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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática

Aguinaldo Borba Pereira

EXPLORANDO ELEMENTOS DOS TRIÂNGULOS EM UM AMBIENTE

INFORMÁTICO DE ENSINO

Belo Horizonte

2014


EXPLORANDO ELEMENTOS DOS TRIÂNGULOS EM UM AMBIENTE

INFORMÁTICO DE ENSINO

Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda

Belo Horizonte

2014

FICHA CATALOGRÁFICA

Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

Pereira, Aguinaldo Borba

P436e Explorando elementos dos triângulos em um ambiente informático de ensino /

Aguinaldo Borba Pereira. Belo Horizonte, 2014.

124 f.: il.

Orientador: Dimas Felipe de Miranda

Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.

1. Ciência - Estudo e ensino. 2. Triângulo. 3. Software de sistemas. 4. Ensino

auxiliado por computador. 5. Geometria - Estudo e ensino. I. Miranda, Dimas

Felipe de. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-

Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.

CDU: 513:373


Explorando elementos dos triângulos em ambiente informático de

ensino.

Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.

___________________________________________________

Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda (Orientador), PUC Minas.

__________________________________________________

Prof. Dr. Sandro Laudares, PUC Minas.

__________________________________________________

Profa. Dr. João Bosco Laudares, PUC Minas.

Belo Horizonte, 11 de setembro de 2014.

A minha Mãe Maria de Lourdes, minha

esposa Ariane, minha filha Mariane, minha

enteada Ana Clara, ao meu Pai Lázaro Pereira

e ao meu filho Natan.

AGRADECIMENTOS

A todos que contribuíram para a realização deste trabalho; fica expressa,

aqui, a minha gratidão especialmente:

A Deus, pela vida, saúde e sabedoria a mim concedidas e pelas pessoas

colocadas em meu caminho.

Minha esposa Ariane Machado, amiga e companheira; pelo amor renovado a

cada dia.

Aos meus filhos muito amados, Mariane e Natan, e a minha enteada, Ana

Clara, pela paciência e apoio quando precisei me ausentar fisicamente.

Aos meus pais, Lázaro e Maria de Lourdes, pelo amor incondicional; pelo

carinho e por proporcionar a oportunidade de ter um estudo de qualidade.

Ao Professor Dr. Dimas Felipe de Miranda, pela orientação, aprendizado e

apoio em todos os momentos necessários, mesmo em meio a dificuldades pessoais.

Sua história de vida é um exemplo para mim.

À Professora Dra. Maria Clara Resende Frota, pela dedicação, paciência e

ensinamentos. Estimo pela sua melhora.

Aos professores Agnela da Silva Giusta (em memória), Amauri Carlos

Ferreira, Eliane Scheid Gazire, João Bosco Laudares, Lídia Maria Luz Paixão

Ribeiro de Oliveira, pelos ensinamentos, conversas e esforços em nos fazer crescer.

Aos meus colegas de classe, pela rica troca de experiências, pelas risadas,

convívio e amizade que levarei para sempre comigo.

Ao secretário Adriano Neves, pela cordialidade, educação e presteza que

sempre nos recebeu.

A toda equipe administrativa do Grupo Educacional Unis, em especial, Luiz

Carlos Vieira Guedes, Ivana Prado e Alexandre Oliveira Lopes, que foram

compreensivos e me apoiaram nos momentos que tive que me ausentar.

A equipe do Colégio Nova Geração que me apoiou, especialmente à diretora

pedagógica Roselaine Pozo, que autorizou a aplicação das atividades; e aos alunos

do 3º ano de 2013 que participaram de maneira voluntária.

Ao Professor Dr. Sandro Laudares por participar da banca examinadora e

contribuir para o enriquecimento da dissertação.

“Ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as

possibilidades para a sua própria produção ou a sua

construção”. (Paulo Freire)

RESUMO

O presente trabalho aborda o estudo de triângulos, explorando seus elementos em

um ambiente informático de ensino, como estratégia de ensino e aprendizagem em

aulas do 3º ano do ensino médio de uma escola da rede particular de ensino na

cidade de Três Corações, Minas Gerais. As atividades foram elaboradas dentro de

uma sequência didática com propriedades já demonstradas dos triângulos, com uma

abordagem diferenciada, utilizando o software de geometria dinâmica, GeoGebra. A

motivação deste trabalho foi o interesse em saber se um recurso computacional

poderia ser útil a um grupo de alunos, como ferramenta auxiliar de aprendizagem e

revisitação de conceitos no estudo de triângulos. Na pesquisa, foi descrita uma linha

do tempo mostrando a evolução do ensino de geometria e também as teorias e

documentos oficiais que tratam das diretrizes didáticas para o desenvolvimento da

mesma. As atividades foram elaboradas e norteadas com base no livro do Projeto

VOAZ do autor Luiz Roberto Dante, autor que tem como característica levar em

conta os últimos estudos e avanços da Educação Matemática. O encerramento

deste trabalho foi marcado pela análise da aplicação das atividades didáticas e pela

criação de um material didático, destinado a contribuir com o estudo de triângulos, e

servir de incentivo para que outros professores/pesquisadores possam criar novas

sequências didáticas, utilizando as atividades dirigidas em um ambiente informático

de ensino.

Palavras-chave: Triângulos. GeoGebra. Ambiente informático.

ABSTRACT

This paper describes the study of triangles, exploring your elements in a

computerized learning environment, as a teaching and learning strategy lessons in

the 3rd year high school in a private school in Três Corações, Minas Gerais. The

activities were developed within a didactic sequence with properties already

demonstrated from the triangles with a different approach, using the dynamic

geometry software, GeoGebra. The motivation of this work was the interest in

whether a computational resource could be useful to a group of students, as an

auxiliary tool for learning and revisiting concepts in the study of triangles. In the

research a timeline was described showing the evolution of the geometry teaching

and also the theories and official documents dealing with didactic guidelines for its

development. The activities were prepared and guided based on the book VOAZ

Project by the author Luiz Roberto Dante, the author has the characteristic to take

into account the latest research and advances in mathematics education. The

closure of this work was marked by the analysis of the application of teaching and the

creation of didactic material activities, to contribute to the study of triangles, and

serve as an incentive for other teachers / researchers to create new teaching

sequences, using the investigative activities in a computerized learning environment.

Keywords: Triangles. GeoGebra. Computing environment.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Papiro de Moscou ................................................................................... 255

Figura 2 - Papiro Rhind ........................................................................................... 255

Figura 3 - Segmentos perpendiculares ................................................................... 255

Figura 4 - Interface da página inicial do software GeoGebra .................................. 344

Figura 5 – Janela de Visualização do software GeoGebra ....................................... 40

Figura 6 - Campo de entrada do software GeoGebra ............................................... 40

Figura 7 – Barra de Ícones do software GeoGebra ................................................... 41

Figura 8 - Janela de álgebra do software GeoGebra .............................................. 422

Figura 9 - Ícone ponto ............................................................................................. 455

Figura 10 – Ícone reta ............................................................................................. 455

Figura 11 – Exibição do plano quadriculado na janela de visualização ................... 455

Figura 12 – Definição de três pontos ....................................................................... 477

Figura 13 – Determinação da área do triângulo ...................................................... 488

Figura 14 – Deslocamento horizontal do ponto C mantendo a base AB ................... 49

Figura 15 - Definição dos ângulos correspondentes ............................................... 522

Figura 16 – Imagem ilustrativa dos itens f e g ......................................................... 566

Figura 17 - Soma dos ângulos internos do triângulo ............................................... 577

Figura 18 - Base média ............................................................................................. 60

Figura 19 – Baricentro e suas propriedades.............................................................. 65

Figura 20 – Ilustração do item h, atividade 04, rastro ................................................ 66

Figura 21 – Encontro das mediatrizes (circuncentro) ................................................ 70

Figura 22 – Existência de triângulos ......................................................................... 74

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Tipo de linguagem utilizada..................................................................... 30

Quadro 2 – Cronologia dos softwares de geometria dinâmica...................................32

Quadro 3 – Detalhamento das atividades.................................................................. 37

Quadro 4 – Resumo das respostas dadas ao item f, atividade 01............................. 50

Quadro 5 – Resumo das respostas do item d, atividade 02.......................................54

Quadro 6 – Resumo das respostas dadas ao item d, atividade 03............................ 61

Quadro 7 – Resumo das respostas dadas ao item c, atividade 04............................ 64

Quadro 8 – Resumo das respostas dadas ao item h, atividade 05............................ 71

Quadro 9 – Resumo das respostas dadas aos itens, atividade 06........................ .... 74

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO...................................................................................................... 14 1.1 Apresentação........................................................................................................14 1.2 Interesse pelo tema.............................................................................................. 15 1.3 Características gerais da pesquisa...................................................................... 15 1.4 Problemática......................................................................................................... 17 1.5 Questionamentos..................................................................................................19

2. HISTÓRIA, TENDÊNCIAS E TEORIAS................................................................ 23 2.1 Contextualização histórica.................................................................................... 23 2.2 Orientações de documentos oficiais..................................................................... 27 2.3 Registros de representação..................................................................................29 2.4 Softwares de geometria dinâmica........................................................................ 31

3. DELINEAMENTO METODOLÓGICO................................................................... 35 3.1 Ambiente, características e sujeitos da pesquisa.................................................35 3.2 Caracterização da pesquisa................................................................................. 36 3.3 Procedimentos Metodológicos............................................................................. 38 3.4 O GeoGebra......................................................................................................... 39 4. DESCRIÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES...................................................... 43 4.1 Ambientação......................................................................................................... 43 4.2 Conservação da área do triângulo....................................................................... 46 4.3 Soma dos ângulos internos de um triângulo........................................................ 51 4.4 Comprimento da base média............................................................................... 58 4.5 O Baricentro e suas propriedades........................................................................ 62 4.6 O Circuncentro e suas propriedades.................................................................... 67 4.7 Condição de existência de um triângulo............................................................... 71

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................. 75

REFERÊNCIAS.......................................................................................................... 81 APÊNDICE A – Lista de atividades aplicadas aos alunos......................................... 83 APÊNDICE B – Quadros primários de apuração das observações dos alunos......... 91

14

1. INTRODUÇÃO

1.1 APRESENTAÇÃO

O tema da presente pesquisa é o ensino e aprendizagem explorando

elementos dos triângulos em um ambiente informático de ensino.

As ideias iniciais do tema dessa pesquisa ocorreram em 2010, no momento

em que o professor/pesquisador ministrava o assunto referente a triângulos nas

turmas do ensino fundamental e médio (revisitando conteúdos), em uma instituição

particular em Três Corações, Sul de Minas Gerais. As dificuldades encontradas

pelos alunos em assimilar os conceitos e os cálculos envolvendo Geometria, em

geral, foi percebida desde o primeiro momento e isto impulsionou o desejo de saber

quais eram as causas e tentar uma nova estratégia de ensino.

Estas dificuldades para um “matemático”, ou melhor, para um “educador

matemático” eram objetos de angústia e preocupações. Há uma grande diferença

em ser “matemático” e “educador matemático”, assinalam Fiorentini e Lorenzato

(2009):

“O matemático, por exemplo, tende a conceber a matemática como um fim em si mesma, e, quando requerido a atuar na formação de professores de matemática, tende a promover uma educação para a matemática, priorizando os conteúdos formais e uma prática voltada à formação de novos pesquisadores em matemática.

O educador matemático, em contrapartida, tende a conceber a matemática como um meio ou instrumento importante à formação intelectual e social de crianças, jovens e adultos e também do professor de matemática do ensino fundamental e médio e, por isso, tenta promover uma educação pela matemática.”

Lorenzato (1995) verificou que o ensino de Geometria, em comparação a

outros conteúdos da Matemática, estava praticamente extinto na maioria das

escolas. Em 2002, quando o professor/pesquisador começou a lecionar, observou

também que a disciplina Desenho Geométrico já não existia mais nas escolas

públicas e, entre as escolas particulares, eram poucas que ainda adotavam a

disciplina. O pesquisador acredita que isso possa ter alavancado ainda mais a

15

defasagem do pensamento geométrico, consequentemente afetando o estudo dos

triângulos.

1.2 INTERESSE PELO TEMA

A escolha de enfatizar a exploração dos elementos dos triângulos em um

ambiente informatizado ocorreu em virtude de estar em meio a um crescimento

absurdo da tecnologia informática e a mesma ser reconhecida como útil ao meio

acadêmico. A expectativa inicial é que a tecnologia informática seja uma aliada no

processo de ensino-aprendizagem dos alunos tornando-o mais dinâmico e atrativo.

O professor/pesquisador sempre foi adepto dos computadores e atento às

possibilidades criadas por eles. O primeiro computador adquirido pelo pesquisador

foi em 2002 e, com ele, o mesmo visualizava enormes oportunidades para

implementar recursos didáticos em sala de aula, mas a realidade profissional e a

estrutura escolar não favoreciam muito. Hoje, a inclusão digital atingiu todas as

classes e explorar esta ferramenta torna-se quase que obrigatória. Existem vários

softwares facilitadores da aprendizagem, com isso, o professor e toda organização

escolar necessitam acompanhar este processo de evolução do ensino e ir além.

O triângulo é uma figura geométrica muito difundida e utilizada em diversas

áreas do conhecimento, mesmo em áreas em que a matemática é uma referência

distante. Em todas essas áreas, a visualização, as propriedades e pontos notáveis

do triângulo podem ser exibidos e explorados em modernos softwares disponíveis e

sem custo.

1.3 CARACTERÍSTICAS GERAIS DA PESQUISA

A pesquisa foi realizada em novembro de 2013 com os quatorze alunos do 3º

ano do ensino médio do Colégio Nova Geração – Sistema COC1 de Ensino, em Três

Corações, sul de Minas Gerais. Esta turma foi escolhida por estar revisitando o

conteúdo podendo assim dar um feedback em relação a atividade.

O colégio, da rede particular, tem um perfil inovador, com um ambiente

bastante moderno, contando com “lousas interativas” em todas as salas. No entanto,

1 COC – Colégio Oswaldo Cruz – Ribeirão Preto-SP

16

no momento não possui um laboratório de informática, mas pretende implementar o

uso de tablets no processo de ensino-aprendizagem.

Existem dois tipos básicos de perguntas quando se faz pesquisa em

Educação Matemática, segundo Fiorentini e Lorenzato (2009, p.11):

“Aquelas que surgem diretamente da prática de ensino, ou melhor, da reflexão do professor-investigador sobre sua própria prática e sobre a prática de outros.

Aquelas geradas a partir de investigações ou estudos precedentes ou da própria literatura”.

Esta pesquisa surgiu da prática de ensino na busca de um recurso

diferenciado, visando o melhor aprendizado dos alunos e despertar um maior

interesse dos mesmos para buscar construir o conhecimento, por si próprios, com o

auxílio da tecnologia.

O tema triângulos não é uma novidade para os alunos do ensino fundamental

e/ou médio, assim como seus conceitos e propriedades, porém, este conteúdo é

tratado de maneira pouco dinâmica e um tanto quanto superficial, fazendo com que

os alunos não aprendam de fato, e assim, não consigam estabelecer uma relação

entre o que foi aprendido e o que está sendo ensinado.

Por exemplo, desde os anos iniciais são estudados os triângulos, seus

elementos e conceitos, porém, quando se estende o estudo para polígonos, como

uma soma de ângulos internos, deduzindo-se que os polígonos podem ser

decompostos em triângulos, os alunos têm dificuldades em aplicar os conceitos

aprendidos anteriormente e tratam o conteúdo como algo totalmente distinto e

estranho a sua realidade.

Este cenário tende a sofrer mudanças aos poucos com pesquisas

desenvolvidas recentemente por Bento (2010), Frade (2012), Miranda (2008),

Oliveira (2012), entre outros.

