exercícios propostos resolvidos cap. 03 função afim

Fabiano Nader & Kenji Chung


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EXERCÍCIOS PROPOSTOS – FUNÇÃO AFIM

NÍVEL 1

E1. SOLUÇÃO: 250g de sanduíche = 500 calorias �� 1g = 2 calorias. 200 g de batata = 560 calorias �� 1 g = 2,8 calorias Se "x" representa os sanduíches, e "y" representa as batatas, então a expressão correta será: 2x + 2,8y = 462.

RESPOSTA: LETRA A. E2. SOLUÇÃO: Como podemos observar pelo quadro, a cad a 5 bolas colocadas, o nível da água sobe 0,35cm. Po rtanto,

para cada bola colocada, o nível da água sobe 0,35

5 = 0,07cm. Também observamos que sem nenhuma bola, o nível da

água era de 6cm (0,35cm a menos de quando eram 5 bo las), ou seja, o vidro começou com o nível da água 6cm. Logo, a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x) é: y = 0,07x + 6.

RESPOSTA: LETRA E.

E3. SOLUÇÃO: O custo da firma em função do número de unidades produzidas(x) é: C(x) = 1,2x + 4000. O que se ganha com a venda é representado por: V(x) = 2x. Para a fi rma começar a ter lucro, o custo deverá ser no míni mo igual ao que se ganha com as vendas. Logo,

C(x) = V(x) �� 1,2x + 4000 = 2x �� 0,8x = 4000 �� x = 5000.

RESPOSTA: LETRA E.

E4. SOLUÇÃO: De acordo com o enunciado, serão enviado s 500 folhetos do segundo tipo. Cada um deles deve ter 3 selos: um de R$ 0,65; um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. Para t anto, podem ser usados R$ 1000,00. O que sobrar do dinheiro deve ser utilizado para o envio de folhetos do primeiro tipo. Cada um destes leva um selo de R$ 0,65. O custo do folheto 2: 0,65 + 0,60 + 0,20 = 1,45 ��1,45 · 500 = R$ 725,00. Assim, para enviar 500 folhetos do segundo tipo, sã o usados R$ 725,00 e sobram R$ 275,00 para a remess a de folhetos do primeiro tipo. Como o custo do folheto do primeiro tipo é de R$ 0,65, temos: n = 275/(0,65) = 423,07. Serão enviados, dessa maneira, 423 folhetos do prime iro tipo e 500 do segundo. Tanto os folhetos do primeiro quanto do segundo tip o usam um selo de R$ 0,65, portanto, o número deste s é: 500 + 423 = 923. RESPOSTA: LETRA C.

E5. SOLUÇÃO: Fazendo o estudo do sinal da função, obt emos:

x + 3 = 0 �� x = -3 2x – 5 = 0 �� x = 5/2.



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Como queremos que seja ≤ 0, além da parte negativa, x pode ser -3, pois o n umerador seria 0. Mas não pode ser 5/2, pois o denominador é diferente de 0. Logo, o conjunto solu ção dessa inequação é -3 ≤ x < 2/5 ou [ -3 , 2/5[

RESPOSTA: LETRA A.

E6. SOLUÇÃO: Se o custo é de 2000 reais, e a taxa de i nscrição é de 30 reais por participantes, então bas ta dividirmos o custo pelo preço da inscrição, para sabermos quanto s participantes serão necessários para que o valor arrecadado cubra o custo do evento.

= 66,... Com 66 pessoas, arrecada-se 66 ·30 = 1980 reais, e com 67 pessoas arrecada-se

67·30 = 2010 reais. Logo, são necessários no mínimo 67 inscritos.

RESPOSTA: 67.

E7. SOLUÇÃO: Se f(12) = 45, e f é uma função do primei ro grau, então 45 = a ·12 + b. E se f(15) = 54, então 54 = a ·15 + b. Isolando b na segunda equação, obtemos: b = 54 – 15 a. Substituindo na primeira equação: 45 = 12a + 54 – 15a �� 3a = 9 �� a = 3. b = 54 - 15·3 �� b = 54 – 45 = 9. Logo, f(x) = 3x + 9. Portanto, f(1 8) = 3·18 + 9 = 54 + 9 = 63.

RESPOSTA: LETRA D.

E8. SOLUÇÃO: Analisando o numerador, obtemos: x+1 ≥0, pois não existe raiz real de números negativos. Portanto, x ≥ -1. Analisando o denominador: -x + 2 > 0, pois o denomi nador não pode ser zero. Logo, -x> -2 �� x < 2. Achando a interseção desses dois intervalos: -1 ≤ x <2.

