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Exercícios de Revisão e Lista – Física III

Eletrostática – Força Elétrica, Campo Elétrico, Potencial, Capacitância, Corrente e Resistência elétrica Prof. Dr. Cláudio S. Sartori www.claudio.sartori.nom.br [email protected]

1

Exercícios

1.

Encontre a força que duas cargas colocadas

em contato, cada uma com carga de +2 C, exerceram

entre si quando estiverem a uma distância de 2mm, no

aparato utilizado por Coulomb.

Dado:

Constante do vácuo:

2 2

9

0

19 10

4N

m Ck

Permissividade do vácuo:

2 212

0

18.85 10

4m C

Nk

2.

3. Sabe-se que:

Dado o valor de potencial V, o campo

elétrico é encontrado fazendo o cálculo do vetor

gradiente: E V

ˆˆ ˆV V VE i j k

x y z

Calcule o campo elétrico para os seguintes

potenciais:

3.1. V(x,y) = y2x

2+3xy – x+y

2 (V)

3.2. 32 ( )V x x V

3.3. 2 2 2

k q k qV r V r

r x y z

3.4. Para o anel uniformemente carregado na

figura, determine a força elétrica de interação, usando

a relação F q E

a uma distância x do centro O.

3.5. Encontre a velocidade máxima adquirida

pela carga q = +5nC a distâncias x muito grandes,

para o caso do anel uniformemente carregado (a) e o

disco uniformemente carregado (b). Use U V q

(a) = +20nC/m

2 2

0

( )4

QV x

x a

2 2 3 2

0

1

4 ( )

Q xE

x R

(b) = 50nC/m2

2 2

0

( )2

V x x R x

2 20

( ) 12

z

xE r

R x

4. Observe que, no caso do disco, quando R

tender a infinito, teremos: teremos:

2 20

lim ( ) 1 lim2

xR R

xE r

R x

0

( )2

xE r

Esse é o campo de um plano infinito?

Justifique.

5. Mostre que, para um dipolo elétrico, de

momento de dipolo p

fazendo um ângulo = 35°

com um campo elétrico 5 ˆ5 10

NE i

C

.

(a) Se p q d

, e 191.6 10q Ce

101.25 10d m , ache o valor do momento de

dipolo p

.



2

(b)Encontre o torque sobre o dipolo elétrico.

p E p E sen

(c) A energia potencial do sistema na posição

indicada.

cosU p E U p E

6. Encontre o campo elétrico resultante e o

potencial do dipolo abaixo, a uma distância y do

centro do dipolo. Escreva a resposta em termos do

momento de dipolo e discuta o caso em que a

distância y é muito maior que d.

7.

O momento de dipolo da água vale 1.85 D,

onde D é o Debye, que equivale a: 303.33 10D C m (Coulomb x metro).

Transforme o momento de dipolo da água em

unidades Debye para C.m.

Texto: extraído de:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Água_(substância)

A água pura e sem íons é um excelente isolante elétrico, mas nem mesmo a água “deionizada” é completamente sem íons. A

água sofre auto-ionização a qualquer temperatura acima do zero

absoluto. Além disso, por ser um solvente de grande eficiência, quase sempre apresenta algum soluto dissolvido, mais

freqüentemente um sal. Se a água contiver mesmo uma pequena

quantidade de tal tipo de impureza, poderá conduzir eletricidade, pois as impurezas como o sal se separam em íons livres numa

solução aquosa pela qual uma corrente elétrica pode fluir.

A água pode ser separada em seus elementos constituintes, hidrogênio e oxigênio, fazendo-se passar uma corrente elétrica por

ela. Esse processo se chama eletrólise. Neste processo, as moléculas

de água se dissociam naturalmente em íons H+ e OH−, que são induzidos em direção aos eletrodos denominados cátodo e ânodo.

No cátodo, dois íons H+ ganham elétrons e formam gás H2. No

ânodo, quatro íons OH− se combinam e liberam gás O2, moléculas de água, e quatro elétrons. Os gases produzidos borbulham até a

superfície, onde podem ser coletados.

Sabe-se que a resistividade elétrica máxima teórica da água é de aproximadamente 182 kΩ·m²/m (ou 18,2 MΩ·cm²/cm) a 25 °C.

Esse valor é compatível com o que tipicamente se vê na osmose

inversa e em sistemas de água ultrapura ultrafiltrada e deionizada usados, por exemplo, em fábricas de semicondutores. Um nível de

contaminante salino ou ácido que exceda 100 partes por trilhão em

volume (ppt v:v) em água ultrapura começa a baixar perceptivelmente seu nível de resistividade em até vários kΩ·m²/m

(uma variação de várias centenas de nS/m de condutância).

