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1 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência 1) (Unicamp-2000) Sejam A e B os pontos de intersecção da parábola y = x 2 com a circunferência de centro na origem e raio 2 . a) Quais as coordenadas dos pontos A e B? b) Se P é um ponto da circunferência diferente de A e de B, calcule as medidas possíveis para os ângulos A P ˆ B. 2) (UFPR-1998) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere a circunferência de equação x 2 + y 2 = 25, na qual está inscrito um quadrado com lados paralelos aos eixos coordenados. Então, é correto afirmar: 01. Uma das diagonais do quadrado está contida na reta de equação x + y = 0 . 02. O ponto (-3, 4) não pertence à circunferência. 04. A reta de equação 3x + 4y + 25 = 0 é tangente à circunferência. 08. O volume do sólido de revolução obtido pela rotação do quadrado em torno de uma de suas diagonais é igual a 250 unidades de volume. 16. O cilindro de revolução obtido pela rotação do quadrado em torno do eixo x tem altura igual à diagonal do quadrado. Marque como resposta a soma dos itens corretos. 3) (Unifesp-2003) A figura representa, em um sistema ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na origem do sistema, e os pontos A = (1, 2), B, C, D, E e F, correspondentes às interseções das retas e do eixo Ox com a circunferência. Nestas condições, determine a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do hexágono ABCDEF. b) o valor do cosseno do ângulo AÔB. 4) (Unicamp-1999) Uma reta intersecciona nos pontos A (3, 4) e B (-4, 3) uma circunferência centrada na origem. a) Qual é o raio dessa circunferência? b) Calcule a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos A e B e seus simétricos em relação à origem. 5) (Fatec-2002) A circunferência que passa pelos pontos O = (0, 0), A = (2, 0) e B = (0, 3) tem raio igual a: a) 4 11 b) 2 11 c) 4 13 d) 2 13 e) 4 17 6) (Fuvest-2000) Uma circunferência passa pelos pontos (2, 0), (2, 4) e (0, 4). Logo, a distância do centro dessa circunferência à origem é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 7) (UFC-2004) Determine o valor da constante a de modo que o sistema de equações a z 4y 3x 4z y x 2 2 tenha solução real única. 8) (UDESC-1996) DETERMINE a equação da circunferência que passa pelos pontos A(5,5), B(-3,1) e C(2,-4). COMENTE as etapas durante a resolução da questão. 9) (FUVEST-2010) No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura, estão representados a circunferência de centro na origem e raio 3, bem como o gráfico da função

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Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência

1) (Unicamp-2000) Sejam A e B os pontos de intersecção

da parábola y = x2 com a circunferência de centro na origem

e raio 2 .

a) Quais as coordenadas dos pontos A e B?

b) Se P é um ponto da circunferência diferente de A e de B,

calcule as medidas possíveis para os

ângulos A P̂ B.

2) (UFPR-1998) Em um sistema de coordenadas cartesianas

ortogonais, considere a circunferência de equação x2 + y

2 =

25, na qual está inscrito um quadrado com lados paralelos

aos eixos coordenados. Então, é correto afirmar:

01. Uma das diagonais do quadrado está contida na

reta de equação x + y = 0 .

02. O ponto (-3, 4) não pertence à circunferência.

04. A reta de equação 3x + 4y + 25 = 0 é tangente à

circunferência.

08. O volume do sólido de revolução obtido pela

rotação do quadrado em torno de uma de suas diagonais é

igual a 250 unidades de volume.

16. O cilindro de revolução obtido pela rotação do

quadrado em torno do eixo x tem altura igual à diagonal do

quadrado.

Marque como resposta a soma dos itens corretos.

3) (Unifesp-2003) A figura representa, em um sistema

ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em

relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na

origem do sistema, e os pontos A = (1, 2),

B, C, D, E e F, correspondentes às interseções das retas e

do eixo Ox com a circunferência.

Nestas condições, determine

a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do

hexágono ABCDEF.

b) o valor do cosseno do ângulo AÔB.

4) (Unicamp-1999) Uma reta intersecciona nos pontos A (3,

4) e B (-4, 3) uma circunferência centrada na origem.

a) Qual é o raio dessa circunferência?

b) Calcule a área do quadrilátero cujos vértices são os

pontos A e B e seus simétricos em relação à origem.

5) (Fatec-2002) A circunferência que passa pelos pontos O

= (0, 0), A = (2, 0) e B = (0, 3) tem raio igual a:

a) 4

11

b) 2

11

c) 4

13

d) 2

13

e) 4

17

6) (Fuvest-2000) Uma circunferência passa pelos pontos (2,

0), (2, 4) e (0, 4). Logo, a distância do centro dessa

circunferência à origem é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

7) (UFC-2004) Determine o valor da constante a de modo

que o sistema de equações

az4y3x

4zyx 22

tenha solução real única.

8) (UDESC-1996) DETERMINE a equação da

circunferência que passa pelos pontos A(5,5), B(-3,1) e

C(2,-4). COMENTE as etapas durante a resolução da

questão.

