exercicio completo de vigas

Projeto de Vigas de Pequeno Porte Parcialmente Protendidas com Monocordoalhas Engraxadas 77

MESTRANDO: Diogo Schreiner Zanette ORIENTADOR: Daniel Domingues Loriggio

transversal retangular, carregamento tpico de edifcios e vo relativamente mdio para concreto protendido.

Alm disso, ao apresentar os critrios de projeto, procura-se solucionar um problema especfico: o dimensionamento inicial de uma viga de concreto armado apresenta flecha acentuada e, embora tenha resistncia adequada s solicitaes ltimas, no satisfaz o estado limite de servio de deformao excessiva ELS-DEF. A proposta deste exemplo , ento, manter a mesma dimenso da seo de concreto e utilizar um nvel de protenso parcial necessrio para que as flecha finais estejam dentro dos limites estabelecidos pela norma.

Dados gerais do exemplo

A viga da figura 24 biapoiada e tem vo livre L=12,0m. Carregamentos: cargas permanentes g=15,0kN/m e carga acidental q=5,0kN/m. Classe de agressividade ambiental II, concreto C30, cobrimento mnimo cnom=3,0cm para armaduras passivas e cnom=3,5cm para armaduras ativas. Dados: concreto (fck=30MPa, fcd=21,43MPa, fctm=2,90MPa e Ecs=26.070MPa); ao CA50 (fyd=435MPa e Es=210.000MPa); cordoalha engraxada ao CP190-RB (=12,7mm, Ap=1,014cm, Po=130kN e P=120kN).

L=12,0m

g+q=20,0kN/m

bw

h

SEO

Figura 24: Viga isosttica biapoiada do exemplo de aplicao 1

Inicialmente calculam-se os momentos fletores caractersticos:

kNmmmkNgLM kg 0,2708)0,12(/0,15

8

22

, ===

kNmmmkNqLM kq 0,908)0,12(/0,5

8

22

, ===

kNmM kqg 0,360, =+

4.1.1 Viga isosttica de concreto armado

A primeira parte deste exemplo o dimensionamento de uma viga de concreto armado que tenha suficiente resistncia ao ELU, mas que tenha um valor de flecha alm do limite admitido pela NBR6118:2003. Aps algumas tentativas preliminares para pr-dimensionamento, optou-se por uma seo transversal com dimenses de 20x85cm, cujas propriedades geomtricas brutas no estdio I so:



2700.18520 cmcmcmhbA wc ===

433

542.023.112

)85(2012

cmcmcmhb

I wc ===

34

083.245,42542.023.1 cm

cmcm

yIW

t

c ===

ELU Flexo

A partir da combinao dos momentos fletores caractersticos Mg,k e Mq,k , obtm-se o momento fletor solicitante de clculo MS,d no ELU:

kNmkNmMMM kqqkggdS 0,904,10,2704,1,,, +=+= kNmM dS 0,504, =

Abaixo, apresenta-se sucintamente o dimensionamento da seo de concreto armado, feito com base na figura 25, considerando apenas a armadura de trao e que a seo atinja o ELU no domnio 3.

d =

76,7

x =

26,1

c=3,5

s

0,85fcd

Rcc

Rst

0,8

x

Figura 25: ELU Distribuio de tenses e deformaes da seo de concreto armado no domnio 3 com

apenas armadura de trao

Assim, estabelecendo o equilbrio dos esforos horizontais, FH=0, obtm-se a seguinte expresso para calcular a posio da linha neutra x:

( )=

=

285,0

5,125,25,2 2

wcd

Sd

bfMdd

x

( )=

=

220/143,285,0

504005,127,765,27,765,2 22

cmcmkNkNcmcmcm

x

cmx 1,26= Para que a seo atinja a ruptura no domnio 3, deve-se ter a altura x da linha neutra

entre 0,259d e 0,628d, ou seja: 19,9 < x < 48,2. Como a seo cumpre a hiptese de domnio 3, a



armadura de trao As pode ser calculada pelo equilbrio dos momentos, My=0, na altura da fora resultante de compresso no bloco de concreto, que resulta na seguinte expresso:

( ) ( ) 22 5,171,264,07,76/5,4350400

4,0cm

cmcmcmkNkNcm

xdfM

Ayd

Sds ===

Considerando as bitolas usuais para as barras da armadura passiva, escolhem-se quantidades de barras de trao e compresso cujas reas As e As mais se aproximam das calculadas. A figura 26 mostra a configurao final da seo de concreto armado.

d' =

4,1

d =

76,7

d'' =

8,3

bw = 20,0

h =

85,0

As

As' As' = 2,5cm (2 x 12,5mm)

As = 17,2cm (14 x 12,5mm)

Figura 26: ELU Seo transversal de concreto armado com armaduras passivas de trao e compresso

Repetindo-se os procedimentos de clculos para essas novas armaduras e levando em conta suas posies reais, o momento resistente de clculo MR,d dessa nova seo supera o momento solicitante de clculo MS,d , justificando, portanto, a escolha das armaduras:

kNmMkNmM dSdR 0,5045,512 ,, =>=

ELS-W Abertura de fissuras

A partir da combinao freqente dos momentos fletores caractersticos Mg,k e Mq,k , obtm-se o momento fletor de clculo Md,ser para o estado limite de servio de abertura de fissuras:

kNmkNmMMM kqkgserd 0,904,00,270,1,, +=+= kNmM serd 0,306, =

O momento de fissurao da seo de concreto armado em estudo :

kNmcm

cmcmkNy

IfM

t

cmctr 8,1045,42

542.023.1/290,05,1 42, ===

Como o momento de servio Md,ser atuante na seo supera o momento de fissurao Mr, deve-se proceder verificao da abertura de fissuras no elemento. Sendo, para concreto armado em ambiente de agressividade ambiental II, o limite de abertura de fissuras wk=0,3mm.



