experiencias de laboratorio de hidraulica

PHD-2301 Hidráulica I-Orifícios e Bocais

Escola Politécnica da USP - Departamento de Engenharia Hidráulica e Sanitária 1

Escola Politécnica da Universidade de São Paulo

Departamento de Engenharia Hidráulica e Sanitária

PHD 2301 - HIDRÁULICA I

Roteiro elaborado pelo Profº

Dr. Podalyro Amaral de Souza(1987)

Revisado em 2000 por

Prof. Livre-Docente Paolo Alfredini

Digitação e Layout

Reginaldo Galhardo Martins

São Paulo

2004

PHD-2301 Hidráulica I


Sumário Experiências páginas 1 - ORIFÍCIOS E BOCAIS.................................................................................................................... 3 2 - HIDROMETRIA...............................................................................................................................14 3 - VERTEDOR DE SOLEIRA ESPESSA...........................................................................................22 4 - RESSALTO HIDRÁULICO.............................................................................................................28 5 - FILTRAÇÃO .....................................................................................................................................33 6 - CANAL EM REGIME PERMANTE UNIFORME E GRADUALMENTE VARIADO............40 7- ONDAS DE OSCILAÇÃO.................................................................................................................48

PHD-2301 Hidráulica I - Orifícios e Bocais


1 - ORIFÍCIOS E BOCAIS

1.1. Introdução Uma abertura executada na parede lateral ou no fundo de um recipiente que

contenha líquido, e que possibilita o escoamento desse líquido, é genericamente

denominada orifício. O orifício mais comum é o de forma circular com borda biselada

externamente de modo a formar uma aresta viva internamente, como indicado na Figura

1.

Figura 1 - Corte de um orifício circular de parede delgada

Quando a parede do reservatório é espessa ou quando um tubo é adicionado

externamente ao orifício, como na Figura 2, de modo que o jato líquido possa fluir colado

à parede , tem-se o que se convencionou chamar de bocal cilíndrico externo.

Figura 2 - Corte de um bocal cilíndrico externo

Quando um tubo curto é adicionado internamente a um orifício, como mostrado na

Figura 3, tem-se o caso de um bocal cilíndrico interno. Neste caso o jato deve fluir sem ter

��

��

DcC

D

C

��

��

C

C 1

1

D



contato com a parede interna do bocal para aproximar-se das hipóteses requeridas para a

aplicação da equação da quantidade de movimento.

Figura 3 - Corte de um bocal cilíndrico interno

Estes três dispositivos aqui apresentados são geralmente empregados como

medidores de vazão em volume ou simplesmente como drenos.

1.2. Tratamento Analítico

1.2.1 - Considerações Gerais

Os principais símbolos utilizados neste tratamento do fenômeno:

!"A = área de seção transversal

!"C e K = coeficiente

!"D = diâmetro

!"H = carga total

!"h = altura da água no reservatório em relação ao centro do dispositivo de

saída

!"Z = cota

!"g = aceleração gravitacional

!"V = velocidade

!"p = pressão

!"ρ = massa específica da água

!"x, y = posição em relação à seção contraída (orifício e bocal interno) ou

seção de saída (bocal externo) ver Figura 4

!"Q = vazão volumétrica

!"t = tempo

��

��

Dc

D



!"L = distância entre os fios da harpa graduada

!"α = ângulo da harpa em relação a horizontal

!"Re = número de Reynolds

Índices:

!"c = contração, seção contraída

!"v = velocidade

!"Q = vazão volumétrica

!"t = teórico

!"r = real

!"res = reservatório

!"ci = contração interna (bocal externo)

!"0 = inicial

O tratamento analítico do escoamento de jato através de orifícios e bocais é feito

com base em três princípios da Física: Primeira Lei da Termodinâmica, Conservação de

Massa e Conservação da Quantidade de Movimento. As seguintes hipóteses

simplificadoras serão adotadas ao presente caso:

a) Escoamento não permanente, com o reservatório se esvaziando lentamente;

b) Líquido incompressível;

c) Orifícios e bocais de pequenas dimensões em relação à carga;

d) A pressão é atmosférica na superfície livre do reservatório e na saída do jato

adotada como zero (pressão relativa);

e) Os orifícios e bocais estão em paredes verticais e lançam jatos com velocidades

iniciais horizontais;

f) Não existe, no reservatório, nenhuma máquina hidráulica fornecendo ou

retirando trabalho;

g) No reservatório, em pontos não vizinhos do orifício ou bocal, a pressão distribui-

se hidrostaticamente.

As partículas fluidas procedentes dos mais diversos pontos do reservatório

aproximam-se do orifício ou do bocal descrevendo trajetórias convergentes. Isto obriga o

jato formado a sofrer uma contração em uma seção transversal, ocorrendo um valor

mínimo de área na seção em uma posição em que os filetes são paralelos, denominada

seção contraída (ver seção C-C na Figura 1). A razão entre a área do jato na seção



h

contraída, Ac = πDc2/4, e a área nominal do orifício ou bocal, A = πD2/4, define o

denominado Coeficiente de Contração Cc:

Equação 1

Com base nas hipóteses adotadas, a Primeira Lei da Termodinâmica fica reduzida

à equação de Bernoulli:

Equação 2

entre dois pontos 1 e 2 quaisquer de um filete. Para o filete indicado na Figura 4 aplica-se

a Equação 2 entre o ponto “o” e o ponto “c”, que está no centro da seção contraída,

obtendo-se a Equação 3:

Equação 3

Figura 4 - Esquema do reservatório com emissão de jato

Chamando-se Vc = Vr (velocidade real do jato), substituindo-se (Z0 - Zc) por h, e

expressando-se as perdas por KVr2/2g, pode-se transformar a Equação 3 em:

Equação 4

Vr =1

√1 + K√ 2gh

p1

ρgH1=H2 + ∆H = Z1 +

V12

2g = Z2 ++

p2

ρgV2

2

2g+ + perdas

p0

ρgZ0 +

V02

2g = Z c ++

pc

ρg

Vc2

2g+ + perdas

= 0 (d) ≈ 0 (a) = 0 (d)

Cc =AcA < 1= Dc

D( )2



Define-se agora a velocidade teórica do jato, Vt, como sendo aquela que o jato

adquiriria se não houvesse perdas (K=0). Com base na Equação 4, Vt será expressa

como:

Equação 5

A razão entre a velocidade real e a teórica é denominada Coeficiente de

Velocidade, com notação Cv, conforme indicado na Equação 6.

Equação 6

Outro coeficiente importante no estudo dos orifícios e bocais é o denominado

Coeficiente de Vazão, CQ, definindo como razão entre a vazão real, Qr = VrAc, e a vazão

teórica, Qt = Vt A, ou seja:

Equação 7

1.2.2 - Bocal Cilíndrico Externo

O bocal cilíndrico externo, funcionando com o jato colado à parede do bocal, não

apresenta contração na saída do jato. Internamente ao bocal, ver Figura 2, existe uma

contração que provoca o descolamento da camada limite com conseqüente aparecimento

de uma depressão. Esta depressão provoca um aumento do coeficiente de vazão deste

bocal quando comparado a um orifício de parede delgada de mesmo diâmetro. As

aplicações da equação de Bernoulli, entre o NA do reservatório e a seção de saída do

bocal, da equação da conservação de massa (continuidade), com as perdas expressas

pela equação experimental de Borda-Bélanger:

Equação 8

(Vc e V1 são velocidades das seções indicadas na Figura 2), e com o coeficiente interno

de contração adotado com Cci=0,62, leva o bocal cilíndrico externo, a:

Equação 9

Pela aplicação da equação de Bernoulli entre as seções c-c e 1-1 da Figura 2,

lançando-se mão da Equação 8, do resultado da Equação 9 e admitindo-se que o

Vr

Vt

Cv = < 1

Qr

Qt

CQ =ACVr

AVr

= Cc . Cv=

∆H = V1

2

2g+ 0,115

(Vc - V1)2

2g

CQ = Cv = 0,82

Vt = √ 2gh



coeficiente interno de contração seja Cci=0,62, não é difícil mostrar que a pressão na

seção contraída, pc, é negativa e equivale a uma carga:

Equação 10

1.3.Verificações Experimentais

1.3.1 - Objetivo

A presente experiência objetiva a determinação dos coeficientes de contração,

velocidade e vazão, respectivamente Cc, Cv e CQ, para um orifício circular de parede

delgada, um bocal cilíndrico externo e um bocal cilíndrico interno em função da carga

sobre o orifício ou bocal.

