Segue abaixo alguns exemplos de otimizao fazendo uso de derivadas. Vejam que paraencontrarmos os valores de mximo ou mnimo, primeiramente devemos encontrar afuno que nos leva soluo do problema, calcular sua derivada, obtendo uma funodependendo somente de uma varivel. Em seguida, igualamos a zero, obtendo umaequao. Agora s calcular seu valor e obteremos o valor de mximo ou de mnimo.

Exemplo 1: Dado um cone de geratriz igual a 5cm, determinar suas dimenses demodo que se tenha o maio volume possvel.Primeiramente, vamos esboar um cone genrico, destacando o tringulo retngulo:

[Figura 1-1]Lembremos que o volume de um cone dado por:

[Veja a demonstrao aqui]Dos dados fornecidos no enunciado do problema, temos que:

Substitumos o valor de r da (1.2) na frmula do volume de cone:

Agora, vamos calcular a deriva da funo V(h):

Igualamos a zero para obtermos uma equao que nos leva ao valor de mximo:

J encontramos a altura h do cone. Para encontrarmos o raio r de sua base, substitumoso valor de h na (1.1):

O cone que possui geratriz igual a 5cm e que possui o maior volume o de medidas:

Exemplo 2: Deseja-se confeccionar uma trave para um campo de futebol com umaviga de 18m de comprimento. Encontre as dimenses para que a rea do gol sejamxima.Vamos esboar um desenho de uma trave genrica:

[Figura 2-1]Pelos dados fornecidos pelo enunciado do problema, temos que:

A rea do gol dada pela frmula da rea do retngulo formado:

Substitumos a (2.1) na (2.2), obtendo:

Calculamos, agora, a derivada da funo A(x):

Igualando a zero, obtermos uma equao linear que nos leva ao clculo de mximo:

Encontramos a altura x da trave. Para encontrarmos sua altura, substitumos o valorde x na (2.1):

Portanto, a trave dever ter altura de 4,5m e largura de 9m para que a rea de gol seja amaior possvel.Observao: As dimenses oficiais de uma trave de futebol 7,32m de largura entre ospostes e 2,44m de altura.

Exemplo 3: Um fabricante de caixas de papelo pretende fazer caixas sem tampas apartir de folhas quadradas de carto com rea igual a 576cm2, cortando quadradosiguais nos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Determinar o lado do quadradoque deve ser cortado para se obter uma caixa com o maior volume possvel.Interpretando o enunciado, podemos esboar:

[Figura 3-1]Como a rea total de 576cm2, o lado da folha :

O volume da caixa ser dado por:

Calculamos agora a derivada da funo V(x):

Igualamos a zero, obtendo a equao quadrtica:

Dividimos a equao por 12, obtemos:

Encontramos dois valores para x mas vejam que somente x2 satisfaz o problema, j quese temos o lado da folha igual a l = 24 2x, se substituirmosx1, obtermos um lado nulo.Ento a caixa dever ter as dimenses de:

Lado:

Altura:

Exemplo 4: Dividindo um arame de comprimento L em duas partes, faz-se com umadas partes uma circunferncia e com a outra um quadrado. Determinar o ponto em que sedeve cortar o arame para que a soma das reas geradas pelo quadrado e circunfernciaseja mnima.Vamos fazer uma figura representativa:

[Figura 4-1]Vamos adotar que a parte do arame de comprimento x ser a da circunfernciaC e que aparte do arame de comprimento L x ser do permetro P do quadrado. Ento temos:O comprimento da circunferncia dado por:

A rea do crculo dada por:

Substituindo (4.2) na (4.1), obtemos:

Do quadrado, temos:

A rea do quadrado dada por:

Substituindo (4.4) na (4.5), obtemos:

Queremos que a soma das reas do crculo e do quadrado seja mnima, ento somamosas duas reas, dadas pelas (4.3) e (4.6):

Calculamos agora, a derivada da funo AT (x). Vejam que a funo est em termosde x e L2 uma constante:

Igualamos a zero e obtemos a equao:

Portanto, o arame dever ser cortado no ponto:

Exemplo 5: Dentre todos os retngulos de permetro 64cm, encontre as medidas deum em que sua reas seja mxima.Temos o retngulo:

[Figura 5-1]O permetro dado por:

Da (5.1) obtermos:

A rea do retngulo dada por:

Substituindo (5.2) na (5.3), obtemos:

Calculamos agora a derivada da (5.4):

Igualamos a zero obtendo a equao:

Agora que j encontramos o valor de um dos lados do retngulo, substitumos o valorencontrado na (5.2):

Com este resultado, conclumos que, para que a rea seja mxima, o quadriltero pedido um quadrado de lado 16cm.

Exemplo 6: Dada a figura abaixo, encontre as dimenses do retngulo destacadopara que sua rea seja mxima.

[Figura 6-1]Temos que encontrar ema equao em termos de x e y. Por semelhana de tringulotemos:

[Figura6-2]

A rea do retngulo dada por:

Substitumos o valor de x na (6.2):

Calculamos sua derivada:

Agora, igualamos a zero:

Substitumos o valor de y na (6.1):

Portanto, para que o retngulo tenha rea mxima, seus lados devem medir 3 e 4 e suarea ser de 12 unidades de rea.

Exemplo 7: Observando a figura abaixo, encontre o valor de x para que a reasombreada seja mxima.

[Figura 7-1]A rea sombreada ser dada pela diferena das reas:

Vamos encontrar a rea AI :

Agora vamos encontrar a rea AII :

Substitumos as (7.2) e (7.3) na (7.1), encontrando a funo quadrtica:

Calculamos sua derivada:

Igualamos a zero:

Agora j podemos encontrar os valores dos lados dos dois tringulos I e II, mas aindafalta encontrar o valor da hipotenusa:

[Figura 7-2]Do tringulo I temos:

Do tringulo II temos:

Logo os tringulos possuem as medidas de:

[Figura 7-3]

Exemplo 8: Determine a medida do raio e da altura de um cone que contm umaesfera de raio 8 unidades e com volume mnimo.

[Figura 8-1]Analisando a figura, podemos destacar dois tringulos retngulos e verificar suassemelhanas:

[Figura 8-2]

(8.1)Por semelhana de tringulos, temos:

Elevando ambos os membros ao quadrado, eliminamos a raiz:

O volume de um cone dado por:

Substitumos a altura h = y + 8 e a (8.3) na (8.4), obtendo:

Notem que temos uma funo quociente do volume em funo de y. Calculemos suaderivada (veja demonstrao aqui):

Agora, podemos igualar a zero, mas observem que o valor de y deve ser diferente de 8 ede 0:

Vejam que a (8.6) nos d uma equao composta por uma razo entre duas equaes,onde nos leva a uma igualdade a zero. Mas como o denominador no deve ser igual azero, nos resta que a equao do numerador seja igual a zero. Neste caso, tambmdescartamos 64, pois uma constante. Assim, obtemos uma equao quadrtica:

Vejam que y2 no nos interessa, portanto, tomamos 24 como valor de y.Para determinarmos as medidas do cone, tomamos a altura do cone, dada por:

Agora vamos determinar o raio da base do cone, utilizando a (8.2):

As medidas do raio da base do cone e de sua altura so: