explicaÇÃo de aula de matemÁtica
DESCRIPTION
EXPLICAÇÃO DE AULA DE MATEMÁTICATRANSCRIPT
Explicar na aula de Matemática
Um desafio que as crianças enfrentam com prazer
Sentido do ensino da Matemática
Fazer Matemática
Aprender é uma relação entre duas atividades: a atividade humana que produziu aquilo que se deve aprender e a atividade na qual o sujeito que aprende se engaja –sendo a mediação entre ambas assegurada pela atividade daquele que ensina ou forma.
Em termos simples: para apropriar-se de um saber é preciso introduzir-se nas relações que permitiram produzi-lo. O essencial não é repetir a própria atividade humana, tal como ela ocorre ou ocorreu, mas adotar, durante a atividade de aprendizagem, a postura (relação com o mundo, com o outro e consigo próprio) que corresponde a essa atividade humana. (Bernard Charlot)
A Matemática é um produto social e cultural A atividade de resolução de problemas tem estado
no coração da elaboração da ciência matemática Os conhecimentos matemáticos não podem
conceber-se sem os elementos de controle que regulam a atividade que os põem em jogo (G. Brousseau, N. Balacheff, R. Campos Lins)
Os conhecimentos são tais em tanto se caracterizam pelas suas relações com outros conceitos de seu mesmo campo teórico e não como objetos em si mesmos. (García, R.)
A classe
Construção coletiva de uma cultura
O docente regula o trabalho tendo como dupla referência a cultura de sua classe e a cultura matemática.
Enfrentam problemas, Concebem diferentes formas de abordá-los e
discutem ao redor das mesmas, Geram novos problemas a partir das resoluções
colocadas, Se perguntam pelo alcance das relações produzidas
e as vinculam com outras já elaboradas, Exploram, formulam conjecturas, deduzem,
explicam, aceitam argumentos ou se opõem a eles apoiando-se em suas próprias fundamentações….
A produção de explicações intervêm em:
A formação de um sujeito intelectualmente autônomo
A formação de um sujeito democrático A construção de uma racionalidade
Matemática O aprofundamento na conceitualização dos
objetos aos quais se refere a explicação
O confronto de estratégias supõe um plano reflexivo sobre a resolução de problemas e dá lugar a novos problemas.
As explicações emergem a medida que se adota uma posição reflexiva sobre o próprio trabalho.
Conseguir encadear dedutivamente relações matemáticas para produzir novas relações não é uma aquisição espontânea dos alunos, é produto de um trabalho intencional.
As interações na classe são o apoio regulador e motor da produção de explicações.
É claro que o papel do docente neste jogo é essencial.
Encontrar uma fração que se encontre entre:
1 e 3
2 4
Um aluno propõe , 2 , resposta “correta”.
3
“O 2, que é o numerador está entre 1 e 3 e o 3 que é o denominador está entre 2 e 4.”
10
5
9
4,
4
3e
“Em seu exemplo não, mas aqui (sinalizando o caso anterior) é válido”.
A “explicação” que propõe o aluno justapõe dois feitos verdadeiros mas não estão encadeados logicamente. Isto é:
< <
1 < 2 < 3 e 2 < 3 < 4
2
13
2
4
3
Verdade
Razões da verdade
O caráter
necessário
antecipatório
universal
Como resultado de participar em uma prática social na qual as explicações formam parte dos intercâmbios em uma classe, os alunos irão elaborando ao longo do tempo explicações cada vez mais pertinentes.
Na medida em que os outros -os colegas- aceitem ou refutem os argumentos e na medida em que o aluno escute outros argumentos possíveis irá compreendendo que a explicação é fonte de novos conhecimentos.
O longo prazo é constitutivo da elaboração de uma racionalidade
matemática.
A produção de explicações supõe localizar os alunos em um posicionamento de reflexão sobre o trabalho matemático.
Este posicionamento é fundamental na constituição de um sujeito autônomo e intelectualmente responsável.
A dimensão social é inerente à produção de explicações em uma classe.
