experimentos fatoriais

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais 3) EXPERIMENTOS FATORIAIS 3.1 Introduo

1

Nos experimentos mais simples comparamos tratamentos de apenas um tipo ou fator, permanecendo os demais fatores constantes. Assim, nesses experimentos, quando comparamos inseticidas, todos os demais fatores, como, por exemplo: variedades, adubaes, tratos culturais etc., devem ser mantidos constantes, isto , devem ser os mesmos para todos os inseticidas estudados. Entretanto, existem casos em que vrios fatores devem ser estudados simultaneamente para que possam nos conduzir a resultados de interesse. Para tanto, nos utilizamos dos experimentos fatoriais, que so aqueles nos quais so estudados ao mesmo tempo, os efeitos de dois ou mais tipos de tratamentos ou fatores. Cada subdiviso de um fator denominada nvel do fator e os tratamentos nos experimentos fatoriais consistem de todas as combinaes possveis entre os diversos fatores nos seus diferentes nveis. Por exemplo, podemos, num experimento fatorial, combinar 2 variedades de cana-de-acar, com 3 diferentes herbicidas. Ento, teremos um fatorial 2x3, com os fatores: Variedades (V) e Herbicidas (H), sendo que o fator Variedades ocorre em 2 nveis (V1 e V2), o fator Herbicidas ocorre em 3 nveis (H1, H2 e H3) e os 6 tratamentos so: V1 H 1 V2 H 1 Outro exemplo: Podemos, num V1 H2 V2 H2 experimento fatorial V1 H3 V2 H3 3x3x2, combinar 3

Variedades (V1, V2 e V3), 3 Adubaes (A1, A2 e A3) e 2 pocas de plantio (E1 e E2) e termos 18 tratamentos, que so todas as combinaes possveis dos 3 fatores em seus diferentes nveis. Os 18 tratamentos so:

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais V1 A1E1 V1 A1E2 V1 A2E1 V1 A2E2 V1 A3E1 V2 A1E1 V2 A1E2 V2 A2E1 V2 A2E2 V2 A3E1 V3 A1E1 V3 A1E2 V3 A2E1 V3 A2E2 V3 A3E1

2

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais V1 A3E2 V2 A3E2 V3 A3E2

3

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais

4

Os experimentos fatoriais no constituem um delineamento experimental, e sim um esquema orientado de desdobramento de graus de liberdade de tratamentos e podem ser instalados em qualquer dos delineamentos experimentais. Os experimentos fatoriais nos permitem tirar concluses mais amplas. Assim, se num experimento fatorial competirmos diversos adubos para uma cultura e diversos espaamentos de plantio, podemos estudar o comportamento dos adubos, dos espaamentos e ainda, se o comportamento dos adubos, quando associados a um determinado espaamento de plantio, se altera se for associado a outros espaamentos (ou, se o comportamento dos espaamentos de plantio, quando associados a um determinado adubo, se altera se for associado aos outros adubos). Nos experimentos fatoriais, aps uma anlise de varincia preliminar, de acordo com o delineamento adotado, procedemos ao desdobramento dos graus de tratamentos, isolando os efeitos principais dos fatores e os efeitos das interaes entre fatores. Vejamos o que representa cada um desses efeitos: Vamos considerar um fatorial 2x2, com os fatores: Adubao (A) e Calcrio (C), nos nveis: Adubao: A0 = sem adubo A1 = com adubo Calcrio: C0 = sem calcrio C1 = com calcrio Sejam os dados seguintes, os resultados de produo para os 4 tratamentos: A0C0; sem adubo, sem calcrio = 14 A0C1; sem adubo, com calcrio = 23 A1C0; com adubo, sem calcrio = 32 A1C1; com adubo, com calcrio = 53 Reunindo estes dados num quadro auxiliar, temos:

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais C0 14 32 C1 23 53 Totais 37 85

5

A0 A1

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais Totais 46 76 122

6


7

a) Efeito simples de um fator uma medida da variao que ocorre com a caracterstica em estudo (produo, por exemplo) correspondente s variaes nos nveis desse fator, em cada um dos nveis do outro fator. Ento: Efeito simples de adubo na ausncia de calcrio A d. C0 = A1C0 - A0C0 = 32 14 = 18 Efeito simples de adubo na presena de calcrio A d. C1 = A1C1 - A0C1 = 53 23 = 30 Efeito simples de calcrio na ausncia de adubo C d. A0 = A0C1 - A0C0 = 23 14 = 9 Efeito simples de calcrio na presena de adubo C d. A1 = A1C1 A1C0 = 53 32 = 21 Graficamente:

