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Departamento de Fısica - CCE Fısica Experimental
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Experimento A0: Fractais 1. Introdução
A geometria euclidiana éconsiderada uma maneira adequada de descrever o mundo em que vivemos, por exemplo, a distância entre dois pontos, a área ou o volume de um determinado objeto são descritos nesta geometria. No entanto, esta geometria não descreve bem a forma de uma nuvem, de uma montanha e do litoral, por exemplo, porque não são esferas, cones ou arcos, respectivamente. Isto implica dizer que a natureza se apresenta com forma irregulares e portanto, um nova geometria é necessária para descrever tais formas da natureza. Com este problema em mente matemáticos do fim do século XIX e início do século XX propuseram um nova geométrica denominada Fractal. Um floco de neve, por exemplo, é um Fractal. Vejam a Figura 1.
Figura 1 - Fractais que formam os diferentes "flocos de neve".
A palavra Fractal origina-se no Latim Fractus, cujo significado é fragmentado ou fracionado. Além disto, “frac” indica a idéia de fração (parte), e “tal” pode significar total (todo). Fractais são formas geométricas elementares, isso significa que se um fractal for dividido em infinitas partes cada parte será equivalente ao objeto original. Um fractal pode conter infinitos detalhes que são autossimílares. Daí, a ideia de que a parte está no todo e o todo está na parte [1, 2, 3].
Para entender essa nova teoria de medidas, vamos usar o conceito de dimensão fractal, que chamaremos de dimensão topológica d. A dimensão topológica é definida da seguinte maneira [3, 4]:
1. d = 0 significa um ponto;
2. d = 1 significa uma linha;
3. d = 2 significa um plano;
4. d = 3 significa um objeto em 3 dimensões e assim por diante.
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Vejamos alguns exemplos [3, 4]:
• para um fio de cabelo esticado, de densidade uniforme e homogêneo, d = 1;
• para uma argola bem fina de densidade uniforme e homogênea, d = 2;
• para um cubo, de densidade uniforme e homogênea, d = 3;
Outro exemplo é quando você observa uma folha de papel A4 sobre uma mesa, a dimensão d é igual a 2. E se você amassa esta folha tal que ela se assemelhe a uma esfera, agora a dimensão d é igual a 3. Desta forma podemos concluir que a dimensão deve estar relacionada com uma medida. Vamos ver como isso ocorre:
• Para dimensão 𝑑 = 1 se quisermos medir altura de uma pessoa podemos usar uma certa escala que vamos chamar de r, como por exemplo, um lápis (sem ponta) e contar quantos lápis N são necessários para equiparar o tamanho da pessoa. Portanto, a medida M da altura da pessoa será:
(1.1)
usaremos a letra 𝑀 para qualquer tipo de medida. Quanto menor for o tamanho do lápis, mais precisa será a nossa medida.
• Para dimensão 𝑑 = 2 se desejamos medir a área de uma página do livro de física vamos usar nossa escala como sendo quadrados de tamanho 𝑟 cuja área será 𝑟(. Assim, a medida da área da página pode ser expressa como:
(1.2)
Quanto menor for a escala 𝑟, ou seja, quanto menos forem os quadrados usados, mais precisa será nossa medida.
Dessa forma, para a medida em qualquer dimensão vamos usar a Equação (1.3):
(1.3)
em que N é uma constante, 𝑟 é um comprimento característico e d é a sua dimensão.
Nesta experiência, o objetivo é medir a dimensão fractal de diferentes bolinhas de papel amassadas. A proposta é fazer a bolinhas de papel com diferentes massas e relacionar com raio de cada "esfera”.
M = Nr1
M = Nr 2
M = Nrd
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2. Objetivos • Medir a dimensão fractal de um objeto auto-similar;
• Dominar técnicas para aquisição analógica e digital de medidas de comprimento;
• Análise quantitativa de dados: cálculo de erros, representação gráfica e regressão linear;
• Análise crítica do fenômeno apresentado e elaboração de relatório técnico. .
3. Material Utilizado • Folha de papel A4;
• Tesoura;
• Paquímetro;
• Papel milimetrado.
4. Procedimento 1. Divida uma folha de papel A4 em dois pedaços iguais Figure 2
2. Com um dos pedaços faça uma bolinha de forma que fique o mais próximo possível de uma esfera;
3. Divida o outro pedaço em duas partes iguais e com um dos pedaços faça uma bolinha novamente.
4. Divida novamente o pedaço que restou em duas partes iguais e com uma das partes faça a bolinha de papel;
5. Continue até obter 6 bolinhas de tamanhos diferentes. A menor bolinha chame de 1, a segunda menor de 2, e assim por diante;
6. Meça a massa de cada bolinha em uma balança digital e anote na tabela 1;
7. Com o paquímetro, meça o diâmetro D de cada bolinha e registre na tabela 1.
Figure 2 - Procedimento experimental. a) papeis divididos; b) esferas
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5. Análise dos dados e discussão 1. Queremos com este experimento, obter o valor da dimensão d para as bolinhas construídas. Para
isso, vamos usar a fórmula definida pela equação (1.3):
2. Vejam que esta fórmula não é linear, ou seja, a dimensão d é a uma potência. Para linearizar esta equação, vamos tomar o logaritmo natural em ambos os lados da equação, da forma:
(1.4)
Veja que agora temos uma equação linear. Esta equação é equivalente a uma equação da reta:
(1.5)
em que 𝑏 = 𝑙𝑛(𝑁) é o coeficiente linear e 𝑎 = 𝑑 é o coeficiente angular.
3. Complete a tabela 2.
4. Faça o gráfico em papel milimetrado. O eixo x será a coluna do diâmetro, ou seja, ln(𝑟) e o eixo y será a coluna da massa, ou seja, ln(𝑀) .
5. Faça a regressão linear e obtenha o valor dos coeficientes linear e angular. Análise Gráfica!
6. O coeficiente angular será o valor da dimensão fractal.
7. Compare o valor que você obteve com o valor obtido na referência [1] 𝑑 = (2, 5 ± 0, 2).
8. Que outros objetos da natureza compartilham as mesmas características observadas em uma bola de papel?
9. Qual deve ser o valor estimado da dimensão fractal do pulmão, do cérebro, do intestino? E de uma árvore? E do universo?
6. Referências Bibliográfica
1. Amaku, M., Morales, M., Horodynski-Matsushigue, L. B. et al., Fractais no Laboratório Didático. Rev. Bras. Ens. Fis., Dec. 2001, vol.23, no.4, p.422.
2. Atman, Allbens, Apostila de Física Experimental I, Departamento de Física e matemática, Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais.
3. Assis, T. A., Miranda, J. G. V., Mota, F. B., Andrade, R. F. S., Castilho, C. M. C., Geometria fractal: propriedades e características de fractais ideais. Rev. Bras. Ens. Fis., 2008, vol.30, no.2, p.2304.
4. Assafrão, D., Passos, C. A. C., Laboratório de Física Moderna, Capítulo 7, UAB, Neaad, UFES (2012)
5. Apostila de Laboratório de Física Experimental I: Roteiros de Experiências, Instituto de Física, Universidade Federal Fluminense.
ln(M ) = ln(N )+ d.ln(r)
y = a.x + b
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Experimento A0: Fractais Experimento Professor:______________________________________________________ Data: ___/___/___ Alunos:________________________, ___________________________, ________________________
Tabela 1 - Valores do diâmetro D de cada esfera e sua respectiva massa M.
Esfera Massa
(g)
(±_______)𝑔
D1 (mm)
D2 (mm)
D3 (mm)
D4 (mm)
D5 (mm)
1
2
3
4
5
6
Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 30, n. 2, 2304 (2008)www.sbfisica.org.br
Geometria fractal: propriedades e caracterısticas de fractais ideais(Fractal geometry: properties and features of ideal fractals)
Thiago Albuquerque de Assis1, Jose Garcia Vivas Miranda2, Fernando de Brito Mota2,Roberto Fernandes Silva Andrade2 e Caio Mario Castro de Castilho2
1Grupo de Sistemas Complejos, Departamento de Fısica y Mecanica ETSI Agronomos,Universidad Politecnica de Madrid, Madrid, Espana
2Instituto de Fısica, Universidade Federal da Bahia, Salvador, BA, BrasilRecebido em 27/9/2007; Revisado em 27/12/2007; Aceito em 31/1/2008; Publicado em 21/7/2008
Descobertas recentes revelam que modelos matematicos euclidianos, de ha muito estabelecidos e que pro-curam reproduzir a geometria da natureza, as vezes se apresentam incompletos e, em determinadas situacoes,inadequados. Especificamente, muitas das formas encontradas na natureza nao sao cırculos, triangulos, esferas,icosaedros ou retangulos. Enfim, nao sao simples curvas, superfıcies ou solidos, conforme definidos na geome-tria classica de Euclides (300 a.C), cujos teoremas possuem lugar de destaque nos textos de geometria. Nestetrabalho apresenta-se uma breve e elementar, mas que busca ser consistente, discussao sobre algumas definicoese aplicacoes relacionadas a geometria fractal, em particular fractais ideais. Caracterizaremos alguns fractaisauto-similares que, por sua importancia historica ou riqueza de caracterısticas, constituem exemplos ilustrativos“classicos” de propriedades de fractais, propriedades estas que muitas vezes aparecem dispersas numa literaturamais especializada. Mostra-se, por construcao, que suas medidas de comprimento, area e volume, nas dimensoeseuclidianas usuais, dao margem a resultados contraditorios. Estes podem ser explicados pelo fato de que taisobjetos so podem ser adequadamente mensurados em espacos de dimensao fracionaria.Palavras-chave: fractais, auto-similaridade, dimensao fractal.