No estudo da geometria, os métodos dedutivo2 e indutivo3 devem ser bastante

explorados e estimulados, mas para isso é necessário que se tenha um

2 Método dedutivo é a modalidade de raciocínio lógico que faz uso da dedução para obter

uma conclusão a respeito de determinada(s) premissa(s). A indução normalmente se contrasta à

dedução. (WIKIPEDIA)

17

embasamento teórico bastante sólido e consistente. Assim, o presente trabalho irá,

através de uma pesquisa de cunho qualitativo, contribuir para um estudo mais

satisfatório do conteúdo triângulo.

1.4 PROBLEMÁTICA

O professor/pesquisador atua desde 2002, no ensino fundamental e médio e,

desde 2009, no ensino superior com disciplinas diversas. Por diversas vezes

deparou-se, também no curso superior, com dificuldades dos alunos em estudar

geometria e suas representações na forma escrita e/ou geométrica.

DUVAL (1994, p.39) diz que “as representações semióticas são produções

constituídas pelo uso de símbolos pertencendo a um sistema de representação que

tem condições próprias de significado e de funcionamento”.

No ensino médio, há professores que se dedicam pouco a explorar com os

alunos as diferentes formas de representação em Matemática. Isso pode ter como

consequência as dificuldades encontradas por parte dos alunos no curso superior. A

representação gráfica, por exemplo, muitas vezes é deixada de lado pelo tempo

demandado para as construções de gráficos e pelas imperfeições dos mesmos.

Estas dificuldades são causadas pelo manuseio errado dos instrumentos como

régua, lápis, compasso etc; e podem conduzir a uma interpretação errada da

atividade.

Existem hoje vários softwares de geometria dinâmica e de plotagem de

gráficos que podem auxiliar a compreensão e o desenvolvimento do ensino-

aprendizagem e que normalmente não são utilizados e/ou explorados como

ferramenta facilitadora neste processo.

O foco desta pesquisa é o ensino dos triângulos, seus elementos e

propriedades em um ambiente informatizado de ensino. Como já citado, o

professor/pesquisador ministra o conteúdo há quatro anos em uma instituição

particular de ensino, e não percebe uma aprendizagem significativa dos alunos.

3 Método indutivo, ou indução, é o raciocínio que, após considerar um número suficiente de

casos particulares, conclui uma verdade geral. A indução, ao contrário da dedução, parte da

experiência sensível, dos dados particulares. (WIKIPEDIA)

18

Quando ministrou pela primeira vez o conteúdo, em 2010, o foco foi

totalmente expositivo, não explorando muito questões relativas à representação

geométrica. Na segunda vez, em 2011, introduziu a representação geométrica,

porém, foi percebido que o tempo demandado foi grande e o rendimento dos alunos

diminuiu, considerando-se a falta de habilidade dos mesmos para manusear

instrumentos de desenho (lápis, régua, compasso etc). Na terceira vez, em 2012,

papel quadriculado e dobradura foram utilizados como recurso didático, o que

favoreceu a compreensão e o desenvolvimento dos alunos, mas ainda não agradou

o suficiente o professor/pesquisador, pois muitos não conseguiram generalizar os

conceitos abordados.

Em 2013, o conteúdo foi ministrado pela quarta vez e foi iniciada a presente

pesquisa visando implementar uma dinâmica diferente na abordagem da geometria,

mais especificamente no estudo dos triângulos, fato que suscitou algumas questões

motivadoras como a seguir:

Atividades dirigidas podem auxiliar os alunos na habilidade de interpretação

geométrica?

Problemas de construções geométricas pode ajudá-los a compreender melhor

o conteúdo de geometria?

Recursos computacionais podem dar suporte a esse processo de ensino-

aprendizagem?

Essas são questões que o professor/pesquisador procurará responder nessa

pesquisa.

Segundo Polya (2006):

“Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter”.

19

Para a composição das atividades foi adotado como referencial o material do

Projeto VOAZ do autor Luiz Roberto Dante. Luiz Roberto Dante é livre-docente em

Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP; doutor em Psicologia da

Educação: Ensino da Matemática, pela PUC-SP; mestre em Matemática pela USP.

Atualmente ministra cursos e palestras sobre aprendizagem e ensino da Matemática

para professores do Ensino Fundamental e Médio e escreve livros didáticos e

paradidáticos de Matemática para o Ensino Fundamental e Médio pela Editora Ática.

Os livros do professor Dante levam em conta os últimos estudos e avanços da

Educação Matemática. A apresentação dos conteúdos é feita de forma significativa,

instigando a descoberta e liberando a criatividade do aluno. Todo enfoque

metodológico é feito por meio de formulação de atividades dirigidas, possibilitando-

se o trabalho interdisciplinar.

1.5 QUESTIONAMENTOS

A pesquisa foi realizada com alunos do terceiro ano do ensino médio em uma

instituição da rede particular de Três Corações, sul de Minas Gerais.

Os alunos dessa turma têm características bastante diversificadas no que diz

respeito ao nível de aprendizagem. Assim, a definição de abordagens de ensino

torna-se necessária, cada vez mais, na busca de métodos que possam contribuir

para a compreensão da Matemática pelos alunos. Como trabalhar com alunos de

diferentes níveis de conhecimento matemático? Este é um desafio que muitos

professores enfrentam, mas, que não existe uma fórmula ou modelo a se seguir.

Neste contexto a busca por uma forma ideal para se conduzir as aulas

atingindo um percentual de alunos maior se faz necessário. O uso de atividades

dirigidas pode facilitar a aprendizagem desses alunos? Como essa busca passa

por um processo experimental, é natural que os alunos apresentarem dificuldades.

Em que momento o aluno encontra dificuldade? Essa dificuldade pode estar na

forma ou no conteúdo e cabe ao professor saber discernir entre intervir ou desafiar.

Em que momento o professor deve intervir? Caso a opção tomada seja a de

intervir é necessário definir como fazer a intervenção. Qual é a medida dessa

intervenção?

20

Estes são pontos importantes, uma vez que os alunos não estão habituados a

esse tipo de metodologia.

Para se trabalhar dessa forma, torna-se necessário selecionar uma série de

problemas bem elaborados, que permitam fazer uma análise para identificar as

lacunas e ao mesmo tempo permitir o avanço buscando o aprendizado do aluno.

Diversos exames, provas, concursos e olimpíadas de matemática trazem

problemas geométricos muito interessantes e que podem contribuir para o

desenvolvimento do pensamento geométrico. Como fazer a escolha e/ou a

elaboração destes problemas de construções geométricas? Para essa definição

é necessário analisar quais os conceitos e propriedades que se quer abordar e dirigir

a atividade para isso. Os alunos estão preparados para trabalhar com problemas

geométricos? É preciso ter em mente que soluções inesperadas podem ocorrer e

que é importante o registro de diferentes modos. O uso de diferentes

representações pode auxiliar nos problemas geométricos?

A elaboração de um conjunto de atividades, variando de atividades mais

simples até aplicações mais complexas na forma de problemas de construções

geométricas, envolvendo o conteúdo de triângulos, pode contribuir para a

aprendizagem significativa desse conteúdo acredita o professor/pesquisador.

O uso da tecnologia é uma tendência nos dias atuais. O avanço tecnológico

tem auxiliado o ensino em diversas áreas do conhecimento. Mas, ainda oferecem

desafios e levantam perguntas.

O uso de recursos computacionais pode auxiliar os alunos em

atividades dirigidas envolvendo triângulos? Quais softwares podem ser

utilizados para isso?

A partir dos questionamentos anteriores foi elaborada a questão que norteou

a pesquisa aqui desenvolvida:

“Como atividades com foco em problemas de construções geométricas,

com apoio computacional, podem auxiliar o processo de ensino/aprendizagem

e/ou revisitação dos conceitos e propriedades de triângulos, junto a um grupo

de alunos do 3º ano do ensino médio?”

21

Como objetivo geral, estabelece-se: levar os alunos a desenvolverem a

capacidade de lidar com os elementos constituintes e propriedades dos triângulos,

auxiliados por atividades didáticas e a visualização.

De forma mais específica, buscou-se:

Desenvolver a capacidade de identificação dos elementos constituintes e

propriedades dos triângulos por meio de atividades dirigidas.

Utilizar situações problemas para estimular o raciocínio, a dedução, a indução

e o estabelecimento de relações a partir da compreensão dos conceitos

adquiridos no estudo de triângulos.

Usar um instrumento computacional para favorecer a construção, visualização

e interpretação de situações e figuras que envolvam triângulos.

Para responder aos questionamentos e objetivos foram buscados livros,

artigos, dissertações e recursos que pudessem auxiliar o professor/pesquisador

neste processo. Assim, nessa Introdução, capítulo 1, apresentou-se uma visão geral

da presente pesquisa.

No capítulo 2 apresentam-se, História, Tendências e Teorias, nele há uma

breve retomada em partes do desenvolvimento da geometria a fim de posicionar a

pesquisa no contexto.

No capítulo 3, Delineamento Metodológico, são apresentadas as

características gerais da pesquisa bem como as atividades aplicadas e ainda a

metodologia utilizada para o desenvolvimento da pesquisa. Também neste capítulo,

é apresentado o software que foi utilizado para o desenvolvimento da visualização,

GeoGebra4.

No capítulo 4, Descrição das atividades e Análise dos resultados, são

analisados aspectos positivos e negativos da pesquisa, questão por questão, a fim

de encontrar falhas do processo e corrigi-las em um próximo trabalho.

4 O GeoGebra é um software gratuito de Matemática com aplicações de Álgebra, Cálculo,

Estatística e Geometria.

22

Nas Considerações Finais, capítulo 5, far-se-á um apanhado geral do que foi

a pesquisa e será traçado uma perspectiva para aproveitar este trabalho em outros

momentos da vida acadêmica.

23

2. HISTÓRIA, TENDÊNCIAS E TEORIAS

2.1 CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA

A linha do tempo da geometria e do ensino da matemática, apresentada

abaixo, tem por base os textos de Boyer (1974), Eves (1997), Fiorentini e Lorenzato

(2009), além de artigos e dissertações. Ela descreve fatos e nomes importantes de

quando e como começaram os estudos em geometria e quais os rumos de seu

ensino no Brasil.

Muito antes de termos os conceitos e fórmulas conhecidas hoje, os povos

antigos já utilizavam a dedução e a experimentação, e foi assim que foram criadas

as bases da Geometria. Os cálculos e ideias eram representados através de figuras

geométricas.

A palavra Geometria (do grego medir a terra) é bastante atual, uma vez que

espaços de terra geram conflitos pelo mundo e o metro quadrado fica mais caro a

cada dia. A Geometria tem suas origens nas antigas civilizações do Egito e da

Babilônia, e geralmente a astrologia era utilizada como ponto de partida. Tales de

Mileto é apontado como responsável por introduzir a Geometria trazida do Egito, na

Grécia.

Tales de Mileto é apontado por alguns historiadores como o primeiro a utilizar

a geometria demonstrativa. Ele fundou a escola jônica, que se dedicava à

investigação de questões filosóficas, tais como, a validade de propriedades

matemáticas dos números e das figuras. As obras de Tales foram perdidas com o

tempo, mas muitas descobertas matemáticas são atribuídas a ele em antigas

referências gregas à história da matemática. É atribuído a Tales o cálculo da altura

das pirâmides e o cálculo da distância até navios no mar por triangulação. Acredita-

se que seus resultados não foram obtidos apenas por intuição e/ou experimentação,

mas mediante de muitos raciocínios lógicos. Alguns dos fatos geométricos cuja

descoberta é dada a Tales são:

A demonstração de que os ângulos da base de dois triângulos isósceles são

congruentes;

A demonstração do seguinte teorema: se dois triângulos tem dois ângulos e

um lado respectivamente congruentes, então são congruentes;

http://www.matematica.br/historia/calpiramide.html

http://www.matematica.br/historia/calpiramide.html

http://www.matematica.br/historia/calnavio.html

24

A demonstração de que todo diâmetro divide um círculo em duas partes

congruentes;

A demonstração de que ao unir-se qualquer ponto de uma circunferência aos

extremos de um diâmetro AB obtém-se um triângulo retângulo em C.

Provavelmente, para demonstrar este teorema, Tales usou também o fato de

que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a soma de dois ângulos

retos;

Tales chamou a atenção de seus conterrâneos para o fato de que se duas

retas se cortam, então os ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Arquimedes, Apolônio e Euclides também tiveram grande contribuição para o

desenvolvimento da Geometria, sendo Euclides o autor da mais famosa obra

conhecida, os “Elementos” de Euclides.

Euclides foi professor do Museu em Alexandria. Escreveu vários tratados,

porém, mais da metade do que ele escreveu foi perdido. Entre as obras que

sobreviveram até hoje temos: Os elementos, Os dados, Divisão de figuras, Os

fenômenos e Óptica.

Segundo Boyer, os Elementos de Euclides não tratam apenas de geometria,

mas também de teoria dos números e álgebra elementar (geométrica). O livro é

composto de quatrocentos e sessenta e cinco proposições dispostas em treze livros

ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre geometria plana elementar, os

três seguintes sobre teoria dos números, o livro X sobre incomensuráveis e os três

últimos tratam sobre geometria no espaço.

Arquimedes é tido como um dos maiores matemáticos do século III a.C., seus

trabalhos contém grande rigor nas demonstrações, exibem originalidade e habilidade

computacional. Há cerca de dez tratados que foram preservados até hoje e acredita-

se que existam outros.

Há registro de dois papiros que se referem à matemática egípcia antiga. O

papiro de Moscou (figura 1) com data de aproximadamente no ano 1850 a.C. e o

papiro Rhind (figura 2) com data de aproximadamente no ano 1650 a.C.

Os dois papiros juntos continham 110 problemas com características de

práticas. Vinte e seis dos 110 problemas apresentam uma ideia geométrica e muitos

deles envolvem o cálculo de áreas e volumes.

25

Figura 1 - Papiro de Moscou

Fonte: Boyer

Figura 2 - Papiro Rhind

Fonte: Boyer

Na antiguidade, para se traçar segmentos perpendiculares, utilizavam-se de

estacas fixadas ao chão (segmento 1, AB ) e com o auxílio de uma corda

desenhava-se duas circunferências, cada uma com centro em uma estaca,

cruzando-se em dois pontos (segmento 2, CD , perpendicular). O esquema da figura

3 abaixo ilustra esta situação.

Figura 3 - Segmentos perpendiculares

Fonte: Elaborada pelo autor

A triangulação era utilizada pelos primeiros cartógrafos e agrimensores para

determinar áreas de superfícies diversas, este método consistia em cobrir toda

superfície por triângulos cujas áreas eram conhecidas, assim era possível

determinar uma aproximação aceitável da superfície total.

26

Mesmo havendo pesquisas que adotam este método de ensino, esta prática é

pouco estimulada em sala de aula como estratégia de aprendizagem. Criatividade,

inovação, dedução lógica, raciocínio para estruturar a resolução de uma situação-

problema, ser crítico e buscar ir além, estas estratégias nem sempre foram

estimuladas em todos os níveis de ensino. Mas hoje, os PCNs e autores da

Educação Matemática retomam as discussões em torno dessas estratégias. O

presente trabalho aqui proposto busca resgatar este espírito que faz o conhecimento

transcender.

No Brasil, Fiorentini e Lorenzato (2009) relatam que após 1950, estudos

relativos ao ensino e à aprendizagem da matemática receberam um impulso graças,

principalmente, à realização dos Congressos Brasileiros do Ensino de Matemática

(CBEM5), entre 1955 e 1966, e à criação dos Centros Regionais de Pesquisas

Educacionais (CRPE6) em 1956. O I Congresso Brasileiro do Ensino de Matemática

ocorreu em Salvador, Bahia, em 1955; o II Congresso foi realizado em 1957, em

Porto Alegre e o III Congresso, em 1959, foi sediado no Rio de Janeiro e nele foi

reconhecido que a Matemática Moderna não era conhecida pela maioria dos

professores brasileiros. Assim, recomendou-se que os Departamentos de

Matemática de todo o país oferecessem cursos de capacitação para professores

secundários (FERREIRA, 2008).