1.3.2 - Montagem

A montagem consta de:

!"Reservatório de nível variável;

!"Piezômetro para a leitura da

carga do reservatório;

!"Orifício de parede delgada;

!"Bocal cilíndrico externo;

!"Bocal cilíndrico interno;

!"Harpa graduada para a

localização do jato;

!"Cronômetro com "lap"

(medição de tempos

acumulados).

fotografia 1 - Vista Frontal da Bancada de Orifícios, Bocais e Vertedores

pc

ρg= -0,75 h



fotografia 2 -Vista Lateral da Bancada de Orifícios, Bocais e Vertedores

1.3.3 -Procedimentos

1.3.3.1.Para o orifício de parede delgada

a) Verificar se todos os orifícios e bocais estão fechados;

b) Encher o reservatório até a altura indicada pelo professor;

c) Fechar a alimentação;

d) Abrir o orifício e acionar o cronômetro sincronizadamente com a passagem do

jato por um dos fios da harpa, anotando o número do fio;

e) Acionar o "lap" do cronômetro sempre que o centro do jato estiver coincidindo

com um dos fios da harpa graduada, que caracteriza uma posição (x, y), e

simultaneamente marcar o correspondente valor de carga h (para posterior

leitura). Anotar o tempo t;

f) Obter não menos que três valores de t e os correspondentes valores de h (ver

Figura 4);

g) Os seguintes valores são necessários para os cálculos:



Ares = (1,09 ) m2 Área em planta do reservatório

D = (24/24/28) mm Diâmetro do orifício/bocal externo/bocal interno

x0 = (304/244/355) mm

y0 = (646/646/226) mm

Coordenadas do fio 0 em relação à seção contraída,

no orifício/bocal externo/bocal interno

L = (40) mm Distância entre os fios da harpa

α = (45) graus (º) Ângulo da harpa em relação a horizontal

Valores a serem marcados durante o ensaio

Nº do fio t

(s)

Z cota do nível d'água

(m)

1.3.3.2. Para o bocal cilíndrico externo:

Repetir os mesmos procedimentos indicados para o orifício de parede delgada.

Lembrar que o jato deve operar colado internamente ao bocal. Notar que as coordenadas

(x0,y0) são em relação ao centro da seção de saída do jato.

Para uma das medições anotar o valor da carga piezométrica na seção contraída

(interna) pc/(ρg) para comparar com a Equação 10.

1.3.3.3. Para o bocal cilíndrico interno:

Repetir os mesmos procedimentos indicados para o orifício de parede delgada.

Lembrar que o jato deve operar descolado, como indicado na Figura 3.

1.3.4 - Orientações complementares

Para cada instante em que foi registrada a passagem do centro do jato por um dos

fios da harpa deve-se calcular o valor da altura h = Z -Zc e das coordenadas (x, y) de

cada fio em relação à seção contraída (para orifício e bocal interno) e em relação à seção

de saída (bocal externo):



Equações 11 e 12

O cálculo da velocidade real do jato, Vr, é feito a partir de valores x e y medidos nos

procedimentos acima, com base nas equações:

Equações 13 e 14

da balística, onde δt é eliminado entre as equações 13 e 14, fornecendo:

Equação 15

A partir dos valores medidos ti, hi pode-se estimar a derivada (dh/dt)i como a seguir:

O tempo de esvaziamento do reservatório de h0 a h é t, dado por:

Equação 16

com CQ localmente constante e t0 = 0, define-se:

Equação 17

Para um par ti, hi pode-se determinar o correspondente Ki (Equações 16 e 17).

Também da Equações 16 e 17 tem-se:

Equação 18

Equação 19

Obtém-se então o seguinte algoritmo:

a) Dados ti, hi, i=0, 1, ... , n

b) Para i>0

x = Vr δt

g(δt)2

2y =

Vr = x√ g2y

t =2 . Ares

CQ A√2g(√ h0 - √ h )

K =2 . Ares

CQ A√2g

t +h = h0 -( √ h02K )

1K2( )t2

x = x0 + nº fio . L . cos α

y = y0 - nº fio . L . sen α

= -dhdt ( √ h02

K ) 2

K2( )t+



(b.1)

Equação 20

(b.2)

Equação 21

c) Para i=0

(c.1)

Equação 22

Notar que os valores de (dh/dt) são negativos, uma vez que ocorre o esvaziamento

do reservatório, e conseqüente redução de h.

Em resumo, com base nos dados e nas grandezas medidas, as seguintes

grandezas devem ser determinadas:

Equação 23

Equação 24

Equação 25

Equação 26

Equação 27

Equação 28

Equação 29

Ki= √ h0 √ hi-

ti

Vr = x√ g2y

dhdt

Qr = - Ares

Qt = A Vt = A√2gh

Qr

Qt

CQ =

Vr

Vt

Cv =

Cc == CQ / Cv

= -dhdt ( √ h02

Ki) 2

Ki2( )ti+

t=ti

Vt = √ 2gh

= - dh

dt (

√ h 0 2

K 1 )

t=0



Os coeficientes Cc, Cv e CQ devem ser "plotados" em função do número de

Reynolds, definido como:

Equação 30

Onde ν é a viscosidade cinemática da água.

Re =D . √2gh

ν

PHD-2301 Hidráulica I - Hidrometria


2 - HIDROMETRIA

2.1. Introdução Sob o título HIDROMETRIA será tratado nesta experiência o problema da medição de

uma vazão com o uso de três dispositivos medidores, sendo um em conduto forçado e

dois em conduto livre.

O medidor em conduto forçado é um DIAFRAGMA. Essencialmente é constituído por

uma placa plana provida de um orifício circular com diâmetro menor que o da tubulação

onde se encontra instalado. A placa é instalada perpendicularmente ao eixo da tubulação

de modo que o eixo contenha o centro do orifício. De cada lado da placa existe uma

câmara anular que se comunica com a região interna da tubulação através de uma fresta

perimetral. Dentro da câmara anular a pressão reinante é a pressão média da seção do

escoamento que passa pela fresta perimetral. Em cada câmara há uma tomada de

pressão para conexão de mangueira de manômetro.(Ver Figura 5)

A velocidade do escoamento aumenta na passagem pelo orifício enquanto a

pressão diminue. Isto provoca uma diferença de pressão entre as seções 1-1 e 2-2

(indicadas na figura 7), diferença esta que é unívoca à vazão, como será mostrado

adiante.

Os dois medidores em conduto livre são: um VERTEDOR RETANGULAR DE SOLEIRA

DELGADA e um VERTEDOR TRIANGULAR DE SOLEIRA DELGADA. (Figura 8).

A medição de vazão em conduto livre é de óbvia importância para a engenharia,

nos campos de irrigação, drenagem e controle de inundação. O uso de vertedor

retangular de soleira delgada é geralmente limitado a pequenos canais, como em

laboratórios, por exemplo. O vertedor triangular de soleira delgada é especialmente

indicado para pequenas vazões (Q< 50l/s), pois sua seção triangular leva a uma variação

de carga relativamente grande, aumentando a precisão da medição.



Figura 5- Esquema de um Diafragma

Figura 6 - Esquema de Vertedor de Soleira Delgada


2.2.1 - Diafragma

As hipóteses aqui adotadas são:

a) Escoamento permanente;

b) Fluido incompressível;

c) Escoamento turbulento;

d) Distribuição uniforme de velocidade no tubo e na seção contraída do jato

emitido através do orifício do diafragma, como na Figura 7.