Recent discoveries reveal that mathematical models, established a long time ago and searching to reproducethe nature’s geometry, sometimes result being incomplete and even inadequate in some situations. Specifically,many of the forms found in the nature are not circles, triangles, spheres, icosahedrons or rectangles. Finally,they are not simple curves, surfaces or solids, as defined in the classical geometry of Euclides (300 b.C), whosetheorems possesses a prominent place in the geometry texts. In this work a brief and elementary, althoughintended to be consistent, discussion about some definitions and applications related to the fractal geometry ispresented. It is also presented properties of some fractals that, for its historical importance or wealth of cha-racteristics, constitute “classical” illustrative examples of the fractals properties which, despite this, many timesappear dispersed in the specialized literature. It is shown, by construction, that the measures of length, areaand volume for these objects, within the usual Euclidean dimensions, lead to contradictory results. This can beexplained by considering that these objects can be adequately measured using spaces of fractional dimensions.Keywords: fractals, self-similarity, fractal dimension.
1. Introducao
O emprego do termo fractal pode ser temporalmentelocalizado no ano de 1975, quando Benoit Mandelbrotpela primeira vez dele fez uso. Quando, na iminenciada completude da sua primeira grande obra sobre oassunto [1], Benoit Mandelbrot sentiu a necessidade deencontrar um nome para descrever a geometria com quebuscava representar as reais formas da natureza. Umaconsulta a um dicionario de latim resultou no encon-tro do adjetivo fractus, do verbo frangere, que significaquebrar.1 Foi assim criada a palavra fractal. A partir
deste trabalho de Mandelbrot, questoes relativas a simi-litude entre uma figura e a sua ampliacao comecaram aaparecer, cada vez com maior frequencia, na literaturacientıfica.
Tecnicamente, um fractal e um objeto que apresentainvariancia na sua forma a medida em que a escala, soba qual o mesmo e analisado, e alterada, mantendo-sea sua estrutura identica a original. Isto nao e o queocorre, por exemplo, com uma circunferencia, que pa-rece reduzir a sua curvatura a medida em que amplia-mos uma das suas partes.
2E-mail: [email protected].
1No Portugues arcaico, franger significa fazer em pedacos; quebrar, destrocar, frangir.
2304-2 Miranda et al.
As principais propriedades que caracterizam os frac-tais sao a auto-semelhanca, a complexidade infinitae a sua dimensao. A auto-semelhanca e identificadaquando uma porcao, de uma figura ou de um contorno,pode ser vista como uma replica do todo, numa es-cala menor. Esta caracterıstica pode ser melhor en-tendida a partir do exame da Fig. 1. A complexi-dade infinita refere-se ao fato de que o processo degeracao de uma figura, definida como sendo um frac-tal, e recursivo. Isto significa que, quando se executaum determinado procedimento, no decorrer da mesmaencontra-se como sub-procedimento o proprio procedi-mento anteriormente executado. Vale salientar que, nocaso da construcao iterativa de um fractal matematica-mente definido, dispoe-se de um numero infinito de pro-
cedimentos a serem executados, gerando-se assim umaestrutura infinitamente complexa (ver Fig. 1). Final-mente, a dimensao de um fractal, ao contrario do queocorre na Geometria Euclidiana, nao e necessariamenteum valor inteiro. Nela, um ponto possui dimensao zero,uma linha possui dimensao um, uma superfıcie possuidimensao dois e um volume possui dimensao tres. Nocaso da dimensao fractal, ela e uma quantidade fra-cionaria, representando o grau de ocupacao da estru-tura no espaco que a contem. Como exemplos, pode-secitar a dimensao fractal da bacia fluvial do rio Ama-zonas que e 1.85 [2], dos relampagos no espaco tridi-mensional, 1.51 [3], dos angiogramas dos rins, 1.61 [4],dentre outros (ver Fig. 2).
c
Figura 1 - Exemplo de uma estrutura fractal construıda iterativamente retratando a caracterıstica de auto-semelhanca. A contrucaodesta estrutura inicia-se com uma fita com um dado comprimento e provida de uma certa largura. A metade superior e substituıda pordois galhos com metade tanto de comprimento como de largura, com os “galhos” formando sempre um mesmo angulo. Este processocontinua ate que um fractal na forma de uma arvore e gerado. Para infinitas iteracoes, verifica-se a complexidade infinita da estrutura.
Figura 2 - (a) Bacia do rio Amazonas obtida pelo radar de altimetria ERS-1, com dimensao fractal 1.85 (www.esa.int). (b) Tempestadeno Capitolio, com raios cuja dimensao fractal e 1.51. (c) Sistema arterial dos rins com dimensao fractal 1.61 (Origem: Gray’s Anatomy,35a ed. p. 1327.)
Geometria fractal: propriedades e caracterısticas de fractais ideais 2304-3
O conceito de dimensao fractal vem atualmentesendo aplicado e calculado para linhas, figuras ou su-perfıcies em diversos campos. Na medicina, por exem-plo, como metodo de diagnostico quantitativo de pa-tologias. Um dos campos onde este procedimento emais desenvolvido e o diagnostico do cancer, atravesda analise de imagens de tumores. As evidencias ex-perimentais sugerem que tumores de cancer apresen-tam uma fronteira com dimensao fractal superior asque ocorrem em agregados de tecidos normais. Umexemplo, nesta linha de investigacao, e o da deteccao denucleos atıpicos [5] (ver Fig. 3 (a)). Na tecnologia defabricacao de antenas, o conceito de dimensao fractaltambem ganha importancia. A resposta das antenas
fractais difere acentuadamente das tradicionais, umavez que sao capazes de funcionar de forma otimizada,simultaneamente em varias frequencias. Esta carac-terıstica faz das antenas fractais uma excelente alter-nativa para aplicacoes de recepcao de banda larga (verFig. 3 (b)). Pode-se tambem verificar aplicacoes nasmais diversas areas da ciencia, listando-se aplicacoes naMinerologia [6], com o objetivo de medir a densidadedos minerais, a evolucao dos terrenos e a descontinui-dade das rochas; na Biologia para a analise da rugo-sidade dos fungos [7] e de corais [8]; na industria coma deteccao automatica de falhas em produtos texteis[9]; no solo [10], na chuva [11], na economia [12], naecologia [13]. c
Figura 3 - (a) Imagens digitalizadas do epitelio cervical destacando a presenca de um nucleo atıpico (http://tph.tuwien.ac.at/∼svozil/publ/1999-fa-jfulltext.pdf). (b) Antenas fractais como modelos utilizados nos telemoveis.
d
O objetivo deste trabalho e apresentar, de maneirarigorosa, o calculo da dimensao fractal de conjuntos de-finidos por leis de construcao recorrentes, que levam afiguras auto-similares em todas as escalas. Este proce-dimento, conquanto nao possa ser usado para a analisede objetos reais, e relevante por servir de base para aintroducao e determinacao quantitativa da geometriafractal.
2. Alguns aspectos a respeito da geome-tria fractal
O termo fractal aplica-se, em geral, a construcoes di-versas, tanto nas ditas formas abstratas como nas for-mas inerentes a natureza, que sao objeto de estudo daFısica, enquanto forma e leis de formacao e de escala.A discussao a respeito da geometria fractal requer umaanalise sobre os tipos de fractais que existem, bem comodas caracterısticas matematicas que os definem, comocomprimentos, areas e as correspondentes dimensoesfractais.
Uma caracterıstica associada aos fractais geradospor sistemas de funcoes iterativas e a auto-similaridadeexata, ou seja, a variacao do comprimento de escala,sob a qual o fractal e analisado, o que leva sucessiva-mente a configuracoes identicas a configuracao inicial.Existem, contudo, fractais que sao igualmente formadospor minicopias, mas estas sao anisotropicas, ou seja,nao sao mantidas fixas as proporcoes originais em to-das as direcoes. Ao se passar de uma escala para ou-tra, observa-se que o tamanho destas copias nao variauniformemente em todas as direcoes do espaco. Nestecaso, os fractais sao chamados de auto-afins. Comoexemplo destes fractais aproximados, encontrados nanatureza, tem-se as celulas tumorais pertencentes aevolucao do cancer. Estudos feitos nesta area afirmam,que na transicao de um tumor benigno para um ma-ligno, a interface tumor/tecido sadio torna-se irregularcom uma estatıstica que caracteriza a auto-afinidade [5](ver Fig. 3 (a)). Outros exemplos de configuracoes auto-afins podem ser verificados no estudo de series tempo-rais rugosas [14], precipitacoes [11], atividades financei-ras [12], entre outras areas de investigacao.
