Ensino Superior

Matemática Básica

Unidade 1.3 - Potenciação

Amintas Paiva Afonso

POTÊNCIAS

Amintas Paiva Afonso

POTÊNCIASO que é uma Potência?

1. Potência de Expoente 0

2. Potência de Exponente 1

3. Multiplicação de Potências de Igual Base e Distinto Expoente

4. Multiplicação de Potências de Distinta Base e Igual Exponente

5. Divisão de Potências de Igual Base e Distintos Exponentes

6. Divisão de Potências de Distinta Base e Igual Expoente

7. Potência de uma Potência

8. Potência de Expoente Negativo

Potências de Bases 2 e 3.

O que é uma Potência?Potência é uma expressão que consta de uma BASE e um EXPOENTE.

O que é uma Base e um Expoente?

24

BASE EXPOENTE

(-5,3)8

4

5

4

ab

O qué significa uma Potência?

Potência é uma forma abreviada de escrever uma multiplicação recorrente.

24

(-5,3)5

2

5

4

= 2 2 2 2 O 2 se multiplica por si mesmo as vezes que indica o expoente 4.

= (-5,3) (-5,3) (-5,3) (-5,3) (-5,3)

5

4

5

4= Obs: O Expoente 1 não se

escreve. Se a base não tem expoente se assume que é 1.

nm

= n n … n n se multiplica por si memo as vezes que indica o exponente m.

m vezes

Algo importante:

Leitura de uma Potência.

- Expoente 2, Quadrado. Ex: - Expoente 3, Cubo. Ex: - Em Geral se pode usar “ELEVADO A”.

36

Parênteses em uma Potência.

Não é o mesmo 23 e 23

9 9

26

3 3 33

3g2x

1 - Propriedade:

Potência de Expoente Zero.

20

= 12 - Propriedade:

Potência de Expoente Um.

21

= 2

Exceção

00

Não Existe m0

= 1

n1

= n

3 - Propriedade:

Multiplicação de Potências de Base Igual e Expoente Distinto.

Sabendo que: 24

= 2 2 2 2

4 veces

Qual será o resultado de?

34

32

33 3 3 =3

4 vezes 2 vezes No Total são

3 3 3 333 3

= 36

= 34+2

6 vezes

na n

b= n

a+bEm Geral

25

23

Resolver usando a Propriedade da Potência:

27

a) =

3

7b) =

5

4

5

4

5

4

3

5

-6c) =

2

1

2

1

2

1

25 7

3 2

2d) = 7

2

Ordene

75

=

=

Resultado Final

3 - Propriedade:

Multiplicação de Potências de Base Igual e Expoente Diferente.

28

4 - Propriedade:

Multiplicação de Potências de Base Distinta e Expoente Igual.

Sabendo que: 24

= 2 2 2 2

4 vezes

Qual será o resultado de?

52 3

2

55 =3

2 vezes 2 vezes No Total são

3 (5 (5 3)3)

= 3)2

= 152

2 vezes

(5

ma n

a= (n • m)

aEm Geral

66

26

Resolver usando a Propriedade da Potência:

564

a) =

4

4

b) =

5

1

3

2

4

1

3

3

3

c) =

3

5

3

2

3

1

84

53

74

d) = 63

Ordene

303

=

=

Resultado Final

4

46

4 - Propriedade:

Multiplicação de Potências de Base Distinta e Expoente Igual.

5 - Propriedade:

Divisão de Potências de Base Igual e Expoente Distinto.

Sabendo que: 24

= 2 2 2 2

4 vezes

Qual será o resultado de?

34: 3

2

4 vezes

─= 34

32 = ______________ 33 3 3

3 32 vezes

e 14

4

3

3_=

3

3_

3 3

= 1 1 3 3 = 32

O anterior se pode separar assim

─34 - 2

32

Mais Rápido = 3 =2

34

na

: nb

= na-b

Em Geral

25

: 23

Resolver usando a Propriedade de Potência:

a) =

b) 9

5

8

8

c) =53

48

125

125

e)

28

: d) 2

4

2121

73

63

102

210

2515 99f)

5 - Propriedade:

Divisão de Potências de Base Igual e Expoente Distinto.

6 - Propriedade:

Divisão de Potências de Distintas Bases e Igual Expoente.

Sabendo que: 24

= 2 2 2 2

4 vezes

Qual será o resultado de?

94: 3

4

4 vezes

─= 94

34 = ______________ 99 9 9

3 34 vezes

y 14

4

9

3_=

9

3_

9 9

= 3 3 3 3 = 34

O anterior se pode separar assim

─93

4Mais Rápido =

4

34

3 3

_ _3 3

4

3

9 ma: n

a=(m : n)

aEm Geral

53: 10

3

Resolver usando a Propriedade da Potência:

a) =

b) 5

5

12

6

c) =43

43

125

215

e)

23

: d) 4

4

2141

36

63

54

210

2525 93f)

6 - Propriedade:

Divisão de Potências de Distintas Bases e Igual Expoente.

7 - Propriedade:

Potência de uma Potência.

Sabendo que: 24

= 2 2 2 2

4 vezesQual será o resultado de?

52

)6

=2•6

= 1512

5(5

2

52

52

52

52

52

6 vezes

55

12 veces

5 5 5 55 5 5 55 5 = 512

(m )a b=m

a • bEm Geral

Resolver usando a Propriedade da Potência

32

)3

(a)

3

)1

(b)

3

)2

(c)

49

)0

(d)

22

)4

(e)

73

)4

(f)

5

)2

(g)

-4

)-3

(h)

2

3

2

1

4

1

=

=

=

=

=

=

=

=

7 - Propriedade:

Potência de uma Potência.

2- 4

Exemplos

0,6- 3

(-7)- 10

- 2

5

4

8 - Propriedade:

Potência com Expoente Negativo.

2- 4

0,6- 3

=__1

24

=__1

0,63

(-5)4

=___1-

(-5)- 4

7

=

7

__3

2

-

2

3__

En General

aa

mm

1 aa

m

n

n

m

ó

8 - Propriedade:

Potência com Expoente Negativo.

Assim, podemos aplicar a propriedade várias vezes sobre um mesmo número.

72

= __1

7-2 7

2= __1

7-2=

7-2

= __1

72 7

-2= __1

72=

8 - Propriedade:

Potência com Expoente Negativo.

Exercicios: Trocar o sinal do expoente.

64

3

12,1

64

1

312,1

1

65

3

2

3

651

3

3

2

8 - Propriedade:

Potência com Expoente Negativo.

Observe que

102

928272625242

32

221202

2

12 1

4

1

2

12

22

8

1

2

12

33

1

2

12 4

1024

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

4 16

1

2

12 5

5 32

1

2

12 6

6 64

103

938373635343

33

231303

3

13 1

9

1

3

13

22

27

1

3

13

33

1

3

13 4

59049

19683

6561

2187

729

243

81

27

9

3

1

4 81

1

3

13 5

5 243

1

3

13 6

6 729

Observe que

Curiosidades

8215

51283

1) Dos números naturais, excluidos o 1, são o 8 e o 27 os únicos cujyo cubo dá exatamente algarismos que somam 8 e 27, respectivamente.

2738691

19683273

2) O número de dias do ano (365) é igual à soma dos quadrados de três números naturais consecutivos.

350144121100

121110 222

350196169

1413 22

E de dois números consecutivos

12345432111111

12343211111

12321111

12111

11

2

2

2

2

2

3)