��

��

��

��

D d

câmara

Fresta Perimetral

��

��

Tomadas de Pressão



Figura 7 - Esquema de escoamento em um diafragma

Aplicando-se a equação de BERNOULLI entre as seções 1-1 e 2-2, obtém-se:

Equação 31

Onde: Vc é a velocidade do jato na seção contraída e K é o coeficiente de perda

local. Não tem sentido se usar a velocidade média V2 da seção 2-2 porque a distribuição

da velocidade não se aproxima de distribuição uniforme. Na seção contraída do jato (ver

Figura 7) a distribuição da velocidade é uniforme e nela passa toda a vazão Q.

A equação da continuidade, neste caso, permite ter-se:

Equação 32

O diâmetro “dc“ da seção contraída do jato pode ser relacionado com o diâmetro “d”

do orifício através de um coeficiente de contração Cc, tal que:

Equação 33

Fazendo-se:

Equação 34

E tendo-se em conta as Equações 32 e 33, pode-se explicitar Vc na Equação 31 e

obter-se:

Equação 35

��

dc

SeçãoContraída

2

2��

��

��

��

d

1

1

D

Q = V1 = VcπD2

4πdc

2

4

dc2 = Ccd2

= CcQ πd2

4= Vc

πdc2

4

2g∆H

1 - CC2 d

D( )4

+ K

p1

ρg

V12

2g =+p2

ρg

Vc2

2g+ + KVc

2

2g

∆H =p1 - p2

ρg



Englobando-se os termos constantes da Equação 35 em uma única constante C,

chega-se a:

Equação 36

Que é adotada como lei de descarga do diafragma. O valor de C é determinado

experimentalmente.

2.2.2 -Vertedor Retangular de Soleira Delgada

As hipóteses aqui adotadas:

a) Escoamento permanente;

b) Fluido incompressível;

c) Distribuições uniformes de velocidade nas seções 1 e A-B;

d) Superfície livre horizontal entre as seções 1 e A-B;

e) Pressão atmosférica em “A” e em “B”.

Para estas hipóteses a velocidade em um ponto C é igual a (2gh)1/2 e a vazão

teórica é dada por:

Equação 37

Onde h é medido a partir da linha de carga e B é a largura da soleira.

Na realidade a linha d'água não é horizontal e há uma contração do jato emanado

da soleira, como esquematizado na Figura 6. A vazão Q real pode então ser expressa a

partir da vazão teórica Qt pela introdução de um coeficiente de contração Cc:

Equação 38

Esta Equação 38 pode ser escrita em forma mais compacta e conveniente para

aplicações práticas:

Equação 39

Q = C ∆H

H +V0

2

2gV0

2

2g

H +V0

2

2g

B 2gh dh =3

2B 2g{( )3/2

-V0

2

2g )(3/2

}= Qt

H +V0

2

2g32B 2g{( )

3/2

-V0

2

2g )(3/2

}Q = CC

32B 2gQ = CQ

3/2H



Onde:

Equação 40

É razoável supor-se que Cc e a razão V02/(2gh) sejam dependentes apenas da

geometria do contorno, em particular dependentes de H/∆Z. A partir de resultados

experimentais Rehbock evidenciou a dependência entre CQ e H/∆Z. Seus resultados

ajustaram-se bem à fórmula:

Equação 41

2.2.3 -Vertedor Triangular de Lâmina Delgada

Para as mesmas hipóteses do item 2.2.2 e desprezando-se a carga cinética da

aproximação (V0≈0), a vazão teórica Qt para o vertedor triangular é expressa por:

Equação 42

Que após a integração resulta em:

Equação 43

A vazão real Q é então obtida pela introdução de um coeficiente de contração Cc

no segundo membro da Equação 43, ou seja:

Equação 44

Em forma mais compacta pode-se escrever a Equação 44 como:

Equação 45

Onde:

Equação 46

CQ = 0,611 + 0,08 H∆Z

0

H

2gh dh2(H - h) tg α2( )

Q = C H5/2

C = tg α2( )

815 Cc 2g

2g H5/2tg α2( )

815 CcQt=

1 +V0

2

2gH{( )3/2

-V0

2

2gH)(3/2

}CQ = CC

2g H5/2tg α2( )8

15Qt=



Experiências de laboratório têm evidenciado que C ≈ 1,42 para vertedor triangular

com α=90º(Thompson).

2.3. Verificação Experimental

2.3.1 - Objetivo

Esta experiência objetiva a determinação do valor de uma mesma vazão constante

fazendo-se uso de: um diafragma, um vertedor retangular de soleira delgada, um vertedor

triangular 90º de soleira delgada.

2.3.2 - Montagem

A montagem de laboratório é constituída em série de um diafragma, um vertedor

retangular de soleira delgada(Rehbock) e um vertedor triangular 90º de soleira delgada

(Thompson) .

Existe uma ponta limnimétrica para cada vertedor e um manômetro diferencial de

mercúrio para o diafragma.

fotografia 3 - Vista de Montante para Jusante da Bancada de "Hidrometria em Canais"



fotografia 4 - Vista de Jusante para Montante da bancada de "Hidrometria em Canais"

2.3.3 - Procedimentos

a) Abra convenientemente o registro de alimentação e aguarde a permanência do

regime;

b) Leia o manômetro do diafragma;

c) Leia a carga do vertedor retangular;

d) Leia a carga do vertedor triangular;

e) Repita os procedimentos anteriores para duas outras vazões;

f) A altura ∆Z da lâmina do vertedor retangular é de 34,5cm e a sua largura B é de

59cm.

2.3.4 - Consideração Complementares

As três vazões ensaiadas deverão ser calculadas pelas fórmulas dos medidores:

diafragma, vertedor retangular e vertedor triangular.

Toda e qualquer medição realizada durante os ensaios está sujeita a erro de

leitura. O conhecimento da incerteza de leitura permite a estimativa da incerteza na

determinação da vazão. No caso do vertedor triangular, por exemplo, tem-se:



Equação 47

Que em forma logarítmica fica:

Equação 48

Que após diferenciação transforma-se em:

Equação 49

Quando se mede H=100 mm a incerteza de leitura é da ordem de ∆H=0,1mm. Com

H=0,10m a Equação 47 fornece:

Q=0,00449 m3/s ≈ 4,5 l/s

Assim ter-se-á, pela Equação 49:

∆Q = 4,5 l/s x 2,5 x 0,1 mm/100mm

∆Q = 0,011 l/s

Todas as vazões calculadas por todas as fórmulas deverão ter a incerteza ∆Q

estimada. Isto facilitará a evidência do medidor mais preciso.

Q = 1,42 H5/2

ln Q = ln 1,42 + 52

ln H

∆QQ

∆HH

52=

PHD-2301 Hidráulica I - Vertedor de Soleira Espessa


3 - VERTEDOR DE SOLEIRA ESPESSA

3.1. Introdução Existem dois regimes bem distintos nos quais uma vazão constante pode escoar

num canal: regime FLUVIAL (subcrítico) e regime TORRENCIAL (ou supercrítico). No regime

fluvial as velocidades são baixas e as profundidades grandes, ocorrendo o contrário no

regime torrencial.

A ocorrência de uma soleira no fundo de um canal com regime fluvial a montante

proporciona, sobre a soleira, a mudança do regime fluvial para torrencial, passando pelo

regime crítico em algum ponto sobre a soleira. (Ver Figura 8).

Figura 8- Vertedor de soleira espessa

A aplicação da Equação de Energia (Bernoulli) juntamente à Equação da

Conservação de Massa (Continuidade) ao escoamento sobre uma soleira espessa, leva a

uma fórmula para a determinação Q. Vê-se assim que a soleira espessa pode ser usada

como dispositivo medidor de vazão em um canal.

