui um m�aximoglobal em A se existe x� � A tal que

f�x�� � f�x� para todo x � A

f�x�� � max f�A� � maxx�A

f�x�

Exemplo � Seja f�x� � ��x e os dom��nios A

��� �� � nem m��nimo� nem m�aximo

��� �� � m��nimo e m�aximo

����� � m�aximo� mas n�ao m��nimo

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c� PAVF ��

Fun�c�oes cont��nuas

Teorema

Sejam I �� �a� b� e f � I � R cont��nua em I� Ent�ao fpossui um m��nimo global e um m�aximo global em I

Notas

� Algumas fun�c�oes apresentam m��nimos e m�aximos globaisem conjuntos ilimitados� Exemplo� f�x� � sin �x�

� Outras podem apresentar apenas m��nimos ou m�aximos�Exemplo� f�x� � x� possui m��nimo global em R

� M��nimos ou m�aximos podem n�ao ser �unicos� Exemplo�f�x� � x� possui dois m�aximos globais em I �� ���� ��

Teorema

Sejam I �� �a� b� e f � I � R cont��nua em I� Ent�aof�I� �� �m�M �� onde m �� min f�I� e M �� max f�I�

Exemplo

Se I �� ��� ��� e f�x� �� sin �x��� ent�ao m � ��� M � � ef�I� � ���� ��� Note que f�I� �� �f���� f����� � ��� sin � ����sin � ��� � �������

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c� PAVF �

Fun�c�oes diferenci�aveis

Derivada

Sejam I � R um intervalo� f � I � R e x� � I� Diz�se quef �e diferenci�avel em x� se o limite

lim���

f�x� ��� f�x��

�existe

Notas

� Quando existe� o valor do limite �e a derivada de f em x��denotada por f ��x��

� Fica impl��cito que x �� x� � � I� Se o limite existe�obt�em�se a de�ni�c�ao alternativa

f ��x�� � limx�x�

f�x�� f�x��

x� x�

� O dom��nio de f � �e o subconjunto de I no qual f � existe� �Econveniente tratar f � como fun�c�ao de x�

Teorema

Se f � I � R �e diferenci�avel em x� � I� ent�ao f �e cont��nuaem x�

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c� PAVF ��

Fun�c�oes diferenci�aveis

Nota�c�ao o

Uma fun�c�ao de�nida para valores arbitrariamente pequenosde � �e do tipo o��� para �� �� se

lim���

���

�� �

Diz�se que �e de ordem menor do que �� no sentido deque tende a � mais r�apido do que �� Nota�c�ao ��� � o���

Aplica�c�ao

Suponha que f � I � R �e diferenci�avel em x� � I e de�na

f�x� ��� f�x��

�� f ��x�� �� ���

Note que ��� � � qdo � � �� De�na ainda ��� ������� Ent�ao para �� ��

f�x� �� � f�x�� f ��x��� o���

pois ��� � o���� Forma alternativa para x �� x� � �I� x� x��

f�x� � f�x�� f ��x���x� x�� o�x� x��

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c� PAVF ��

Fun�c�oes diferenci�aveis

Opera�c�oes

Sejam I � R um intervalo e x� � I e sejam f � I � R eg � I � R diferenci�aveis em x�� Ent�ao �f� � � R� f g� fge f�g se g�x�� �� �� tamb�em s�ao diferenci�aveis em x� e

��f���x�� � �f ��x��

�f g���x�� � f ��x�� g��x��

�fg���x�� � f ��x��g�x�� f�x��g��x��

�f

g

���x�� �

f ��x��g�x��� f�x��g��x��

�g�x����

Regra da cadeia

Sejam I�J intervalos� f � I � R e g � J � R tais quef�I� � J e x� � I� Se f e g s�ao diferenci�aveis em x� e f�x���ent�ao g � f �e diferenci�avel em x� e

�g � f���x�� � g��f�x���f��x��

Nota�c�ao d�dx

d

dx�f�x�g�x�� �

df

dx�x�g�x� f�x�

dg

dx�x�

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c� PAVF ��

Fun�c�oes diferenci�aveis

M��nimo local

f � I � R possui um m��nimo local em x� � I se existeV��x�� tal que

f�x�� � f�x� para todo x � I V��x��

M�aximo local

f � I � R possui um m�aximo local em x� � I se existeV��x�� tal que

f�x�� � f�x� para todo x � I V��x��

Extremo local

Um m��nimo ou m�aximo local �e denominado de extremo lo�cal de f em I

Teorema �Extremo local interior�

Seja x� um extremo local de f � I � R e um ponto interiorde I� Se f � existe em x�� ent�ao f ��x�� � �

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c� PAVF ��

Fun�c�oes diferenci�aveis

Ilustra�c�ao

a b xx�

f

f ��x�� � �

Exemplo

a� Se f�x� �� x� ent�ao x� � � �e um m��nimo local e x� � � �eum m�aximo local de f em ��� ��� mas f � n�ao se anula emnenhum ponto

b� Se f�x� �� j x j� ent�ao x� � � �e um m��nimo local de f em���� �� mas f � n�ao existe em x� � �

c� Se f�x� �� x�� embora f ���� � �� o ponto x � � n�ao �e umextremo local de f em ���� ��� pois para V���� � ���� ���obt�em�se

f�x� � f��� � �� se x � V���� e x � �� e

f�x� � f��� � �� se x � V���� e x � �

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c� PAVF ��

Fun�c�oes diferenci�aveis

Nota

� Se x� �e um extremo local de f cont��nua� em I e um pontointerior de I� ent�ao f ��x�� � � ou f ��x�� n�ao existe� qquerx � R �e um ponto interior de I �� R � ������

Teorema do Valor M�edio

Seja f cont��nua em I �� �a� b�� tal que f � exista em cadaponto de �a� b�� Ent�ao existe ao menos um �x � �a� b� tal que

f�b� � f�a� f ���x��b� a�

a b�x

f

Existe um ponto cuja tangente �e paralela ao segmento dereta ligando �a� f�a�� e �b� f�b��

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c� PAVF ��

Fun�c�oes diferenci�aveis

Teorema �Condi�c�oes su�cientes�

Seja f cont��nua em I �� �a� b� e x� um ponto interior de I�Assuma f diferenci�avel em �a� x�� e �x�� b�

a� Se existe uma vizinhan�ca �x� � �� x� �� � I tal que

��� f ��x� � �� se x � �x� � �� x�� ef ��x� � �� se x � �x�� x� ��

ent�ao x� �e um m��nimo local de f em I

b� Se existe uma vizinhan�ca �x� � �� x� �� � I tal que

��� f ��x� � �� se x � �x� � �� x�� ef ��x� � �� se x � �x�� x� ��

ent�ao x� �e um m�aximo local de f em I

Prova� Se x � �x� � �� x��� pelo TVM existe �x � �x� x�� talque f�x�� f�x�� � f ���x��x�x��� Como f ���x� � �� conclui�seque f�x� � f�x�� para todo x � �x���� x��� Mesma conclus�aose x � �x�� x� ��� Item b� provado de forma an�aloga� �

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c� PAVF ��

Fun�c�oes diferenci�aveis

Teorema �Pontos extremos�

Seja f cont��nua em I �� �a� b� e x� um ponto de I� Assumaf diferenci�avel em �a� b�

a� Se existe �a� a �� � I tal que

f ��x� � �� se x � �a� a ��

ent�ao x� � a �e um m��nimo local de f em I� Se existe�b� �� b� � I tal que

f ��x� � �� se x � �b� �� b�

ent�ao x� � b �e um m��nimo local de f em I

b� Se existe �a� a �� � I tal que

f ��x� � �� se x � �a� a ��

ent�ao x� � a �e um m�aximo local de f em I� Se existe�b� �� b� � I tal que

f ��x� � �� se x � �b� �� b�

ent�ao x� � b �e um m�aximo local de f em I

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c� PAVF ��

Fun�c�oes diferenci�aveis

MATLAB

As instru�c�oes abaixo ilustram o uso da fun�c�ao fmin�f�a�b�

para obter m��nimos locais de f�x� �� sin��x��x no intervaloI �� ����� ���

f��sin�x�����x�eps��� fplot�f���� pi�� pi��� grid�

x��fmin�f��� pi���� � x��fmin�f��������

x��fmin�f����� � x��fmin�f�����

x��fmin�f����� � x��fmin�f���� pi��

x��x� x� x� x� x� x��

x �

������ ��� ������� � ������ ������

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

f

� M�aximos locais s�ao obtidos fazendo�se f � �f

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c� PAVF ��

Fun�c�oes diferenci�aveis

Derivadas de orden n

� Se f � existe num intervalo contendo x� e �e diferenci�avel emx�� a derivada resultante �e representada como f ����x��

� Se f �n��� satisfaz as mesmas condi�c�oes� obt�em�se f �n��x���a derivada de ordem n de f em x�

MATLAB

O c�alculo simb�olico de derivadas pode ser realizado atrav�esde diff�f�n�� onde f �e a fun�c�ao e n �e a ordem da derivada�Considere f�x� � ���� cos �x�� de�nida em R

x�sym��x���

f������� cos�x���

f��diff�f���

f� � ������ cos�x���� sin�x�

f��diff�f����

f� � ������� cos�x���� sin�x���������� cos�x����

cos�x�

f��diff�f����

f� � �������� cos�x���� sin�x����������� cos�x����

sin�x� cos�x�������� cos�x���� sin�x�

� Note que f��diff�f�����diff�f���

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c� PAVF �

Fun�c�oes diferenci�aveis

−5 0 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−5 0 5−1

−0.5

0

0.5

1

−5 0 5

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

−5 0 5

−3

−2

−1

0

1

2

3

xx

xx

f f �

f ��

f ���

Polin�omios de Taylor

Se f �n� existe em x�� ent�ao o polin�omio de Taylor

pn�x� � f�x�� f ��x���x� x�� �

��f ���x���x� x��

� � � �

� � � �

n�f �n��x���x� x��

n

�e tal que

pn�x�� � f�x�� e p�k�n �x�� � f �k��x��� k � �� �� � � � � n

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c� PAVF ��

Fun�c�oes diferenci�aveis

Teorema de Taylor

Sejam n � N� I �� �a� b� e f � I � R tais que f� f �� � � � � f �n�

sejam cont��nuas em I e que f �n��� exista em �a� b�� Se x� � I�ent�ao para qquer x � I� existe �x entre x e x� tal que

f�x� � f�x�� f ��x���x� x�� �

��f ���x���x� x��

� � � �

� � � �

n�f �n��x���x� x��

n �

�n ���f �n�����x��x� x��

n��

Notas

� O Teorema de Taylor �e a extens�ao do Teorema do ValorM�edio para uma ordem n qualquer

