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Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN

1

Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estruturas Dada a estrutura abaixo, determine os deslocamentos no nó 2 e as reações de apoio utilizando a análise matricial de estruturas.

Dados da Barra 1: EA = 300000 kN EI = 32400 kN.m² Comprimento = 4,0 m Dados da Barra 2: EA = 300000 kN EI = 32400 kN.m² Comprimento = 3,0 m

Resposta Passo 1: Numeração dos graus de liberdade da estrutura:

Esta numeração indica a posição de cada deslocamento ou esforço na matriz de rigidez que será elaborada a seguir. Podemos afirmar que a estrutura tem 9 graus de liberdade e, portanto, terá uma matriz de rigidez de dimensão 9 x 9.

Passo 2: Incidência das barras Barra Nó de Início Nó de Fim

1 1 2 2 2 3

Passo 3: Cálculo de [ k ] para cada barra, no sistema local: Barra 1: Barra Bi-engastada

As referências estão indicadas ao lado. A partir destas referências, tem-se a matriz de rigidez indicada:

50 kN

1

2

3

1

2

1

2

3

1

2

1

2 3

4

5 6

7

8 9

1

2 3

4

5 6


2

[ ]

−

−−−

−

−

−

−

=

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEA

lEA

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEA

lEA

k

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

22

2323

22

2323

Substituindo-se os valores indicados, tem-se a seguinte matriz de rigidez para a barra 1:

75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 6075,00 12150,00 0,00 -6075,00 12150,00 0,00 12150,00 32400,00 0,00 -12150,00 16200,00

-75000,00 0,00 0,00 75000,00 0,00 0,00 0,00 -6075,00 -12150,00 0,00 6075,00 -12150,00

[ k ]1=

0,00 12150,00 16200,00 0,00 -12150,00 32400,00 Barra 2 Barra Bi-engastada

Substituindo-se os valores indicados, tem-se a seguinte matriz de rigidez para a barra 2

100000,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 0,00 14400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 0,00 21600,00 32400,00 0,00 -21600,00 21600,00

-100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00

[ k ]2=

0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 Passo 4: Transformando coordenadas locais em coordenadas globais: Para esta transformação, usa-se a matriz [T] e sua transposta [T]t. A matriz [T] é:

[ ]

−

−

=

1000000cosαsenα0000senαcosα0000001000000cosαsenα0000senαcosα

T

A transformação ocorre pela multiplicação de matrizes: [ ] [ ] [ ][ ]TkTk t=

1

2 3

4

5 6


3

Barra 1: Dado que o ângulo α=90°, tem-se a seguinte matriz [T]:

0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00

[T] =

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 A matriz transposta [T]t é apresentada a seguir:

0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00

[T]t =

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 Assim, pode-se fazer o produto [ ] [ ] [ ][ ]TkTk t= . Primeiro começa-se pelo produto [ ] [ ]kT t :

0,00 -6075,00 -12150,00 0,00 6075,00 -12150,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00

0,00 12150,00 32400,00 0,00 -12150,00 16200,00 0,00 6075,00 12150,00 0,00 -6075,00 12150,00

-75000,00 0,00 0,00 75000,00 0,00 0,00

[ ] [ ]kT t =

0,00 12150,00 16200,00 0,00 -12150,00 32400,00 Toma-se, então, este resultado e se multiplica por [T]:

6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,000,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00

-12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00-6075,00 0,00 12150,00 6075,00 0,00 12150,00

0,00 -75000,00 0,00 0,00 75000,00 0,00

[ ] [ ] [ ][ ]TkTk t= =

-12150,00 0,00 16200,00 12150,00 0,00 32400,00 Essa é a matriz de rigidez da barra 1. Barra 2: Dado que o ângulo α=0°, tem-se a seguinte matriz [T]:

1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00

[T] =

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00


4

A matriz transposta [T]t é apresentada a seguir:

1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00

[T]t =

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 Assim, pode-se fazer o produto [ ] [ ] [ ][ ]TkTk t= . Primeiro começa-se pelo produto [ ] [ ]kT t :

100000,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 0,00 14400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 0,00 21600,00 32400,00 0,00 -21600,00 21600,00

-100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00

[ ] [ ]kT t =

0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 Toma-se, então, este resultado e se multiplica por [T]:

100000,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 0,00 14400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,000,00 21600,00 32400,00 0,00 -21600,00 21600,00

-100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00

[ ] [ ] [ ][ ]TkTk t= =

0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 Essa é a matriz de rigidez da barra 2. Passo 5: Montagem da Matriz de Rigidez [K] da estrutura pelo método da colocação: O Método da Colocação consiste em definir uma matriz com todos os graus de liberdade (que são 9, neste exemplo) e colocar as matrizes de rigidez de cada barra de acordo com a incidência das barras (passo 2). No nosso exemplo, tem-se:

[ ]

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3

2

1

321nó

K =

Assim, podemos criar a matriz de rigidez de cada barra, na posição colocada e somá-las para obter a matriz de rigidez.

