04/03/2015

1

Exercício 1

Setembro 2009

L1

L2

L3

450

Geometria do painel ---- Vão teóricos ---- eixo a eixo

600

250

100

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Modelos Estruturais

L2L1

L3Balanço

DADOS GEOMETRICOS

Vão teóricos (entre eixos):

Laje L1 6m x 4,5mLaje L2 6m x 2,5m

Laje L3 (Balanço) 6m x 1,0m

Espessura: h =12cm ( todas)

Altura útil : d = 9 cm (todas)

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3

DADOS GERAIS

Concretofck = 25MPa = 2,5kN/cm2

fcd =2,5/1,4 = 1,785kN/cm2

AçoCA50 fyd=50/1,15= 43,478kN/cm2

Laje L1

b=6

L1a=

4,5

Classificação Laje em cruz 1 > a/b >0,5ou Laje corredor a/b<0,5

4,5 / 6,0 = 0,75 laje em cruz

Laje em cruzLaje tipo 2acom engastamento do lado maior ( ver tabela Kalmanock)

Xa

MbMa

qaE

qb

qaA

qb

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4

Laje L2

Classificação Laje em cruz 1 > a/b >0,5ou Laje corredor a/b<0,5

2,5 / 6,0 = 0,42 laje corredor

Laje corredorMono engastatadaMa = q L 2 /14,22Xa = - q L2 / 8Ra = 0,6qLRb = 0,4 qLSendo L o menor lado

L2

b=6

a=

2,5

Ma

XaRa

Rb

Laje L3

Classificação Laje em balanço

Laje em balançoEngaste e livre

Xa = - (q L2 / 2 + P. L)

Ra = qL+ PSendo L o menor ladoP a carga na ponta eq a carga uniforme

L3L=

1

Xa

P

L

q

Ra

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5

Carga da Laje L1 h=12cmq1 = pp + rev. + sc = 25 x 0.12 + 1,25 + 2 =6,25=kN/m2

Coeficiente de entrada na tabela corrigida n=0,2:

a /b = 4,5 / 6,0 = 0,75

Momentos fletores já corrigidos com n=0,2

Ma= (49,1) . 6,25 . 4,52 /1000 = 6,21kN.m = 621kN.cm

Mb= (25,9) . 6,25 . 4,52 /1000 = 3,28kN.m = 328kN.cm

Xa = (105 ). 6,25 . 4,52 / 1000= 13,29kN.m=1329kN.cm

(Coeficientes )da tabela 2a

Carregamento da Laje L1 h=12cmq1 = pp + rev. + sc = 25 x 0.12 + 1,25 + 2 =6,25=kN/m2

a = 4,5 b= 6,0

Calculo das reações

qa E= (0,48) . 6,25 .4,5 = 13,5kN.m

qaA= (0,27) . 6,25 . 4,5 = 7,6kN.m

qb = (0,17) . 6,25 . 4,5 = 4,78kN.m

(Coeficientes )da tabela 2a

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6

Lajes: L1 Cálculo dos momentos e

reações

6,004

,50

328

13

29

mom (-)

mom (+)

7,6 kN/m

13,5kN/m

4,78kN/m

4,78kN/m

Carga da Laje L2 h=12cm

q2 = pp + rev. + sc = 25 x 0.11 + 1,25 + 2 = 6,25kN/m2

a = 2,5 b= 6,0 Como a/b é menor que 0,5

Trata-se de uma laje corredor

Calculo dos momentos com o uso de formulas conhecidas ou tabeladas

Ma+= 6,25 . 4,52 /14,22 = 8,90kN.m = 890kN.cm

Xa- = 6,25 . 4,52 / 8 = 15,82kN.m = 1582kN.cm

Calculo das reações Ra = 0,6 .6,25.2,5 = 9,38kN/m

Rb = 0,4 . 6,25 .2,5 = 6,25kN/m

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7

Lajes: L2 Cálculo dos momentos e

reações

6,002

,548

8

mom (-)

mom (+)

6,25kN/m

9,38kN/m

Carga da Laje L3 h=12cmq3 = pp + rev. + sc = 25 x 0.12 + 1,25 + 2 = 6,25kN/m2

Trata-se de uma laje em balanço (engaste e livre)

Calculo do momento do balanço

Xa = - ( 6,25 . 12 / 2 + 2. 1) = - 5,13kN.m = 513kN.cm

Calculo da reação Ra = 6,25 . 1 +2 = 8,25 kN/m

-Xa

LRa

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8

Laje L3Cálculo do momento e da reação

6,00

51

3 mom (-)

mom (+)

8,25 kN/m

Compensação de momentos negativosEquilibra-se os momentos negativos escolhendo o maior dos dois valores :

media dos momentos

80% do maior

Correção dos momentos positivosAcrescenta-se ao momento positivo a metade da perda de cada extremidade.