2304-4 Miranda et al.
2.1. Fractais determinısticos ou auto-similares
Neste texto abordaremos as estruturas com geometriafractal que, por apresentarem uma auto-similaridadeexata, sao denominadas de fractais determinısticos.Por auto-similaridade exata entende-se a invariancia daestrutura apos uma transformacao isotropica, i.e., quese da com a mesma intensidade em todas as direcoes.Se tomarmos um objeto S, constituıdo por um con-junto de pontos R = {x1, x2, x3, ...}, a aplicacao deuma tranformacao auto-similar com um fator de es-cala b, muda as coordenadas dos pontos para bR ={bx1, bx2, bx3, ...}. Logo, o conjunto S, formado pelospontos de coordenadas R, e auto-similar se este resultainvariante apos a referida transformacao. Para exempli-ficar, considere-se um fractal denominado de triangulode Sierpinski, como mostrado na Fig. 4(a). Sua cons-trucao basica comeca com um triangulo equilatero, to-talmente preenchido. Inicialmente toma-se os pontosmedios dos tres lados que, juntamente com os verticesdo triangulo original, formam quatro triangulos con-
gruentes. Em seguida, retira-se o triangulo central,concluindo-se assim a primeira etapa do processo basicode construcao. Esta retirada resulta em tres trianguloscongruentes, cujos lados medem metade do lado dotriangulo original. Repete-se, com cada um destestres triangulos, o procedimento anteriormente descrito.Com os triangulos resultantes repete-se o mesmo proce-dimento. Desta maneira, comecando-se com um unicotriangulo, geram-se, sequencialmente, 3, 9, 27, 81, ...triangulos, correspondentes aos nıveis 1, 2, 3 e 4 respec-tivamente, representados na Fig. 4(b). Esta mesma leide formacao e sucessivamente aplicada, de modo quesua estrutura com forma triangular e constituıda portriangulos sequencialmente menores que sao copias per-feitas da forma inicial da figura. Assim, ao ampliar-se(“zoom”) uma parte qualquer, ter-se-a algo identico afigura como um todo (ver Fig. 4(a)). No limite deinfinitas aplicacoes deste procedimento obtem-se umafigura fractal auto-similar exata, ou simplesmente de-nominada de auto-similar.
c
Figura 4 - (a) O triangulo ADE, com todo seu conteudo, e uma reducao exata do triangulo ABC. O mesmo se pode dizer com relacaoaos triangulos CDF e de BEF. (b) Os cinco primeiros nıveis de construcao do Triangulo de Sierpinski.
d
2.2. A Dimensao Fractal
A dimensao euclidiana, e um conceito classico, restandoporem considerar importante ou pelo menos conveni-ente repeti-lo aqui. Tal dimensao, representa o numerode coordenadas necessarias para descrever uma formaeuclidiana. Por exemplo, uma coordenada (chamadacomprimento) descreve uma linha. Duas coordenadas(comprimento e largura) sao necessarias para descreverum plano e tres coordenadas (comprimento, altura elargura) descrevem um volume. E simples entao perce-ber, que desse ponto de vista um ponto tem dimensaozero. Usualmente, a dimensao euclidiana esta asso-ciada a eixos perpendiculares, especificando portanto
em uma, duas ou tres dimensoes algum ponto per-tencente a uma linha, area ou volume respectivamente.Por inducao, pode-se ampliar o raciocınio, sucessiva-mente, ate n dimensoes, ainda que reste sensorialmenteimpossıvel perceber alem da terceira dimensao. Valesalientar que as dimensoes associadas a geometria eucli-diana sao sempre numeros inteiros.
Considere-se, por exemplo, a curva de Koch, con-forme mostrada na Fig. 5. A construcao se da a partirde um segmento de reta que, em seguida, e divididoem tres segmentos iguais. Depois disto, substitui-se oterco medio por um triangulo equilatero retirando-lhe abase. O processo iterativo consiste em aplicar a mesmaregra a cada um dos segmentos de reta que resultam
Geometria fractal: propriedades e caracterısticas de fractais ideais 2304-5
da iteracao imediatamente anterior. Considerando-secada passo nota-se que, de um nıvel para a seguinte,substituem-se tres segmentos por quatro de igual com-primento, ou seja, o comprimento total e multiplicadopor 4/3 correlacionando-se nıveis sucessivos. O limitede uma sucessao geometrica de razao 4/3 e infinito, oque significa que a figura final, i.e., aquela para a qualtende a sucessao descrita, tera um comprimento infi-nito. Este limite foi denominado por Mandelbrot como“infinito interno”. Portanto, no n-esimo nıvel, o com-primento da curva de Koch sera dado por
Sn = Sn−1 +Sn
3= (
43)n. (1)
Assim, no limite de um numero infinito de nıveis,tem-se o seguinte resultado
limn→∞
Sn = ∞. (2)
Figura 5 - Os quatro primeiros nıveis para a construcao da Curvade Koch e seus correspondentes comprimentos.
Uma curva deste tipo, devido a sua complexidadeinfinita, contem um numero de infinitas “dobras” que,se ampliadas, continuam aparecendo indefinidamente.Devido a este infinito detalhamento, esta curva “ocupamais espaco” que uma linha convencional, possuindo as-sim uma dimensao fractal maior que 1.0, sem chegar, noentanto, a ocupar o espaco de uma faixa que a contem(dimensao 2.0). Desta maneira, conceito de dimensaofractal, D, esta intimamente relacionado com a estrutu-ra de ocupacao do espaco da figura. Para tal se fazemnecessarias duas definicoes anteriores de dimensao: adimensao topologica e a dimensao de imersao. A di-mensao topologica Dt pode ser definida iterativamentea partir da definicao da dimensao topologica de umponto como sendo zero. A dimensao topologica de ou-tros objetos e dada pelo valor de Dt do elemento queo torna desconexo [15] mais 1. Para uma curva, umponto e suficiente para torna-la desconexa de forma queo correspondente valor de Dt sera 0 + 1 = 1. Parao plano, uma curva o torna desconexo, o que leva a1 + 1 = 2 e para um volume, uma vez que uma su-perfıcie o torna desconexo, 2 + 1 = 3. Vale observar
que os valores numericos das dimensoes topologica eeuclidiana, sao usualmente coincidentes, apesar de se-rem dimensoes distintas no que diz respeito a maneirapela qual sao definidas. A dimensao de imersao, Di,como sugere o nome, representa a dimensao na qual oobjeto esta imerso. Como ilustracao, pode-se usar comoexemplo as letras deste texto. Estas tem dimensao to-pologica 1, contudo estao imersas no espaco da folhado papel, ou tela do computador, o que implica em quesua dimensao de imersao seja 2.
A dimensao fractal, D, ou de medida, tem comoconceito basico a nocao intuitiva de preenchimento doespaco. Em razao disto, existe a necessidade de se esta-belecer uma definicao do que e um fractal e que atendaa todas as especies de construcao. Para Mandelbrot[1], “Um dado conjunto A constitui um fractal se, emA, Di > D > Dt, sendo D a dimensao fractal e Dt a di-mensao topologica do conjunto A”. Kenneth Falconer[15] propoe uma definicao menos rigorosa em termos dascaracterısticas dos fractais. Uma destas caracterısticasseria a complexidade infinita, ou seja, o fato que suces-sivas ampliacoes de um fractal levam, indefinidamente,a mais detalhes como ja discutido.
A dimensao fractal de um conjunto, parte-se da de-finicao de espaco metrico Rn. Na reta definimos umintervalo como um segmento de reta, enquanto queno Rn o intervalo e definido como uma esfera de raioε, centrada em xi. Esta esfera sera representada porB(xi, ε), sendo entao uma bola aberta definida comoB(xi, ε) = {yi ∈ Rn/d(xi, yi) < ε}, onde d(xi, yi) e a
metrica do espaco Rn que pode ser expressa por
d(xi, yi) =
√√√√n∑
i=1
(xi − yi)2, (3)
onde xi = (x1, x2, ..., xn) e yi = (y1, y2, ..., yn), esatisfaz os seguintes axiomas
(i) d(xi, yi) ≥ 0 ∀ xi, yi ∈ Rn, e d(xi, yi) = 0 ⇔xi = yi
(ii) d(xi, yi) = d(yi, xi) ∀ xi, yi ∈ Rn
(iii) d(xi, zi) ≤ d(xi, yi) + d(yi, zi) ∀ xi, yi, zi ∈ Rn
Ja uma bola fechada e definida como: B(xi, ε) ={yi ∈ Rn/d(xi, yi) ≤ ε}. Representa-se o menornumero de bolas fechadas de raio ε necessario para seter uma cobertura A, com A ⊂ Rn e ε > 0, por N(A, ε).
Um conjunto A, tera caracterısticas fractais se [16]
N(A, ε) ∼= Cε−D, (4)
sendo C uma constante positiva.Daı segue-se que
N(A, ε)C
∼=(
1ε
)D
. (5)
2304-6 Miranda et al.
Calculando-se o logaritmo neperiano dos dois mem-bros da relacao 5, tem-se
ln(N(A, ε)
C) ∼= ln
(1ε
)D
, (6)
e, portanto
D ∼= ln(N(A, ε)− ln(C)ln(1
ε ). (7)
Como ln(C)/ln( 1ε ) tende a 0 a medida em que ε → 0,
segue-se que a dimensao fractal de um conjunto podeser definida pela seguinte expressao
D = limε→0
[ln(N(A, ε))
ln( 1ε )
]. (8)
2.3. Propriedades de alguns fractais auto-similares
Entre a segunda metade do seculo XIX e a primeirametade do seculo XX, foram propostos varios objetosmatematicos com caracterısticas especiais que foram,durante muito tempo, considerados como “monstrosmatematicos”, uma vez que desafiavam as nocoes co-muns de infinito e para os quais nao havia uma ex-plicacao objetiva. Uma vez que os fractais exibem,como propriedade, a infinita complexidade, as medidasclassicas de comprimento, area ou de volume perdemo sentido intuitivo. Descrevemos neste trabalho algu-mas propriedades classicas associadas a alguns fractaisauto-similares que confirmam tal hipotese.
2.3.1. Conjunto de Cantor
Cantor (1845-1918), que se destacou por apresentarideias altamente inovadoras sobre o conceito de infi-nito, propos a construcao de um objeto que resultouchamar-se de conjunto de Cantor [18]. A construccaogeometrica do conjunto de Cantor recebe, por vezes,o nome de “Poeira de Cantor”. Para sua construcao,inicia-se com um segmento de reta de comprimentounitario. Divide-se este segmento em 3 partes iguais,retirando-se o seu terco medio. Essa e a primeira etapa,ou primeiro nıvel, da construcao. Na segunda etapa,retira-se o terco medio de cada um dos dois segmen-tos restantes da primeira etapa. As porcoes restantessao novamente divididas e delas sao retirados os tercosmedios, procedendo-se sucessivamente do mesmo modo.O processo e repetido fazendo-se o numero de etapas,ou nıveis, N , tender a um numero infinitamente grande.A figura obtida quando N → ∞ e o conjunto de Can-tor. Algumas etapas da sua construcao sao mostradasna Fig. 6.
Figura 6 - Cinco primeiros nıveis de construcao do Conjuntode Cantor. A dimensao fractal do Conjunto de Cantor eD = log(2)/log(3) ' 0.630.
E interessante analisar o que acontece com o numerode segmentos, nN , com o comprimento de cada seg-mento, cN , bem como com o comprimento total doconjunto, CtN , em cada geracao N de sua construcao.Entende-se por comprimento total a soma dos compri-mentos dos segmentos de um conjunto. No nıvel inicial,ou seja, para N = 0, tem-se um segmento de modo quen0 = 1. No nıvel 1, tem-se 2 segmentos. No nıvel 2sao quatro segmentos, enquanto na geracao 3 sao oitosegmentos. Deste modo, decorre imediatamente destaconstrucao, que no n-esimo nıvel, o numero de segmen-tos e 2N , ou seja
nN = 2. (9)
No Conjunto de Cantor, isto e, para N→∞, tem-se
limN→∞
2N = ∞, (10)
ou seja, nesta estrutura, o numero de segmentos tendeao infinito.
Uma caracterıstica, aparentemente paradoxal coma afirmacao anterior, pode ser verificada ao se analisaro comprimento total do conjunto de Cantor, CtN . Paraisso, e necessario primeiramente analisar o comprimentode cada segmento, cN , que compoe o Conjunto de Can-tor no correspondente nıvel. No primeiro nıvel, N = 0,o comprimento do segmento e cN=1; no segundo nıvelcN = 1/3; no terceiro nıvel cN = 1/9. Entao, no n-esimo nıvel, o comprimento de cada segmento e ex-presso por
cN =(
13
)N
. (11)
Portanto tem-se que, no limite para infinitos nıveis
limN→∞
cN = limN→∞
(13
)N
= 0. (12)
Desta maneira, o comprimento de cada segmentotende a zero. Por isso, o resultado do conjunto de Can-tor e uma serie de pontos “pulverizados”; daı a deno-minacao de “Poeira de Cantor”.
Para se analisar o comprimento total CtN do con-junto de Cantor, basta que se multiplique o numero desegmentos pelo comprimento de cada um deles. Logo
Geometria fractal: propriedades e caracterısticas de fractais ideais 2304-7
CtN =(
23
)N
. (13)
Quando o numero de geracoes tende a infinito, tem-se
limN→∞
CtN = limN→∞
(23
)N
= 0. (14)
Portanto, o comprimento do Conjunto de Cantortende a 0. Observam-se pois caracterısticas do con-junto de Cantor que sao paradoxais. Ao mesmo tempoem que o numero de segmentos de que e composto oconjunto tende a infinito, conclui-se que o conjunto desegmentos possui um comprimento total nulo. As cons-trucoes matematicas que encerram tais contradicoes saocomumente chamadas de “Monstros Matematicos” ouainda de “Casos Patologicos”.
E natural entao que se conclua que o Conjunto deCantor possui uma dimensao que se situe entre 0 e 1.Com efeito, para este resultado basta considerar o con-junto de bolas unidimensionais como sendo formado,em cada nıvel, por segmentos de reta de comprimentoε = (1/3)N e que para cobrir a estrutura, necessita-sede N(A, ε) = 2N segmentos. E claro que ε → 0 quandoN → ∞. Assim, para esta configuracao auto-similar,utilizando-se a expressao 7, tem-se D = log(2)/log(3)= 0.630...
2.3.2. Ilha de Koch
Nesta secao e discutido um dos processos de formacaodo que se denomina de Ilha de Koch. No caso, parte-se de uma linha fechada, denotada de “ilha”, que temcomo geracao inicial a forma de um triangulo equilatero.O processo de construcao se inicia substituindo o tercocentral de cada um dos lados, supostos cada um de com-primento unitario, por outros dois segmentos com com-primentos de 1/3, formando-se uma estrutura triangu-lar, sem a base que justamente corresponderia a porcaoremovida, como ja explicado na secao 2.2. Obtem-seentao uma estrutura com comprimento total de 4 uni-dades (tres conjuntos de quatro partes cada um, cadaparte com comprimento 1/3). O processo e repetidopara cada um dos doze segmentos, sucessivamente, ateque para infinitos nıveis tem-se a estrutura chamada deIlha de Koch (ver Fig. 7).
Primeiramente procede-se a uma analise de como aarea, limitada pelos segmentos que constituem a figura,muda no processo iterativo. No nıvel inicial, N = 0,tem-se um triangulo equilatero de lado l, cuja area S0
e dada por
S0 =l2√
34
. (15)
Para o segundo nıvel, ou seja, para N = 1, acres-centa-se a area do triangulo original, 3 triangulos delado l/3. Assim, a area S1 da ilha sera
Figura 7 - Os quatro primeiros nıveis da ilha de Koch triangular.
A dimensao fractal da Ilha de Koch e D =log(4)log(3)
' 1.26.
S1 = S0 + 3(
l
3
)2 √34
. (16)
Para o terceiro nıvel, ou seja, para N = 2,acrescenta-se a area da estrutura resultante para N = 1,12 triangulos de lado l/9. Assim, a area S2 sera dadapor
S2 = S0 + 3(
l
3
)2 √34
+ 12(
l
9
)2 √34
. (17)
Logo, para o n-esimo nıvel, tem-se
SN = S0 + 3l2√
34
N∑
i=1
4i−1
(13
)2i
. (18)
A Eq. (18) pode ser reescrita como
SN = S0 + l2.
√3
12
N∑
i=1
(49
)i−1
. (19)
Fazendo N → ∞, tem-se que o somatorio da Eq. (19)e uma serie geometrica de razao q = 4/9, de modo quetem-se
∞∑
i=1
(49
)i−1
=95. (20)
Portanto, tomando-se o limite da area SN para infinitosnıveis, tem-se
limN→∞
SN =25
√3l2. (21)
A expressao para o perımetro da Ilha de Koch podeser facilmente determinada, a partir da analise feitana secao 2.2. Como cada lado do triangulo equilatero(N = 0), corresponde a um segmento gerador da Curva
2304-8 Miranda et al.
de Koch, entao o perımetro da construcao da Ilha deKoch para o n-esimo nıvel, TN , e dado por
TN = 3(43)N . (22)
Estes resultados mostram que a area, delimitada poruma linha de comprimento infinito, de acordo com oprocesso de construcao exposto nesta secao, e finita.A dimensao fractal da ilha de Koch e determinada demodo que, para o nıvel N , o numero de segmentos decomprimento (1/3)N que recobrem a correspondentecurva, e dado por 4N . Portanto, obtem-se, a partirda expressao 7, o valor D = log(4)/log(3) = 1.26...
