exercicio resolvido munem vol1 calculo 1

26
Capítulo 9 Exemplos Diversos Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Análise do IME-UERJ, por ceder, gentilmente estes exercícios. 9.1 Limites [1] Determine o valor da constante para que exista e calcule o limite. Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão: Logo, a condição necessária para que o limite exista é que a primeira parcela seja nula, isto é, ; então: [2] Calcule: . Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão: Fazendo , temos que . Por outro lado observamos que se , então e: 333

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Page 1: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

Capítulo 9

Exemplos Diversos

Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Análise do IME-UERJ,por ceder, gentilmente estes exercícios.

9.1 Limites

[1] Determine o valor da constante ����� para que exista ������ �� ������������� � ������ e calcule o

limite.

Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:� ������� ����� � ���� � !� ������� ����� � ���� �

� �����"�#����� � �$�� �����"�#����� � �$� !�����%� ����� � �$� ����&� � �����"�'����� � ���(�

! �*)�+�-, � � � � ��.�/�0� ���1�"�#����� � �$�(�32

!�+�-, ��4� � �5�1�"�#����� � �$�(� �

� �� � ���1�"�#����� � �$�(�76Logo, a condição necessária para que o limite exista é que a primeira parcela seja nula, isto é,� !98� ; então:

������ �� �5����� ����� � ����.� ! ������ �

�:�; � � ���1�"�#����� � �$�(� ! �

�< 6

[2] Calcule: ������:� )�=3>@?�A���� 2CBEDEFHGJILKINMOBADEF�GJILK .

Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão:

=3>@? �A�$��%� =P>H? �A��� ! QSRUTV �W�X�QSRUTV �W 6

Fazendo Y ! � � QSRUTV �W , temos que

� � Y ! QURSTV �W . Por outro lado observamos que se

��Z [,

então Y Z\[ e: =3>@? �A����%� =3>@? �A�$� !�X� YY !

�Y�C� 6

333

Page 2: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

334 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Logo:

��� �� � ) =3>@?�A���� 2CBEDEFHGJILKINMOBADEF�GJILK ! ������ :� ���X� Y ������ 8 ! � ���� � ���X� Y ���� ���X� Y � � 8 ! > � 8 6

[3] Calcule: ��� ���� ) Y� �A�$� 2 � � V � �W .Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão. Fazendo Y ! �$� Y� � �A�$� , temosque Y� �A��� ! � �X� Y e

Y� � , �$� ! , Y� �A����+� Y� � �A�$� !, � � � YY 6

Por outro lado observamos que se� Z � �

, então Y Z\[ e:

������ � ) Y� �A��� 2 � � V � �W ! ������ :� ) � �+� Y 2��� � M �� ! ������ :� )�� �+� Y�� � � 2 2�� 8 � � ! > � � 6

[4] Determine as constantes ����� � � tais que

������ �"! ) � � � � �� 8 �(�(� �����#$#$#5��� 2 ! [ 6

Solução : Primeiramente reescrevamos a expressão:

) � �"� � � � 8 �(�(� ���� #$#$# ��� 2 ! � � 8 �(�(� � � �"� � � #$#$# � � � � 8 �(�(� ���� #$#$# ��� !� 8 �(�(� � � � ��� � � � #$#$# � � � � � ���� #$#$# ��� 6

Sabemos que ������ �"!% �A���& �A��� ! [ se �' ��( � & �*) �' �+( � % � . Logo, � ��� ! [ e � ! [ , ou seja � ! � e

� ! [ .[5] Calcule:

������ �"!, � �.- �"� � �%� � � 6

Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:

, � �.- � � � �%� � � ! ), � �.- �"� � �%� � � 2 )

- � �./ � � � � � � �- � �./ � � � � � � � 2

!� �./ �"� � ��� �

- �"� / � � � � � � � !/ �"� � �

- �"� / �"� � � � � �

!� 0� � � 1 0� � 0� � �

��� !, ��� - 8

�5� , 8 � - 8�2 ���6

Page 3: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

9.1. LIMITES 335

Logo:

������ �"!, � � - � � � �%� � � ! ��� �� �"!

, �5� - 8��� , 8 � - 8 2 �#�

!�, 6

[6] Determine a função definida por:

� �A�$� ! � ���T �"!

�T� �

� , �T���.�T� ����[ 6

Solução : Observe que, se� ! [ , então

� �E[ � ! [ ; se� ! , temos:

� � , � ! �����T �"!

,T� �

� , �T�C, �T! �����T �"!

, � ,T� ,/,T! , � , 6

Se[��C��� ,

, temos:

�����T �"!

�T� �

� , �T�����T! �����T �"!

F � �� F- �5� � � � � T! [ �

logo� �A�$� ! [ se

[�C��� ,. Agora estudemos o caso

� ) ,:

�����T �"!

�T� �

� , �T��� �T! � ���T �"!

F � � F- �5� � � � � T! �����T �"!

� �- �5� � � � � T

! � � 6

Então:

� �A��� !�� � [

se[��C��� ,

, � ,se� ! ,� �

se� )�, 6

[7] Calcule:

� ���� 8�T�1�T � 8 ��� T �

� � 6@6@6H6@6@6 ��� � ���%� ?�%��� 6Solução : Dividindo os polinômios:

�T���T � 8 ��� T �

� � 6@6@6�6@6@6 ��� � �1�%� ? ! �A������� %T�A�$� �

onde%T�A��� ! � T � 8 �C, � T �

� ��� �T ��� � 6@6@6 �'� ? �-, � �

� ��� ? �C��� � � ? . Logo:

��� �� 8�T���T � 8 ��� T �

� � 6@6@6H6@6@6 ��� � �1��� ?����� ! � ���� 8%T�A��� ! %

T����� 6

Por outro lado,%T����� ! �5�C, ���X� 6@6@6H6@6@6 �'� ? �-, � �#� ? ����� � ? ! T

VT� 8 W� .

[8] Calcule: ������:� ����� = �A���/����� =P>H? �A������� � � ��� , �C����� , .

Page 4: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

336 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Solução : Seja� �A�$� ! ��� = �A���/����� =P>H? �A������� . Se

� � � ������[ , então�:� � =3>@? �A�$� ��[ e

��� =P>H? �A������� !! �:� , logo� �A�$� ! ��� = �A�$��� � . Se

[ � � � � � então[ � =3>@? �A�$� � � e

��� =P>H? �A������� ! [ , logo� �A��� ! � � = �A��� . Se� ! � � , então

��� =P>H? � � � � ��� ! � e� � � � � ! �:� . Logo

� �A�$� !�� � ��� = �A�$� ��� se

� � � �C��� [��� = �A�$� se[��C��� � ��:�

se� ! � � 6

Então

��� �� � � � �A�$� ! ������ � � ��� = �A��� ! � ������� � M

� �A�$� ! ��� �� � M� � = �A��� �#� ! , 6

Consequentemente, ������ � � ��� = �A���&����� =3>@? �A�$����� � não existe.

[9] Calcule:

�������� � =3>@? � �"������ �� � Y� � �A���/� � ��� Y� �A�$� 6Solução : Primeiramente reescrevamos o numerador:

=3>@? � � ��� �� � ! =P>H? �A��� ��� = � � �� � � =3>@? � � �� � ��� = �A�$� ! �, ) � � = �A���&� � � =P>H? �A��� 2! =P>H?

�A���, ) � � Y� �A��� � � � 2 �

pois =3>@? �A����! [ , então:

=P>H? � �"� ���� ���� Y� � �A�$� � � ��� Y� �A�$� !=3>@? �A��� ����� Y� �A�$�/� � � �, � � Y� �A��� � ��� Y� �A���&� � � � � ��� Y� �A��� � � � � !

=P>H? �A���, � � Y� �A��� � ��� Y� �A�$� � � � � 6Logo:

������ � � =3>@? � � � ���� ���� Y� � �A���&� � � � Y �A���:! ������ � � =3>@? �A�$�, ��� Y� �A��� � ��� Y� �A�$� � � � � !�, ; 6

9.2 Continuidade

Analise a continuidade das seguintes funções:

[1]� �A�$� !

QURSTV �W� � se

���! [�se� ! [ 6

Solução : Claramente, o problema é determinar se�

é contínua em[. Reescrevamos a função:

� �A�$� !�� � �QURUTV �W se

� ��[�se� ! [

QURUTV �W se

� )�[ 6

Page 5: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

9.2. CONTINUIDADE 337

Logo,

������ � M� �A�$� ! � ������ � � =3>@?

�A�$�� ! �:� e ��� ��:� � � �A��� ! ��� �� � � =P>H?

�A���� ! � 6

Então�

não é contínua em[.

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

Figura 9.1: Gráfico de�

.

[2]� �A�$� ! , 8�� � �, 8�� �#� .

Solução : Reescrevamos a função:

� �A��� ! , 8�� ���, 8�� ��� !� , 8�� �#� � �-,, 8�� ��� ! �+�

,, 8�� ��� 6

Sabendo que ����� � � M 8 !���

e ����� � � � 8 ! ���, temos:

������ � M� �A�$� ! ��� �� � M

) �+� ,, 8�� �#� 2 !

�:�e ������ � � � �A�$� ! ������ � � ) �X�

,, 8�� ��� 2 !

� 6Então,

�não é contínua em

[.

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

Figura 9.2: Gráfico de� �A�$� ! � ��� I � 8� ��� I � 8 .

[3]� �A�$� ! ������ �"! ���

� ��� > � ���� �(��� > � �

Page 6: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

338 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Solução : Se����[

, então, ������ �"! > � ! [ e � ���� �"! ����� > � � ! ���. Logo,

� ���� �"! ���� ��� > � ���� �L��� > � � !

[ 6Se� )�[

, então:

��� �L�5� > � � ! ��� � > � � �5� �> � � � ! ��� � > � � � ��� �L����> � � ! � Y � ��� �L�5�

�> � �

��� � �5� > � � ! ��� � > � � ��� �> � ��� ! � � � > � � � ��� � ����> � � ! Y � � � � ���

�> � � 6

Logo:

������ �"! ����L�5� > � ���� � �5� > � � ! ��� �� �"!

�"� ���� 8 � �D I � ��

��� ���� 8 � �D � �� ! � 6

Se� ! [ , então ��� �� �"!

,��� � ��� > � � !

[. Reescrevendo a função:

� �A��� ! [

se����[

� � se� ) [ 6

Então,�

é contínua em � .

-3 3

3

Figura 9.3: Gráfico de�

.

Determine as constantes tais que as seguintes funções sejam contínuas:

[1]� �A�$� !

�� � ��"���

se���'� �� � = � � � � se� ��C�����

? �"� � se� )�� 6

Solução : Se� ! � � , então

� ��� � � ! � � = ��� � � ! � � . Por outro lado:

� ���� ��� M� �A�$� ! � ���� ��� � � � ��� � ! � � �

���e ������ ��� � � �A��� ! ������ ��� ��� = � �

�� � ! �:� 6

Page 7: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

9.2. CONTINUIDADE 339

Como os limites laterais devem ser iguais, temos que� �

���� ! �:� , isto é, � !

�� . Se

� ! � ,então

� � � � ! � � = � � � ! �:� . Por outro lado:

������ � M� �A�$� ! ������ � ��� = � �

�� � ! �:� e ������ � � � �A�$� ! ������ �� ? �"� � � ! � ? ��� 6

e Como os limites laterais devem ser iguais, temos que� ? ��� ! �:� , isto é, ? ! �

�� . Logo:

� �A�$� !�� � � � ��� se

���'� ���� = � � � � se� ��C��� �

� � � ��� se� )�� 6

-3 3

-1

1

Figura 9.4: Gráfico de�

.

[2]� �A�$� !

�� � QSRUTV 8(8 � �(� W� � � se

��� ,� se

� ! , 2 � � � ��� � 0� � � 2 ��� � � � se� ) , 6

Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:

� � � � � � � �O, � ��� �� � � � ����� ; !�A����, � � �A� ��� ��A����, � � �A� ����� 6

Por outro lado: QSRUTV 8(8 � �(� W� � � ! QURST

� 8(8 V � � W W� V � � W , fazendo Y ! ���-, , temos que� Z , � , então Y Z\[ � ,

e: =3>@? ���O�����-,O, �� �%� � ! =P>H?� �O� �A���-, �(��+�A���-, � ! =3>@?

� �O� Y �� Y !�O�� ) =P>H? � �O� Y ��O� Y 2 6

Se� ! , , então

� � , � ! � . Logo:

������ � M� �A��� ! ������ � M

=3>@? � �O� �A� �-, �(��+�A���-, � ! ������ � M�O�� ) =3>@? � �O� Y ��O� Y 2 !

�O��� ���� � � � �A��� ! � ���� � �

� � � � � � � �O, � ��� �� � � � �.�5� ; ! ������ � �� ���� ��� !

�O�� 6

Page 8: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

340 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Então, � ! 8(8� e:

� �A��� !�� � QURSTV 8(8 � �(� W� � � se

��� ,8(8� se

� ! , 2 � � � ��� � 0� � � 2 ��� � � � se� ) , 6

-1 1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

Figura 9.5: Gráfico de�

.

[3]� �A�$� !

�� � R BEDEFHGJILK� 8 se

����[�� � = � � ��� � ? se

[��C����� 2 � 8(8 � � # � 0� 8 � � 2 � � � ��� 0� 8�� se

� )�� 6Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:� � ���O��� � � � � � ��� � �� � � ; � � � � � ��� < !

�A��� � � � �A� �����O��A��� � � � �A� �C, � 6

Se� ! [ , então

� �E[ � ! �� ? , e:

������:� M� �A��� ! ������ � M

> QSRUTV �W �C�� ! ������ � M

)�> QURSTV �W ���=3>@? �A�$� 2

)U=3>@? �A���� 2 ! � �� ����:� � � �A��� ! � ����:� � � � ��� = � � �$�$� ? � ! �

� ? �logo, �

� ? ! � . Se� ! � , então

� � � � ! � �� ? , e:

������ � M� �A�$� ! ������ � M

����� = � � ��� � ? � ! � �

� ? ������� � � � �A��� ! ������ � �

�A��� � � � �A� �����O��A��� � � � �A� �C, � ! ������ � �

� ������"�C, ! ; �

logo,�

�� ? ! ; . Então, temos o sistema:

�� ? ! ��

�� ? ! ; �

que tem soluções � ! � �� e ? ! �� .� �A�$� !

�� � R BADEF�GJILK� 8 se

����[� ����� Q

V � �W� � �� se[�������

2 � 8(8 � � # � 0� 8 � � 2 � � � ��� 0� 8�� se� )�� 6

Page 9: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

9.2. CONTINUIDADE 341

-2 2 4 6

1

2

3

4

Figura 9.6: Gráfico de�

.

[4]� �A�$� !

��� �� 0� V�� � � � W� ����� � � � V 8(8 �W se

���C[����

se� ! [

QURSTVT�W

��� V 8 � 8 �(� �W se� )C[ 6

Solução : Se� ! [ , então

� �E[ � ! �� �

. Logo, necessáriamente devemos ter que:

������ � M� �A�$� ! �

� � ;�

! � �E[ � ! ���� �

isto é, � ! ; . Por outro lado:

� ����:� � � �A��� ! � ����:� � ) =3>@?� ? �$�? � 2 ) ? �

��� �������@[O[&�$� 2 ! ? ������ � �) ���� �������@[O[&�$� 2

! ? � ����:� � )�

��� �������@[O[&��� �I2 6

Como: ������:� � ��� �����#�@[O[&�$� �I ! ���� ��� �� � � ��� ���@[O[&��� �I � ! ���

� > 8 �(� � ! �@[O[ , temos, � ���� � � � �A��� ! ?�@[O[ ;

por outro lado, ������:� � � �A��� ! � �E[ � , temos que ? ! � [O[ e:

� �A��� !��� ��

0� 8 �� ����� � � � V 8(8 �W se����[

�se� ! [

QSRUTV � �(� �W

��� V 8 � 8 �(� �W se� )�[ 6

-0.1 -0.05 0.05 0.1

Figura 9.7: Gráfico de�

.