RESPOSTA: LETRA B.

E9. SOLUÇÃO: Achando a equação do custo em função da quantidade de bolsas(x), obtemos:

C(x) = 5000 + 25x. E a equação do valor obtido nas v endas é: V(x) = 45x. O lucro é dado por V(x) – C(x). Logo L(x) = 45x – 5000 = 25x = 20x – 5000. Para L(x) = 4000,

20x – 5000 = 4000. �� 20x = 9000 �� x = 450. 45.

RESPOSTA: 45.

E10. SOLUÇÃO: Observando os pacotes, vemos que a part ir de 4 shows o pacote 3 oferece um preço melhor. E como tanto Maria quanto João assistiram no mínimo à 4 shows, e ntão a melhor opção para ambos é o pacote 3.

RESPOSTA: LETRA E.



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NÍVEL 2 E11. SOLUÇÃO: Se f(3) = 5 e f é uma função do primeiro grau, então 5 = 3a + b. Isolando b, b = 5 – 3a. Lo go, f(x) = ax + b = ax + 5 – 3a. Então f(1) = a ·1 + 5 – 3a = -2a + 5. Então

f(f(1)) = a ·f(1) + b = a(-2a + 5) + 5 – 3a. Como foi informado, f(f(1)) = 1, portanto a(-2a + 5) + 5 – 3a = 1 �� -2a² + 5a + 5 – 3a = 1 �� -2a² + 2a – 4 = 0 �� a² - a +2 = 0. Resolvendo a equação de segundo gra u, vemos que a pode ser -1 ou 2. Como é informado que f é decrescente, então a < 0, logo a = -1. E b = 5 – 3(-1) = 5 + 3 = 8. Então y = -x + 8. Quando f corta o eixo dos x, o y = 0. Portanto 0 = -x + 8. �� x = 8. RESPOSTA: LETRA C. E12. SOLUÇÃO:

Sendo y o número de favelas em 2016, temos y – 968 = 968 – 750 �� y = 1186. Portanto, o número de favelas em 2016 será maior que 1150 e menor que 1200. RESPOSTA: LETRA C. E13. SOLUÇÃO: Se x é a quantidade, em quilogramas, de ração comprada e o total de ração e milho comprados é de 1000 kg, então a quantidade de milho comprado é 1000 – x . Como a ração custa Cr$400 o kg, então gasta-se co m a ração 400x. E como o milho custa Cr$250 o kg, então gasta-se 250( 1000 – x) de milho. A função gasto é dada por: g(x) = 400x + 250(1000 – x) = 400x + 250.000 – 250x = 150x +250.000. Com x variando de 0 a 1000, ou se ja, g(x) = 150x + 250.000, 0 < x < 1000. RESPOSTA: LETRA C. E14. SOLUÇÃO: C(x) = 360 + 10% T + 45% T= 360 + 0,1 ·T + 0,45·T = 360 + 0,55·T. Como T é o total arrecadado com a venda do leite, e o litro do leite é vendido por R$0,50, então T = 0,5x. Para que o produtor não tenha prejuízo, o custo terá que ser no mínimo igual ao total arrecad ado. Logo, 360 – 0,55T = T �� 0,45T = 360. Como T = 0,5x, então 0,45 · 0,5 x = 360 �� x = 360/(0,225) = 1600 litros. RESPOSTA: 1600. E15. SOLUÇÃO: A equação que representa o volume do re servatório, em litros, em função da quantidade de s egundos passados, é: f(s) = 400 + 3s – 1s = 400 + 2s. Decor ridos 10 segundos, ou seja, s = 10, f(10) = 400 + 2 ·10 = 420 litros. RESPOSTA: 420.



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E16. SOLUÇÃO:

Chamando de x a temperatura em graus Patota onde a á gua ferve e estabelecendo a relação com graus Celsi us, obtemos: 100 60 x 4860 20 48 40

− −=− −

→→→→ 40 x 4840 8

−= →→→→ x – 48 = 8 �� x = 56º P.