Barra 1

Barra 2

Soma das barras


5

Para a barra 1:

6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00

-12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 -6075,00 0,00 12150,00 6075,00 0,00 12150,00 0,00 0,00 0,00

0,00 -75000,00 0,00 0,00 75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 0,00 32400,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

[K]1=

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Para a barra 2:

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 14400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 32400,00 0,00 -21600,00 21600,00 0,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00

[K]2=

0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 Somando-se as duas matrizes, obtem-se a matriz de rigidez global:

6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00

-12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 -6075,00 0,00 12150,00 106075,00 0,00 12150,00 -100000,00 0,00 0,00

0,00 -75000,00 0,00 0,00 89400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 21600,00 64800,00 0,00 -21600,00 21600,00

0,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00

[K]=

0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 A partir desta matriz, pode-se montar o sistema geral conforme está mostrado na página seguinte. A matriz [P] é a matriz dos esforços, [K] é a matriz de rigidez e [p] é a matriz dos deslocamentos. Lembrar que [P] = [K] [p].


6

A matriz, então fica:

R1 6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0

R2 0,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0

R3 -12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 0

0,00 -6075,00 0,00 12150,00 106075,00 0,00 12150,00 -100000,00 0,00 0,00 D1

-50,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 89400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 D2

0,00 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 21600,00 64800,00 0,00 -21600,00 21600,00 D3

R7 0,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0

R8 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 0

R9

=

0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00

x

0 Note que R1 é a força de reação horizontal no nó 1, R2 é a força de reação vertical no nó 1 e R3 é o momento de reação no nó 1; R7 a força de reação horizontal no nó 3, R8 é a força de reação vertical no nó 3 e R3 é o momento de reação no nó 3. D1 é o deslocamento horizontal no nó 2, D2 é o deslocamento vertical no nó 2 e D3 é o deslocamento rotacional no nó 2. Esta matriz representa um sistema de 9 equações com 9 incógnitas e, portanto, pode ser resolvido. Vamos separar a resolução deste sistema calculando primeiro os deslocamentos e depois calculando as reações de apoio.


7

Passo 6: Determinação dos deslocamentos dos nós livres Na matriz abaixo, estão indicadas as linhas onde podem ocorrer deslocamentos.

R1 6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0

R2 0,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0

R3 -12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 0

0,00 -6075,00 0,00 12150,00 106075,00 0,00 12150,00 -100000,00 0,00 0,00 D1

-50,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 89400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 D2

0,00 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 21600,00 64800,00 0,00 -21600,00 21600,00 D3

R7 0,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0

R8 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 0

R9

=

0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00

x

0

Note que estas linhas formam um sistema de três equações com três incógnitas. Isolando estas equações, tem-se o sistema abaixo:

0,00 106075,00 0,00 12150,00 D1 -50,00 0,00 89400,00 21600,00 D2 0,00

= 12150,00 21600,00 64800,00

xD3

Resolvendo pela inversa da matriz1, tem-se:

D1 9,653E-06 4,756E-07 -1,968E-06 -50,00 D2 4,756E-07 1,219E-05 -4,152E-06 0,00 D3

= -1,968E-06 -4,152E-06 1,719E-05

x0,00

Fazendo-se a multiplicação das matrizes, chega-se que:

D1 = -0,00002378 m; D2 = -0,00060944m; D3 = 0,00020761 rad Passo 7: Determinação das reações de apoio Para determinar as reações de apoio, devemos substituir D1, D2 e D3 determinados no passo 6 na matriz definida no passo 5. Essa matriz está colocada na próxima página.

1 Com o MS Excel, pode-se inverter facilmente uma matriz com a função ÍNDICE(MATRIZ.INVERSO(matriz);linha;coluna). Verificar na ajuda do programa para detalhes de sua utilização.


8

R1 6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0,00

R2 0,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

R3 -12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 -6075,00 0,00 12150,00 106075,00 0,00 12150,00 -100000,00 0,00 0,00 -0,00002378

-50,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 89400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 -0,00060944

0,00 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 21600,00 64800,00 0,00 -21600,00 21600,00 0,00020761

R7 0,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00

R8 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 0,00

R9

=

0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00

x

0,00

Procedendo-se à multiplicação das matrizes, chega-se ao resultado:

R1 = -2,378 kN

R2 = 45,708 kN

R3 = 3,074 kN.m

-50,00 = 0,000 kN

0,00 = -50,000 kN

0,00 = 0,000 kN.m

R7 = 2,378 kN

R8 = 4,292 kN

R9 = -8,680 kN.m


9

A representação física deste resultado em um diagrama de corpo livre é dada pelo diagrama:

A partir do diagrama de corpo livre, pode-se desenhar os esforços solicitantes na estrutura.

2,378 kN

45,708 kN

50 kN

3,074 kN.m

2,378 kN

4,292 kN

8,680 kN.m

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