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EXPLORANDO O ENSINO DA ÁLGEBRA ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS

Autor: Avelino Munaro1

Orientadora: Rosangela Villwock2

Resumo

Ao ensinar Álgebra tem-se uma grande dificuldade para fazer com que os alunos

entendam os conteúdos abordados. Ensinar com significados é uma alternativa para

o seu ensino, tendo em vista a superação das dificuldades de aprendizagem.

Explorar os conteúdos da álgebra por meio da resolução de problemas é uma

metodologia que possibilita ao aluno ser agente de seu próprio conhecimento. Além

disso, constitui uma estratégia interessante integrar a aritmética, a geometria e a

álgebra de forma contextualizada e com material concreto para que os conteúdos

tenham significado. A proposta é ensinar álgebra, não tendo o foco no

desenvolvimento de habilidades de cálculo escrito e mecânico, mas em algo

significativo para o estudante. O objetivo é estudar os conceitos de álgebra,

propondo significados aos conteúdos trabalhados, utilizando como metodologia a

resolução de problemas. Apesar das dificuldades associadas a interpretação e

concentração, este trabalho demonstrou que o ensino da álgebra, através da

resolução de problemas, produz resultados satisfatórios no desenvolvimento da

capacidade cognitiva, quando é explorado adequadamente.

Palavras chave: Ensino de Matemática; Resolução de Problemas; Álgebra.

1 Professor PDE 2010, graduado em Ciências – Habilitação Matemática (FACEPAL), Especialização

em Ensino de Matemática (UNICENTRO), professor de Matemática na Escola Estadual Marquês de Maricá de Santa Izabel do Oeste (SEED-PR). 2 Professora Orientadora do PDE 2010, Doutora em Métodos Numéricos em Engenharia

(PPGMNE/UFPR), Licenciada em Matemática (UNIOESTE), professora no Curso de Matemática na Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Campus Cascavel.

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1 Introdução

A Matemática, e consequentemente a Álgebra, são saberes construídos

historicamente e apresentam-se como ferramentas importantes nos processos de

generalização e de resolução de problemas. Através da Álgebra, o ser humano

transpôs questões que, a princípio, pareciam insolúveis.

Atualmente, o conhecimento matemático obteve tal grau de

desenvolvimento, que ter seu domínio é uma questão de cidadania. Assim, no

processo para tornar essa ciência conhecida, a escola tem papel fundamental, uma

vez que os conhecimentos não são repassados de modo hereditário, mas

necessitam do processo de ensino e aprendizagem (PARANÁ, 2008).

Embora a escola não seja o único lugar onde se educa, ela se caracteriza

como espaço privilegiado em que se estabelecem relações formais de ensino e de

aprendizagem, de forma articulada, planejada, visando à formação integral dos

alunos de modo a propiciar o desenvolvimento de uma consciência crítica que

possibilite a análise e a compreensão do mundo, da história, da cultura e dos

processos de trabalhos (KRAMER, 1989).

Segundo Sacristán e Gómez (1998) as aquisições adaptativas humanas,

não se fixam biologicamente e também não acontecem de forma hereditária, mas o

ser humano cria mecanismos e sistemas de transmissão que garantem a

sobrevivência, nas futuras gerações, de suas conquistas históricas. Este processo

de aquisição das conquistas sociais às futuras gerações passou a denominar-se de

processo de educação.

As preocupações com os processos de socialização, que conteúdo escolher,

como transmitir, tornaram-se amplas e a escola especializou-se no exercício

exclusivo, e cada vez mais complexo e sutil, de tal função. Na escola, seus agentes

devem levar em consideração os saberes que se encontram nos livros, os seus

saberes e os saberes que os alunos trazem consigo. Isto porque o ser humano é

fruto de seu tempo histórico, das relações sociais em que está inserido, e é também,

um ser que atua no mundo a partir da maneira como o compreende e de como dele

participa (PARANÁ, 2008).

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O conhecimento é fruto da atividade humana no decorrer do tempo, e a

escola tem papel de destaque na socialização desse saber às novas gerações. Deve

fazê-lo de forma crítica, mostrando as contradições sociais, políticas e econômicas,

presentes na sociedade, tendo em vista um indivíduo com formação necessária para

compreender e atuar no sentido de transformar a realidade, tornando-a mais justa.

Assim, a organização escolar foi se adaptando em diferentes aspectos, seja quanto

à flexibilização, à criatividade, à racionalidade, ao reflexo e impacto da economia,

dependendo do grau de participação e da organização da comunidade aos

princípios mercadológicos (LIMA, 2004).

O trabalho pedagógico deve apontar na direção da totalidade do

conhecimento e sua relação com o cotidiano, ou seja, a escola é o espaço do

confronto e do diálogo entre os conhecimentos sistematizados e os conhecimentos

do dia-a-dia.

Considerando que há uma grande dificuldade por parte dos alunos em

compreender o significado e a utilidade dos conteúdos relativos à Álgebra, a questão

que se colocou foi: como abordar os conteúdos da Álgebra para que ocorra uma

aprendizagem significativa?

Um dos desafios do ensino de Matemática é a abordagem de conteúdos via

resolução de problemas, por se tratar de uma metodologia que proporciona ao

estudante a oportunidade de aplicar os conhecimentos matemáticos de modo a

resolver a questão proposta (DANTE, 2003).

Neste trabalho desenvolveram-se atividades que procuraram dar significado

a álgebra, no sentido de o aluno ter uma atitude de investigação em relação ao que

lhe é proposto. O objetivo foi estudar os conceitos de álgebra, propondo significados

aos conteúdos trabalhados, utilizando como metodologia a resolução de problemas.