3.2. Tratamento Analítico As seguintes hipóteses simplificadoras serão aqui adotadas:

(a) Escoamento permanente;

(b) Fluido incompressível;

��

ycy

V22

2gV1

2

2g

∆Z

h

1 2

Z

N.A.

y Q



(c) Pressões distribuídas hidrostaticamente;

(d) Velocidades distribuídas uniformemente;

(e) Não existe perda de carga entre as seções 1 e 2, indicadas na Figura 8;

(f) Os filetes sobre a soleira são paralelos a esta.

Considera-se uma seção retangular de escoamento como a da Figura 9 e escreve-

se a carga H com a origem da cota no fundo do canal; ou seja

Equação 50

Figura 9 - Seção retangular de escoamento

Pela hipótese (c) tem-se pM/(ρg) = a e pela observação da Figura 9 a + Z = y. Isto

permite que a carga seja expressa por:

Equação 51

quando a origem de Z coincide com o fundo do canal. As cargas nas seções 1 e 2 são

então expressas por:

Equação 52

Equação 53

Pela hipótese (e) tem-se H1 - H2 = 0 ou

Equação 54

Sem perda de generalidade faz-se y=y2, H=(V12)/2g + h, o que permite obter-se:

Equação 55

V2

2g + y = H

V12

2g+ h + ∆ZH1 =

V22

2g+ y2 + ∆ZH2 =

V22

2g+ y2

V12

2g+ h =

V2

2g+ yH =

��

ya

zM

B

pM

ρgV2

2g + z = H+



00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1y

H

Hmín

yc

FluvialTorrencial

H” =Q2

2B2y2g

H’=y

H = H’ + H”

Introduz-se a vazão a partir da substituição de V=Q/(By) na Equação 55 que resulta

em:

Equação 56

Para uma vazão constante a representação gráfica da Equação 56 tem o aspecto

indicado na Figura 10. A carga específica H passa por um valor mínimo para uma profundidade denominada PROFUNDIDADE CRÍTICA (yc). Derivando-se a expressão de H em

relação a y e igualando-se a zero, obtém-se:

Equação 57

De onde

Com este resultado reescreve-se a Equação 56, na condição crítica, como:

Equação 58

A Equação 56 na condição crítica explicitada em relação à vazão é:

Equação 59

Usando-se a Equação 58 para eliminar yc da Equação 59, chega-se a:

Figura 10 - Gráfico de H=H(y) para Q=cte

Equação 60

Q2

2gB2y2 + yH =

Q2

gB2 = yc3

23

Hyc =

Q = Byc 2g(H-yc)

Q2

gB2y3 + 1 = 0dHdy =

Q =33

2 2gHBH



Esta Equação 60 é a fórmula TEÓRICA para o cálculo de Q. O valor REAL da vazão

pode ser obtido pela introdução de um coeficiente de descarga Cd<1 na Equação 60, que

para g=9.81 m/s2, fornece:

Equação 61

A "British Standard 3680" sugere a expressão:

Equação 62

com:

χ = 0,01867. e-6,7177.h

Equação 63

para estimativa de Cd, onde L é o comprimento e B a largura da soleira em estudo.

A Equação 63 foi obtida experimentalmente para a soleira em análise.


3.3.1 - Objetivo

Esta experiência objetiva aferir um vertedor de soleira espessa com

arredondamento a montante e comparar o seu comportamento com o previsto pela

British Standard 3680.

3.3.2 - Montagem


(a) Vertedor triangular, alimentado por um reservatório de nível constante, como

medidor de vazão;

(b) Ponta limnimétrica no vertedor triangular;

(c) Canal retangular horizontal com 0,10m de largura;

(d) Soleira espessa com largura B=0,10m, altura ∆Z=0,11m e comprimento

L=0,26m;

(e) Ponta limnimétrica para medição da profundidade h, a montante da soleira,

como na Figura 8.

Cd = (1-2χLB )(1- )χL

h

3/2

Q = C d . 1,70 . B . H 3/2



fotografia 5 - Vista Lateral da Bancada do Vertedor de Soleira Espessa


(a) Estabeleça uma vazão Q em regime permanente;

(b) Leia a ponta limnimétrica do vertedor triangular, para posterior determinação da

vazão;

(c) Leia a ponta limnimétrica que está imediatamente a montante da soleira, para

determinação de h, como na Figura 8.

(d) Repita os procedimentos (a) e (c) para dois outros diferentes valores de vazão.

3.3.4 - Considerações Complementares

As vazões escolhidas devem proporcionar sempre a ocorrência de profundidade

crítica sobre a soleira. Se as perturbações provocadas sobre a soleira não se propagam

para montante, fica caracterizado a ocorrência da profundidade crítica.

Os valores de h devem satisfazer à condição:

0,08L < h < 0,50L

O limite inferior está relacionado com a hipótese (e), enquanto o superior relaciona-

se com as hipóteses (c) e (f).

A face inferior do jato a jusante da soleira deve ficar à pressão atmosférica.

Para cada par (Q , h) deverão ser calculados:

!"A velocidade de Aproximação;



!"A carga específica;

!"O valor experimental de Cd, Equação 61;

!"O valor de Cd proposto pela BS3680, Equação 62;

Represente, em uma mesma figura, os conjuntos de pares de pontos:

!"{(Cd = 1, h)};

!"{(Cdexper. , h)};

!"{(CdBS3680 , h)};

V1=Q

B(h+∆Z)

V12

2gH = y +

PHD-2301 Hidráulica I - Ressalto Hidráulico


��

Q

Fluvial

Torrencial yc

4 - RESSALTO HIDRÁULICO

4.1. Introdução Num canal, a passagem do regime fluvial para o torrencial ocorre sem que se

verifique descontinuidade no perfil na linha d'água: um exemplo desta mudança de

regime pode ser verificado quando um escoamento passa sobre uma soleira

descarregadora (vertedor tipo Creager), como na Figura 11:

Figura 11 -Transição entre tipos de escoamentos

A passagem do regime torrencial para o fluvial já não se faz de maneira contínua.

Como essa passagem exige que a linha d'água seja crescente, ocorre uma instabilidade

no escoamento e, consequentemente, uma descontinuidade na linha d'água. Este fenômeno é denominado RESSALTO HIDRÁULICO (Ver Figura 12). Pode-se então dizer que

RESSALTO HIDRÁULICO é o fenômeno caracterizado pela passagem brusca do regime

torrencial para o regime fluvial num escoamento de líquido com superfície livre.

Figura 12 - Ressalto Hidráulico

��

Q

Fluvial

Torrencial



A mais importante aplicação do ressalto hidráulico na Engenharia Civil é como

mecanismo dissipador de energia dos escoamentos torrenciais provocados nas obras de

aproveitamento hidrelétricos. A dissipação de energia que se verifica em um ressalto é

devida à elevada turbulência nele presente.


4.2.1 -O número de Froude

Reportando-nos à Figura 9, o adimensional (positivo) denominado NÚMERO DE

FROUDE, denotado por F, é:

Equação 64

A Equação 57 pode ser transformada em:

F = 1

Equação 65

Observando-se a Figura 10 e, tendo-se em conta a Equação 65 que vale para

H=Hmin, pode-se concluir que:

F>1 ⇔ Regime Torrencial F=1 ⇔ Regime crítico F<1 ⇔ Regime Fluvial

4.2.2 - Profundidades Conjugadas

As profundidades conjugadas do ressalto hidráulico (indicadas na Figura 13) são determinadas a partir da aplicação das equações da QUANTIDADE DE MOVIMENTO e da

CONSERVAÇÃO DE MASSA ao volume de controle (∀ C) indicado na Figura 13. Nas seções 1

e 2 do ∀ C as velocidades são admitidas uniformes e as pressões hidrostaticamente

distribuídas. Desprezando-se as tensões viscosas nas paredes do canal, a equação da

quantidade de movimento, em condições permanentes, projetadas em x (horizontal)

fornece:

Equação 66

Nas mesmas condições, a equação da conservação de massa (continuidade),

aplicada ao ∀ C, resulta:

= − ρV12By1 + ρV2

2By2ρgBy1

2

2ρgB

y22

2-

Empuxo em 1

Empuxo em 2

Q2Bg(By)3 =

V2

gyF2 =



Equação 67

A Equação 66, após a eliminação de V2 pelo uso da Equação 67 e posterior

simplificação, leva a:

Equação 68

Que relaciona as PROFUNDIDADES CONJUGADAS com o número de Froude F1 do

escoamento torrencial.