A1

C d. A1 A d. C1

A d. C0

A0

C d. A0

C0

C1

b) Efeito principal de um fator uma medida da variao que ocorre com a caracterstica em estudo (produo, por exemplo) correspondente s variaes nos nveis desse fator, em mdia de todos os nveis do outro fator. Logo, o efeito principal de um fator a mdia de todos os nveis do outro fator. Efeito principal de A = Efeito principal de C =Ad.C 0 + Ad.C1 18 + 30 = = 24 2 2 Cd.A 0 + Cd.A 1 9 + 21 = = 15 2 2

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais c) Efeito da interao entre dois fatores

8

uma medida da variao que ocorre com a caracterstica em estudo, correspondente s variaes nos nveis de um fator, ao passar de um nvel a outro do outro fator. O efeito da interao entre os dois fatores A e C, : Efeito da interao AxC = Efeito da interao CxA =Ad.C1 Ad.C 0 30 18 = =6 2 2 Cd.A 1 Cd.A 0 21 9 = =6 2 2

Vemos, ento, que tanto faz calcular a interao AxC ou CxA. Examinando o quadro auxiliar, j podemos ter uma indicao da existncia ou no da interao. Devemos observar como o A se comporta na ausncia de C (A d. C0) e na presena de C (A d. C1), e como o C se comporta na ausncia de A (C d. A0) e na presena de A (C d. A1). Se o comportamento for o mesmo, tanto na ausncia como na presena, no se constata interao. Graficamente, podemos considerar:


9

(a)

(b)

(c) Nos casos (a) e (b) no h interao.

(d)

No caso (c) existe uma interao devida diferena na grandeza de resposta. No caso (d) existe uma interao devida diferena na direo da resposta. Quando no h interao, ocorre um paralelismo entre as retas. A interao ocorre devido a um sinergismo entre os fatores (interao positiva) ou devido a um antagonismo entre os fatores (interao negativa). Casualizao dos tratamentos Um experimento fatorial 2x3, com 2 nveis de Calagem (C0 e C1) e 3 nveis de Adubao (A1, A2, e A3) poderia ter a seguinte casualizao, se fosse instalado, por exemplo, em blocos ao acaso: 1 Bloco C1A1 C0A2 C1A2 C1A3 C0A1 C0A3 2 Bloco C1A3 C1A2 C0A1 C1A1 C0A3 C0A2 2 Bloco C0A2 C1A2 C0A3 C1A1 C1A3 C0A1 4 Bloco C0A1 C0A3 C1A2 C1A1 C0A2 C1A3

Esquema da anlise de varincia preliminar Causa da variao Tratamentos Blocos

C0

C0

C0

G.L. 5 3

C0


10

Resduo 15 Total 23 Os graus de liberdade de tratamentos devem ser desdobrados de acordo com o esquema fatorial 2x3, ficando: Calagens (C) Adubaes (A) Interao CxA 1 g.l. 2 g.l. 2 g.l.

Tratamentos

5 g.l.

Esquema de anlise de varincia com desdobramento dos graus de liberdade de tratamentos, de acordo com o esquema fatorial 2x3: Causa da variao Calagens (C) Adubaes (A) Interao CxA Tratamentos Blocos Resduo Total As principais vantagens dos experimentos fatoriais em relao simples so: a) Com um nico experimento, podemos estudar os efeitos simples e principais dos fatores e os efeitos das interaes entre eles; b) Todas as parcelas so utilizadas no clculo dos efeitos principais dos fatores e dos efeitos das interaes, razo pela qual o nmero de repeties, para o clculo das mdias dos nveis dos fatores elevado. As principais desvantagens so: a) Sendo os tratamentos constitudos por todas as combinaes possveis entre os nveis dos diversos fatores, o nmero de tratamentos aumenta muito, e, muitas vezes, no podemos distribu-los em blocos completos casualizados, devido exigncia de homogeneidade dentro de cada bloco. b) A anlise estatstica mais trabalhosa que nos experimentos simples, e a interpretao dos resultados se torna mais difcil medida que aumentamos o nmero de nveis e de fatores (principalmente) no experimento. 3.2 Anlise e interpretao de um experimento fatorial com dois fatores 3.2.1 Com interao no significativa G.L. 1 2 5 3 15 23 aos experimentos