Para tornar a álgebra compreensível, foi ainda utilizado material manipulável como

auxílio para o seu entendimento.

As atividades propostas neste trabalho foram desenvolvidas com alunos do

oitavo ano do Ensino Fundamental. Essas atividades propiciaram aos alunos

compreenderem os problemas, suas relações e como deduzir fórmulas de uma

determinada situação cotidiana. Assim, os alunos obtiveram uma melhora no

desempenho e passaram a manipular as expressões algébricas, as operações

algébricas e as resoluções das equações com grau elevado de acerto, em grande

parte devido ao fato de compreenderem o significado do que estavam fazendo.

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2 Fundamentação Teórica

2.1 Ensino da matemática

A Matemática é uma área de conhecimento importante e necessária,

contudo, há insatisfações diante dos resultados negativos obtidos em relação à sua

aprendizagem (MEC, 2010). Em relação ao ensino da álgebra, o quadro torna-se

mais crítico; a aprendizagem não acontece de modo significativo.

Conforme trabalho de Vasconcelos (2008), a contextualização dos

conteúdos a serem trabalhados podem efetivamente contribuir para dar significado e

proporcionar o desenvolvimento cognitivo. Ao ensinar os conteúdos da Matemática

deve-se buscar uma boa relação entre os conceitos e as relações que lhe dão

sentido de maneira a torná-los interessantes e compreensíveis aos alunos.

Nos últimos tempos podemos dizer que não tem havido ideias

revolucionárias com relação ao ensino da Matemática em sala de aula, no sentido

de tornar esta ciência compreensível e desejável. Não conseguimos desfazer os

estigmas produzidos pela Matemática, seja pela forma como é ensinada, seja pelos

conteúdos que fazem parte de seus programas.

Algumas ideias expressas por D’Ambrosio em 1957, comentadas

recentemente em D’Ambrosio (2011), continuam atuais. O autor escreve que os

processos mecânicos de cálculos têm efeito entorpecente sobre os alunos, levando-

os a pensar como máquinas, deturbando o caráter formativo da Matemática. Ainda,

segundo ele, muitos conteúdos trabalhados são desnecessários, seja pela pouca

aplicação ou mesmo pelo efeito negativo que produz no aluno, criando verdadeira

aversão à matéria e levando-o a deixar as séries sem ter a ideia do que é, para que

serve e qual a força da Matemática.

Como consequência, continua D`Ambrosio (2011), o aluno não vê essa

ciência com interesse e confirmando esta realidade, vemos cada vez mais reduzir o

número de alunos que, ao concluir o Ensino Médio, abraçam o estudo da

Matemática.

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Segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica – DCE (PARANÁ,

2008) é importante que o professor, em seu desenvolvimento individual e

profissional, reflita sobre sua prática e seja um educador pesquisador em contínua

formação, que concebe a Matemática como produto de construção humana, que

está em constante processo de elaboração e, por isso, sujeita a dúvidas, erros e

acertos, hesitações e contradições que somente com um longo trabalho de reflexão

e estudo consegue eliminar, para assim surgirem novas dúvidas, contradições e

novos problemas a solucionar.

A concepção da Matemática que temos, segundo Mendes (2009), influencia

decisivamente no que se ensina e como se ensina. A Matemática, não permanece a

mesma ao longo do tempo, mas transforma-se constantemente e as perspectivas

refletem as questões emergentes do meio social, cultural, científico, político e

econômico. Portanto, deve-se conceber a Educação Matemática como saber vivo,

dinâmico, construído para atender às necessidades sociais, econômicas e teóricas,

em um determinado período histórico.

Almeja-se, através de seu ensino, que os estudantes tenham a possibilidade

de análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de

ideias. A Matemática deve contribuir para que, por meio dela, o ser humano amplie

seu conhecimento e, assim, contribua para o desenvolvimento humano.

No processo de transmissão e aquisição dos saberes, há interferência de

vários fatores de acordo com o momento histórico em que este se processa. As

Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná (PARANÁ, 2008)

apresentam algumas tendências metodológicas que devem ser levadas em

consideração ao abordar um conteúdo, tais como:

Resolução de Problemas, que é o foco deste trabalho, que requer uma

leitura interpretativa e a escolha de uma estratégia de resolução do

problema;

Modelagem Matemática, que visa à contextualização de situações do

cotidiano;

Etnomatemática, que procura resgatar a matemática produzida por

diferentes culturas;

Mídias Tecnológicas, que são os ambientes gerados por aplicativos

informáticos e que atualmente estão em destaque;

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História da Matemática, que resgata e destaca a natureza e a

relevância desta disciplina para a humanidade;

Investigação Matemática, onde o aluno busca investigar e estabelecer

relações, também necessária na Resolução de Problemas, tendo em

vista a compreensão e resolução do problema.

Assim, ao desenvolver um conteúdo matemático, podemos dar ênfase a

uma tendência ou também, de acordo com os objetivos, abordar várias tendências

em uma mesma atividade (PARANÁ, 2008). Isso fará com que o processo do ensino

e aprendizagem tenha maior consistência, facilitando a compreensão e fixação por

parte do aluno.

2.2 A álgebra e o seu ensino

Da necessidade de resolver problemas da vida prática, que a princípio

pareciam insolúveis, é que a álgebra se originou. Para isso, ela levou um longo

tempo para se desenvolver e superar desafios considerados extremamente difíceis

(SANTOS 2005).

