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Exercícios de probabilidade resolvidos - UNICAMPTRANSCRIPT
DECOM-FEEC-UNICAMP EE-881 – Princípios de Comunicações I
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1
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1. Um experimento consiste em observar a soma dos números de 2 dados quando eles são jogados.
a) Descreva o espaço amostral.
S =
1−6( ) 2−6( ) 3−6( ) 4−6( ) 5−6( ) 6−6( )1−5( ) 2−5( ) 3−5( ) 4−5( ) 5−5( ) 6−5( )1− 4( ) 2− 4( ) 3− 4( ) 4− 4( ) 5− 4( ) 6− 4( )1−3( ) 2−3( ) 3−3( ) 4−3( ) 5−3( ) 6−3( )1− 2( ) 2− 2( ) 3− 2( ) 4− 2( ) 5− 2( ) 6− 2( )1−1( ) 2−1( ) 3−1( ) 4−1( ) 5−1( ) 6−1( )
"
#
$$$$$$$$$$
%
&
''''''''''
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b) Assumido todos os resultados equiprováveis, encontre a probabilidade da soma ser 7 e a probabilidade da soma ser maior que 10.
P soma = 7( ) = P 1−6( )+ P 2−5( )+ P 3− 4( )+ P 4−3( )+ P 5− 2( )+ P 6−1( )
= 6× 136
=16
P soma >10( ) = P 5−6( )+ P 6−6( )+ P 6−5( ) = 3× 136 =112
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2. Um experimento consiste em observar 6 pulsos consecutivos em um enlace de comunicações. Pulso pode ser positivo, negativo ou ausente. Experimentos individuais que determinam o tipo de pulso são independentes.
i-ésimo pulso: positivo: {xi = +1} negativo: {xi = -1} ausente: {xi = 0}
Assuma que P(xi = +1) = 0,4 e P(xi = -1) = 0,3.
a) Encontre a probabilidade de todos os pulsos serem positivos.
b) Encontre a probabilidade dos 3 primeiros serem positivos, os 2 seguintes serem negativos e o último ausente.
P x1 = +1( ) , x2 = +1( ) , x3 = +1( ) , x4 = +1( ) , x5 = +1( ) , x6 = +1( )!"
#$=
P x1 = +1( )P x2 = +1( )P x3 = +1( )P x4 = +1( )P x5 = +1( )P x6 = +1( ) = 0,46 = 0,0041
P x1 = +1( ) , x2 = +1( ) , x3 = +1( ) , x4 = −1( ) , x5 = −1( ) , x6 = 0( )"#
$%=
P x1 = +1( )P x2 = +1( )P x3 = +1( )P x4 = −1( )P x5 = −1( )P x6 = 0( ) =
0,43 ×0,32 ×0,3= 0,0017
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3. Um submarino atira 3 torpedos contra um porta-aviões. O porta-aviões só será afundado de 2 ou mais torpedos o atingirem. Sabendo que a probabilidade de um torpedo acertar o porta-aviões é de 0,4, qual é a probabilidade de afundar o porta-aviões.
P não acertar nenhum torpedo( ) =3
0
!
"##
$
%&& 0,4( )
01−0,4( )
3= 0,216
P acertar 1 torpedo( ) =3
1
!
"##
$
%&& 0,4( )
11−0,4( )
2= 0,432
P acertar 2 torpedos( ) =3
2
!
"##
$
%&& 0,4( )
21−0,4( )
1= 0,288
P acertar 3 torpedos( ) =3
3
!
"##
$
%&& 0,4( )
31−0,4( )
0= 0,064
P afundar o porta-aviões( ) = P acertar 2 torpedos( )+ P acertar 3 torpedos( ) = 0,352
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4. Variável aleatória X: 0 ⇒ P(0) = α
1 ⇒ P(1) = 1 - α
a) Média:
b) Variância:
mX = E X!" #$= 0 ⋅α +1⋅ 1−α( ) =1−α
σ X2 = E X 2!
"#$−mX
2
E X 2!"