2.3.3. Gaxeta de Sierpinski
Nesta secao sera discutido o processo de construcaoda Gaxeta de Sierpinski, tambem conhecida comoTriangulo de Sierpinski. Sao apresentadas algumas ca-racterısticas geometricas do mesmo, como o calculo daarea obtida para diferentes nıveis e o calculo do com-primento resultante para infinitos nıveis no processode construcao. Um processo simples de construcaodo Triangulo de Sierpinski se inicia a partir de umtriangulo equilatero totalmente preenchido (nıvel ini-cial, N = 0). Posteriormente determinam-se os pontosmedios de cada um dos tres segmentos que delimitamo triangulo inicial, de modo que, ligando-se estes trespontos medios, obtem-se quatro triangulos onde cadalado corresponde a metade do lado do triangulo ini-cial. Ao retirar-se o triangulo central tem-se a segundaconfiguracao correspondente a N = 1, concluindo-seportanto o processo basico de construcao. O processoe repetido com cada um dos tres triangulos restantes(Ver Fig. 4(b)), e sucessivamente com cada trianguloequilatero formado na sequencia.
Para a determinacao da area do Triangulo deSierpinski, considera-se inicialmente um trianguloequilatero de lado l, cuja area, S0, e dada por
S0 =l2√
34
. (23)
Em cada passo N , subtrai-se a area de nN trianguloscom lados lN . Tem-se entao que n1 = 1, n2 = 3, n3 = 9,..., nN = 3N−1. Os lados lN , sao obtidos pela reducaodos lados do triangulo original por um fator 1/2, ouseja
lN =(
12
)N
l. (24)
Desse modo, a area S1 sera expressa por
S1 = S0 −(
l
2
)2 √34
. (25)
A area S2 sera dada por
S2 = S0 −(
l
2
)2 √34− 3
(l
4
)2 √34
. (26)
Para N = 3, ter-se-a
S3 = S0 −(
l
2
)2 √34− 3
(l
4
)2 √34−
32
(l
8
)2 √34
. (27)
Multiplicando e dividindo o segundo membro daEq. (27) por 3, a mesma pode ser simplificada a se-guinte forma
S3 = S0 − l2√
312
3∑
N=1
(34
)N
. (28)
Portanto, para N →∞ obtem-se
SN = S0 − l2√
312
∞∑
N=1
(34
)N
= 0. (29)
E interessante discutir o perımetro de cada um dostriangulos obtidos em cada nıvel da construcao para secalcular a soma do perımetro dos 3N triangulos no nıvelN . Esta analise permite calcular a soma dos perıme-tros dos triangulos da figura como um todo. Analoga-mente ao que foi feito para determinacao do numerode triangulos, nN , determina-se o perımetro de cadatriangulo para um determinado nıvel. Para N = 0,tem-se o perımetro do triangulo original de lado l, ouseja, T0 = 3l. Para N = 1, o lado de cada triangulogerado sera l/2, o que resulta em um perımetro 3l/2.Para N = 2 o lado de cada triangulo gerado sera l/4, oque resulta em um perımetro 3l/4, para cada triangulo.Portanto, para o nıvel N , tem-se que o perımetro decada triangulo, TN , resulta em
TN =3l
2N. (30)
Como o numero adicional de triangulos removidosdo nıvel N e 3N , a soma PN dos perımetros dos trian-gulos no nıvel N e dada por
PN = 3(
32
)N
l. (31)
Para o Triangulo de Sierpinski, quando N → ∞,tem-se
limN→∞
PN = ∞. (32)
Logo, o perımetro aumenta indefinidamente a medidaque aumentamos o numero de nıveis na construcao doTriangulo de Sierpinski. Isto leva a uma conclusaoaparentemente paradoxal: a area total de todos ostriangulos tende para zero enquanto que o perımetro
Geometria fractal: propriedades e caracterısticas de fractais ideais 2304-9
da estrutura formada, aumenta indefinidamente. A di-mensao fractal deste fractal pode ser determinada senotarmos que tal estrutura e formada por tres copiasde si mesma, cada uma reduzida por um fator de 1/2.Assim, a partir da expressao 7, substituindo as bolas deraio ε por triangulos equilateros de lado l/2N , chega-seportanto a expressao D = log(3)/log(2) = 1.58... Esteresultado indica, portanto, que a gaxeta de Sierpinskiso pode ser adequadamente medida em um espaco cujadimensao e determinada pela sua dimensao fractal Df .
2.3.4. Esponja de Menger
A construcao da Esponja de Menger e baseadano mesmo princıpio utilizado para a construcao doTriangulo de Sierpinski. Contudo, o processo iterativoe feito com um cubo, estendendo-se portanto a umasituacao tri-dimensional (ver Fig. 8).
Figura 8 - Figura mostrando a esponja de Menger, uma redeaparentemente solida com uma area de superfıcie infinita evolume nulo. A dimensao fractal da Esponja de Menger eD = log(20)/log(3) ' 2.72.
O processo de construcao se da de tal forma que,para N = 0, tem-se um cubo macico de lado l e comvolume V0 = l3. Para N = 1, o cubo e dividido em 27cubos menores e iguais, cada um com uma aresta iguala l/3. Remove-se o cubo central, bem como os seis cu-bos situados no meio de cada face do cubo maior. Esteprocesso e repetido sequencialmente com todos os cubosrestantes, dividindo cada um em 27 outros com 1/3 daaresta do cubo imediatamente anterior. Similarmente,remove-se o cubo central e cada cubo na porcao centraldas faces. No segundo nıvel, ou seja, N = 1, o volumeda esponja, V1, sera dado por
V1 = V0 − 7(
l
3
)3
. (33)
No terceiro nıvel, ou seja, N = 2, cada um dos 20cubos restantes sao divididos em mais 27 cubos iguais,dos quais 7 sao retirados, cada um com volume (l/9)3.Deste modo, o volume da esponja, V2, sera dado pelaexpressao
V2 = V0 − 7(
l
3
)3
− 7(
l
9
)3
20. (34)
A Eq. (34) pode simplesmente ser reescrita na forma
V2 = V0 − 7l32∑
N=1
(13
)3N
20N−1. (35)
Portanto, para o n-esimo nıvel, fazendo N→∞, ovolume da esponja sera dado por
VN = V0 − 7l3∞∑
N=1
(13
)3N
20N−1 = 0. (36)
Logo, observa-se que o volume da Esponja de Men-ger tende a zero, quando o numero de nıveis tende ainfinito. Para determinacao da area da superfıcie destaestrutura fractal, SN , tem-se que para N = 0, S0 = 6l2.Para N = 1 tem-se
S1 = S0 + 6l2(
13
)2
20. (37)
Portanto, para o n-esimo nıvel, com N→∞, a areada superfıcie associada a esponja sera dada por
SN = S0 + 6l2∞∑
N=1
(13
)2N
20N = ∞. (38)
Conclui-se entao, que a Esponja de Menger possuivolume nulo e uma area infinita na medida em que onumero de nıveis tende a infinito. Neste caso o calculoda dimensao fractal, pelo mesmo metodo usado ante-riormente, leva a D = (log 20)/(log 3) = 2,726...
3. Consideracoes finais
O objetivo deste trabalho foi trazer ao leitor casos sim-ples, mas ilustrativos, que mostram como diversos obje-tos auto-similares so podem ser adequadamente medi-dos em espacos de dimensao fracionada. Atraves docalculo de comprimento, area e volume, para tais obje-tos, fica explicitado que estas medidas podem diver-gir ou se anular identicamente quando a sua dimensaoe respectivamente maior ou menor do que aquela di-mensao Euclidiana escolhida pra se efetuar a medida.Conquanto o conceito de dimensao fractal seja apresen-tado em diversos textos, cremos que o calculo explıcitode medidas de objetos fractais em espacos de dimesaointeira facilitara ao leitor a apreensao do conceito demedidas de dimensao fracionada.
4. Agradecimentos
O trabalho de pesquisa que os autores desenvolvem nassuas respectivas instituicoes tem o apoio da FAPESB,CNPq e AECI.
2304-10 Miranda et al.
Referencias
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[18] J.W. Dauben, Georg Cantor: His Mathematics andPhilosophy of the Infinite (Cambridge, Massachusetts ,1979).
FRACTAIS: PADRÕES COMPLEXOS DE INCRÍVEL
BELEZA (Fractals: Complex patterns of incredible beauty)
GRACIELE PEREIRA DA CRUZ
Universidade Nove de Julho, São Paulo, SP
Abstract:
This work is an educational proposal that uses fractals as the mainly
motivational tool. Interesting features of non Euclidian and fractal geometries are
describes and some examples of the most commons fractals are explored. At the fourth
section we write a short biography of Benoit Mandelbrot and at the end of the paper we
mentioned some of the applications of the fractals on different fields of knowledge.
Keywords: Non-Euclidian geometry; Fractal geometry;, Benoit Mandelbrot
Resumo.
Este trabalho consiste numa apresentação sucinta de uma proposta de ensino
abordando como meio motivador os fractais. Aspectos da geometria não-euclidiana
bem como de geometria fractal são descritos, assim como alguns exemplos dos fractais
mais conhecidos. Uma breve biografia de Benoit Mandelbrot é descrita, e ao final do
trabalho mencionamos algumas das utilidades dos fractais nas diversas áreas do
conhecimento.