No V CBEM, em 1966, as ideias da Matemática Moderna estavam difundidas

definitivamente. A partir dai, os primeiros livros didáticos foram elaborados e

publicados com essa nova orientação. Porém, a Matemática Moderna não

solucionou os problemas do ensino da matemática e para vários estudiosos eles se

agravaram, pois teve um foco na linguagem matemática e em sua formalização. Em

meados dos anos 70, o movimento sofreu pesadas críticas. Em 1988, foi criada a

Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM7) com o objetivo de discutir

5 CBEM – Congresso Brasileiro do Educação Matemática. Realizado primeiramente em

Salvador, Bahia, em 1955, e foi de fundamental importância para a conclusão de que a educação

matemática deveria sofrer mudanças profundas.

6 CRPEs – Centros Regionais de Pesquisas Educacionais. A partir de 1956 deram início aos

trabalhos em São Paulo, Belo Horizonte, Salvador e Porto Alegre, com o intuito de colocar em prática,

em âmbito nacional, uma ideia experimentada por Anísio Teixeira na década de 30.

7 SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Fundada em 27 de janeiro de 1988,

a SBEM é uma sociedade civil, de caráter científico e cultural, sem fins lucrativos e sem qualquer

27

de maneira organizada o desenvolvimento da Educação Matemática no Brasil. A

SBEM tem expandido sua área de atuação, criou de diretorias regionais em quase

todos estados do país. Entre as atividades realizadas pela SBEM destacam-se:

Realização de 8 (oito) Encontros Nacionais.

Realização de 2 (dois) Seminários Internacionais de Pesquisa em Educação

Matemática – SIPEM

Dezenas de encontros regionais.

Manutenção de um periódico, Educação Matemática em Revista, com 17

edições publicadas”.

Todas essas ações da SBEM têm promovido e aberto espaços para se

discutir e apresentar experiências com novas estratégias para o ensino de

Matemática, em geral e da geometria, em particular.

2.2 ORIENTAÇÕES DE DOCUMENTOS OFICIAIS

Essa pesquisa está norteada pelos parâmetros curriculares nacionais do

ensino médio (1999, p. 254) que tem por finalidade e objetivo levar o aluno a:

Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que

permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação

científica geral;

Aplicar seus conhecimentos matemáticos em situações diversas, utilizando-os

na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades

cotidianas;

Analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando

ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita

expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas

do conhecimento e da atualidade;

Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de

comunicação, bem como o espírito crítico e criativo;

vínculo político, partidário ou religioso. Tem como finalidade congregar profissionais da área de

Educação Matemática e de áreas afins.

28

Utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para

desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos;

Expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e

valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática;

Estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses

temas e o conhecimento de outras áreas do currículo;

Reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito,

relacionando procedimentos associados às diferentes representações;

Promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em

relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de

autonomia e cooperação.

Na Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei nº 9.394/96), a

Educação Básica tem por finalidade desenvolver o educando, assegurar-lhe a

formação comum indispensável para o exercício da cidadania e fornecer-lhe meios

para progredir no trabalho e em estudos superiores. Segundo o artigo 35 desta lei,

consta que:

O Ensino Médio, etapa final da Educação Básica, com duração de três anos,

tem como finalidades:

A consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no Ensino

Fundamental, possibilitando o prosseguimento dos estudos;

1. A preparação básica para o trabalho e a cidadania do educando para

continuar aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a

novas condições de ocupação ou aperfeiçoamento posteriores;

2. O aprimoramento do educando como ser humano, incluindo a formação ética

e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico;

3. A compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos dos processos

produtivos, relacionando a teoria com a prática, no ensino de cada disciplina.

Além disso, este currículo observará as seguintes diretrizes:

29

I. destacará a educação tecnológica básica, a compreensão do significado da

Ciência, das Letras e das Artes; o processo histórico de transformação da

sociedade e da cultura; a língua portuguesa como instrumento de

comunicação, acesso ao conhecimento e exercício da cidadania;

II. adotará metodologias de ensino e de avaliação que estimulem a iniciativa dos

estudantes. Os conteúdos, as metodologias e as formas de avaliação serão

organizados de tal forma que, ao final do Ensino Médio, o educando

demonstre:

a) Domínio dos princípios científicos e tecnológicos que presidem a produção

moderna;

b) Conhecimento das formas contemporâneas de linguagem;

c) Domínio dos conhecimentos de Filosofia e Sociologia necessários ao

exercício da cidadania.

A presente pesquisa procurou orientar-se pelas diretrizes acima relacionadas

e em autores como Duval (2003), Polya (2006), Borba e Penteado (2001).

2.3 REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO

Nesse trabalho, há uma busca em recordar, ampliar e aprofundar os

conceitos da geometria plana, em particular os triângulos, dando uma abordagem

visual com a utilização do software de geometria dinâmica, Geogebra, na tentativa

de fazer com que os alunos tivessem a iniciativa de construir os conceitos de forma

indutiva e dedutiva por meio de observação. Para isso, o aluno foi desafiado a

utilizar diferentes formas de linguagem em suas conclusões: natural, gráfica, tabelas

e simbólica.

Segundo DUVAL (2003, p.21), no ensino tradicional, “o sucesso, para grande

parte dos alunos em matemática, ocorre no caso dos monorregistros”, o que

restringe o desenvolvimento do aluno, uma vez que ele não consegue estabelecer

correlações entre as diferentes representações de um mesmo objeto matemático.

Estudando os vetores, BITTAR (2003), desenvolveu uma pesquisa analisando

livros didáticos de Geometria Analítica em relação ao tipo de linguagem utilizado.

Na pesquisa realizada por BITTAR (2003), foram analisados 73 exercícios de

livros didáticos e concluiu-se que em 49 deles há registro simbólico vetorial no

30

enunciado e na resolução, havendo a necessidade da análise e interpretação de

mais de um registro na resolução do exercício, seja em uma linguagem simbólica,

natural, ou algébrica, ou outra.

Quadro 1: Tipo de linguagem utilizada.

Fonte: BITTAR, Marilena (2003, p.86)

Fica evidente, para Bittar (2003), que é necessário conhecer diferentes tipos

de representação para a solução da maioria dos exercícios. DUVAL (2003, p.21) diz

que “o acesso aos objetos matemáticos passa necessariamente por representações

semióticas”.

DUVAL (2003, p.24) destaca também que “em toda análise de tarefa como

em toda resolução de problemas, é necessário distinguir cuidadosamente o que

sobressalta no tratamento em um registro e aquilo que sobressalta em uma

conversão”.

Identificar as propriedades dos triângulos é bastante simples uma vez que a

figura e os conceitos são conhecidos, mas DUVAL (2003, p.27) aponta que “um

sucesso matemático não corresponde a um sucesso cognitivo”, é necessário então

trabalhar a resolução de problemas a fim de desenvolver a capacidade de

interpretação e estabelecimento de relações.

Segundo DUVAL, coordenar, articular e transformar registros de

representação são essenciais no processo de aprendizagem das atividades

matemáticas.

Estas atividades podem ser exploradas a partir da resolução de problemas e

de atividades que proporcionem ao aluno a curiosidade e o interesse em entender o

que se passa no problema proposto.

73 exercícios

55/73

vetorial

18/73

não-vetorial

49/55

vetorial

6/55

não-vetorial

16/18

vetorial

2/18

não-vetorial

Registro de saída

Registro da solução Registro da solução

31

Segundo POLYA:

“O estudante deve adquirir tanta experiência pelo trabalho independente quanto lhe for possível. Mas se ele for deixado sozinho, sem ajuda ou com auxilio insuficiente, é possível que não experimente qualquer progresso”. (2006, p.1)

Resolver um problema depende muitas vezes da prática ou da imitação de

um modelo. POLYA (2006) sugere duas etapas: primeiro, auxiliar o estudante a

resolver o problema que lhe é apresentado; segundo, desenvolver no estudante a

capacidade de resolver futuros problemas por si próprio.

Para desenvolver esta pesquisa, algumas vezes serão utilizados recursos

computacionais, utilizando para isso teorias que abordam esse tema, como, por

exemplo, BORBA e PENTEADO (2001). Para BORBA e PENTEADO (2001, p.54,

55), isso poderá contribuir para que ocorra um movimento “saindo da “zona de

conforto” onde quase tudo é conhecido, previsível e controlável”, para uma “zona de

risco” na qual “é preciso avaliar constantemente as consequências das ações

propostas”.

Nesta perspectiva, o professor/pesquisador procurou fazer um levantamento

de softwares de geometria dinâmica que pudessem ser utilizados no levantamento

de dados e na aplicação das atividades. Foi pensado, também, que tipo de atividade

poderia ser utilizado de forma investigativa.

2.4 SOFTWARE DE GEOMETRIA DINÂMICA

O que é Geometria Dinâmica?

É um termo usado para um método dinâmico e interativo para o ensino e

aprendizagem de geometria e suas propriedades utilizando um recurso

computacional (software) com características próprias (Néri, 2012). Este processo

não tem a intenção de substituir a régua e compasso, mas melhorar o processo de

construção do conhecimento.

Segundo Néri (2012), o termo “dinâmico” na geometria refere-se à ideia de

movimento, assim, os programas de Geometria Dinâmica permitem que as

32

construções possam ser modificadas e analisadas em diversas formas ajudando na

visualização das propriedades geométricas.

O fato de estes softwares serem bastante precisos colabora muito com os

alunos que não possuem habilidade para manusear a régua e o compasso. Muitas

vezes, o aluno não visualiza uma propriedade pelo fato de o desenho não

representar adequadamente a situação problema.

É importante na manipulação do software que o aluno tenha uma noção

básica de geometria. O que são ponto, reta, retas paralelas, retas perpendiculares,

bissetrizes, ângulos e também uma noção de simetria. Esta noção é necessária para

o maior dinamismo da atividade.

Quadro 2 - Cronologia dos softwares de geometria dinâmica

Cronologia dos softwares de geometria dinâmica

Quando? Software Quem desenvolveu?

Anos 60 SuperLogo Desenvolvida por Seymour Papert, um educador

matemático, no MIT - Massachusetts Institute of

Technology, de Cambridge, MA, Estados Unidos, e

adaptada para o português em 1982, na Unicamp.

Anos 80 Cabri

Géomètre

Jean-Marie Laborde e Franck Bellemain desenvolveram

o Cabri Geometry II no Institut d'Informatique et

Mathématiques Appliquées de Grenoble (IMAG).

Anos 80 Geometer’s

Sketchpad

Swarthmore College, sob a direção dos doutores

Eugene Klotz e Doris Schattschneider.

1996 Cinderela Foi inicialmente desenvolvido por Jürgen Richter-

Gebert e Henry Crapo. Foi reescrito em Java a partir do

zero por Jürgen Richter-Gebert e Ulrich Kortenkamp.

2001 Geogebra Markus Hohenwarter da Flórida Atlantic University.

2003 Graphmática Keith Hertzer, um bacharel em Engenharia Elétrica e

Ciência da Computação da Universidade de Berkeley.

2008 C.a.R Desenvolvido pelo professor René Grothmann da

Universidade Católica de Berlim, na Alemanha.


33

O software SuperLogo 3.0 é um aplicativo que o professor/pesquisador

acredita ter impulsionado os aplicativos de geometria dinâmica. Ele possuía uma

linguagem simples, poderosa e muito interativa, pois o usuário podia “ensinar” os

comandos para o aplicativo. Não era dinâmico, mas é bem provável ter impulsionado

os estudos para que os aplicativos fossem modificados para esse propósito

educacional. É um software livre8 e gratuito9.

Os primeiros softwares criados para Geometria Dinâmica foram o Geometer’s

Sketchpad (1989) e o Cabri Géomètre (1988). Estes programas a princípio

procuravam reproduzir os desenhos feitos com régua e compasso (Néri, 2012). São

softwares não-livres e gratuitas para testar, possuem versões Demo10 e/ou Trial11,

sendo necessário adquirir uma licença para usufruir de seus recursos de maneira

plena.

Hoje, há vários softwares de Geometria Dinâmica: C.a.R (régua e compasso),

Cinderela, GeoGebra, entre outros.

8 Opensource: (Software livre) São programas gratuitos que possuem o código-fonte aberto,

desenvolvidos, na maioria das vezes, por comunidades que dedicam seu tempo livre para fazê-lo. Se

você for programador, pode modificar o código-fonte dos programas caso queira, desde que

mantenha os créditos aos criadores deles. A licença de uso opensource mais popular é a GNU-GPL,

para ler o conteúdo integral desta licença acesse: http://www.magnux.org/doc/GPL-pt_BR.txt

9 Freeware: (software gratuito): São programas gratuitos, eles não expiram e você pode usá-

los livremente e nunca terá que pagar nada por isso. Alguns programas são gratuitos apenas para

pessoas físicas ou uso não comercial.

10 Demo: Este tipo de distribuição é mais comum em jogos. Os demos de jogos apresentam

apenas algumas fases e servem para você analisar se vale a pena comprá-lo ou não. Os demos não

expiram e nem podem ser registrados. Se você quiser comprar o software terá que recorrer a uma

loja.

11 Trial: É semelhante ao tipo DEMO, mas se aplica a programas. Você pode testar o

programa em sua totalidade, com todos os recursos e por quanto tempo quiser, mas geralmente não

poderá salvar ou exportar os trabalhos feitos. Se quiser comprar o programa deverá ir a uma loja e

comprar a caixa, não há opção para registrar o programa. Alguns programas Trial permitem que você

salve e exporte os trabalhos por um certo tempo, mas após este tempo de uso a única opção é

comprar o programa completo ou apagá-lo do computador.

34

Figura 4 - Interface da página inicial do software GeoGebra


O software escolhido para ser utilizado na pesquisa foi o GeoGebra, sobre o

qual é dedicada uma seção (3.4) no próximo capítulo.

35

3. DELINEAMENTO METODOLÓGICO

Para responder a questão levantada “Como atividades com foco em

problemas de construções geométricas e investigações, com apoio

computacional, podem auxiliar o processo de ensino/aprendizagem e/ou

revisitação dos conceitos e propriedades de triângulos, junto a um grupo de

alunos do 3º ano do ensino médio?” foi adotada uma metodologia qualitativa.

Como já citado, a pesquisa foi desenvolvida com quatorze alunos do terceiro

ano do ensino médio de uma instituição da rede particular de Três Corações, Sul de

Minas Gerais.

3.1 AMBIENTE, CARACTERÍSTICAS E SUJEITOS DA PESQUISA

A instituição, Colégio Nova Geração, adota hoje o sistema COC de ensino, e

foi fundada no ano de 2010 na cidade de Três Corações, como uma opção de

ensino diferenciado, por ter uma equipe docente eficiente, aliada a um material

didático reconhecido nacionalmente e um amplo apoio on-line. Além disso, o colégio

dispõe de lousa interativa em todas as salas, o que proporciona uma aula mais

dinâmica e com uma maior participação do aluno na construção do conhecimento.

O público da instituição é bastante diversificado. As turmas são heterogêneas

em relação aos níveis de aprendizagem e isso, de certa forma, dificulta o processo

de ensino-aprendizagem do conteúdo. Todos os quatorze alunos estudaram o

ensino fundamental em outras instituições, portanto são transferidos, o que pode ter

ocasionado “falhas” no processo de ensino-aprendizagem.

Por ser uma instituição nova e com recursos financeiros, ela tem procurado se

adequar às necessidades dos alunos com inovação e tecnologia de ponta.