#$= 0
2 ⋅α +12 ⋅ 1−α( ) =1−α
σ X2 = 1−α( )− 1−α( )
2= 1−α( )α
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5. A PDF de uma variável aleatória X é dada por:
a) Determine k.
b) Seja a = -1 e b = 2. Calcule P(|X| ≤ 1/2).
f X x( ) =k a ≤ x ≤ b
0 fora
"#$
%$
f X x( )dx−∞
∞
∫ =1⇒ k dxa
b∫ =1⇒ k = 1
b− a
f X x( ) =13
−1≤ x ≤ 2
0 fora
#
$%
&%
P X ≤1 2( ) = P −12≤ X ≤
12
#
$%
&
'(= f X x( )dx−1 2
1 2∫ =
13dx
−1 2
1 2∫ =
13
x -1 0 2 -1/2 1/2
fX(x)
1/3
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6. Assuma que a altura das nuvens é uma variável aleatória gaussiana X com média 1830 m e desvio padrão de 460 m. Qual a probabilidade das nuvens estarem acima de 2750 m?
FX x( ) = P X ≤ x( ) = 12 1+ erfx −mx2σ X
!
"##
$
%&&
'
(
))
*
+
,,
P X > 2750( ) =1− P X ≤ 2750( ) =1− 12 1+ erf2750−1830
2460
"
#$
%
&'
(
)*
+
,-
=12−12erf 2( ) = 12 −
12⋅0,954
= 0,023
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7. Encontre a covariância de X e Y para
a) X e Y independentes.
b) X e Y relacionados por Y = aX + b.
Cov XY!" #$= E XY!" #$−mXmY = E X!" #$E Y!" #$−mXmY =mXmY −mXmY = 0
Cov XY!" #$= E XY!" #$−mXmY = E X aX +b( )!"
#$−mXmY
E XY!" #$= E X aX +b( )!"
#$= E aX
2 +bX!"
#$= aE X 2!
"#$+bE X!" #$= aE X 2!
"#$+bmX
mY = E aX +b!" #$= amX +b
Cov XY!" #$= aE X 2!"
#$+bmX −mX amX +b( ) = aE X 2!
"#$− amX
2 = aσ X2
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8. Considere um processo aleatório X(t) = Acos(ωt) + Bsen(ωt) onde ω é uma constante e A e B são variáveis aleatórias
a) Mostre que a condição E[A] =E[B] = 0 é necessária para X(t) ser estacionário.
b) Mostre que X(t) é estacionário no sentido amplo (WSS) se e somente se as variáveis A e B forem descorrelacionadas com igual variância, ou seja,
E[AB] = 0
e
E[A2] = E[B2] =σ2
mX t( ) = E Acos ωt( )+ Bsen ωt( )!"
#$= E A!" #$cos ωt( )+ E B!" #$sen ωt( )
Para X(t) ser estacionário, mX(t) tem que ser independente de de t, então
E A!" #$= E B!" #$= 0
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E X 2 0( )!"
#$= E X 2 π
2ω
!
"#
$
%&
'
()
*
+,= RX 0( ) =σ X
2
mas X 0( ) = A e X π2ω
!
"#
$
%&= B
Então, E A2!"
#$= E B
2!"
#$=σ X
2 =σ 2
Se X(t) é estacionário no sentido amplo, então
RX t,t +τ( ) = E X t( ) X t +τ( )!"
#$= E Acos ωt( )+ Bsen ωt( )( ) Acos ωt +τ( )+ Bsen ωt +τ( )( )!
"#$=
E A2 cos ωt( )cos ωt +τ( )!"
#$+ E ABcos ωt( )sen ωt +τ( )!
"#$+
E ABsen ωt( )cos ωt +τ( )!"
#$+ E B
2 sen ωt( )sen ωt +τ( )!"
#$=
12E A2!"
#$+ E B
2!"
#${ }cos ωτ( )+ E AB!" #$cosω 2t +τ( )
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RX t,t +τ( ) = 12E A2!"
#$+ E B
2!"
#${ }cos ωτ( )+ E AB!" #$cosω 2t +τ( )
mas E A2!"
#$= E B
2!"
#$=σ
2
Então,
RX t,t +τ( ) =σ 2 cos ωτ( )+ E AB!" #$cosω 2t +τ( )
Note que RX(t, t+τ) será função apenas de τ se E[AB]=0. Assim, se E[AB]=0 e E[A2] = E[B2] = σ2 , então temos:
mX(t) = 0 RX(t, t+τ) = σ2cosωτ = RX(τ)
logo X(t) é WSS!!!