9) (FUVEST-2010) No sistema ortogonal de coordenadas

cartesianas Oxy da figura, estão representados a

circunferência de centro na origem e raio 3, bem como o

gráfico da função

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Nessas condições, determine

a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da

circunferência com o gráfico da função.

b) a área do pentágono OABCD.

10) (UNIFESP-2007) Em um plano cartesiano, seja T o

triângulo que delimita a região definida pelas inequações y

2, x 0 e x – y 2.

a) Obtenha as equações de todas as retas que são

eqüidistantes dos três vértices do triângulo T.

b) Obtenha a equação da circunferência circunscrita ao

triângulo T, destacando o centro e o raio.

11) (FUVEST-2006) a) Determine os pontos A e B do plano

cartesiano nos quais os gráficos de y = x

12

-1 e x + y - 6 =

0 se interceptam.

b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto

quadrante que satisfaz AÔB = BCA ˆ e que pertence à reta x

= 2.

12) (UERJ-1998)

(O Estado de São Paulo, 16/08/97)

Considere os pontos A, B e C nas condições mencionadas

na tirinha.

a) Se A, B e C pertencem a uma mesma reta, calcule a

distância entre A e C quando:

» A está situado entre B e C;

» A está situado fora do segmento BC.

b) Se A, B e C estiverem no plano cartesiano, sendo A um

ponto móvel, B um ponto do semi-eixo positivo das

abscissas (x) e C a origem (0,0), determine a equação da

linha descrita pelo ponto A e identifique a curva

correspondente.

13) (Unicamp-1994) a) Identifique as circunferências de

equações x2 + y

2 = x e x

2 + y

2 = y, calculando o raio e o

centro das mesmas. Esboce seus gráficos.

b) Determine os pontos de intersecção dessas

circunferências e mostre que as retas a elas tangentes em

cada um desses pontos são perpendiculares entre si.

14) (UFC-1998) Considere o conjunto de todas as cordas de

comprimento 2 da circunferência x2 + y

2 -2x -4y -7 = 0. O

conjunto dos pontos médios destas cordas forma uma curva

cuja equação é:

a) (x-1)2 + (y-2)

2 = 11

b)1

4

2)(y

9

1)(x 22

c) (x-1)2 + (y-2)

2 = 4

d) 1

9

2)(y

4

1)(x 22

e) (x-1)2 + (y-2)

2 = 3

15) (Mack-2002) A melhor representação gráfica dos pontos

(x, y) tais que x + 3 = 2y1

é:

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16) (FUVEST-2009) Considere, no plano cartesiano Oxy, a

circunferência C de equação (x - 2)2 + (y - 2)

2 = 4 e sejam P

e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy,

respectivamente.

Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e

com o maior perímetro possível.

Então, a área de PQR é igual a

a) 2 2 - 2

b) 2 2 -1

c) 2 2

d) 2 2 + 2

e) 2 2 + 4

17) (Mack-2007) Considere os pontos A e B, do primeiro

quadrante, em que a curva x2 + y

2 = 40 encontra a curva x.y

= 12. A equação da reta AB é

a) x + y . 8 = 0

b) x . y . 8 = 0

c) 2x + y . 8 = 0

d) x . 2y + 8 = 0

e) x + 3y . 8 = 0

18) (FUVEST-2008) A circunferência dada pela equação x

2 +

y2 – 4x – 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e

y nos pontos A e B, conforme a figura.

O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o

centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da

região hachurada vale

a) - 2

b) + 2

c) + 4

d) + 6

e) + 8

19) (FATEC-2006) Num sistema de eixos cartesianos

ortogonais, considere a circunferência e a reta r, de

equações x2 + y

2 - 6x + 2y + 6 = 0 e 3x + 7y - 21 = 0.

A reta s, que é paralela a r e contém o centro de , tem

equação:

a) 3x + 7y - 2 = 0

b) 3x - 7y - 2 = 0

c) 3x - 7y + 5 = 0

d) 3x + 7y - 16 = 0

e) 7x + 3y - 2 = 0

20) (Vunesp-2005) A reta r de equação y = 2

x

intercepta a

circunferência de centro na origem e raio 5 em dois

pontos P e Q, sendo que as coordenadas de P são ambas

positivas. Determine:

a) a equação da circunferência e os pontos P e Q;

b) a equação da reta s, perpendicular a r, passando por P.

21) (FGV-2005) No plano cartesiano, a circunferência que

passa pelo ponto P(1, 3) e é concêntrica com a

circunferência x2 + y

2 - 6x - 8y - 1 = 0 tem a seguinte

equação:

a) x2 + y

2 + 6x + 8y - 40 = 0

b) x2 + y

2 - 3x - 4y + 5 = 0

c) x2 + y

2 - 6x - 8y + 20 = 0

d) x2 + y

2 + 3x + 4y - 25 = 0

e) x2 + y

2 - 3x + 4y - 19 = 0

22) (ITA-2005) Uma circunferência passa pelos pontos A =

(0, 2), B = (0, 8) e C = (8, 8). Então, o centro da

circunferência e o valor de seu raio, respectivamente, são

a) (0, 5) e 6..

b) (5, 4) e 5.

c) (4, 8) e 5,5.

d) (4, 5) e 5

e) (4, 6) e 5.