Page 10: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

342 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

9.3 Derivada

[1] Considere a função� �A�$� ! � � � � � = � , ���N� � ��� = � ; ��� , onde � ��� � � � � . Sabendo que

� � � � � ! � ,� �E[ � ! ��� �E[ � ! ��� � �E[ � ! � V � W �E[ � ! [ e que�

pode ser escrita na forma� �A��� ! =3>@? T

�A���, ? ��� ,

determine � ���0� � e ? .

Solução : Primeiramente note que� �E[ � ! � � � � � , ��� � �E[ � ! � � ; � e

� � � � � ! � � � � � ; logo,obtemos o sistema: �� �

� � � � � ! [� � � � � ! �� � ; � ! [ �

cuja solução é � ! �� , � ! � 8� e� ! 8

� ; então:

� �A��� ! �< ���� = � , �$�, � ��� = � ; �$�< 6

Por outro lado,��� = � ; ��� ! , ��� = � � , ���&��� e

��� = � , �$� ! �X��, =P>H? � �A��� , logo:

� �A��� ! �< �� � = � , ���, � � � = � ; ���<

!�; �

� � = � , ���, � � � = � � , ���;! =3>@?

� �A��� 6Então � ! �� , � ! � 8� , � ! 8� e ? ! ; .[2] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva � ! � ' � =P>H? � � 8� �no ponto onde a curva intersecta o eixo dos

�.

Solução : Determinemos a interseção da curva com o eixo dos�

. Se � ! [ , temos:

� ' � =P>H? � �%� �, � ! [ � �%� �, ! [ � � ! � 6

Logo, o único ponto de interseção é��� � [ � . Por outro lado, os coeficientes angulares da reta

tangente e da reta normal à curva são, respectivamente:

� 8 ! � � !�

� � �C, ��� � � � � 8 ����� !�,

� � ! ��� �! � / �X�C, ��� ��� � � � ����� ! � , 6

Logo, as equações da reta tangente e da reta normal são, respectivamente:

� !�, �A������� �

�%�-,� ! �

� ! � ,+�A���C��� �, � �

� ! , 6[3] Determine a equação da reta normal à curva � ! �� ? �A��� , que é paralela à reta

, �&� ,�� � ! [ .

Page 11: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

9.3. DERIVADA 343

Solução : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficienteangular da reta

, ���-,���� ! [ é � 8 ! � . O coeficiente angular da reta normal à curva é:

� � ! ��� �! �

��5� � ? �A��� 6

Como as retas são paralelas, temos que � 8 ! � � , isto é:

� ��5� � ? �A��� !

��

� ? �A��� ! � , �� � ! > � � �

logo, temos que � � ! > � � � ? � > � � � ! � , > � � . A equação da reta normal à curva que passa peloponto

� > � � � � , > � � � é:

��C, > � � ! �%� > � � � �

� � ! � � > � � 6

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

Figura 9.8: A reta �� � ! � � > � � .

[4] Determine os parâmetros � , � e� �*� tais que a parábola � ! � � � � � � � � tangencie a reta

� ! � no ponto de abscissa�

e passe pelo ponto���:� � [ � .

Solução : Como o ponto���:� � [ � deve pertencer à parábola, substituindo na equação, temos

que: ����� � � � � � ! [ 6Como a parábola deve tangenciar a reta � ! � no ponto de abscissa

�, temos que se � ! � , então� ! � . Isto é, o ponto

��� � ��� é comum à reta e à parábola; substituindo na equação, temos que:� , � � � � � � ! � 6O coeficiente angular da reta é � 8 ! � e o coeficiente angular da reta tangente à parábola é� � ! � � ! , � � � � , logo � � ����� ! , � � � . Como � 8 ! � � :� � � , � � � ! � 6Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema: �� �

� � � � � ! [� � � � � ! �, � � � ! � �

Page 12: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

344 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

cuja solução é: � ! � ! 8� e � ! 8� .

1

1

2

Figura 9.9: Exemplo [4].

[5] A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela equação� ! �+� � � ��� �*� � � , sendo

� � � � �O�. Um caçador, munido de um rifle está localizado no

ponto� , � [ � . A partir de que ponto da colina, a fauna estará

�@[O[ �segura?

Solução : Denotemos por% � ! �A� � � � � � o ponto além do qual a fauna não pode ser vista pelo

caçador, situado no ponto� , � [ � . A fauna estará a salvo, além do ponto

% � onde a reta que liga� , � [ � à colina seja tangente à mesma.

2

Figura 9.10: Vista bidimensional do problema.

Observe que � � ! � , � �#��� é o coeficiente angular de qualquer reta tangente à parábola; logo,no ponto

% � , temos �� ! � , � � �#��� e a equação da reta tangente é:

��� � ! ��� , � � �����O���A��� � � � 6

Como a reta passa por� , � [ � , temos:

����� �� � ! ��� , � � �#���O��� , � � � � 6

O ponto% � também pertence à parábola; então:

� , �� � ! �X� �� ����� � � � � � 6

Page 13: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

9.3. DERIVADA 345

Igualando (1) e (2):

� �� � ; � � � �O, ! �A� � � < ���A� � � ; � ! [ �� � ! < e � � ! � 6

Então,% � ! � < � � � e a fauna estará a salvo a partir de

� ) <.