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9. Mostre que se X(t) é WSS, então,
E[[X(t + τ) - X(t) ]2] = 2[RX(0) - RX(τ)]
onde RX(τ) é a autocorrelação de X(t).
E X t +τ( )− X t( )"#
$%
2"#&
$%'= E X 2 t +τ( )− 2X t +τ( ) X t( )+ X 2 t( )"
#$%=
E X 2 t +τ( )"#
$%− 2E X t +τ( ) X t( )"
#$%+ E X 2 t( )"
#$%=
RX 0( )− 2RX τ( )+ RX 0( ) =
2 RX 0( )− RX τ( )"#
$%
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10. Um processo aleatório X(t) é dado pela soma de N sinais complexos:
onde An é uma variável aleatória representando a amplitude do n-ésimo sinal. A variável aleatória Θn é uniformemente distribuída no intervalo {0, 2π}. An e Θn são estatisticamente independentes. Encontre a autocorrelação de X(t).
X t( ) = An exp j2π f0t + jΘn( )n=1
N
∑
RX τ( ) = E X * t( ) X * t +τ( )!"
#$
= E An exp − j2π f0t − jΘn( ) Am exp j2π f0 t +τ( )+ jΘm( )m=1
N
∑n=1
N
∑!
"(
#
$)
= exp j2π f0τ( ) Em=1
N
∑n=1
N
∑ AnAm!" #$E exp j Θm −Θn( ){ }!"
#$
Pois An e Θn são estatisticamente independentes.
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Entretanto,
E exp j Θm −Θn( ){ }#$
%&= E cos Θm −Θn( )#
$%&+ jE sen Θm −Θn( )#
$%&
= cos θm −θn( )+ jsen θm −θn( )#$
%&0
2π∫0
2π∫ dθmdθn
=1 para m ≠ n
0 para m = n
)*+
,+
Logo,
RX τ( ) = exp j2π f0τ( ) E An2!
"#$
n=1
N
∑
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11. Um processo aleatório X(t) estacionário no sentido amplo possui função de autocorrelação:
onde A é uma constante. Encontre o espectro de potência deste processo.
RX τ( ) = Aexp −3 τ( )
S f( ) = RX τ( )−∞
∞
∫ exp − j2π f τ( )dτ
= Aexp −3 τ( )−∞
∞
∫ exp − j2π f τ( )dτ
= A exp − 3+ j2π f( )τ$%
&'dτ0
∞
∫ + P exp 3− j2π f( )τ$%
&'dτ−∞
0∫
=A
3+ j2π f+
A3− j2π f
=6A
9+ 4π 2 f 2
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12. A relação entre a entrada e a saída de um diodo é:
Seja X(t) um processo aleatório gaussiano com média zero e autocorrelação dada por:
Encontre a média, a autocorrelação e a densidade espectral de potência de Y(t).
média:
Y t( ) = X 2 t( )
RX τ( ) = exp −α τ( ) α > 0
mY = E Y t( )!"
#$= E X 2 t( )!
"#$
= RX 0( ) = exp 0( )=1
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Autocorrelação: mas X(t) e X(t – τ) são variáveis aleatórias gaussianas com média zero, então:
RY τ( ) = E Y t( )Y t −τ( )"#
$%= E X 2 t( ) X 2 t −τ( )"
#$%
RY τ( ) = E X 2 t( )!"
#$E X 2 t −τ( )"#
$%+ 2 E X t( ) X t −τ( )"
#$%{ }
2
= RX 0( )RX 0( )+ 2 RX τ( )!"
#$
2
=1+ 2exp −2α τ( ) α > 0
E X 2 t( ) X 2 t −τ( )!"
#$= E X 2 t( )!
"#$E X 2 t −τ( )!"
#$+ 2 E X t( ) X t −τ( )!
