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===================================================== 1) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas por números inteiros em P.A. de razão igual a 2 cm . Se a diagonal do paralelepípedo mede , em centímetros , 210 , calcule sua capacidade em litros . 2) Calcule a área total de um cubo cuja diagonal mede 3 m . 3) Num paralelepípedo retângulo , uma das dimensões da base é o dobro da outra . Se a área lateral é de 88 dm2 , calcule o volume do paralelepí- pedo . 4) Num aquário em forma de paralelepípedo retângulo cuja base é um quadrado com 1 m2 de área , mergulha-se completamente uma pedra de modo que o nível da água se eleva em 1 mm . Se a pedra tem o formato de um cubo , calcule a medida da aresta desse cubo . 5) (U.F.MG) - Uma piscina tem 25 m de largura , 50 m de comprimento ; 1,5 m de profundidade numa das extremidades e 2,5 m na outra . Seu fundo é um plano inclinado . Calcule o volume da piscina . 6) (U.F.MG) - Dois prismas oblíquos , de mesma altura h , têm um quadra- do de lado a como base inferior comum e suas bases superiores têm ape- nas uma aresta comum de acordo com a figura .Calcule o volume do só- lido formado pela interseção dos dois prismas .

MATEMÁTICA II EXERCÍCIOS DE REVISÃO GEOMETRIA SÓLIDA

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7) (U.F.MG) - A base de uma paralelepípedo é uma região retangular cu - jos lados medem 20 cm e 24 cm .As extremidades são duas faces qua- dradas que fazem um ângulo de 45o com a base . Um plano perpendicu- lar à aresta maior intercepta o paralelepípedo segundo uma região retan- gular . Qual é a área total do paralelepípedo ? (veja a figura a seguir)

8) (PUC-MG/99) - Na figura , o cubo tem aresta 4 cm e BP = 2 cm está sobre o prolongamento da aresta AB.Qual é a medida do segmento PG ?

9) (U.F.MG) - A altura de uma pirâmide é 3 m e sua base é um quadrado de lado 3 m . Qual é o volume de um tronco obtido pela secção por um plano paralelo à base , distante 1 m desta ?

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10) (U.F.MG) - Na pirâmide regular de base quadrada da figura , M é o ponto médio de DE , CM pertence ao plano da base , CM ⊥ DE e AB ⊥ CM . Se DE = 200 m , AB = 5 m , AC = 7 m e AM = 75 m , calcule a altura da pirâmide . (veja a figura a seguir)

11) (U.F.MG) - Na figura , as pirâmides OABCD e O'ABCD são regula- res e têm todas as arestas congruentes . Se o segmento OO' mede 12 cm , então calcule a área da superfície da figura .

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12) (U.F.MG/98 - 2a etapa) - Na figura , está representado um cubo de aresta 10 . Sabendo que AP = QC = 4 , calcule a distância de P a Q .

13) (FUVEST-SP/99) - O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11 . Quantos vértices e quantas arestas essa pirâmide possui ? 14) (U. MACKENZIE - SP) - Quantos são os planos determinados pelos vértices de uma pirâmide regular de base pentagonal ? 15) (PUC - SP) - Uma pirâmide regular de base quadrada tem altura h (da-

da) . Sabe-se que sua área lateral excede de 2

3 2h a área da base . Calcu-

le a medida da aresta da base em função de h . 16) (U.F.PA) - Calcule o volume de uma pirâmide regular quadrangular cujas faces laterais são triângulos eqüiláteros de lado 4 cm . 17) (VUNESP - SP) - Em cada um dos vértices de um cubo de madeira se recorta uma pirâmide AMNP onde , M ,N e P são os pontos mé- dios das arestas , como se mostra na figura . Se V é o volume do cu- bo , calcular , em função de V , o volume do poliedro que resta ao retirar as 8 pirâmides .

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18) (CESGRANRIO-RJ) - Para fazer o telhado de uma casa de cartoli - na , um quadrado de centro O e de lado λ2 é recortado , como mos- tra a figura I . Os lados AB = CD = EF = GH medem 3λ . Monta- do o telhado (figura II) , qual é a sua latura ? figura I figura I

19) A secção meridiana de um cilindro de revolução é um retângulo cuja área é igual a 40 cm2 . Se um dos lados do retângulo tem 2 cm a menos do que o dobro do outro , calcule a área lateral do ci- lindro . 20) Girando-se um quadrado com 16 cm2 de área em torno do segmento que une os pontos médios de dois lados opostos , qual será o volume do sólido gerado ? 21) (U.F.MG / 95 - 2a etapa) - Observe a figura que se segue . Nessa fi-

gura , AB = 1 , BC = 3 e BD = 4

9 . Calcule o volume do sólido ge -

rado girando de 360o , em torno da reta AE , a região do plano cujo contorno é a) o triângulo ACE ; b) o triângulo BCD .

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22) (U.F.MG) - A área da base de um cilindro circular reto é 16π cm2 e sua área lateral é 250 cm2 . Calcule o tempo necessário para enchê- lo de água usando-se uma torneira de vazão 5 cm3/s . 23) (U.F.MG) - Um cilindro circular reto cheio d'água tem raio da base igual a 24 cm .Mergulha-se nele uma esfera de 12 cm de raio até fi- car totalmente coberta . Quantos centímetros baixa o nível da água , se a esfera for retirada depois ? 24) (U.F.MG) - Na figura , a reta r é paralela a BC e o triângulo ABC é tal que BÂC = 90o , BC = a e a altura relativa à hipotenusa é h . Qual é o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo ABC em tor - no da reta r ? 25) (U.F.MG) - As áreas das superfícies laterais de dois cilindros retos V1 e V2 , de bases circulares , são iguais . Se as alturas e os raios das bases dos dois cilindros são , respectivamente , H1 , R1 , H2 e R2 , calcule a razão entre os volumes de V1 e V2 , nesta ordem . 26) (U.F.MG) - Um cilindro reto , cuja altura é igual ao diâmetro da ba- se , a área de uma secção perpendicular às bases , contendo os cen- tros dessas , é 64 m2 . Calcule a área lateral do cilindro . 27) (U.F.MG) - Na figura a seguir , o cilindro reto , de altura igual ao diâmetro da base , é cortado por um plano paralelo ao seu eixo e à distância d = 3 cm do mesmo . A área da secção determinada pelo plano é 80 cm2 . Calcule a área lateral do cilindro .