Palavras-chave: Geometria não-euclidian; Geometria Fractal; Benoit Mandelbrot
1. Introdução
Atualmente muitas áreas do conhecimento vêm passando por transformações,
dentre elas a matemática. Desta forma futuros professores de matemática devem
pesquisar a diversidade de avanços que esta área apresenta, para que os educandos
tenham acesso a esses conhecimentos, tendo maior prazer, motivação e interesse pela
disciplina. Para que isso ocorra é importante que o professor apresente os conteúdos de
forma inovadora, fazendo com que haja ligação com o cotidiano do aluno e que o
encante de alguma forma. Para tal buscamos abordar alguns conteúdos de matemática
utilizando como meio motivador os fractais.
2. Geometria não-euclidiana
A geometria como outros ramos da Matemática tem seu surgimento desde os
tempos mais remotos. Podemos estabelecer que a geometria tem seu ponto inicial na
Grécia por volta de 300 a.C., quando Euclides escreveu “Os elementos”e nessa época a
geometria euclidiana estava totalmente desenvolvida.
Contudo, começaram a ocorrer vários questionamentos sobre a geometria
euclidiana, fazendo com que vários matemáticos voltassem a estudar o assunto. Isso
gera um grande acontecimento na história da matemática, a descoberta da geometria
não-euclidiana, que ocorreu por volta da primeira metade do século XIX, por parte de
vários matemáticos que tentaram uma prova para o Quinto Postulado de Euclides:
Quinto Postulado – É verdade que, se uma reta ao cortar duas outras, forma ângulos
internos, no mesmo lado, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então as duas
retas, se continuados, encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é
menor que dois ângulos retos.
Por volta de 1820 já se conheciam os primeiros teoremas da geometria não-
euclidiana, nome dado por Gauss (1777-1855). Desde o início dos anos de 1800, Gauss
começou a se interessar pela questão da possível existência de geometrias não-
euclidianas. No entanto ele sabia que a existência de uma geometria não-euclidiana
criaria uma perturbação imensa na matemática e que os que apoiassem essa descoberta
publicamente, iriam sofrer uma reação extremamente dura. Foi por isso que Gauss
preferiu manter seu status social e não divulgou os resultados de sua pesquisa, porém
manteve contato com vários matemáticos de sua época.
Por mais de 2000 anos geômetras ocuparam-se em demonstrar o postulado das
paralelas como um teorema a partir dos nove axiomas e postulados restantes.
No entanto a descoberta da geometria não-euclidiana deu-se a Bolyai e
Lobachevsky, apesar de Gauss ter sido o primeiro a alcançar tais conclusões.
János Bolyai (1802-1860) em 1832 publicou os resultados de sua pesquisa sobre
geometrias não-euclidianas como um apêndice a um trabalho volumoso de seu pai, o
matemático Farkas Bolyai. Curiosamente, Bolyai nunca publicou seus trabalhos a não
ser esse apêndice, mas deixou mais de 20.000 páginas de manuscritos de trabalhos
matemáticos desenvolvidos por ele até sua morte.
Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) ao se interessar pela geometria não-
euclidiana fez com que ele fosse visto na Rússia como uma “pessoa excêntrica”.
Publicou em russo (1829/30) o primeiro artigo sobre geometria não-euclidiana no
Karzain Bulletin, dois ou três anos antes de Bolyai. Na tentativa de provar o Quinto
Postulado admitiu que isto seria impossível, surgindo assim uma nova geometria, hoje
conhecida como geometria hiperbólica.
3. Aspectos históricos dos fractais
Poderíamos dizer que o começo da história dos fractais foi por volta do ano de
1975, no qual Benoit Mandelbrot criava a palavra fractal, mas uma série de
acontecimentos anteriores abriram caminho para que essa iniciativa surgisse.
Entre a segunda metade do século XIX e a primeira do século XX, foram sendo
propostos vários objetos matemáticos com características especiais e que foram durante
muito tempo considerados “monstros matemáticos”, já que desafiaram as noções
comuns de infinito [(1)].
Cantor (1845-1918) colocou o problema de uma linha à qual ele retirava o seu
terço médio, seguido do terço médio de cada um dos segmentos restantes e assim
sucessivamente, gerando o que foi chamada de “poeira de Cantor” que sendo infinita,
possuiria medida igual a zero. Em 1904 surge a curva de von Koch (1870-1924) que
sendo uma linha rodeada por uma área infinita, possuiria um comprimento infinito.
Já em 1918 Gaston Julia (1893-1978) e Pierre Fatou (1878-1929), apresentaram
um trabalho sobre processos iterativos envolvendo números complexos que mais tarde
vieram a ser conhecidos como “Conjuntos de Julia”. Outro matemático que teve grande
importância foi Poincaré (1854-1912) que foi provavelmente o primeiro a compreender
e expor a noção de Caos.
No entanto, a partir da segunda metade deste século foi que os acontecimentos
começaram a se suceder cada vez mais. Rapidamente Edward Lorenz (1917-2008), um
metereologista americano dedicava-se em 1961 com a Judá de um computador, a tarefa
de aumentar a confiabilidade das previsões metereológicas. Um dia, tentando repetir
uma experiência que havia feito anteriormente, se enganou com os números que deveria
introduzir no computador, truncando as casas decimais, o que ocasionou no final uma
significativa diferença nos resultados. A este fenômeno deu-se o nome de “Efeito
Borboleta”, devido a possibilidade simbólica de o bater de asas de uma borboleta em
Pequim, poder provocar um tufão em Nova York.
Pouco tempo depois já na década de 70, James Yorke viria a encontrar nos
trabalhos de Lorenz a chave para os problemas sobre os quais se debruçava, dando ao
Caos seu nome e juntamente com outros como May ou Hoppensteadt, divulgaria esta
nova Ciência que acabara de criar ([1]).
A partir de então surge a figura de Benoit Mandelbrot.
4. Benoit Mandelbrot
Nascido em Varsóvia, polônia em 20
de novembro de 1924 é um matemático
francês de origem judaico-polonesa. Criou-se
em Paris onde foi aluno da célebre École
Polytechnique. Em 1948, foi para os Estados
Unidos onde estudou ciência aeroespacial no
Instituto de Tecnologia da Califórnia. Desde
então dedicou-se aos mais variados ramos do
conhecimento como geologia, economia,
comunicação, biologia, termodinâmica,
metereologia e computação ([2]).
O termo fractal provém da palavra
fractus, que significa quebrado, irregular ou
descontínuo. Foi essa a palavra escolhida por
Mandelbrot para rotular sua descoberta que o levou a publicar o livro “Les Objects
Fractales: Forme, Hasard et Dimension”, que reescrito em 1977 teve o nome alterado
para “The Fractal Geometry os Nature”.
Os termos fractais não foram descobertos nem criados por Mandelbrot, ele
apenas os nomeou, visto que estes já eram conhecidos antes de sua descoberta. Há
indícios de que eles existiam antes do século XX e eram conhecidos como “monstros
matemáticos” na Grécia Homérica, Índia e china. Mandelbrot se apoiou em estudos de
outros matemáticos como Georg Cantor, David Hilbert (1862-1943), Giusepe Peano
(1858-1932), von Koch (1870-1924), Waclaw Sierpinski (1882-1969), entre outros para
definir os fractais.
5. Geometria Fractal
A geometria fractal surgiu da necessidade de se calcular e descrever certos
fenômenos da natureza ou objetos que não possuem forma definida.
Descontinuidade, surtos de ruídos, poeira de Cantor – fenômenos como estes não
eram mencionados nas geometrias dos últimos dois mil anos. As formas de geometria
clássica são as linhas e os planos, os círculos e as esferas, os triângulos e os cones.
Representam uma poderosa abstração da realidade, e inspiraram uma vigorosa filosofia
de harmonia platônica. Euclides fez delas uma geometria que durou dois milênios, a
única geometria conhecida da maioria das pessoas, até hoje. Os artistas viram nelas uma
beleza ideal, os astrônomos ptolomaicos construíram uma teoria do universo com elas
([3]).
Mandelbrot tinha outras idéias. Para ele as nuvens não eram esferas, as
montanhas não eram cones, e os relâmpagos não percorrem uma linha reta. Para ele o
entendimento da complexidade da natureza não era apenas algo aleatório, não apenas
um acaso, mas exigia a convicção de que o interessante na trajetória do raio, por
exemplo, não era sua direção, mas sim a distribuição dos seus ziguezagues.
Mandelbrot não tomava as medidas euclidianas básicas tais como extensão,
profundidade e espessura para suas teorias, pois dizia que elas não abrangiam a essência
das formas irregulares, mas voltou seus trabalhos para a idéia da dimensão. Ele foi além
das dimensões 0,1,2,3... até uma impossibilidade aparente: as dimensões fractais.
A dimensão fracionada torna-se uma maneira de medir o grau de aspereza, ou de
fragmentação, ou de irregularidade de um objeto. Mandelbrot fez com sua geometria
uma afirmação sobre os padrões irregulares que estudara na natureza: que o grau de
irregularidade permanece constante em diferentes escalas. O mundo exibe,
repetidamente, uma irregularidade regular, o que torna tal afirmação verdadeira.