11

Exemplo: Vamos considerar os dados de um experimento, em blocos casualizados, no esquema fatorial 3x3, em que foram estudados os efeitos de 3 peneiras comerciais, associadas a 3 densidades de plantio, na produtividade do amendoim (Arachis hipogaea L.) variedade Tatu V 53. As peneiras comerciais (P) e as Densidades de plantio (D) estudadas foram: P1 = peneira 18 (crivos circulares com de 18/64 polegada) P2 = peneira 20 (crivos circulares com de 20/64 polegada) P3 = peneira 22 (crivos circulares com de 22/64 polegada) D1 = 10 plantas por metro linear D2 = 15 plantas por metro linear D3 = 20 plantas por metro linear O ensaio constou de 3 blocos, num total de 27 parcelas, cada uma com 4 linhas de 7 metros de comprimento, espaadas de 0,50 m, com uma rea de 14 m2 por parcela. As duas linhas externas de cada parcela, e 1 m de cada rua, foram consideradas como bordadura, fazendo-se as avaliaes apenas nas duas linhas centrais, o que resultou numa rea til de 6 m2 por parcela. Uma das caractersticas estudadas foi a produo mdia de amendoim em vagem, por planta, cujos dados, em gramas, so apresentados abaixo: Blocos 2 12,03 14,08 12,98 10,26 9,02 9,66 7,67 7,87 9,44 93,01

Tratamentos 1 P1D1 2 P1D2 3 P1D3 4 P2D1 5 P2D2 6 P2D3 7 P3D1 8 P3D2 9 P3D3 Totais

1 11,82 12,34 13,41 6,97 8,96 8,48 7,53 6,71 7,82 84,04

3 12,55 12,13 13,35 9,02 9,84 8,50 7,81 9,49 9,37 92,06

Totais 36,40 38,55 39,74 26,25 27,82 26,64 23,01 24,07 26,63 269,11

Inicialmente, devemos proceder a anlise de varincia preliminar, que a anlise comum de um experimento em blocos casualizados, com 9 tratamentos e 3 blocos:C= G 2 269 ,112 = = 2.682 ,2293 IJ 9*3

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais2 x ij C = 11,82 2 +12,03 2 +... + 9,37 2 C = 126 ,6588 i =1 j =1 I J

12

SQ total =

SQ Tratamento =

1 1 TI2 C = 36,40 2 + 38,55 2 + ... + 26,63 2 C = 111,4428 J i =1 3

I

(

)

SQ Bloco =

1 1 B 2 C = 84,04 2 + 93,012 + 92,06 2 C = 5,3957 j I i =1 9

J

(

)

A anlise de varincia preliminar apresentada a seguir: Causa da variao Tratamentos Blocos Resduo Total G.L. 8 2 16 26 SQ 111,4428 5,3957 9,8203 126,6588 QM 13,9304 2,6979 0,6138 F 22,70** 4,40* -

Para tratamentos, verificamos que o teste significativo (P0,05). No rejeitamos H0. Logo, os efeitos das Peneiras sobre a produo mdia de amendoim em vagem por planta, independem da densidade (ou vice-versa). b) Peneiras (P) O teste foi significativo (P0,05). No rejeitamos H0. Logo, as densidades apresentam efeitos semelhantes sobre a produo mdia de vagens por planta. G.L. 2 2 4 (8) 2 16 26 SQ 106,7778 3,0917 1,5733 (111,4428) 5,3957 9,8203 126,6588 QM 53,3889 1,5459 0,3933 2,6979 0,6138 F 86,98** 2,52NS 0,64NS 4,40* -

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais Teste de Tukey para Peneiras (P)114 ,69 P1 = = 12,74 g 9 80,71 73,71 P2 = = 8.97 g P3 = = 8,19 g 9 9 QMRe s 0,6138 =q = 3,65 = 0,95g r 9

16

Tratamento P 12,74 a 1 P2 8,97 b P3 8,19 b Concluso: a mdia de produo de amendoim por vagem, por planta, obtida para P1 significativamente superior s obtidas para P2 e P3, que, no entanto, no diferem entre si. 3.2.2 Com interao significativa Exemplo: Vamos considerar dados de um experimento inteiramente casualizado, com 4 repeties, no esquema fatorial 3x2, para testar os efitos de 3 recipientes (R1, R2, R3) para produo de mudas e 2 espcies de eucaliptos (E1, E2), quanto ao desenvolvimento das mudas. Os Recipientes e as espcies testadas foram: R1 = saco plstico pequeno R2 = saco plstico grande R3 = laminado E2 = Euicalyptus citriodora E2 = Eucalyptus grandis As alturas mdias das mudas, em cm, aos 80 dias de idade so apresentadas a seguir:

Tratamentos 1 R1E1

1 26,2

Repeties 2 3 26,0 25,0

4 25,4

Totais 102,6

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais 2 - R1E2 3 R2E1 4 R2E2 5 R3E1 6 R3E2 24,8 25,7 19,6 22,8 19,8 24,6 26,3 21,1 19,4 21,4 26,7 25,1 19,0 18,8 22,8 25,2 26,4 18,6 19,2 21,3 101,3 103,5 78,3 80,2 85,3 551,2

17

Inicialmente, devemos proceder anlise de varincia preliminar, que a anlise comum de um experimento inteiramente casualizado, com 6 tratamentos e 4 repeties: Quadro da anlise de varincia Causa da variao Tratamentos Resduo Total G.L. 5 18 23 SQ 175,70 23,09 198,79 QM 35,14 1,28 F 27,45** -

Verificamos que o teste significativo a 1% de probabilidade, indicando que os tratamentos apresentam efeitos diferentes sobre as alturas das mudas. Devemos proceder ao desdobramento dos 5 graus de liberdade de tratamentos, para estudar os efeitos de recipientes (R), de espcies (E) e da interao RxE. Quadro auxiliar (4) E1 E2 TOTAIS DE R R1 102,6 101,3 203,9 R2 103,5 78,3 181,8 R3 80,2 85,3 165,5 TOTAIS DE E 286,3 264,9 551,2

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais SQR = SQE =1 203 ,9 2 + 181,8 2 + 165 ,5 2 C = 92,86 81 286 ,3 2 + 264 ,9 2 C = 19,08 12

18

(

)

(

)

SQRxE = SQR,E - SQR SQE Como se trata de um fatorial com dois fatores, j vimos que: SQR,E = SQTratamentos Ento: SQRxE = SQTratamentos - SQR SQE SQRxE = 175,70 - 92,86 19,08 = 63,76 Quadro de anlise de varincia com desdobramentos: Causa da variao Recipientes (R) Espcies (E) Interao RxE (Tratamentos) Resduo Total G.L. 2 1 2 (5) 18 23 SQ 92,86 19,08 63,76 (175,70) 23,09 198,79 QM 46,43 19,08 31,88 1,28 F 36,27** 14,91** 24,91** -

Verificamos que o teste F para a interao foi significativa (P0,05) no desenvolvimento das mudas das 2 Espcies; b) Quando se utiliza o Recipiente R2 (saco plstico grande), h diferena significativa (P0,05) no desenvolvimento das mudas das 2 Espcies. Exerccio: Proceder ao desdobramento da Interao RxE para estudar o comportamento dos recipientes dentro de cada espcie. Os resultados do experimento podem ser resumidos na seguinte tabela: G.L. 1 1 1 18 SQ 0,21 79,38 3,25 23,09 QM 0,21 79,38 3,25 1,28 F 0,16 NS 62,02** 2,54NS 1 203 ,9 2 102 ,6 2 + 101,3 2 = 0,21 4 8 1 181,8 2 103 ,5 2 + 78,3 2 = 79,38 4 8 1 165 ,5 2 80,2 2 + 85,3 2 = 3,25 4 8

(

)

(

)

(

)

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais R1 25,7 aA 25,3 aA R2 25,9 aA 19,6 bB R3 20,1 bA 21,3 bA

20

E1 E2

a, b Para cada espcie, mdias de recipientes seguidas de mesma letra minscula no diferem significativamente entre si. A, B Para cada recipiente, mdias de espcies seguidas de mesma letra maiscula no diferem entre si. 3.3 Anlise e interpretao de um experimento fatorial com trs fatores 3.3.1 Com interao tripla no significativa Exemplo: Vamos considerar os dados de um experimento para a cultura do cafeeiro, no delineamento em blocos casualizados com 6 repeties, no esquema fatorial 2 x 2 x 2, com os fatores: Nitrognio (N), Fsforo (P) e Potssio (K), cada um deles nos nveis 0 (ausncia) e 1 (presena). As produes de caf coco (kg/ha), para os tratamentos, so apresentadas no quadro seguinte: Tratamento s 1 N0P0K0 2 N0P0K1 3 N0P1K0 4 N0P1K1 5 N1P0K0 6 N1P0K1 7 N1P1K0 8 N1P1K1 Totais 1 3.029 2.438 3.448 3.533 3.362 4.905 4.171 4.476 29.362 2 3.857 3.086 3.600 5.048 3.714 6.295 3.114 4.752 33.466 Blocos 3 2.448 3.771 3.895 3.467 3.429 4.924 4.124 4.848 30.906 4 2.448 4.657 4.267 4.095 3.190 4.952 3.981 4.676 32.266 5 3.543 1.962 3.086 1.876 2.686 5.381 3.038 6.829 28.401 6 4.314 3.210 3.657 2.895 4.038 5.543 3.590 3.771 31.018 Totais 19.639 19.124 21.953 20.914 20.419 32.000 22.018 29.352 185.419