23) (Fatec-2003) Na figura abaixo os pontos A, B e C

estão representados em um sistema de eixos cartesianos

ortogonais entre si, de origem O.

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É verdade que a equação da

a) circunferência de centro em B e raio 1 é x2 + y

2 - 8x - 6y

+ 24 = 0.

b) circunferência de centro em B e raio 1 é x2 + y

2 - 6x - 4y

+ 15 = 0.

c) reta horizontal que passa por A é y = 2.

d) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do 1o

quadrante é x - y - 2 = 0.

e) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do 1o

quadrante é x + y - 2 = 0.

24) (Vunesp-1995) Considere o quadrado de lados paralelos

aos eixos coordenados e circunscrito à circunferência de

equação: x2 + y

2 - 6x - 4y + 12 = 0. Determine as equações

das retas que contêm as diagonais desse quadrado.

25) (UEL-1996) Considere os pontos A(0;0), B(2;3) e

C(4;1). O segmento BC é um diâmetro da circunferência de

equação:

a) x2 + y

2 + 6x + 4y + 11 = 0

b) x2 + y

2 - 6x - 4y + 11 = 0

c) x2 + y

2 - 4x + 9y + 11 = 0

d) x2 + y

2 - 6x - 4y + 9 = 0

e) x2 + y

2 - 4x - 9y + 9 = 0

26) (PUC-SP-1996) A reta de equação y = 2x - 4 intercepta

os eixos coordenados nos pontos A e B. Esses pontos são os

extremos de um diâmetro da circunferência . A equação

correspondente a é:

a) x2 + y

2 - 2x + 4y - 5 = 0

b) x2 + y

2 - 2x + 4y = 0

c) 2x2 + 4y

2 + 2x + 4y + 5 = 0

d) x2 + y

2 + 2x + 2y + 1 = 0

e) x2 + y

2 + 6x + 3y - 4 = 0

27) (UFSCar-2003) Dados os pontos A(2,0), B(2,3) e C(1,3),

vértices de um triângulo, o raio da circunferência

circunscrita a esse triângulo é

a) 3

10

b) 3

10

c) 2

2

d) 2

10

e) 10

28) (Vunesp-2003) Considere a circunferência , de

equação (x-3)2 + y

2 = 5.

a) Determine o ponto P = (x, y) pertencente a , tal que y =

2 e x > 3.

b) Se r é a reta que passa pelo centro (3, 0) de e por P, dê

a equação e o coeficiente angular de r.

29) (UFC-2003) O segmento que une os pontos de

interseção da reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados

determina um diâmetro de uma circunferência. A equação

dessa circunferência é:

a) (x - 1)2 + (y - 2)

2 = 5

b) (x - 1)2 + (y - 2)

2 = 20

c) (x - 1)2 + (y - 2)

2 = 25

d) (x + 1)2 + (y + 2)

2 = 5

e) (x + 1)2 + (y + 2)

2 = 20

30) (PUC-SP-2003) Seja x

2 + y

2 + 4x = 0 a equação da

circunferência de centro Q representada no plano cartesiano

ao lado. Se o quadrado PQMN tem os vértices Q e M sobre

o eixo das abscissas e o vértice N pertence à circunferência,

o ponto N é dado por

a)( 2 -2; 2 )

b) (- 2 +2; 2 )

c) ( 2 -2; 2)

d) (- 2 -2; 2- 2 )

e) (- 2 ; 2- 2 )

31) (Unicamp-1997) Os ciclistas A e B partem do ponto P(-

1, 1) no mesmo instante e com velocidades de módulos

constantes. O ciclista A segue a trajetória descrita pela

equação 4y - 3x - 7 = 0 e o ciclista B, a trajetória descrita

pela equação x2 + y

2 - 6x - 8y = 0. As trajetórias estão no

mesmo plano e a unidade de medida de comprimento é o

km. Pergunta-se:

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a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde

haverá cruzamento das duas trajetórias?

b) Se a velocidade do ciclista A for de 20 km/h, qual deverá

ser a velocidade do ciclista B para que cheguem no mesmo

instante ao ponto Q?

32) (AFA-1998) A área da intersecção das regiões do plano

cartesiano limitada por x2 + (y -4)

2 25 e y

13x4

é

a) 29

b) 217

c) 225

d) 231

33) (AFA-1999) Os pontos A(-5,2) e B(1,6) são extremos de

um dos diâmetros da circunferência de equação

a) x2 + y

2 - 2y - 25 = 0.

b) x2 + y

2 + 4x - 8y + 7 = 0.

c) x2 + y

2 - 4x + 4y - 57 = 0.

d) x2 + y

2 + 8x - 14y + 39 = 0.

34) (FAZU-2002) Dada a circunferência de equação x

2 + y

2 -

2x + 6y = 6, considere as afirmativas:

I. o diâmetro da circunferência é igual a 8 unidades

de comprimento.

II. o centro da circunferência é o ponto C(1, -2)

III. o ponto (-1, -1) é interior à circunferência

IV. o ponto (4, -5) é exterior à circunferência

Assinale a opção correta

a) apenas IV é falsa

b) I e III são verdadeiras

c) todas são verdadeiras

d) I e IV são verdadeiras

e) todas são falsas

35) (Vunesp-2000) Seja S = {(x, y) R2: x

2 + y

2 16 e x

2

+ (y - 1)2 9} uma região do plano. A área de S é:

a) 5.

b) 7.

c) 5.

d) 7.

e) 72.