[6] A reta tangente à curva � ! �X�� � , � � � �

no ponto��� � , � é também tangente à curva em

um outro ponto. Ache este ponto.

Solução : O coeficiente angular da reta tangente à curva é � � ! � ; � � � ; � � � , como��� � , �

é um ponto comum à reta e a curva, temos �� ����� ! � . A equação da reta tangente que passa

pelo ponto��� � , � é: � ! � � � . Para determinar os pontos comuns à curva e à reta tangente,

resolvemos o sistema: � ! �+�

� ��, � � ���� ! �"�#� �

obtendo� � �-, � � ��� ! �A� � ����� � ! [ e

� !�� � . O ponto procurado ��:� � [ � .

-1 1

2

Figura 9.11: Exemplo [6]

[7] O ponto% ! � � � � � pertence à parábola

� � ! ; � . Determine todos os pontos&

da parábolatais que a normal em

&passe por

%Solução : Um ponto arbitrário da parábola é

& ! � � � � �� � e o coeficiente angular da reta normalà curva é: � 8 ! � 8��� ! �

� . A equação da reta normal à curva no ponto&

é:

�� � �; ! �

,� �A��� � � 6

Mas a normal passa pelo ponto� � � � � , logo:

� � � �; ! �,� � � � � � � � � � , < � � ; < ! � � � � ��� � ��, ��� � � ; � ! [ 6

Os pontos procurados são& 8 ! ��� ; � ; � , & � ! ��� , � ��� e

& � ! � � � � � .

Page 14: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

346 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

-4 -2 6

1

4

9

Figura 9.12: Exemplo[7].

[8] Nos pontos de interseção da reta� �

��'� ! [ com a curva � ! � � � ; � � � , traçam-se as

normais à curva. Calcule a área do triângulo formado pelas normais e pela corda que subtendeos referidos pontos de interseção.

Solução : Determinemos os pontos de intersecção da reta���

���� ! [ com a curva:

� ! � � � ; � � �� ! �"��� 6

Obtemos� � � � �+� ; ! �A� � �����A� � ; � ! [ ; então

� ! � e� ! ; ; logo temos os pontos

% 8 ! ��� � , �e% � ! � ; � � � . Por outro lado, os coeficientes angulares das normais são dados por:

� ! ��� �! �

�, ��� ; �

������ ! 8� e �

� ; � ! � 8� . As equações das normais em% 8 e

% � , são respectivamente:

,�� � ! � �; � ��� ! , ; 6

Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de intersecção das retas normais:

,� ! �"���; � ! �+�"��, ; �

obtemos � ! #� e� ! � . Seja

% � ! � � � #� � . A área do triângulo de vértices% 8 , % � e

% � é dada por� ! � � �� , onde:

� !�����

� � �� ; �, � ��� ,�����! �� �, � � !

� �; ( 6 � 6

Page 15: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

9.3. DERIVADA 347

1 4 6

2

4

6

Figura 9.13: Exemplo [8].

[9] Esboce o gráfico da curva �� ! � � �A� ��� � .

Solução : Primeiramente observamos que se mudamos � por�� , a equação da curva não muda;

logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos�

. Por outro lado, � ! � �A�$� ! � � � �"��� , logo� � �

� � � ! � � � � �����. Se

� ! � � , então � ! [ e se � ! [ , então� ! [ ou

� ! � � . A curvaintersecta os eixos coordenados nos pontos

�E[ � [ � e��� � � [ � . Determinemos os pontos críticos,

derivando � ! � �A��� e igualando a zero:

�� !

�+�A� ��, �, � �"��� ! [ �

� ! � , 6Note que �

� ��� � �não existe e

�é contínua em

� ! � � ; como� � �

� � � ! � � � � � ��� , no ponto� ! � � a reta tangente à curva é vertical. Determinemos os pontos extremos, estudando o sinalde �

�ao redor do ponto

� ! � , :�� )�[ � � )'� ,�� ��[ � ���'� , �

logo,� ! � , é ponto de mínimo local e � ! � , . Pela simetria em relação ao eixo dos

�, se

consideramos � ! �+� � �"��� , o ponto��� , � , � é de máximo. A curva não possui pontos de

inflexão ou assíntotas.

-3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Figura 9.14: Exemplo [9].

[10] Dada uma circunferência de raio ' , determine o comprimento de uma corda tal que a somadesse comprimento com a distância da corda ao centro da circunferência seja máxima?

Page 16: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

348 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Solução :

yy

rx

Figura 9.15: Exemplo [9].

Com as notações do desenho,� � �

�� ! ' � ; então � ! � ' � � � � . O comprimento da corda é� ! , � ; logo

� ! , � ' � � � � . Logo, a função que devemos maximizar é:� �A��� ! � � , � ' � � � � .

Derivando e igualando a zero:

� � �A��� ! �+� , �� ' � � � � !

[ � , � ! / ' � � � � � � � � ! ' � ��

� ! '� � 6Derivando novamente:

� � � �A��� ! , ' �� ' � � � � � � � � � � � � � '� � � ! � �� �; ' ��[ 6

Logo, �� � é ponto de máximo e� � �� � � !