RESPOSTA: LETRA E. E17. SOLUÇÃO: Se em 6 anos, o preço do moinho caiu 860 – 500 = 360. Então em 1 ano ele cai 360/60 = 60 re ais. Ou seja, a equação que representa o preço do moinho em funçã o da quantidade de anos passados é: f(x) = 860 – 60 x. Analisando cada alternativa: a) INCORRETO. Em 3 anos, o preço do moinho será 860 - 60·3 = 860 – 180 = 680. 50% do preço de compra seria 860/2 = 430. b) INCORRETO. Em 9 anos, o preço do moinho será 860 - 60·9 = 860 – 540 = 320. Porém, 320 não é um múltiplo de 9. c) INCORRETO. Em 7 anos, o preço do moinho será 860 - 60·7 = 860 = 420 = 420. Portanto, seria necessário um investimento MENOR que 450. d) INCORRETO. 860 – 60x < 200 �� -60x < -660 �� 60x > 660 �� x > 11. Seriam necessários mais de 11 anos. Com 10 anos, o moinho custaria 860 - 60 ·10 = 860 – 600 = 260. e) CORRETO. Em 13 anos, o moinho custará 860 - 60 ·13 = 860 – 780 = 80 reais. RESPOSTA: LETRA E. E18. SOLUÇÃO: Para as duas fórmulas especificarem a me sma dosagem, Fórmula A = Fórmula B. Então 1/24 · (t + 1) a = 1/21 · t · a �� (t+1)/24 = t/21 �� 24t = 21t + 21 �� 3t = 21 �� t = 7. RESPOSTA: LETRA C. E19. SOLUÇÃO: Tarifa do 1º banco em função da quantidade de chequ es emitidos: f(x) = 10 + 0,15x Tarifa do 2º banco em função da quantidade de chequ es emitidos: g(x) = 20 + 0,12x Se o Sr. Zé Doular emite 20 cheques de cada banco, en tão ele pagará: 10 + 0,15·20 + 20 + 0,12·20 = 30 + 3 + 2,4 = 35,40. RESPOSTA: LETRA D. E20. SOLUÇÃO: O lucro líquido é dado por R(x) – C(x) = 0,7x – (1 + 0,1x) = 0,6x – 1. Como vemos, o termo independente na equação do lucro é -1. Logo, o eixo dos y é cortado no ponto y = -1. E é uma função crescente, pois 0,6 > 0. O único gráfico em que isso acontece é no gráfico da letra B. RESPOSTA: LETRA B. E21. SOLUÇÃO: Para n = 0, temos que o preço P = 0. A ca da aumento de 1 unidade em n, P aumenta 1,75 unidade s, isso mostra um aumento linear, ou seja o gráfico é uma r eta crescente passando na origem. P = 1,75n. RESPOSTA: LETRA E. E22. SOLUÇÃO: Como o incremento de trabalhadores é co nstante, a função que descreve a quantidade de trab alhadores y no mês x é da forma y = ax + b, com a e b constante s. Além disso, temos: a = 4 300 (incremento mensal), para x = 2 (fevereir o), temos y = 880 605. Assim, 880 605 = 4 300 . 2 + b →→→→ b = 872 005



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Logo, y = 872 005 + 4 300x RESPOSTA: LETRA C E23. SOLOÇÃO: Devemos ter: FT(q) = CT(q) 5q = 2q + 12 3q = 12 ∴∴∴∴ q = 4 Logo, a quantidade mínima de produtos que a indústr ia deverá fabricar é 4. RESPOSTA: D E24. SOLUÇÃO: Do enunciado, temos: Plano K: Para x impulsos, temos:

K(x) =29,90 se 0 x 200

0,20x 29,90 se x 200

≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ + >+ >+ >+ >

Plano Z: Para x impulsos, temos:

Z(x) =49,90 se 0 x 300

0,10x 49,90 se x 300

≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ + >+ >+ >+ >

O gráfico que representa o valor pago, em reais, no s dois planos, em função dos minutos utilizados, é da alternativa D. RESPOSTA: D



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VESTIBULARES DE PERNAMBUCO

P1. SOLUÇÃO: Através dos pontos (2,-3) e (-1,6) sabem os que -3 = 2a + b e 6 = -a + b. Isolando b na segu nda equação: b = a + 6. Substituindo na primeira: -3 = 2a + a + 6 �� 3a = -3 – 6 ��

a = -9/3 �� a =-3. E b = -3 + 6 = 3. Então b – a = 3 –(-3) = 3 + 3 = 6.

RESPOSTA: 06.

P2. SOLUÇÃO: Se f(0) = 70 e o gráfico é um segmento de reta, ou seja, f é uma função do 1º grau, então 70 = a·0 + b �� b = 70. Se f(99) = -40, então -40 = 99a + 70 �� 99a = -110 ��

a = -110/99. Logo, f(x) = . Para f(x) = 0: = 0 ��

x = �� x = 63.