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Compensação de momentos negativos

Correção dos momentos positivos

M / 2M1

M2

M

M / 2

M

M=(M1-M)

M é a media ou 80%do maior

L1

L2

L3

450

Momentos compensados e corrigidos

600

250

100

336542

1329

1582

890

513

1455

954

64

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10

L1

L2

L3

450

Momentos compensados e corrigidos

600

250

100

336542

1329

1582

890

513

1455

954

64

#8c7

#8c12

#6.3c18

#6.3

c14

#6.3

c14

Projeto de vigas

Identificar os dados iniciais. :

• classes do concreto e do aço e o cobrimento;• forma estrutural do tabuleiro, com as dimensões preliminares em planta;• distância até o andar superior;• reações de apoio das lajes;• cargas das paredes por metro quadrado;• dimensões das seções transversais das vigas, obtidas num prédimensionamento.

Em seguida, devem ser considerados: esquema estático, vãos e dimensões da seção transversal.

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600

15 585 15

450

250

100

15

435

15

235

92.5

V1

V2

V3

V4V5

P1 P2

P3 P4

L1

L2

L3

Sistema estrutural proposto

600

15 585 15

450

250

100

15

435

15

235

92.5

V1

V2

V3

V4V5

P1 P2

P3 P4

L1

L2

L3

7,6 kN/m

13,5kN/m

4,78kN/m 4,78kN/m

8,25kN/m

6,25kN/m

9,38kN/m

Reações das lajes nas vigas

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Pré-dimensionamento

• Largura das vigas bw = 15 cm

• Altura das vigas ( h = l/10)

• V1, V2 e V3 15/60

• V4 e V5 15/70

• Pilares adotado 20/50

• Cobrimento = 2.5cm

Pré-dimensionamentoCalculo do peso próprio das vigas

pp = bw . h. γc ( KN / m)

• bw - largura da viga

• h - altura da viga

• γc - peso específico do concreto

• Γc = 25.00 KN/m3

• Pp = 0,15 . 0,60 . 25 =2,25kN/m

• Pp = 0,15 . 0,70 . 25 = 2,625 kN/m

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Pré-dimensionamentoCalculo do peso próprio das paredes

