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Exemplo Turbinas de Avião

Gilberto A. Paula

Departamento de EstatísticaIME-USP, Brasil

[email protected]

2o Semestre 2015

G. A. Paula (IME-USP) Turbinas de Avião 2o Semestre 2015 1 / 29

Turbinas de Avião

Sumário

1 Turbinas de Avião

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Modelo Gama

4 Resultados Modelo Ajustado

5 Modelo Final

6 Modelo Final

7 Diagnóstico Modelo Final

8 Conclusões

9 Referências


Turbinas de Avião

Turbinas de Avião

Descrição dos Dados

Como ilustração, vamos considerar os dados descritos em Lawless(1982, p. 201) em que cinco tipos de turbina de avião são comparadossegundo o tempo (em milhões de ciclos) até a perda da velocidade.


Turbinas de Avião

Turbinas de Avião

Distribuição do Tempo até a Perda da Velocidade

Tipo de TurbinaTipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Tipo V3,03 3,19 3,46 5,88 6,435,53 4,26 5,22 6,74 9,975,60 4,47 5,69 6,90 10,399,30 4,53 6,54 6,98 13,559,92 4,67 9,16 7,21 14,45

12,51 4,69 9,40 8,14 14,7212,95 5,78 10,19 8,59 16,8115,21 6,79 10,71 9,80 18,3916,04 9,37 12,58 12,28 20,8416,84 12,75 13,41 25,46 21,51


Análise de Dados Preliminar

Sumário





5 Modelo Final

6 Modelo Final


8 Conclusões

9 Referências



Densidade do Tempo

Tempo

De

nsid

ad

e

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.0

20

.04

0.0

60

.08



Boxplots do Tempo segundo o Tipo de Turbina

Tipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Tipo V

51

01

52

02

5

Tem

po

de

Du

raçã

o



Comparação dos Tipos de Turbina

Medidas Resumo para o Tempo

Estatística Tipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Tipo VMédia 10,69 6,05 8,64 9,80 14,71D.Padrão 4,82 2,91 3,29 5,81 4,86C. Variação 45,09% 48,10% 38,08% 59,29% 33,04%


Ajuste Modelo Gama

Sumário





5 Modelo Final

6 Modelo Final


8 Conclusões

9 Referências


Ajuste Modelo Gama

Modelo Gama

Descrição

Seja yij o tempo até a perda da velocidade da j-ésima turbina do

i-ésimo tipo. Vamos supor inicialmente que yijiid∼ G(µ, φ), ou seja,

vamos ignorar o efeito tipo de turbina. Obtemos as seguintesestimativas:


Ajuste Modelo Gama

Modelo Gama

Descrição




µ̂ = 9, 98(0, 73) e φ̂ = 4, 01(0, 77).


Ajuste Modelo Gama

Modelo Gama

Descrição




µ̂ = 9, 98(0, 73) e φ̂ = 4, 01(0, 77).

Portanto, confirma-se pela estimativa de φ um certa assimetria àdireita na distribuição empírica do tempo de duração até a perda davelocidade.


Ajuste Modelo Gama

Modelo Gama

Descrição

Vamos incluir o efeito tipo de turbina no modelo gama:


Ajuste Modelo Gama

Modelo Gama

Descrição


yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),


Ajuste Modelo Gama

Modelo Gama

Descrição


yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),

µi = α+ βi ,


Ajuste Modelo Gama

Modelo Gama

Descrição


yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),

µi = α+ βi ,

em que β1 = 0.


Ajuste Modelo Gama

Modelo Gama

Descrição


yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),

µi = α+ βi ,

em que β1 = 0. Isto é, temos um modelo casela de referência em queβ2, β3, β4 e β5 são incrementos nas médias dos tipos II, III, IV e V emrelação à média do tipo I.


Resultados Modelo Ajustado

Sumário





5 Modelo Final

6 Modelo Final


8 Conclusões

9 Referências



Estimativas

Descrição

Parâmetro Estimativa E. Padrão valor-Zα 10,69 1,54 6,93β2 -4,64 1,77 -2,62β3 -2,06 1,98 -1,04β4 -0,89 2,09 -0,43β5 4,01 2,62 1,53φ 5,80 1,13 5,13



Estimativas

Descrição


Desvio

O desvio do modelo é dado porD∗(y; µ̂) = φ̂× D(y; µ̂) = 5, 80 × 8, 86 = 51, 39(45 g.l .).