Os quatorze alunos, sujeitos da pesquisa, serão denominados de aluno A,

aluno B, aluno C, aluno D, aluno E, aluno F, aluno G, aluno H, aluno I, aluno J, aluno

K, aluno L, aluno M, aluno N. Estes alunos sentiram-se inseguros e motivados ao

mesmo tempo. Inseguros por estarem utilizando uma ferramenta nova, porém

motivados em conhecer o conteúdo de um modo inovador e dinâmico.

36

3.2 CARACTERIZAÇÃO DA PESQUISA

Alguns procedimentos metodológicos foram necessários para o

desenvolvimento desta pesquisa e o professor/pesquisador julga importante citá-los.

Uma vez que estas atividades serão aplicadas em uma turma de terceiro ano

do ensino médio, as propriedades abordadas já eram de conhecimento dos alunos,

pois os conteúdos contidos nas mesmas fazem parte da estrutura curricular dos

anos anteriores. Todos os alunos regularmente matriculados na turma fizeram parte

da pesquisa, não sendo o desempenho escolar um fator de relevância para a

escolha. Espera-se que os diferentes níveis de aprendizagem não prejudiquem os

resultados da pesquisa.

Com o objetivo de socializar o conhecimento compartilhado, os alunos foram

separados em duplas e as mesmas foram estimuladas a discutirem entre si antes de

solicitar a orientação do professor. A amostra foi formada por quatorze (14) alunos

sendo sete (7) do sexo masculino e sete (7) do sexo feminino. A formação das

duplas foi por afinidades dos membros para que o diálogo pudesse ser mais

produtivo. No entanto, cada aluno deveria fazer seu próprio registro da solução

encontrada.

As atividades foram desenvolvidas em momento oportuno em sala de aula

sendo utilizadas quatro aulas de cem (100) minutos para o desenvolvimento das

mesmas.

Para a coleta de dados, foram utilizadas atividades dirigidas que tratavam das

propriedades dos triângulos. Num primeiro momento, as atividades precisaram ser

“calibradas”, ou seja, foram testadas para verificar se realmente estão avaliando

aquilo que foi proposto, para que o objetivo da pesquisa seja alcançado. Este teste

foi feito junto a professores que avaliaram as questões propostas.

O quadro a seguir apresenta de forma simplificada os conteúdos abordados

em cada atividade. Ele apresenta também o tempo de duração disponível, os

objetivos e os recursos didáticos utilizados.

37

Quadro 3 – Detalhamento das atividades

Atividade Conteúdo Objetivo Recurso

Didático

01 Conservação da área do

triângulo, retas paralelas.

Investigar propriedades do

triângulo explorando a

questão do ponto de vista

geométrico.

GeoGebra

Lápis

Papel

Régua

02 soma dos ângulos internos,

retas paralelas, retas

transversais, ângulos

correspondentes e opostos

pelo vértice.




geométrico.

GeoGebra

Lápis

Papel

Régua

03 Base média, segmentos

paralelos, módulo do

segmento, ponto médio,

proporção.




geométrico.

GeoGebra

Lápis

Papel

Régua

04 Medianas, módulo de

segmentos, ponto médio,

proporção, lugar

geométrico, baricentro.




geométrico.

GeoGebra

Lápis

Papel

Régua

05 Retas perpendiculares,

mediatriz do lado do

triângulo, circunferência

circunscrita.




geométrico.

GeoGebra

Lápis

Papel

Régua

06 Condição de existência de

um triângulo.




geométrico.

GeoGebra

Lápis

Papel

Régua

Fonte: Elaborado pelo autor

As atividades foram aplicadas no último bimestre de 2013 utilizando recursos

computacionais. Como já citado, o professor/pesquisador utilizou o software

GeoGebra devido a sua interface bastante intuitiva e também por ser um software

que pode servir como instrumento de aprendizagem para outros conteúdos dentro

38

da própria geometria, na álgebra, na estatística, entre outras, podendo ainda utilizar

este recurso no curso superior.

Nas atividades, haverá um equilíbrio no emprego da linguagem usual e da

linguagem matemática, procurando manter uma comunicação clara e direta ao nível

dos alunos aos quais se destinam as mesmas.

3.3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

A pesquisa visa analisar como recursos didáticos planejados podem contribuir

para a aprendizagem do conteúdo de triângulos, possibilitando usar diferentes

registros de representação, escrito e/ou algébrico e/ou geométrico, para entender a

conceituação, as propriedades e a construção de triângulos.

Estes registros de representação variam dependendo do sujeito. Cada sujeito

procura se expressar da forma mais conveniente ao seu entendimento. Os sistemas

semióticos cumprem três atividades cognitivas, segundo Duval (2009):

“A primeira é a formação de uma marca, que possa ser identificada como representação de um objeto, a segunda, o tratamento, é a transformação da representação, uma mudança de forma, mas preservando as características próprias do sistema onde foi criada. E a terceira, a possibilidade de conversão da representação com sua passagem a outro sistema, mas mantendo o mesmo objeto de referência”.

Pretende-se verificar se as atividades dirigidas colaboram para aguçar o

interesse dos alunos pelo objeto de estudo e ainda se há um estímulo para

atravessar as três atividades cognitivas citadas acima buscando diferentes

representações ou causa o desinteresse por lidar com o desconhecido e/ou não ter

habilidade cognitiva suficiente e necessária para o desenvolvimento das atividades.

Segundo Kilpatrick (1994, p.2), “pesquisa é uma indagação metódica ou

estudo sistemático e consistente de um problema”. O termo “indagação”, neste caso,

sugere a busca por respostas a uma questão particular e o termo “metódica”

significa que a investigação deve ser orientada através de conceitos sólidos, porém

sua questão está passível de verificação e a conclusões que possam ser

observadas através da própria pesquisa.

Segundo Fiorentini (2009, p. 61), a pesquisa será de campo ou de laboratório

se a questão só pode ser respondida efetivamente se houver uma experimentação

39

ou uma coleta de dados no ambiente ao qual se refere tais questionamentos. Sendo

assim, esta pesquisa se caracteriza como sendo uma pesquisa de campo, pois suas

conclusões estão condicionadas a aplicação da atividade.

3.4 O GEOGEBRA

O que é o GeoGebra?

Para responder a essa pergunta o professor/pesquisador buscou o site dos

seus desenvolvedores: www.geogebra.org.

O GeoGebra é um software de matemática dinâmica gratuito e

multiplataforma para todos os níveis de ensino, que combina geometria, álgebra,

tabelas, gráficos, estatística e cálculo em um único sistema.

Dizemos que é um software de matemática dinâmica, pois ele transcende a

geometria sendo útil em diversas áreas da matemática. É um software bastante

premiado e sua versão em 3D está em desenvolvimento e possui apenas a versão

Beta.

Hoje o software se encontra na versão 4.4 e em constante desenvolvimento

através de grupos on-line de discussão e aprimoramento. Nestes grupos há também

demonstrações que podem ser baixadas para serem trabalhadas em sala de aula.

O software é constituído basicamente por três áreas: campo de entrada,

janela de álgebra e janela de visualização. Estas áreas possibilitam a construção de

aulas, resolução de problemas, testes de hipóteses e principalmente para um

trabalho investigativo de verificação de propriedades e teoremas da geometria, da

álgebra e até mesmo da estatística.

Para ter acesso ao manual completo do software GeoGebra visite o link:

http://wiki.geogebra.org/pt/Manual:P%C3%A1gina_Principal

Para a presente pesquisa, utilizou-se itens das telas do GeoGebra pertinentes

ao trabalho proposto, conforme a seguir.

A janela de visualização (figura 5, p.40) é onde fica registrado

geometricamente todo comando inserido no campo de entrada e/ou inserido

diretamente através da seleção de um ícone na barra de ferramentas acima da

janela.

http://www.geogebra.org/

40

Figura 5 – Janela de Visualização do software GeoGebra


O campo de entrada (figura 6, p.40) é o local onde o comando é descrito e

este comando é representado simultaneamente na janela de álgebra e na janela de

visualização. Por exemplo, para se representar um ponto A localizado na

coordenada A=(2,3), inserimos no campo de entrada A=(2,3) ou A:ponto(2,3).

Figura 6 - Campo de entrada do software GeoGebra


41

Este ponto pode ainda ser inserido diretamente na janela de visualização.

Para isso, é necessário acionar o ícone referente a “Novo Ponto”, porém, este ponto

pode ficar impreciso por estar sendo marcado “a mão livre”.

Figura 7 – Barra de Ícones do software GeoGebra


A janela de álgebra (figura 8, p. 42) indica tudo que é feito na janela de

visualização, portanto, caso queira editar alguma informação basta acionar o item

diretamente na caixa de álgebra e alterá-lo com a precisão desejada.

É com o auxílio desta ferramenta que se pretende melhorar o processo de

ensino-aprendizagem dos alunos em geometria. Para isso, primeiramente o aluno

deverá passar por uma ambientação do software a fim de dominar os comandos

básicos para que possam desenvolver a atividade de forma satisfatória e a

ferramenta do software seja um facilitador e não um problema a mais neste

processo.

A ferramenta é bastante simples e intuitiva, mas com um número de

comandos bastante extenso. Claro que há áreas mais complexas no software, mas

não é objetivo desta pesquisa abordar esta complexidade e sim verificar se o

GeoGebra pode auxiliar no ensino de apenas um tópico da geometria, triângulos.

42

Figura 8 - Janela de álgebra do software GeoGebra


43

4. DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES E ANÁLISE DOS RESULTADOS

Neste capítulo, o professor/pesquisador fará a apresentação das atividades

aplicadas, buscando analisar a maneira como as mesmas foram trabalhadas,

observando quais os pontos positivos e os pontos negativos da aplicação. As

atividades foram escolhidas utilizando conceitos básicos da geometria aplicados a

triângulos. Os alunos do terceiro ano do ensino médio obviamente tiveram contato

com esse conteúdo no ensino fundamental, embora nem sempre com resultados

positivos. Mas, aqui, a ideia era verificar como estes alunos se comportariam na

recuperação desse conteúdo e diante de uma proposta planejada que possibilitaria

aos mesmos transcenderem seus conhecimentos.

4.1 AMBIENTAÇÃO

Num primeiro momento era necessário que os alunos conhecessem o

software de geometria dinâmica, GeoGebra, que seria utilizado na aplicação das

atividades. Como o colégio não possui laboratório de informática, foi solicitado aos

alunos que levassem tablets e/ou notebooks nos dias marcados para a aplicação

das atividades. Assim a atividade inicial chamada de atividade zero foi a

ambientação, para que o software fosse um facilitador e não ou problema a mais no

desenvolvimento das atividades.

Para garantir que todos os alunos possuíssem a mesma versão do software,

o professor/pesquisador encarregou-se de baixar e instalar a mesma versão do

software em todas as máquinas. A versão utilizada na aplicação da atividade foi a

4.2 que naquele momento era a versão mais atual do software disponível, além

disso, foi feito ainda a atualização do Java.

44

Atividade 00

Objetivo

Proporcionar ao aluno uma ambientação com a ferramenta que será utilizada

na aplicação das atividades.

Conteúdo explorado

Janela de visualização, janela de álgebra, campo de entrada, barra de

ferramentas e ícones.

Ambiente virtual

Geogebra – Software de geometria dinâmica

Após a instalação do software e atualização do Java, o professor/pesquisador

fez uma introdução explicativa das janelas de trabalho do software GeoGebra

(Janela de visualização, Janela de álgebra, Campo de entrada, Barra de ferramentas

e Ícones). Em seguida, os alunos foram estimulados a explorar as ferramentas,

janelas e ícones do software. Como era o primeiro contato dos alunos com o

software, eles sentiram-se inseguros e não sabiam por onde começar sendo

necessária intervenção do professor/pesquisador através de orientações

direcionadas como:

Selecione o segundo ícone e nele selecione “ponto”. Com o “ponto”

selecionado clique na “janela de visualização” para marcar um ou mais

pontos. (Figura 9, p.45)

Selecione o terceiro ícone e nele selecione “reta”. Com a “reta” selecionada

clique na “janela de visualização” em dois pontos distintos para formar uma

reta. (Figura 10, p.45)

45

Figura 9 - Ícone ponto


Figura 10 – Ícone reta


Em um segundo momento, os alunos foram orientados a exibir a malha

quadriculada na “janela de visualização” a fim de ajudá-los a determinar pontos que

continham coordenadas inteiras. Não que fosse relevante o valor ser inteiro, mas

com este valor é mais fácil verificar as relações e manipulá-lo (figura 11, p.45). Eles

foram orientados ainda a sempre estar atentos na janela de álgebra, pois a partir

dela seria possível chegar a muitas conclusões.

Figura 11 – Exibição do plano quadriculado na janela de visualização


46

Passada a fase de ambientação, foi solicitado aos alunos que continuassem

explorando os recursos do software em casa para que em um próximo momento

iniciasse a aplicação das atividades dirigidas propostas pelo professor/pesquisador.

4.2 CONSERVAÇÃO DA ÁREA DO TRIÂNGULO

A área de um triângulo qualquer é calculada pela metade do produto da

medida segmento da base pela medida do segmento da altura. O objetivo específico

desta atividade é fazer com que os alunos observem que em um triângulo qualquer

definindo um dos lados como base ao deslocar o vértice oposto à base por uma reta

paralela à base a área do triângulo permanece o mesmo valor, não importando a

sua forma.

Atividade 01

Objetivo

Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto de vista

geométrico.

Conteúdo explorado

Conservação da área, reta paralela.

Ambiente virtual


a) Marque, no plano, dois pontos, A e B, em um mesmo alinhamento horizontal.

b) Marque um ponto C não colinear aos pontos A e B. (Figura 12, p.47)

c) Construa um triângulo ABC.

No momento desta construção, quatro alunos, 28,6% do total, utilizaram a

ferramenta segmento por dois pontos para determinar os lados do triângulo e

47

tiveram que ser orientados a utilizar outra ferramenta, neste caso o polígono, ou

não seria possível atingir o objetivo do item d.

Figura 12 – Definição de três pontos


d) Utilizando os recursos do Geogebra determine a área do triângulo. (Figura 13,

p.48)

Solucionado o problema do item c, todos os alunos conseguiram atingir esse

objetivo, assim eles foram solicitados a utilizar diferentes representações para

expressar o resultado como sugere Duval. 64,3% recorreram à fórmula

2

alturabaseÁrea

para calcular a área enquanto 35,7% optaram por contar os

quadrados da malha quadriculada, pois os triângulos definidos por eles favoreciam

esta situação.

Ao realizar esse item d, 42,9% dos alunos observaram que o valor

determinado para área utilizando o recurso área do Geogebra já estava

representado na “Janela de Álgebra” do software.

48

e) Utilizando os recursos do Geogebra determine a reta paralela ao segmento

AB passando por C.

Figura 13 – Determinação da área do triângulo


f) Selecione o ponto C e desloque para direita e para esquerda. O que pode ser

dito em relação à área do triângulo? Explique porque isso ocorre?

49


O quadro 4 apresenta uma análise detalhada das respostas dos alunos. Nele

podemos observar que 92,9% dos alunos observaram que a área em relação a seu

valor não se altera quando movimentado o ponto C sobre a reta paralela. Nenhum

dos alunos comentou, em sua representação escrita, as diferentes formas adquiridas

pelo triângulo, mas durante a aplicação surgiu o comentário oral: “está errado! esses

triângulos não parecem ter a mesma área”. Podemos observar também que 100%

dos alunos relataram que a altura não se altera, 71,4% relatam que a base não se

altera, 28,6% citam o fato de o ponto C deslocar-se por uma reta paralela ao

segmento AB da base do triângulo. A fórmula da área foi relatada por 35,7% dos

alunos e apenas um aluno (7,1%) relatou, em sua descrição, que não aconteceu

nada, o que não deixa de ser uma colocação correta quando se olha apenas o valor

da área.