Escutar outras explicações
Receptividade das próprias explicações
Regulações do docente
Aprender a argumentar é também aprender a democracia.
A produção de explicações intervêm na compreensão das estratégias e dos recursos que se usam para validar uma questão. Ou seja, intervêm no plano da racionalidade matemática.
A produção de explicações intervêm na conceituação dos objetos aos que se refere a respectiva explicação.
Autonomia Intelectual Exercício de Democracia Construção da racionalidade Matemática Aprofundamento da conceituação
Vrai? Faux? On en débat. De l’argumentation vers la preuve en mathématiques au cycle 3.
Grupo ERMEL
Institu National de Recherche Pédagogique
(Da argumentação à prova)
Como reconhecer, sem efetuar a divisão por 4, se um número é ou não divisível por 4?
Como reconhecer se um número está na tabuada do 4 “prolongada”?
Primeira etapa: Comunicação do problema
Segunda etapa: trabalho com números entre 50 e 100
(47, 80, 84, 96, 74, 70, 92)
Se um número é múltiplo de 4, é par;
Se um número é par, não necessariamente é múltiplo de 4.
Argumentos
Aditivos
Multiplicativos
Baseados no Sistema de Numeração
Argumentos aditivos
96 é múltiplo de 4, porque é 80 + 16 e 80 é múltiplo de 4 e 16 também.
Idéia subjacente:
A soma de dois múltiplos de 4, é um múltiplo de 4.
Argumentos multiplicativos
96 é múltiplo de 4 porque 24 x 4 = 96
Idéia subjacente:
Um múltiplo de 4 pode-se expressar como o produto de 4 por algum número.
96 é múltiplo de 4 porque posso dividir por 2 e me dá 48 e o 48 também posso dividir por 2.
Idéia subjacente: Dividir por 4 é equivalente a dividir
sucessivamente duas vezes por 2.
É suficiente dividir uma vez e analisar se o resultado é par.
Argumentos baseados no Sistema de Numeração 84 é múltiplo de 4 porque 8 + 4 = 12 que é
múltiplo de 4
22 2 + 2 = 4
75 7 + 5 = 12
Somar as cifras e analisar o resultado não permite decidir.
Argumentos aditivos
74 não é múltiplo de 4 porque 80 – 4 é 76 e não é 74.
Idéia subjacente
A subtração de dois múltiplos de 4 é um múltiplo de 4; se “chego a um número que está a 2 de diferença do que busco, já não pode ser múltiplo”.
74 não é múltiplo de 4 porque é 40 + 34 e 34 não é múltiplo
Idéia subjacente:
A soma de um múltiplo de 4 e, um não múltiplo de 4, não é múltiplo de 4.
Argumentos multiplicativos
74 não é múltiplo de 4 porque
18 x 4 = 72 e 19 x 4 = 76
Idéia subjacente:
Se um número está entre dois múltiplos consecutivos de 4, não pode ser múltiplo de 4.
Argumentos baseados no sistema de numeração 74 não, porque 4 não “entra” exatamente no
7, por isso não “entra” no 70 também.
6 não “entra” e 60 sim.
Decidir se 70 + 74 é múltiplo de 4
Não, porque nenhum dos dois é múltiplo de 4.
Não, porque 70 não é múltiplo de 4.
Sim, porque dá 144 que, quando se divide por 2 dá 72.
Enfrentam problemas, Concebem diferentes formas de abordá-los e
discutem ao redor das mesmas, Geram novos problemas a partir das resoluções
colocadas, Se perguntam pelo alcance das relações produzidas
e as vinculam com outras já elaboradas, Exploram, formulam conjecturas, deduzem,
explicam, aceitam argumentos ou se opõem a eles apoiando-se em suas próprias fundamentações….
As capacidades argumentativas se potencializam quando:
há necessidade de convencer o outro; a situação de debate é autêntica; os argumentos ampliam a compreensão do
assunto que se está tratando.
A soma dos múltiplos de 4 dá um múltiplo de 4.
Somando-se um múltiplo de 4 e um número que não é múltiplo de 4, se obtêm um número que não é múltiplo de 4.