Figura 13 - Volume de Controle contendo o Ressalto Hidráulico

4.2.3 - Perda de Carga

As cargas específicas nas seções 1 e 2 são respectivamente :

Equação 69

e

Equação 70

A perda de carga no ressalto hidráulico é então dada por:

Equação 71

Usa-se a Equação 67 para eliminar V2 da Equação 71 e obtém-se após

simplificações:

Equação 72

4.2.4 - Eficiência de Dissipação de Energia

A eficiência η da dissipação de energia para cada ressalto formado é dada pela

equação:

Equação 73

V12

2gH1 = y1+

V22

2gH2 = y2+

∆H =(y2 - y1)3

4y1y2

12

y2y1

= ( 1 + 8F12 - 1)

η(%) = .100∆HH1

V1By1= V2By2= Q

Q

∀ C

1 2

ρgBy22/2

ρgBy12/2y1

y2

x

H1 - H2 =∆H = - y2 + y1V2

2

2gV1

2

2g-



Onde ∆H é dado pela Equação 72.

4.3.Verificação Experimental

4.3.1 - Objetivo

Esta experiência tem por objetivo a verificação experimental das profundidades

conjugadas, da perda de carga, da eficiência de dissipação de energia e do comprimento

do ressalto.

4.3.2 - Montagem

A montagem consta, basicamente, de um canal prismático de seção retangular e

declividade nula. Neste canal, na parte de montante, há um vertedor Creager que além de

servir de medidor de vazão também proporciona a ocorrência de escoamento torrencial

em seu pé. No fundo da extremidade de jusante do canal há uma comporta plana

articulável que permite a formação de escoamento fluvial no trecho entre ela e o pé do

vertedor.

Há também uma ponta micrométrica para a medição da profundidade torrencial y1

e uma ponta limnimétrica para a medição da carga no Creager.

fotografia 6 -Vista Lateral da Bancada de Ressalto Hidráulico


(a) Posicione a comporta em uma inclinação conveniente e regule a vazão até fixar

o ressalto imediatamente a jusante de ponta micrométrica que mede y1. Leia a



carga no vertedor Creager e obtenha a vazão segundo a equação da vazão

fornecida;

(b) Meça, com a ponta de medida, a profundidade torrencial y1 e, com uma escala

milimetrada, a profundidade fluvial y2;

(c) Estime o comprimento L do ressalto com a escala milimetrada;

(d) Repita, para duas outras vazões, os procedimentos de (a) a (c).

4.3.4 - Orientações Complementares

É conveniente medir a largura B do canal.

A ponta micrométrica deve ser zerada junto ao fundo do canal.

Para se verificar a equação das profundidades conjugadas, deve-se adotar como

corretos os valores experimentais de y1 e Q. Assim, podem ser calculados os valores de

y2 "teóricos", que devem ser comparados com os de y2 experimentais.

As perdas de carga e as eficiências de dissipação de energia devem ser calculadas

tanto para os valores experimentais como para os valores teóricos de y2.

Confronte os comprimentos estimados para os ressaltos com os fornecidos pela

fórmula empírica de Chertoussov:

Equação 74 L = 10,3y1(F1 - 1)0,81

PHD-2301 Hidráulica I - Filtração


5 - FILTRAÇÃO

5.1. Introdução A palavra infiltração indica, em geral, o conjunto de fenômenos de movimento de

um fluido através de um meio permeável ou poroso, por exemplo, um meio constituído

pelos grãos de um terreno arenoso ou argiloso.

Os movimentos de filtração são frequentes na Engenharia Civil, podendo-se citar

os que ocorrem através de: barragens de terra ou de enrocamento, solos naturais nas

circunvizinhanças de poços freáticos e artesianos e filtros das estações de tratamento de

água para abastecimento público.

Devido à extrema complexidade do sistema de condutos formados pelos vazios de

um meio poroso por onde o fluido se movimenta não é conveniente o uso de um

tratamento microscópio para descrever tal movimento. É preferível descrever-se o

movimento no seu aspecto global, em termos de grandezas médias .

5.2. Tratamento Analítico A cada ponto do meio poroso associa-se uma COTA PIEZOMÉTRICA h definida por:

Equação 75

Onde:

!"z cota geométrica

!"p pressão

!"ρ massa específica do fluido

!"g aceleração gravitacional

Algumas definições fazem-se necessárias neste ponto:

!"POROSIDADE n: é a razão entre o volume de poros ∀ p e volume total de uma

amostra de um meio poroso, isto é:

Equação 76

pρgh = z +

∀ p

∀n =



!"VELOCIDADE DE FILTRAÇÃO V: é a razão entre a vazão Q do fluido e a área A

normal à direção do movimento, ou seja:

Equação 77

!"VELOCIDADE MÉDIA EFETIVA Vm:

Equação 78

onde ns = Ap /A, sendo Ap a área de poros que existe em A.

Quando um movimento de fluido através de um meio poroso é laminar e na direção

S, o escoamento é governado pela lei de Darcy:

Equação 79

Onde K, que tem dimensão LT-1, é denominado COEFICIENTE DE PERMEABILIDADE e

é constante para cada meio poroso fixado.

A Equação 79 é válida apenas para escoamentos com características laminares nos interstícios do meio poroso. O parâmetro usado para classificar um escoamento quanto ao seu grau de turbulência é o número de Reynolds que, em princípio, pode ser definido como:

Equação 80

Onde “d” é o diâmetro médio associado aos poros e µ é o coeficiente de viscosidade dinâmica.

A grande dificuldade que surge com o número de Reynolds definido pela Equação 80 é quanto à fixação do diâmetro médio d. Esta dificuldade pode ser superada pela introdução de uma grandeza denominada COEFICIENTE INTRÍNSECO DE PERMEABILIDADE k que será definido mais adiante.

O coeficiente de permeabilidade K depende de propriedades físicas do fluido e de características geométricas do meio poroso. Relacionando tais grandezas existe uma relação funcional.

F0(K ,ρg ,µ,n ,T ,d)=0

Equação 81

onde T é a TORTUOSIDADE do meio definido por T = (SISe)-2 , com S e Se sendo distâncias indicadas na Figura 14.

Figura 14 - Meio poroso com indicação das distâncias S e Se.

QA

V =

Vns

Vm =

dhds

V = K

ρVmdµ

Re =

Se S



A análise dimensional permite transformar o funcional (81) em:

Equação 82

Da Equação 82 pode-se escrever:

Equação 83

onde C é uma constante para cada meio poroso e onde n e T são constantes.

A Equação 83 pode ser reescrita como:

Equação 84

No segundo membro da Equação 84, o produto Cd2 depende unicamente de características geométricas do meio poroso. Tal produto define o COEFICIENTE INTRÍNSECO

DE PERMEABILIDADE, isto é, cd2 = k. Tem-se assim:

Equação 85

Pela definição de k fica estabelecido que d ≈ k1/2. A grandeza linear k1/2, que se

determina experimentalmente dentro da validade da Lei de Darcy, pode, sem perda de

generalidade, substituir “d” na definição do número de Reynolds, resultando em:

Equação 86

onde também se substituiu Vm por V.

Quando nos interstícios de um meio poroso o escoamento deixa de ser laminar, a

lei de Darcy não mais consegue modelar o fenômeno de filtração. Neste caso, uma lei do

tipo:

Equação 87

proposta por Forchneimer, pode representar com sucesso o fenômeno da filtração.