A anlise de varincia preliminar do experimento a seguinte:

Causa da variao Tratamentos Blocos Resduo Total

G.L. 7 5 35 47

SQ 26.748.232 2.134.332 20.962.662 49.845.226

QM 3.821.176 426.866 598.933 -

F 6,38** 0,71ns -


21

Devemos, ento, passar ao desdobramento dos 7 graus de liberdade de tratamentos, para estudar os efeitos principais de Nitrognio (N), Fsforo (P) e Potssio (K) e das interaes entre os fatores: Interao N x P, Interao N x K, Interao P x K e Interao N x P x K. Para o clculo das somas de quadrados das interaes duplas, devemos montar os quadros auxiliares, que relacionam os nveis dos fatores entre si. Temos, ento, trs quadros auxiliares: Quadro 1 (12) N0 N1 TOTAIS DE P Quadro 2 (12) N0 N1 TOTAIS DE K Quadro 3 (12) P0 P1 TOTAIS DE K K0 40.058 43.971 84.029 K1 51.124 50.266 101.390 TOTAIS DE P 91.182 94.237 185.419 K0 41.592 42.437 84.029 K1 40.038 61.352 101.390 TOTAIS DE N 81.630 103.789 185.419 P0 38.763 52.419 91.182 P1 42.867 51.370 94.237 TOTAIS DE N 81.630 103.789 185.419

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais Do Quadro 1, calculamos: SQN = SQP =1 81 .630 2 + 103 .789 2 C = 10 .229 .610 241 91 .182 2 + 94 .237 2 C = 194 .438 24

22

(

)

(

)

SQN,P =

1 38 .763 2 + 42 .867 2 + 52.419 2 + 51 .370 2 C = 10 .977 .244 12

(

)

SQNxP = SQN,P - SQN - SQP = 553.196 Do Quadro 2, calculamos: SQK =1 84 .029 2 + 101 .390 2 C = 6.279 .256 24

(

)

SQN,K =

1 41 .592 2 + 40 .038 2 + 42.437 2 + 61.352 2 C = 25.237 .615 12

(

)

SQNxK = SQN,K - SQN SQK = 8.728.749 Do Quadro 1, calculamos: SQP,K =1 40 .058 2 + 51.124 2 + 43 .9712 + 50 .266 2 C = 6.947 .912 12

(

)

SQPxK = SQP,K - SQP SQK = 474.218 A SQNxPxK calculada da seguinte forma: SQNxPxK = SQTratamento - SQN - SQP - SQK - SQNxP - SQNxK - SQPxK SQNxPxK = 288.765 Ento, o quadro de anlise de varincia, de acordo com o esquema fatorial 2 x 2 x 2, apresentado a seguir:

Causa da variao Nitrognio (N)

G.L. 1

SQ 10.229.610

QM 10.229.610

F 17,08**

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais Fsforo (P) Potssio (K) Interao NxP Interao NxK Interao PxK Interao NxPxK (Tratamentos) Blocos Resduo Total 1 1 1 1 1 1 (7) 5 35 47 194.438 6.279.256 553.196 8.728.749 474.218 288.765 (26.748.232) 2.134.332 20.962.662 49.845.226 194.438 6.279.256 553.196 8.728.749 474.218 288.765 426.866 598.933 0,32ns 10,48** 0,92ns 14,57** 0,79ns 0,48ns 0,71ns -

23

O teste foi significativo (P0,05). A, B - em cada coluna, mdias seguidas de mesma letra maiscula no diferem (P>0,05). Mdias dos nveis dos fatores:81 .630 = 3.401 kg / ha 24 91 .182 P0 = = 3.799 kg / ha 24 84 .029 K0 = = 3.501 kg / ha 24 N0 = 103 .789 = 4.325 kg / ha 24 94 .237 P1 = = 3.927 kg / ha 24 101 .390 K1 = = 4.225 kg / ha 24 N1 =