Estimativas

Descrição


Desvio

O desvio do modelo é dado porD∗(y; µ̂) = φ̂× D(y; µ̂) = 5, 80 × 8, 86 = 51, 39(45 g.l .). Valor-P dadopor P=0,24 (não rejeitamos o modelo).



Resultados Preliminares

Interpretações

Pelas estimativas dos parâmetros nota-se que os tempos médios atéa perda de velocidade dos tipos I, III e IV parecem não diferir.




Interpretações

Pelas estimativas dos parâmetros nota-se que os tempos médios atéa perda de velocidade dos tipos I, III e IV parecem não diferir.O tipo II é aquele que apresenta o menor tempo médio, enquanto queo tipo V parece ter o maior tempo médio.




Interpretações


Teste F

Vamos verificar através de um teste F, se é possível agrupar os tipos I,III e IV.




Interpretações


Teste F

Vamos verificar através de um teste F, se é possível agrupar os tipos I,III e IV. Ou seja, vamos testar as hipóteses H : β3 = β4 = 0 contra A :pelo menos um parâmetro diferente de zero.



Descrição Teste F

Detalhes

A estatística F fica dada por



Descrição Teste F

Detalhes


F ={D(y; µ̂0)− D(y; µ̂)}/q

D(y; µ̂)/(n − p),



Descrição Teste F

Detalhes


F ={D(y; µ̂0)− D(y; µ̂)}/q

D(y; µ̂)/(n − p),

em que D(y; µ̂0) e D(y; µ̂) denotam, respectivamente, os desvios (nãoescalonados) sob as hipóteses H e A.



Descrição Teste F

Detalhes


F ={D(y; µ̂0)− D(y; µ̂)}/q

D(y; µ̂)/(n − p),

em que D(y; µ̂0) e D(y; µ̂) denotam, respectivamente, os desvios (nãoescalonados) sob as hipóteses H e A. Sob a hipótese H e para φgrande F ∼ Fq,(n−p).



Descrição Teste F

Detalhes


F ={D(y; µ̂0)− D(y; µ̂)}/q

D(y; µ̂)/(n − p),

em que D(y; µ̂0) e D(y; µ̂) denotam, respectivamente, os desvios (nãoescalonados) sob as hipóteses H e A. Sob a hipótese H e para φgrande F ∼ Fq,(n−p). No exemplo temos que n=50, p=5 e q=2.



Aplicação Teste F

DetalhesAplicando o teste F encontramos o seguinte resultado:



Aplicação Teste F


F =(9, 09 − 8, 86)/2

8, 86/45= 0, 58.



Aplicação Teste F


F =(9, 09 − 8, 86)/2

8, 86/45= 0, 58.

O valor-P neste caso fica dado por P=0,56.



Aplicação Teste F


F =(9, 09 − 8, 86)/2

8, 86/45= 0, 58.

O valor-P neste caso fica dado por P=0,56. Portanto, não rejeitamos ahipótese H e podemos agrupar os tipos de turbina I, III e IV.



Aplicação Teste F


F =(9, 09 − 8, 86)/2

8, 86/45= 0, 58.

O valor-P neste caso fica dado por P=0,56. Portanto, não rejeitamos ahipótese H e podemos agrupar os tipos de turbina I, III e IV. Vamosentão considerar apenas três grupos.


Modelo Final

Sumário





5 Modelo Final

6 Modelo Final


8 Conclusões

9 Referências


Modelo Final

Modelo Final Gama

Descrição

Vamos então considerar o seguinte modelo gama:


Modelo Final

Modelo Final Gama

Descrição


yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),


Modelo Final

Modelo Final Gama

Descrição


yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),

µ1 = µ3 = µ4 = α,


Modelo Final

Modelo Final Gama

Descrição


yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),

µ1 = µ3 = µ4 = α,

µ2 = α+ β2,


Modelo Final

Modelo Final Gama

Descrição


yijind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , 5) (j = 1, . . . , 10),

µ1 = µ3 = µ4 = α,

µ2 = α+ β2,

µ5 = α+ β5.


