exercicios de volume nono ano (1)

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Áreas e Volumes Conjuntos Numéricos Engenharia Prof a : Alessandra Stadler Favaro Misiak FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAG

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volume Nono Ano (1)

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Introduo ao Clculo

Engenharia FAG

reas e VolumesConjuntos Numricos

Engenharia

Profa: Alessandra Stadler Favaro Misiak

Cascavel 2009

reas

O conceito de regio poligonal

Uma regio poligonal a reunio de um nmero finito de regies triangulares no-sobrepostas e coplanares (esto no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regies poligonais. Observe que uma regio triangular por si mesmo uma regio poligonal e, alm disso, uma regio poligonal pode conter "buracos".

Uma regio poligonal pode ser decomposta em vrias regies triangulares e isto pode ser feito de vrias maneiras

O estudo de rea de regies poligonais depende de alguns conceitos primitivos:

1. A cada regio poligonal corresponde um nico nmero real positivo chamado rea.

2. Se dois tringulos so congruentes ento as regies limitadas por eles possuem a mesma rea.

3. Se uma regio poligonal a reunio de n regies poligonais no-sobrepostas ento sua rea a soma das reas das n-regies.

Exemplo: A rea da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposio da regio poligonal em regies triangulares.

Aps isto, realizamos as somas dessas reas triangulares.

rea(ABCDEFX)=rea(XAB)+rea(XBC)+...+rea(XEF)

Unidade de rea

Para a unidade de medida de rea, traamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.

Esta unidade pode ser o metro, o centmetro, o quilmetro, etc.

rea do Retngulo

A figura ao lado mostra o retngulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retngulo e os segmentos verticais, dividem o retngulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de rea.

A rea do retngulo ABCD a soma das reas destes seis quadrados. O nmero de unidades de rea do retngulo coincide com o obtido pelo produto do nmero de unidades do comprimento da base AB pelo nmero de unidades da altura BC. Assim:

A = b h

rea do quadrado

Um quadrado um caso particular de retngulo cuja medida da base igual medida da altura. A rea do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.

Esta a razo pela qual a segunda potncia do nmero x, indicada por x, tem o nome de quadrado de x e a rea A do quadrado obtida pelo quadrado da medida do lado x.

A = x

rea do Paralelogramo

Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente o segmento perpendicular reta que contm a base at o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.

No paralelogramo ABCD abaixo esquerda, os segmentos verticais tracejados so congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relao base AB.

INCLUDEPICTURE "http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-areas/fig19.png" \* MERGEFORMATINET No paralelogramo RSTV acima direita, os dois segmentos tracejados so congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relao base RV.

A rea A do paralelogramo obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h.

A=bh

rea do losango

O losango um paralelogramo e a sua rea tambm igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.

A rea do losango o semi-produto das medidas das diagonais.

rea do trapzio

Em um trapzio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida B2 e uma altura com medida h.

A rea A do trapzio o produto da mdia aritmtica entre as medidas das bases pela medida da altura.

rea do Tringulo

A rea de um tringulo qualquer a metade do produto da medida da base pela medida da altura.

Casos especiais: Conhecidos dois lados (a e b) e o ngulo () formado por eles:

Conhecidos trs lados (a, b e c):

rea do Tringulo eqiltero

No triangulo eqiltero, todos os lados so congruentes, todos os ngulos internos so congruentes (600, 600, 600) e toda altura tambm mediana e bissetriz. Assim:

rea do hexgono regular

O hexgono regular um polgono especial, pois formado por seis tringulos eqilteros. Assim:

rea do circulo regular

rea do crculo o valor limite da seqncia das reas das regies poligonais regulares inscritas no crculo quando o nmero n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.

EXERCCIOS:

1. Feito o levantamento de um terreno, foram determinados os lados indicados na figura abaixo. Nessas condies, qual a rea do terreno?

2. Um terreno tem a forma de um trapzio de bases 20m e 14m, e a altura 11m. Nesse terreno, construiu-se uma piscina retangular de 8m por 5m. No restante do terreno foram colocadas pedras. Qual rea foi utilizada para colocar pedra?

3. Um campo de futebol tem 80 m de comprimento e 42 m de largura. Qual a sua rea?4. O proprietrio de uma casa quer transformar um quartinho em uma dispensa e quer azulejar as paredes. As medidas desse cmodo so: 2 paredes de 2 m de comprimento por 2 m de altura e outras 2 paredes de 1,5 m de comprimento por 2 m de altura, menos a medida da porta de entrada que de 1 m por 2 m de altura. Sabendo que os azulejos medem 20 cm por 20 cm. Quantos azulejos, no mnimo, devem ser comprados.5. Uma piscina tem 25 m de comprimento por 10 m de largura por 2 m de profundidade. Quantos litros de gua so necessrios para ench-la?6. Um terreno tem forma quadrada, de lado 30,2m. Calcule a rea desse terreno.

7. Para ladrilhar totalmente uma parede de 27m2 de rea foram usadas peas quadradas de 15cm de lado. Quantas peas foram usadas?

8. A rea de um trapzio 39m2. A base maior mede 17m e a altura 3m. Qual a medida da base menor?

9. O permetro de um tringulo eqiltero 30cm. Calcule a rea desse tringulo.

10. De uma chapa de alumnio foi recortada uma regio retangular eqiltera de lado 20cm. Qual rea dessa regio foi recortada?

11. Qual a rea de toda a parte colorida da figura abaixo? E da rea no pintada?

12. Calcule a rea de uma regio triangular limitada pelo triangulo cujos lados medem 4cm, 6cm e 8cm?

13. Calcule a rea do terreno cuja forma e dimenses esto representadas pela figura.

14. Qual a rea regio triangular limitada pelo triangulo cujas as medidas esto indicadas na figura ao lado?

15. Um terreno tem a forma da figura abaixo e suas medidas esto indicadas na figura. Calcule a rea desse terreno.

16. A rea de um tringulo eqiltero de cm2. Nessas condies, qual permetro do tringulo?

17. Calcule a rea da regio poligonal de uma cartolina limitada por um hexgono regular de lado 10cm.

18. Um piso de cermica tem a forma hexagonal regular. O lado do piso mede 8cm. Qual a rea desse piso?

19. Um hexgono regular tem 12cm de lado. Determine a rea desse hexgono.

20. Uma pizzaria oferece aos seus clientes pizzas grandes, de forma circular, por R$ 5,40. Para atender alguns pedidos, a pizzaria passar a oferecer a seus clientes pizzas mdias, tambm de forma circular. Qual dever ser o preo da pizza mdia, se os preos das pizzas mdias e grandes so proporcionais s suas reas? ( raio da pizza grande 18cm e da mdia 12cm)

21. Um disco de cobre tem 20cm de dimetro. Qual a rea desse disco?

22. Qual a rea da figura a seguir?

23. Quatro crculos de raios unitrio, cujos centros so vrtices de um quadrado, so tangentes exteriormente dois a dois. A rea da parte sombreada :

24. Na figura, ABCD uma figura de lado igual a 8. Os arcos que limitam a regio sombreada tem raios iguais a 8 e seus centros em A e C. Calcule a rea pintada.

25. Determine a rea das figuras a seguir:

a) 10cm

b)

7cm

10cm

7cm

10cm

c)

d)

26. Determine a rea das figuras Hachuradas.

a)

b)

c)

d)

Poliedros e Volumes

Poliedro

Poliedro um slido limitado externamente por planos no espao R. As regies planas que limitam este slido so as faces do poliedro. As intersees das faces so as arestas do poliedro. As intersees das arestas so os vrtices do poliedro. Cada face uma regio poligonal contendo n lados.

Poliedros convexos so aqueles cujos ngulos diedrais formados por planos adjacentes tm medidas menores do que 180 graus. Outra definio: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, dever estar inteiramente contido no poliedro.

Poliedros Regulares

Um poliedro regular se todas as suas faces so regies poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo nmero de arestas se encontram em cada vrtice.

TetraedroHexaedro (cubo)Octaedro

Caractersticas dos poliedros convexos

Notaes para poliedros convexos: V: Nmero de vrtices, F: Nmero de faces, A: Nmero de arestas, n: Nmero de lados da regio poligonal regular (de cada face), a: Medida da aresta A e m: Nmero de ngulos entre as arestas do poliedro convexo.

Caracterstica dopoliedro convexoMedida da caracterstica

Relao de EulerV + F = A + 2

Nmero m de ngulos diedraism = 2 A

Na tabela a seguir, voc pode observar o cumprimento de tais relaes para os cinco (5) poliedros regulares convexos. Estes poliedros so conhecidos como poliedros de Plato.