Para essa verificao de abertura de fissuras, devem-se calcular as propriedades geomtricas da seo no estdio II considerando a relao entre os mdulos de elasticidade e igual a 15. O clculo dessas propriedades segue o procedimento apresentado no Anexo B:

2

4

2,939

507.760

3,32

cmA

cmI

cmx

II

II

II

===

Essa checagem da fissurao segue o item 17.3.3.2 da NBR 6118:2003 e mostrada na figura 27.

bw = 20,0

LINHA NEUTRA

Acr

23,2

9,4

x =

32,3

d =

76,7

13,8

Figura 27: ELS-W Determinao da rea do concreto de envolvimento na seo de concreto armado

22,17

475,95,75,12

cmA

cmcm

s ==

=

150,4642,230,20

25,22

1

===

=

e

cr cmA

03707,0

0,4642,17

2

2

===cm

cmAA

cr

sr

A tenso s no centro de gravidade do conjunto de armaduras passivas, mostrado na figura 27, para o carregamento de servio, :

( ) ( ) 24

, /8,26507.760

3,327,76600.3015 cmkNcm

cmcmkNcmI

xdM

II

IIserdes ===

MPas 268= A abertura de fissuras w , ento, dada pelo menor valor entre as duas expresses a

seguir:

mmMPaMPa

MPaMPamm

fEw

ctm

s

s

s 16,090,22683

000.210268

25,25,125,123

5,12 11 ===

mmMPa

MPammE

wrs

s 09,04503707,0

4000.210

26825,25,12

5,124545,12 1

2 =

+=

+=

Respeita-se, ento, o estado limite de servio de abertura de fissuras ELS-W da viga , pois:



mmwmmw k 30,009,02 =



cmcmcmkN

cmcmkNIE

Lw

eqcs

serd 4,3136.505/607.2

)200.1(/165,0384

5384

542

44,

0 ==

=

Em se tratando de vigas de concreto armado, a flecha adicional diferida pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicao da flecha elstica imediata pelo fator f, obtido da seguinte forma:

35,100163,0501

46,1'501

=+=+= f

onde:

um coeficiente funo o tempo;

estabelece-se que a flecha de interesse seja a flecha final e que o carregamento inicial aplicado aos 15 dias, dessa forma o coeficiente calculado, conforme as prescries do item 17.3.2 da NBR6118:2003, assim:

46,154,02)()( 0 === tt e a taxa de armadura de compresso, que influencia positivamente nas deformaes por fluncia, calculada por:

00163,07,7620

50,2''2

=== cmcmcm

dbA

w

s

Ento o valor da flecha total, na viga de concreto armado, pode ser obtido multiplicando-se a flecha elstica imediata por:

cmcmf 0,8)35,11(4,3)1(0 =+=+=

cmcmL 8,4250

1200250lim

===

Apesar de a viga ter resistncia suficiente (ELU) e atender ao limite de abertura de fissuras (ELS-W), ela excede o estado limite de deformao (ELS-DEF). A flecha total estimada da viga ficaria em torno de 8,0cm, tendo valor de quase o dobro da flecha limite lim da NBR6118:2003.

4.1.2 Viga isosttica protendida com cordoalhas engraxadas

A segunda parte deste exemplo de aplicao o dimensionamento de uma viga de concreto protendido com cordoalhas engraxadas que tenha a mesma seo transversal da viga de concreto armado, mas que possua flecha no meio do vo dentro dos limites da norma.

Observao importante: a primeira deciso de projeto a ser tomada qual parcela do carregamento deve ser contrabalanada pelo carregamento equivalente de protenso. Para esta viga em particular, define-se uma fora de protenso que balanceia em torno de 50% do carregamento permanente. Entretanto esse no um valor fixo para todos os casos indiscriminadamente. Neste



caso especfico, o que determinou a escolha por 50% do carregamento foi a anlise da flecha no meio do vo. Foram testados vrios valores da fora de protenso P referentes a parcelas do carregamento permanente variando de 30% at 100%. Para foras menores de 50%, a flecha do elemento ultrapassa o limite. Para foras maiores, o elemento atende a flecha limite, mas no se fissura em servio, no sendo, assim, protenso parcial. Para foras prximas a 100%, o elemento apresenta contraflecha. Ou seja, neste exemplo, o critrio determinante para a definio da fora P foi a deformao do elemento em servio.

