exesrcícios resolvidos de ma12 - profmat

7/29/2019 Exesrccios resolvidos de MA12 - profmat

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Solucoes

Problema 1. (Unidade 5)

Prove que a soma dos cubos de tres numeros naturais consecutivos e multiplo de 9.

Solucao

Devemos mostrar que n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 e divisvel por 9, para todo n N. Seja

P(n) : n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 a proposicao que queremos provar. Temos que todo numerodivisvel por 9 esta escrito sob a forma 9.k, onde k N.Observemos que:

P(1) = 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 = 9.4.

Logo, P(1) e verdadeira, pois 9.4 e divisvel por 9. Suponhamos que, para algum n, tem-se P(n)

verdadeira, ou seja,P(n) : n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 = 9.k.

Assim, devemos mostrar que e verdadeira, tambem, para P(n + 1).De fato,

P(n + 1) = (n + 1)3 + (n + 2)3 + (n + 3)3

= (n + 1)3 + (n + 2)3 + (n3 + 9n2 + 27n + 27)

= n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 + 9n2 + 27n + 27.

Pela hipotese de Inducao, temos que P(n + 1) = n3

+ (n + 1)3

+ (n + 2)3

= 9.k.Da,

P(n + 1) = 9k + 9(n2 + 3n + 3) = 9(k + n2 + 3n + 3)

tomando k = k + n2 + 3n + 3, poderemos reescreve-la da seguinte maneira:

P(n + 1) = 9.k.

Logo, fica demonstrado que P(n + 1) e verdadeira e por consequencia a proposicao e verdadeirapara todo n N.

Problema 2 -Unidade 3

Prove que para todo n N, n 2, vale

1

n + 1+

1

n + 2+ ... +

1

2n>

13

14.

1


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Solucao

Tomemos por Sn o primeiro membro da desigualdade.

i) Para n = 2, temos

S2 =1

2 + 1+

1

2 + 2=

1

3+

1

4=

7

12=

14

24

Como 1424 >1324 , a proposicao e verdadeira para n = 2.

ii) Suponhamos que Sn seja verdadeira para algum n N. Assim, devemos mostrar que everdadeira, tambem, para Sn+1.De fato,

Sn =1

n+1+ 1

n+2+ ... + 1

2ne Sn

+1= 1

n+2+ 1

n+3+ ... + 1

2n+ 1

2n+1+ 1

2n+2

Ao compararmos Sn e Sn+1, vemos que

Sn+1 Sn =1

2n + 1+

1

2n + 2

1

n + 1

Sn+1 Sn =2(n + 1) + 2n + 1 2(2n + 1)

2(n + 1)(2n + 1)

Sn+1 Sn =2(n + 1) + 2n + 1(1 2)

2(n + 1)(2n + 1)

Sn+1 Sn =2n + 2 2n 1

2(n + 1)(2n + 1)

,

ou seja,

Sn+1 Sn =1

2(n + 1)(2n + 1).

Como o segundo membro da ultima desigualdade e positivo, para qualquer n N. Podemosconcluir que

Sn+1 > Sn.

Temos ainda que, Sn >1324 , entao Sn+1 >

1324 .

Dessa forma fica demonstrado que Sn+1 e verdadeira para todo n N.Logo, a proposicao e verdadeira para todo n N.


Dada a sequencia definida pela recorrencia

a1 = 1

a2 = 2

an+2 = an+1 an,

prove que para todo n N vale an+6 = an.

2


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Solucao

Temos que sequencia do enunciado do problema, a partir do 3o termo, tem seus valores obtidos

pela diferenca entre os dois termos anteriores. Dessa forma, como a1 = 1 e a2 = 2, podemosencontrar alguns dos proximos termos:

a3 = 1, a4 = 1, a5 = 2, a6 = 1, a7 = 1.

Assim, tomando P(n) a proposicao de que se em uma sequencia definida pela recorrencia

a1 = 1

a2 = 2

an+2 = an+1 an,

entao an+6 = an para todo n N.Aplicando Inducao Finita, temos que:

i)Para n = 1, a afirmacao e verdadeira, visto que

a7 = a1.

ii) Suponhamos que P(n) seja verdadeira para algum n N, devemos mostrar que tambem valepara n + 1. De fato,

a(n+1)+6 = an+6 an+5

Pela H.I., temos que an+6 = an. Assim,

an+7 = an an+5

an+7 = an (an+4 an+3)

an+7 = an (an+3 an+2 an+3)

an+7 = an + an+2

an+7 = an + an+1 an

an+7 = an+1

Dessa forma, fica demonstrado que P(n + 1) e verdadeira para todo n N.Logo, a proposicao e verdadeira para todo n N.


Se un e o n-esimo numero de Fibonacci, prove que

u3 + u6 + u9 + ... + u3n =u3n+2 1

2.

3


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Solucao

Consideremos P(n) a proposicao de que se un e o n-esimo numero de Fibonacci, entao u3 + u6 +

u9 + ... + u3n = u3n+2

12 .Fazendo Inducao Finita sobre P(n), temos que:

i) Para n = 1, temos que:

P(1) : u3 =u3+2 1

2

P(1) : u3 =u5 1

2

Pela sequencia de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...), podemos observar que os termos u3 = 2 eu5 = 5. Assim,

2 = 5 12

2 = 2.

Logo, P(1) e verdadeira.

ii) Suponhamos que P(n) seja verdadeira para algum n N. Assim, devemos mostrar que everdadeira, tambem, para P(n + 1). Da, somando a ambos os membros da igualdade o termo

u3n+3 temos:

u3 + u6 + u9 + ... + u3n + u3n+3 =u3n+2 1

2+ u3n+3

=u3n+2 + 2u3n+3 1

2

.

Como por definicao a sequencia de Fibonacci e do tipo un+2 = un+1 + un, temos que

u3 + u6 + u9 + ... + u3n + u3n+3 =(u3n+2 + u3n+3) + u3n+3 1

2

=(u3n+4 + u3n+3) 1

2

=u3n+5 1

2

=u3(n+1)+2 1

2.

Dessa forma fica demonstrado que P(n + 1) e verdadeira para todo n N.Logo, a proposicao e verdadeira para todo n N.

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