Somando-se dois números que não são múltiplos de 4, não se pode saber se o resultado será múltiplo de 4 ou não.
Estender a análise à números maiores
148 242 538 624 724
100 é múltiplo de 4 Um múltiplo de 100 é múltiplo de 4 Um número de três cifras é um múltiplo de
100 mais o número que formam as duas últimas cifras
A necessidade de explicar deixa “próximo” problemas que parecem distantes quando não se produzem explicações.
Quando se analisam os critérios de divisibilidade por 3 Enfrentam problemas, Concebem diferentes formas de abordá-los e
discute ao redor das mesmas, Geram novos problemas a partir das resoluções
colocadas, Se perguntam pelo alcance das relações produzidas
e as vinculam com outras já elaboradas, Exploram, formulam conjeturas, deduzem, explicam,
aceitam argumentos ou se opõem a eles apoiando-se em suas próprias fundamentações….
Professora: Já faz tempo que estamos trabalhando com frações. As frações são números?
Primeiros comentários de alguns alunos:
Ezequiel: Es un número fraccionario.Ian: 1/5 no es un número.Karen: 1/5 son dos números, 1 y 5.Galia: Si tengo 1/5 es una parte del chocolate.Matías: uno es un número pero… ¿quinto?Otro: 5 es un número pero 1/5 no, porque el chocolate
es 1.
Professora: Alguns pensam que as frações são números e outros pensam que não. Cada um vai discutir com um colega de mesa.
Eu vou repartir estes papeizinhos: os que pensam que as frações são números vão anotar “sim” no papelzinho, os que opinam que as frações não são números, vão anotar “não”. Depois vão pensar o que diriam aos demais para convencer-lhes do que pensam.
Os que pensam que sim, terão que convencer os que pensam que as frações não são números e os que pensam que não, também vão ter que convencer aos demais de sua posição.
Vocês sabem que isto não pode ser dito votando, vamos ter que dar explicações para chegar a alguma conclusão.
Sim
Ezequiel: Los chocolates o son números pero cuando dividís 5:3 vos no ponés el dibujo, ponés un número. Por algo se llama número fraccionario.
Aluno: Porque indica una cantidad. Aluna: Porque se pueden sumar.
Não
Julián - Shirly: el numerador es un número pero el denominador, no. Si digo 2/5, quintos no es un número es la parte en que lo vas a dividir. Pero todo es un número.
Ian: no son números porque las fracciones se pueden expresar de diferentes maneras pero los números, no. Por ejemplo, ½ =2/4 = 3/6, pero con 1, 2, 3, no pasa lo mismo, 2 es 2 y no se puede escribir de otra manera.
Jony- Brenda: 2 es un número y son 2 enteros y 2 enteros no es una fracción.
Martín: ½ podrían ser muchos números, hay muchas formas de escribirlo.
Ian: 1/12 no puede ser un número.
As vezes
Em alguns casos é uma fração: 3/3, 5/5 é um número é o 1.
Em outros casos 2/5, ¾, não é um número porque não é um número inteiro.
Sebi: Segundo… 3 é um número, quinto não. 3/5 não é.
Kathy: quinto é um número: 1º, 2º, 3º 4º, 5º...
Karen: Ian dice que 2 no se puede escribir de otra manera pero 2 también puede escribirse como 1+1, 4-2,.
Professora: ¿están de acuerdo en que 1 + 1 es una forma de expresar el 2?
Aluno: 1+1 es una operación, no es un número Professora: ¿pero si yo te dijera que te doy 1+1
caramelos, vos me entenderías? Ya sé que no es muy usual, pero de todos modos, me entenderías?
Aluno: Yo sí, pero un chico de primer grado, no. Professora: pero vos, sí.
Aluno: ¼ no es un número pero es una parte de un número.
Kathy: el chocolate es para guiarnos pero la resolución es un número.
Galia: No es un número, es una parte de algo.
Professora: vou explicar algumas coisas. Vocês diziam que as frações podem expressar-se de diferentes maneiras e alguns disseram que o mesmo acontece com os números naturais.