Poliedro regularconvexoCada face umFaces(F)Vrtices(V)Arestas(A)ngulos entreas arestas (m)

Tetraedrotringuloequiltero44612

Hexaedroquadrado681224

Octaedrotringuloequiltero861224

Dodecaedropentgonoregular12203060

Isocaedrotringuloequiltero20123060

Prisma

Prisma um slido geomtrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto inclinao das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblquos.

Prisma retoAspectos comunsPrisma oblquo

Bases so regies poligonais congruentes

A altura a distncia entre as bases

Arestas laterais so paralelas com as mesmas medidas

Faces laterais so paralelogramos

ObjetoPrisma retoPrisma oblquo

Arestas lateraistm a mesma medidatm a mesma medida

Arestas lateraisso perpendiculares ao plano da baseso oblquas ao plano da base

Faces lateraisso retangularesno so retangulares

Quanto base, os prismas mais comuns esto mostrados na tabela:

Prisma triangularPrisma quadrangularPrisma pentagonalPrisma hexagonal

Base:TringuloBase:QuadradoBase:PentgonoBase:Hexgono

Sees de um prisma

Seo transversal: a regio poligonal obtida pela interseo do prisma com um plano paralelo s bases, sendo que esta regio poligonal congruente a cada uma das bases.

Seo reta (seo normal): uma seo determinada por um plano perpendicular s arestas laterais.

Princpio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual esto apoiados dois slidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os slidos com sees de reas iguais, ento os volumes dos slidos tambm sero iguais.

Prisma regular

um prisma reto cujas bases so regies poligonais regulares.

Exemplos: Um prisma triangular regular um prisma reto cuja base um tringulo equiltero. Um prisma quadrangular regular um prisma reto cuja base um quadrado.

Planificao do prisma

Um prisma um slido formado por todos os pontos do espao localizados dentro dos planos que contm as faces laterais e os planos das bases.

As faces laterais e as bases formam a envoltria deste slido. Esta envoltria uma "superfcie" que pode ser planificada no plano cartesiano. Tal planificao se realiza como se cortssemos com uma tesoura esta envoltria exatamente sobre as arestas para obter uma regio plana formada por reas congruentes s faces laterais e s bases. A planificao til para facilitar os clculos das reas lateral e total.

rea da superfcie do prisma

Em todo prisma, consideramos:

rea lateral (Al): formada pela rea da superfcie lateral;

rea total (At): formada pela rea da superfcie lateral e pelas bases;

EXEMPLOS:

1. Em um prisma hexagonal regular, a aresta da base mede 3cm e a aresta da face lateral mede 6cm. Calcule:

a) rea da base;

b) rea lateral;

c) rea total.

2. Uma indstria precisa fabricar 10.000 caixas de sabo com as medidas da figura abaixo. Desprezando as abas, calcule aproximadamente, quantos m2 de papelo sero necessrios.

3. Quantos cm2 de cartolina, aproximadamente, foram usados para montar um cubo de 10cm de aresta?

4. Dispondo de uma folha de cartolina de 50cm de comprimento por 30cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta cortando um quadrado de 8cm de lado em cada canto da folha. Quantos cm2 de material so necessrios ter essa caixa?

Volume de um prisma

O volume de um poliedro correspondente regio de espao limitada pelo poliedro. O volume de um prisma dado por:

V(prisma) = Abase.h

Volume do paraleleppedo reto retangular:

V = a.b.c

Volume do Hexaedro regular ou cubo:

V = a3EXEMPLOS:

1. Qual o volume de concreto necessrio para fazer uma laje de 20cm de espessura em uma sala de 3m por 4m?

2. Quais so as medidas das arestas dos cubos cujos volumes so:

a) 125 dm3

b) 3 cm33. Sabendo-se que foram gastos 0,96 m2 de material para se montar uma caixa cbica , calcule o volume da mesma.

4. Qual o volume de areia que cabe em uma caixa de base hexagonal de aresta da base 11cm e de altura 35cm ?

5. Calcule o volume do prisma reto indicado na figura abaixo:

Introduo aos cilindros

O conceito de cilindro muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicaes intensas do uso de cilindros. Nas construes, observamos caixas d'gua, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilndricas.

Os cilindros abaixo sugerem alguma aplicao importante em sua vida?

A Construo de cilindros

Seja P um plano e nele vamos construir um crculo de raio r e tomemos tambm um segmento de reta AB que no seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular a reunio de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no crculo.

Observamos que um cilindro uma superfcie no espao R, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a regio slida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um slido usaremos aspas, isto , "cilindro" e quando for superfcie, simplesmente escreveremos cilindro.