Escolha da fora de protenso

Definida a seo transversal com dimenses de 20x85cm, necessita-se escolher uma fora de protenso P para contrabalanar uma parcela do carregamento da viga. Neste exemplo, escolhe-se preliminarmente um carregamento equivalente de protenso wp que equilibra em torno de 50% do carregamento permanente g uniformemente distribudo:

mkNmkNgw kp /5,7/0,1550,050,0, === Para que os cabos de protenso exeram um carregamento uniformemente distribudo,

eles devem possuir traado parablico. Como, neste exemplo, a excentricidade ep mxima desses cabos 31,9 centmetros esse valor obtido pela localizao das armaduras, conforme ilustrado na figura 30 a seguir , a fora de protenso P deve ser:

( ) kNm

mmkNeLw

Pp

p 2,423319,08

12/5,78

22

==

=

Conforme comentado no item 3.1.2, desta dissertao, adota-se a prtica usual americana para a considerao aproximada das perdas de protenso em elementos com cabos no aderentes. Desse modo a fora de protenso de cada cordoalha engraxada de dimetro 12,7mm a seguinte:

P=120,0kN, considerando as perdas totais imediatas e progressivas.

ento:

5,30,1202,423 =kNkN , portanto adotam-se 3 cordoalhas.

Assim, para 3 cordoalhas:

kNPkN 0,3601203 = 2

2 04,3014,13 cmAcm p =

( )gmkNwm

mkNL

ePw kp

pkp ==

= %43/4,6)12(

319,036088,22,

kNmMmmkNLw

M kpkp

kp 8,1148)12(/4,6

8 ,22

,, ==

=



ELU Verificao simplificada da capacidade resistente no ato da protenso

De maneira simplificada, pode-se fazer a verificao com as tenses na seo transversal calculadas no estdio I, desde que respeitem os limites para as tenses de compresso e trao. Neste exemplo, considera-se a protenso aplicada 7 dias aps o lanamento e seja empregado cimento CPV-ARI, assim as resistncias de interesse do concreto nessa essa idade so:

82,0728

120,028

1

1 ===

ee ts

MPaMPaff ckjck 56,243082,01, ===

( ) ( ) MPaMPaff ckjjctm 53,25,243,03,0 3 23 2, === e as tenses limites de compresso e trao do concreto so:

MPaf jckC 19,1770,0 ,lim, == MPaf jctmT 04,320,1 ,lim, ==

Como no instante da transferncia da protenso processam-se somente as perdas imediatas, a fora efetiva para cada cordoalha engraxada de 12,7mm P0=130,0kN, conforme visto no item 3.1.2, que trata da escolha das perdas de protenso. Assim, o carregamento externo equivalente no ato da protenso calculado da seguinte maneira:

1 cordoalha de 12,7mm Po=130,0kN (considerando somente as perdas imediatas);

ento, para 3 cordoalhas: kNPkN 3901303 0 = . Assim, o carregamento externo equivalente wPo,k no ato da protenso :

mkNwm

mkNL

ePw kPo

pkPo /9,6)12(

319,00,39088,22

0, ==

=

e, como se trata de uma viga biapoiada, o momento fletor MPo,k no meio do vo gerado por esse carregamento uniformemente distribudo pode ser calculado com a conhecida frmula:

NmMmmkNLw

M kPokPo

kPo 4,1248)12(/9,6

8 ,22

,, ===

Nessa ocasio, atua somente a parte do carregamento permanente g correspondente ao peso-prprio da estrutura. Considera-se ento que essa carga :

mkNg k /5,12,1 = sendo o momento fletor caracterstico Mg1,k relativo a esse carregamento o seguinte:

kNmLg

M kkg 0,2258125,12

8

22,1

,1 ===



O momento fletor solicitante de clculo MSd pode ser obtido pela combinao de aes considerando as solicitaes ponderadas por p = 1,1 e por f = 1,0:

)4,124(1,10,2250,1,,1, kNmkNmMMM kPopkgfdS +=+= kNmM dS 2,88, +=

Ento, as tenses atuantes na seo transversal mais solicitada da viga, calculadas no estdio I, so:

MPacmkNcm

kNA

P

c

pPod 52,2/252,01700

0,3901,1 22

0 ====

MPacmkNcmkNcm

WM dS

Md 66,3/366,0240830,8820 2

3, ====

MPacd 18,666,352,2,sup == MPacd 14,166,352,2,inf +=+=

Po,d

-

h =

85

bw = 20

+ =

Ms,d+ 1,14 < 1,2 fctm,j- 2,52

- 2,52

+ 3,66

- 3,66 - 6,18 > 0.7 fck,j

=+3,04

=-17,19

Figura 28: ELU Distribuio de tenses no ato da protenso com a seo no estdio I

Como pode ser visto na figura 28, no ato da protenso a seo est quase totalmente comprimida, e as tenses de trao e de compresso esto dentro dos limites da NBR 6118:2003.

ELU Flexo

Os momentos isostticos de protenso no devem ser includos nas combinaes de aes para estado limite ltimo. Assim o momento fletor solicitante de clculo MS,d obtido somente pela combinao dos momentos caractersticos Mg,k e Mq,k , pois, como a viga isosttica, no se formam esforos hiperestticos:

kNmkNmMMM kqqkggdS 0,904,10,2704,1,,, +=+= kNmM dS 0,504, =

Neste exemplo, est se tratando de cordoalhas engraxadas, que no possuem aderncia com o concreto. Portanto a tenso pd atuante no ELU no depende da deformao do concreto em seu entorno, assim sua determinao pode ser feita a partir de um acrscimo de tenso p calculado da seguinte forma:



002043,04,7420

04,3 2 === cmcmcm

dbA

pw

pp

MPaMPaf

p

ckp 217002043,0100

3070100

70 =+=+=

Esse acrscimo de tenso p considerado a partir da tenso de pr-alongamento da armadura ativa pi:

MPacmkNcmkN

AP

ppi 1184/4,11804,3

360 22 ====

MPaPPiP 14012171184 =+=+= Ento, a tenso total de clculo pd atuante no ao de protenso no ELU :

MPaMPa

s

PPd 121815,1

1401 ===

Neste ponto do clculo, j se definiram as dimenses da seo transversal e a armadura ativa Ap do elemento, restando ainda ajustar a quantidade de armaduras passivas As para que se atinja a capacidade resistente necessria viga. No item 3.3.1, que trata do estado limite ltimo de flexo, sugere-se um procedimento para se avaliar o momento resistente de uma seo de concreto. Esse procedimento possui alguns processos iterativos e, portanto, foi implementado em uma planilha eletrnica. Aqui, apresenta-se apenas a ltima iterao.