Quando vocês dizem que 2 pode se expressar como 1+1 ou 4-2 estão dizendo que algo expressado como operação também pode ser pensado como um número.
Nestas somas tem uma operação, o que acontece com ½? ½ ou 2/4 surgem também de uma operação.
Quando começamos a trabalhar com frações, fazemos problemas de distribuição de chocolate. Por exemplo, para distribuir 5 chocolates entre 2 crianças, dissemos:
Tem 2 chocolates para cada um e sobra 1. O chocolate que sobra o distribuem entre 2 e a cada um lhe dão ½. ½ representa uma quantidade que é o resultado de uma divisão, de uma distribuição.
A fração ½ é uma operação, 1 dividido 2, mas também é um número, porque indica uma quantidade. Em um caso como o de 5 dividido por 2, necessitamos das frações para indicar a quantidade que corresponde a cada um, os número naturais não me alcançam, por isso inventamos outros números.
Com as frações acontecem coisas diferentes que com os número naturais.
São números porque indicam uma quantidade: pode-se somar, subtrair, ordenar. São números que têm características diferentes dos números que conheciam antes de aprender frações, mas sim, são números.
Comparar problemas de soma e de multiplicação
Resolvam os seguintes problemas e anotem os cálculos que fizeram:
a) Maria tem um álbum de figurinhas. Em cada página vão 5 figurinhas. Maria tem 4 páginas completas. Quantas figurinhas têm?
b) Maria ganhou das amigas as figurinhas que sobraram do álbum delas. Leila lhe deu 3, Eva lhe deu 5 e Camila lhe deu 7. Quantas figurinhas novas tem Maria?
c) No supermercado, Marcela gastou R$ 8 em carne, R$ 4 em leite, R$ 2 em pão e R$ 1 em sabão. Quanto gastou?
e) Pedro comprou no supermercado 6 caixas de bombons iguais. Cada caixa tem 4 bombons. Quantos bombons comprou Pedro?
f) Lúcia comprou duas caixas de bombons, mas de diferentes marcas. Uma caixa tem 8 bombons e a outra 10. Quantos bombons comprou Lúcia?
Em alguns dos problemas anteriores soma-se sempre o mesmo número e em outros não. Já vimos que quando soma-se o mesmo número, o cálculo pode ser escrito em forma de multiplicação.
Em quais dos problemas anteriores o cálculo pode ser escrito como uma multiplicação? Anotem as multiplicações correspondentes a cada um desses casos.
Armamos uma lista de conteúdos para a valoração
Queremos dizer, como conclusão do trabalho, sobre o inverso multiplicativo que no conjunto dos números racionais não têm sentido que existam tabuadas ou que se fale de múltiplos e divisores, já que se pode “viajar” multiplicando de um número qualquer a outro qualquer.
A produção de explicações e a inclusão educativaO aluno
acede à natureza do trabalho matemático é participante ativo do projeto no qual está
envolvido é considerado um interlocutor intelectual é depositário de confiança
Não se trata apenas de ensinar os rudimentos de uma técnica, nem sequer os fundamentos de uma cultura científica; as matemáticas neste nível são o primeiro domínio no qual as crianças podem aprender os rudimentos da gestão individual e social da verdade. Aprendem nele – ou deveriam aprender nele- não apenas os fundamentos de sua atividade cognitiva, mas também as regras sociais do debate e da tomada de decisões pertinentes:
Como convencer respeitando ao interlocutor; como deixar-se convencer contra seu desejo ou seu interesse; como renunciar à autoridade, à sedução, à retórica, à forma, para compartilhar o que será uma verdade comum; de que depende o uso que os outros fazem de seus conhecimentos e da maneira em que se tratam esses problemas de verdade (…).
Sou daqueles que pensam que a educação matemática é necessária para a cultura de uma sociedade que quer ser uma democracia.
O ensinamento da matemática não tem o monopólio nem do pensamento racional nem da lógica nem de nenhuma verdade intelectual, mas é um lugar privilegiado para seu desenvolvimento precoce.
Guy Brousseau (1990)