� F�ormula de Lagrange para o resto

rn�x� �� f�x�� pn�x� ��

�n ���f �n�����x��x� x��

n��

� O valor de rn indica a qualidade da aproxima�c�ao de fatrav�es de pn num ponto qquer x � R

� A F�ormula de Taylor em x� � � �e tamb�em chamada deF�ormula de MacLaurin

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c� PAVF ��

Fun�c�oes diferenci�aveis

Exemplo � Usos do Teorema de Taylor

a� Ordem n dada� Suponha f�x� �� ex� x � R e n � �� Emx� � ��

f�x� � � xx�

�x�

r��x�

onde

r��x� �x�

� ex

para �x entre x e �� Se x � �� ent�ao � � �x � � e comoex � �� r���� � ��� � ������

b� �Limitar rn� Para que rn��� � ����� deve�se impor que

rn��� ��

�n ���ex � ����

Como � � �x � � e ex � �� determina�se n tal que �n ��� � �� ���� O menor n �e �

b� �Desigualdades� Da discuss�ao acima�

ex � � x r��x�

onde r��x� � � para qquer x � R� Portanto�

ex � � x para todo x � R

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c� PAVF ��

Fun�c�oes diferenci�aveis

MATLAB

Polin�omios de Taylor s�ao obtidos atrav�es de taylor�f�x�n��onde n indica que o grau do polin�omio �e n � �� Instru�c�oesreferem�se �a fun�c�ao f�x� �� ex

x�sym��x��� p��taylor�exp�x�����

p� � ��x���� x������ x������� x������� x��

����� x������� x��

format long

x��� e�eval�p��

e � ����������������

Aproxima�c�oes de f�x� �� sin �x� em ����� ���

−6 −4 −2 0 2 4 6−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

sin �x�

x

x� �x�

x� �x� �

���x�

rn�x�� � quando n�� para todo x � R

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c� PAVF ��

Fun�c�oes diferenci�aveis

Teorema

Seja I um intervalo� x� um ponto interior de I e n � ��Assuma f �� f ��� � � � � f �n� cont��nuas numa vizinhan�ca de x� e quef ��x�� � f ���x�� � � � � � f �n����x�� � �� mas f �n��x�� �� �

a� Se n �e par� ent�ao x� �e um m��nimo local de f em I sef �n��x�� � �� e um m�aximo local de f em I se f �n��x�� � �

b� Se n �e impar� ent�ao x� n�ao �e nem m��nimo nem m�aximo localde f em I

Prova� Para x � I� a f�ormula de Taylor de f em x� fornece

f�x�� f�x�� � rn���x� ��

n�f �n���x��x� x��

n

� Se f �n��x�� �� �� ent�ao f �n��x��� f�n��x� e f �n���x� possuem

mesmos sinais num intervalo J contendo x�

� Se n �e par e f �n��x�� � � f �n��x�� � ��� ent�ao rn�x� �� rn�x� � �� para x � J � Logo� f�x� � f�x�� f�x� �f�x��� para x � J e x� �e um m��nimo m�aximo�

� Se n �e impar� rn���x� ter�a sinais opostos �a direita e �aesquerda de x�� e assim x� n�ao �e m��nimo nem m�aximo

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c� PAVF ��

Fun�c�oes diferenci�aveis

Exemplo

a� f�x� �� x�� x � R� Ent�ao f ���� � f ����� � � e f ������ � �Logo� n �e impar e x� � � n�ao �e nem m��nimo nem m�aximolocal de f em R

b� f�x� �� x�� x � R� ent�ao f ���� � f ����� � f ������ � �e f ������ � � � Como n �e par e f ������ � �� f�x� � x�

possui um m��nimo local em x� � �

Exemplo

Considere

f�x� ��x�

�� �x� �x �� x � R

Condi�c�ao necess�aria� f ��x� � �

f ��x� � x� � x � � � x� � � e x� � �

Condi�c�oes su�cientes� f ���x� � �x�

f ���x�� � � x� m�aximo local de f em R

f ���x�� � � x� m��nimo local de f em R

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c� PAVF ��

Fun�c�oes diferenci�aveis

Ilustra�c�ao

−1 0 1 2 3 4 5−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x

f�x�

� Se o intervalo I �� ���� �� for considerado� f exibir�a umm��nimo local em x� � �� e um m�aximo local em x� � �

� O m��nimo global de f em I �e x� � ��� o m�aximo globalde f em I �e x� � �