� � ' .[11] Determine o cilindro circular reto de volume máximo que pode ser inscrito num conecircular reto.

Solução :

B E C

D

A

x

y

Figura 9.16: Seção bidimensional do problema.

Com as notações do desenho, sejam ' e � o raio e a altura do cone, respectivamente;�

e � o raioa altura do cilindro. Por outro lado, o � ��� � é semelhante ao � ��� � ; temos:

������ !

� �� � � �

�! '' � � � � ! � ' � ' � ��� ����� 6

Page 17: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

9.3. DERIVADA 349

O volume do cilindro é � ! � � � � ; logo, de�����

temos que a função a maximizar é:

��A�$� ! � �' � ' �

� � � � � 6Derivando e igualando a zero:

�� �A�$� ! � �' � , ' � � ��� � ! [ �

� ! [ ou� !

, '� 6como

���! [ , o único ponto crítico é� ! � �� . Estudemos o sinal de

, ' � � � :, ' � � � ) [ � [ �C��� , '�, ' � � ��� [ � � ) , '� 6

Então� ! � �� é ponto de máximo. Logo, o cilindro de volume máximo inscrito num cone tem

raio da base igual a,�� �

do raio da base do cone e altura igual a� � �

da altura do cone.

[12] Determine o trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio' .Solução :

B

CD

An

2r

y

x h

Figura 9.17:

O triângulo� � �

é retângulo pois é inscrito num semi-círculo; note que � ! , ' ��, ? . Sabe-mos que num triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e suaprojeção sobre a hipotenusa; logo:

� � ! , ' ? � ? !� �, ' e � ! , ' �-, ? ! , ' � �

�' 6

Então, o perímetro%

, é:

% �A��� ! , � �C, ' � ��' �C, ' � % �A��� ! ; ' �C, ��� �

�' 6

Derivando e igualando a zero:

% � �A�$� ! � , �' �C, ! [ � � ! ' 6

Page 18: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

350 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Derivando novamente: % � � �A��� ! � ,' � % � � � ' � ��[ 6Logo,

% ! � ' . O trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio' tem base maior igual a, ' , base menor igual a ' e lados não paralelos iguais a ' .

9.4 Integração

[1] Calcule � !� ��� � Y� �A�$� �=3>@? �A��� ��� = �A����� � .

Solução : Fazendo : ( ! ��� � Y� �A��� � � � ( ! QUR �� V �W� � V �W � � � � ( ! �

QURSTV �W ��� Q

V �W . Então:

� !� ( � ( ! ( �, � � ! ��� � � Y� �A��� �, � � 6

[2] Calcule � !� =3>@? �A��� ��� = �A����5� =3>@?

� �A����� � .Solução : Fazendo : Y ! =P>H? �A��� � � Y ! ��� = �A�$� � � . Então:

� !� Y�5� Y

� � Y ! � Y��� � Y � � � � Y !� ' � Y� � Y � �, � � ! � ' � Y� � =3>@? � �A�$� �, � � 6

[3] Calcule � !� �- �5��� � � / �����1� � � � �

�.

Solução : Note que����� � � / �������.��� � ! ���1� � �'������� � � � ������� ! �����1� � ������� � �����.�H� ,

então; - �5��� � � / ������� � � � ! / ����� � - ��� / ����� � 6Agora, fazendo: ( ! ��� / �5���.� � � ( ! �

� ������� � � �logo,

� !� � (� ( ! , � ( � � ! , - ��� / �������5� � 6

[4] Calcule � !� � � ' � Y� �A�$� � ? �A� � ����� � � .

Solução : Integramos por partes:

( ! � ? �A� � �#��� � � ( ! , ������ ��� �

��� ! � � ' � Y� �A�$� � � � � ! � � � ' � Y� �A��� � � 6

Page 19: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

9.4. INTEGRAÇÃO 351

Denotemos por � 8 !� � � ' � Y� �A�$� � � . Para achar � , novamente integramos por partes:

( ! � ' � Y� �A��� � � ( ! � ����1�.�� � ! � � � � � !

� �, 6

Logo:

� 8 !� � � ' � Y� �A���, � �, �

� ����1�.� � � !

� � � ' � Y� �A�$�, � �, �� �X� �

���1�.��� � �!� � � ' � Y� �A���, � �, ) �%� � ' � Y� �A�$� 2 ! �A�

� ����� � ' � Y� �A�$�, � � , 6Voltando a � : � � ( ! � � 8 )A�A� � ����� � ' � Y� �A��� � � 2 ! � � ' � Y� �A���&� � � � 8 e:

�� � ( ! � 8 � � ' � Y� �A���&� � �

Então:

� ! ( � � � � � ( ! �, ) ������� � � � ' � Y� �A���&� � 2 ) � ? �A� � �����/�C� 2 � � ' � Y� �A��� ��� � � 6[5] Calcule � !

� ��� =3>@? �A�$���� ��� = �O�A����� � .

Solução : Fazendo� ! � � Y , � � ! � � Y ; se

� ! [ , então Y ! � e se� ! � , então Y ! [ . Por ouro

lado: � =P>H? �A����5� ��� = � �A��� !� � � Y � =P>H? � � � Y ���� ��� = �O� � � Y � !

� � � Y � =P>H? � Y ��5� ��� = � � Y � 6Logo:

� ! �� ��� � � Y � =3>@? � Y ��5� � � = � � Y � � Y !