A álgebra é um conhecimento matemático que se formou com a contribuição

de diferentes culturas (FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993) e, por meio de sua

utilização, passou-se a resolver problemas mais complexos. Com o seu uso são

possíveis as generalizações, tão importantes para a compreensão e resolução de

problemas de aplicação, em diferentes áreas do conhecimento.

O cálculo algébrico por si só não faz sentido, é necessário explorar o

significado da álgebra, indo muito além da simples mecanização. A álgebra deve ser

ensinada no contexto com outros conteúdos, como nas questões de áreas,

perímetros, sequências numéricas, diferentes padrões, funções, entre outros,

inserida em um enfoque que procura mostrá-la como conhecimento útil, de valor

prático. Por outro lado, devemos tomar o cuidado para não restringir o alcance da

álgebra a casos particulares, mas fazer as generalizações e ampliar sua aplicação

(PARANÁ, 2008).

Para dar significado ao fazer pedagógico na Educação Matemática, o

professor deve ter uma visão do conjunto e integrar os diferentes conteúdos, isto é,

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a álgebra, a aritmética e a geometria devem ser concebidas não como conteúdos

independentes, sem qualquer ligação, mas como saberes que participam da

organização da atividade humana e que se desenvolvem juntas, uma implicada no

desenvolvimento da outra (LINS; GIMENEZ, 1997).

O ensino e a aprendizagem devem investir na produção de significados para

a álgebra, em vez de simplesmente aprendizagem de álgebra. Queremos que

nossos alunos sejam também capazes de trabalhar com significados matemáticos

no dia-a-dia e não somente na sala de aula. Vivemos um momento de

transformações constantes e rápidas, sendo importante desenvolver nos educandos

a capacidade de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar (PARANÁ,

2008).

Atualmente a álgebra é trabalhada mais nos últimos anos do Ensino

Fundamental, ou seja, oitavo e novo ano. Segundo Lins e Gimenez (1997), não há

um convencimento da importância de se trabalhar a álgebra desde cedo nos

processos de generalizações, também nas séries iniciais.

Deste modo, segundo estes autores, quando se fala em álgebra, logo se

pensa no 8º ano e nos vêm à mente conteúdos como: equações, inequações,

cálculo algébrico, sistemas de equações, produtos notáveis, entre outros, assim

concentra-se no conteúdo e na técnica.

A abordagem da álgebra pode se tornar muito interessante, a depender da

condução do processo pedagógico (PARANÁ, 2008), pois o conceito da álgebra é

muito abrangente e sua linguagem esta cheia de convenções, de modo que o

conhecimento algébrico não pode ser concebido pela simples manipulação dos

conteúdos abordados isoladamente.

Segundo Rodrigues e Magalhães (2011), apesar de muitos professores

reconhecem a importância da Resolução de Problemas em suas aulas, a maioria

não utiliza de forma satisfatória, trabalhando principalmente com os problemas

propostos em livros didáticos e estes são tratados meramente como exercícios de

fixação, gerando insatisfação do aluno que encontra dificuldade ao tentar resolver os

problemas. Afirmam Lins e Gimenez (1997) que, a mudança de perspectiva mais

importante refere-se a passarmos a pensar em termos de significados sendo

produzidos no interior de atividades, e não como em termos de técnicas ou

conteúdos.

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Observa-se que o livro didático desempenha um papel não somente de um

instrumento de trabalho, ele acaba sendo a cartilha do professor, visto que é mais

cômodo segui-lo à risca (DANTE, 1996). Há, por parte dos professores, certa

resistência quanto às mudanças. Com raras exceções, estes preferem adotar um

livro mais tradicional, isto é, o novo livro tem de apresentar características mais

próximas daquele adotado anteriormente (DAMAZIO, 2006).

Nos livros didáticos, o tratamento dado à álgebra, em geral, carece de

significado para os alunos e se constitui em um dos obstáculos à sua aprendizagem.

Porém, o movimento da Educação Matemática acabou produzindo mudanças

curriculares e uma nova visão da disciplina. Isso possibilitou adaptações nos livros

didáticos do ensino da Matemática, por parte de muitos autores, no sentido de tornar

este conteúdo e outros, algo significativo para o estudante (CARVALHO, 2008).

Além disso, o tratamento dado aos conteúdos da Álgebra necessita de uma

atenção especial uma vez que a atividade algébrica, na visão de Lins e Gimenez

(1997), depende de conteúdos na medida em que os mesmos explicitam afirmações

para as quais se produz certo significado A ideia de que a aritmética deve preceder,

necessariamente, a álgebra, ou o contrário, é infundada, pois há todo um conjunto

de experiências aritméticas extraescolares, que as crianças trazem consigo. O que

se deve buscar é a coexistência da educação algébrica com a aritmética e a

geometria, de modo que uma esteja implicada no desenvolvimento da outra.

De acordo com Lorenzato (2008), essa integração da aritmética com a

geometria e a álgebra exerce papel importante na aprendizagem matemática,

porque possibilita ao aluno a visualização do todo, bem como das partes que o

compõem, facilitando assim, o desenvolvimento da habilidade mental de operar com

as partes sem perder de vista o todo. É o movimento de composição e

decomposição, tão importante na aprendizagem dos conceitos da matemática.

2.3 A resolução de problemas no ensino da álgebra

Conhecer os problemas e as deficiências do ensino é condição necessária

para transformar, enfatizam Sacristán e Gómez (1998), pois é preciso ter

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consciência e compreensão das dimensões que se entrecruzam na prática dentro da

qual nos movemos.