36) (UFSCar-2002) O raio da circunferência inscrita em um

triângulo de lados a, b e c pode ser calculado pela fórmula

r = p

c)b)(pa)(p(p

, onde p é o semi-perímetro do

triângulo. Os catetos de um triângulo retângulo medem 3 e

4 e estão sobre os eixos cartesianos, conforme a figura.

Determine nesse triângulo

a) o raio da circunferência inscrita.

b) a equação da circunferência inscrita.

37) (Fuvest-1994) A reta s passa pelo ponto (0,3) e é

perpendicular à reta AB onde A=(0,0) e B é o centro da

circunferência x2+y

2-2x-4y=20. Então a equação de s é:

a) x- 2y = - 6

b) x + 2y = 6

c) x + y = 3

d) y - x = 3

e) 2x + y = 6

38) (Unicamp-1998) Se z = x+iy é um número complexo, o

número real x é chamado parte real de z e é indicado por

Re(z), ou seja, Re(x+iy) = x.

a) Mostre que o conjunto dos pontos que satisfazem à

equação Re( 2z2iz

) = 21

, ao qual se acrescenta o ponto

(2,0), é uma circunferência.

b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 0) e é

tangente àquela circunferência.

39) (Fuvest-2004) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são

vértices de um triângulo retângulo, sendo B o ângulo reto.

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Sabendo-se que A = (0, 0), B pertence à reta x - 2y = 0 e P

= (3, 4) é o centro da circunferência inscrita no triângulo

ABC, determinar as coordenadas

a) do vértice B.

b) do vértice C.

40) (Fuvest-2003) a) A reta r passa pela origem do plano

cartesiano e tem coeficiente angular m 0. A

circunferência C passa pelos pontos (1, 0) e (3, 0) e tem

centro no eixo x. Para qual valor de m a reta r é tangente a

C?

b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele

determinado no item anterior. Calcule a área do triângulo

determinado pelo centro de C e pelos pontos de intersecção

de r com C.

41) (Fuvest-1996) Considere o triângulo ABC, onde A =

(0,4), B=(2,3) e C é um ponto qualquer da circunferência

x2+y

2 = 5. A abscissa do ponto C que torna a área do

triângulo ABC a menor possível é:

a) -1

b) -3/4

c) 1

d) 3/4

e) 2

42) (FUVEST-2010) No plano cartesiano Oxy, a reta de

equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto

(0,2). Além disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o raio

de C

a) 2

23

b) 2

25

c) 2

27

d) 2

29

e) 2

211

43) (UFSCar-2009) Seja () a curva x2 + y

2 – 12x – 16y +

75 = 0, e os pontos P(0, 0) e Q(12, 16).

a) Faça em seu caderno de respostas o plano cartesiano

ortogonal (x, y) e represente nele a curva () e os pontos P

e Q.

b) Calcule o comprimento do menor caminho de P a Q que

não passe pela região do plano determinada por x2 + y

2 –

12x – 16y + 75 < 0.

44) (FUVEST-2008) São dados, no plano cartesiano de

origem O, a circunferência de equação x2 + y

2 = 5 , o ponto

P = (1, 3 ) e a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y.

Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s

intercepta a circunferência.

Assim sendo, determine

a) a reta tangente à circunferência no ponto E.

b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE.

45) (ITA-2005) Seja C a circunferência de centro na origem,

passando pelo ponto P = (3, 4). Se t é a reta tangente a C

por P determine a circunferência C’ de menor raio, com

centro sobre o eixo x e tangente simultaneamente à reta t e

à circunferência C.

46) (UFMG-1998) Observe a figura:

Nessa figura, a circunferência tangencia a reta da equação y

= 2x no ponto P de abscissa x = 2 e tangencia, também, o

eixo x. Determine o raio e as coordenadas do centro da

circunferência.

47) (UFBA-1998) No sistema de coordenadas XOY, tem-se

uma circunferência C, de centro no ponto A(1,1) e tangente

à reta s: 4x + 3y + 3 = 0. Sendo assim, pode-se afirmar:

01. O raio de C mede 2 u.c.

02. A equação de C é x2 + y

2 = 4.

04. A área do quadrado inscrito em C tem 12 u.a.

08. A reta que passa pelo ponto A e é perpendicular à

reta s tem equação 3x - 4y + 1 = 0.

16. Sendo B (x,1) ponto da região interior a C, então -

1 < x < 3.

Marque como resposta a soma dos itens corretos.

48) (UFPR-2002) Em um sistema de coordenadas

cartesianas no plano, considere, para cada número real m, a

reta de equação y = mx e a circunferência de equação

x2+y

2–10x = 0. Então, é correto afirmar:

- A medida do raio da circunferência é 5.

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- Se m = 10, a reta é tangente à circunferência.

- Qualquer que seja o valor de m, a reta contém a

origem do sistema.

- Se m = 1, a reta determina na circunferência uma

corda de comprimento 5.

