exercicios resolvidos brunetti cap3 (1)
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Capítulo 3
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
Neste capítulo pretende-se, implicitamente, estabelecer a visão euleriana do estudo dos fluidos em movimento. É interessante lembrar que o estudante, acostumado com a visão lagrangeana estabelecida pela Mecânica Geral e pela Física, tem muita dificuldade para focalizar o fluido como um contínuo e observar as suas propriedades em diversos pontos no mesmo instante. Insiste-se na idéia do regime permanente, já que a eliminação da variável tempo simplifica o estudo e a solução dos problemas e, de certa forma, resolve a maioria dos problemas práticos. Procura-se fixar as idéias de campos de propriedades e de diagramas de velocidades, típicas do estudo de fluidos. Evita-se propositadamente a denominação “volume de controle”, porém seu conceito está utilizado implicitamente quando se trata de tubo de corrente. O aprofundamento do estudo será feito no Capítulo 10, quando o leitor já tiver uma melhor compreensão do assunto, com as limitações impostas nos primeiros capítulos. Exercício 3.1
∫=A
m vdAA1v
Mostrar claramente a facilidade de se utilizar uma coordenada polar quando se trabalha com seções circulares. Mostrar que a área elementar é calculada por 2πrdr.
( )
máxm
44
4máx
m
R
0
422
4máxR
032
4máx
m
R0 2
22
2máx
m
2R0 máx2m
v5,0v
4R
2R
R
v2v
4r
2rR
R
v2drrrR
R
v2v
rdrR
rR
R
v2v
rdr2Rr1v
R
1v
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
π⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
π=
∫
∫
∫
Exercício 3.2
( )
dxdr;xRr;rRx:iávelvardeMudança
rdrrRR
v2rdr2Rr1v
R1v
vdAA1v
R
0
71
715máx7
1R
0 máx2m
m
−=−=−=
−=π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
π=
=
∫∫
∫
( )( )
máx7
157
15
715máx
R
0
715
78
715máx
m
R
078
71
715máx0
R71
715máx
m
v6049R
157R
87
R
v215x7
8Rx7
R
v2v
dxxRx
R
v2dxxRx
R
v2v
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=−−= ∫∫
Exercício 3.3
s/m1015,010
510A
gQv
s/m2015,05
510A
gQA
Qv
BB
mm
AA
m
AA
mm
B
A
=××
×=
γ=
=××
×=
γ=
ρ=
Exercício 3.4
sN10110gQQ
skg110000.1QQ
sm10
601006
tVQ
mG
3m
33
=×==
=×=ρ=
=×
==
−
−
Exercício 3.5
sm2
105
10AQv
sN10110gQgQQQ
skg110000.1QQ
sL1
sm1010101AvQ
4
3
22
mG
3m
334
11
=×
==
=×==ρ=γ=
=×=ρ=
==××==
−
−
−
−−
Exercício 3.6
sm1067,2
9,0104,2Q
Q
sm102
2,1104,2Q
Q
skg104,210200102,1AvQ
32
2
2
m2
32
2
1
m1
24111m
−−
−−
−−
×=×
=ρ
=
×=×
=ρ
=
×=×××=ρ=
sm267
10101067,2
AQ
v
sN24,0104,210gQQ
4
2
2
22
2mG
=××
==
=××==
−
−
−
Exercício 3.7 Supondo o regime permanente, já que o enunciado não dá nenhuma indicação de variação com o tempo, pode-se utilizar a Equação da Continuidade correspondente.
3
22113
332211
QQQ
QQQρ+ρ
=ρ
ρ=ρ+ρ
Sendo os fluidos incompressíveis e o reservatório rígido, pode-se utilizar também a equação para fluido incompressível.
