Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Números e fuNções

Guia do professor

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

Câmara escura

Objetivos da unidadeMotivar o estudo de relações de proporcionalidade direta e inversa 1. a partir da obser vação de um fenômeno físico.

Guia do professor

SinopseOs alunos, trabalhando em grupo, deverão construir uma câmara escura e tentar descobrir quais as melhores condições para se obter uma imagem com este dispositivo. Inicialmente, fazendo observações fora da sala de aula, os alunos avaliarão quais as condições necessárias para se obter imagens com o dispositivo. A partir dessas observações, pode-se iniciar discussões sobre proporcionalidade direta e inversa.

ConteúdosRazão e Proporção: Proporcionalidade direta; Proporcionalidade inversa; �

Função Afim: Gráfico e coeficientes. �

ObjetivosMotivar o estudo de relações de proporcionalidade direta e inversa a partir 1. da obser vação de um fenômeno físico.

DuraçãoUma aula dupla.

Câmara escura

Propor aos alunos atividades que se diferenciam de uma aula tradicional é, sem dúvida, prazeroso e necessário nos dias de hoje. Procedimentos desse tipo vêm sendo desenvolvidos com certo sucesso. Aqui, propomos aos alunos a confecção, manipulação de objetos, experiências dentro e fora da sala de aula: o objetivo será construir e explorar uma câmara escura de orifício, através da qual obteremos muitas informações e conhecimentos. Além de tornar a aula mais prática e dinâmica, esse trabalho relaciona conceitos matemáticos com os de outras áreas, de forma interdisciplinar, como a ótica geométrica, em Física; a visão, em Biologia; e a história de como se fotografava antigamente. O experimento nos permitirá, também, tratar com os alunos alguns conceitos matemáticos, dentre eles, a proporcionalidade direta e inversa. Este experimento permitirá também que trabalhemos a confecção e o uso de tabelas e gráficos, interpretando-os e obtendo conclusões, habilidades importantes que devem ser adquiridas pelos alunos.

A descoberta que levou ao processo fotográfico foi a câmara escura. Alguns historiadores indicam o aparecimento da câmara aproximadamente por volta do século V a.C.. No século XI, a câmara foi utilizada para observar um eclipse solar. Essa câmara era como uma pequena sala, onde as pessoas entravam e, do lado de dentro, onde havia plena escuridão, acompanha-vam a projeção de objetos que se encontravam do lado de fora da câma-ra, iluminados pelo sol. Essa projeção acontecia sobre um tecido branco colocado na parede oposta ao orifício no qual a imagem projetada era invertida em relação à imagem original. Nos séculos seguintes, a câmara escura se tornou comum entre os sábios europeus para a observação de eclipses solares sem que houvesse prejuízo aos olhos. No século XIV, foi utilizada como auxílio nos desenhos e nas pinturas. Os pintores faziam uso de câmaras portáteis, projetando a imagem em uma tela e pintando por cima dela. A fixação da imagem, isto é, a fotografia, só foi possível depois de muitos séculos após o surgimento da primeira câmara escura, no século XVIII. Desde o tempo em que as câmaras escuras eram salas escuras, já eram obtidas boas imagens. Entretanto, qual era o procedimento? É o que vamos tentar descobrir no nosso experimento.

Comentários iniciais

O desenvolvimento deste experimento se dá em dois momentos. Um deles é a confecção da câmara escura, o que por si só já é enriquecedor, uma vez que propicia ao aluno a aquisição de habilidades de manuseio, observação e percepção, além de transportá-lo a uma realidade diferente: como seria uma câmara fotográfi ca? A construção de uma delas é apresentada na primeira etapa. Depois, na segunda etapa, há uma exploração da câmara construída: a observação, as conclusões e a descoberta da matemática ali presente.

Construção da câmara escura

É importante que a classe seja dividida em grupos, no mínimo de três alunos, pois eles terão muitas tarefas diferentes para realizar simultaneamente. Os alunos podem usar uma caixa, tipo a de sapatos com tampa, ou, se for possível, construir uma caixa antecipadamente. A câmara deve ser confeccionada com todo o cuidado para que nela não haja frestas que permitam a entrada da luz. O orifício no papel deve ser muito pequeno, feito com uma ponta de alfi nete, por exemplo. Após a confecção, os alunos podem testar a câmara, observando objetos que estão iluminados de preferência com luz natural. Verão que a imagem obtida desses objetos é invertida.

A fi gura mostra o esquema de uma câmara escura e seu interior. A câmara escura produz uma imagem invertida com relação ao objeto fotografado. O tamanho da imagem depende da distância do objeto ao furo. A câmara escura de orifício utiliza o princípio de propagação retilínea da luz para formar imagens em anteparos. A imagem é formada pela luz refl etida pelo objeto, que passa pelo orifício e atinge a face oposta à face do orifício. O orifício seleciona a luz que chega à face oposta, de tal forma que, de todos os raios de luz que saem de um ponto do objeto, o orifício deixa passar somente um, produzindo-se então um ponto na face oposta iluminado por aquele raio.

Na fi gura, representa o objeto, representa a imagem e representa o orifício. Os dois triângulos e são semelhantes.

fig. 1

A

A

P

D

D

C

C

B

Bfig. 2

Exploração com a câmara

É conveniente que esta etapa do experimento seja realizada fora da sala de aula. Os alunos devem, é claro, levar para lá o material necessário: fita métrica, tiras de cartolina, caderno e lápis para anotações. O principal objetivo é a construção de tabelas usando os dados das coletas de medidas, para posterior obtenção de duas relações algébricas. A primeira delas será feita utilizando uma tira de cartolina em cada vez. Os alunos se afastam ou se aproximam da caixa, obtendo, assim, para cada tira, a distância do objeto à caixa, a fim de que a imagem se enquadre no anteparo, ou seja, fique igual a . A relação algébrica, como será visto no fechamento, é do tipo , onde é uma constante positiva que depende da câmara construída pelo grupo. Da mesma maneira, na segunda relação, os alunos utilizarão uma tira de cada vez, mas, nesse caso, o anteparo é aproximado ou afastado do orifício da câmara, obtendo, assim, para cada tira, a relação entre sua medida e a distância entre o anteparo e o orifício. Essa relação é do tipo , onde é uma constante positiva que depende da câmara construída pelo grupo. É bom orientar os alunos sobre o cuidado que devem ter com as posições corretas dos objetos, anteparo, tiras e nas próprias medições, bem como com os objetos usados na sua obtenção. Essa orientação é importante, pois quanto mais precisa for a medida, mais chance terá o experimento de fornecer as relações algébricas procuradas.

Após a coleta de dados obtidos na Etapa 2, os alunos deverão representar os pontos em dois sistemas de eixos cartesianos: um relativo a e outro relativo a . O objetivo é que os alunos reflitam sobre uma possível curva que se ajuste a cada um dos conjuntos de pontos obtidos. As tabelas 1 e 2 retratam os dados ideais obtidos para o experimento, dada uma determinada câmara construída. Seja paciente com a falta de precisão dos dados, porque isso acontece em muitos experimentos.

Análise das representações gráficas

Caso relativo à Tabela 1Com a finalidade de uma análise em conjunto com a classe, um dos grupos deverá ser escolhido para expor na lousa os dados obtidos na Tabela 1 e a representação gráfica dos pontos correspondentes. Estes últimos deverão ser colineares e, é claro, alguns pontos podem estar representados apenas próximos à reta ao invés de ter uma representação na reta, já que são comuns os erros obtidos na medição e nos arredondamentos dos cálculos. A figura mostra a tabela 1 com esses dados e a representação gráfica correspondente.

Relação entre as grandezas To e Do

Após a representação gráfi ca dos pontos coletados, os alunos devem refl etir sobre qual curva conhecida se aproxima mais dos dados coletados e, intuitivamente, representá-la no gráfi co, que já deve estar com a repre-sentação dos pontos coletados. Convém lembrar que, devido às possíveis imprecisões nas medições, a curva poderá não passar por todos os pontos, mas apenas se aproximar deles. É interessante que se discuta esse fato com os alunos. A seguir, vamos identifi car essa curva usando conceitos matemáticos.

fig. 3

Te = 5 cm De = 15 cm

Proporcionadade inversa →

To (cm) Do (cm)

10 30

15 45

20 60

25 75

30 90

35 105

40 120

45 135

50 150

55 165

Obtenção da relação matemática entre To e Do

A fi gura a seguir mostra uma representação da situação da Ilustração 1. Observe que os triângulos e são semelhantes. Note também que, a partir disso, as alturas e dos respectivos triângulos estão na mesma razão de semelhança. Logo, vale a relação

,

isto é,

.

Percebemos que essa última expressão relaciona com o produto de com a constante da câmara construída pelo aluno. Essa relação

entre os valores e caracteriza uma proporcionalidade, mais especifi -camente, uma proporcionalidade direta.

fig. 4

A

PDoTo TeDe

D

C

B

Proporcionalidade Direta

Duas grandezas são diretamente proporcionais se existe uma correspon-dência , que associa a cada valor de uma delas um valor bem determinado da outra, de tal modo que seja válida a seguinte condição: Se a um valor corresponde o valor e é um número qualquer positivo, então o valor que corresponde a é . Em símbolos mate-máticos, se então . Essa correspondência é chamada proporcionalidade direta.

Para verificar que uma correspondência é uma proporcionalidade direta, basta verificar a validade da condição dessa definição para o caso em que

é um número natural e verificar que, quanto maior for , maior será , ou, em símbolos matemáticos, se e , então implica

. Essas afirmações decorrem do Teorema Fundamental da Proporcio-nalidade, cujo enunciado é o seguinte.

Teorema Fundamental da Proporcionalidade

Se é uma função crescente tal que para todo e todo , então para quaisquer e

em . A demonstração desse teorema se encontra na pág. 16 do livro Temas

e Problemas.

Definição

Observação

Proporcionalidade direta e fator de proporcionalidade

Dada uma proporcionalidade direta , o número , que indica o valor de correspondente a , é chamado fator de proporcionalidade. Então, pela definição anterior, obtemos que o valor correspondente a

é . Assim, destacamos:Se é uma proporcionalidade direta, existe uma constante positiva, chamada fator de proporcionalidade, tal que para todo . A recíproca é imediata: se existe uma constante a positiva tal que

, para todo , então é uma proporcionalidade direta. Então, a definição de grandezas diretamente proporcionais também pode ser dada por:

Duas grandezas são diretamente proporcionais se existe uma constante positiva tal que , para todo .

Representação gráfica de uma proporcionalidade direta

A seguir, veremos que um conjunto de pontos cujas coordenadas são diretamente proporcionais pertencem a uma reta. Consideremos os pontos , e três pontos nessas condições, ou seja, , e , onde é a constante de proporcionalidade. Vamos supor, sem perda de generalidade, que . Temos:

Daí, obtemos , ou seja, , e são coli-neares.

Curiosidade

Inclinação e coefi ciente linear

A reta que contém os pontos , e passa pela origem. Sua inclinação em relação ao eixo , ou seja, o seu coefi ciente angular, é dada pela tangente do ângulo que ela forma com esse eixo. Assim, se tomamos

e , obtemos o coefi ciente angular da reta dado por

.

Como é positivo, os pontos que satisfazem a proporcionalidade constituem a parte dessa reta no primeiro quadrante do plano

cartesiano. Essa reta representa o gráfi co de uma função linear.

Uma função é chamada função linear se, para todo , o valor é dado por , onde é uma constante real.

fig. 5

Defi nição

x

P1ax1

ax2 P2

ax2 – ax1

x2 – x1

x1

y

x2

Voltando ao experimento

Observamos que no experimento as variáveis e são relacionadas por

,

onde é uma constante. Assim, a correspondência entre e é uma propor cionalidade direta, com fator de proporcionalidade , que, no caso dos dados obtidos, é igual a 3. É esperado que, considerando as possíveis imprecisões nas medições, os pontos da representação gráfi ca feita pelos alunos estejam próximos de uma reta passando pela origem e com inclinação igual ou próxima a 3.

Função afi m

O professor pode aproveitar a oportunidade para introduzir aos alunos o conceito de função afi m. Adicionando uma constante à segunda coordenada de cada ponto do gráfi co de uma função linear, obtemos uma translação desse gráfi co, de unidades na direção do eixo dos . O conjunto de pontos obtidos por essa translação é uma nova reta, paralela à primeira e, portanto, com coefi ciente angular também igual a e que intersecciona o eixo dos no ponto . Essa reta representa o gráfi co de uma função chamada função afi m.

Uma função é chamada função afi m se, para todo , o valor é dado por , onde e são constantes.

A constante é chamada valor inicial e o coefi ciente é chamado a taxa de variação de .

Da mesma maneira como feito para uma proporcionalidade direta, podemos constatar que o gráfi co de uma função afi m é uma reta.

Defi nição

Observação

Caso relativo à Tabela 2

Como no caso anterior, a tabela 2 e o gráfi co correspondente deverão ser analisados. O propósito é encontrar uma expressão que relacione as grandezas e . A fi gura mostra a tabela 2 com os dados obtidos na segunda coleta e a representação gráfi ca correspondente.

Qual é a curva para esse caso? Lembramos novamente que, devido às possíveis imprecisões nas medições, alguns pontos apenas se aproximarão da curva. Novamente, é interessante que esse fato seja discutido com os alunos. Vamos identifi car a curva usando conceitos matemáticos.

fig. 6

To (cm) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

De (cm) 25.00 16.60 12.50 10.00 8.33 7.14 6.25 5.55 5.00 4.54

Te = 5 cm Do = 50 cm

Proporcionadade inversa →

Obtenção da relação matemática entre To e De

Novamente, da semelhança entre os triângulos e , obtemos

,

isto é,

.

Diferentemente da relação obtida no primeiro caso, essa expressão mostra que o produto das grandezas e é igual à constante da câmara construída pelo grupo.

Proporcionalidade inversa

Duas grandezas são inversamente proporcionais se existe uma corres-pondência que associa, a cada valor de uma delas, um valor bem determinado da outra, de tal modo que seja válida a seguinte condição: Se a um valor corresponde o valor e é um número qualquer positivo, então o valor que corresponde a é .

A

PDoTo TeDe

D

C

B

Defi nição

fig. 7

Em símbolos matemáticos, se então . Essa correspondência é chamada de proporcionalidade inversa.

De forma análoga à proporcionalidade direta, para verifi car que uma correspondência é uma proporcionalidade inversa, basta verifi car a validade da condição dessa defi nição para o caso em que é um número natural. É necessário também verifi car que quanto maior for , menor será , ou, em símbolos matemáticos, se e , então implica

.

Proporcionalidade inversa e fator de proporcionalidade

Dada uma proporcionalidade inversa , o número , que indica o valor de correspondente a , é chamado fator de proporcionalidade. Então, pela defi nição anterior, obtemos que o valor correspondente a

é . Assim, destacamos: Se é uma proporcionalidade inversa, existe uma constante positiva, chamada fator de proporcionalidade inversa, tal que

,

para todo . A recíproca também é válida: se existe uma constante positiva tal que para todo , então é uma proporcionalidade inversa

. Então, a defi nição de grandezas inversamente proporcionais também pode ser dada por:

Duas grandezas são inversamente proporcionais se existe uma constante positiva tal que , para todo .

Defi nição

Representação gráfi ca de uma proporcionalidade inversa

Informe aos alunos que a curva que passa pelos pontos tais que , com e é uma constante positiva, é um ramo da curva

denominada hipérbole. Um estudo das cônicas, que inclui as hipérboles, é feito em Geometria Analítica na terceira série do Ensino Médio.

Proporcionalidade e regra de três

A regra de três é um processo prático que o professor pode apresentar aos alunos a partir do que foi visto. Dada uma proporcionalidade tal que

e , ou tal que e , e conhecidos três dos números , , e , calculamos o quarto desses números. No caso da proporcionalidade direta temos . Assim, com essa proporção, podemos obter um dos números , , e quando três são conhecidos. No caso da proporcionalidade inversa, temos . Assim, a regra de três inversa consiste em, a partir de três dos valores , , e e conhecidos, calcularmos o quarto desses números usando a proporção

.

fig. 8

Sugestão ao professor

Explorar problemas práticos em que se utiliza a regra de três. Ver Temas e Problemas, p. 18-20. Explorar exemplos em que aparecem grandezas que não são nem dire-tamente proporcionais, nem inversamente proporcionais. Desenvolver a teoria de grandeza proporcional em várias outras. Ver Temas e Problemas, p. 10-12.

Este experimento pode abordar também outros temas, a saber:Introdução ao conceito de função ao obter a dependência entre as variáveis �

e , ou entre e apresentadas no experimento;Introdução à geometria analítica no estudo das equações das retas e na �

introdução às cônicas, especifi camente às hipérboles;Introdução ao conceito de semelhança de fi guras espaciais, assim como �

homotetia.

Quanto a essa última abordagem, apresentamos algumas sugestões.Considere a fi gura:

fig. 9

Nela vemos que a imagem do polígono aparece invertida no anteparo e as pirâmides e são semelhantes com razão de semelhança igual a

.

Os dois polígonos são semelhantes e, devido à posição em que se encontram, são homotéticos, com razão de homotetia (inversa) igual a , sendo que o centro da homotetia é o ponto , o orifício da câmara. Veja mais sobre esse assunto, por exemplo, em [Rezende e Queiroz]. Também, sob um aspecto interdisciplinar, pode ser explorado como é o processo de formação de imagens, o caminho do raio de luz e a imagem que se forma na retina do olho.

Ávila, G.. Ainda sobre a regra de três. Revista do Professor de Matemática. São Paulo, n.9, p.1-9, 1986.

Lima, E. L. Que são grandezas proporcionais? Revista do Professor de

Matemática. São Paulo, n.9, p.21-29, 1986.

Lima, E. L; Carvalho, P. C. P.; Wagner, E.; Morgado, A. C. QA. C. Temas

e Problemas. 3ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2003. (Coleção do Professor de Matemática). Disponível em <http://www.ensinomedio.impa.br/materiais>. Acesso em: 23 março 2009.

Rezende, E. Q. F.; Queiroz, M. L. B. Geometria Euclidiana Plana e Construções

Geométricas. 2ª ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2008.

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutorasClaudina Izepe Rodrigues, Eliane Quelho Frota Rezende e Maria Lúcia Bontorim de Queiroz

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos do Patrocínio Língua PortuguesaCarolina BonturiPedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráficoPreface Design

Câmara escura Folha do aluno 1  /  3

Números e funçõesFolha do aluno

anteparo de projeção

visor

orifício

fig. 1 Câmara escura.

Câmara escura Folha do aluno 2  /  3

Números e funçõesFolha do aluno

Etapa 1  Construção da Câmara Escura 1.1 Com o estilete, façam um furo de aproximadamente 1 cm

de raio em um dos lados da caixa;

1.2 Com a cartolina preta, forrem todo o interior da caixa de sapato, com exceção da face oposta ao furo;

1.3 Por dentro da caixa, façam uma abertura na cartolina do mesmo tamanho e coincidindo com o furo no papelão. Coloquem um pedaço de papel alumínio entre o pape lão e a cartolina;

1.4 Usando uma caneta, façam cuidadosamente um furo no papel alumínio, formando o orifício por onde a luz entrará.

1.5 Para fazer o visor na parte sem cartolina, façam uma aber tura e deixem apenas uma pequena moldura de modo que a caixa não desmonte.

1.6 Com um pedaço de papelão, construam uma moldura que se encaixe na câmara. Nela, colem com fita adesiva um pedaço de papel vegetal, formando o anteparo de projeção.

1.7 Agora, testem a câmara escura que vocês construíram, observando objetos na escola.

fig. 7

fig. 4

fig. 5

fig. 6

fig. 2

fig. 3

Câmara escura Folha do aluno 3  /  3

Números e funçõesFolha do aluno

Etapa 2  Exploração com a câmara

Te

To

Do

De

fig. 8

To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio.To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcioTo = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio.

To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcioTo = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio.To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcioTo = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio .

Primeira coleta 2.1 No papel vegetal do anteparo, com régua, façam o

enquadramento que vocês desejam para os objetos que observarão.

2.2 Cortem 10 tiras de cartolina de diferentes tamanhos, variando de 10 cm a 150 cm. Estes serão os objetos que vocês observarão pela câmara escura.

2.3 Fixe To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio e varie To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio até que a imagem observada na câmara seja do mesmo tamanho que To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio.

2.4 Repita o passo 2.3 para cada tira de cartolina. Faça em seu caderno uma tabela com os valores de To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio e To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio obtidos.

Vocês conseguem observar alguma regularidade em relação a To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio e To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio? Se possível, a descrevam.

Segunda coletaUsando as mesmas tiras da primeira coleta, obtenha novos dados da seguinte forma:

2.5 Fixe To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio e varie To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio até que a imagem observada seja do mesmo tamanho que To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio.

2.6 Repita o passo 2.5 para cada tira de cartolina. Faça em seu caderno uma tabela com os valores de To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio e To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio obtidos.

Vocês conseguem observar alguma regularidade em relação a To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio e To = tamanho do objeto Te = tamanho do enquadramento Do = distancia do objeto a caixa De = distancia do anteparo ao orifıcio? Se possível, a descrevam.

fig. 9

fig. 10

Pense e responda

Pense e responda

Defi nição