- A circunferência é tangente ao eixo y.

- Se m = 3, um dos pontos de interseção da reta com a

circunferência é (1, 3).

49) (FGV-2002) a) No plano cartesiano, qual o gráfico dos

pontos (x, y) que satisfazem a relação x2 – y

2 = 0?

b) No plano cartesiano, qual a equação da circunferência de

raio 3, com centro pertencente à reta

x – y = 0 e tangente à reta 3x + 4y = 0?

50) (Fuvest-1997) Considere as circunferências que passam

pelos pontos (0, 0) e (2, 0) e que são tangentes à reta

y=x+2.

a) Determine as coordenadas dos centros dessas

circunferências.

b) Determine os raios dessas circunferências.

51) (Fuvest-1995) Sejam A=(0, 0), B=(0, 5) e C=(4, 3)

pontos do plano cartesiano.

a) Determine o coeficiente angular da reta BC.

b) Determine a equação da mediatriz do segmento BC. O

ponto A pertence a esta mediatriz?

c) Considere a circunferência que passa por A, B e C.

Determine a equação da reta tangente a esta circunferência

no ponto A.

52) (FUVEST-2009) No plano cartesiano Oxy, a

circunferência C tem centro no ponto A = (–5, 1) e é

tangente à reta t de equação 4x – 3y – 2 = 0 em um ponto P.

Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo

Ox.

Assim:

a) Determine as coordenadas do ponto P.

b) Escreva uma equação para a circunferência C .

c) Calcule a área do triângulo APQ.

53) (Mack-2007) Com relação à reta que passa pela origem

e é tangente à curva (x-3)2 + (y-4)

2 = 25, considere as

afirmações:

I. é paralela à reta 3x – 4y = 25.

II. é paralela à bissetriz dos quadrantes pares.

III. é perpendicular à reta 4x – 3y = 0.

Dessa forma,

a) somente I está correta.

b) somente II está correta.

c) somente III está correta.

d) somente I e III estão corretas.

e) I, II e III estão incorretas.

54) (FGV-2005) Sabendo-se que a circunferência x2 + y2 - 6x

+ 4y + p = 0 possui apenas um ponto em comum com a reta

y = x - 1, conclui-se que p é igual a

a) -9.

b) 7.

c) 9.

d) 11.

e) 12.

55) (FGV-2004) No plano cartesiano, considere a reta de

equação 2 x - y = 5 e a circunferência de equação

x2 + y

2 - 2x - 4y + 3 = 0. Podemos afirmar que:

a) A reta passa pelo centro da circunferência.

b) A reta é tangente à circunferência.

c) A circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja

distância é 2.

d) A circunferência intercepta o eixo x em dois pontos cuja

distância é 1.

e) A área do círculo determinado pela circunferência é4.

56) (Vunesp-2004) Considere a circunferência x

2 + (y - 2)

2

= 4 e o ponto P(0, -3).

a) Encontre uma equação da reta que passe por P e

tangencie a circunferência num ponto Q de abscissa

positiva.

b) Determine as coordenadas do ponto Q.

57) (Fatec-2002) Seja P o ponto de intersecção das retas de

equações y = x + 3 e y = 2.

A equação da circunferência que tem centro em P e

tangencia o eixo das abscissas é

a) x2 + y

2 + 2x - 4y = - 1

b) x2 + y

2 + 2x - 4y = - 3

c) x2 + y

2 - 2x - 4y = - 1

d) x2 + y

2 - 2x - 4y = - 3

e) x2 + y

2 + 2x + 4y = - 1

58) (Mauá-2001) Determine as equações das retas que

passam por A( 2 , 0) e são tangentes à circunferência de

equação x2+y

2 = 1.

59) (UECE-2002) Os valores de k para os quais a reta y = kx

é tangente à circunferência x2 + y

2 - 10x + 16 = 0 são:

a) 2

1e

2

1

b) 2

3e

2

3

c) 4

3e

4

3

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d) 4

1e

4

1

60) (UFC-2002) Encontre uma equação da reta tangente à

curva x2 - 2x + y

2 = 0 no ponto (1, 1).

61) (Fuvest-1999) Uma reta passa pelo ponto P = (3,1) e é

tangente à circunferência de centro C = (1,1) e raio 1 num

ponto T. Então a medida do segmento PT é:

a) 3

b) 2

c) 5

d) 6

e) 7

62) (Mack-2002) O círculo de centro A e tangente à reta r

da figura tem área:

a) 4/5

b) 5/4

c) 3/5

d) /5

e) 3/4

63) (Fuvest-1995) Uma circunferência de raio 2, localizada

no primeiro quadrante, tangencia o eixo x e a reta de

equação 4x-3y=0. Então a abscissa do centro dessa

circunferência é:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

64) (Fuvest-1998) Considere um ângulo reto de vértice V e

a bissetriz desse ângulo. Uma circunferência de raio 1 tem o

seu centro C nessa bissetriz e VC = x.

a) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados

do ângulo em exatamente 4 pontos?

b) Para que valores de x a circunferência intercepta os lados

do ângulo em exatamente 2 pontos?