"#${ }2
(provar)
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Densidade espectral de potência:
SY f( ) = RY τ( )−∞
∞
∫ exp − j2π f τ( )dτ
= 1+ 2exp −2α τ( )$%
&'−∞
∞
∫ exp − j2π f τ( )dτ
= exp − j2π f τ( )dτ−∞
∞
∫ + 2 exp − j2π f τ − 2α τ( )dτ−∞
∞
∫
= δ f( )+ 2απ 2 f 2 +α 2
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13. Suponha que um processo aleatório X(t) estacionário no sentido amplo com densidade espectral de potência SX(t) é a entrada de um filtro como mostrado abaixo. Encontre a densidade espectral de potência do processo Y(t) de saída.
Atraso T
ΣX(t) Y(t) +
-
Y t( ) = X t( )− X t −T( )
h t( ) = δ t( )−δ t −T( )Resposta ao impulso do filtro:
H f( ) =1− exp − j2π fT( )
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Então,
SY f( ) = H f( )2SX f( )
= 1− exp − j2π fT( )2SX f( )
= 1− cos 2π fT( )( )2+ sen2 2π fT( )!
"#$
%&SX f( )
= 2 1− cos 2π fT( )( )SX f( )
exp ± jθ( ) = cosθ ± jsenθ
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14. Um processo gaussiano estacionário X(t) com média zero e densidade
espectral de potência SX(f) é aplicado em um filtro linear cuja resposta ao
impulso h(t) é mostrada abaixo. Uma amostra Y do processo aleatório é
tomada na saída do filtro no tempo T.
a) Determine a média e a variância de Y.
b) Qual é a função densidade de probabilidade de Y?
( )th
t
T1
T0
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a) Saída do filtro
Fazendo T – τ = u, então, o valor da amostra de Y(t) em t = T é igual a
A média de Y é portanto,
Y t( ) = h τ( ) X t −τ( )dτ−∞
∞
∫
=1T
X t −τ( )dτ0
T∫
Y = 1T
X u( )du0
T∫
E Y!" #$=1TE X u( )du0
T∫"#$
%&'=1T
E X u( )!"
#$du0
T∫ = 0
( )th
t
T1
T0
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e a variância de Y é
mas
então,
σY2 = E Y 2!
"#$− E Y!" #$
2= E Y 2!
"#$ = RY 0( )
σY2 = SY f( )df−∞
∞
∫ = SX f( ) H f( )2df
−∞
∞
∫
H f( ) = h t( )exp − j2π f t( )dt−∞
∞
∫ =1T
exp − j2π f t( )dt0
T∫ =
1Texp − j2π f t( )
− j2π f0
T
=1
2π f T1− exp − j2π f T( )!"
#$= sinc f T( )exp − jπ f T( )
σY2 = SY f( )df−∞
∞
∫ = SX f( )sinc2 f T( )df−∞
∞
∫
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b) Como a entrada do filtro é gaussiana, segue que a saída do filtro também é
gaussiana. Então, a função densidade de probabilidade de Y é dada por:
fY y( ) = 1
2πσYexp −
y2
2σY2
"
#$$
%
&''
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15. Seja X(t) e Y(t) definidos por
X(t) = Acos(ωt) + Bsen(ωt) Y(t) = Bcos(ωt) - Asen(ωt)
onde ω é uma constante e A e B são variáveis aleatórias independentes possuindo média nula e variância σ2. Encontre a correlação cruzada de X(t) e Y(t).
RXY t1,t2( ) = E X t1( )Y t2( )!"
#$
= E Acos ωt1( )+ Bsen ωt1( )( ) Bcos ωt2( )− Asen ωt2( )( )!"
#$
= E AB!" #$ cos ωt1( )cos ωt2( )− sen ωt1( )sen ωt2( )( )−E A2!
"#$ cos ωt1( )sen ωt2( )( )
−E B2!"
#$ sen ωt1( )cos ωt2( )( )
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Como
E AB!" #$= E A!" #$E B!" #$= 0
E A2!"
#$= E B
2!"
#$=σ
2
Então, RXY t1,t2( ) = −E A2!"
#$ cos ωt1( )sen ωt2( )( )
+E B2!"
#$ sen ωt1( )cos ωt2( )( )
=σ 2 sen ωt1( )cos ωt2( )− cos ωt1( )sen ωt2( )( )=σ 2 senω t1 − t2( )
RXY τ( ) =σ 2 sen ωτ( )