Modelo Final

Sumário





5 Modelo Final

6 Modelo Final


8 Conclusões

9 Referências


Modelo Final

Resultados Modelo Final Gama

Estimativas

Parâmetro Estimativa E. Padrão valor-Zα 9,71 0,81 12,01β2 -3,66 1,19 -3,08β5 5,00 2,27 2,20φ 5,66 1,10 5,14


Modelo Final


Estimativas


Desvio

O desvio do modelo final fica dado porD∗(y; µ̂) = φ̂× D(y; µ̂) = 5, 66 × 9, 09 = 51, 45 (47g.l .).


Modelo Final


Estimativas


Desvio

O desvio do modelo final fica dado porD∗(y; µ̂) = φ̂× D(y; µ̂) = 5, 66 × 9, 09 = 51, 45 (47g.l .). Valor-P dadopor P=0,30 (não rejeitamos o modelo).


Diagnóstico Modelo Final

Sumário





5 Modelo Final

6 Modelo Final


8 Conclusões

9 Referências



Distância de Cook

0 10 20 30 40 50

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Índice

Dis

tânc

ia d

e C

ook

47

49



Resíduos Modelo Final

−2 −1 0 1 2

−3−2

−10

12

Percentil da N(0,1)

Com

pone

nte

do D

esvi

o



Variações nas Estimativas

Observações Influentes

Os pontos #47 e #49 aparecem como possivelmente influentes.Ambos referem-se aos maiores tempos dos tipos II e IV,respectivamente.





Os pontos #47 e #49 aparecem como possivelmente influentes.Ambos referem-se aos maiores tempos dos tipos II e IV,respectivamente. Abaixo são apresentadas as variações nasestimativas eliminando-se esses pontos.





Os pontos #47 e #49 aparecem como possivelmente influentes.Ambos referem-se aos maiores tempos dos tipos II e IV,respectivamente. Abaixo são apresentadas as variações nasestimativas eliminando-se esses pontos.

Estimativa Sem 47 Sem 49α̂ 0% -5%β̂2 -22% 14%β̂5 0% 10%φ̂ 8% 16%



Resíduos Modelo Normal

−2 −1 0 1 2

−20

24

Percentil da N(0,1)

Res

íduo

Stu

dent

izad

o


Conclusões

Sumário





5 Modelo Final

6 Modelo Final


8 Conclusões

9 Referências


Conclusões

Conclusões

Considerações Finais

Neste exemplo nota-se que os 5 tipos podem ser agrupados em 3tipos.


Conclusões

Conclusões


Neste exemplo nota-se que os 5 tipos podem ser agrupados em 3tipos. Os tipos I, III e IV com o mesmo desempenho médio e os tipos IIe V com o menor e maior desempenho médio, respectivamente.


Conclusões

Conclusões


Neste exemplo nota-se que os 5 tipos podem ser agrupados em 3tipos. Os tipos I, III e IV com o mesmo desempenho médio e os tipos IIe V com o menor e maior desempenho médio, respectivamente. Asuposição de distribuição gama para o tempo de duração parecebastante razoável e as observações detectadas como pontospossivelmente influentes não mudam as conclusões quando sãoeliminadas do estudo.


Conclusões

Conclusões


Neste exemplo nota-se que os 5 tipos podem ser agrupados em 3tipos. Os tipos I, III e IV com o mesmo desempenho médio e os tipos IIe V com o menor e maior desempenho médio, respectivamente. Asuposição de distribuição gama para o tempo de duração parecebastante razoável e as observações detectadas como pontospossivelmente influentes não mudam as conclusões quando sãoeliminadas do estudo. A suposição de modelo normal homocedásticonão é razoável.


Referências

Sumário





5 Modelo Final

6 Modelo Final


8 Conclusões

9 Referências


Referências

Referências

Referência

Lawless, J. F. (1982). Statistical Models and Methods for LifetimeData. John Wiley, New York.


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