As experiências vividas nas escolas têm mostrado que os alunos aprendem

pouco da álgebra que lhes é ensinada. O contato com ela inicia-se por volta da 7º

ano, com mais aprofundamento nos dois anos seguintes. O foco é o

desenvolvimento de habilidades de cálculo escrito mecânico e a resolução de

problemas é deixada para segundo plano. Isso é verificado em grande parte dos

livros didáticos, onde os conteúdos são trabalhados com modelos, sem preocupação

para fazer com que o aluno faça a relação com o seu dia-a-dia. Deste modo, ele tem

uma matemática para a sala de aula e outra matemática para a rua ou em casa

(CARRAHER, 2006).

A álgebra deve ser ensinada no trabalho com observação de padrões em

diferentes situações, levando os alunos a fazer generalizações de regularidades,

onde é necessário deduzir fórmulas em que letras representam quantidades

variáveis. Neste processo, a resolução de problemas deve ser explorada de maneira

especial, pois permite que se trabalhem diferentes conteúdos, nos quais muitas

soluções podem ser representadas por letras e isso leva às equações e suas

incógnitas, cuja solução será obtida usando-se a analogia com a balança de dois

pratos (IMENES, 2010).

Na metodologia da resolução de problemas, segundo Onuchic (1999), o

ponto de partida das atividades matemáticas não é a definição, mas o problema; que

não é um exercício no qual o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula

ou uma determinada técnica operatória. Aproximações sucessivas ao conceito

criado são construídas para resolver certo tipo de problemas e que, num outro

momento, o aluno utiliza o que já aprendeu para resolver outros problemas; o aluno

não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de

conceitos que tomam sentido num campo de problemas A resolução de problemas

não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da

aprendizagem, mas como orientação para a ela.

Numa aula de Matemática realizada dentro dessa concepção, um problema

proposto aos alunos – problema gerador – é que conduzirá ao conteúdo que o

professor planejou construir naquela aula. Nesta metodologia, os problemas são

propostos aos alunos antes mesmo de lhes ter sido apresentado formalmente o

conteúdo matemático que, de acordo com o programa da disciplina para a série

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atendida, é pretendido pelo professor. Dessa forma, o ensino-aprendizagem de um

tópico matemático começa com um problema que expressa aspectos-chave desse

tópico e técnicas matemáticas devem ser desenvolvidas na busca de respostas

razoáveis ao problema dado. A avaliação do ensino e aprendizagem deve ocorrer

simultaneamente durante a construção do conhecimento e de forma colaborativa.

(0NUCHIC, 1999).

Tratando da resolução de problema, Polya (2006) propõe quatro fases, a

saber:

Compreender o problema: não é possível responder corretamente algo

que não se entendeu, deve-se também desejar resolvê-lo;

Elaborar um plano: é necessária uma estratégia de ação, fazer a

conexão entre os dados do problema e o que ele pede;

Executar o plano: é preciso colocar em prática o que foi elaborado,

verificando cada passo a ser dado;

Fazer o retrospecto ou verificação: é examinar a solução obtida,

repassando todo o problema; fazer com que o aluno reveja como

pensou inicialmente, como encaminhou sua estratégia de solução,

como efetuou os cálculos, enfim, o caminho trilhado para obter a

solução.

Com relação à resolução de problemas, Krulik e Reys (1997) dizem que ela

é um processo de aplicação de conhecimentos adquiridos previamente a situações

novas e desconhecidas e por isso se constitui em uma estratégia excelente como

metodologia de ensino da matemática.

Algumas habilidades desejáveis no ensino da matemática à destacar são:

interpretar matematicamente situações do dia-a-dia e de outras áreas do

conhecimento; resolver problemas criando estratégias próprias e que desenvolvem a

iniciativa, a imaginação e a criatividade; estabelecer conexões entre a matemática e

outras áreas do saber; utilizar argumentação matemática apoiada em vários tipos de

raciocínio; utilizar as novas tecnologias de computação e tecnologia. Estas e outras

habilidades, a serem construídas não esgotam todas as possibilidades e devem ser

adaptadas em função dos diversos contextos educacionais (BRASIL, 2012).

Com estas habilidades, pretende-se formar estudantes autônomos e

criativos, competentes para estudar e pesquisar por si mesmos.

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Segundo Imenes e Lellis (2009), a disseminação da informação, sobretudo

com a Internet, diminuiu o papel da escola como fonte de informação, mas

aumentou sua responsabilidade de formação de cidadãos competentes, para

interpretar adequadamente essas informações e utilizá-las com ética e inteligência.

3 Encaminhamento Metodológico

O PDE/PR (Programa de Desenvolvimento Educacional do estado do

Paraná) é uma política de formação continuada articulada á progressão na carreira e

foi desenvolvido em três etapas: o projeto elaborado a partir da intenção manifesta e

do diagnóstico realizado na escola de atuação; o material didático pedagógico para

utilização durante o processo de implementação e o artigo científico. O projeto e o

material didático pedagógico foram colocados para apreciação dos professores da

rede de ensino através do GTR(Grupo de Trabalho em Rede).

A implementação do projeto de intervenção pedagógica realizou-se com os

alunos do 8º ano do Ensino Fundamental da Escola Estadual Marquês de Maricá no

município de Santa Izabel do Oeste – Paraná, no ano de 2011. Trabalhou-se com

três turmas, uma no período matutino e duas no vespertino.

O objetivo foi desenvolver os conteúdos da álgebra de forma significativa

para o aluno, procurando, através da resolução de problemas, integrar a aritmética,

a geometria e a álgebra. Foi priorizado o entendimento da importância da álgebra na

atualidade, fazendo o aluno deduzir algumas fórmulas em situações cotidianas.