3.3.2 Com interao tripla significativa Exemplo: Consideremos os dados de um experimento inteiramente casualizado no esquema fatorial 3 x 2 x 2, com os fatores Cultivares de trigo (C 1: BR20 Guat, tolerante ao alumnio; C2: BR36 Ianommi, sensvel ao alumnio; e C3: BR40 Tuiuca, moderadamente sensvel ao alumnio), Calagem (Ca0: 0 t/ha de calcrio; e Ca1: 4,4 t/ha de calcrio) e Fosfatagem (P0: 0 mg de P/kg de solo; e P1: 87 mg de P/kg de solo), no qual foi estudada a eficincia da cultura do trigo na utilizao do fsforo, obtida pelo quociente do teor de matria seca da parte area pela quantidade de fsforo absorvida, obtendo-se os dados seguintes:

Resultado da eficincia na utilizao do fsforo Tratamentos Repeties 1 2 3 4 Totais

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais 1- C1Ca0P0 2- C1Ca0P1 3- C1Ca1P0 4- C1Ca1P0 5- C2Ca0P0 6- C2Ca0P1 7- C2Ca1P0 8- C2Ca1P0 9- C3Ca0P0 10- C3Ca0P1 11- C3Ca1P0 12- C3Ca1P0 1.255 556 714 417 1.428 625 769 370 1.660 526 625 526 1.250 476 770 454 1.444 526 911 476 1.662 714 909 556 908 588 667 454 1.667 667 1.000 417 1.667 588 909 400 1.431 500 667 385 1.428 526 1.254 357 1.667 714 667 476 4.844 2.120 2.818 1.710 5.967 2.344 3.934 1.620 6.656 2.542 3.110 1.958 39.623

26

Para a anlise de varincia preliminar, temos:G 2 39 .623 2 = = 32 .707 .961 IJ 12 * 4

C=

SQ total =

x ij2 C = 1.255 2 +1.250 2 + ... + 476 2 C = 8.328 .034i =1 j =1

I

J

SQ Tratamento =

1 I 2 1 TI C = 4.844 2 + 2.120 2 + ... + 1.958 2 C = 7.865 .565 J i =1 4

(

)

Quadro de anlise de varincia preliminar Causa da variao Tratamentos Resduo Total G.L. 11 36 47 SQ 7.865.565 462.469 8.328.034 QM 715.051 12.846 F 55,66** -

Para o clculo das somas de quadrados correspondentes aos efeitos principais dos fatores e s interaes entre eles, devemos organizar os quadros auxiliares relacionando os nveis dos fatores: Quadro 1 (8) Ca0 Ca1 TOTAIS DE C Quadro 2 (8) P0 C1 7.662 C2 9.901 C3 9.766 TOTAIS DE P 27.329 C1 6.964 4.528 11.492 C2 8.311 5.554 13.865 C3 9.198 5.068 14.266 TOTAIS DE Ca 24.473 15.150 39.623

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais P1 TOTAIS DE C Quadro 3 (12) P0 P1 TOTAIS DE Ca Do quadro 1, obtemos: SQC = SQCa =1 11 .492 2 + 13 .865 2 + 14 .266 2 C = 280 .979 161 24 .473 2 + 15 .150 2 C = 1.810 .799 24

27 4.500 14.266 12.294 39.623

3.830 11.492

3.964 13.865

Ca0 17.467 7.006 24.473

Ca1 9.862 5.288 15.150

TOTAIS DE P 27.329 12.294 39.623

(

)

(

)

SQC,Ca =

1 6.964 2 + 8.3112 + ... + 5.068 2 C = 2.192 .982 8

(

)

SQCxCa = SQC,Ca - SQC SQCa = 101.204 Do quadro 2, obtemos: SQP =1 27 .329 2 + 12 .294 2 C = 4.709 .401 24

(

)

SQC,P =

1 7.662 2 + 9.9012 + ... + 4.500 2 C = 5.134 .914 8

(

)

SQCxP = SQC,P - SQC SQP = 144.534 Do quadro 3, obtemos: SQCa,P =1 17 .467 2 + 9.862 2 + ... + 5.288 2 C = 7.242 .215 12

(

)

SQCaxP = SQCa,P - SQCa SQP = 722.015 A soma de quadrados da interao tripla obtida por diferena em relao soma de quadrados de tratamento, isto :

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais SQCxCaxP = SQTratamento - SQC - SQCa - SQP - SQCxCa - SQCxP - SQCaxPSQCxCaxP = 7.865.565 - 280.979 - 1.810.799 - 4.709.401 - 101.204 - 144.534 - 722.015