• P = esp . hp . γbloco

• esp - espessura da parede acabada

• hp - altura da parede

• γbloco - peso específico do bloco

• Tijolos furados gbloco = 13.00 KN / m3

• Pp = 0,15 . 2,8 . 13=5,46kN/m

• Pp = 0,15 . (2,8 -0,6) . 13 = 4,29 kN/m

Calculo do carregamento das vigas

• Viga V1 15/60

Pp = 2,25 kN/m

Ppar = 5,46kN/m

Reação da laje = 7,6kN/m

5,95

P1 P2

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14

• Viga V1 15/60

• q = 7,6+5,46+2,25 =15,31kN/m

5,95

15,31kN/m

P1P2

Ra=Rb= 46kN Mmax=67,75kNm

• Viga V2 15/60

• q = 13,5+9,38+5,46+2,25 =30,6 kN/m

6,00m

30,6kN/m

V4 V5

Ra = Rb 91,8kN Mmax = 137,7kNm

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15

• Viga V3 15/60

• q = 6,25+8,25+5,46+2,25 =22,21 kN/m

5,95m

22,21kN/m

P3 P4

Ra=Rb = 66,07kN Mmax= 98,3kNm

• Viga V4 15/70

• q1 = 5,46+2,625 =8,1 kN/m

• q2 = 4,78+5,46+2,625 = 12,9 kN/m

6,65m

8,1kN/m

P3 P1

RaV2 =91,8kN

12,9kN/m

2,325m

Ra = 93,4kNRb=73,02kNMmax=196kNm

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• Viga V5 15/70

• q1 = 5,46+2,625 =8,1 kN/m

• q2 = 5,46+4,78+2,625 = 12,9 kN/m

6,65m

8,1kN/m

P4 P2

RbV2 =91,8kN

12,9kN/m

2,325m

Ra = 93,4kN Rb =73,02 kN

Mmax = 196kNm

Dimensionamento a flexão simples

• µ= Md/0,85.fcd.bw.d2

• KY=1-(1-2µ)1/2 < KYlim

• ρ = 0,85 .fcd .ky/fyd

• As = ρ.bw .d

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Forma da viga biapoiada

V2 15/60

V4 V5

15 15585

Esforços e diagramas

• Viga V2 15/60

• Mk = 137,7 kNm

• Vk eixo=91,8 kN

• Md =1,4 . 13770 = 19278 kNcm

• Vdeixo = 1,4. 91,8= 128,5kN

• Vdface=128,5-1,4.30,6.0,15/2 = 125,3kN

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Md = 19278 kNcm

Vdeixo = 128,5kN7,5cm

Vdface= 125,3kN

Vdeixo=128,5kN

150cm

100 cm

Dimensionamento V2 15/60momento maximo com armadura simples

• µ = Md/0,85.fcd.bw.d2

• µ =19278/0,85.1,78.15 .542 =0,2913

• KY=1-(1-2µ)1/2 =1-(1-2.0,2913)1/2 =0,3539

• ρ = 0,85 .fcd .ky/fyd =0,85.1,78.0,3539/43,48 = 0,0123>0,0015

• As = ρ.bw .d = 0,0123.15.54 = 9,97cm2

• Usar 4 ø 20mm ou 5 ø 16

• Adotado 4 ø 20 Asef =12,56cm2

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Força cortante VRd2

• VRd2= 0,27αv fcd bw d

• αv =(1-fck/250) MPa = (1-25/250) = 0,9

• VRd2 =0,27.0,9.1,78.15.54 =350,53kN

• VSd,face = 125,3kN < VRd2 = 350,53kN → Bielas resistem!

Força cortante VSd,min relativa a armadura transversal mínima

• VSd,mín = Vsw,mín + Vc• VSd,mín = ρswmin 0,9.bw. d fywdVSd,mín = 0,001026. 0,9.15. 54.43,48 =32,52kN• (ρwmin dado na Tabela)

fctd = fctkinf/γcFctkinf =0.7fctmFctm= 0,3fck2/3

Fctm=0,3.252/3=2,56 MPaFctkinf = 0,7. 2,56 = 1,8MPaFctd = 0,18 /1,4 = 0,128kN/cm2

Vc = 0,6⋅ fctd ⋅bw⋅d = 0,6⋅0,1282⋅15⋅54 = 62,3kN• Resulta:• VSd,mín = 32,52+ 62,3 = 94,8 kN

• VSd,face = 125,3kN > V = 94,8kN ⇒ asw> aswmin

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Trecho com armadura transversal maior que a mínima (a)

• 128,5/300 = 94,8/x x = 221cm

• a = 300 - 221 =79cm

128,5

128,5

94,8

Vdmin

300 300

79

79

Armadura transversal junto ao apoio

• Força cortante a d/2 da face do apoio:

• VSd,d / 2 = VSd,face – q.d/2• VSd,d / 2 = 125,3 –1,4 . 30,6 .0,54/2 = 113,7kN• Vsw= VSd,d/2 – Vc = 113,7 – 62,3 = 51,4kN• asw = Asw/s = Vsw/0,9. d. fywd • = 51,4 / 0,9 . 54 . 43,48• = 0,0243cm2/cm = 2,43cm2/m• Asw/s = 2 . 0,196/s = 2,43 (estribos de 2 ramos)• S=0,16m• Pode-se adotar:• φ5 c/ 16 (2,50 cm2/m)

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Armadura transversal mínima

asw,mín = Asw,min/s = ρsw,min . bw

= 0,001026 . 0,15 =

asw,min = 0,0001539m2/m = 1,54cm2/m

• Utilizando-se estribos de dois ramos, tem-se:

• asw,min = Aswmin/s = 2 . 0,196/s =1,54 = 0,25m

• Pode-se adotar:

• φ5 c/ 25 (1,60 cm2/m)

• Diâmetro dos estribos

• φt,mín = 5mm

• φt,máx = 0,1⋅bw = 15mm

• Adotando φt = 5 mm, são satisfeitas as duas condições.

Espaçamento máximo longitudinal dos estribos

Se VSd ≤ 0,67 VRd2, então smáx= 0,6 d ≤ 300 mm.

• Se VSd > 0,67 VRd2, então smáx= 0,3 d ≤ 200 mm.