A reta que contm o segmento AB denominada geratriz e a curva que fica no plano do "cho" a diretriz.

Em funo da inclinao do segmento AB em relao ao plano do "cho", o cilindro ser chamado reto ou oblquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblquo ao plano que contm a curva diretriz.

Objetos geomtricos em um "cilindro"

Em um cilindro, podemos identificar vrios elementos:

1. Base: a regio plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.

2. Eixo: o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".

3. Altura: A altura de um cilindro a distncia entre os dois planos paralelos que contm as bases do "cilindro".

4. Superfcie Lateral: o conjunto de todos os pontos do espao, que no estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.

5. Superfcie Total: o conjunto de todos os pontos da superfcie lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.

6. rea lateral: a medida da superfcie lateral do cilindro.

7. rea total: a medida da superfcie total do cilindro.

8. Seo meridiana de um cilindro: uma regio poligonal obtida pela interseo de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

Classificao dos cilindros circulares

1. Cilindro circular oblquo: Apresenta as geratrizes oblquas em relao aos planos das bases.

2. Cilindro circular reto: As geratrizes so perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro tambm chamado de cilindro de revoluo, pois gerado pela rotao de um retngulo.

3. Cilindro eqiltero: um cilindro de revoluo cuja seo meridiana um quadrado.

rea lateral e rea total de um cilindro circular reto

Em um cilindro circular reto, a rea lateral dada por:

Alateral =

onde r o raio da base e h a altura do cilindro. A rea total corresponde soma da rea lateral com o dobro da rea da base.

Atotal = Alateral + 2. AbaseAtotal =

Atotal =

Volume de um "cilindro"

Em um cilindro, o volume dado pelo produto da rea da base pela altura.

V = Abase .h

Se a base um crculo de raio r, e pi=3,141593..., ento:

V =

Um cilindro circular equiltero aquele cuja altura igual ao dimetro da base, isto h=2r. Neste caso, para calcular a rea lateral, a rea total e o volume, podemos usar as frmulas, dadas por:

Alateral =

Abase =

Atotal = Alateral + 2. Abase =

Volume = Abase .h = =

EXEMPLO

1. Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a rea lateral, rea total e o seu volume.

2. Qual a capacidade de uma lata de refrigerante que tem a forma cilndrica, com 7cm de dimetro e 14 cm de altura?

3. Para fabricar uma caixa de lpis de cor, preciso saber inicialmente qual o volume de cada lpis. Calcule ento o volume de um lpis (sem apontar) que tem 8mm de dimetro e 8cm de comprimento e, em seguida, determine o valor aproximado de 20 lpis (use = 3,14).

O conceito de cone

Considere uma regio plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.

Denominamos cone ao slido formado pela reunio de todos os segmentos de reta que tm uma extremidade em um ponto P (vrtice) e a outra num ponto qualquer da regio.

Elementos do cone

Em um cone, podem ser identificados vrios elementos:

1. Vrtice de um cone o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.

2. Base de um cone a regio plana contida no interior da curva, inclusive a prpria curva.

3. Eixo do cone quando a base do cone uma regio que possui centro, o eixo o segmento de reta que passa pelo vrtice P e pelo centro da base.

4. Geratriz qualquer segmento que tenha uma extremidade no vrtice do cone e a outra na curva que envolve a base.

5. Altura a distncia do vrtice do cone ao plano da base.

6. Superfcie lateral de um cone a reunio de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.

7. Superfcie do cone a reunio da superfcie lateral com a base do cone que o crculo.

8. Seo meridiana de um cone uma regio triangular obtida pela interseo do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

Classificao do cone

Ao observar a posio relativa do eixo em relao base, os cones podem ser classificados como retos ou oblquos. Um cone dito reto quando o eixo perpendicular ao plano da base e oblquo quando no um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblquo.

Observao: Para efeito de aplicaes, os cones mais importantes so os cones retos. Em funo das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone dito circular se a base um crculo e dito elptico se a base uma regio elptica.

Observaes sobre um cone circular reto

Um cone circular reto denominado cone de revoluo por ser obtido pela rotao (revoluo) de um tringulo retngulo em torno de um de seus catetos

A seo meridiana do cone circular reto a interseo do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a seo meridiana a regio triangular limitada pelo tringulo issceles VAB.