� ��

�:=P>H? � Y ���� ��� = �O� Y ��� Y� � �

, � !� ��

�:=P>H? �A������ ��� = �O�A����� � 6Observe que a integral definida não depende da variável de integração. Fazendo ( ! ��� = �A��� ,então � ( ! � =P>H? �A��� � � e:

, � ! � � � � 88� (��� ( � ! �

� 8� 8

� (�5� ( � ! � ) � ' � Y� �����/� � ' � Y� ���:��� 2 ! ��, 6

Logo � ! � �� .

[6] Verifique que: � 8���� � � � �

T �� !

, �T� ?�� � ��S, ? ����� � � ? � � 6

Page 20: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

352 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Solução : Fazendo� ! =3>@? � Y � , � � ! ��� = � Y � � Y ; se

� ! [ , então Y ! [ e se� ! � , então Y ! � � . Por

outro lado,���X� � � �

T �� ! � �X� =P>H? � � Y � � T ��� = � Y � � Y ! ��� = � T � 8 � Y � � Y , então:

� T! � 8�

���X� � � �T �� ! �

� � ��

��� = � T � 8 � Y � � Y �integrando por partes:

� T! ��� = � T � Y � =P>H? � Y �

����

� � ���C, ? �

� � ��

��� = � T � 8 � Y � =3>@?� � Y � � Y

! , ? �� � ��

��� = � T � 8 � Y � � Y �-, ?� � � ��

��� = � T � Y � � Y! , ? �

� � ��

��� = � T � 8 � Y � � Y �-, ? � T �isto é � T

!, ?, ? ��� � T � 8 , como � � !

� � � ��

��� = � Y � � Y ! � , logo:

� 8 !,� � � !

,� ! ��� ,��� �� � !

;� � 8 !

��� ,�� ;��� ��� �� � ! � � � � !

��� ,�� ; � ���� ��� � � �

� � ! <� � � !��� ,�� ; � � � <��� ��� � � ��� �

...

� T!

���*,�� ; � � � 6@6@6 � � , ? �-, ���*, ?��� ��� � � ��� 6@6@6 �-� , ? �C�����-� , ? ���������� 6

Multipliquemos�����

por��� ,�� ; � � � 6@6@6 �-� , ? ��, ��� , ?��� ,�� ; � � � 6@6@6 �-� , ? ��, ��� , ? , então:

� T!� ����� , ��� ,�� , ��� ,��� ��� ,� ; � 6@6@6 � ,+� ? ������� , ? � ���� ,� ��� ; � � � 6@6@6 �-� , ? �-, ��� , ? � , ? �����

!, �T� ��� ,�� ��� ; � � � 6@6@6 ��� ? ������� ? � �� , ? �#� � �

!, �T� ?�� � �� , ? ����� � 6

[7] Determine a área da região limitada pelas curvas� � ! ,� � e

� �� ! � ���� � � , onde

� � .

Solução : Se mudamos�

por�+�

, as equações não mudam, logo as curvas são simétricas emrelação ao eixo dos � . Determinemos as interseções das curvas com os eixos coordenados. Se

Page 21: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

9.4. INTEGRAÇÃO 353

� ! [ , então � ! [ e � �� �

�� ! [ ; se � ! [ , então

� ! [ ; logo os pontos�E[ � [ � e

�E[ � �� são ospontos de interseção das curvas com os eixos coordenados. Escrevendo � ! ���� e � ! � 2 � � � � ,determinamos a interseção das curvas, resolvendo o sistema:

� ! ����� ! � 2 � � � � �

donde,� � � � � � �C,� � ! [ ; fazendo ( ! � � temos ( � � � ( �C,�

�! [ e

� ! � . Note que� ! [ é o único ponto crítico de ambas as curvas; para a parábola é um ponto de mínimo e paraa outra curva é um ponto de máximo.

Figura 9.18: Região do exemplo [7].

Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultadopor 2:

� ! , ��

�� ��.� � .� �

� �,� � � � ! � )�� , � �� 2 ( 6 � 6

[8] Determine a área da região limitada pela curva� � � � � �

�� ! [ e pelos eixos coordenados.

Solução : Se mudamos�

por�X�

e � por�� , a equação não muda, logo a curva é simétrica

em relação ao eixo dos�

e dos � . Determinemos os pontos de interseção da curva com os eixoscoordenados. Se

� ! [ , então � ! [ e se � ! [ , então� � �A� � � ��� ! [ ; logo os pontos

�E[ � [ � , ���:� � [ �e��� � [ � são os pontos de interseção da curva com os eixos. Consideramos � ! � � � �X� � � ; logo� � � �:� � � � . Não é difícil ver que em

� ! [ a curva possui um ponto de mínimo local e que� ! � � �� são pontos de máximo local.

-1 1

0.4

-1 1

0.4

Figura 9.19: Região do exemplo [8].

Page 22: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

354 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultadopor,.

� ! , � 8�� � / �X� � � � � 6

Fazendo� ! =3>@? � Y � , então � � ! ��� = � Y � � Y e

� � � �X� � � � � ! =3>@? � � Y � ��� = � � Y � � Y ; então:

� ! , �� � �� =3>@? � � Y � ��� = � � Y � � Y !