28

SQCxCaxP = 96.633 O quadro de anlise de varincia com desdobramento de acordo com o esquema fatorial 3 x 2 x 2 apresentado a seguir: Causa da variao Cultivares (C) Calcrio (Ca) Fsforo (P) Interao CxCa Interao CxP Interao CaxP Interao CxCaxP (Tratamentos) Resduo Total G.L. 2 1 1 2 2 1 2 (11) 36 47 SQ 280.979 1.810.799 4.709.401 101.204 144.534 722.015 96.633 (7.865.565) 462.469 8.328.034 QM 140.490 1.810.799 4.709.401 50.602 72.267 722.015 48.317 12.846 F 10,94** 140,96** 366,60** 3,94* 5,63** 56,21** 3,76* -

Para esses dados, a anlise de varincia mostrou que tanto os efeitos principais dos fatores como as interaes entre os fatores foram significativos. A significncia da interao C x Ca implica que as diferenas entre as respostas de C variam de acordo com o nvel de Ca, sendo as respostas medidas sobre os 2 nveis de P; alternativamente, as diferenas entre as respostas de Ca variam para os 3 nveis de C, sendo as respostas medidas sobre os dois nveis de P. A interao C x Ca x P significativa mais difcil de interpretar, pois ela pode ser considerada de 3 formas: interao da interao C x Ca com o fator P; interao da interao C x P com o fator Ca; interao da interao Ca x P com o fator C. Vamos, ento, desdobrar a interao C x Ca x P para estudar o comportamento das cultivares em cada combinao de nveis de Ca e P. Para tanto, podemos organizar um quadro auxiliar: (4) C1 C2 C3 TOTAIS Ca0P0 4.844 5.967 6.656 17.467 Ca0P1 2.120 2.344 2.542 7.006 Ca1P0 2.818 3.934 3.110 9.862 Ca1P1 1.710 1.620 1.958 5.288 TOTAIS 11.492 13.865 14.266 39.623

Estatstica Experimental Experimentos Fatoriais Desse quadro calculamos: SQC d. Ca0P0 = SQC d. Ca0P1 = SQC d. Ca1P0 = SQC d. Ca1P1 =1 17 .467 2 4.844 2 + 5.967 2 + 6.656 2 = 418 .266 4 12 1 7.006 2 2.120 2 + 2.344 2 + 2.542 2 = 22 .289 4 12 1 9.862 2 2.818 2 + 3.934 2 + 3.110 2 = 167 .475 4 12 1 5.288 2 1.710 2 + 1.620 2 + 1.958 2 = 15 .321 4 12

29

(

)

(

)

(

)

(

)

Anlise de Varincia para estudar o comportamento dos cultivares (C) em cada combinao de nveis de Ca e P. Causa da variao C d. Ca0P0 C d. Ca0P1 C d. Ca1P0 C d. Ca1P1 Resduo G.L. 2 2 2 2 36 SQ 418.266 22.289 167.475 15.321 462.469 QM 209.133 11.145 83.738 7.661 12.846 F 16,28** 0,87ns 6,52**ns 0,60 -

Verificamos que existem diferenas entre as cultivares quanto eficincia na utilizao do fsforo apenas na combinao em que no foi adicionado o fsforo no solo. Para detectar essas diferenas, vamos aplicar o teste de Tukey s mdias de cultivares em cada combinao de Ca e P. As mdias so obtidas do quadro auxiliar dividindo cada valor interno por 4, isto : (4) C1 C2 C3 Ca0P0 1.211 b 1.492 a 1.664 a Ca0P1 530 a 586 a 636 a Ca1P0 705 b 984 a 778 b Ca1P1 428 a 405 a 490 a

Ema cada coluna, mdias seguidas de mesma letra no diferem pelo teste de Tukey (P>0,05)

O valor da diferena mnima significativa calculado por:=q QMRe sduo r


30

Em que o valor de q obtido a partir da tabela de Tukey, para 3 nveis de C e 36 graus de liberdade do resduo = 3,46. Assim: = 3,46 12 .846 = 196 ,08 4

Vamos, agora, desdobrar a interao C x Ca x P para estudar o comportamento do calcrio em cada combinao de nveis de C e P. Para tanto, podemos organizar um quadro auxiliar: (4) Ca0 Ca1 Totais C1P0 4.844 2.818 7.662 C1P1 2.120 1.710 3.830 C2P0 5.967 3.934 9.901 C2P1 2.344 1.620 3.964 C3P0 6.656 3.110 9.766 C3P1 2.542 1.958 4.500 TOTAIS 24.473 15.150 39.623