Em um cone circular reto, todas as geratrizes so congruentes entre si. Se g a medida da geratriz ento, pelo Teorema de Pitgoras, temos uma relao notvel no cone: g=h+r, que pode ser "vista" na figura abaixo:

A rea da base do cone dada por:

Abase =

A rea Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em funo de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

Alateral =

A rea total de um cone circular reto pode ser obtida em funo de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

Atotal = + = =

O volume do cone obtido por 1/3 do produto da rea da base pela altura, ento:

V =

Cones Equilteros

Um cone circular reto um cone equiltero se a sua seo meridiana uma regio triangular equiltera e neste caso a medida da geratriz igual medida do dimetro da base.

O volume do cone eqiltero obtido por 1/3 do produto da rea da base pela altura, ento:

V =

A rea lateral pode ser obtida por:

Alateral = = =

E a rea total ser dada por:

Atotal =

EXEMPLOS

1. Um cone tem 10cm de altura e raio da base igual a 4cm. Calcule a:

1. medida da sua geratriz;

2. rea lateral;

3. rea total;

4. o volume

2. Qual a capacidade de uma casquinha de sorvete de forma cnica cujo dimetro de 6cm e cuja altura 10cm?

EXERCCIOS

1. Num paraleleppedo, as dimenses da base so 4cm e 7 cm. Sendo a altura do paraleleppedo 5cm, determine o volume. Quanto material ser usado para construir est caixa?

2. Quantos litros de gua so necessrios para encher uma caixa d`gua cujas dimenses so: 1,20m por 90cm por 1m? (lembre-se que 1m3 =1000l).

3. Um cubo tem rea de 96 m2. Qual a medida da aresta do cubo? Determine seu volume.

4. As bases de um prisma so tringulos eqilteros e a s faces laterais so regies retangulares. Determine a rea total do prisma sendo 6cm a medida da aresta da base e 10cm a medida da aresta lateral. Determine seu volume.

5. Quantos cm2 de papel adesivo so gasto para cobrir a superfcie total de uma pea sextavada cuja a forma e medidas esto na figura abaixo? Qual o volume da pea?

6. As dimenses de um paraleleppedo retngulo so 5cm, 8cm e 12cm. Uma cavidade em forma de prisma reto de base triangular de 3cm de lado, estende-se da base inferior base superior do paraleleppedo. Determine a rea total da figura resultante (Contanto a parte de dentro e de fora). Determine o volume do slido resultante (sem o prima triangular).

7. A rea da base de um prisma regular de base hexagonal de cm2. Calcule a rea lateral, sabendo que a aresta lateral o dobro da aresta da base.

8. dado um prisma pentagonal regular no qual a aresta da base mede 5cm e a aresta lateral mede 10cm. Qual a rea lateral do prisma?

9. Quantos m2 de azulejo so necessrios para revestir at o teto a s quatro paredes de uma cozinha com as dimenses da figura ao lado? Sabe-se, tambm, que cada porta tem 1,60m2 de rea e a janela tem uma rea de 2m2. Qual o volume dessa cozinha?

10. Qual o volume em litros de uma caixa-d`gua cbica cuja aresta mede 120cm? Quanto material cm2 de material necessrio para construir essa caixa?

11. Qual o volume de um cubo de aresta ? E a rea total?

12. Quanto mede a aresta de um cubo que tem 1000 dm3 de volume?

13. Qual deve ser a medida da aresta de uma caixa-dgua cbica para que ela possa conter 8000 l de gua?

14. Uma caixa de papelo tem o tipo e o tamanho da figura ao lado. Sua base uma regio limitada por um trapzio issceles de altura 20cm e de bases 10cm e 40cm. Quantos m2 de papelo so necessrios para se fazer uma caixa desse tipo? Determine o volume da caixa.

15. Trs cubos de chumbo so com arestas de 6cm, 8cm e 10cm, respectivamente, so fundidas em uma nica pea cbica. Qual o volume da pea cbica nica? Qual a medida da aresta? Determine a rea total.

16. Calcule o volume de uma pea de metal cuja formas esto na figura abaixo:

17. Uma piscina tem as dimenses: 12m de comprimento, 7m de largura e 2,70m de profundidade. Qual a quantidade mxima em litros que essa piscina pode conter. Se para ladrilhar a piscina foram usados azulejos quadrados de 20cm de lado. Quantas peas, aproximadamente, foram usadas?

18. O volume de um prisma de base quadrada 700cm3. O permetro da base de 40cm. Calcule a altura o prisma e a rea total.

19. Qual a capacidade de uma lata que tem a forma cilndrica, com 10cm de dimetro e 20 cm de altura? Quanto alumnio gasto para construir esta lata/.

