exercicios resolvidos matematica ii

9
Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br EXERCÍCIOS RESOLVIDOS MATEMÁTICA II 01) Um certo tipo de vírus tem diâmetro de 0,02x10 -3 mm. Admita que uma colônia desses vírus pudesse ocupar totalmente uma superfície plana de 1 cm 2 de área, numa única camada, com a disposição mostrada na figura abaixo. O número máximo de indivíduos dessa colônia é: a) 4 x 10 6 b) 25 x 10 6 c) 25 x 10 10 d) 25 x 10 12 e) 50 x 10 12 Alternativa C Temos que 0,02x10 -3 mm = 2x10 -5 mm = 2x10 -6 cm Área do quadrado = 2x10 -6 x 2x10 -6 = 4x10 -12 cm 2 Então n = 1 4 10 12 cm cm 2 2 x = 0,25x10 12 = 25x10 10 indivíduos 02) Uma equação do 2 o grau que tem por raízes os números complexos 2 + i 109 e 2 - i 425 é: a) x 2 + 4x + 5 = 0 b) x 2 + 4x - 5 = 0 c) x 2 + 5x + d) x 2 - 4x -

Upload: jackvalentin

Post on 22-Jun-2015

19 views

Category:

Documents


12 download

TRANSCRIPT

Page 1: Exercicios Resolvidos Matematica II

Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na InternetAcesse Agora! www.vestibular1.com.br

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS MATEMÁTICA II

01) Um certo tipo de vírus tem diâmetro de 0,02x10-3 mm. Admita que uma colônia desses vírus pudesse ocupar totalmente uma superfície plana de 1 cm2 de área, numa única camada, com a disposição mostrada na figura abaixo.

O número máximo de indivíduos dessa colônia é:

a) 4 x 106 b) 25 x 106 c) 25 x 1010

d) 25 x 1012 e) 50 x 1012

Alternativa C

Temos que0,02x10-3 mm = 2x10-5 mm = 2x10-6 cmÁrea do quadrado = 2x10-6 x 2x10-6 = 4x10-12 cm2

Então n = 1

4 10 12

cm

cm

2

2x = 0,25x1012 = 25x1010 indivíduos

02) Uma equação do 2o grau que tem por raízes os números complexos 2 + i109 e 2 - i425 é:

a) x2 + 4x + 5 = 0 b) x2 + 4x - 5 = 0c) x2 + 5x + 4 = 0 d) x2 - 4x - 5 = 0e) x2 - 4x + 5 = 0

Alternativa E

Temos que i109 = i e i425 = iLogo as raízes são: x1 = 2 + i e x2 = 2 - iSabemos que:x2 - sx + p = 0 e s = 4 e p = 5Assim, uma equação é x2 - 4x + 5 = 0

03) A soma dos 9 primeiros termos da seqüência (1, 2x, 4x, 8x, ...), na qual x é um número real maior que 1, é:

Page 2: Exercicios Resolvidos Matematica II

Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na InternetAcesse Agora! www.vestibular1.com.br

a) 512 x - 1

2 - 1xb) 256x - 1

2 - 1xc) 512x - 1

d) 256x - 1 e) 511

Alternativa A

(1, 2x, 4x, 8x, ...) é o mesmo que (1, 2x, 22x, 23x, ...)Isto é, P.G. de razão q = 2x.A soma dos 9 primeiros termos é:

S9 = a1 . (q - 1)

q - 1

9, isto é:

S9 = 1 . (2 - 1)

2 - 1

9x

x ou ainda S9 = 512 x - 1

2 - 1x

04) Se o número real x é tal que x = a + 1a

, então a3 + 13a

é igual a

a) x3 - 3x b) x3 - 2x c) x3 - xd) x3 + x e) x3

Alternativa A

x = a + 1

aElevando a 3 m.a.m. temos:

(x)3 = a + 1

a

3

x3 = a3 + 3.a2.1

a + 3.a. +

13a

x3 = a3 + 3a + 3a

+ 1

3a

x3 - 3a - 3

a = a3 +

1

3a

x3 - 3. a + 1a

= a3 +

13

a x3 - 3x = a3 +

13

a

05) Sabe-se que o polinômioP(x) = x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1

é divisível pelo polinômioQ(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1.

Sobre as raízes de P(x), é verdade que

a) duas delas são imaginárias puras e três delas são reais.

Page 3: Exercicios Resolvidos Matematica II

Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na InternetAcesse Agora! www.vestibular1.com.br

b) as cinco são reais e de multiplicidade 1.c) três são iguais a -1 e as duas outras são reais e distintas.d) as cinco são reais e iguais.e) 1 é raiz de multiplicidade 2 e -1 é raiz de multiplicidade 3.

Alternativa D

Note queP(x) = x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1 é o mesmo que:P(x) = (x + 1)5

Logo, as raízes de P(x) são:x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = -1

06) José está juntando dinheiro para comprar uma filmadora. Se tivesse o triplo da quantia que tem, poderia comprá-la e ainda lhe sobrariam R$ 170,00. Seu irmão ofereceu-lhe R$ 250,00 emprestados, mas ele não aceitou, pois mesmo com esse empréstimo, se tivesse o dobro da quantia que tem, ainda faltariam R$ 70,00 para inteirar o preço da máquina.Nessas condições, é verdade que

a) o preço da filmadora é R$ 1 300,00.b) o preço da filmadora é R$ 980,00.c) o preço da filmadora é R$ 620,00.d) José possui R$ 740,00.e) José possui R$ 450,00.