65) (Fuvest-1994) Fixado o ponto N=(0,1), a cada ponto P

do eixo das abscissas associamos o ponto P'N obtido pela

intersecção da reta PN com a circunferência x2+y

2=1.

a) Que pontos do eixo das abscissas foram associados aos

pontos (x,y) da circunferência, com y<0?

b) Quais as coordenadas do ponto P' da circunferência,

associado a P=(c,0), c0?

66) (Vunesp-2006) Seja C a circunferência de centro (2, 0)

e raio 2, e considere O e P os pontos de interseção de C

com o eixo Ox. Sejam T e S pontos de C que pertencem,

respectivamente, às retas r e s, que se interceptam no ponto

M, de forma que os triângulos OMT e PMS sejam

congruentes, como mostra a figura a seguir.

a) Dê a equação de C e, sabendo que a equação de s é, y =

3

x

determine as coordenadas de S.

b) Calcule as áreas do triângulo OMP e da região

sombreada formada pela união dos triângulos OMT e PMS.

67) (UFRJ-2005) A reta y = x + k , k fixo, intercepta a

circunferência x2

+ y2 = 1 em dois pontos distintos, P1 e P2 ,

como mostra a figura a seguir.

a) Determine os possíveis valores de k.

b) Determine o comprimento do segmento P1P2 em função

de k.

68) (IBMEC-2005) Suponha que r é um número real positivo

e considere as circunferências do plano cartesiano dadas

por

C1 : (x – 5)2 + y

2 = r

2.

C2 : (x + 5)2 + y

2 = r

2.

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O conjunto dos pontos do plano que representam as

intersecções de C1 e C2 para r 13, é melhor descrito pela

figura

a)

b)

c)

d)

e)

69) (UFSCar-2005) Seja A = (p, 3 p) um ponto de

intersecção da reta (r) y = qx com a circunferência λ de

centro C = (0,0), com p real e diferente de 0.

a) Construa o gráfico da reta r e determine seu ângulo de

inclinação.

b) Sendo R a coroa circular definida pelas circunferências,

com as características de λ, tais que 1 p 9, calcule a área

da região formada pela intersecção de R com {(x,y) | y

qx}.

70) (Unicamp-2003) As equações (x + 1)

2 + y

2 = 1 e (x - 2)

2

+ y2 = 4 representam duas circunferências cujos centros

estão sobre o eixo das abscissas.

a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas

circunferências.

b) Encontre o valor de a IR, a 0, de modo que duas

retas que passam pelo ponto (a, 0) sejam tangentes às duas

circunferências.

71) (Fuvest-2002) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são

vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD situado

no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y

= -2x e o ponto D pertence à circunferência de centro na

origem e raio 5 . Então, as coordenadas de C são:

a) (6, 2)

b) (6, 1)

c) (5, 3)

d) (5, 2)

e) (5, 1)

72) (FGV-2002) a) Represente os pontos (x, y) do plano

cartesiano que satisfazem a relação |3x – 2y| = 6

b) Qual a área da figura determinada pelos pontos (x, y) do

plano cartesiano que satisfazem simultaneamente as

relações:

3yx

9yx 22

73) (Fuvest-1998) Um quadrado está inscrito numa

circunferência de centro (1,2). Um dos vértices do quadrado

é o ponto (–3, –1). Determine os outros três vértices do

quadrado.

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74) (UFPB-2006) Considerando as seguintes proposições

relativas à circunferência 422 yx

no plano

cartesiano, identifique a(s) verdadeira(s):

01. O ponto P (-1 ,1) é interior à circunferência.

02. O ponto P (-2 ,2) é exterior à circunferência.

04. O ponto P)2,2( está sobre a circunferência.

08. A reta de equação xy

intercepta a

circunferência em dois pontos.

16. A reta de equação 2 xy

intercepta a

circunferência em um único ponto.

A soma dos valores atribuídos à(s) proposição(ões)

verdadeira(s) é igual a:

75) (FGV-2004) As coordenadas do ponto da circunferência

256y8x22

que fica mais afastado da

origem 0,0O

são:

a) 6,8

b) 3,4

c) 25,0

d) 12,13

e) 9,12

76) (PUC-PR-2003) Se a equação da corda do círculo x

2 + y

2

= 49, que tem por ponto médio o ponto (1,2), é da forma

ax + by + c = 0, então a + b - c vale:

a) -2

b) 5

c) 2

d) 10

e) 8

77) (PUCCamp-1998) São dadas a reta r, da equação y = 3

, e a circunferência , de equação x2 + y

2 - 4x = 0. O centro

de e as intersecções de r e determinam um triângulo

cuja área é:

a) 3 3 b) 6

c) 2 3 d) 3

e) 3

78) (UFPA-1997) A reta de equação x + 2y = 0 intercepta o

círculo x2 + y

2 + 2x + 4y - 20 = 0 de centro C, nos pontos A

e B. Determine:

a) Os pontos A, B e C.

b) A área do triângulo ABC.