A figura 29 mostra a seo transversal de uma viga de concreto protendido com cordoalhas engraxadas e armaduras passivas de trao e de compresso, assim como suas deformaes especficas e as foras resultantes de suas tenses de trao e compresso no estado limite ltimo. Para a seo de dimenses bw=20cm e h=85cm, as armaduras passivas escolhidas foram:

armadura de trao, 7 x 12,5mm, As=8,60cm armadura de compresso, 2 x 12,5mm, As=2,50cm

resultando nos seguintes alturas teis: d s = 79,5cm d p = 74,4cm ds = 4,10cm



c

s

0,8x

0,85fcd

Rcc

RstRpt

dpds

ds'

Ap

(a) (b) (c)

x

Rscs'

p

Figura 29: ELU Distribuio tpica de tenses e deformaes em sees de concreto protendido com cordoalhas engraxadas no ELU

O processo iterativo inicia-se com a escolha de uma altura x para a linha neutra. Em seguida, calculam-se, a partir das relaes lineares da configurao deformada da seo transversal plana, as deformaes unitrias do concreto c e das armaduras passivas s e s conforme ilustrado na figura 29(b). Como ainda no se sabe em qual domnio do ELU a seo encontra-se, as deformaes devem ser calculadas para os trs domnios de flexo. Para esta seo transversal especfica, a ruptura acontece no domnio 3, com os seguintes valores de linha neutra e de deformaes especficas:

cmx 8,21=

1,48,21'

8,215,798,215,3

''

====ss

s

s

s

sc

dxxdx

260,9=s 842,2'=s

As tenses nas armaduras passivas sd e sd so funo das deformaes locais s e s da seo e dos diagramas x do ao empregado. Para as deformaes calculadas, as tenses so iguais a tenso de escoamento do ao, uma vez que as deformaes so maiores que yd :

MPasdsd 435'== Pelo procedimento proposto, o valor de x deve ser alterado at que se obtenha o

equilbrio dos esforos horizontais na seo transversal de concreto. A partir da figura 29(c) podem-se escrever as seguintes equaes tenses em kN/cm2:

0= xR 0=+ ptstsccc RRRR

onde:

( ) ( ) ( ) ( ) kNfxbAR cdwcdccc 5,635143,285,08,218.02085,08.0 ==== kNAR sdssc 7,1085,435,2'' === kNAR sdsst 9,3735,436,8 ===



kNAR pdppt 3,3708,12104,3 === Finalmente, com cada fora horizontal resultante definida, pode-se obter o momento

resistente MRd da seo transversal pela equao de equilbrio dos momentos em relao linha neutra tenses em kN/cm2:

0= zM ( ) ( ) ( ) ( )xdRxdRdxRxxRM pptsstsscccRd += '4,0 ( ) ( ) ( ) ( )8,214,743,3708,215,799,3731,48,217,1088,214,08,215,635 +++=RdM

kNmMkNmM SdRd 0,5049,512 =>= O processo deve ser repetido tantas vezes forem necessrias para que se obtenha um

dimensionamento que atenda, de forma satisfatria, os requisitos de resistncia, ou seja, at que MRd>MSd. Como comprovado, a seo transversal, mostrada na figura 30, tem a capacidade resistente necessria no ELU.

ds'=

4,1

ds =

79,

5ds

''=5,

5

bw = 20,0

h =

85,0

As' = 2,5cm (2 x 12,5mm)

As = 8,60cm (7 x 12,5mm)

Ap = 3,04cm (3 x 12,7mm)

dp"=

10,6

dp =

74,

4

ep=3

1,9

42,5

CG

Figura 30: ELU Seo transversal de concreto protendido com cordoalhas engraxadas

ELS-W Abertura de fissuras

O momento fletor de clculo Md,ser para o estado limite de servio de abertura de fissuras obtido a partir da combinao freqente, que considera os momentos permanentes Mg,k e Mp,k integralmente e os momentos variveis Mq,k ponderados por 1:

kNmkNmkNmMMMM kqkpkgserd 0,904,0)8,114(0,270,1,,, ++=++= kNmM serd 2,191, =

O momento de fissurao Mr,p da seo de concreto protendido pode ser determinado pelas seguintes equaes:

kNmkNcmkNcmcmcmkNMW

APM kP

c8,16516580400.1124083

1700360 3

2,0 ==+=+=

kNmcm

cmcmkNkNcmy

IfMM

t

cmctr 6,2705,42

1023542/290,05,11658042

,0 =+=+=



e o momento Ma atuante na seo, para a combinao freqente de aes, no considerando os momentos fletores gerados pela protenso que j esto includos no clculo de Mr, o seguinte:

kNmkNmkNmMMM kqkga 0,3060,904,00,270,1, =+=+= Como o momento atuante Ma=306,0kNm supera o momento de fissurao