A avaliação foi realizada através da observação e do registro da participação

dos alunos nas atividades e realização das mesmas, com destaque à compreensão

conceitual, à leitura e à interpretação de texto matemático, como também à

competência de ligar o saber matemático a contextos reais.

Ao trabalhar a resolução de problema, inicialmente foi explanado sobre o

que é um problema e quais as etapas para sua resolução: entender o problema;

traçar uma estratégia de ação que poderá levar a sua solução; realizar as

estratégias pensadas e finalmente verificar se o que foi encontrado responde

realmente o problema.

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As atividades propostas foram elaboradas no sentido de apresentar aos

alunos a resolução de problema através de situações-problema com vista a

desenvolver o conteúdo da álgebra para a série.

Com o propósito de integrar os alunos, o conhecimento e a troca de ideias,

foram formadas duplas para o desenvolvimento das atividades. Essas duplas não

necessitavam ser fixas, mas os alunos raramente as trocavam, porque tiveram

liberdade para formá-las com quem tivesse mais afinidade, favorecendo assim a

troca de ideias. Todas as atividades foram desenvolvidas em duplas, inclusive as

avaliações.

Coube ao professor dar liberdade os alunos, atuando como mediador em

relação ao ensino e aprendizagem, orientando os trabalhos de modo a levá-los a

pensar e refletir sobre os conteúdos desenvolvidos em cada unidade.

Na sequência são apresentadas, de forma resumida, algumas atividades

realizadas.

Como atividade da Unidade 01 – A Álgebra, os palitos e o contorno de

quadrados – foram entregues aos alunos três problemas, sem qualquer explicação

antecipada, sendo solicitado que lessem e resolvessem os mesmos.

Os problemas apresentavam certo padrão e os alunos deveriam continuar a

sequência, traduzir em números e fazer a generalização, deduzindo uma fórmula

que representasse a situação apresentada.

Na solução destes problemas, ao deduzir uma fórmula ou expressão, o

aluno pode perceber que as letras representam valores desconhecidos e qual era o

seu significado.

Uma das atividades desenvolveu o perímetro do quadrado e teve por

objetivo perceber a regularidade na formação da sequência dos quadrados, fazendo

a generalização com a dedução de uma fórmula, usando para isso a álgebra. Os

conteúdos trabalhados foram: sequências de números, perímetro de quadrado e

relação entre grandezas.

Buscou-se tornar este conteúdo compreensível e de fácil assimilação. A

atividade se iniciou construindo uma sequência de quadrados, utilizando palitos.

A partir desta construção, estabeleceu-se uma relação entre o número de

palitos de cada lado do quadrado (q) e o número total de palitos (p) utilizados em

sua confecção.

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Na unidade 02 – A álgebra das mesas – desenvolveram-se os produtos

notáveis, iniciando com o conceito e a realização de alguns produtos interessantes

em que os alunos deveriam descobrir algumas regularidades. Posteriormente,

trabalhou-se com os três casos iniciais: quadrado da soma de dois termos,

quadrados da diferença de dois termos e produtos da soma pela diferença de dois

termos.

Cada problema foi apresentado numericamente, representado

geometricamente e com o auxílio da álgebra, fez-se a generalização. Por exemplo, o

quadrado de um número x foi representado por outro quadrado de lado (a + b),

introduzindo assim, o quadrado da soma de dois termos.

Desenvolvido este conceito, direcionou-se para o quadrado da soma de dois

termos quando um de seus termos for desconhecido e, após, a generalização,

quando os dois termos eram desconhecidos.

Os outros dois casos dos produtos notáveis foram desenvolvidos seguindo

este padrão: apresentação numericamente, representação geométrica em papel

quadriculado e, finalmente, a linguagem algébrica.

Na unidade 03 – Operações algébricas – exploraram-se as operações

algébricas e a resolução de equações. Para a visualização e representação das

operações e resoluções das equações foi confeccionado material didático com papel

cartão, de forma adaptada ao elaborado por Hellmeister e Galvão (2004). Foram

confeccionados aproximadamente vinte quadrados pequenos (a x a), com “a”

representando a unidade; quinze retângulos (a x b), nos quais “a” é a mesma

medida do lado do quadrado pequeno e “b” é uma medida qualquer diferente de a,

que não seja um múltiplo inteiro da unidade escolhida; e dez quadrados maiores (b x

b) em que “b” é a mesma medida escolhida para o lado “não unitário” do retângulo.

Também convencionou-se que o lado colorido representaria valores positivos e seu

verso, valores negativos.

Utilizou-se este material e a metodologia de efetuar inicialmente a

representação da operação e em seguida o registro algébrico, Objetivando levar o

aluno a compreender e a observar as representações das unidades positivas, as

unidades negativas e os possíveis cancelamentos.

A operação de subtração seguiu a mesma metodologia, o aluno representou

com o material e, após, fez o registro. Para se realizar a subtração, usou-se como

estratégia transformá-la em uma soma de expressões opostas.

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Para realizar a multiplicação das expressões algébricas com a utilização do

material de papel cartão, estabeleceu-se que os dois fatores representam as

dimensões do comprimento e da largura de um retângulo e, com essa

representação, dever-se-ia procurar formar um retângulo. Ou seja, representam-se

os fatores na vertical (x) e na horizontal (y), como no gráfico cartesiano. A região

formada representa a área (x . y), completando-se os espaços vazios com as peças.

Finalmente, também com uso de material concreto, se desenvolveu o

conceito de equação e sua resolução. Para a compreensão utilizou-se a ideia da

gangorra (equilíbrio).