Dentro da validade da lei de Darcy tem-se αV >>> βV2 e a Equação 87 recai na lei

de Darcy, Equação 79. Isto evidencia que:

Equação 88

ρgd2

KµF1 , n , T = 0)(

ρgd2

Kµ = F2 n , T = C)(

Cd2 ρg

µK =

k ρg

µK =

ρgk

µα =

K1

=

ρVk1/2

µRek =

dh

ds = αV + βV2



Arbhabhirama, por analogia experimental com a fórmula universal de perda de

carga propôs um fator de atrito para escoamento em meio poroso na forma:

Equação 89

que permite a estimativa do gradiente da carga (perda unitária) no meio poroso através da

Equação 90:

Equação 90

A constante B é associada à filtração turbulenta.

5.3.Verificação Experimental

5.3.1 - Objetivo

A presente experiência tem por objetivo a determinação do coeficiente intrínseco

de permeabilidade k e do coeficiente B de uma amostra de um meio poroso.

5.3.2 - Montagem

A montagem está indicada na fotografia 7. Os principais elementos que constituem

a montagem são:

!"Bomba centrífuga ;

!"Amostra de meio poroso;

!"Registros de gaveta;

!"Tubo Dall para medição da vazão;

!"Manômetro diferencial água-ar

conectado ao tubo Dall;

!"Multimanômetro diferencial água-ar

para medição da perda de carga

piezométrica do escoamento

através da amostra.

fotografia 7 -Vista geral da Bancada de Filtração

fk = Rek-1 + B

dhds = fk

1k

V2

g



fotografia 8 -Vista Detalhada da Instalação

5.3.3 -Procedimentos

a) Meça a diferença piezométrica no tubo Dall e com ela determine a vazão que

escoa através do meio poroso;

b) Meça as cargas piezométricas no multimanômetro diferencial e com elas calcule

a perda unitária dh/ds na amostra;

c) Os procedimentos (a) e (b) devem ser realizados para dez diferentes vazões,

sendo que para as cinco menores vazões o escoamento através do meio

poroso deve ser laminar, isto é, deve estar dentro do limite da lei de Darcy, o

que pode ser obtido para diferenças piezométricas no multimanômetro menores

que 2 cm .



5.3.4 - Orientações Complementares

A partir das vazões medidas calcule as velocidades V de filtração. Isto é obtido

dividindo-se a vazão Q pela área A da seção transversal da amostra do meio poroso.

Faça um gráfico cartesiano que represente os pares de pontos experimentais

(dh/ds, V), onde dh/ds é a perda de carga por unidade de comprimento da amostra do

meio poroso. A Figura15 esquematicamente tal representação.

Figura 15 - Valores experimentais de dh/ds x V.

Na Figura 15, por exemplo, os três pontos experimentais correspondentes às três

menores vazões estão alinhados e por eles está traçada uma reta que deve passar pela

origem. Estes pontos alinhados satisfazem a lei de Darcy, Equação 79, o que permite a

obtenção do coeficiente intrínseco de permeabilidade k, pois:

tg θ = K = k.ρ.g / µ

Equação 91

Obtendo-se então:

k = (µK).(ρg)-1 = (νK).(g)-1

Equação 92

Para cada ensaio calcule o fator de atrito fk do meio poroso pela Equação

90.Também calcule os correspondentes valores de Rek pela Equação 86.

Onde: ν = µ/ρ é a viscosidade cinemática. Para água a 20ºC tem-se ν ≈10-6 m2/s.

Em papel bilog represente os pares dos pontos (Rek, fk) assim como a curva

correspondente à equação fk = 1/Rek que é exatamente a lei de Darcy.

Verifique os valores de B somente para os valores dados não utilizados pela lei de

Darcy.

θdh/ds0

V



O que você acha que acontecerá se os ensaios forem repetidos com o mesmo

material do meio poroso estudado apenas mais adensado?

PHD-2301 Hidráulica I - Canal em Regime Permante Uniforme e Gradualmente Variado


6 - CANAL EM REGIME PERMANTE

UNIFORME E GRADUALMENTE VARIADO

6.1. Canal em Regime Uniforme

6.1.1 - Introdução

O escoamento de um líquido num canal aberto é classificado como em REGIME

UNIFORME quando a velocidade média do escoamento, a declividade do canal, a área da

seção hídrica e a profundidade permanecem constantes ao longo do canal. Nestas

condições a vazão do escoamento é constante e o regime do escoamento é

PERMANENTE.

É oportuno ressaltar que um escoamento permanente e uniforme só pode ocorrer

num canal de geometria prismática.

A profundidade associada ao regime uniforme é denominada PROFUNDIDADE

NORMAL e denotada dor y0. A pressão distribui-se hidrostaticamente ao longo de y0.

As principais características geométricas e físicas usadas no tratamento do regime

normal são:

y0 ⇒ Profundidade normal A ⇒ Área molhada P ⇒ Perímetro molhado RH = A/P ⇒ Raio hidráulico DH = 4RH ⇒ Diâmetro hidráulico Q ⇒ Vazão em volume V = Q/A ⇒ velocidade média i = tg θ ⇒ Declividade de fundo τ0 ⇒ Tensão de cisalhamento na parede do canal K ⇒ Rugosidade equivalente da parede do canal ν ⇒ Viscosidade cinemática Re = vDH/ν ⇒ Número de Reynolds



Figura 16 - Características de um canal

6.1.2 - Tratamento Analítico

O escoamento permanente e uniforme encontra-se em equilíbrio dinâmico, isto é, a

soma das forças externas é igual a zero.

Para o trecho elementar de canal indicado na Figura 17, de comprimento ∆x e

delimitado pelas seções 1 e 2, a condição de equilíbrio dinâmico é expressa por:

ρg . A . ∆x(sen θ) - τ0 . P. ∆x = 0

Equação 93

Considerando-se um canal de pequena declividade, isto é, um canal onde

senθ≈tgθ=i e tendo em conta que A/P = RH, a Equação 93 fica reescrita como:

τ0 = ρgRHi

Equação 94

Evidências experimentais têm sugerido que a tensão de cisalhamento τ0 (aqui

suposta distribuída uniformemente) é proporcional ao quadrado da velocidade média, ou

seja:

τ0 = aV2

Equação 95

Onde “a” é uma constante de proporcionalidade.

��

τ0 y0A

P

Q

θ



Figura 17 – Trecho elementar de canal

A eliminação de τ0 entre as equações 94 e 95 fornece:

Ou

Equação 96 - Equação de Chézy

Onde C= (ρg/a) é o coeficiente de Chézy com dimensão (m / s).

Pode-se também multiplicar os dois membros da Equação 96 pela área A e

reescrevê-la na forma:

Q = C.A.(RHi)

Equação 97

A perda de carga num canal é dependente da rugosidade relativa (K/DH) e do grau

de turbulência expresso através do número de Reynolds. Assim deve-se ter:

C=C(K/DH,Re)

Outros pesquisadores propuseram fórmulas para os escoamento em regime

uniforme que, em comparação com a fórmula de Chézy, nada mais são do que

expressões para a determinação do coeficiente C. A seguir estão algumas das mais

consagradas destas fórmulas.

6.1.2.1. Fórmula de Manning-Strickler

Equação 98

Aqui "n" é denominado COEFICIENTE DE MANNING, está associado à rugosidade do

canal e não leva em conta o efeito da viscosidade. Esta fórmula não deve ser aplicada a

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

τ0 A

θ

ρg.A.∆x ρg.A.∆x.sen θ

∆x

2

1

ρga

V = RHi

V = C RHi

1nC = RH

1/6



canais de pequenas dimensões onde o efeito da viscosidade é importante. O Coeficiente (1/n) é denominado COEFICIENTE DE STRICKLER.