RESPOSTA: 63. P3. SOLUÇÃO: Se os gráficos de f e g são simétricos co m relação à reta x = y e são bijeções, então f e g são inversas. Logo, se o ponto (19, π) está no gráfico de g, então o ponto ( π,19) está no gráfico de f. Logo, f( π) = 19. RESPOSTA: 19. P4. SOLUÇÃO: Analisando cada alternativa separadament e: a) INCORRETO. f(ax) = sen (2ax +5) ≠ a·sem (2x + 5) b) INCORRETO. f(ax) = 2ax + 5 ≠ a·f(x) = a (2x + 5) = 2ax + 5a c) INCORRETO. f(ax) = (ax)³ - 1 = a³x³ - 1 ≠ a·f(x) = a(x³ - 1) = ax³ - a d) VERDADEIRO. (x + 1)² - (x – 1)² = x² + 2x + 1 – (x² - 2x + 1) = x² +2x + 1 – x² + 2x – 1 = 4x. Logo, f (x) = 4x. f(ax) = 4ax = a·f(x) = a4x = 4ax. E f(x) + f(y) = 4x + 4y = 4(x + y) = f(x + y) = 4(x + y). e) INCORRETO. f(ax) = 3ª x ≠ a·f(x) = a ·3x RESPOSTA: LETRA D. P5. SOLUÇÃO: Quando o número de folhas é 0, o peso da carta é 10,2 g, ou seja, o envelope pesa 10,2 g. Q uando o número de folhas é 4, a carta pesa 29,4 g, ou seja: 29,4 = 10,2 + 4x. �� 4x = 19,2 �� x = 4,8 g. (peso de 1 folha) RESPOSTA: LETRA D. P6. SOLUÇÃO: Se o gráfico de f é uma reta, f é uma fun ção do 1º grau. Se os pontos (1,1) e (5,-7) estão co ntidos na reta, então 1 = a + b e -7 = 5a + b. Isolando b na segund a equação: b = -5a - 7. Substituindo na primeira: 1 = a – 5a - 7 �� -4a = 8 �� a = -2. Então 1 =-2 +b �� b = 3. Logo, f(x) = -2x + 3. 0-0) FALSO. f(0) = 3, então o ponto (0,3) pertence a o gráfico de f. f(2) = -2 ·2 + 3 = -4 +3 =-1. Então o ponto (2,-1) também PERTENCE ao gráfico de f. 1-1) VERDADEIRO. a < 0 (a = -2). Logo, f é decrescente . 2-2) VERDADEIRO. f(1) = -2 ·1 + 3 = -2 + 3 = 1. 3-3) FALSO. a < 0, então f é decrescente de x. 4-4) FALSO. Como vimos, os pontos (1,1) e (5,-7) per tencem ao gráfico de f, que é uma reta. Logo, f exi ste e é f(x) = -2x + 3. RESPOSTA: FVVFF.



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P7. SOLUÇÃO: Pelas informações dadas, concluímos que a equação que representa o preço da xérox em função do número de cópias, é:

Portanto, o valor pago por 320 cópias, como 320 > 20 0, é: f(320) = 12 + 10 + 0,08(320 – 200) = 22 + 0,08·120 = 22 + 9,6 = 31,60. RESPOSTA: LETRA C.

P8. SOLUÇÃO: Se as 15 pessoas fossem pagar a conta de R$157,50, cada um pagaria 157.50

15= 10,50 reais. Como as

moças não pagaram, cada rapaz desembolsou R$12,00 a mais do que pagaria, ou seja, 10,50 + 12,00 = 22,5 0. Para saber quantos rapazes havia, basta dividir o total da con ta por quanto cada rapaz pagou: 157.5022,5

= 7. Logo, havia 7 rapazes. Se eram 15 pessoas, ent ão estavam presentes 8 moças (15 – 7). Analisando a s

alternativas: a) INCORRETO. Havia mais mulheres que homens na mes a (8 > 7). b) CORRETO. 8 = 7 – 1. c) INCORRETO. Cada homem na mesa desembolsou exatam ente R$22,50 para pagar a conta. d) INCORRETO. Como havia mais mulheres que homem, s e a conta fosse dividida igualmente, a parte paga p or elas seria maior que a parte paga pelos homens. e) INCORREETO. 10, 50 x 2 = 21 ≠ 22,50. RESPOSTA: LETRA B. P9. SOLUÇÃO: Se às 7h a concentração de poluentes e ra de 30 partículas a cada milhão e às 11h era de 7 0 a cada milhão, então em 4h a concentração de partícula cresceu em 40 (a cada milhão). Logo, em 1h, a concentração cre sceu 10 partículas por milhão de partículas. Portanto, a eq uação que representa a concentração de poluentes em função da quantidade de horas passadas, considerando às 7h o instante inicial, é: f(x) = 30 + 10x. Às 9h30, ou s eja, 2,5h depois do instante inicial, a concentração de poluentes era: f(2,5) =30 + 10·2,5 =30 +25 =55. RESPOSTA: LETRA E. P10. SOLUÇÃO: Chamando a idade de Diofanato de x, o btemos:

�� x = 84. RESPOSTA: LETRA D. P11. SOLUÇÃO: Chamando de x a quantia que Maria dispõe, p o preço do chocolate e q a quantidade de chocolate, obtemos: x = p · q Se o preço do chocolate fosse 0,05 mais caro, ou se ja, p + 0,05, ela compraria 4 chocolates a menos, o u seja, q – 4. Isso com a mesma quantia, logo: x = (p + 0,05) · (q – 4). Da mesma forma, se o preço do chocolate f osse 0,05 mais barato, ela compraria 6 chocolates a mais, logo: x = (p – 0,05) · (q + 6). Temos um sistema com 3 equações e 3 incóg nitas. Resolvendo a 2ª equação: x = pq – 4p + 0,05q – 0,2. Mas, de acordo com a 1ª equação x = p ·q, logo: 4p = 0,05q – 0.2. Desenvolvendo a 3ª equação: x = pq + 6p – 0,05q – 0,3 �� -6p = -0,05q – 0,3. Somando as 2 equações obtidas: -2p = -0,5 �� p = 0,25. Substituindo em 4p = 0,05q – 0,2: 4 ·0,25 = 0,05q – 0,2 ��



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1 + 0,2 = 0,05q �� q = 1,2/0,05 �� q = 24. Como x = p · q, então x = 0,25 · 24 = 6. Logo, Maria dispõe da quantia de R$6,00. RESPOSTA: LETRA A. P12. SOLUÇÃO: Analisando cada alternativa: a) INCORRETO. Um exemplo é no intervalo t > 60, que o número de abelhas não cresce pois permanece const ante. Também no primeiro intervalo a função é decrescente , pois a = - 0,24 < 0. b) CORRETO. De acordo com a função, após 60 dias, P(t ) = 81. Como P(t) está em milhares de abelhas, então P(t) = 81000. c) INCORRETO. Nesse intervalo, a função é dada por: P(t) = 1,8t – 31. Para a população decrescer 1800 abe lhas por dia, a função seria: P(t) = 1,8t. d) INCORRETO. Nesse intervalo, a função é dada por: P(t) = 2t – 39. Para a população da colméia crescer 2 00 abelhas por dia, a função seria: P(t) = 0,2t e) INCORRETO. P(35) = 1,8 · 35 – 31 = 63 – 31 = 32. P(25) = 1,8 · 25 – 31 = 45 – 31 = 14. Nesse período a população da colméia cresceu 32 – 14 = 18. P(55) = 2 · 55 – 39 = 110 – 39 = 71. P(45) = 2 ·45 – 39 = 70 – 39 = 31. Nesse período a população c resceu 71 – 31 = 40. Logo, cresceu mais que no período anterior. RESPOSTA: LETRA B. P13. SOLUÇÃO: Como podemos observar, no instante t=0, P(t) = 9,8, logo a função corta o eixo dos y no ponto y = 9,8. Então eliminamos a letra E. Também observamos que no intervalo 0 ≤ t ≤ 20, a função é decrescente, pois a = -0,24 < 0. Por tanto eliminamos também as letras B e C. No intervalo t > 60, vemos que a função se estabiliza em 81. Logo, o gráfico c orreto é o da letra A. RESPOSTA: LETRA A. P14. SOLUÇÃO: No 30º dia: P(t) = 1,8t – 31 �� P(30) = 1,8 · 30 – 31 = 54 – 31 = 23. No 50º dia: P(t) = 2t – 39 �� P(50) = 2 · 50 – 39 = 100 – 39 = 61. 6123

≅≅≅≅ 2,65 = 265%. �� 265% - 100% = 165%.