Após as atividades relativas a cada operação: adição, subtração ou

multiplicação, bem como sua representação com o material, orientou-se os alunos a

desenvolverem outras atividades para que resolvessem as expressões ou equações

sem o auxílio do material.

As figuras apresentadas neste trabalho foram elaboradas através do

software GeoGeobra (HOHENWARTER, 2011).

4 Resultados e Discussão

4.1 Grupo de Trabalho em Rede – GTR

O GTR é um ambiente virtual de aprendizagem na modalidade à distância,

sendo uma atividade obrigatória do PDE. Foi um momento importante, porque

permitiu colocar o projeto, o material didático pedagógico e a implementação para

socialização, apreciação e interação dos professores na Rede Estadual de Ensino.

Participaram do GTR professores que atuam em diferentes regiões do

Paraná, que opinaram sobre este proposta, destacando os pontos positivos e

negativos, além de propor melhorias.

O GTR é constituído de três temáticas, todas com duração de duas

semanas, compostas de um fórum e um diário. A primeira tinha por objetivo

promover discussão sobre o Projeto de Intervenção Pedagógica, tendo em vista o

compartilhamento de ideias entre os participantes e o professor do PDE. Nele os

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professores descrevem suas angústias, esperanças e preocupações na atividade de

ensinar a álgebra.

A segunda temática teve como foco o material didático-pedagógico. Nesta,

os professores relataram as dificuldades de encontrar materiais que tratam do

ensino da álgebra de modo significativo. Os cursistas aprovaram o material e as

ideias ali contidas, afirmando que poderiam ser colocadas em prática.

Na terceira temática debateu-se sobre a implementação, detalhando-se

como seria realizada a intervenção em sala de aula. Tiveram também os professores

a oportunidade de descrever experiências de sala de aula ou colocar em pratica o

material. Os professores que fizeram a implementação do material (ou parte dele)

em suas escolas, descreveram que os alunos entenderam e tiveram sucesso na

compreensão da álgebra.

4.2 Os problemas e suas resoluções

O conceito de problema e as etapas para sua resolução foram os conteúdos

introdutórios desta unidade, nos quais os alunos não levantaram questionamentos e

declararam não haver dúvidas. Na sequência, ao entregar as atividades que

continham os problemas a serem resolvidas, as reações dos alunos foram diversas;

muitos ficavam a espera de alguma explicação; alguns pediram o que era para fazer;

houveram os que foram em busca de auxilio em outras duplas e aqueles que leram

o problema e começaram a resolvê-lo. Os que começaram a resolução dos

problemas diziam: “Mas que moleza, é isso mesmo?”. Alguns alunos mostravam o

que tinham feito para certificar-se de estar no caminho.

Ao trabalhar desta forma, uma das primeiras dificuldades encontradas diz

respeito à indisciplina, os alunos fizeram um alvoroço e ficaram preocupados sobre o

que era para fazer, se o professor não ia explicar, se era para entregar ou se seria

uma avaliação. Para acalmar os ânimos explicou-se novamente que seriam

avaliados no decorrer do processo, que poderiam ficar com o material e dar

continuidade nas aulas seguintes, não sendo necessário resolver todos os

problemas naquela aula.

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Observou-se grande defasagem nos mecanismos de interpretação da leitura

dos problemas matemáticos, sendo necessária a leitura crítica e a cognitiva, e que

sem esta aquisição, o aluno tem sua aprendizagem comprometida.

Ao trabalhar com a resolução de problemas, um aspecto que chamou a

atenção foi a questão do tempo, sendo necessário o dobro de tempo ou até mais do

que se tinha planejado inicialmente, porém as manifestações de satisfação dos

alunos por resolver corretamente sem a ajuda do professor são gratificantes.

Esse tempo foi mais acentuado na resolução do primeiro problema, pois os

alunos não estão seguros quanto à proposta e quais são os objetivos das atividades.

Após, resolvido o primeiro problema, os alunos adquiram maior habilidade,

passando a necessitar de menos tempo.

Os alunos com maior habilidade com a matemática passaram a colaborar

com o professor, auxiliando aos que não compreenderam os dados dos problemas.

Uma das vantagens, e que ajudou os alunos na obtenção da lei geral, foi a

tabulação dos dados dos problemas. Isso facilitou muito o entendimento de como

obter a expressão algébrica que representava a situação – problema.

4.2.1 Produtos notáveis

Ao trabalhar os produtos notáveis, inicialmente efetuou-se mentalmente o

produto de dois fatores. Foram utilizados dois números, onde um dos fatores

continha apenas a unidade e o outro fator continha a dezena e a unidade Fez-se a

representação geométrica do produto destes dois fatores, através de um retângulo

em papel quadriculado, no qual a largura representava o fator que continha somente

a unidade e o comprimento representando um fator que continha a dezena e a

unidade. Calculou-se assim a área das duas regiões em que o retângulo foi

decomposto para em seguida adicionar e obter assim, o produto desejado.

Na sequência, passou-se a efetuar o produto de dois fatores, sendo ambos,

números que continham unidade e dezena. Estes dois fatores eram transformados

em um produto na forma (a + b) (c + d) e representados geometricamente em papel

quadriculado, para levar a aluno a entender que o produto é igual a soma das áreas

formadas pelas quatro partes em que o retângulo foi decomposto.