�, �

� � ��

� , =P>H? � Y � ��� = � Y � � � � Y!�, �

� � �� =3>@? � � , Y � � Y !

�;� � � ��

�(�X� ��� = � ; Y � � � Y! � < ( 6 � 6

[9] Determine a área da região limitada pelas curvas����� � � < � ! [ , ; � � � � � � � ! [ ,

�� � � �C� ! [ e o eixo dos � .

Solução : Determinemos as interseções das curvas:

����� ��� � � ! < �; � � � � ! � �

� , � ��� � � ! < �

�� � � ! �

� � � ; � � � � ! � ��� � � ! �

De�����

obtemos � ! � � , logo� ! � ; de

� , �obtemos � ! �@[ , logo

� ! � e de� � �

obtemos � ! � ,logo

� ! , .

1 2 3 4 5 6

4

5

9

10

1 2 3 4 5 6

4

5

9

10

Figura 9.20: Região do exemplo [9].

Logo:

� ! , ��� / � � ; � � � � 8 �� /

���� � � � �

� 8 �# /�� � � � ! , [ ( 6 � 6

[10] Determine o volume da calota esférica de altura � se a esfera tem raio�

.

Page 23: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

9.4. INTEGRAÇÃO 355

h

R

Figura 9.21: Região do exemplo [10].

Solução : Fazendo uma rotação da esfera se for necessário, consideramos � ! � � � � �.�e a

seguinte região:

RR-h

Figura 9.22:

Logo:

� ! � ���� ���

� / � � � ��� � � � � ! � ���� ���

� � � � � � � � � ! � ) � � ��� � �� ����

� ��� 2 !� � � � � � � � �� ( 6 � 6

Em particular, se � ! �, então � ! � � � 2� é o volume da semi-esfera de raio

�; se � ! , �

então� !

� � � 2� é o volume da esfera de raio�

.

[11] Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelascurvas � ! > � � ��� , � ! > � �#� e o eixo dos

�, em torno do eixo dos

�.

Solução : Determinemos os pontos de interseção das curvas:

� ! > � � ���� ! > � ��� � > � � � > � � , ! [ � > � ! , �

� ! � � ? � , � 6

Page 24: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

356 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2

1

2

3

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2

1

2

3

Figura 9.23: Região do exemplo [11].

Logo:

� ! � � ���� TV � W

� � > � ��� � � � � > � � ��� � � � � � ! � � ���� T V � W)7� > � � ��� > � � �C, > � 2 � �

!�O� �; ( 6 � 6

[12] Calcule o comprimento de arco da curvas � � � ! � � situado dentro do círculo� � �

�� ! � .

Solução : Determinemos os pontos de inteseção das curvas: � � � ! � �� � ��� ! � � � � � � � � � � ! � � ������� � � � � � � � � � ! [ � � ! � 6

-1-2 1 2

-1

-2

1

2

Figura 9.24: Região do exemplo [12].

Pela simetria da curva, consideremos� ! � � � � � � , derivando

� � ! � � �� � 8�� � ; então:

� ! , � 8�, ��� ; � �; � � 6

Fazendo ( ! ���� � ��

, obtemos:

� ! <; �� 8 � � � � �8

� ( � ( ! � � ;, � ( 6 � 6

Page 25: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

9.4. INTEGRAÇÃO 357

[13] Calcule a área da região determinada por �� ! 2�

��� e sua assíntota, � �! [ .Solução : Se mudamos � por

�� , a equação não muda, logo a curva é simétrica em relação ao

eixo dos�

. Note que a curva intersecta os eixos na origem.

Figura 9.25: Região do exemplo [13].

A equação da assíntota é� ! , � ; então consideramos � ! - �2�

��� e:

� ! , ���

�, � �, � � � � � ! , ������( � � M

� ��, � �, � � � � � 6

Fazendo� ! , � =P>H? � � Y � , temos que � � ! ; � =3>@? � Y � ��� = � Y � � Y . Por outro lado:

, � �, � � � � � !� � �� , � � � � � ! < �

� =3>@?� � Y � � Y 6

Temos,� ! [ � Y ! [ e

� !�� � =3>@? � � Y � ! �� � ; se �Z\, � � � Y ! � � . Então:

, � ��, � �, � � � � � !

� �, ) =P>H? � ; Y �&� < =P>H? � , Y � ���H, Y 2 � �! ��, ) =P>H? � ; � �/� < =P>H? � , � � �#�H, � 2 6

Logo:� ! ������( � � �

� �, ) =P>H? � ; � �/� < =P>H? � , � � �#�H, � 2 ! � � � � ( 6 � .

[14] Calcule a área da região limitada pela curva � !�

���&�A� ����� , ���'� e o eixo dos�

.

Solução : Devemos calcular a área da região ilimitada:

Page 26: Exercicio Resolvido Munem Vol1 Calculo 1

358 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS

Figura 9.26: Região do exemplo [14].

Logo:

� ! � �"!8

� ��.�/�A� �#��� ! ������ �"!� �

8� ����/�A� �����

! � ���� �"!� �

8� � �� � �� � � �

� ��� � � � ! ��� �� �"! )7� � ? � � � ��� ���5� � ? � � �����/� � ? � , � 2

! � ���� �"! ) � ? � ����� � � �� ���X� � ? � , � 2 ! � ���� �"! ) � ? �(���

�� � �

�� ��� � � ? � , � 2! � �X� � ? � , � � ( 6 � 6