Desse quadro calculamos: SQCa d. C1P0 = SQCa d. C1P1 = SQCa d. C2P0 =1 7.662 2 4.844 2 + 2.818 2 = 513 .085 4 8 1 3.830 2 2.120 2 + 1.710 2 = 21 .013 4 8 1 9.9012 5.967 2 + 3.934 2 = 516 .636 4 8 1 3.964 2 2.344 2 + 1.620 2 = 65 .522 4 8 1 9.766 2 6.656 2 + 3.110 2 = 1.571 .764 4 8 1 4.500 2 2.542 2 + 1.958 2 = 42 .632 4 8

(

)

(

)

(

)

SQCa d. C2P1 = SQCa d. C3P0 =

(

)

( (

)

SQCa d. C3P1 =

)

Anlise de Varincia para estudar o comportamento do calcrio (C) em cada combinao de nveis de C e P. Causa da variao Ca d. C1P0 Ca d. C1P1 Ca d. C2P0 Ca d. C2P1 Ca d. C3P0 Ca d. C3P1 Resduo G.L. 1 1 1 1 1 1 36 SQ 513.085 21.013 516.636 65.522 1.571.764 42.632 462.469 QM 513.085 21.013 516.636 65.522 1.571.764 42.632 12.846 F 39,94** 1,64ns 40,22** 5,10* 122,35** 3,32ns -


31

Verificamos que no existe diferena significativa entre os nveis de Ca apenas nas combinaes C1P1 e C3P1 e podemos resumir as mdias desses resultados da seguinte forma: Ca0 Ca1 C1P0 1.211 a 705 b C1P1 530 a 428 a C2P0 1.492 a 984 b C2P1 586 a 405 b C3P0 1.664 a 778 b C3P1 636 a 490 a

Ema cada coluna, mdias seguidas de mesma letra no diferem pelo teste de Tukey (P>0,05)

Vamos, agora, desdobrar a interao C x Ca x P para estudar o comportamento do fsforo (P) em cada combinao de nveis de C e Ca. Para tanto, podemos organizar um quadro auxiliar: (4) P0 P1 Totais C1Ca0 4.844 2.120 6.964 C1Ca1 2.818 1.710 4.528 C2Ca0 5.967 2.344 8.311 C2Ca1 3.934 1.620 5.554 C3Ca0 6.656 2.542 9.198 C3Ca1 3.110 1.958 5.068 TOTAIS 27.329 12.294 39.623

Desse quadro calculamos: SQP d. C1Ca0 = SQP d. C1Ca1 = SQP d. C2Ca0 =1 6.964 2 4.844 2 + 2.120 2 = 927 .522 4 8 1 4.528 2 2.818 2 + 1.710 2 = 153 .458 4 8 1 8.3112 5.967 2 + 2.344 2 = 1.640 .766 4 8 1 5.554 2 3.934 2 + 1.620 2 = 669 .325 4 8 1 9.198 2 6.656 2 + 2.542 2 = 2.115 .625 4 8 1 5.068 2 3.110 2 + 1.958 2 = 165 .888 4 8

(

)

(

)

(

)

SQP d. C2Ca1 = SQP d. C3Ca0 =

(

)

(

)

SQP d. C3Ca1 =

(

)


32

Anlise de Varincia para estudar o comportamento do fsforo (P) em cada combinao de nveis de C e Ca. Causa da variao P d. C1Ca0 P d. C1Ca1 P d. C2Ca0 P d. C2Ca1 P d. C3Ca0 P d. C3Ca1 Resduo G.L. 1 1 1 1 1 1 36 SQ 927.522 153.458 1.640.766 669.325 2.115.625 165.888 462.469 QM 927.522 153.458 1.640.766 669.325 2.115.625 165.888 12.846 F 72,20** 11,95** 127,73** 52,10** 164,69** 12,91** -

Verificamos que existe diferena entre os 2 nveis de fsforo em todas as combinaes de C e Ca, e os resultados mdios podem ser resumidos da seguinte forma: P0 P1 C1Ca0 1.211 a 530 b C1Ca1 705 a 428 b C2Ca0 1.492 a 586 b C2Ca1 984 a 405 b C3Ca0 1.664 a 636 b C3Ca1 778 a 490 b

Ema cada coluna, mdias seguidas de letras distintas diferem entre si pelo teste de Tukey (P>0,05)

importante lembrar que dos trs desdobramentos realizados na interao tripla pode ser utilizado qualquer um deles, dependendo apenas do interesse do experimentador.

experimentos fatoriais

Documents