Em conversa com os alunos, o professor/pesquisador pôde constatar que

71,4% dos alunos demonstraram satisfação ao realizar a atividade, porém as

representações na linguagem escrita não possuem uma linguagem matemática

formal.

Figura 14 – Deslocamento horizontal do ponto C mantendo a base AB

50

Quadro 4 – Resumo das respostas dadas ao item f, atividade 01

Argumentações

dos alunos

Porcentagem (%)

Código do

aluno que

argumentou

Área não

muda

A, B, C, D,

E, F, G, H,

J, K, L, M,

N

Altura não

muda

A, B, C, D,

E, F, G, H,

I, J, K, L,

M, N

Base não

muda

A, B, G, H,

I, J, K, L,

M, N

Fórmula da

área

E, F, G, J

Fonte: Dados da pesquisa

A seguir são apresentados três relatos da atividade.

Protocolo 1 – Resposta do aluno J, item f, atividade 01


Protocolo 2 - Resposta do aluno I, item f, atividade 01


51

Protocolo 3 - Resposta do aluno F, item f, atividade 01


De acordo com os protocolos apresentados podemos observar que os alunos

F e J conseguiram alcançar o objetivo da atividade de maneira satisfatória,

registrando e explicando suas constatações. O aluno I foi mais sintético em sua

resposta, o que causou suspeita ao pesquisador. Em conversa reservada com o

aluno I, o professor/pesquisador pôde verificar que o mesmo não executou o

experimento do deslocamento do vértice, não atendendo ao objetivo da atividade,

ele apenas captou comentários dos colegas..

4.3 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO

Uma das propriedades mais conhecidas envolvendo triângulos é que a soma

dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Há muitas formas de mostrar e

demonstrar esta propriedade; dobraduras, recortes e desenvolvimento algébrico são

alguns exemplos. O professor/pesquisador pretende fazer uma verificação, através

do recurso computacional, de manipulações e de resgate de conhecimentos.

Na atividade, são abordadas ainda as propriedades das retas paralelas

cortadas por transversais. Ângulos correspondentes, alternos internos, opostos pelo

vértice podem ser observados.

Atividade 02

Objetivo


geométrico.

52

Conteúdo explorado:

Soma dos ângulos internos, retas paralelas, retas transversais, ângulos

correspondentes e opostos pelo vértice.

Ambiente virtual


a) Marque no plano três pontos quaisquer, A, B e C e construa um triângulo

ABC.

b) Utilizando os recursos do Geogebra determine a reta paralela ao segmento

AB passando por C.

c) Construa a semirreta com origem em A, passando por C.

d) Utilizando os recursos do Geogebra meça o ângulo interno A do triângulo

ABC e o ângulo formado pela reta paralela e a semirreta. O que podemos

observar? Que é dado a esses ângulos? (Figura 15)

Figura 15 - Definição dos ângulos correspondentes


53

A construção dos itens a e b desta atividade foram semelhantes à atividade

01, portanto, não houve dificuldade em fazê-los. Nos itens c e d foram exploradas

duas novas ferramentas (ícones), semirreta e ângulo. O

professor/pesquisador observou que 100% dos alunos construíram a semirreta e

determinou o ângulo de forma satisfatória, porém ele faz uma ressalva em relação à

determinação do ângulo. Ele observou que os alunos selecionaram a ferramenta

“ângulo” e simplesmente selecionaram o triângulo, isso fez com que todos os

ângulos tivessem seus valores mostrados. Mas para mostrar o ângulo entre a reta e

a semirreta era necessário um pouco mais de critério. Apenas 64,3% dos alunos

conseguiram determinar o ângulo de maneira satisfatória. Os demais alunos

determinaram o ângulo replementar12 ao desejado, então, o professor/pesquisador

questionou a todos para saber se algum deles saberia o porquê dos valores

diferentes. Depois de algum tempo o aluno L concluiu que a leitura do item é

importante. A determinação do valor do ângulo utilizando o Geogebra dá-se no

sentido anti-horário, portanto deve haver um critério para a seleção dos elementos

que definem o ângulo.

Em relação à resposta do item d, o professor/pesquisador observou que todos

os alunos concluíram que os ângulos possuem mesmo valor. Ele observou também

que os alunos não dominavam a nomenclatura dada aos ângulos formados por retas

paralelas cortadas por uma transversal, pois apenas 50% deles responderam que o

nome dado aos ângulos do item são ângulos correspondentes13, 42,9% disseram

que eram ângulos alternos internos e 7,1% ser ângulos suplementares14. Estas

respostas causaram preocupação ao professor/pesquisador.

12 Ângulos replementares são dois ângulos cuja soma de suas medidas, resultam em um

ângulo de 360º.

13 Ângulos correspondentes são ângulos congruentes definidos de um mesmo lado de uma

transversal que corta um feixe de paralelas.

14 Ângulos suplementares são dois ângulos cuja soma de suas medidas, resultam em um

ângulo de 180º.

54

Quadro 5 – Resumo das respostas dadas ao item d, atividade 02

Observações

registradas

pelos alunos

Porcentagem (%)

Código do

aluno que

argumentou

Ângulos

congruentes:

𝛂 = 𝛃

(correto)

A, B, C, D,

E, F, G, H, I,

J, K, L, M, N

𝛂 = 𝛃:

Correspondente

(correto)

A, B, G, J,

K, L, M, N

𝛂 = 𝛃

Alternos

internos

(errado)

C, D, E, F, I

𝛂 = 𝛃:

Suplementar

(errado)

H


A seguir estão três protocolos com estas respostas.

Protocolo 4 - Resposta do aluno J, item d, atividade 02


Protocolo 5 - Resposta do aluno I, item d, atividade 02


55

Protocolo 6 - Resposta do aluno H, item d, atividade 02


e) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que podemos observar em relação

aos ângulos? Registre todas as suas observações.

Protocolo 7 - Resposta do aluno J, item e, atividade 02


Protocolo 8 - Resposta do aluno K, item e, atividade 02


Nesse item e, esperava-se que os alunos expusessem mais detalhes de suas

observações, porém eles não estavam habituados a fazer este tipo de

representação, a linguagem escrita em atividades matemáticas. Assim sendo, 64,3%

registraram apenas que os valores dos ângulos mudam, fazendo referência aos

ângulos congruentes. Esperava-se que os mesmos citassem que esta propriedade é

válida para todo tipo de triângulo.

f) Construa a semirreta com origem em B, passando por C (Figura 16).

g) Utilizando os recursos do Geogebra meça o ângulo interno C do triângulo

ABC e o ângulo formado pelas duas semirretas. O que podemos observar?

Que nome é dado a esses ângulos?

56

Figura 16 – Imagem ilustrativa dos itens f e g


No desenvolvimento dos itens f e g, todos os alunos atingiram de maneira

satisfatória a construção com o auxílio do software, uma vez que os mesmos já

haviam sido orientados sobre a forma correta de se utilizar a ferramenta ângulo no

item d desta atividade.

Os erros de definição e denominação dos ângulos se repetiram nesse item

como pode ser verificado no protocolo 10 a seguir. Vale ressaltar que nesta

atividade, os alunos foram orientados a construir a base AB na horizontal, diferente

das imagens elaboradas pelo autor nesta atividade, para que ficasse mais evidente

a congruência dos ângulos, porém isso pode ter prejudicado a linguagem utilizada

pós-observação, assim foi utilizada a palavra igual no lugar de congruente.

Protocolo 9 - Resposta do aluno J, item g, atividade 02


57

Protocolo 10 - Resposta do aluno I, item g, atividade 02


h) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que se pode observar em relação


Protocolo 11 - Resposta do aluno J, item h, atividade 02


Figura 17 - Soma dos ângulos internos do triângulo


i) O que podemos concluir em relação à soma dos ângulos internos de um

triângulo?

58

Protocolo 12 - Resposta do aluno J, item i, atividade 02


Protocolo 13 - Resposta do aluno I, item i, atividade 02


j) O que se pode dizer em relação ao ângulo externo do vértice B?

Protocolo 14 - Resposta do aluno J, item j, atividade 02


Nesta atividade, o professor/pesquisador pôde observar que cerca de 50%

alunos não possuem formados ou não se lembraram dos conceitos e classificações

em relação a ângulos formados por paralelas cortadas por transversais.

Nela, houve a necessidade de fazer intervenção para utilização do software

no momento de fazer a medição dos ângulos. Uma vez sanada esta dificuldade, pelo

professor/pesquisador, a atividade teve seu objetivo alcançado.

4.4 COMPRIMENTO DA BASE MÉDIA

Nessa atividade, o professor/pesquisador busca explorar conceitos como

ponto médio, ângulos, segmentos paralelos e proporção. Nela, ele pretende ainda

explorar a semelhança de triângulos além do teorema de Tales. No GeoGebra, há a

possibilidade de inserção de imagens em sua janela de visualização, este é um

recurso que pode ajudar alunos e professores na resolução de diversas situações

problema.

59

Atividade 03

Objetivo


geométrico.

Conteúdo explorado

Base média, segmentos paralelos, módulo do segmento, ponto médio,

proporção.

Ambiente virtual


a) Marque no plano três pontos quaisquer: A, B e C;

b) Construa o triângulo ABC;

c) Determine, de alguma forma, os pontos médios dos lados AC e BC, nomeie

esses como D e E, respectivamente, e construa o segmento DE;

d) O que você observa em relação ao segmento obtido, comparando-o com os

segmentos inicialmente construídos? Use os recursos do Geogebra para

medir, por exemplo, ângulos e comprimentos, para auxiliar nas conclusões;

Protocolo 15 - Resposta do aluno C, item d, atividade 03


60

Figura 18 - Base média


Nesta atividade, percebe-se nitidamente como a disciplina Desenho

Geométrico faz falta. Quando no item c pede-se para “determinar, de alguma forma,

os pontos médios”, nenhum aluno buscou utilizar os conceitos geométricos para tal

determinação. Todos utilizaram o recurso Ponto Médio ou Centro do software.

O item d possibilitou aos alunos utilizar outro recurso do Geogebra, a

ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro. Esta ferramenta permitiu a

78,6% dos alunos concluir que a medida do segmento DE correspondia à metade da

medida do segmento AB. Os 21,4% restantes não puderam chegar à mesma

conclusão imediatamente devido ao número de casas decimais para as medidas dos

segmentos ser maior que aquele configurado no software.

O protocolo 15 e o quadro 6, a seguir, apontam as conclusões obtidas por

parte dos alunos na atividade.

61

Quadro 6 – Resumo das respostas dadas ao item d, atividade 03

Observações

registradas

pelos alunos

Porcentagem (%)

Código do

aluno que

argumentou

A medida de

DE vale a

metade de

AB

A, B, C, D,

E, F, G, H,

I, J, K, L,

M, N

Fórmula de

ponto médio

Nenhum

aluno

Triângulos

ABC e DEC

são

semelhantes

A, B, J, K

A e D –

ângulos

congruentes

B e E –

ângulos

congruentes

A, C, D, E,

F, G, H, I


e) O que acontece se modificarmos o triângulo construído inicialmente? Mova

um dos vértices e registre suas observações;

Protocolo 16 - Resposta do aluno C, item e, atividade 03


Nesta atividade, os alunos tiveram mais facilidade, pois estavam mais

familiarizados com os comandos do software. A linguagem utilizada continuava não

62

sendo apropriada e precisaria de um tempo maior para que fosse trabalhada de

maneira mais adequada.

4.5 O BARICENTRO E SUAS PROPRIEDADES

A atividade aborda conceitos como ponto médio, mediana e permite

demonstrar através do conceito de área porque o ponto G (baricentro) é o centro de

gravidade de qualquer triângulo. Utilizando o software é possível modificar a forma

do triângulo e assim observar que há uma equivalência na área dos triângulos

menores formados pelas medianas do triângulo maior.

Atividade 04

Objetivo


geométrico.

Conteúdo explorado

Medianas, módulo de segmentos, ponto médio, proporção, lugar geométrico,

baricentro.

Ambiente virtual


a) Marque no plano três pontos quaisquer: A, B e C; Construa o triângulo ABC;

b) Determine os pontos D, E e F, que são os pontos médios dos lados AB, AC e

BC, respectivamente, do triângulo ABC;

c) Determine os segmentos que representam as medianas do triângulo ABC. O

que você observa em relação às medianas do triângulo ABC? Registre.

Uma dificuldade apresentada nessa atividade foi em relação ao conceito de

mediana, os alunos não sabiam afirmar com certeza o que viria ser este segmento.

63

Assim, foi necessário diferenciar bissetriz, mediatriz e mediana, para que os alunos

pudessem desenvolver a atividade.

Protocolo 17 - Resposta do aluno L, item c, atividade 04


O professor/pesquisador verificou que 64,3% dos alunos registraram que as

três medianas se cruzam em um mesmo ponto, 57,1% citaram que este ponto

recebe o nome de baricentro. Entre os registros, 28,6% fizeram apontamento

equivocados e com erros de definição. O quadro 7 mostra o panorama dos registros

deste item c.

d) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que você observa? Registre.

Protocolo 18 - Resposta do aluno L, item d, atividade 04


Nesta atividade, a linguagem escrita continuou sendo um problema. O

professor/pesquisador observou que nos itens c e d, o aluno não tinha vocabulário

adequado para registrar suas observações. Isso mostra que o professor deve

manter sempre uma linguagem matemática apropriada e ressaltar os conceitos

sempre que tiver oportunidade para que o aluno tenha sempre os mesmos na

memória.

64

Quadro 7 – Resumo das respostas dadas ao item c, atividade 04

Observações

registradas

pelos alunos

Porcentagem (%)

Código do

aluno que

argumentou

Confusão

entre

mediana,

mediatriz e

bissetriz

G, H, M, N

As 3

medianas se

interceptam

num mesmo

ponto

C, D, E, G,

H, J, K, L,

N

Ponto de

encontro das

medianas

denomina-se

baricentro

C, D, E, G,

H, J, K, L

Surgem 6

triângulos

menores de

mesma área

G, H, L


e) Meça os segmentos formados sobre as medianas. O que você observa?

Registre.

Protocolo 19 - Resposta do aluno L, item e, atividade 04


Neste caso, apenas 28,6% dos alunos concluíram que o segmento da

mediana ficava dividida na razão 2 para 1, que é uma propriedade destes

65

segmentos. Para o professor/pesquisador; ficou evidente que esta propriedade, para

ser observada a atividade, deveria ser direcionada inclusive a escolha dos pontos do

triângulo, pois os valores, na maioria das vezes, não podem ser verificados

facilmente. Poderia ainda explorar a ferramenta Compasso do software.

f) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que você observa em relação a

essas medidas?

Protocolo 20 - Resposta do aluno L, item f, atividade 04


g) As medianas dividem o triângulo ABC em 6 triângulos menores. Determine a

área de cada um desses triângulos. O que você observa? Explique porque

isto ocorre.

Figura 19 – Baricentro e suas propriedades


66

Protocolo 21 - Resposta do aluno L, item g, atividade 04


h) Selecione o ponto de encontro das medianas, habilite o recurso do Geogebra

chamado “rastro”, em seguida mova um dos vértices do triângulo na

horizontal ou na vertical. Qual a trajetória do ponto selecionado? (Figura 20)

Protocolo 22 - Resposta do aluno L, item h, atividade 04


Figura 20 – Ilustração do item h, atividade 04, rastro


Durante a aplicação da atividade, um dos alunos comentou que os triângulos

determinados não poderiam ter a mesma área por serem muito diferentes. Uma

maneira de convencer o aluno seria realizar o cálculo manualmente. Os cálculos

foram realizados, porém não constam nesta pesquisa. Os valores nem sempre

67

coincidiam exatamente, pois o software pode apresentar valores arredondados, mas

foi o suficiente para convencer o aluno da igualdade existente.