Mr=270,6kNm da seo, deve-se verificar se o nvel de fissurao do elemento compatvel com os limites definidos pelas normas tcnicas. A abertura limite de fissuras para concreto protendido em ambiente com classe de agressividade II mmwk 2,0= . Essa checagem da fissurao segue o item 17.3.3.2 da NBR 6118:2003, ver figura 31.

bw = 20,0

LINHA NEUTRA

Acr

16,7

5

7,3

9,4

x =

25,1

ds =

79,

5

Figura 31: ELS-W Determinao da rea do concreto de envolvimento na seo de concreto protendido

26,8

375,95,725,1

cmA

cmcm

s ==

=

150,33575,160,20

25,22

1

===

=

e

cr cmA

02567,0

0,3356,8

2

2

===cm

cmAA

cr

sr

Para essa verificao de abertura de fissuras, devem-se calcular as propriedades geomtricas da seo no estdio II considerando a relao entre os mdulos de elasticidade e igual a 15. O clculo dessas propriedades segue o procedimento apresentado no Anexo B:

2

4

5,665

614.502

1,25

cmA

cmI

cmx

II

II

II

===

A tenso s no centro de gravidade do conjunto de armaduras passivas, mostrado na figura 31, para o carregamento de servio, :

( ) ( )42

,

614.5021,255,791912015

5,66536015

cmcmcmkNcm

cmkN

IxdM

AP

II

IIsserde

IIes

+=+=

MPacmkNcmkNcmkNs 229/9,22/0,31/1,8222 ==+=

A abertura de fissuras w , ento, dada pelo menor valor entre as duas expresses a seguir:

mmMPaMPa

MPaMPamm

fEw

ctm

s

s

s 11,090,22293

000.210229

25,25,125,123

5,12 11 ===



mmMPa

MPammE

wrs

s 10,04502567,0

4000.210

22925,25,12

5,124545,12 1

2 =

+=

+=

Como mmwmmw k 20,010,02 =



mmmmmmkkcseffp

mxr 2,18702493,05,125,08,0425,0304,3425,04,3

,

21, =+=+=

Finalmente, a abertura caracterstica das fissuras wk calculada por:

( ) ( ) mmmmsw cmsmmxrk 17,010134,92,187 4, === ELS Deformao

O momento fletor de clculo Md,ser para o estado limite de servio de deformao excessiva obtido a partir da combinao quase-permanente dos momentos fletores caractersticos, que considera os momentos permanentes Mg,k e Mp,k integralmente e os momentos variveis Mq,k ponderados por 2:

kNmkNmkNmMMMM kqkpkgserd 0,903,0)8,114(0,270,2,,, ++=++= kNmM serd 2,182, =

Da mesma forma, o carregamento atuante em servio wd,ser dado por:

mkNmkNmkNqpgw serd /0,53,0)/4,6(/0,152, ++=++= cmkNmkNw serd /101,0/1,10, ==

E o momento atuante Ma na seo, para combinao quase-permanente de aes, no levando em conta os momentos da protenso uma vez que j esto includos no clculo de Mr, o seguinte:

kNmkNmkNmMMM kqkga 0,2970,903,00,270,2, =+=+= Como o momento atuante Ma=297,0kNm supera o momento de fissurao da seo

Mr=270,0kNm, a flecha imediata 0 da viga deve ser calculada considerando a rigidez equivalente EIeq do elemento. Para isso, deve-se calcular o momento de inrcia III no estdio II considerando, neste caso de verificao das flechas, o coeficiente e efetivamente como sendo a relao entre os mdulos Es e Ecs:

05,8070.26000.210 ===

MPaMPa

EE

cs

se

Assim, os parmetros geomtricos da seo no estdio II, incluindo o momento de inrcia III, calculados de acordo com o Anexo B, so os seguintes:

2

4

3,480

976.302

7,19

cmA

cmI

cmx

II

II

II

===

O momento de inrcia Ieq do elemento, para um momento atuante na seo crtica de Ma=297,0kNm, obtido por:



( )IIca

rIIeq IIMM

MMII

+=

3

0

0

( )4

443

4

221.670

976.302542.023.18,1650,2978,1656,270976.302

cmI

cmcmkNmkNmkNmkNmcmI

eq

eq

=

+=

Em vigas biapoiadas com carregamento uniformemente distribudo, a flecha imediata elstica calculada pela bem conhecida frmula:

cmcmcmkN

cmcmkNIE

Lw

eqcs

serd 5,1221.670/607.2

)200.1(/101,0384

5384

542

44,

0 ==

=

Em se tratando de vigas de concreto protendido, a flecha adicional diferida pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicao da flecha elstica imediata por (1+), onde o coeficiente de fluncia. Considerando uma umidade ambiente de 75%, uma espessura fictcia de aproximadamente 20cm e primeiro carregamento aos 20 dias, obtm-se =2,2. Ento o valor da flecha total pode ser obtido multiplicando-se a flecha elstica imediata 0 por:

cmcm 8,4)2,21(5,1)1(0 =+=+= Portanto, a viga atende ao estado limite de servio de deformao excessiva ELS-DEF,

uma vez que a flecha limite para o elemento :

cmcmL 8,4250

1200250lim

===

Graus de protenso p e p

O grau de protenso p avalia uma determinada pea quanto ao aparecimento de tenses de trao na seo transversal ao ser solicitada pelo momento de servio mximo:

46,00,3608,165

,

0 ===+ kNm

kNmM

M

mxqgp

onde:

kNmkNmkNmMMM qgmxqg 0,36090270, =+=+=+

kNmkNcmcmcmkNMW

APM p

c8,165480.11083.24

700.10,360 3

20 =+=+=

O grau de protenso p representa a porcentagem do momento resistente ltimo absorvida pela armadura ativa:

55,043560,8148704,3

148704,322

2

=+=+

=MPacmMPacm

MPacmfAfA

fA

ydspydp

pydpp



4.1.3 Consideraes a respeito do exemplo de aplicao 1

Em termos prticos, pode-se buscar uma soluo estrutural para determinada obra da mesma maneira que foi apresentado este exemplo. Ou seja, em uma situao em que imposto um limite para a altura mxima de uma viga, sem que seja possvel um dimensionamento em concreto armado que no ultrapasse a flecha mxima permitida, pode-se solucionar o problema da deformao excessiva, mantendo a mesma seo de concreto, com o uso de cordoalhas engraxadas. Entretanto, para que se cumpram os estados limites da viga agora protendida, pode-se obter um dimensionamento com protenso parcial, limitada ou completa, bem como a viga pode fissurar-se em servio ou manter-se ntegra.

O principal parmetro de controle empregado durante a elaborao deste exemplo de aplicao foi a flecha no meio do vo. Alm do mdulo de elasticidade Ecs, do tipo dos apoios e do

vo da estrutura, outros dois valores influenciaram no clculo da deformao: o carregamento atuante em servio e o momento de inrcia Ieq da seo. O carregamento em servio funo

direta do carregamento equivalente de protenso, e o momento de inrcia depende essencialmente do nvel de fissurao e da quantidade de armaduras passivas efetivamente existentes no elemento. Logo a flecha da viga no pode ser calculada a menos que o traado e a quantidade de cordoalhas

engraxadas e as armaduras passivas da viga estejam definidas.

Como o objetivo deste estudo tratar, no apenas de vigas com cordoalhas engraxadas, mas de protenso parcial e, conseqentemente, de sees fissuradas em servio, buscou-se apresentar uma viga dimensionada de modo que englobasse todas essas caractersticas. Assim o exemplo de aplicao foi sendo refeito at se obter um exemplo representativo de viga com protenso parcial e monocordoalhas engraxadas.

Tabela 10: Comparao dos resultados do exemplo de aplicao 1

Concreto armado Concreto protendido com cordoalhas engraxadas Dimenso da seo transversal bw x h 20 cm x 85 cm

Momento solicitante MS,d 504,0 kNm Momento resistente MR,d 512,5 kNm 512,9 kNm

Momento caracterstico total Mg+p+q 360,0 kNm 245,2 kNm(1) Armadura passiva As 17,2 cm - 14 x 12,5mm 8,6 cm - 7 x 12,5mm

Armadura ativa Ap - 3,0 cm - 3 x 12,7mm Momento de fissurao Mr 104,8 kNm 270,6 kNm

Tenso na armadura passiva s 268 MPa 229 MPa Abertura de fissura w 0,09 mm 0,10 mm Inrcia equivalente Ieq 505.136 cm4 677.670 cm4

Flecha elstica o 3,4 cm 1,5 cm Flecha diferida 8,0 cm 4,8 cm

Nota(s): 1. Considerando que a protenso exerce um carregamento externo ascendente e, portanto, um momento fletor negativo.



Na tabela 10, apresenta-se a comparao de alguns parmetros do clculo da viga de concreto armado e de sua equivalente em concreto protendido com cordoalhas engraxadas. Analisando a tabela, percebe-se que as duas sees transversais possuem praticamente o mesmo momento fletor resistente MRd , por isso ambas cumprem plenamente os requisitos analticos de segurana. Em relao viga de concreto armado, a viga protendida possui metade da armadura passiva As , de forma que a resistncia ltima a soma das parcelas formadas pelas armaduras ativa e passiva. Essa questo , de certa forma, traduzida pelo grau de protenso p que indica que 55% do momento ltimo resistido pela armadura ativa Ap.

Os efeitos da protenso tambm podem ser representados pelo carregamento equivalente, que aliviam o carregamento total do elemento, de modo que, em servio, os elementos protendidos podem ser tratados como os de concreto armado.

O procedimento de clculo das aberturas w de fissuras da NBR6118:2003 funo direta das tenses atuantes em servio nas armaduras passivas. Nessa viga-exemplo, a fissurao a mesma para ambas as vigas de concreto armado e protendido, com valores da ordem de

mmw 10,0= . Porque, apesar de a viga protendida possuir metade da rea As de armadura aderente, os esforos de protenso produzem efeitos que absorvem parte das tenses de trao combatendo a fissurao.

Nas verificaes de deformao excessiva ELS-DEF, no se levam em conta as reas das cordoalhas engraxadas na avaliao da rigidez do elemento, porm os momentos fletores equivalentes e o esforo normal de protenso possuem um efeito que se contrape s flechas. Esses efeitos foram considerados no clculo das inrcias equivalentes e se refletem na diminuio da flecha elstica imediata 0 de 3,4cm para 1,5cm. Em termos gerais, h essa menor deformao principalmente em razo da menor fissurao da viga protendida, maior inrcia equivalente das suas sees transversais e carregamento em servio aliviado pela protenso.