6.1.2.2. Fórmula Universal

Obtém-se a fórmula universal para escoamento uniforme em canal a partir da

analogia entre a fórmula de Chézy e a fórmula Universal (Darcy-Weisbach) para conduto

forçado cilíndrico circular:

Equação 99

Tendo-se em conta que ∆H/L = i e fazendo-se D=DH=4RH, a Equação 99 refunde-

se:

Equação 100

Para conduto forçado tem-se:

Equação 101

Como não existe analogia entre distribuições de velocidade em conduto forçado e

em canal, Henderson propôs que a constante 3,71 fosse alterada para 3,00 visando

melhorar a adequação da fórmula Universal ao escoamento em canal, ficando então:

Equação 102

Como Re= VDH/ν e, da fórmula Universal, f = V-1. (2g∆HDH) L- , tem-se:

Equação 103

Transforma-se a expressão para o cálculo de C em:

Equação 104

Que corresponde à FÓRMULA UNIVERSAL.

8gf

V = RHi C =8gf

⇒

∆H =DH

f.L

2gV2

= -2 log10

1

fK

3,71RH

2,52Re f

+( )

C= -2 8g log 10K

12RH

2,52Re f

+( )

C= -2 8g log10K

12RH+( )2,52ν

4RH 8gRHi

fRe =DHν

8gRHi



6.1.3 - Verificações Experimentais

6.1.3.1. Objetivo

A presente experiência objetiva estabelecer as condições de escoamento em

regime uniforme num canal de seção retangular e obter os coeficientes C de Chézy, n de

Manning e o valor da rugosidade equivalente K.

6.1.3.2. Montagem

Figura 18 - Esquema de montagem

fotografia 9 - Vista de Montante para Jusante da Bancada de Regime Permanente Uniforme e Gradualmente Variado

��

��

y1

y2

��

H

Reservatóriode nível

constante

Registro de controle dealimentação do canal

Ponta limnimétrica do vertedor

Vertedor Retangular de soleira delgada paramedição de vazão do canal

Canal retangular com 0,35 m delargura e 0,01 m/m de declividade,revestido de pedregulho

Pontas limnimétricas para determinaçõesdas profundidades

Comporta plana vertical paraauxiliar no estabelecimento doregime uniforme



6.1.3.3. Procedimentos

a) Alimente o canal com uma vazão constante;

b) Com a ponta limnimétrica meça a carga H para posterior determinação do

valor da vazão Q através da lei do vertedor;

c) Com auxílio da comporta imponha o regime uniforme, isto é, y1=y2;

d) Meça a profundidade normal: y0=y1=y2;

6.1.3.4.Orientações Complementares

Deverão ser calculados o raio hidráulico RH, o diâmetro DH, o coeficiente de Chézy

C, o coeficiente de Manning n e a rugosidade equivalente K.

É de tudo oportuno observar a ordem de grandeza da rugosidade que existe no

canal, pois o valor de K determinado a partir dos ensaios deve estar na mesma faixa.

Os resultados experimentais devem ser comparados com os encontrados nos

textos de hidráulica geral.

6.2. Curvas de Remanso

6.2.1 - Introdução

Nos escoamentos permanentes com superfície livre, as possíveis ocorrências de

perfis longitudinais de interface água-ar são genericamente denominadas CURVAS DE

REMANSO.

O conhecimento das possíveis curvas de remanso em um rio, por exemplo, é de

grande importância para o aproveitamento dos recursos hídricos.

A determinação de uma particular curva de remanso é uma tarefa árdua no caso de

um curso d'água natural. Em se tratando de um canal artificial, onde a forma de seção

transversal e a rugosidade do revestimento são conhecidas, as equações tornam-se mais

simples, permitindo até mesmo soluções analíticas em casos especiais.

6.2.2 - Tratamento Analítico

Considere-se um canal prismático de seção retangular com largura B. Um

escoamento permanente nesse canal é governado apenas pela equação da quantidade

de movimento:

Equação 105

Onde:

A = By ⇒ área molhada;

gA(1-F2)dydx

+ gA(j - i) = 0



y ⇒ profundidade;

i ⇒ declividade de fundo;

F2 = Q2B/(gA3) = V2/(gy) ⇒ no de Froude ao quadrado;

j ⇒ declividade da linha da carga;

x ⇒ eixo horizontal orientado segundo o escoamento.

A Equação 105 é geralmente apresentada na forma:

Equação 106

Que é mais conveniente para aplicação de métodos numéricos de soluções de

equações diferenciais ordinárias.

A declividade da linha de carga (linha de energia), também denominada declividade

de atrito, é definida por:

Equação 107

A equação diferencial do remanso, Equação 106, pode ser resolvida

numericamente pelo Standard Step Method (profundidade calculada a partir das

distâncias). O método tem como base a discretização do canal em pequenos intervalos

onde se pode aplicar a equação de Manning.

Quando o numerador do segundo membro da Equação 106 é igual a zero, isto é,

i=j. tem-se um escoamento permanente e uniforme. Com j expresso pela Equação 107,

obtém-se:

Equação 108

Que é a equação do REGIME PERMANENTE E UNIFORME, cuja profundidade associada

é denominada PROFUNDIDADE NORMAL OU UNIFORME, yn.

Quando o denominador do segundo membro da Equação 106 é igual a zero, isto é,

F2=1, tem-se um ESCOAMENTO CRÍTICO, cuja profundidade associada denomina-se

profundidade crítica, yc.

6.2.3 -Verificações Experimentais

6.2.3.1. Objetivo

A presente experiência objetiva a medição das profundidades em duas seções de

um canal de seção retangular com escoamento permanente não uniforme, e a

dydx

i - j1 - F2=

V2

C2RH

Q2

C2A2RH=j =

Q = CA RHi



comparação dessas profundidades com as obtidas pela aplicação do Standard Step

Method.

6.2.3.2. Montagem

É a mesma do item anterior.

6.2.3.3. Procedimentos

a) Com auxílio da comporta imponha uma curva de remanso com profundidade

crescente no sentido do escoamento para a condição já estabelecida em

6.1.3.3.d;

b) Meça as profundidades nas duas seções onde se localizam as pontas

limnimétricas, y1 e y2.

A distância L12 entre as seções é de 12,38m.

6.2.3.4. Orientações Complementares

É conveniente impor-se a máxima diferença possível entre os valores de y1 e y2.

Para facilitar os cálculos, sugere-se a seguinte seqüência :

(i) Utilize a profundidade normal calculada para o canal em regime uniforme;

(ii) Calcule a profundidade crítica yc(F2=1);

(iii) Classifique o canal com relação à sua declividade e a curva de remanso

decorrente da imposição da vazão de ensaio;

(iv) As possíveis discrepâncias deverão ser explicadas ou comentadas;

PHD-2301 Hidráulica I – Ondas de Oscilação

7 – ONDAS DE OSCILAÇÃO 7.1. Introdução

Ondas de Oscilação são movimentos periódicos que se

propagam praticamente sem que haja transporte de massa, ou

seja, as partículas que participam do movimento, retornam a

suas posições iniciais após a passagem da onda.

As Ondas de Oscilação que ocorrem nos grandes corpos

d’água como mares e reservatórios são geradas pela

transferência de energia de outras fontes como o vento e

tremores sísmicos, para a superfície líquida que as transporta

e as transfere para alguma estrutura ou linha de costa (ou

margem), que, em geral, dissipa uma parcela da energia e

reflete o restante. Assim, as ondas são o principal agente

modelador da costa, pelo transporte de sedimentos que

acarretam, bem como produzem muitas das forças às quais as

estruturas marítimas e lacustres estão submetidas.

Desta forma, conhecer o comportamento das Ondas de

Oscilação passa a ser essencial para determinar o comportamento

morfológico dos litorais, bem como para dimensionar as

estruturas costeiras e portuárias. Neste sentido, surgiu a

Teoria Linear de Ondas (ou Teoria Elementar de Ondas

Progressivas, ou ainda, Teoria de Airy).