20. Um cilindro circular reto tem 10cm de altura e sua base tem 12cm de dimetro. Determine a rea da base, rea lateral, rea total e seu volume.

21. Quantos centmetros quadrados de papel so necessrios, aproximadamente, para a fabricao de um cigarro, sabendo que o cigarro tem a forma cilndrica cuja a base tem 8mm de dimetro e seu comprimento de 8cm? Qual o volume do cigarro?

22. Um tanque cilndrico tem 3m de profundidade. Sua base superior aberta e tem 4m de dimetro. Quantos gales de tinta so necessrios para pintar o interior desse tanque, se para cada m2 gasta-se de galo?

23. Duas latas tem a forma cilndrica. A lata mais alta tem o dobro da altura da outra, mas seu dimetro a metade do dimetro da lata mais baixa. Em qual das duas latas se utiliza menos material? Em qual a capacidade maior?

24. Uma caneta esferogrfica tem a forma cilndrica. O raio da base 6mm e o comprimento da caneta 16cm. Quantos cm2 tem a superfcie lateral dessa caneta? Qual o volume de tinta que cabe no interior dela?

25. Um cilindro reto tem 48 m2 de rea total. A altura do cilindro 5cm. Determine o volume do cilindro. Qual a sua rea total?

26. Uma pea de madeira tem as dimenses e a forma da figura abaixo. Qual o volume de madeira empregado para fabricar essa pea?

27. Um cone tem 10cm de altura e raio da base igual a 4cm. Determine sua rea lateral e seu volume.

28. Um cone tem 24cm de altura e o raio da base igual a 8cm. Calcule;

a) a medida da geratriz;

b) a rea lateral;

29. A geratriz de um cone circular reto mede 10cm e o raio da base igual a 4cm. Calcule:

a) a medida da altura do cone;

b) a rea lateral;

30. A rea lateral de um cone 24 cm2 e o raio de sua base 4cm. Qual a rea total do cone? Determine o volume

31. Um tanque cnico tem 4m de profundidade e seu topo circular tem 6m de dimetro. Qual o volume mximo, em litros, que esse tanque pode conter de lquido? Determine quantos m2 de material foi utilizado para construir este tanque.

32. Qual a capacidade de uma casquinha de sorvete de forma cnica cujo dimetro 8cm e cuja a altura 12cm? ( 1cm3 = 1ml)

33. Determine a rea da superfcie esfrica cujo raio 6cm. Determine seu volume.

34. Numa esfera o dimetro 10cm. Qual a rea da superfcie dessa esfera?

35. Uma laranja tem a forma esfrica de dimetro 8cm. Qual a rea da casca da laranja? Qual seu volume?

36. Quantos de borracha (em cm2) se gasta para fazer a bola cuja medida do dimetro 30cm? Qual o volume de ar que cabe em seu interior?

37. Qual a medida da superfcie do hemisfrio norte de uma esfera de 20m de dimetro? E o seu volume?

38. Sabemos que a bia serve para orientar os navios na entrada do porto. Essa bia formada por um hemisfrio de 2m de dimetro e por um cone de 80cm de altura. Qual o volume da bia?

39. Considere uma laranja como uma esfera de 12 gomos exatamente iguais. Se a laranja tem 8cm de dimetro, qual o volume de cada gomo?

40. Um reservatrio tem a forma de um hemisfrio acoplado a um cilindro. Qual ser o volume, em litros, de um liquido que ocupe totalmente o reservatrio?

Conjuntos

Notao e Representao:

Listagem dos elementos

Exemplo: {a; e; i; o; u}

Por meio de uma propriedade comum somente a seus elementos.

Exemplo: {x/x vogal}

Graficamente pelo uso do diagrama de Euler-Venn.

A

Pertinncia:

Indica quando um elemento (pertence) ou (no pertence) a um determinado conjunto.

Exemplo:

A = {a, e, i, o, u}

a A e b A

Incluso

Indica quando um conjunto est contido () ou no est contido () em outro conjunto. Um conjunto estar contido em outro se todos os elementos do primeiro conjunto pertencerem tambm ao segundo conjunto. O primeiro ser chamado de subconjunto do segundo.