79) (Vunesp-1999) O comprimento da corda que a reta y=x

determina na circunferência de equação (x+2)2+(y-2)

2 = 16

é:

a) 4

b) 4 2 c) 2

d) 2 2

e) 2

80) (UNIUBE-2001) Considere a circunferência descrita pela

equação x2 + y

2 -2y = 0. Pode-se afirmar que o

comprimento da corda que a reta de equação 6x - 8y = 0

determina nessa circunferência é igual a

a) 1 unidade de comprimento.

b) 0,8 unidades de comprimento.

c) 1,2 unidades de comprimento.

d) 2 unidades de comprimento.

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Gabarito

1) a) A(1, 1) e B( -1, 1)

b) 45o e 135

o

2) V – F – V – F – F 1 + 4 = 5

3) a) B(-1, 2), C(- 5 ,0), D(-1, -2), E(1, -2) e F( 5 ,0). A

área é 4( 5 + 1)

b) cos AÔB = 3/5

4) a) R = 5

b) 50 u.a.

5) Alternativa: D

6) Alternativa: D

7) Resp: a = -25

Resol: isole z na 2ª equação e substitua na 1ª; remonte a

equação completando quadrados e obtendo uma equação de

circunferência onde o raio seja 1004a . Para que uma

equação de circunferência represente um único ponto (o seu

próprio centro), é necessário que o raio seja nulo.

8) Da geometria plana, lembramos que o centro da

circunferência circunscrita a um triângulo é o circuncentro,

ou seja, o encontro das mediatrizes do triângulo. Então,

vamos obter a equação de duas mediatrizes e obter o ponto

de intersecção das mesmas. O centro da circunferência será

esse ponto e o raio será a distância do centro a um dos 3

vértices. Sabendo que A =(5, 5) B=(–3, 1) e C = (2, –4)

temos:

Mediatriz do lado AB:

m1 = 53

51

=

2

1 m2 = –1/ m1 = –2

ponto médio de AB: M = (1, 3) então a reta que passa por

M com coeficiente angular m2 = –2 é

y–3 = –2(x–1) 2x +y –5 = 0

Mediatriz do lado AC:

m3 = 52

54

= 3 m4 = –1/ m3 = –

3

1

ponto médio de AC: N = (2

7;

2

1) então a reta que passa

por N com coeficiente angular m4 = –3

1 é

y –2

1= –

3

1(x –

2

7) 6y – 3 = –2x + 7 2x + 6y –10 = 0

x +3y – 5 = 0

Centro O da circunferência:

A intersecção das 2 mediatrizes (que são retas

concorrentes) é obtida pela resolução do sistema:

053

052

yx

yx

Resolvendo o sistema, encontramos x = 2 e y = 1 O = (2,

1)

Raio da circunferência:

Distância do centro ao vértice A (poderia ser qualquer um

dos 3 vértices):

d(O, A) = 221525 = 169 = 5 raio = 5

Então a circunferência procurada é (x – 2)2 + (y – 1)

2 = 25

9) a) )1,8()8,1(),8,1(),1,8( DeCBA

b) 87

10) a) As retas pedidas não podem passar por nenhum dos 3

vértices. Assim, as retas procuradas dividem o plano em

dois semiplanos, um deles com dois dos vértices do

triângulo e o outro com o outro vértice. E como cada reta

deve ser eqüidistante dos três vértices, cada reta precisa ser

paralela ao lado que contém os dois vértices contidos no

mesmo semiplano.

Portanto, as retas são x = 2, y = 0 e y = x

b) (x-2)2 + y

2 = 8 com centro (2, 0) e raio 2 2

11) a) A(4, 2) e B (3, 3)

b) (2,1- 5 )

12) a) 3

10 e 10cm respectivamente.

b)

dAC = 2 dAB 3x

2 + 3y

2 - 40x + 100 = 0 circunferência

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13) a) Circunf: x2 + y

2 = x : C = ( 2

1 , 0) e R = 2

1

Circunf: x2 + y

2 = y : C = (0, 2

1 ) e R = 2

1

b) Pontos de intersecção: (0, 0) e ( 2

1 , 2

1 )

Retas tangentes no ponto (0, 0): eixos coordenados, que são

perpendiculares.

Retas tangentes no ponto ( 2

1 , 2

1 ): x = 2

1 e y = 2

1 , que

são perpendiculares.

14) Alternativa: A

15) Alternativa: E

x + 3 = 2y1 2

= 1 - y2

3)2 + y

2 - 3.

Portanto o conjunto dos pontos (x; y) tais que x + 3 =

2y1 é um arco de circunferência de centro (- 3; 0) e r =

1.

16) Alternativa: D

17) Alternativa: A

18) Alternativa: B

Através da equação geral da circunferência encontra-se sua

equação reduzida (x-2)2 + (y-2)

2 = 4, achando assim seu

centro (2,2) e se raio r = 2. Dessa forma conclui-se que

A=(2,0) e B=(0,2).

Finalmente encontra-se o valor da área hachurada

calculando a área do semicírculo de raio 2 determinado pelo

diâmetro MN menos a área do segmento circular de ângulo

central 90o determinado pelo segmento AB.

Ahachurada = Asemicirculo – Asegmento circular

=

2

90..

4

.

2

. 22 osenrrrr

= 22

= 2

19) Alternativa: A

20) a) x2

+ y2 = 5, P(2, 1) e Q(-2, -1).

b) y = -2x + 5.