Estes estudos, sobre os padrões irregulares nos processos naturais e a
investigação das formas infinitamente complexas tiveram um ponto em comum, a auto-
semelhança.
A auto-semelhança é a simetria através das escalas, isto é recorrência, um padrão
dentro de outro. Exemplo dessa forma, é a curva de Koch que exibe auto-semelhança
mesmo sob grande ampliação. A auto-semelhança está contida na construção das curvas
e é uma característica facilmente identificável.
As percepções da geometria fractal ajudaram cientistas que estudavam a maneira
pela qual as coisas se fundiam, a maneira pela qual se separavam ou a maneira pela qual
se fragmentavam. Ajudou-os a examinar os materiais, as superfícies microscopicamente
irregulares dos metais, os pequenos orifícios e canais de rochas porosas portadoras de
petróleo, as paisagens fragmentadas de uma zona de terremotos.
Um dos cientistas que utilizou os trabalhos de Mandelbrot a respeito de
geometria fractal foi Christopher Scholtz, professor da Universidade de Colúmbia, que
se especializava na forma e estrutura da terra sólida.
Scholtz viu que a geometria fractal proporcionava um vigoroso instrumento para
a descrição das irregularidades específicas da superfície da terra. Scholtz tornou-se
conhecido em seu campo como uma das poucas pessoas que adotavam técnicas fractais,
e ele sabia que alguns dos seus colegas geofísicos encaravam esse pequeno grupo como
exce6entricos, mesmo assim Scholtz considerava indispensáveis os instrumentos da
geometria fractal.
“É um modelo único, que nos permite enfrentar a gama das mutáveis dimensões
da terra”, disse ele. “Proporciona-nos os instrumentos matemáticos e geométricos
para descrever e fazer previsões. Uma vez vencida a dificuldade e entendido o
paradigma, podemos começar a medir coisas e pensar nela de uma nova maneira.
Passamos a vê-las de maneira diferente. Temos uma nova visão, não é igual à visão
antiga, absolutamente – é muito mais ampla”([3]).
É difícil romper o hábito de pensar nas coisas em termos de seu tamanho e de
sua direção. A geometria fractal, porém busca para alguns elementos da natureza uma
escala característica. Furacão, por definição é uma ventania de certa intensidade. Na
realidade, os cientistas atmosféricos estão compreendendo que o tumulto no ar forma
um continuum, desde os pés-de-vento que arrastam o lixo nas ruas de uma cidade até os
vastos sistemas ciclônicos visíveis d espaço.
Essas estruturas complexas estão presentes em várias coisas, um exemplo é o
corpo humano. No aparelho digestivo, o tecido revela ondulações dentro de ondulações,
os pulmões tem de concentrar uma maior superfície possível no menor espaço e o
sistema circulatório tem de apertar uma enorme área de superfície num volume
limitado, se assemelhando a curva de Koch que aperta uma linha de extensão infinita
numa pequena área.
Os vasos sanguíneos da aorta dos capilares, formam um outro tipo de continuum.
Eles se ramificam, se dividem e voltam a ramificar-se até se tornarem muito estreitos. A
natureza dessa ramificação é fractal.
Uma década depois que Mandelbrot publicou suas especulações a respeito de
fisiologia, alguns biólogos teóricos começaram a verificar padrões fractais nas
estruturas do corpo. O sistema coletar urinário revelou-se fractal, a rede de fibras
especiais do coração, que transmitem os pulsos de corrente elétrica aos músculos que se
contraem, o canal biliar do fígado, todas essas estruturas além de outras, possuem certas
descrições fractais e aí nos perguntamos, como a natureza conseguiu produzir essa
arquitetura tão complicada.
Mandelbrot por sua vez diz que as complicações só existem no contexto da
geometria euclidiana tradicional. Como fractais, as estruturas ramificantes podem ser
descritas com transparente simplicidade, com apenas algumas informações. Mandelbrot
passava naturalmente das árvores pulmonares e vasculares para árvores botânicas reais,
árvores que precisavam captar o sol e resistir ao vento, com ramos fractais e folhas
fractais. E os biólogos teóricos começaram a especular que a escala fractal não era
apenas comum, mas universal, morfogênese.
Tendo consolidado suas idéias em um livro sobre a natureza e a história da
matemática, Mandelbrot conheceu uma margem de sucesso acad6emico que não estava
habituado, tornando-se uma peça importante do circuito das conferências científicas.
Para os matemáticos puros, Mandelbrot continuava um marginal, polemizado,
porém ele encontrou uma aceitação mais entusiástica entre os cientistas aplicados que
trabalhavam com petróleo, rochas ou metais, em especial nos centros de pesquisas de
grandes empresas.
6. Exemplos de Fractais
Os fractais são formas geométricas abstratas de uma beleza incrível, com
padrões complexos que se repetem indefinidamente, mesmos limitados a uma área
finita.
Definição 1. Um dado conjunto E é fractal se, em E, D>D, sendo D a dimensão fractal
e Dt a dimensão topológica do conjunto E. A dimensão topológica é a dimensão de
Euclides e a dimensão fractal de um objeto, mede o seu grau de irregularidade, a
estrutura e comportamento.
Em ([4]), uma definição menos rigorosa é proposta, em termos das
características das construções ou conjuntos denominados fractais. Uma dada
construção é considerada fractal se possui todas, ou a maioria das seguintes
propriedades:
Estrutura fina em qualquer escala.
A estrutura fina consiste no detalhamento infinito, sucessivas ampliações de um
fractal levam a mais e mais detalhes.
Não pode ser descrito de maneira simples por uma função analítica ou em
linguagem geométrica tradicional.
Isso se deve ao fato de que os fractais são construídos através de processos
iterativos. É impossível representá-los por uma função simples ([5]).
Possui alguma espécie de auto-similaridade
A auto-similaridade consiste em obter réplicas menores da figura através de sua
divisão (ou no caso de fractais sua ampliação).
Sua dimensão fractal é estritamente maior que a sua dimensão topológica.
Em muitos casos tem uma lei de formação simples.
Para o fractal essa lei de formação é o processo que é repetido a cada iteração.
Como descrito em ([6]) os fractais podem ser classificados em três categorias
principais, que dependem do modo como o fractal é formado ou gerado. São elas:
6.1. Sistemas de funções iteradas.
Os fractais determinísticos também conhecidos como fractais geométricos, são
subconjuntos gerados por transformações geométricas simples do próprio objeto nele
mesmo. Abaixo são dados alguns exemplos desses fractais.
Conjunto de Cantor
O conjunto de Cantor é um subconjunto do intervalo [0,1] definido pelo
matemático Georg Cantor como limite de um processo iterativo. A construção de tal
conjunto segue os seguintes passos:
1 - No passo 0, considera-se o intervalo [0,1];
2 - No passo 1, retira-se o terço do meio do intervalo [0,1];
3 - No passo 2, retira-se o terço do meio de cada um dos dois intervalos criados pelo
passo 1;
4 - No passo n, retira-se o terço do meio de cada um dos intervalos criados pelo passo n-
1.
O conjunto de Cantor é o conjunto dos pontos que não são retirados em nenhum
passo do processo, vale a pena observar que este conjunto é infinito e não-enumerável.
Curva de Peano
A Curva de Peano, apresentada em 1890, é um exemplo de um fractal que
preenche o plano. Uma curva que preenche o plano passa por todos os pontos de uma
determinada área, acabando por, gradualmente, a ocupá-la totalmente.
O ponto de partida para a construção de tal curva é começar com um segmento.
Na primeira iteração o segmento é substituído por 9 segmentos de comprimento igual a
um terço do comprimento do segmento inicial. Esses 9 segmentos constituem a primeira
iteração da construção recursiva da curva de Peano. Depois, o processo recursivo aplica-
se a cada um dos 9 segmentos, até o infinito.
Características da Curva de Peano
A Curva de Peano no nível 1 possui nove segmentos, como as substituições são
efetuadas em cada um desses, pode se encontrar miniaturas da curva no nível 1 em nove
partes do nível 2. Deste mesmo modo, pode se encontrar nove miniaturas do nível 2, no
nível 3 e assim sucessivamente.
Estrutura fina
Ao se ampliar a curva, não se perde a quantidade de detalhes que ela possui.
Fácil construção
Um passo repetido indefinidamente.
Difícil descrição analítica
Não se consegue descrever esta curva através de simples função analítica.
Curva de Hilbert
A curva de Hilbert é uma curva fractal contínua que preenche o espaço,
descoberta pelo matemático alemão David Hilbert em 1891, como um variante das
curvas que preenchem o espaço descoberta por Giuseppe Peano em 1890.
Características da Curva de Hilbert
Auto-semelhança
Quatro cópias do fractal, reduzidas pela metade no próprio fractal.
Estrutura fina
Ao ampliarmos essa curva, não perdemos a quantidade de detalhes que ela
possui.
Fácil construção
Apesar da complexidade, é composta por alguns passos repetidos
indefinitivamente.