8. Calcule o torque sobre o dipolo elétrico

abaixo.

Suponha4 ˆ8 10

NE i

C

;

191.6 10q Ce 101.25 10d m

9. Para definirmos o fluxo de um campo elétrico,

consideramos uma área A que representa uma

superfície gaussiana, sendo atravessada pelas linhas

de campo elétrico. Definimos por:

i

S

QSdD

Ou 0

i

S

QSdE

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81gua_(subst%C3%A2ncia)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Siemens_(unidade)



3

Determine o fluxo sobre a superfície a seguir

indicada.

10.

Encontre a relação entre a carga e o

fluxo.

11.

Determine o fluxo sobre a superfície

indicada.

12. Um capacitor de placas paralelas e planas

tem as placas quadradas com o lado de 10cm,

separadas por 1mm.

(a) Calcular a capacitância do capacitor.

(b) Se o capacitor for carregado a 12 V, que

quantidade de carga foi transferida de uma para outra

placa?

Dado: 0

AC

d

212

0 28,85 10

C

N m

2A l 31 10d mm m

13. Na figura, determine o Campo elétrico

usando a Lei de Gauss.

0

i

S

QSdE



4

14. Qual a relação entre o número de linhas

que saem da carga positiva e penetram na carga

negativa da figura?

15.

Mostre que, usando a Lei de Gauss:

0

i

S

QSdE

o campo no interior e no exterior de um condutor

como mostra a figura acima vale:

0

ˆE n

, na parte externa da superfície e 0

no interior.

16.

Calcule, pela Lei de Gauss, o campo elétrico

de uma esfera oca de densidade de carga superficial .

17. Calcule, pela Lei de Gauss, o campo

elétrico de um fio infinito de densidade de carga linear

.

18. Calcule, pela Lei de Gauss, o campo

elétrico de um plano infinito de densidade de carga

superficial .

19. Suponha duas placas paralelas infinitas

de densidade de carga + 1 e - 2.

Encontre o campo elétrico resultante nos

pontos a, b e c da figura abaixo.

20. Calcule, pela Lei de Gauss:

(a) o campo elétrico de uma esfera sólida de

densidade de carga volumétrica e raio R.



5

(b) O campo elétrico gerado por um cilindro

sólido de comprimento infinito, de raio R e com

densidade volumétrica de carga e carga total Q.

0

i

S

QSdE

0

0

se

se

i

S

qr R

E dSQ

r R

Com:

2

i iq V q r L

2

iQ V q R L

2 r

S

E dS r L E

Termine agora, ...

21.

Qual seria o campo elétrico e o potencial

elétrico no interior da esfera oca? Explique.

22.

Observando o esquema do gerador de Van

der Graaff acima, qual a máxima carga que se pode

carregá-lo, supondo a rigidez dielétrica do ar de Emax =

3.106V/m.

23. Discuta a figura e o texto a seguir.



6

24. Usando a Lei de Gauss, determine a

integral

0i

i

S

QE dS

Para as diferentes superfícies.

25. Uma pequena esfera oca concêntrica, de

raio interno a e externo b é concêntrica com uma

grande esfera oca concêntrica de raio interno c e raio

externo d . A carga total na esfera oca interna é +2q e

na esfera oca externa é +4q. Determine o campo

elétrico em qualquer valor de r. (r é a distância de um

ponto ao centro da esfera).

26.

27. Discuta como varia o potencial elétrico

com a distância à carga elétrica nas situações (a) e (b).

28.

Converta 1Gev, 1Tev e 1Mev para J (Joules).



7

29.

Determine a força elétrica sobre a partícula

de carga 1nC nos pontos a e b e sua energia potencial

nesses pontos.

30.

Encontre o potencial elétrico em um ponto r,

usando a expressão: fina l

in icia l

LdEV

31. Determine o potencial elétrico que atua

na região entre as placas do capacitor de placas

paralelas indicado e a energia potencial elétrica na

carga q0.

32.

Indique as propriedades das superfícies

equipotenciais observando as figuras acima.

33. Determine a distância y com que o

elétron atinge a tela. Despreze o peso do elétron.



8

34. (a) Determine a distância y vertical com

que o elétron de carga elétrica191.6 10eq C e

massa 319.11 10em kg atinge a tela S, se

6

0ˆ6.5 10

mv i

s

e o campo elétrico na região entre

as placas vale:

3 ˆ10N

E jC

(b) Na figura vemos uma representação do

tubo de raios catódicos:

Suponha que entre as placas de deflexão

vertical de comprimento l = 8 cm atue um campo

elétrico ˆ250N

E jC

e um elétron penetra com

velocidade 6 ˆ5 10i

mv i

s

.

(b.1) Qual a aceleração do elétron? Despreze

seu peso comparado com a força elétrica.

(b.2) Calcule o tempo que o elétron leva para

percorrer a distância l.

(b.3) Qual a deflexão vertical y quando o

elétron acabar de percorrer essa distância horizontal l?

35. Encontre o campo elétrico e o potencial

elétrico no centro do cubo.

36.

Uma pequena esfera oca de massa 1.60g está

pendurada por um fio isolante entre placas paralelas

verticais separadas por uma distância igual a 5 cm. A

carga da esfera é 8.9.10-6

C . Calcule a diferença de

potencial entre as placas para que o fio fique inclinado

de 300 em relação à horizontal.

37. Um contador Geiger detecta radiações

como as partículas alfa, usando o fato de que uma

radiação ioniza o ar ao longo de sua trajetória. Ao

longo do eixo de um cilindro metálico oco existe um

fio fino que está isolado do cilindro. Uma grande

diferença de potencial é aplicada entre o fio e o

cilindro externo, mantendo-se o fio em um potencial

mais elevado; isso produz um forte campo elétrico

orientado radialmente para fora do fio. Quando uma

radiação ionizante entra no dispositivo ocorre

ionização de algumas moléculas de ar. Os elétrons

livres produzidos são acelerados no sentido do fio

pelo campo elétrico e, quando eles aproximam do fio,

ionizam muitas outras moléculas de ar. Logo, um

pulso de corrente elétrica é gerado e pode ser

detectado por um circuito eletrônico apropriado e

convertido em um “clique” audível. Suponha que o

raio do fio central seja igual a 145µm e o raio do

cilindro oco seja de 1,80 cm. Qual deve ser a

diferença de potencial entre o fio e o cilindro para que

se produza um campo elétrico igual a 2,00.104V/m a

uma distância de 1,20 cm do fio?



9

38. Um precipitador eletrostático usa forças

elétricas para remover partículas poluentes originárias

de fumaça, em particular fumaças expelidas em usinas

que queimam carvão. Um tipo de precipitador é

constituído por um cilindro metálico oco vertical com

um fio fino ao longo de seu eixo que está isolado do

cilindro. Uma grande diferença de potencial é

aplicada entre o fio e o cilindro externo, mantendo-se

o fio em um potencial mais baixo. Isso produz um

forte campo elétrico orientado radialmente para o

interior do cilindro. O campo elétrico produz uma

região com ar ionizado nas vizinhanças do fio. A

fumaça entra pela base do precipitador, as cinzas e a

poeira absorvem os elétrons e os poluentes carregados

são acelerados para as paredes externas do cilindro

pelo campo elétrico. Suponha que o raio do fio central

seja 90 µm, o raio do cilindro oco seja igual a 14,0 cm

e que uma diferença de potencial de 50 kV seja

estabelecida entre o fio e o cilindro. Seuponha

também que o fio e o cilindro possuam comprimentos

muito maiores que o raio do cilindro, de forma que os

resultados anteriores possam ser usados.

(a) Qual o módulo do campo elétrico nos

pontos situados na metade da distância entre o fio e a

parede do cilindro?

(b) Qual deve ser o módula da carga sobre

uma partícula de cinza com 30,0 µg para que o campo

elétrico obtido no item (a) possa exercer sobre a

partícula uma força 10 vezes maior que seu peso?

39. Determine a capacitância dos capacitores

indicados: (Veja nas notas de aula, está resolvido).

40. A capacitância equivalente das

associações em série e paralelo são representadas a

seguir, juntamente com as relações entre as cargas e a

tensão em cada capacitor:



10

Determine a capacitância equivalente dos

circuitos:

41. Discuta o efeito da inserção de um

dielétrico entre as placas de um capacitor, explicando

com detalhes o que ocasionará com o campo elétrico,

potencial e capacitância em seu interior. Como é

calculada a capacitância do capacitor de placas

paralelas com a presença de um dielétrico?

42. Um indicador do nível de combustível

utiliza um capacitor para indicar a altura de

combustível atingida em um tanque.

A constante dielétrica efetiva varia de um

valor igual a 1 quando o tanque está vazio até um

valor K, quando o tanque está cheio. Um circuito

elétrico apropriado pode ser usado para determinar a

constante dielétrica da camada de ar combinada com a

camada de combustível entre as placas do capacitor.

Cada uma das placas possui largura w e

comprimento L. A altura do combustível entre as

placas é h. Despreze qualquer efeito de borda.