Alternativa A

x quantiay preçoy = 3x - 170 y = 250 + 2x + 70 isto é:

3 x - y = 1702x - y = - 320

, logo x = 490 e y = 1300

07) Seja a reta s, de equação x - y + 1 = 0, e o ponto A = (3, 4). Traçamos por A a reta t perpendicular a s e, pela origem O, s reta r paralela a s. A intersecção de r com t é o ponto B, e a de t com o eixo das abcissas é o ponto C.No triângulo OBC, o lado BC e os ângulos agudos internos medem, respectivamente,

a) 5 , 15o e 75o b) 6 , 30o e 60o

c) 72

2, 45o e 45o d) 2 5 , 20o e 70o

e) 2 6 , 45o e 45o

Alternativa C

(s) x - y + 1 = 0(t) x + y - 7 = 0

Page 4: Exercicios Resolvidos Matematica II

Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na InternetAcesse Agora! www.vestibular1.com.br

(r) x - y = 0

r t x + y - 7 = 0x - y = 0

B 7

2,

7

2

BC2 =

7

2

2

+

7

2

2

BC =

7 2

2

08) Para uma certa máquina, o custo total na produção de um lote de x peças é de y unidades monetárias, com y = 100 + 0,01x + 0,001x2.A diferença de custo entre a produção de um lote de 500 peças e um de 498 peças, em unidades monetárias, é de

a) 0,024 b) 2,016 c) 100,024d) 129,7804 e) 507, 984

Alternativa B

Para 500 peçasy1 = 100 + 0,01.500 + 0,001.(500)2

Para 498 = (500 - 2) peçasy2 = 100 + 0,01(500 - 2) + 0,001(500 - 2)2

y2 = 100 + 0,01.500 - 0,02 + 0,001(5002 - 2000 + 4)y2 = 100 + 0,01.500 - 0,02 + 0,001.5002 - 2 + 0,004y2 - y1 = 0,02 + 2 - 0,004y2 - y1 = 2,016

09) Seja a seqüência (7, 14, 21, ..., an,...) com n natural, n 1.A expressão

loga a a10 10 12 137 . log . log . log am

a a 712 13

com m inteiro, é igual a

a) log 7

b) logm

7c) a11

d) 7m e) m

Alternativa E

y7

S

B

7x

C

45º45º

27

27 t

Page 5: Exercicios Resolvidos Matematica II

Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na InternetAcesse Agora! www.vestibular1.com.br

log a a a10 10 12 137 . log . log . log a

ma a 712 13

equivale a:

log am

127 . log a = log 77 12 7

m= m.log7 7 = m

10) A expressão

(sen ).cos .sen ]x x x x x x+ cosx) .[cos + (1+ tg - cotg + sen2x

2 2 2 22 2

1

para x = 30o, é igual a

a) 1 b) 2 c) 3 d) 22

e) 33

Alternativa A

Desenvolvendo temos:(senx + cosx)2 = 1 + sen2xentão:cos2x + (1 + tg2x).cos2x - cotg2x.sen2x =

= cos2x.(1 + tg2x + 1) - cos

sen

2

2

x

x.sen2x =

= cos2x.(2 + tg2x - 1) = cos2x.(1 + tg2x) =

= cos2x . sec2x = cos2x . 1

2cos x

= 1

11) Comprei um terreno de forma retangular que tem 15 m de frente por 40 m de profundidade. Nesse terreno, construí uma casa que tem a forma de um losango, com diagonais medindo respectivamente 12 m e 24 m, uma piscina de forma circular com 4 m de raio e um vestiário, com a forma de um quadrado, com 3,5 m de lado. Todo o restante do terreno será gramado.Se o metro quadrado da grama custa R$ 2,40, a quantia gasta para comprar a grama será, aproximadamente,

a) R$ 645,10 b) R$ 795,60 c) R$ 944,40d) R$ 1005,50 e) R$ 1376,20

Alternativa C

3,5

15m

4m

24m

12m40m

3,5m

Page 6: Exercicios Resolvidos Matematica II

Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na InternetAcesse Agora! www.vestibular1.com.br

Área do gramado:

A = 40 . 15 - 24 . 12

2- .42 - (3,5)2

A = 600 - 144 - 50,24 - 12,25 A = 393,51 m2

Custo com gramado: 393,51 . 2,40 = 944,42

12) Se, à medida do raio de uma esfera E1, acrescentarmos 10% do seu valor, obteremos a medida do raio da esfera E2. Se, ao volume de E1, acrescentarmos x% de seu valor, obteremos o volume de E2.O valor de x é

a) 1,1 b) 3,31 c) 10 d) 33,1 e) 133,1

Alternativa D

E1 R1 E2 R2 = 1,1R1

V1 = 4

31

3 ( )R

V2 = 4 1 1

31

3 ( , )R = 1,331 . 4

31

3 ( )R

V2 = 1,331 V1

Acréscimo: V2 - V1 = 1,331 V1 - V1 == 0,331 V1 = 33,1% V1

Fonte: uni-técnico