s/m101030
1030AQ
v
m/kg93330
1080020000.1QQQ
4
3
3
33
33
213
=×
×==
=×+×
=ρ
+=
−
−
Exercício 3.8
s5001010
552,0Q
hAQVt
sm104
551010
AQv
3tan
43
tan
=×
××===
×=××
==
−
−−
Exercício 3.9
sm14,4
1
25,34
D
Q4v
sm25,3
50010
1005
tV
tV
Q
22
333
2
2
1
1
=×π
×=
π=
=+=+=
Exercício 3.10
sm01,0
202,0
2v
v
DDvDvv
4Dv
4Dv
4Dv
1máx1
23
222
211
3
23
3
22
2
21
1
===
−=
π+
π=
π
sm064,0
55,2106,01501,0v
sm106,013,0
6049v
6049v
2
22
2
3máx2
=×−×
=
=×==
Exercício 3.11 Seja: Qe = vazão de entrada QF = vazão filtrada QNF = vazão não filtrada
∫=+=
ANF
NFFe
vdAQ
QQQ
Por semelhança de triângulos: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=→−
=R
rRvvrR
vR
vmáx
máx
( )
( )
sL8,82,110QQQ
sL2,1
sm102,1
31014,63,0Q
cm14,620tg105,2R
3Rv
3R
2R
Rv2
3r
2Rr
Rv2
Q
drrRrRv2
rdr2R
rRvQ
NFeF
33
22NF
o
2máx
33máx
R
0
32máx
NF
R0
2máxR0 máxNF
=−=−=
=×=×××π
=
=×+=
π=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
π=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
π=
−π
=π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
−−
∫∫
Aproveitar este exercício para mostrar que a vazão coincide geometricamente com o volume do diagrama de velocidades. No caso do diagrama cônico, o volume do cone é:
3vR
3alturaBase máx
2 ×π=
×
Exercício 3.12
sm8,02,01QQQ
sm1111AvQ
sm2,0
51
tV
Q)b
sm1
3y3dyy3bdyy3
111v
vdAA1v)a
3
Bcalha
3
mcalha
3
B
BB
31
021
02
m
m
=−=−=⇒=××==
===
===×
=
=
∫∫
∫
sm86,1332,11
4960v
4960v104,3
103,032,11Re
sm32,11
3,08,04
DQ4vvDRe)c
mmáx6
6
22
=×=⇒×=×
=
=×π×
=π
=→ν
=
−
Exercício 3.13
( )
( )
( )
m099,010810
624,04ReQ4
D
DDQ4
ReDQ4
vDv
Re
s/m624,009,168,0Q
Q
s/kg68,073,441,5QQQs
m021,5942,073,4Q
Qs/kg73,44
8,010942,04D
vQ
s/m108,0
10108DRe
vDv
Re
s/kg41,55,4201,1QQmkg201,1
2731728710100
RTp
mkg942,0
2739728710100
RTp
mkg09,1
2734728710100
RTp
sm5,4
36001
hm16200Q
551
11
121
112
1
11
111
3
1
1m1
2m0m1m
3
2
2m2
222
222m
55
2
22
222
000m
3
3
0
00
3
3
2
22
3
3
1
11
33
0
=×××π
×=
νπ=
νπ=→
π=→
ν=
==ρ
=
=−=−=
==ρ
=→=×π
××=π
ρ=
=××
=ν
=→ν
=
=×=ρ=
=+×
×==ρ
=+×
×==ρ
=+×
×==ρ
=×=
−
−
Exercício 3.14
h
0
32h
02
m
23
0y0y
1
0y
1
cm2y
23
525
2
3y
2y30
h1bdy)yy30(
bh1vdA
A1v)c
mN189,030103,6
dydvs30
dydv)b
s262230dydvy230
dydv)a
ms.N103,6
10900107
gsm107
scmouSt7,0cSt70
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−==
=××=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛μ=τ→=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=×−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒−=
×=××
=νγ
=μ⇒×==
∫∫
−
==
−
=
−
=
−−
−
skg75,025,005,0107,66
10900AvQ)d
scm7,66
35515
3hh15
3hh15
h1v
2mm
2232
m
=××××=ρ=
=−×=−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−
Exercício 3.15
2
24
2
cm5,1r
30G
1der0
der
der2431
322
m3
32m2
3224m4
3221m1
máxm
44m
4
m
41m
1
m
m
N7,66015,0101,0
m
s.N1,0000.110v)g
s/m12,55,25,118v)f
s/N199109,1910000.1gQQsL9,199,188,38QQQ)e
foraparasL8,3838,71,159,18Q
QQQQQsL1,15s/m0151,0
408,03
4
DvQ
sL3s/m003,002,003,05AvQ)d
sL8,7s/m0078,0025,04RvQ
sL9,18s/m0189,0035,09,4RvQ)c
s/m52
102
vv)b
200010
025,024DvRe
sm4
28v
343010
035,029,4DvRe
sm9,46
6049v)a
33
2
4
1
22
4
4
1
1
=×=τ
=×=νρ=με
μ=τ
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
=×××=ρ=
=−=−=
=−++=
+=++
==×π
×=π
=
==××==
==×π×=π=
==×π×=π=
===
=××
=ν
=
==
=××
=ν
=
=×=
−
=
−
−
−
Exercício 3.16
sm66,233,12v2v
QQ)d
sm33,1
32,05
22,0200)yv100yv20(
bh1v)c
N8,024,0AFmN4,04010
dydv)b
s402,02200220dydv
yv200v20dydv
yv100yv20v)a
mmáx
21
322,0
02,0
02
máxmáxm
22
0y0y
1
m2,0y
máxmáx
2máxmáx
=×==
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−=−=
=×=τ=⇒=×=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛μ=τ
−=××−×=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
−=
∫
−
==
−
=
Exercício 3.17
s/m7302,05,0
13,02002,1A
QAvv
AvQAvQQQ
22
m1112
222m111mmm
3
3231
=×
+××=
ρ
+ρ=
ρ=+ρ→=+
Exercício 3.18
243
2311m
1
1m
11
211m1
33
3m3m
2m1m3m
22m
22máx
2m222m22m
111m
ms.N1077,66,010128,1
sm10128,1
000.2564,022000.2
R2v000.2Re)c
m564,02
2vQ
RRvQ)b
sm15
5,04,03
AQ
v
skg38,12,1QQQ
skg88,14,032,1Q
m4,0R;sm3
39
3v
vRvQ
skg2,126,0QQ)a
−−
−
×=××=νρ=μ
×=××
=ν⇒=ν
⇒≤
=×π
=π
=⇒π=
=×
=ρ
=
=+=+=
=×π××=
====→πρ=
=×=ρ=
Exercício 3.19
s/L57,1s/m1057,1102,05,2DvQ
s/m5,225
2v
v
s/m522,01052
42,0000.5052010
DL2
4pD520
v
4pD520
DLv2520
DLv24
Dp
520DL2/
v4Dp
333m
máxm
3
23
2
máx
2máxmáx
2
máx2
=×=××π×=επ=
===
=××××
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×−
=μ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−ε
=
−=ε
μ→=
εμ
+
π=πε
μ+π
−−
−
−
Exercício 3.20
( )
2
22
x
yx
yyz
yy
yxy
2x
xxx
xxz
xy
xxx
sm6)4;3(a
sm2,12212)4;3(v
sm12434;3v
2v;y3v)c
0t
vz
vv
yv
vx
vva
sm632a
yv
vat
vz
vv
yv
vx
vva)b
permanente)a
=
=+=
=×=
==
=∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
=×=
∂∂
=⇒∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=
Exercício 3.21
yx9x3.xy3y
vva
tv
zv
vy
vv
xv
va
0t
vz
vv
yv
vx
vva)b
.Permanente)a
2yyy
yyz
yy
yxy
xxz
xy
xxx
==∂
∂=
∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
=∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=
72229aa
12223vv)c2
y
y
=××==
=××==
Exercício 3.22
( )
222
2y
2x
22y
x
y
xyx
sm6,211812)3;2(a
sm1836)3;2(a
sm1226)3;2(a
sm5,86)6()3;2(v
sm623)3;2(v
sm632)3;2(v)c
y63y2a
x62x3y
vva)b
=+=⇒−=×−=
−=×−=
=+−=⇒=×=
=×−=
−=×−=
−=−=∂∂
=
Exercício 3.23
( )( )( )
4,5432a
4t
va
3t
va
2t
va
2,161296v
12214v
9213v6212v
222
zz
yy
xx
222z
y
x
=++=
=∂∂
=
=∂
∂=
=∂∂
=
=++=
=+×=
=+×==+×=
Exercício3.24
2x
xxz
xy
xxx
222y
2x
sm32258221712107a
t8x217y2107t
vz
vv
yv
vx
vva
sm10817107v
sm175312v
sm107541223v
=×+××+××=
+×+×=∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=
=+=⇒=×+×=
=×+××+=
222
22
y
2y
yyz
yy
yxy
sm368178322a
sm1783122171107a
3xy217y107a
tv
zv
vy
vv
xv
va
=+=⇒=+×××+×=
+×+=
∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=