• VSd face/VRd2 = 125,3/350,53 = 0,36

• VSd face = 0,36 VRd2 < 0,67 VRd2

• Portanto, smax= 0,6 d = 0,6.54 = 32cm≤ 30 cm

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Número de ramos dos estribos

Se VSd ≤ 0,20 VRd2, então st,máx = d ≤ 800 mm.Se VSd > 0,20 VRd2, então st, máx = 0,6d ≤ 350 mm.VSd,face = 0,36 ⋅ VRd2 > 0,20 ⋅ VRd2

Portanto, smax = 0,6.d = 0,6. 54 = 32cm < 35cmPara estribos de dois ramos:st = bw - 2 c- øt = 15 – 2. 2,5 - 0,5 = 9,5cm <st max = 32cm 2 ramos

Comprimento de ancoragem

• Resistência de aderência

• fbd = η 1 ⋅ η 2 ⋅ η 3 ⋅ fctd

• η 1 = 2,25 (CA 50 barras nervuradas)

• η 2 = 1,0(situação de boa aderência)

• η 3 = 1,0(para 32mm)

• fctd =0,128kN/cm2

• fbd = 2,25 .1 .1 . 0,128 =0,288kN/cm2

• Comprimento de ancoragem básico

• lb = φ fyd /4 fbd

• lb = 2 . 43,48 / 4 . 0,288 = 75cm

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Ancoragem no apoio• Dimensão mínima do apoio

• lbmin ≥ lb = 75cm

• ≥ 60mm = 6cm

• ≥ (r +5,5 φ )

• = 4 φ + 5,5 φ = 9,5 . 2,0

• =19cm

• l b,disp = t - c = 15 - 2,5 = 12,5cm

• Na direção perpendicular ao gancho deve-se ter cobrimento c ≥ 7cm.

Esforço a ancorar e armadura calculada para tensão fyd

Rs = (al/d).Vd,face

• al/d = Vd,face / 2( Vd,face - Vc)

• al/d= 125,3 / 2(125,3 - 62,3 ) = 0,99 > 0,5 OK!

• Rs = 0,99. 125,3 = 124kN

• Ascal = Rs/fyd = 124/43,48 = 2,85cm2

• Como Mapoio = 0 Asapoio ≥1/3 As vão = (1/3)9,97 = 3,32cm2

• É necessário prolongar duas barras até o apoio 2ø20mm

• Asapoio = 6,28cm2

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Armadura necessária no apoio• Impondo lbnec=lbdisp e Asef=Asnec

• lbnec = α1 lb As,calc /As,ef ≥ lbmin

• lbnec = 0,7 . 75. 2,85/6,28 = 24cm ≥22,5cm

• lbmin ≥ 0,3lb, 10ø e 100mm

• lbmin ≥0,3.75=22,5cm, 10.2=20cm e 10cm

12,5cm

8.2=16cm

¶.8.2/4=12cm

Decalagem da armadura longitudinal

• Como foi visto anteriormente, duas barras devem ser prolongadas até os apoios.

• Portanto, deve ser calculado, somente, o comprimento da 3ª e 4a barra

• Como As,ef = 12,56cm2 > As,calc = 9,97cm2 , o comprimento de ancoragem necessário é menor que lb, porém não pode ser menor que l b,mín , dado pelo maior dos valores:

• l b,mín ≥ 0,3lb = 0.3 .75 = 22,5 c m• ≥ 10ø =10 .2 = 20cm

≥ 100mm• lbnec = α1 lb Ascalc/As ef = 1 . 75 . 9,97/12,56= 60 cm

>22,5 cm

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Decalagem da armadura longitudinal

• Deslocamento al

• Como al/d = 0,99

• al = 0,99 . 54 = 53,5 cm

• Comprimento da 3ª e 4ª barra

• L3e ≥ 150+al+10ø = 150+53,5+10.2= 223,5

• ≥ 100+al+lbnec =100 + 53,5+60 =217,5

• L3 = 2. 223,5 = 447 = 450cm

Distribuição transversalO espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais,

medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:

• a) na direção horizontal (ah):• 20mm• diâmetro da barra, do feixe ou da luva;• 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado

graúdo

• na direção vertical (av):• 20 mm;• diâmetro da barra, do feixe ou da luva• 0,5 vez a dimensão máxima característica do agregado

graúdo.

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150cm

100 cm

2φ 20

2φ 20

2φ 5.0

450

67,5

3030

7979

5 φ c/16 18 φ c/25 5 φ c/16est φ 5

10

55

Φ 5 -140cm

V2 15/60

V4 V5

15 15585

N2- 2φ 20 - 450

N3 - 2φ 20 - 670

N1 - 2φ 5 - 610

610

30

2,5

67,5

5N4 c/16 18N4 c/25 5 N4 c/16

10

55

N4 Φ 5 -140cm

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Lista de barras

Numero Φ (mm) Quant. Comp. Unitário (m)

Comp. Total

(m)

N1 5 2 6,10 12,2

N2 20 2 4,50 9,0

N3 20 2 6,70 13,4

N4 5 28 1,40 39,2