4.6 O CIRCUNCENTRO E SUAS PROPRIEDADES

A atividade visa permitir a verificação de que um ponto qualquer da mediatriz

é o lugar geométrico equidistante de dois pontos fixos. Ela visa também observar

que a partir do momento que são traçadas as mediatrizes referentes aos lados de

um triângulo qualquer, existe um único ponto comum (circuncentro) entre essas

retas e que por ele é possível traçar uma circunferência circunscrita ao triângulo.

Atividade 05

Objetivo


geométrico.

Conteúdo explorado

Reta perpendicular, mediatriz do lado do triângulo, circunferência

circunscrita.

Ambiente virtual


a) Marque no plano três pontos: A, B e C;


c) Determine o ponto médio de cada um dos lados do triângulo ABC.

d) Construa uma reta perpendicular a cada um dos lados passando pelo seu

ponto médio. O que podemos observar? Registre. Como podemos chamar as

retas perpendiculares?

68

Para esta construção, uma nova ferramenta foi utilizada, Reta

Perpendicular. 85,7% dos alunos registraram que as retas perpendiculares se

encontram em um mesmo ponto; destes, 66,7% citaram que o ponto está fora do

triângulo e 41,7% dentro, sendo que 33,3% observaram que ambas as situações

poderiam ocorrer. Esta situação ocorre por causa do tipo de triângulo, nos triângulos

acutângulos este ponto se encontra dentro, nos triângulos obtusângulos se encontra

fora, enquanto no triângulo retângulo se encontra no ponto médio da hipotenusa.

A palavra mediatriz não foi citada por nenhum aluno e 21,3% dos alunos

indicaram as retas perpendiculares como sendo as alturas. O professor/pesquisador

observou que 35,7% dos alunos usaram a palavra ortocentro no item d e ao mesmo

tempo usaram a palavra circuncentro no item g, ele acredita que os alunos que

classificaram como ortocentro o ponto de encontro das mediatrizes acreditaram que

as retas representavam as alturas.

Protocolo 23 – Resposta do aluno A, item c, atividade 05


e) Marque o ponto de encontro entre as retas perpendiculares.

f) Meça de alguma forma a distância deste ponto a cada vértice do triângulo

ABC. O que podemos observar? Registre.

Como a ferramenta Distância já havia sido abordada, 100% dos alunos

puderam concluir que o ponto de encontro das mediatrizes (circuncentro) possuía a

mesma distância de todos os vértices do triângulo.

Protocolo 24 - Resposta do aluno A, item f, atividade 05


69

g) Mova um dos vértices do triângulo, o que você observa? Registre.

Protocolo 25 - Resposta do aluno A, item g, atividade 05


h) Construa uma circunferência com centro no ponto de intersecção das retas

perpendiculares e extremidade em um dos vértices do triângulo ABC. O que

você observa? Como podemos chamar este ponto de intersecção?

71,4% dos alunos responderam corretamente o nome dado ao ponto de

encontro das perpendiculares (circuncentro) e 28,6% disseram que o nome dado a

este ponto seria ortocentro.

Protocolo 26 - Resposta do aluno A, item h, atividade 05


i) Mova um dos vértices do triângulo. O que você observa? Registre.

Protocolo 27 - Resposta do aluno A, item i, atividade 05


70

Figura 21 – Encontro das mediatrizes (circuncentro)


O professor/pesquisador constatou que 66,7% dos alunos que registraram

como sendo a perpendicular a altura do triângulo tiveram esta impressão pelo fato

de construírem um triângulo equilátero. O aluno A que comentara que o encontro

das mediatrizes ocorre fora do triângulo no protocolo 23, foi orientado a diversificar o

modelo do triângulo adotado por ele e logo percebera que se tratava de um caso

particular, válido apenas para triângulos acutângulos como comentado

anteriormente.

O quadro a seguir registra o resumo das observações feitas pelos alunos ao

item h.

71

Quadro 8 – Resumo das respostas dadas ao item h, atividade 05

Observações

registradas

pelos alunos

Porcentagem (%)

Código do

aluno que

argumentou

O ponto está

a uma

mesma

distância

dos vértices

A, B, C, D,

E, F, G, H,

I, J, K, L,

M, N

Classificou o

ponto como

sendo o

circuncentro

A, B, C, D,

E, F, G, H,

M, N

Classificou o

ponto como

sendo o

ortocentro

(errado)

C, D, E, F,

G, I, J, K,

L

Classificou

as retas

como sendo

as alturas

(errado)

J, K, L


4.7 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO

Nesta atividade, a proposta do professor/pesquisador consistia em verificar a

desigualdade triangular. Ele buscava fazer com que os alunos conseguissem

observar que a existência de um triângulo estava condicionada a soma da medida

dos seus dois menores lados ser maior que a medida do seu maior lado. Fora uma

atividade bastante complexa para os alunos, pois eles tiveram dificuldade em

observar que ao ocorrer o cruzamento das circunferências havia ali a determinação

de um ponto que possibilitaria a formação de um triângulo.

72

Atividade 06

Objetivo


geométrico.

Conteúdo explorado

Condição de existência de um triângulo.

Ambiente virtual


a) Construa um segmento de reta com 15 cm de comprimento.

b) Com centro em uma das extremidades construa uma circunferência com raio

igual a 7 cm.

c) Com centro na outra extremidade construa circunferências com raios: 5 cm, 6

cm, 7 cm, 8 cm, 9 cm, 10 cm, 11 cm.

d) Marque os pontos de intersecção entre as circunferências registrando as suas

observações.

Protocolo 28 – Resposta do aluno H, item d, atividade 06


Apenas 14,2% dos alunos concluíram de maneira satisfatória o item d, 35,7%

observaram que as circunferências se encontraram quando a circunferência com

centro em B possuía o raio de medida 8 cm, porém estes não generalizaram que

apenas a partir deste momento havia pontos de intersecção.

73

e) Estabeleça uma condição necessária para que exista ponto de intersecção

entre as circunferências.

Protocolo 29 – Resposta do aluno H, item e, atividade 06


Neste item, 64,3% dos alunos conseguiram observar que a intersecção

ocorreria apenas quando a soma da medida dos raios das circunferências com

centro em A e B fosse maior ou igual a 15 cm, porém nenhum deles citou que se

continuasse a fazer circunferências maiores existiria um limitante para estas

intersecções.

f) Que figura é formada ligando as extremidades do segmento com o ponto de

intersecção?

Protocolo 30 – Resposta do aluno H, item f, atividade 06


Esta foi uma atividade que poderia ter sido explorada de maneira melhor. Os

alunos não entenderam a proposta da atividade e foi necessário fazer intervenção

para que os alunos pudessem registrar suas conclusões.

74

Figura 22 – Existência de triângulos


Quadro 9 – Resumo das respostas dadas aos itens, atividade 06

Observações registradas

pelos alunos

Porcentagem (%)

Código do aluno que

argumentou

Circunferên-cias se

cruzam o raio em B é igual a 8 cm

A, B, G, H, L

A soma dos raios deve ser maior que 15 cm

G, H, J, H, M, N

Formam-se triângulos

com os pontos de

intersecção

A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L,

M, N

Não são todas as

circunferên-cias que se

cruzam

E, F, I


75

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

O professor/pesquisador espera que a pesquisa desenvolvida possa trazer

contribuições com o objetivo de aprimorar a forma de abordar a disciplina de

Geometria, mais especificamente o conteúdo de triângulos; e que em seguida possa

se estender a outros conteúdos, e assim colaborar para a aprendizagem significativa

dos conceitos, buscando a aplicabilidade do conteúdo estudado utilizando o software

de apoio, seja ele o GeoGebra ou outro software disponível.

A partir dessa pesquisa, foi produzido um material didático e um conjunto de

atividades, baseadas no estudo de propriedades aplicadas ao estudo dos triângulos

e outros polígonos que possam, por vezes, ser resolvidos com o auxílio de recursos

computacionais.

No desenvolvimento da pesquisa, a dificuldade inicial para a sua aplicação

era a não disponibilidade de um laboratório de informática no colégio Nova Geração,

porém, esta dificuldade foi sanada pelo fato de os alunos possuírem notebook e/ou

tablet. Ainda que não haja a possibilidade de trabalhar a atividade em sala de aula, a

mesma sendo bem elaborada pode ser encaminhada para casa através de um

estudo dirigido que possa ser desenvolvido em computador próprio ou outro.

O software GeoGebra 4.2 foi instalado pelo professor/pesquisador objetivando

que todos tivessem a mesma versão, caso a atividade seja encaminhada para casa

é importante fazer a indicação da versão em que as atividades foram elaboradas

para que não ocorram problemas na execução da atividade por conta de uma versão

diferente. Mesmo tomando este cuidado ocorreu que em máquinas diferentes o

software se comportou de maneira diferente, assim, houve a necessidade da

verificação da configuração de cada máquina na tentativa de fazer com que todos se

comportassem da mesma maneira que foram testadas as atividades.

Após algumas tentativas durante a atividade, não foi possível encontrar o

motivo de tal comportamento, assim, o professor/pesquisador deixou que a atividade

continuasse sendo desenvolvida, estimulando os alunos a encontrarem soluções

utilizando o próprio software. A partir desta constatação, o professor, ao elaborar as

atividades, deve fazer a verificação em diferentes sistemas operacionais para poder

acrescentar orientações se necessário.

No início da atividade de pesquisa, os alunos tiveram a oportunidade de

explorar o software em busca de descobertas sobre os recursos disponíveis. O

76

professor/pesquisador ficou como observador por um momento, em seguida passou

a estimular os alunos a explorar outros comandos e recursos “ocultos” do software,

por último buscou explicitar recursos específicos que seriam utilizados nas

atividades.

Durante este período de descoberta, perguntas do tipo “pra que serve isso?”,

“como eu apago?” foram surgindo. O professor/pesquisador pôde observar que

nenhum dos alunos tinha o hábito de trabalhar com qualquer tipo de software

parecido, portanto era necessário dedicar um tempo maior para a ambientação dos

mesmos.

Em seguida, foi apresentada cada janela (visualização, álgebra e entrada) do

software estabelecendo a relação existente entre elas. O professor/pesquisador

explicou cada ícone, dando ênfase àqueles que seriam explorados nas atividades.

Ícones como: Reta passando por um ponto fora da dela, retas perpendiculares,

circunferências, ângulos foram alguns dos exemplos utilizados como referência na

ambientação com o software.

Em um segundo momento, as atividades foram apresentadas, uma a uma,

aos alunos, solicitando a eles que registrassem todas as suas observações,

facilidades e dificuldades que tivessem durante o desenvolvimento da mesma.

Porém, como pôde ser percebida, a representação escrita é algo que precisa ser

muito bem trabalhada, pois os alunos não têm o hábito de escrever suas

observações e quando elas são necessárias, eles não têm conteúdo e/ou bagagem

da linguagem específica matemática para registrá-las. Para que a linguagem escrita

seja melhorada é necessária uma ação conjunta de todos os professores desde a

educação infantil que estimule este tipo de representação em todo e qualquer tipo de

atividade.

Ainda que os alunos tenham passado por uma ambientação, a pouca

habilidade dos mesmos ao lidar com o software foi um obstáculo para o

desenvolvimento das atividades. Outra dificuldade foi o fato de os alunos não terem

o hábito de desenvolver atividades dirigidas, que os obrigava a lidar com o software

e a registrar suas observações. Por alguns momentos a novidade era tratada de

maneira adversa. O aluno se sente inseguro de expor sua opinião, mesmo não

sendo uma atividade avaliativa. O professor/pesquisador procurou não intervir muito,

mas, a pouca experiência também dele para lidar com este tipo de atividade pode ter

prejudicado e sido ineficaz. Para o professor/pesquisador a experiência foi válida e

77

serviu para saber que para fazer este trabalho é importante que se tenha o cuidado

na preparação dos alunos e do professor e que isso se faz de maneira gradativa e

constante, devendo os alunos ser estimulados, desde as séries iniciais, a trabalhar

com atividades dirigidas em todas as áreas, não apenas na matemática.

Assim, torna-se necessário uma capacitação conjunta dos professores que

irão atuar na escola a fim de nortear o trabalho de modo que o software seja um

facilitador e não um problema a mais no processo de ensino-aprendizagem. Ele

deve ser adotado como um aliado e não um inimigo.

No desenvolvimento da atividade, o professor/pesquisador observou que

alguns alunos, neste caso sempre os mesmos, demonstraram recordar e/ou

reconhecer propriedades em determinadas atividades, porém, não conceituaram de

maneira específica e com linguagem matemática adequada, também não

conseguiram representar com o uso do software. Porém, estes mesmos alunos, ao

serem orientados para o uso do software, demonstraram uma reação positiva ao

desenvolver a atividade e acharam bastante interessante a generalização.

Foi observado que em alguns computadores o comportamento do software foi

diferente de quando o professor/pesquisador criou as atividades, isso proporcionou

certo desconforto no momento da aplicação. Por isso é necessária a manipulação

constante por parte de professores e alunos para poder vir a sanar este problema,

pois havendo o interesse e o domínio por parte dos professores e alunos em relação

ao software este comportamento diferenciado não virá a interferir no andamento da

atividade não causando assim tal desconforto.

No início desta pesquisa, havia questionamentos aos quais o

professor/pesquisador procurava responder e as mesmas puderam ser respondidas

de maneira satisfatória. De forma sintetizada, as respostas a estes questionamentos

estão apresentadas abaixo.

Como trabalhar com alunos de diferentes níveis de conhecimento

matemático?

Durante a pesquisa, pôde-se observar que os alunos que têm mais

dificuldade, mesmo os mais falantes, ficam tímidos perante a uma situação

problema, assim, aqueles que têm maior facilidade desempenham papel

fundamental colaborando de modo prestativo para o bom desempenho da atividade.

78

Dessa forma, o trabalho em grupo deve ser estimulado através de monitores de

conhecimento específico e de conhecimento do software, essa estratégia pode

contribuir para o desenvolvimento comum de todos.

O uso de atividades dirigidas pode facilitar a aprendizagem desses

alunos? Em que momento o aluno encontra dificuldade? Em que momento o

professor deve intervir? Qual é a medida dessa intervenção?

A utilização de atividades dirigidas contribui muito no sentido de incentivar o

aluno a buscar autonomia e a ser um pesquisador. É necessário estudo por parte do

professor para que as atividades sejam bem elaboradas. O professor/pesquisador

apesar das dificuldades por serem poucas as suas experiências com esse tipo de

atividade pôde observar que há pré-disposição do aluno em receber o novo e que

isso pode melhorar a aprendizagem.

Os alunos encontram dificuldades de conteúdo, de implementação do

software e na transcrição de suas observações, assim as atividades devem estar

bem alinhadas no sentido de propiciar o conhecimento do aluno de maneira plena,

possibilitando-o argumentar perante possíveis questionamentos.

No desenvolvimento da atividade, o professor deve intervir muito pouco,

devendo agir como um observador. Suas intervenções deverão ser feitas de modo

geral através de questionamentos que permitam que os alunos sejam guiados em

uma busca constante que pode até levar a conclusões que o professor/pesquisador

não esperava.

Como fazer a escolha e/ou a elaboração destes problemas de

construções geométricas? Os alunos estão preparados para trabalhar com

problemas geométricos? O uso de diferentes representações pode auxiliar nos

problemas geométricos?

As diferentes representações colaboram na aprendizagem do conteúdo como

um todo. A resolução algébrica, gráfica e a escrita devem ser trabalhadas de

maneira simultânea buscando sempre a generalização algébrica e geométrica. O

aluno deve utilizar uma linguagem matemática mais apurada evitando ambiguidades

e conclusões erradas. A pesquisa mostrou que os alunos que participaram da

79

aplicação não estavam preparados para trabalhar com problemas geométricos

principalmente no que diz respeito à linguagem e observações. Assim, a escolha das

atividades bem como sua elaboração deve ser muito minuciosa com questões

dirigidas de forma a evitar dúvidas nos conceitos e procedimentos.