Difícil descrição matemática
Esta curva possui um traçado que não consegue representar por uma função
analítica simples.
Curva de Koch
A Curva de Koch é uma curva geométrica e um dos primeiros fractais a serem
descritos. Aparece pela primeira vez num artigo de 1906, intitulado “Une méthode
geometrique élémentaire pour l’étudie de certaines questions de La théorie dês courbes
planes”, de autoria do matemático sueco Helge Von Koch. O conhecido Floco de Neve
de Koch corresponde à mesma curva, sendo que sua construção se inicia a partir de um
triângulo eqüilátero ([7]).
Para construirmos este fractal podemos construí-lo a partir de um segmento de
reta submetido a alterações recorrentes, isto é, a iterações, como descritas a seguir:
1 – Divide-se o segmento de reta em três segmentos de igual comprimento.
2 – desenha-se um triângulo eqüilátero, em que o segmento central, referido no primeiro
passo, servirá de base.
3 – Apaga-se o segmento que serviu de base ao triângulo do segundo passo.
Procedendo da mesma forma para cada um dos quatro segmentos que ficam,
formam-se dezesseis novos segmentos menores. A figura abaixo representa as seis
primeiras construções.
Características da Curva de Koch
Auto-semelhança
Em cada nível encontramos 4 cópias da figura no nível anterior, em tamanho
reduzido sendo que, para cada uma dessas 4 partes ocorre o mesmo.
Fácil construção
Processo de obtenção simples, dois passos repetidos indefinitivamente.
Difícil descrição matemática
Não existe uma função analítica que descreva tal curva.
Triângulo de Sierpinski
Foi primeiramente descrito pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski. O
Triângulo de Sierpinski é uma figura geométrica fractal obtido através de um processo
recursivo. Ele é uma das formas elementares da geometria fractal por apresentar
algumas propriedades tais como: ter tantos pontos como o do conjunto dos números
reais, ter área igual a zero, ser auto-semelhante (uma sua parte é idêntica ao todo), não
perder a sua definição inicial à medida que é ampliado.
Uma das maneiras de se obter um triângulo de Sierpinski é através do seguinte
algoritmo:
1 – Para começar o processo partimos de um triângulo eqüilátero.
2 – Em seguida unem-se os pontos médios de cada lado do triângulo, formando 4
triângulos cujos lados estão ligados.
3 – Retira-se agora o triângulo central. A recursão consiste em repetir indefinidamente o
procedimento anterior em relação a cada um dos triângulos obtidos.
Características do Triângulo de Sierpinski
Possue todas as características de um fractal, ou seja:
Auto-semelhança.
Estrutura fina.
Simplicidade na lei de formação.
Processo de construção é repetitivo.
Não é descrito de modo analiticamente simples.
Acima estão relacionados alguns dos fractais mais conhecidos porém há vários
outros exemplos. Abaixo relacionaremos a aplicação de um exemplo destes fractais, em
nosso caso o Triângulo de Sierpinski como um meio motivador para o ensino de
Progressões Geométricas e de matrizes, aonde utilizaremos o conceito de sistemas de
funções iteradas.
Dado um triângulo eqüilátero de lados 1cm, calculamos a altura h desse
triângulo e em seguida sua área. Temos assim que sua altura e sua área serão dadas
pelas seguintes expressões:
Calculada a área At e tomando a figura acima temos que:
Dessa maneira chegamos a uma progressão geométrica, onde a1 é 1 e sua razão
é ½. Nesse exemplo também pode ser trabalhada a soma da P.G..
6.2 Fractais gerados por computadores.
Também chamados de fractais de fuga, um exemplo é o conjunto de Mandelbrot,
que matematicamente, é o conjunto dos parâmetros c para os quais a “órbita” do ponto 0
por c, isto é, o conjunto das iteradas é limitado, onde fc é a função:
, onde Z0=0 e c = a+bi.
6.3 Fractais aleatórios.
São também chamados de fractais naturais, quando o todo é estaticamente
semelhante a uma ampliação de uma parte dizemos que o fractal é aleatório.
7. Aplicações dos Fractais
Recentemente há algumas indústrias ou ramos do conhecimento tais como física,
biologia, geologia, astrofísica, entre outras que começaram a se interessar pelos fractais.
A seguir mencionamos algumas dessas aplicações.
Processamento de sinas
No trabalho de Gonschorowski (2007) ([8]) é proposto métodos de
processamento de sinais e reconhecimento de padrões dos sinais de respostas de
sensores de gás, utilizando técnicas e modelos da geometria fractal. Os sinais de
resposta de dois tipos de sensores foram estudados. O primeiro foi um dispositivo de
óxido de estanho e o segundo foi um dispositivo Metal-Óxido-Semicondutor (MOS).
Para o dispositivo de óxido de estanho a técnica na análise dos sinais foi feitoa pólo
método do movimento Browniano fracionário e para o dispositivo MOS foram
utilizadas as técnicas de compressão fractal de imagenss e determinação da dimensão
fractal multiescala.
Medicina
A dimensão fractal é utilizada na medicina para diagnosticar várias patologias,
dentre elas o diagnóstico d cancro como podemos ver no trabalho de Sedivy et AL
(1999) ([9]), onde ele utiliza a geometria fractal como ferramenta para caracterizar as
formas irregulares e figura complexas dos tecidos do corpo humano.
Física dos materiais
Na física dos materiais, o crescimento de estruturas sejam elas cristais ou a
penetração de um fluído em outro material, assumem com freqüência, estruturas
ramificadas com a propriedade de auto-similaridade. A rocha na qual o petróleo reside
apresenta estrutura porosa com propriedades fractais. Outra área de pesquisa é difração
de ondas por superfícies fractais, o que permite, num processo inverso, que se adquira
informações sobre a estrutura da superfície.
Geologia
Fenômenos geológicos possuem a simetria de escala, exemplos disso são as
distribuições de freqüência dos tamanhos de fragmentos de rochas, falhas geológicas,
terremotos, erupções vulcânicas e depósitos minerais de petróleo. Os fractais também se
mostram úteis no estudo dos meandros dos rios e dos contornos das formações
geológicas.
Astrofísica e cosmologia
Em astrofísica e cosmologia, um problema importante é a distribuição de
galáxias no universo.
Militar
O interesse militar com respeito aos fractais é o reconhecimento de imagens, que
parte da idéia de que s objetos artificiais são construídos em geral a partir de formas
regulares, enquanto que os objetos e paisagens naturais têm, uma construção irregular.
Com isso, pode-se através de fotografias aéreas pouco claras, identificar domínios
fractais que poderiam discernir entre objetos naturais e objetos artificiais camuflados.
Fibras ópticas fractais
O empacotamento apropriado de fibras ópticas produz guias de ondas com muito
baixa distorção. Lee Cook da Galileo Eletro-Optics Corp. mostrou, através do uso de
pavimentações recursivas, que os melhores empacotamentos de fibras ópticas são
aqueles que tem bordas fractais. Isso levou ao desenho de são aqueles que tem bordas
fractais. Isso levou ao desenho de feixes de fibras ópticas fractais. Essa tecnologia
inovadora foi adquirida pela Incom em 1994 ([10]).
Referências
[1] MESQUITA, A. e MOTA, M. G., Fractais - A linguagem do caos. In. Anais do
Clube Militar Naval 1991.
[2] RICIERI, A. P., Fractais e Caos: A matemática de hoje. São Paulo: Prandiano, 1990.
[3] GLEICK, J. Caos: a criação de uma nova ciência. Tradução de Waltensir Dutra. Rio
de Janeiro: Campus, 1991.
[4] FALCONER, K.,Fractal Geometry: mathematical foundations and applications.
John Wiley and Sons. Chichester. 1990.
[5] PEREIRA, A. B.,Universidade Estadual Vale do Acarajú. Maio. 2007.
[6] FUZZO, R. A., Fractais: algumas características e propriedades. Disponível em:
http://www.fecilcam.br/nupem/anais_iv_epct/PDF/ciencias exatas/10 FUZZO
REZENDE SANTOS.pdf. Acesso em 14 de abril de 2010.
[7] WIKIPÉDIA. Wikipédia Enciclopédia Livre, Curva de Koch. Disponível em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Curva de Koch. Acesso em 15 de abril de2010.
[8] GONSCHOROWSKI, J. dos S.,Processamento de sinais e reconhecimento de
padrões de resposta de sensores de gases através da geometria fractal. Universidade de
São Paulo. São Paulo 2007.
[9] R., SEDIVY et al, Fractal Analysis: An Objective Method for Identifying Atypical
Nuclei in Dysplastic Lesions of the Cervix Uteri. Gynecologic Oncology. 75 (1999), 78
- 83.
[10] PRISMA Á LUZ DA FÍSICA, Fractais e a geometria da natureza. Disponível em:
http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico9.php. Acesso em 17
de abril de 2010.
[11] OBSERVATÓRIO NACIONAL, A geometria dos espaços curvos ou geometria
não-euclidiana. Disponível em: http://www.on.br/site_edu_dist_2006/pdf/modulo3/a
geometria dos espaços curvos.pdf. Acesso em 17 de abril de 2010.