RESPOSTA: LETRA E. P15. SOLUÇÃO: A renda mensal da família é dada por: y = f(x) = ax + b, onde x é o valor gasto com as d espesas. Substituindo os valores dados, temos: 2600 = 2200a + b (I) 2800 = 2300a + b (II) Fazendo II – I: 200 = 100a �� a = 2. Substituindo em I: 2600 = 4400 + b �� b = -1800. Então f(x) = 2x – 1800. A diferença entre a renda ( 2x – 1800) e os gastos (x) é igual a 600, quando: 2x – 1800 – x = 600 �� x = 2400. Quando os gastos valem R$2400,00, a rend a da família é 2 ·2400 – 1800 = 4800 – 1800 = 3000 reais. Logo, acima de R$3000,00 de renda familiar, a diferença entre a renda e os gastos é superior a R$600,00. RESPOSTA: LETRA B. P16. SOLUÇÃO: O salário do vendedor é f(x) = 240 + 0,05x, sendo x o total das vendas mensais, onde 200 ≤ x ≤ 20.000. Analisando as alternativas: a) CORRETA. Sendo x o valor mínimo, f(200) = 240 + 0,05 ·200 = 240 + 10 = 250. E sendo x o valor máximo, f(2 0.000) = 240 + 0,05 · 20.000 = 240 + 1000 = 1240. Logo, a imagem de f(x) é o intervalo [250, 1240].

b) CORRETA. y = 240 + 0,05x �� 0,05x = y – 240 �� x =1

0,05 (y – 240) �� x = 20 (y – 240).

c) INCORRETA. O valor mínimo do salário é quando o x é mínimo, ou seja, x = 200. E como vimos, f(200) = 250. Logo, o valor mínimo do salário é R$250,00. d) CORRETA. O valor máximo do salário é quando o x assume seu valor máximo, ou seja, x = 20.000. Como vimos, f(20.000) = 1240.

e) CORRETA. f(X) = 240 + 0,05x = 240 +1

20 x

RESPOSTA: LETRA C.



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P17. SOLUÇÃO: Sendo f o preço da copiadora em função d o número de cópias, obtemos:

0,12x, se x 50f(x)

0,10x, se x 50

<<<<==== ≥≥≥≥

Com 45 cópias, paga-se 45 · 0,12 = 5,40, pois 45 < 50. Mas pagando esse mesmo valor com a cópia a r$0,10: 5,40 = 0,10x �� x = 54. Seria possível fazer 54 cópias. (54 > 50). RESPOSTA: LETRA D. P18. SOLUÇÃO: Custo: C(x) = 1200 + 7,2x, onde x é a q uantidade de objetos. Preço de venda: V(x) = 15,80x. O Lucro é a diferença entre a venda e o custo, logo

L(x) = V(x) – C(x) = 15,8x – 1200 – 7,2x = 8,6x – 12 00. Para que o lucro seja metade do custo de produç ão: L(x) = C(x)

2 ��

8,6x - 12000 =12000 7,2x

2+

�� 17,2x - 24000 = 12000 + 7,2x �� 10x = 36000 ��x = 3600.

RESPOSTA: LETRA A. P19. SOLUÇÃO: Chamando de x as partes do trajeto qu e são subidas (em Km), y as partes que são descidas e z as partes planas, no caminho de ida, sabemos que no caminho d e volta, as descidas serão subidas e vice-versa.

Logo, como o tempo é o quociente da distância pela velocidade, considerando que Marta leva 4 horas par a ir e voltar, temos:

x y z x y z4

2 6 3 6 2 3 = + + + + += + + + + += + + + + += + + + + +

�� 3x y 2z x 3y 2z

46

+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +==== �� 4x + 4y + 4z = 4 · 6 �� 2(2x + 2y + 2z) = 24 �� 2x + 2y + 2z = 12

Km, onde 2x + 2y + 2z é o trajeto de ida e volta, o u seja, a distância total percorrida por Marta. RESPOSTA: LETRA E. P20. SOLUÇÃO: O custo da empresa é C(x) = 1,2x + 40 00, onde x é a quantidade de unidades produzidas. O preço de venda é V(x) = 2x. Logo, o lucro da empresa é L(x) = V(x) – C(x) �� L(x) = 2x – 1,2x – 4000 �� L(x) = 0,8x – 4000. Analisando as afirmativas: 0-0) FALSO. L(4000) = 0,8 · 4000 – 4000 = 3200 – 4000 = -800. A empresa terá u m prejuízo de R$ 800,00. 1-1) VERDADEIRO. C(4000) = 1,2 · 4000 + 4000 = 4800 + 4000 = R$ 8800,00. 2-2) VERDADEIRO. L(6000) = 0,8 · 6000 – 4000 = 4800 – 4000 = 800. 3-3) VERDADEIRO. L(4000) = -800. 4-4) VERDADEIRO. L(5000) = 0,8 · 5000 – 4000 = 4000 – 4000 = 0. A empresa não terá nem lucro nem prejuízo. RESPOSTA: FVVVV. P21. SOLUÇÃO: Sabendo que 1 minuto e 15 segundos eq uivale a 75 segundos e que segundo os dados em um i ntervalo tempo é de 10 segundos a distância é de 3,4 km, pod emos concluir que a cada 1 segundo a distância é de 0,34 km e em 75 segundos a distância é de 75.0,34 = 25,5 segundos. RESPOSTA: LETRA C