Exemplo

A = {a, e, i, o, u)

B = {a, e, u}

C = {a, b, i, u}

B A

C A

y x

z x

Conjuntos EspeciaisUnitrio um nico elemento

Exemplo: A = {x R / 2x = 6} = {3}

Vazio nenhum elemento

Exemplo: A = {x N / 2x = 5} = (Nota: ( A, A

Conjuntos das Partes de A

Conjuntos de todos os subconjuntos do conjunto A, sem esquecer o conjunto vazio e o prprio conjunto A.

n

Exemplo

A = {a, e, i}

P(A): {(; {a}; {e}; {i}; {a, e}; {a, i}; {e, i}; {a, e, i}}

Igualdade de Conjuntos:

A = B e

Exemplo

{1, 2} = {2, 2, 1, 1, 2}

Operaes entre Conjuntos:

Unio

{ A ou }

Exemplo

A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5, 6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Interseco

e

Exemplo:

A = {1, 2, 3, 4,}

B = {3, 4, 5, 6}

A ( B = {3, 4}

A ( B

Diferena

A B = { e }

Exemplo

A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5, 6}

A B = {1, 2}

B A = {5, 6}

A B

B A

Conjuntos Complementares

Se , temos: = A BNmeros de Elementos da Unio de Conjuntos

Exemplos

1) Se A = {a, b, c, d, e, f} B = {d, e, f, g, h} ento n(A ( B) ?

n(AB) = n(A) + n(B) n(A ( B) = 6 + 5 3 = 8

2) Sendo A = {0; 1; 2; 3; 4} e B = {2; 4; 8}

A B = {0; 1; 2; 3; 4; 8}

A B = {2; 4}

A B = {0; 1; 3}

B A = {8}

3) Sendo A = {1; {2}; 3}, correto afirmar que:

1 A

{2} A

3 A

{1} A

{{2}} A

{3} A

{1; 3} A

{1; {2}} A

{{2}; 3} A

( A

A A

4) Dado o conjunto A = {0; 1; 3; {3}}, verifique a veracidade das afirmaes:

( ) 0 A

( ) {0; 1} A

( ) 1 A

( ) ( A

( ) {3} A

( ) ( A

( ) {3} A

( ) 3 A

5) Obtenha todos os subconjuntos dos conjuntos de A = {0; 2; 4}

6) Considere o diagrama a seguir e complete:

a) B C =

b) A B =

c) A C =

d) A B C =

e) A B =

f) A C =

g) B C =

h) A B C =

i) A B =

j) A C =

k) B C =

l) B A =

m) C A =

n) C B =

7) (FAAP SP) Uma prova era constituda de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?

Exerccios

1) Nas sentenas abaixo, assinalam-se com V as sentenas verdadeiras e com F, as falsas:

I) {2} {0; 1; 2}

II) ( {5; 6; 7}

III) ( { (; 4}

IV) 5 }3; {5; 1}; 4}

V) {5; 6} {5; 6; 7}

Nesta ordem, a alternativa correta :

a) F, V, V, F, F

b) V, F, F, V, F

c) F, V, V, F, V

d) V, F, F, V, V

2) Sendo A = {{1}; {2}; {1;2}} pode-se afirmar que:

a) {1} A

b) {1} A

c) {1} {2} A

d) 2 A

e) {1} {2} A

3) Se M = {1; 2; 3; 4; 5} e N so conjuntos tais que MN = {1; 2; 3; 4; 5} e M N = {1; 2; 3}, ento o conjunto N :

a) Vazio

b) Impossvel de determinar

c) {4; 5}

d) {1; 2; 3}

e) {1; 2; 3; 4; 5}

4) (FGV SP) Seja A um conjunto com 8 elementos. O nmero total de subconjuntos de A :

a) 8

b) 256

c) 6

d) 128

e) 100

5) Num universo de 800 pessoas, sabido que 200 delas gostam de samba, 300 de rock e 130 de samba e rock. Quantas no gostam nem de samba nem de rock?

a) 800

b) 730

c) 670

d) 560

e) 430

6) Sabe-se que os conjuntos A e B tm, respectivamente, 64 e 16 subconjuntos.Se A B tem 7 elementos, ento A B tem:

a) nenhum elemento

b) trs elementos

c) dois elementos

d) um elemento

e) quatro elementos

7) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais (A e B) e 110 no liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram consultadas?

8) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2 000 pessoas usam os produtos A ou B. O produto B usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A?

9) Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antgenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pacientes de um hospital, constatou-se que 40 deles tem o antgeno A, 35 tm o antgeno B e 14 tm o antgeno AB. Nestas condies. pede-se o nmero de pacientes cujo sangue tem o antgeno O.

10) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vlei; 20 jogam vlei e xadrez; 22 jogam xadrez e tnis; 18 jogam vlei e tnis; 11 jogam as trs modalidades. O nmero de pessoas que jogam xadrez igual ao nmero de pessoas que jogam tnis.

a)Quantos esportistas jogam tnis e no jogam vlei ?

b)Quantos jogam xadrez ou tnis e no jogam vlei ?

c)Quantos jogam vlei e no jogam xadrez ?

11) Numa cidade so consumidos trs produtos A, B e C. Feito um levantamento de mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o seguinte resultado disposto na tabela abaixo:

ProdutosNmeros de consumidores

A150

B200

C250

A e B70

A e C90

B e C80

A, B e C60

Nenhum dos trs180

a)Quantas pessoas consomem apenas o produto A ?

b)Quantas pessoas consomem o produto A ou o B ou o C ?

c)Quantas pessoas consomem o produto A ou o B ?d) Quantas pessoas consomem apenas o produto C ?

e)Quantas pessoas foram consultadas ?

GABARITO:

01) A04) B

02) E05) E

03) D06) B

Conjuntos Numricos:

Nmeros naturais

N = {0, 1, 2, 3, ...}

Nmeros inteiros

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Nmeros racionais

Q =

Os inteiros so racionais, pois .

Os decimais exatos so racionais, pois 2,3056 = .

As dzimas peridicas so racionais, pois 1,3232... = 1,32 = .

Os nmeros que no so racionais so denominados irracionais, por exemplo:

, , 1, 10, 100, 1000, 1...

Nmeros reais

R = {x/x racional ou x irracional}

Nota: o conjunto dos nmeros inteiros no negativos, e o conjunto dos nmeros inteiros no positivos.

Intervalos

Intervalo Aberto

um subconjunto do conjunto dos nmeros reais x, tais que:

a < x < b

ou seja, nmeros que esto entre a e b.

(a; b) = ]a; b[ = {x IR | a < x < b}

Intervalo Fechado

um subconjunto do conjunto dos nmeros reais x, tais que:

a ( x ( b

ou seja, nmeros at b.

[a; b] = {x IR/ a ( x ( b}

Exemplos

01) Se A = {x IR / 2 < x < 5} e

B = {x IR / 3( x ( 8}, determinar:

A B; A B; A B; B A

A

B

A B

A

B

A B

A

B

A B

A

B

B A

02) Usando a notao de conjuntos, escreva os seguintes intervalos que esto representados a seguir.

Exerccios

01) Seja IR o conjunto dos nmeros reais, IN, o conjunto dos nmeros naturais e Q o conjunto dos nmeros racionais. Qual a afirmativa falsa?

a) Q IN IR

b) Q IN IR

c) Q IN = IR

d) Q IR = Q

e) Q R ( (02) Sejam os intervalos A = (-; 1],B = (0; 2] e C = [-1; 1]. O intervalo C (A B) :

a) ( 1; 1]

b) [-1; 1]

c) [ 0; 1]

d) (0; 1]

e) ( ; 1]

03) Se designarmos por [3; 4] o intervalo fechado, em IR, de extremidades 3 e 4, correto escrever:

a) {3; 4} = [3; 4]

b) {3; 4} [3; 4]

c) {3; 4} [3; 4]

d) {3; 4} [3; 4]

e) n. d. a.

04) Dados os conjuntos:

A = {x IN / 2 ( x ( 5}

B = {x IN / x mpar e 1 ( x < 7}

C = {x IN / 0 < x ( 3}

O conjunto-soluo de (A B) (B C) :

a) {1; 2}

b) {2; 4; 5}

c) {0; 1; 3; 5; 7}

d) {1; 2; 3; 4; 5}

e) {0; 4; 5}

05) Dados os intervalos A = (-2; 1] e B = [0; 2], ento AB e AB, so respectivamente:

a) (0; 1) e ( 2; 2)

b) [0; 1] e ( 2; 2]

c) [0; 1) e [ 2; 2]

d) (0; 1] e ( 2; 2]

e) [0; 1) e [ 2; 2)

06) Dado A = {x IR | |x| = 2}, tem-se:

a) A IN

b) A IR+c) A Z+ = Z+d) A Z = A

e) A IN = {2}

07) Sejam A e B os seguintes subconjuntos de IR:

A = {x IR / 2 ( x 5}

B = {x IR / x < 4}

Ento podemos afirmar que:

a) A B B

b) A B A

c) B A A

d) A B = {x IR / 2 < x