Este experimento visa comprovar a Teoria Linear de Ondas,

utilizando, para tanto o Canal de Ondas existente no Grande

Hall de modelos do Laboratório de Hidráulica (ver fotografia

10).



fotografia 10 – Vista lateral do Canal de Ondas do Laboratório de

Hidráulica


7.2.1 - Definições básicas

Estão apresentadas na Figura 19, algumas definições

básicas relacionadas a uma onda oscilatória progressiva

sinusoidal simples.

Figura 19- Definições básicas de uma onda oscilatória progressiva

sinusoidal



Onde:

Crista é o ponto mais alto atingido pela onda acima do

nível d’água em repouso, enquanto cavado é o ponto mais baixo;

a é a amplitude da onda, que pode ser medida entre o nível

d’água em repouso e a crista ou cavado;

H é a altura da onda, correspondente ao desnível entre a

crista e o cavado da onda, sendo, portanto, igual a 2a ;

L é o comprimento da onda, correspondente à distância

entre duas cristas consecutivas;

T é o período da onda, que corresponde ao intervalo de

tempo entre a passagem de duas cristas consecutivas por um

ponto fixo;

h é a profundidade em relação ao nível d’água em repouso;

C é a celeridade ou velocidade de fase da onda, podendo

ser descrita por:

TLC =

Equação

109

h é o deslocamento do nível d’água em relação ao de repouso como função da

dimensão x e do tempo t.

7.2.2 – Equacionamento resultante

Utilizando os conceitos fundamentais da mecânica dos fluidos ideais, Airy propôs e

solucionou as equações para as grandezas envolvidas nas ondas de oscilação, estando estas

apresentadas a seguir.

( ) θωη coscos atkxa =−⋅= Equação

110

Onde:



Lk π2= : número de onda;

Tπ

ω2

= : freqüência angular.

( )khTgL tanhω⋅

= Equação

111

Onde g é a aceleração gravitacional.

( )khgTLC tanh

ω== Equação

112

Note-se que as Equações 111 e 112 são iterativas, visto que o comprimento

também aparece no segundo termo das equações, no fator k. Por isso algumas

simplificações são apresentadas a seguir:

No caso da onda se propagando em águas profundas (h≥L/2), a tangente

hiperbólica tende para a unidade, o que resulta em:

22

0 56,12

TTgTgL =⋅

=⋅

=πω

Equação

113

TTggC 56,120 =⋅

==πω

Equação

114

Outras grandezas envolvidas estão relacionadas com as órbitas descritas

pelas partículas de água pertencentes ao movimento oscilatório. Na Figura 20 estão

apresentados estes parâmetros.



Figura 20 – Deslocamentos das partículas d’água de sua posição média para

águas rasas e profundas

Sendo A o semi-eixo maior (horizontal) e B o semi-eixo menor (vertical) dados

por:

( )[ ]( ))

coshkhsenh

hzkaA +⋅= Equação

115

( )[ ]( ))khsenh

hzksenhaB +⋅= Equação

116

Novamente, no caso de águas profundas a órbita se torna circular, com raio

dado por:

kzeaBA ⋅== Equação

117


7.3.1 – Objetivo

Este experimento objetiva medir uma série de parâmetros obtidos a partir de

ondas geradas no Canal de Ondas do Laboratório de Hidráulica da Escola

Politécnica da Universidade de São Paulo e comparar com os resultados esperados

pela Teoria Linear de Ondas. 7.3.2 – Montagem




(a) Canal prismático de 50x1x1,40 m;

(b) Gerador de ondas tipo pistão com 0,80 m de curso;

(c) Circuito analógico para controle do motor que permite

gerar ondas sinusoidais de diversos períodos e amplitudes;

(d) Pontas capacitivas para registro das ondas geradas

(e) Programa desenvolvido no software LabView para

aquisição dos sinais enviados pelas pontas capacitivas,

apresentação e geração de arquivo;

(f) Trena para medir o comprimento da onda e da órbita;

(g) Cronômetro para medir o período e a celeridade da

onda;

(h) Disquete para gravar os arquivos de saída do software.

erador de ondas

Pontas capacitiv

Gas
Software de aquisiçãodos dados
fo

da

tografia 11 – Principais elementos

montagem do experimento

7.3.3 – Procedimentos

(a) Meça o nível d’água em repouso a partir da régua

instalada no visor do canal de ondas;

(b) Coloque em funcionamento o software clicando na seta

preta existente no canto superior esquerdo da tela;



(c) Espere até que o indicador de varredura do gráfico

(linha vertical vermelha) esteja se movimentando, o que

indica que o programa já se inicializou;

(d) Peça a um dos instrutores que coloque o gerador de

ondas em funcionamento com a freqüência de 0,60Hz, e uma

amplitude entre 20 e 30%;

(e) Meça, na própria régua fixada no canal, a altura (H)

da onda gerada;

(f) Extraia o período da onda (T) cronometrando o tempo

necessário para a passagem de um número razoável de

cristas consecutivas (10, por exemplo) e dividindo pelo

número de intervalos medidos;

(g) Para obter-se o comprimento da onda (L) mova o

carrinho que contém a segunda ponta capacitiva até que,

observando o gráfico gerado pelo software, tenha-se os

sinais das duas pontas sobrepostos, pois assim pode-se ter

certeza que ambos estão distantes um número exato de

comprimento de ondas;

(h) Meça, com a trena, a distância entre as hastes das

duas pontas capacitivas e conte quantas ondas completas

existem entre elas;

(i) Cronometre ainda, o tempo gasto para que uma crista

que passa pela primeira ponta alcance a segunda, para

obter a celeridade (C);

(j) Observe as órbitas formadas pelas bolinhas dispostas

no canal verificando o comportamento do seu diâmetro em

função da profundidade;

(k) Meça, empregando uma caneta de hidrocor e régua, os

diâmetros horizontais e verticais das órbitas formadas

pelas bolinhas (2*A e 2*B respectivamente), para tanto,

não esqueça de descontar o diâmetro da bolinha da conta;

(l) Aperte o botão de parada do software (aquele escrito

STOP em vermelho), de um nome sugestivo ao arquivo e salve

no disquete disponibilizado pelos instrutores. (não

esqueça de mencionar o nome do grupo, a data e a

freqüência ensaiada)

(m) Peça para que um dos instrutores desligue o gerador de

ondas, espere que o nível d’água se estabilize e repita



os passos de (a) a (l) com a freqüência de 1,20Hz e uma

amplitude entre 10 e 20%;

(n) Faça uma cópia dos arquivos (.txt) gerados pois estes

serão utilizados na elaboração do relatório, como será

visto mais adiante.

7.3.4 – Considerações Complementares

O arquivo gerado em cada ensaio deve ser importado para um

software de planilha, sempre tomando cautela com relação ao

separador decimal.

Isso feito, pode-se perceber que o arquivo possui, na

primeira coluna, o tempo em segundos e, nas duas seguintes, os

valores medidos pelas pontas capacitivas 1 e 2 em centímetros.

Com estes dados pode-se calcular com melhor precisão a

altura (H) e o período (T) da onda. Para tanto, deve-se plotar

um gráfico da leitura das pontas em função do tempo, e escolher

um trecho de aproximadamente dez ondas, onde as duas pontas são

aproximadamente coincidentes nas leituras.

Para este trecho pode-se calcular, utilizando apenas a

ponta 1, o período médio da onda (entre zeros ascendentes ou

entre máximos consecutivos) e a altura média (média da

diferença entre máximos e mínimos consecutivos).

Com estes dois valores pode-se calcular, empregando a

Teoria Linear de Ondas o comprimento da onda (L), a celeridade

da onda (C) e os semi-eixos orbitais (A e B) para as

profundidades onde estes foram medidos por intermédio das

bolinhas. Não se esqueça que alguns destes cálculos são

iterativos.

Por fim, compare os valores medidos com os encontrados

pela Teoria Linear de Ondas, comente os resultados e justifique

eventuais discrepâncias.



Comente também, as diferenças observadas entre as duas

freqüências ensaiadas.


experiencias de laboratorio de hidraulica

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