Ao final do exemplo, calculam-se os graus de protenso p e p sugeridos em bibliografias tcnicas. Os dois ndices resultaram em valores da ordem de 0,50 e, embora representem grandezas distintas, apenas indicam que se trata de protenso parcial. Esses parmetros p e p no tm uma funo especfica, de forma que no tm muita utilidade ao longo do dimensionamento.

Usualmente, sees de concreto com protenso completa ou limitada so dimensionadas em funo de ELS e depois verificadas a ELU, enquanto, nas sees de concreto armado, ocorre o contrrio. Neste exemplo de aplicao, os procedimentos adotados para o clculo da viga protendida com cordoalhas engraxadas seguiram a mesma ordem dos procedimentos da viga de concreto armado. O motivo pelo qual a viga de concreto com protenso parcial teve sua seo dimensionada no ELU de flexo e depois verificada nos ELS foi a necessidade de se terem definidas as armaduras passivas para que a fissurao e a deformao pudessem ser avaliadas.

A verificao do ELU no ato da protenso pode ser feita logo depois da definio da quantidade de protenso. Com isso, pode-se checar o nvel de pr-compresso na seo e, caso apaream tenses de trao na parte superior do elemento, definir certa armadura passiva para absorver a totalidade dessas tenses.



Uma das maiores diferenas entre cabos aderentes e cordoalhas engraxadas est no fato de, nas cordoalhas engraxadas, no se poder adotar a hiptese de que a deformao da armadura ativa a mesma do concreto no seu entorno. Por isso, a NBR 6118:2003 fornece uma equao aproximada para a estimativa do acrscimo de tenso no ao de protenso P, no ELU, que se soma parcela de tenso inicial P dada por P/Ac.

As armaduras passivas foram calculadas no ELU, por tentativas, com um processo iterativo, no qual se estima uma rea de armadura passiva e, de posse da resultante de trao das cordoalhas engraxadas, calcula-se o momento resistente da seo transversal e compara-se com o momento solicitante. Esse processo pode ser implementado em uma planilha eletrnica, que torna a obteno das armaduras um procedimento rpido.

Para se efetuar a verificao de fissurao, ELS-W, considera-se a protenso como um carregamento externo equivalente no clculo do momento de servio atuante, assim essa verificao se reduz verificao de uma seo de concreto armado. Como para se estimar a abertura das fissuras de uma seo precisa-se da armadura passiva definida, esse procedimento precisa ser feito aps o dimensionamento em ELU. Essa verificao importante pois o parmetro que caracteriza o uso de sees com protenso parcial.

O clculo da deformao do elemento pode ser feito tanto no estdio I como no estdio II. A definio por um ou por outro, depende do momento atuante e do momento de fissurao da seo de concreto. Por se tratar de protenso parcial, geralmente a seo trabalha fissurada. Nesse caso, o clculo da inrcia da seo necessita que a armadura passiva esteja definida e no leva em conta o concreto trao nem as cordoalhas engraxadas, que so consideradas somente como um carregamento externo equivalente. Com freqncia, a deformao da viga o que define a quantidade de protenso, ento o clculo da viga protendida com cordoalhas engraxadas torna-se, inteiramente, um processo iterativo.

4.2 Exemplo 2: Influncia do Esforo Normal

A hiptese adotada no exemplo de aplicao 1, a de que o esforo normal de protenso transferido totalmente para a viga, vlida apenas nos casos em que no existem restries ao deslocamento horizontal da viga nos apoios caso caracterstico de vigas protendidas pr-moldadas. Entretanto esse no o caso de edifcios, em que a estrutura, formada por pilares, pilares-parede, vigas e lajes, forma um conjunto que possui ligaes contnuas.

Neste exemplo de aplicao 2, estuda-se a influncia dos pilares de apoio e das lajes apoiadas elasticamente na viga, no que se refere repartio do esforo normal de protenso entre os elementos e relao entre esse esforo normal com os estados limites da viga ELU, ELS-W e ELS-DEF.

AgradecimentosResumoAbstractSumrioLista de FigurasLista de Tabelas1 1 Introduo1.1 Objetivos Gerais e EspecficosObjetivos especficos

1.2 Justificativas1.3 Metodologia1.4 Apresentao da Estrutura do Trabalho

2 Protenso com Cordoalhas Engraxadas e Conceitos Gerais2.1 Sistema de Protenso com Cordoalhas Engraxadas2.1.1 Caractersticas do sistemaCordoalhas EngraxadasAncoragens MonocordoalhaMacacos de ProtensoAcabamento dos NichosA Segurana do Sistema

2.1.2 Vantagens e desvantagensCordoalha engraxada e concreto armadoProtenso aderente e no-aderenteVantagens executivas

2.2 Fora de ProtensoTenso de trao mxima (p,mx na armadura ativa2.2.1 Grau de protenso2.2.2 Consideraes sobre grau de protenso e fissurao2.2.3 Nveis de protenso2.2.4 Protenso parcial

2.3 Perdas de Protenso2.3.1 Perdas imediatas de protensoPerdas por atritoPerdas por acomodao da ancoragemPerdas por encurtamento elstico do elemento

2.3.2 Perdas progressivas de protensoCausas e interdependncia das perdas progressivasCritrios recomendados pela norma NBR6118:2003Procedimento adotado pelo eurocdigo EN1992:2004

2.3.3 Perdas progressivas de acordo com as recomendaes do ACIPerdas por fluncia do concreto (Creep CR)Perdas por retrao do concreto (Shrinkage SH)Perdas por relaxao do aoPerdas progressivas aproximadas