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P22. SOLUÇÃO: Temos f(x) = 3,5 + 2,5.x e g(x) = 4,2 + 3,5.x. Segue que f(10) = 28,50 reais e g(20) = 74,20. Temos g(10) = 39,20 reais e g(10)/f(10) = 1,3754, l ogo o preço de uma corrida de 10km no táxi especial é superior em 37,54% à mesma corrida no táxi normal. Os gráficos de f(x) e g(x) para x ≥ 0 são semirretas passando por (0, 3,5) e (0, 4,2) e com inclinações 2,5 e 3,5, respectivamente. g(x) – f(x) = 0,7 + x. RESPOSTA: VVVFV APROFUNDAMENTO A1. SOLUÇÃO: Se g(x) = 3x + 2 e g(f(x)) = 6x – 4, ent ão g(f(x)) = 3 ·f(x) + 2 = 6x – 4 �� 3·f(x) = 6x – 6 �� f(x) = 2x – 2. Então f(4) = 2 · 4 – 2 = 6. Se h(x + 1) = h(x) + x, então, h(4 +1) = h(5) = h(4) + 4 e h(5 + 1) = h(6) = h(5) + 5. Substituindo h(5) por h(4) + 4, obtemos: h (6) = h(4) + 4 + 5 �� h(6) – h(4) = 9. E se t(2x) = 2 t(x), então t(2 ·3) = t(6) = 2·t(3). Mas t(6) = 18, então 2 ·t(3) = 18 �� t(3) = 9. Logo, o valor da expressão f(4) + h(6) – h(4) + t(3) = 6 + 9 + 9 = 24. RESPOSTA: LETRA B. A2. SOLUÇÃO: Se 2x + 1 = 31 �� 2x = 30 �� x = 15, então f(31) = 10 ·f(15) – 3 = 0 �� 10·f(15) = 3 �� f(15) = 0,3. Se 2x + 1 = 15 �� 2x = 14 �� x = 7, então f(15) = 10·f(7) – 3 = 0,3 �� 10·f(7) = 3,3 �� f(7) = 0,33. Se 2x + 1 = 7 �� x = 3, então f(7) = 10 ·f(3) – 3 = 0,33 �� 10·f(3) = 3,33 �� f(3) = 0,333. Se 2x + 1 = 3 �� x = 1, então f(3) = 10 ·f(1) – 3 = 0,333 �� 10·f(1) = 3,333 �� f(1) = 0,3333. E se 2x + 1 = 1 �� x = 0, então f(1) = 10 ·f(0) – 3 = 0,3333 �� 10·f(0) = 3,3333 �� f(0) = 0,33333. RESPOSTA: LETRA A. A3. SOLUÇÃO: Podemos notar que a cada 5 reais reduzid os do preço, o número de passageiros por semana sof re um acréscimo de 100 passageiros. Então a cada real aume ntado, o número de passageiros aumenta em 20 (pois 100/5 = 20). Logo, se o preço for reduzido para R$18,00, ou seja , diminuir 7 reais, então o número de passageiros i rá aumentar 20 · 7 = 140. Se antes o número médio de passageiros era de 5 00, então será de 500 + 140 = 640. RESPOSTA: LETRA C. A4. SOLUÇÃO: Sendo f e g as funções de mm de líquido em função da quantidade de dias passados, obtemos: Líquido I : f(0) = 100 e f(40) = 0. Logo 40a + 100 = 0 �� a = - 5/2. Então f(x) = -5/2 x + 100. No Líquido II: g(0) = 80 e g(48) = 0. Logo 48a + 80 =0 �� a = -80/48 = - 5/3. Então g(x) = -5/3 x + 80. Para ambos os líquidos terem o mesmo nível: f(x) = g(x) �� -5/2 x + 100 = -5/3 x + 80 �� (5/2 – 5/3)x = 20 �� 5/6 x = 20 �� x = 120/5 �� x = 24. Logo, após 24 dias. RESPOSTA: 24. A5. SOLUÇÃO: Quando x ≤ 60: f(60) = 72 �� 72 = 60a �� a = 72/60 �� a = 6/5. Quando 60 ≤ x ≤ 80: f(60) = 72 e f(80) = 90 �� 72 = 60a + b e 90 = 80a + b. Isolando b na 1ª equação: b = 72 – 60a. Substituindo na 2ª: 90 = 80a + 72 -60 a �� 20a = 90 – 72 �� a = 18/20 = 9/10. Como o a é o coeficiente angular, ele que determina o aumento percentual. Logo, a pa rtir das 12 horas, o preço do quilograma das batatas é

91065

do que era antes. Logo é

9 5 4.