Apesar de o conteúdo ser de conhecimento dos alunos, a atividade não foi

aplicada em um mesmo momento em que o mesmo estava sendo trabalhado no

currículo. Caso esta aplicação ocorresse em um mesmo período, os resultados e

observações poderiam ser diferentes.

O uso de recursos computacionais pode auxiliar os alunos em

atividades dirigidas envolvendo triângulos? Existem softwares que podem ser

utilizados para isso?

Através da pesquisa, o professor/pesquisador pôde observar que os alunos

que têm dificuldade de aprendizagem, na maioria das vezes, têm um bom domínio

dos recursos computacionais como softwares e aplicativos. O computador, ipad,

iphone, tablet são ferramentas que se tornaram comuns e o seu manuseio é, na

maioria das vezes, simples. Assim, o professor/pesquisador acredita que a

exploração destes recursos é sim uma maneira de promover o interesse e a

aprendizagem dos alunos de forma interativa e agradável. Existem hoje softwares

que podem contribuir não apenas na resolução de questões que envolvam

triângulos, mas de geometria em geral. Por exemplo, é possível determinar a altura

aproximada de um prédio manipulando uma foto do mesmo em um software e

cálculos simples envolvendo proporção.

“Como atividades com foco em problemas de construções geométricas,

com apoio computacional, podem auxiliar o processo de ensino/aprendizagem

e/ou revisitação dos conceitos e propriedades de triângulos, junto a um grupo

de alunos do 3º ano do ensino médio?”

O professor/pesquisador conclui que as atividades dirigidas com foco em

problemas de construções geométricas aplicadas ao cotidiano escolar dos alunos

aliadas ao apoio computacional podem facilitar o processo de ensino-aprendizagem

dos conceitos e propriedades de triângulos por parte dos alunos. E esta conclusão

80

serve não apenas para triângulos, mas para todo e qualquer objeto geométrico, e há

vários softwares que assim como o GeoGebra podem atuar como facilitadores da

aprendizagem.

Para isso, é necessário um currículo escolar que proporcione um

planejamento adequado e um tempo suficiente para que as atividades possam ser

bem elaboradas e aplicadas de forma que possam promover o interesse e o

desenvolvimento dos alunos.

O professor/pesquisador conclui ainda que as atividades podem ser utilizadas

não apenas com alunos do 3º ano do ensino médio, mas em toda educação básica e

superior. Ele pretende ampliar estes estudos com a implementação do GeoGebra

3D que está prestes a ser lançado na versão final e assim criar cursos de

capacitação e materiais dirigidos para auxiliar os professores nesse avanço e

retomada dos conhecimentos geométricos.

81

REFERÊNCIAS

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construção de figuras geométricas planas utilizando o software: Geogebra /

Humberto Alves Bento. Belo Horizonte, 2010.

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http://www.somatematica.com.br/geometria.php

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História da Matemática. Disponível em: <http://www.matematica.br/historia>.

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Grupo Editorial Iberoamérica & una empresa docente, 1994. p. 1-18.

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MIRANDA, Aécio Oliveira de. Formação de professores para o ensino de

geometria em ambientes informatizados: possibilidades de um trabalho

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NÉRI, Izaias Cordeiro. O que é Geometria Dinâmica. Disponível em:

<http://www.geometriadinamica.com.br/>. Acesso em: 25 jun. 2014.

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plana a partir do estudo de sólidos geométricos / Mariângela de Castro e

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POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

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estudos em ciências sociais sobre a educação no Brasil. Revista Brasileira de

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<http://www.scielo.br/pdf/rbedu/v13n38/07.pdf>. Acesso em: 25 jun. 2014.

http://www.matematica.br/historia

http://www.geometriadinamica.com.br/

http://www.scielo.br/pdf/rbedu/v13n38/07.pdf

83

APÊNDICE A – Lista de atividades aplicadas aos alunos

Atividade 01

Objetivo: Investigar propriedades do triângulo, explorando a questão do ponto

de vista geométrico.

Conteúdo explorado: conservação da área, reta paralela.

Ambiente virtual: Geogebra – Software de geometria dinâmica

a) Marque no plano dois pontos, A e B, em um mesmo alinhamento horizontal.

b) Marque um ponto C não colinear aos pontos A e B.

c) Construa um triângulo ABC.

d) Utilizando os recursos do Geogebra determine a área do triângulo.

e) Utilizando os recursos do Geogebra determine a reta paralela ao segmento AB

passando por C.


dito em relação a área do triângulo? Explique porque isso ocorre?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

84

Atividade 02



Conteúdo explorado: soma dos ângulos internos, retas paralelas, retas

transversais, ângulos correspondentes e opostos pelo vértice.

a) Marque no plano três pontos quaisquer, A, B e C e construa um triângulo ABC.

b) Utilizando os recursos do Geogebra determine a reta paralela ao segmento AB

passando por C.

c) Construa a semirreta com origem em A, passando por C.

d) Utilizando os recursos do Geogebra meça o ângulo interno A do triângulo ABC e

o ângulo formado pela reta paralela e a semirreta. O que podemos observar?

Que nome damos a esses ângulos?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________



___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

f) Construa a semirreta com origem em B, passando por C.

g) Utilizando os recursos do Geogebra meça o ângulo interno C do triângulo ABC e

o ângulo formado pelas duas semirretas. O que podemos observar? Que nome

damos a esses ângulos?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

85

h) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que podemos observar em relação


___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

i) O que podemos concluir em relação à soma dos ângulos internos de um

triângulo?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

j) O que podemos dizer em relação ao ângulo externo do vértice B?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

86

Atividade 03



Conteúdo explorado: base média, segmentos paralelos, módulo do segmento,

ponto médio, proporção.



c) Determine, de alguma forma, os pontos médios dos lados AC e BC, nomeie

esses como D e E, respectivamente, e construa o segmento DE;

d) O que você observa em relação ao segmento obtido, comparando-o com os

segmentos inicialmente construídos? Use os recursos do Geogebra para medir,

por exemplo, ângulos e comprimentos, para auxiliar nas conclusões;

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

e) O que acontece se modificarmos o triângulo construído inicialmente? Mova um

dos vértices e registre suas observações;

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

87

Atividade 04



Conteúdo explorado: medianas, módulo de segmentos, ponto médio,

proporção, lugar geométrico, baricentro.

a) Marque no plano três pontos quaisquer: A, B e C; Construa o triângulo ABC;



c) Determine os segmentos que representam as medianas do triângulo ABC. O que

você observa em relação às medianas do triângulo ABC? Registre.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

d) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que você observa? Registre.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

e) Meça os segmentos formados sobre as medianas. O que você observa?

Registre.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

f) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que você observa em relação a essas

medidas?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

88


área de cada um desses triângulos. O que você observa? Explique porque isto

ocorre.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________


chamado “rastro”, em seguida mova um dos vértices do triângulo na horizontal ou

na vertical. Qual a trajetória do ponto selecionado?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

89

Atividade 05



Conteúdo explorado: reta perpendicular, mediatriz do lado do triângulo,

circunferência circunscrita.

a) Marque no plano três pontos: A, B e C;



d) Construa uma reta perpendicular a cada um dos lados passando pelo seu ponto

médio. O que podemos observar? Registre. Como podemos chamar as retas

perpendiculares?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________


f) Meça de alguma forma a distância deste ponto a cada vértice do triângulo ABC.

O que podemos observar? Registre.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

g) Mova um dos vértices do triângulo, o que você observa? Registre.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________


perpendiculares e extremidade em um dos vértices do triângulo ABC. O que você

observa? Como podemos chamar este ponto de intersecção?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

i) Mova um dos vértices do triângulo. O que você observa? Registre.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

Atividade 06



Conteúdo explorado: condição de existência de um triângulo.



igual a 7 cm.


cm, 7 cm, 8 cm, 9 cm, 10 cm, 11 cm.


observações.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

e) Estabeleça uma condição necessária para que exista ponto de intersecção entre

as circunferências.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________


intersecção?

APÊNDICE B – Quadros primários de apuração das observações dos alunos

Quadro 4 – Análise primária das respostas do item f, atividade 01

Aluno Área não

muda

Altura não

muda

Base não

muda

Ponto C paralelo

AB

Citou a fórmula

Não acontece

nada

1 X X X

2 X X X

3 X X X

4 X X X

5 X X X X

6 X X X X

7 X X X X

8 X X X

9 X X X

10 X X X X

11 X X X X

12 X X X

13 X X X

14 X X X


Quadro 5 – Análise primária das respostas do item d, atividade 02

Aluno Observou que os ângulos

são congruentes

Classificou os ângulos como

correspondentes


alternos internos

Classificou os ângulos como suplementares

1 X X

2 X X

3 X X

4 X X

5 X X

6 X X

7 X X

8 X X

9 X X

10 X X

11 X X

12 X X

13 X X

14 X X


Quadro 6 – Análise primária das respostas do item g, atividade 02

Aluno

Observou que os ângulos

são congruentes

Classificou os ângulos como opostos pelo

vértice


alternos internos


correspondentes

1 X X

2 X X

3 X

4 X

5 X X

6 X X

7 X X

8 X X

9 X X

10 X X

11 X X

12 X X

13 X X

14 X X


Quadro 6 – Análise primária das respostas da atividade 03

Aluno Observou que os triângulos ABC e

DEC são semelhantes

Observou que os ângulos A e D e os ângulos B e E são

congruentes

Observou que o segmento DE corresponde a

metade da medida do segmento AB

1 X X X

2 X X

3 X X

4 X X

5 X X

6 X X

7 X X

8 X X

9 X X

10 X X

11 X X

12 X

13 X

14 X


Quadro 8 – Análise primária das respostas do item c, atividade 04

Aluno Relatou que as 3 medianas encontram-se em um mesmo

ponto

Registraram que o ponto de enconto

das medianas é o Baricentro

Relataram que ficaram

determinados seis triângulos

menores de mesma área

Disseram que o ponto de

encontro fica no centro do

triângulo (incorreto)

1 X

2 X

3 X X

4 X X

5 X X

6 X

7 X X X

8 X X X

9 X

10 X X

11 X X

12 X X X

13 X

14 X


Quadro 9 – Análise primária das respostas da atividade 05 A L U N O

Ponto de encontro

dentro triângulo

Ponto de encontro fora do

triângulo

Classificou reta

perpendicularcomo altura

O ponto está a uma mesma

distância dos 3 vértices

Classificaram o ponto como

sendo o circuncentro

Classificaram o ponto como

sendo o ortocentro

1 X X X

2 X X X

3 X X X

4 X X X X

5 X X X X X

6 X X X X X

7 X X X X X

8 X X X X

9 X X X

10 X X X

11 X X X

12 X X X

13 X X X

14 X X


Quadro 10 – Análise primária das respostas da atividade 06

Aluno Registrou que a

circunferências se cruzam no

momento que a de raio em B media 8 cm

Registrou que a soma dos

raios deveria ser maior que

15

Registrou que são formados

triângulos com os

pontos de intersecção

Nem todas as circunferências

se cruzam

1 X X

2 X X

3 X

4 X

5 X X

6 X X

7 X X X

8 X X X

9 X X

10 X X

11 X X

12 X X

13 X X

14 X X


PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática

CADERNO DE ATIVIDADES

EXPLORANDO ELEMENTOS DOS TRIÂNGULOS EM UM AMBIENTE INFORMÁTICO DE ENSINO


Dimas Felipe de Miranda

Belo Horizonte

2014


CADERNO DE ATIVIDADES

Explorando elementos dos triângulos em um ambiente informático de ensino

Produto construído após aplicação e análise das atividades da pesquisa apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda

Belo Horizonte 2014

PREFÁCIO

Este caderno de atividades é produto da dissertação de Mestrado em Ensino

de Ciências e Matemática da PUC Minas, intitulada “Explorando elementos dos

triângulos em um ambiente informático de ensino” e tem como objetivo geral propor

atividades que possibilitem aos estudantes e professores obterem através de

atividades investigativas generalizações de propriedades do triângulo e que podem

ser estendidos para o estudo da geometria e da matemática em geral, bem como

relembrar alguns conceitos matemáticos básicos, que visam desenvolver habilidades

algébricas e aritméticas fundamentais para o bom andamento do processo de

ensino-aprendizagem.

A elaboração da sequência didática das atividades foi baseada em Dante

(2012), numa abordagem intuitiva e investigativa, desenvolvidas em um ambiente

informático de acordo com o conteúdo abordado.

As atividades fazem uso do software gratuito GeoGebra, voltado para o

desenvolvimento da matemática dinâmica, que aborda a aritmética, a geometria e a

álgebra, possibilitando a realização de cálculos matemáticos, numéricos ou

simbólicos, possibilita ainda manipular diferentes representações de expressões

algébricas, derivar e integrar funções, visualizar diversos tipos de gráficos, além de

outras funcionalidades, sendo um software de fácil utilização e interface amigável.

Foram seis atividades em sequência didática, especialmente preparadas e

aplicadas a estudantes do 3º ano do ensino médio de uma instituição da rede

particular de ensino de Três Corações, Minas Gerais, durante a pesquisa de

mestrado. Estas atividades contemplam os seguintes assuntos: Conservação da

área do triângulo, retas paralelas, retas perpendiculares, soma dos ângulos internos

do triângulo, feixe de paralelas cortadas por transversais e outros conceitos de

geometria. Estes tópicos geralmente encontram-se intercalados com capítulos de

aritmética e álgebra nos livros.

Após a aplicação, análise, discussão das atividades com os alunos

participantes, algumas revisões e adaptações; estas atividades foram organizadas

para compor este caderno de atividades.

Os autores.

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ................................................................................................... 99

1.1. APRESENTAÇÃO ...................................................................................... 99

1.2. INTERESSE PELO TEMA ........................................................................ 100

2. O GEOGEBRA ................................................................................................ 101

3. ATIVIDADES ................................................................................................... 105

3.1. CONSERVAÇÃO DA ÁREA DO TRIÂNGULO ......................................... 106

3.2. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO ............................. 109

3.3. COMPRIMENTO DA BASE MÉDIA .......................................................... 113

3.4. O BARICENTRO E SUAS PROPRIEDADES ........................................... 115

3.5. O CIRCUNCENTRO E SUAS PROPRIEDADES ...................................... 118

3.6. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO ................................ 121

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 123

99

1. INTRODUÇÃO

1.1. APRESENTAÇÃO

O tema deste projeto de pesquisa é o ensino e aprendizagem de triângulos,

com ênfase na exploração e investigação de seus elementos e propriedades, com

auxílio da visualização, em um ambiente informatizado de ensino.

As ideias iniciais do tema deste projeto de pesquisa ocorreram em 2010, no

momento em que o professor/pesquisador ministrava o conteúdo referente a

triângulos nas turmas do ensino fundamental e médio, em uma instituição particular

em Três Corações, Sul de Minas Gerais. As dificuldades encontradas pelos alunos

em assimilar os conceitos e os cálculos envolvendo Geometria, em geral, foram

percebidas desde o primeiro momento e isto impulsionou o desejo de saber quais

eram as causas e tentar uma nova estratégia de ensino.

Estas dificuldades para um “matemático”, ou melhor, para um “educador

matemático” era objeto de angústia e preocupações. Há uma grande diferença em

ser “matemático” e “educador matemático”, assinalam Fiorentini e Lorenzato (2009):

“O matemático, por exemplo, tende a conceber a matemática como um fim em si mesma, e, quando requerido a atuar na formação de professores de matemática, tende a promover uma educação para a matemática, priorizando os conteúdos formais e uma prática voltada à formação de novos pesquisadores em matemática.

O educador matemático, em contrapartida, tende a conceber a matemática como um meio ou instrumento importante à formação intelectual e social de crianças, jovens e adultos e também do professor de matemática do ensino fundamental e médio e, por isso, tenta promover uma educação pela matemática.”