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28) (PUC - MG /99) - A região plana limitada pelo retângulo ABCD gi- ra em torno do lado AB e gera um cilindro de volume V1 . A mesma região , ao girar em torno do lado BC , gera um outro cilindro de vo- lume V2 . Se AB = 4 cm e BC = 6 cm , determine V1 em função de V2 .

29) (U.F.MG / 94 - 2a etapa) - As medidas da geratriz , do raio da base e da altura de um cone circular reto são x + a , x e x - a , respeciva - mente . Ao calcular o volume do cone , usou-se , por engano , a fór- mula do cilindro circular reto de mesmo raio e mesma altura do co- ne . O valor encontrado supera em 4π cm3 o volume procurado . Cal- cule a altura e o raio da base do cone . 30) (Newton de Paiva / 99) - Uma fábrica de biscoitos é contratada para fabricar casquinhas de sorvetes . Como os sorvetes são vendidos na forma esférica , com 4 cm de diâmetro, foi proposto à fabrica de bis- coitos que 1. as casquinhas sejam cones ocos , com 4 cm de diâmetro na base ; 2. como as casquinhas devem comportar duas bolas de sorvete ,o co-

ne comporte , no mínimo , 4

3 do sorvete , caso este derreta .

Calcule o menor valor da altura permitida para o cone . 31) (PUC - MG /99) - Na figura , a região limitada pelo triângulo ABC faz um giro de 60o em torno da reta AB . Sendo AB = 2.(AC) = 6 cm , calcule o volume do sólido gerado .

D C

A B A

8

32) (U.F.J.F. -MG/99- 2a etapa) - Uma pessoa bebeu vinho em um cálice em forma de cone. Estando o cálice cheio até a borda e ten- do a pessoa bebido até o nível do vinho ficar exatamente na meta- de da altura do cálice , calcule a fração do volume total do vinho consumido . 33) (U.F.U. - MG /99) - Considere um tanque cilíndrico de 6 metros de comprimento e 2 metros de diâmetro que está inclinado em re- lação ao solo em 45o , conforme mostra a figura abaixo . Sabendo- se que o tanque é fechado na base que toca o solo e aberto na outra, qual é o volume máximo de água que o tanque pode conter antes de derramar ?

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34) (F.C.M.MG/98) - Na figura , o recipiente de altura H é um cone cir- cular reto de base horizontal e raio R . O líquido no recipiente ocupa

8

1 do volume deste . Calcule o nível h do líquido no recipiente , em

função de H .

35) (U.F.V -MG/97) - O trapézio retângulo abaixo sofre uma rotação de 360o em torno da base maior . Sabendo-se que AB = 3 cm , CE = 5 cm e que o volume do sólido obtido é 84π cm3 , determine AC .

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36) (PUC - MG /97) - Um cone reto de raio r = 4 cm tem um volume equivalente ao de um prisma de altura h = 12 cm e de base quadra- da de lado π =λ . Calcule a altura do cone . 37) (Newton de Paiva - 99) - Na figura , A , B , C e D são vértices de um quadrado de lado 2 unidades e C é o centro da circunferência de raio DC . Calcule o volume do sólido que se obtém girando a re- gião hachurada em torno da reta x = 2 .

38) (PUC - MG/97) - Uma esfera de raio r = 3 cm tem volume equiva - lente ao de um cilindro circular reto de altura h = 12 cm . Calcule o raio do cilindro . 39) (CESGRANRIO-RJ) - Uma laranja pode ser considerada uma esfe- ra de raio R composta de 12 gomos exatamente iguais . Calcule , em função de R , a superfície total de cada gomo . 40) (CESCEM-SP) - Uma cunha esférica de raio 1 m tem volume de 1 m3 . Calcule , em radianos , seu ângulo diedro . 41) (U.F.MG) - Duas bolas metálicas , cujos raios medem 1 cm e 2 cm , são fundidas e moldadas em forma de um cilindro circular cuja altu- ra mede 3 cm . Calcule a medida do raio do cilindro .

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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS :

1) 0,48 λ 2) 18 m2 3) 96 dm3 4) 10 cm 5) 2.500 m3 6) ha2

2

1 7) 160 + 2

224 cm2 8) 6 cm 9) 3

19 m3 10) 130 m 11) 3144 cm2 12) 382 13) 12

vértices e 22 arestas 14) 16 15) 2

3h 16) 3

232 17) V6

5 18) 2

λ 19) 40π

cm2 20) 16π cm2 21) a) 16π b) 2

27π 22) 1 min 40s 23) 4 cm 24) ah2

3

2π

25) 2

1

R

R 26) 64π m2 27) 100π cm2 28)

2

3V 2

1 =V 29) altura = 2

3 e raio = 2

30) 12 cm 31) 3π m3 32) totalV8

7 33) 5π m3 34) 2

H 35) AC = 8 cm

36) 2,25 cm 37) volumede unid. 3

8π 38) 3 cm 39) 2

3

4Rπ 40) 1,5 rad

41) 2 cm

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