10 6 3==== = 0,75. Logo, a redução percentual foi de 1 – 0,75 = 0,25 = 25%.

RESPOSTA: 25.



10

A6. SOLUÇÃO: ∆∆∆∆y = f(A + ∆∆∆∆x) – f(A) = 52 (A+ ∆∆∆∆x) – 36 – (52A - 36) = 52∆∆∆∆x. Assim, L é constante e igual a 52. Então os ítens 0 -0, 1-1 e 4-4 são falsos. 2-2 segue de ∆∆∆∆y = f(A + ∆∆∆∆x) – f(A), logo é verdadeiro. 3-3 é verdadeira, pois L é o coeficiente angular da reta y = 52x-36. RESPOSTA: FFVVF. A7. SOLUÇÃO: C(x) = 12x + 4000, onde C(x) é o custo da empresa em função da quantidade x de unidades p roduzidas. V(x) = 20x, onde V(x) é o valor arrecadado das vendas. Ent ão o lucro é: L(x) = V(x) – C(x) = 20x – 12x – 4000 = 8x – 4000. Se o lucro é de 16000, então 8x – 4000 = 16000 �� 8x = 20000 �� x = 2500 unidades. Reduzindo em 15% o preço unitár io da venda dos objetos, que era de 20 reais, ficará 0,85 · 20 = 17 reais. Logo, V(x) = 17x e L(x) = 17x – 12x – 4000 = 5x – 4000. Para o lucro continuar o mesmo, ou seja R$16000,00: 5x – 4 000 = 16000 �� 5x = 20000 �� x = 4000 unidades. Se antes a quantidade vendida er a de 2500 e agora é de 4000, então o aumento percen tual

foi de 40002500

– 1 = 1,6 – 1= 0,6 = 60%.

RESPOSTA: LETRA C. A8. SOLUÇÃO: Chamando de f a função que representa os batimentos do atleta e g a que representa os bat imentos de uma pessoa normal, temos: f(2) = 200 e f(0) = 60 �� 100 = 2a + 60 ��2 a = 40 �� a = 20. Então f(x) = 20x + 60 (Isso para 0 ≤ x ≤ 2, que pelo gráfico podemos observar que é o intervalo onde as duas funções se encontram). E g(4) = 100 e g(0) = 70 �� 100 = 4a + 70 �� 4a = 30 ��

a = 15/2. Então g(x) = 15

x2

+ 70. O número de batimentos cardíacos do atleta e de uma pessoa normal será igual quando

f(x) = g(x). Então 20x + 60 = 15/2 x + 70 �� 40x + 120 = 15x + 140 �� 25x = 20 �� x = 4/5 = 0,8. RESPOSTA: LETRA A. A9. SOLUÇÃO: Sendo f a porcentagem de indivíduos br ancos em função do ano, considerando 2000 o ano ini cial (x = 0), temos: f(0) = 70 e f(20) = 62 �� 62 = 20a + 70 �� 20a = -8 �� a = -2/5. Então f(x) = -2/5 x + 70. Os brancos ser ão minoria na população quando forem menos que 50% da população. Logo, f(50) = -2/5 · 50 + 70 = -20 + 70 = 50. Então será 50 anos depois do ano 2000, ou seja, no ano de 2050. RESPOSTA: LETRA A. A10. SOLUÇÃO: Podemos observar que a cada 20 anos, a expectativa de vida aumenta 4,4 anos. Logo, em 10 anos a expectativa de vida aumenta 2,2 anos. Se em 2000 a expectativa é de 75,4 anos, em 2010 será de 75,4 + 2,2 = 77,6 anos = 77 anos e 0,6 · 365 dias = 77 anos e 219/30 meses = 77 anos, 7 mes es e 0,3 ·30 dias = 77 anos, 7 meses e 9 dias. RESPOSTA: LETRA C.

exercícios propostos resolvidos cap. 03 função afim

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