Lorenzato (1995) verificou que o ensino de Geometria, em comparação a

outros conteúdos da Matemática, estava praticamente extinto na maioria das

escolas. Em 2002, quando o professor/pesquisador começou a lecionar, observou

também que a disciplina Desenho Geométrico já não existia mais nas escolas

públicas e, entre as escolas particulares, eram poucas que ainda adotavam a

disciplina. O pesquisador acredita que isso possa ter alavancado ainda mais a

100

defasagem do pensamento geométrico, consequentemente afetando o estudo dos

triângulos.

1.2. INTERESSE PELO TEMA

A escolha de enfatizar a exploração e investigação dos elementos e

propriedades dos triângulos, em um ambiente informatizado de ensino, ocorreu em

virtude de estar em meio a um crescimento absurdo da tecnologia informática e a

mesma ser reconhecida como útil ao meio acadêmico. A expectativa inicial é que a

tecnologia informática seja uma aliada no processo de ensino-aprendizagem dos

alunos tornando-o mais dinâmico e atrativo.

O professor/pesquisador sempre foi adepto dos computadores e atento às

possibilidades criadas por eles. O primeiro computador adquirido pelo pesquisador

foi em 2002 e, com ele, o mesmo visualizava enormes oportunidades para

implementar recursos didáticos em sala de aula, mas a realidade profissional e a

estrutura escolar não favoreciam muito. Hoje, a inclusão digital atingiu todas as

classes e explorar esta ferramenta torna-se quase que obrigatória. Existem vários

softwares facilitadores da aprendizagem, o professor e toda organização escolar

devem acompanhar este processo de evolução do ensino, e ir além.

O triângulo é uma figura geométrica muito difundida e utilizada em diversas

áreas do conhecimento, mesmo em áreas em que a matemática é uma referência

distante. Em todas essas áreas, a visualização, as propriedades e pontos notáveis

do triângulo podem ser exibidos e explorados em modernos softwares disponíveis e

sem custo.

101

2. O GEOGEBRA

O que é o GeoGebra?

Para responder a essa pergunta o professor/pesquisador buscou o site dos

seus desenvolvedores: www.geogebra.org.

O GeoGebra é um software de matemática dinâmica gratuito e

multiplataforma para todos os níveis de ensino, que combina geometria, álgebra,

tabelas, gráficos, estatística e cálculo em um único sistema.

Dizemos que é um software de matemática dinâmica, pois ele transcende a

geometria sendo útil em diversas áreas da matemática. É um software bastante

premiado e sua versão em 3D está em desenvolvimento e possui apenas a versão

Beta.

Hoje o software se encontra na versão 4.4 e em constante desenvolvimento

através de grupos on-line de discussão e aprimoramento. Nestes grupos há também

demonstrações que podem ser baixadas para serem trabalhadas em sala de aula.

O software é constituído basicamente por três áreas: campo de entrada,

janela de álgebra e janela de visualização. Estas áreas possibilitam a construção de

aulas, resolução de problemas, testes de hipóteses e principalmente para um

trabalho investigativo de verificação de propriedades e teoremas da geometria, da

álgebra e até mesmo da estatística.

Para ter acesso ao manual completo do software GeoGebra visite o link:


Para a presente atividade, utilizou-se itens das telas do GeoGebra pertinentes

ao trabalho proposto, conforme a seguir.

A janela de visualização é onde fica registrado geometricamente todo

comando inserido no campo de entrada e/ou inserido diretamente através da

seleção de um ícone na barra de ferramentas acima da janela.

http://www.geogebra.org/


102

Figura 1 – Janela de Visualização do software GeoGebra


O campo de entrada é o local onde o comando é descrito, e este comando é

representado simultaneamente na janela de álgebra e na janela de visualização. Por

exemplo, para se representar um ponto A localizado na coordenada A=(2,3),

inserimos no campo de entrada A=(2,3) ou A:ponto(2,3).

Figura 2 - Campo de entrada do software GeoGebra


103

Este ponto pode ainda ser inserido diretamente na janela de visualização.

Para isso, é necessário acionar o ícone referente à “Novo Ponto”, porém, este ponto

pode ficar impreciso por estar sendo marcado “a mão livre”.

Figura 3 – Barra de Ícones do software GeoGebra


A janela de álgebra indica tudo que é feito na janela de visualização, portanto,

caso queira editar alguma informação basta acionar o item diretamente na caixa de

álgebra e alterá-lo com a precisão desejada.

Figura 4 - Janela de álgebra do software GeoGebra


104

É com o auxílio desta ferramenta que se pretende melhorar o processo de

ensino-aprendizagem dos alunos em geometria. Para isso, primeiramente o aluno

deverá passar por uma ambientação do software a fim de dominar os comandos

básicos para que possam desenvolver a atividade de forma satisfatória e a

ferramenta do software seja um facilitador e não um problema a mais neste

processo.

A ferramenta é bastante simples e intuitiva, mas com um número de

comandos bastante extenso. Claro que há áreas mais complexas no software, mas

não é objetivo desta pesquisa abordar esta complexidade e sim verificar se o

GeoGebra pode auxiliar no ensino de apenas um tópico da geometria, triângulos.

105

3. ATIVIDADES

As atividades que compõe este caderno foram propostas com caráter

investigativo em trabalho de mestrado desenvolvido na PUC-Minas, campus

Coração Eucarístico.

Neste capítulo são apresentadas as atividades aplicadas com a proposta de

colaborar com professores e alunos para a inserção do software GeoGebra no

cotidiano escolar e assim propiciar uma generalização dos conceitos através do

dinamismo que o mesmo pode proporcionar. As atividades foram escolhidas

utilizando conceitos básicos da geometria aplicados a triângulos.

A ideia é que o ambiente informático possa ser um aliado no processo de

ensino-aprendizado preenchendo lacunas que possam ocorrer no ensino

convencional, através de uma proposta planejada que possibilitaria aos alunos

transcenderem seus conhecimentos.

Num primeiro momento, é necessário que os alunos conheçam o software de

geometria dinâmica, GeoGebra, que é utilizado na aplicação das atividades. Assim

torna-se necessário a orientação para baixar e instalar corretamente o software seja

em um laboratório de informática, em computadores de casa, tablets e/ou

notebooks.

É de extrema importância que se faça a ambientação dos alunos com o

software para o desenvolvimento de qualquer atividade utilizando o mesmo. Isso

fará com que ele seja um facilitador da aprendizagem e não um problema.

106

3.1. CONSERVAÇÃO DA ÁREA DO TRIÂNGULO

A área de um triângulo qualquer é calculada pela metade do produto da

medida segmento da base pela medida do segmento da altura. O objetivo específico

desta atividade é fazer com que os alunos observem que em um triângulo qualquer

definindo um dos lados como base ao deslocar o vértice oposto à base por uma reta

paralela à base a área do triângulo permanece o mesmo valor, não importando a

sua forma.

Atividade 01

Objetivo


geométrico.

Conteúdo explorado

Conservação da área, reta paralela.

Ambiente virtual


a) Marque no plano dois pontos, A e B, com coordenadas inteiras, em um mesmo

alinhamento horizontal.

b) Marque um ponto C, com coordenadas inteiras, não colinear aos pontos A e B.

c) Construa um triângulo ABC, utilizando o recurso polígono do software

GeoGebra.

107

Figura 5 – Exemplo da definição de três pontos


d) Utilizando os recursos do Geogebra determine a área do triângulo.

Dica: Explore aqui as diferentes representações semióticas, faça com que o

aluno utilize a fórmula do cálculo da área do triângulo para verificação do resultado.

108

Figura 6 – Determinação da área do triângulo


e) Utilizando os recursos do Geogebra determine a reta paralela ao segmento AB

passando por C.


dito em relação à área do triângulo? Explique porque isso ocorre?

109


3.2. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO

Uma das propriedades mais conhecidas envolvendo triângulos é que a soma

dos ângulos internos de um triângulo é igual a 360º. Há muitas formas de mostrar e

demonstrar esta propriedade, dobraduras, recortes e desenvolvimento algébrico são

alguns exemplos. A ideia aqui é obter a propriedade através da generalização

fazendo o uso do recurso computacional.

Na atividade são abordadas ainda as propriedades das retas paralelas

cortadas por transversais. Ângulos correspondentes, alternos internos, opostos pelo

vértice podem ser observados.

Atividade 02

Objetivo


geométrico.

Figura 7 – Deslocamento horizontal do ponto C mantendo a base AB

110

Conteúdo explorado:

Soma dos ângulos internos, retas paralelas, retas transversais, ângulos

correspondentes e opostos pelo vértice.

Ambiente virtual


a) Marque no plano, três pontos quaisquer, A, B e C, e em seguida construa um

triângulo ABC utilizando o recurso polígono do software GeoGebra.

b) Utilizando o recurso reta paralela do software GeoGebra, determine a reta paralela ao segmento AB passando por C.

c) Construa a com o recurso semirreta do software GeoGebra, a semirreta com origem em A, passando por C.

d) Utilizando o recurso ângulo do software GeoGebra, meça o ângulo interno A do triângulo ABC e o ângulo formado pela reta paralela e a semirreta, nessa ordem. O que pode ser dito em relação à medida desses ângulos? Que é dado a esses ângulos?

111

Figura 8 – Exemplo do item d, atividade 2




f) Construa a semirreta com origem em B, passando por C.

g) Utilizando os recursos do GeoGebra meça o ângulo interno C do triângulo ABC e

o ângulo formado pelas duas semirretas. O que pode ser dito em relação à

medida desses ângulos? Que nome é dado a esses ângulos?

112

Figura 9 – Exemplo dos itens f e g, atividade 2


h) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que se pode dizer em relação aos ângulos? Registre todas as suas observações.

Figura 10 - Soma dos ângulos internos do triângulo


113

i) O que pode ser concluído em relação à soma dos ângulos internos de um triângulo, com base nas conclusões anteriores?

j) O que se pode dizer em relação ao ângulo externo do vértice B?

3.3. COMPRIMENTO DA BASE MÉDIA

Esta atividade tem como objetivo explorar conceitos como ponto médio,

ângulos, segmentos paralelos e proporção. Nela, há pretensão ainda explorar a

semelhança de triângulos além do teorema de Tales. O GeoGebra possibilita a

inserção de imagens em sua janela de visualização, este é um recurso que pode

ajudar alunos e professores na resolução de diversas situações problema.

Atividade 03

Objetivo


geométrico.

Conteúdo explorado

Base média, segmentos paralelos, módulo do segmento, ponto médio,

proporção.

Ambiente virtual


114

a) Marque no plano três pontos quaisquer, com coordenadas inteiras: A, B e C;

b) Construa o triângulo ABC utilizando o recurso polígono do software

GeoGebra;

c) Determine utilizando o recurso ponto médio ou centro do software GeoGebra,

os pontos médios dos lados AC e BC, nomeie esses como D e E,

respectivamente, e construa o segmento DE;

d) O que pode observado em relação ao segmento obtido, comparando-o com os

segmentos inicialmente construídos? Use os recursos do Geogebra para medir,

por exemplo, ângulos e comprimentos, para auxiliar nas conclusões;

Observação: Esta conclusão pode ser prejudicada pelo número de casas decimais

com o qual o software está configurado. Pode-se aumentar o número de casas

decimais em: opções → arredondamento ou elaborar uma atividade mais dirigida de

modo a tornar mais evidente as conclusões desejadas.

Figura 11 – Exemplo do item d, atividade 3


115

e) O que acontece se modificarmos o triângulo construído inicialmente? Mova um

dos vértices e registre suas observações;

3.4. O BARICENTRO E SUAS PROPRIEDADES

A atividade aborda conceitos como ponto médio, mediana e permite

demonstrar através do conceito de área porque o ponto G (baricentro) é o centro de

gravidade de qualquer triângulo. Utilizando o software é possível modificar a forma

do triângulo e assim observar que há uma equivalência na área dos triângulos

menores formados pelas medianas do triângulo maior.

Atividade 04

Objetivo


geométrico.

Conteúdo explorado

Medianas, módulo de segmentos, ponto médio, proporção, lugar geométrico,

baricentro.

Ambiente virtual


a) Marque no plano três pontos quaisquer, com coordenadas inteiras: A, B e C; em

seguida construa o triângulo ABC com recursos do GeoGebra;



116

c) Determine os segmentos que representam as medianas do triângulo ABC. O que

se pode dizer em relação às medianas do triângulo ABC? Registre todas as suas

observações.

d) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que é possível observar em relação

ao item anterior? Registre.

e) Meça os segmentos formados sobre as medianas. O que se pode dizer sobre as

medidas encontradas? Registre todas as suas observações.

f) Mova um dos vértices do triângulo ABC. O que se pode dizer em relação a essas

medidas? Registre todas as suas observações.

117


área de cada um desses triângulos. O que se pode dizer em relação à medida

dessas áreas? Explique porque isto ocorre.

Figura 12 – Baricentro e suas propriedades



chamado “rastro”, em seguida mova um dos vértices do triângulo na horizontal ou

na vertical. Qual a trajetória do ponto selecionado?

118

Figura 13 – Ilustração do item h, atividade 4, rastro


3.5. O CIRCUNCENTRO E SUAS PROPRIEDADES

A atividade visa permitir a verificação de que um ponto qualquer da mediatriz

é o lugar geométrico equidistante de dois pontos fixos. Ela visa também observar

que, a partir do momento que são traçadas as mediatrizes referentes aos lados de

um triângulo qualquer, existe um único ponto comum (circuncentro) entre essas

retas e que por ele é possível traçar uma circunferência circunscrita ao triângulo.

Atividade 05

Objetivo


geométrico.

Conteúdo explorado

Reta perpendicular, mediatriz do lado do triângulo, circunferência

circunscrita.

119

Ambiente virtual





d) Construa utilizando o recurso reta perpendicular do software GeoGebra, uma

reta perpendicular a cada um dos lados passando pelo seu ponto médio. O que

se pode dizer em relação às retas perpendiculares traçadas? Registre todas as

suas observações. Como podemos chamar as retas perpendiculares?


f) Meça utilizando os recursos do GeoGebra, a distância deste ponto a cada vértice

do triângulo ABC. O que se pode dizer em relação às medidas determinadas?

Registre suas observações.

g) Mova um dos vértices do triângulo, o que se pode observar em relação ao item

anterior? Registre suas observações.

120


perpendiculares e extremidade em um dos vértices do triângulo ABC. O que se

pode observar em relação a essa circunferência? Como se chama este ponto de

intersecção? Registre suas observações.

i) Mova um dos vértices do triângulo. O que se pode observar em relação ao item anterior? Registre suas observações.

Figura 14 – Exemplo da atividade 5


121

3.6. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO

Esta atividade consiste em verificar a desigualdade triangular. Ela busca fazer

com que os alunos consigam observar que a existência de um triângulo está

condicionada a soma da medida dos seus dois menores lados ser maior que a

medida do seu maior lado. A atividade é bastante complexa, pode haver dificuldade

em observar que ao ocorrer o cruzamento das circunferências ocorre ali a

determinação de um ponto que possibilita a formação de um triângulo.

Atividade 06

Objetivo


geométrico.

Conteúdo explorado

Condição de existência de um triângulo.

Ambiente virtual




igual a 7 cm.


cm, 7 cm, 8 cm, 9 cm, 10 cm, 11 cm.


observações.

122

e) Estabeleça uma condição necessária para que exista ponto de intersecção

entre as circunferências.


intersecção?

Dica: Deixar claro que existe um limitante inferior e um limitante superior para que

tenha a formação de triângulos dados duas medidas.

Figura 15 – Exemplo da atividade 6


123

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http://www.scielo.br/pdf/rbedu/v13n38/07.pdf

explorando elementos dos triÂngulos em um … · o presente trabalho aborda o estudo de...

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