2.3.4 Efeitos das restries de apoio nas perdas de protenso

2.4 Representao da protenso2.4.1 Protenso como um carregamento externo equivalenteEquao de cabos parablicosCarregamento equivalente tpico de vigas contnuas

2.4.2 Mtodo do balanceamento de cargasVigas contnuasQual parcela do carregamento balancear?

2.5 Esforos Isostticos e Hiperestticos de Protenso2.5.1 Clculo dos esforos hiperestticos2.5.2 Anlise elstica com modelo de viga contnua ou de prtico plano?2.5.3 Diviso do esforo normal de protenso entre elementos ligados elasticamente

3 Critrios para Projeto de Vigas com Cordoalhas Engraxadas3.1 Consideraes Iniciais3.1.1 Escolha do traado dos cabos3.1.2 Escolha das perdas de protenso3.1.3 Escolha da fora de protenso

3.2 Combinao de aesCombinaes de estado limite ltimo ELUCombinaes de estado limite de servio ELS

3.3 Verificaes da Capacidade Resistente3.3.1 Estado limite ltimo de flexoProcedimento de clculo do momento resistente de clculo MR,d

3.3.2 Tenses nas armaduras ativas (p3.3.3 Estado limite ltimo no ato da protensoVerificao simplificada da resistncia no ato da protenso

3.4 Verificaes do Comportamento em Servio3.4.1 Clculo do momento de fissurao MrMomento de fissurao de uma seo de concreto protendido

3.5 Estado Limite de Servio de Deformao Excessiva3.5.1 Clculo aproximado de flechas imediatas em vigas considerando o nvel de fissurao existente em servioDeformaes imediatas em vigas contnuas

3.5.2 Deformaes dependentes do tempoEstimativa de deformaes ao longo do tempo em vigas de concreto

3.6 Estado Limite de Servio de Abertura de FissurasControle da fissurao pelos critrios do ACI318:20023.6.1 Clculo das tenses s nas armaduras3.6.2 Clculo da abertura de fissuras pela NBR6118:20033.6.3 Clculo da abertura de fissuras pelo eurocdigo EN1992:2004

4 Exemplos de Aplicao4.1 Exemplo 1: Viga Isosttica BiapoiadaDados gerais do exemplo4.1.1 Viga isosttica de concreto armadoELU FlexoELS-W Abertura de fissurasELS-DEF Flecha no meio do vo

4.1.2 Viga isosttica protendida com cordoalhas engraxadasEscolha da fora de protensoELU Verificao simplificada da capacidade resistente no ato da protensoELU FlexoELS-W Abertura de fissurasClculo da abertura de fissuras pelo eurocdigo EN1992:2004ELS DeformaoGraus de protenso p e p

4.1.3 Consideraes a respeito do exemplo de aplicao 1

4.2 Exemplo 2: Influncia do Esforo Normal4.2.1 Influncia dos pilares de apoioViga de seo 20x85cm e pilares de seo 20x60cmViga de seo 20x85cm e pilares de seo 20x180cm

4.2.2 Influncia de lajes apoiadas elasticamente em vigas4.2.3 Influncia da rigidez de pilares e lajes nos estados limites de vigas

4.3 Exemplo 3: Viga Contnua com Cordoalhas EngraxadasPropriedades de materiais consideradasParmetros geomtricos da vigaCarregamentos caractersticos

4.3.1 Definindo a protensoTraado dos cabosCarregamento equivalente de protenso

4.3.2 Anlise por modelo de viga contnuaClculo dos esforos pelo modelo de viga contnuaVerificao das tenses em servioELU: Estado limite ltimo de flexoELS-W: Estado limite de servio de abertura de fissurasELS-DEF: Estado limite de servio de deformao excessiva

4.3.3 Anlise por modelo de prtico planoClculo dos esforos pelo modelo de prtico planoVerificao das tenses em servio no concretoELU: Estado limite ltimo de flexoELS-W: Estado limite de servio de abertura de fissurasELS-DEF: Estado limite de servio de deformao excessiva

5 Concluses e Recomendaes5.1 Consideraes Iniciais5.1.1 Objetivos da dissertao

5.2 Projeto de Vigas de ConcretoProposta de uma seqncia para projeto de vigas

5.3 Esforos de Protenso em Vigas5.3.1 Representao da protenso5.3.2 Carregamentos balanceados5.3.3 Efeitos hiperestticos5.3.4 Esforos normais de protenso

5.4 Estados Limites ltimos e de Servio5.4.1 Capacidade resistente de flexo ELU5.4.2 Momento de fissurao Mr em vigas protendidas5.4.3 Estado limite de servio de deformaes excessivas ELS-DEF5.4.4 Estado limite de servio de abertura de fissuras ELS-W

5.5 Recomendaes

BibliografiaReferncias BibliogrficasBibliografia Consultada

A Aes e Segurana nas EstruturasCondies analticas de seguranaCondies construtivas de seguranaA.1 Estados limitesEstados limites ltimos ELUEstados limites de servio ELS

A.2 Classificao das aesAes permanentesAes variveis

A.3 Combinao das aesCombinaes ltimasCombinaes de servio

B Propriedades Geomtricas de Sees no Estdio IIPosio da Linha Neutra xIIMomento de Inrcia IIIrea da Seo Homogeneizada AII

exercicio completo de vigas

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