(a) Deduza a expressão para Kef em função

de h.

(b) Qual é a constante dielétrica efetiva

quando o tanque está cheio até um quarto de seu

volume? E até metade de seu volume? E até ¾ de seu

volume? Suponha gasolina (K = 1,95).

(c) Repita (b) para o metanol (K = 33).



11

43. Um cilindro de alumínio tem 10 cm de

comprimento e área de seção transversal 2.10-4

m2.

Entre seus terminais ele está submetido a uma tensão

de 12V.

(a) Calcule a resistência elétrica do cilindro.

(b) Encontre a corrente elétrica I que o

atravessa.

(c) Qual a condutividade Al do alumínio e a

densidade de corrente J ?

(d) Determine a intensidade do campo

elétrico no cilindro.

Dados: Al = 2.82.10-8

.m

lR

A

1

V R I

IJ

A

J E

44. Um fio de cobre calibre 18 (geralmente

usado nos fios que ligam lâmpadas) possui um

diâmetro D = 1.02 mm. Esse fio está conectado a uma

lâmpada de 200 W e conduz uma corrente de 1.67 A.

A densidade dos elétrons livres é de n = 8.5.1028

e-/m

3

(elétrons por metro cúbico).

(a) Calcule a densidade de corrente J.

(b) Encontre a velocidade de arraste pela

relação: e e dJ n q v

(c) Se a área da seção transversal desse fio

vale

2

4

DA calcule o módulo do campo elétrico

do fio usando a relação J E .

Dados: Cu = 1.72.10-8

.m ;

1

(d) Determine a diferença de potencial entre

dois pontos do fio separados de 50m. Use a relação:

V E d

(e) Encontre a resistência elétrica para este

fio com comprimento de 50m.

Use: l

RA

(f) A dependência da resistividade com a

temperatura é dada, num condutor por:

0 01 ( )T T

Mostre que resistência de um condutor com a

temperatura pode ser escrita por:

0 01 ( )R R T T

aqui: 0R é a resistência em 0T e é o

coeficiente de temperatura da resistência.

Usando:

0 1.05R

0 20T C

10.00393Cu C , ache a resistência R

para T = 0°C e para T = 100°C.

45. Dispomos de duas lâmpadas, de valores

nominais 30W – 120V e 60W – 120V.

(a) Encontre a resistência elétrica de cada

lâmpada.

(b) Na associação de lâmpadas da figura, a

ddp vale v = 120V.

Ache corrente em cada lâmpada.

(c) Repita o item anterior para v = 120V a

associação:



12

Discuta o que acontecerá se v = 220V.

46. Ache a resistência equivalente para os

itens (a) a (e):

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) Encontre as correntes indicadas.

(f) Dê a resistência equivalente, a corrente e a

potência liberada para os casos:

i. Chave S1 aberta e S2 fechada.

ii. Chave S1 fechada e S2 fechada.

iii. Chave S1 fechada e S2 aberta.

47. Três lâmpadas (60W-120V) são ligadas

em 120V conforme ilustra a figura:

(a) Encontre a corrente em cada lâmpada e a

potência dissipada em cada uma delas.

(b) Qual a tensão em cada lâmpada?

48. Quando carregamos um capacitor com o

circuito mostrado:

Temos:

10

dq q dqR q

dt C dt R C

Cuja solução desta equação diferencial é:

( ) (1 )t

R Cq t C e

Num circuito, R = 8.105

, C = 5 F e =

12V.

(a) Encontre a constante de tempo do

circuito: = R.C.

(b) Determine a máxima carga no capacitor:

qmax = .C.

(c) Encontre a carga no capacitor para t = /2.

(d) Encontre a corrente no resistor para o

instante t = /2.



13

49. Para descarregar um capacitor, utilizamos

o circuito da figura:

Temos, aplicando a Lei das malhas de

Kirchhoff:

10 0

q dqR I q

C dt R C

Cuja solução desta equação diferencial é:

0( )t

R Cq t q e

Num circuito, R = 8.105

, C = 5 F e carga

inicial q0 = 60 C.

(a) Encontre a constante de tempo do

circuito: = R.C.

(b) Determine a carga inicial no capacitor:

qmax = .C.

(c) Encontre a carga no capacitor para t = /2.

(d) Encontre a corrente no resistor para o

instante t = /2.

(e) Escreva como varia a energia armazenada

no capacitor: 2

( )2 2

q V qU t

C

Encontre a energia armazenada para o

instante t = /2.

50. Descreva o que acontece com a

luminosidade da lâmpada quando a chave do circuito

abaixo é fechada. Assuma que o capacitor está

inicialmente descarregado.

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