17

Em seguida efetuou-se o produto de um número por ele mesmo, ou seja, o

quadrado deste número. Neste caso o número utilizado continha unidade e dezena,

ou seja, pode ser decomposto na soma (a + b). Ao representar este produto em

papel quadriculado, como anteriormente, o aluno entendeu que o produto é igual a

soma das áreas formadas pelas quatro partes do retângulo, que neste caso são um

quadrado de lado a, outro quadrado de lado b e dois retângulos de lados a e b.

Também se efetuou o quadrado da soma de dois termos, dos quais um

deles era desconhecido, para o aluno construir o conceito da generalização do

quadrado da soma de dois termos que seria trabalhado posteriormente.

Ao efetuar estas atividades, os alunos não apresentaram dificuldades no que

diz respeito ao entendimento do que foi proposto, mas nas operações que exigiam o

domínio dos produtos de números (tabuada). Outra dificuldade foi fazer com que os

alunos se envolvessem na realização das atividades, não sendo passivos,

acreditando no seu potencial de efetuar as atividades com êxitos.

Alguns alunos necessitavam de ajuda na decomposição dos números, mas

depois conseguiam realizar corretamente os produtos e a soma.

Dando continuidade, passou-se a analisar os resultados para realizar esses

cálculos mentalmente, sem necessitar da representação geométrica. Assim

introduziu-se o primeiro caso dos produtos notáveis, o quadrado da soma de dois

termos. As mesmas atividades foram realizadas para o quadrado da diferença e

para o produto da soma pela diferença. Na sequência esses três casos dos produtos

notáveis foram generalizados.

O quadrado da soma de dois termos, Figura 1, quando representado pelos

alunos na forma geométrica, tinha sua resolução e solução indicada pela soma da

área do quadrado vermelho (a²), mais a área dos dois retângulos azuis (ab) e mais a

área do quadrado cinza (b²) em que a figura foi decomposta. Assim, a expressão (a

+ b)² = a² + 2 ab + b², era manipulada, visualizada e compreendida de forma

significativa pelos alunos.

18

Figura 1 – Generalização do quadrado da soma de dois termos.

Ao trabalhar o desenvolvimento do quadrado da diferença de dois termos, o

aluno procurava compreender o significado de cada uma das partes em que o

quadrado foi decomposto. Assim, no desenvolvimento do produto notável (a - b)² =

a² - 2.a.b + b², sua solução estava representado pelo cálculo da área da região

vermelha, conforme Figura 2.

Figura 2 – Generalização do quadrado da diferença de dois termos

Portanto, para encontrar a área da região vermelha da Figura 2 o aluno

calculava a área da figura inteira, isto é, a área total (a²) e subtraia a área dos dois

retângulos (ab). Porém, para não subtrair duas vezes a área do quadrado que está

sobreposta (azul mais forte), mostrou-se que é necessário somar a área do

quadrado menor (b²). Situação destacada na Figura 3.

19

Figura 3. - Região sobreposta do quadrado da diferença de dois termos.

O terceiro caso dos produtos notáveis, o produto da soma pela diferença de

dois termos, quando representado geometricamente equivale a área da região de

cor azul, conforme representação da Figura 4.

Figura 4 – Produto da soma pela diferença de dois termos.

A área da região azul é igual a área total (a²) menos a área do quadrado de

cor vermelha (b²). Assim, realizou-se a decomposição da superfície azul em dois

retângulos, conforme segmento pontilhado na parte interna da Figura 4 e

transformado em um único retângulo, visualizado na Figura 5.

20

Figura 5 – Retângulo representativo do produto (a + b).(a – b).

O cálculo da área deste retângulo pode ser representado pela forma algébrica

(a + b) (a – b), conforme demostrado acima e equivale a a² - b², portanto (a + b) (a –

b) = a² - b².

Observou-se que o fato de representar geometricamente ajuda a visualizar as

partes que compõem o todo, facilitando a compreensão dos casos dos produtos

notáveis e também da importância da álgebra.

4.3 Operações algébricas

Para ensinar as operações algébricas, confeccionou-se o material com o

papel cartão. Desta forma foi possível a visualização das operações e assim, muitas

das dúvidas com relação aos conceitos básicos de operar com as variáveis foram

sendo sanadas, como por exemplo, o porquê de não se somar x² com x. Os alunos

perceberam que a primeira expressava uma área, enquanto a segunda uma medida

de comprimento.

Dada uma expressão, os alunos a representavam com o material concreto

sobre a carteira e transcreviam o resultado no caderno. Encontrou-se um pouco de

dificuldade em fazer com os alunos compreendessem a relação do material e sua

representação, além da conversa gerada quando se utiliza material manipulável.

Isso aconteceu no início das atividades, sendo amenizadas e eliminadas no decorrer

das aulas seguintes.

Com o desenvolvimento das atividades, muitos alunos já não utilizavam a

representação com o material, pois achavam trabalhosas, uma vez que já tinham

compreendido os processos, as regras e o faziam mentalmente.

21

Assim, sempre que possível, ao ensinar um conteúdo, o material

manipulável deve fazer parte para facilitar e auxiliar na sua compreensão e o

processo natural é que os alunos, ao entenderem os conceitos, deixem de utilizá-los.

4.4 Equações

Ao trabalhar o conceito de equação utilizou-se a analogia da gangorra, e

também o material concreto, o mesmo utilizado na atividade anterior das operações

algébricas. Isso facilitou o entendimento e deu agilidade às resoluções, pois os

alunos manipulavam e dominavam as representações a serem feitas.

Deste modo, os alunos passaram, em pouco tempo, a efetuar as resoluções

sem o auxílio da representação geométrica, pois, segundo eles, não era mais

necessário e que somente o cálculo mental era suficiente.