21) Alternativa: C

22) Alternativa: D

23) Alternativa: D

24) Diagonais: x + y - 5 = 0 e x - y - 1 = 0

25) Alternativa: B

26) Alternativa: A

27) Alternativa: D

28) a) P = (4, 2)

b) y = 2x - 6 e o coeficiente angular é 2.

29) Alternativa: A

A principal parte do problema é a determinação dos pontos

de interseção da reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos

coordenados. A partir daí o raio da circunferência

procurada é igual à metade da distância entre estes dois

pontos, e o centro da circunferência é o ponto médio do

segmento determinado por eles.

Para encontrarmos o ponto de interseção da reta 2x + y - 4

= 0 com o eixo x, fazemos y = 0 e para encontrarmos o

ponto de interseção da reta 2x + y - 4 = 0 com o eixo y,

fazemos x = 0. Assim os pontos de interseção da reta 2x + y

- 4 = 0 com os eixos coordenados são (2,0) e (0,4). A

distância entre estes pontos é 5220)2(4 22

e

portanto o raio da circunferência procurada é 5 .O ponto

médio do segmento que une os pontos (2,0) e (0,4) é

2

40,

2

02

= (1,2), que é o centro da circunferência.

Portanto a equação da circunferência é (x - 1)2 + (y - 2)

2 = 5

30) Alternativa: A

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31) a) Q = (7, 7)

b) V = 10 km/h

32) Alternativa: C

33) Alternativa: B

34) Alternativa: B

35) Alternativa: D

36) a) r = 1

b) C = x2 + y

2 - 2x - 2y + 1 = 0

37) Alternativa: B

38) a) Se z = x+iy, então z+2i = x+i(y+2) e z-2 = (x-2)+iy.

Então, dividindo 2z2iz

encontramos

22 y2)(x

xy2)2)(y(xi2)y(y2)x(x

e assim a parte

real é 22 y2)(x

2)y(y2)x(x

. Fazendo 22 y2)(x

2)y(y2)x(x

= 21

de onde se chega em x2+(y+2)

2 = 8 para x2 e y0. Note

que x2+(y+2)

2 = 8 seria a equação da circunferência de

centro (0,-2) e raio 2 2 se não tivéssemos x2 e y0.

Assim, acrescentando-se o ponto (2,0) temos a

circunferência.

b) y = x+2

39) a) B=(6,3)

b) C=(2,11)

40) a) m = 3

3

b) A = 1m

3m12m2

2

, para 0 < m < 3

3

41) Alternativa: C

42) Alternativa: B

43) a)

b) 10 3 + 3

5

44) a) x + 2y – 5 = 0

b) (2 3 + 1,0)

45) A circunferência C’ tem centro O’

0,

4

25

e raio r =

4

5

46) C = (2 5 , 5- 5 ) e R = 5- 5 47) V F F V V : soma das corretas = 25

48) V – F – V – F – V – V

49)

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(x – 7

15 )

2+( y –

7

15)

2 = 9 ou (x +

7

15)

2 + (y +

7

15)

2 = 9

50) a) C=(1,1) ou C = (1,–7)

b) R = 2 ou R = 5 2 51) a) m = -1/2

b) 2x - y = 0. Sim, o ponto A pertence à essa mediatriz.

c) x + 2y = 0.

52) a) (–1, –2)

b) (x + 5)2 + (y – 1)

2 = 25

c) 4

25

53) Alternativa: C

54) Sem Resposta

A resolução nos leva a p = 5, que não está nas alternativas.

55) Alternativa: C

56) a) y =

32

21x

b)

5

6,

5

212

57) Alternativa: A

58) Resposta: y = x - 2 e y = -x + 2 59) Alternativa: C

60) Tangente: y = 1

61) Alternativa: A

62) Alternativa: D

63) Alternativa: D

64) a) 1 < x < 2

b) 0 x < 1 ou x = 2 65) a) os pontos P = (x, 0) tais que -1< x < 1

b)

1c

1c,1c

2c P'2

2

2

66) a) (x - 2)2 + y

2 = 4 e

5

6,

5

18

b) 3

4

e 15

32

67) a) - 2 < k < 2

b) ) k - 2(2 2

68) Alternativa: C

69) a) ângulo de inclinação = 60º

b) 160

70) a) encontram-se na origem (0, 0)

b) a = –4

71) Alternativa: E

72)

A = 9 4

2) - (

73) (4, –2), (5, 5) e (–2, 6)

74) Resposta: 15

75) Alternativa: E

76) Alternativa: E

e) (resposta oficial)

Nota: A questão não está bem redigida, pois a forma geral

da equação da reta não apresenta coeficientes a, b e c

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únicos. Assim, mesmo sendo x + 2y - 5 = 0 a opção mais

natural, qualquer equação no formato kx + 2ky - 5k = 0

representa a mesma reta, com a + b - c = 8k, e, escolhendo-

se valores convenientes de k, pode-se ter qualquer

alternativa como correta.

77) Alternativa: E

78) a) A = (4, -2); B = (-4, 2) e C = (-1, -2)

b) área = 10

79) Alternativa: B

80) Alternativa: C