Alguns alunos questionaram como se faria a representação de uma equação

com o papel cartão, quando a sua solução não era um número inteiro. Explicou-se

assim que o material concreto tem o objetivo de permitir a visualização de alguns

casos, para que o aluno compreenda o conceito, não sendo possível representar

todos os casos. Aproveitou-se este momento para reforçar a importância e a

necessidade de dominar os conteúdos da álgebra.

4.5 Avaliação geral

Trabalhando de forma integrada a aritmética, a geometria e a álgebra,

usando a metodologia da resolução de problemas, verificou-se que esta é uma

alternativa no ensino e aprendizagem dos saberes da Matemática. Resgata-se o que

é importante na disciplina: as operações com os números (aritmética), sua

representação geométrica (geometria) e a generalização (álgebra).

Na maioria das vezes, nós professores, na ânsia de fazer com que os alunos

aprendam e também em vista de não utilizar muito tempo, antecipamos as respostas

ou soluções e não deixamos que os alunos consigam, por si, encontrar a resposta

22

aos problemas propostos. Este procedimento muitas vezes esta na contramão da

atividade de se trabalhar com a resolução de problemas, que requer mais tempo

para que o aluno possa pensar e refletir.

Como o projeto foi desenvolvido em três salas, os resultados foram

diferentes entre elas, comprovando que cada classe tem suas peculiaridades, com

grau diferenciado de aprendizagem e entendimento.

Em uma das salas onde o número de alunos não era muito grande, mas

apresentavam pouco interesse em estudar e grande número de faltas, os resultados

foram abaixo do esperado. Na segunda sala, com número maior de alunos e sem

alunos faltosos, os resultados foram bons. Na terceira, os resultados foram muito

bons, sendo que nesta, a quase totalidade dos alunos efetuou a resolução dos

problemas sem qualquer ajuda e o tempo de resolução que necessitaram reduziu-se

a metade.

É interessante que o professor desenvolva algumas dessas atividades, ou

quantas julgar conveniente, para que os alunos compreendam o processo, e

estabeleçam a relação como, por exemplo, entre o quadrado/ produto do binômio e

o produto/ quadrado na construção geométrica, com o cálculo de áreas.

A partir da compreensão da relação, o aluno entenderá que não é mais

necessária a construção das figuras para visualizar e encontrar a solução, visto que

ela apresenta certa regularidade ou característica. Somente após essa compreensão

significativa é que o professor, junto com os alunos, trabalhou o conceito dos termos

utilizados na linguagem matemática. Convém destacar que é de suma importância

que o professor, sempre que possível, utilize material concreto.

Deve-se abordar a álgebra com os alunos, de forma com que estes sintam-

se cativados a apreender. Precisa-se fazer com que percebam o quanto a álgebra é

importante para sua vida, em seu cotidiano. Para que isso ocorra, não se pode

apresentar o conteúdo ao aluno de forma mecânica, precisam-se criar meios que

tornem a álgebra algo significativo.

A resolução de problemas é uma boa estratégia a ser utilizada, pois pode-se

proporcionar situações próximas à realidade do educando, fazendo-o perceber sua

importância.

23

5 Conclusão

Ao trabalhar a álgebra em sala de aula, tem-se uma grande dificuldade para

fazer com que os estudantes entendam os conteúdos abordados e o objetivo que

todo educador almeja, que é a aprendizagem significativa, não é realmente

efetivado. Sabe-se também que a Matemática é uma disciplina importante e

necessária, contudo, há insatisfações diante dos resultados negativos obtidos em

relação à sua aprendizagem.

Neste sentido, o projeto procurou discutir sobre o ensino e aprendizagem da

álgebra e, além disso, encontrar respostas, meios ou maneiras de como trabalhar de

forma possível esses conteúdos, através da resolução de problemas. Ele é uma

resposta às dificuldades para a formação e compreensão dos conceitos da álgebra

pelos alunos e teve como objetivo estudar os conceitos de álgebra, propondo

significados aos conteúdos trabalhados, utilizando como metodologia a resolução de

problema.

As várias atividades propostas e exploradas oportunizaram realizar

articulações entre a Aritmética, a Geometria e a Álgebra na resolução de problemas,

incluindo a investigação e a experimentação, de forma contextualizada, criando

condições para que o aluno construísse seu conhecimento de forma significativa.

A representação da situação-problema e a confecção de tabelas auxiliam na

percepção das regularidades, essencial à generalização e compreensão da utilidade

e importância da álgebra. A utilização de material concreto como recurso, no caso o

papel quadriculado e o papel cartão, possibilitou a representação, a visualização e

auxiliaram o aluno no entendimento dos conceitos algébricos. Estes recursos são

essenciais para a descoberta da lei geral das situações trabalhadas, contribuindo

para diminuir as dificuldades no tratamento da álgebra. Esta compreensão, muitas

vezes, está relacionada a abordagem do conteúdo e da metodologia utilizada.

No decorrer da realização da implementação observamos uma evolução no

desempenho dos alunos, sendo possível identificar um crescimento da compreensão

da linguagem algébrica. A sequência de atividades propostas aos alunos possibilitou

a compreensão da utilidade e da importância da álgebra, bem como sua aplicação

em situações práticas.

24

Assim, existe a necessidade de aprofundar as reflexões, os

questionamentos no ensino de Matemática no Ensino Fundamental, de modo a

possibilitar ao aluno dominar adequadamente os conceitos da álgebra com

significado, uma vez que se constitui um diferencial para o aluno, tendo este maior

possibilidade de compreensão da realidade.

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