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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU INSTITUTO A VEZ DO MESTRE UMA PROPOSTA PARA TRABALHAR AÁLISE COMBIÁTORIA DE FORMA SIGIFICATIVA ATRAVÉS DA METODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Por: Jorge Nunes Chagas Orientador Prof. Carlos Cereja Rio de Janeiro 2009 UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

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Page 1: Exemplo de Monografia - AVM - Pós-Graduação · Se for a escolha, o trabalho de Analise Combinatória através de fórmulas pode se tornar mera aplicação de fórmulas, um mero

UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU INSTITUTO A VEZ DO MESTRE

UMA PROPOSTA PARA TRABALHAR A ÁLISE COMBI ÁTORIA DE FORMA SIG IFICATIVA

ATRAVÉS DA METODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Por: Jorge Nunes Chagas

Orientador Prof. Carlos Cereja

Rio de Janeiro

2009

UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

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PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU INSTITUTO A VEZ DO MESTRE

UMA PROPOSTA PARA TRABALHAR A ÁLISE COMBI ÁTORIA DE FORMA SIG IFICATIVA

ATRAVÉS DA METODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Apresentação de monografia ao Instituto A Vez do Mestre – Universidade Candido Mendes como requisito parcial para obtenção do grau de especialista em. Docência do ensino superior. Por: Jorge Nunes Chagas

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AGRADECIMENTOS

A Deus que me deu a chance de graduar-me e realizar um sonho. À minha Esposa que teve enorme compreensão por não poder ficar ao seu lado em vários momentos. À minha filha que me alegra nas horas de cansaço. Aos meus Pais e irmão que compreenderam a minha ausência. Aos meus professores e mestres que me passaram não só conhecimento, mas também o amor em lecionar.

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DEDICATÓRIA Aos meus pais e meu irmão pelo carinho. A minha esposa por sua compreensão. A minha filha pela sua presença em minha vida.

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RESUMO

A realização deste trabalho começou a acontecer durante as disciplinas

Estágio Supervisionado I e II, onde entrei mais em contato com a realidade do

processo ensino-aprendizagem de matemática.

Outra razão que levou esta idéia a concretizar-se foi à escolha de Análise

Combinatória como tema de uma aula a ser apresentada em Estágio

Supervisionado II.

Neste trabalho foi procurado mostrar que o ensino de Análise Combinatória

deve partir de situações-problema que estimulem o aluno a levantar hipóteses,

propondo diferentes estratégias de resolução.

Esse trabalho consiste em apresentar a sugestão do conteúdo a ser trabalhado

nas aulas, seguida de algumas sugestões metodológicas e considerações

sobre a avaliação. O papel do professor se fundamenta nos PCN / PCNEM,

sempre procurando mostrar que a resolução de problemas é a melhor opção

para a construção de conceitos.

Foram feitas diversas leituras de livros didáticos de diferentes autores que

buscaram a construção de conceitos através da resolução de problemas, ou

seja, usando a metodologia da resolução de problemas para o trabalho com

Análise combinatória.

Palavras-chave:

Aprendizagem significativa; Metodologia de resolução de problemas; Análise Combinatória.

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METODOLOGIA

A metodologia utilizada neste trabalho tem por finalidade apoiar

docentes em suas aulas de analise combinatória, possuindo um conteúdo

pedagógico que explora a metodologia de resolução de problemas no processo

ensino-parendizagem.

Este trabalho possui sugestões onde o todo ele está fundamentado no

Pcn / PcnEm e em autores com importantes trabalhos no meio de pesquisas

pedagógicas.

E fornecido diversos exemplos que caberá ao professor escolher os

quais ele poderá utilizar conforme suas necessidades.

Em um primeiro momento foi explorada a idéia do princípio

multiplicativo, principal ferramenta em análise combinatória, após a

consolidação desse conceito foi feito a introdução de novas ferramentas,

sempre através da resolução de problemas, evitando o uso de fórmulas e com

isso tem a intenção de uma melhor assimilação e não uma memorização de

fórmulas.

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 08

CAPÍTULO I - A Relevância do tema 11

CAPÍTULO II - O papel do professor de matemática 18

CAPÍTULO III – Metodologia para o ensino

de análise combinatória 20

CONCLUSÃO 40

BIBLIOGRAFIA 42

ÍNDICE 43

FOLHA DE AVALIAÇÃO 45

INTRODUÇÃO

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8 Durante as disciplinas de estágio supervisionado I e II entrei em contato

com a realidade do ensino e aprendizagem de matemática, pois em minha

experiência como estagiário pude perceber que as aulas se baseavam no

modelo “definição – exemplo-aplicação nos exercícios”. Esta realidade me fez

refletir: “como os alunos poderiam gostar de matemática se não foi dada a eles

oportunidade de ser agente do processo?”. De acordo com os PCNEM:

Nos períodos em que cursei as disciplinas citadas, comecei a questionar

algumas situações observadas no estágio que comecei a participar por minha

conta, a fim de a ter a certeza de que ser professor era o que eu queria.

Comecei a lembrar também de meu Fundamental e Médio onde tudo foi tão

diferente do que me foi passado nestas aulas.

Uma situação que me chamou a atenção foi à forma como era passado

o conteúdo para os alunos. Por exemplo:

o Em Funções não aparecia nenhuma relação com o dia-a-dia;

o Em Analise Combinatória o conteúdo era passado de uma forma direta

através de fórmulas.

Após essas experiências, que foram bastante enriquecedoras,

presenciei como era o dia-a-dia de um professor, seu envolvimento com a

escola e a turma que leciona ou mesmo com os pais. A partir daí, percebi que

deveria lecionar diferente mente do processo realizado comigo quando aluno

de Ensino Médio e Fundamental, mesmo sabendo que posso mesmo

encontrar uma resistência por parte alunos.

Quando tive que escolher um tema de uma aula que teria que

apresentar em Estágio II eu não pensei duas vezes em escolher análise

combinatória. Este assunto no Ensino Médio me foi apresentado através de

uma abordagem que priorizava a utilização das fórmulas. Posso dizer que não

foi uma experiência nada agradável.

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9 A partir dessa aula apresentada só pensava em análise combinatória

como tema do de pesquisa, mesmo sabendo que se tratava de um assunto

mais complexo.

Diante disso, acredita-se que o ensino de análise combinatória deve ser

partir de situações-problema que estimulem o aluno a levantar hipóteses,

propor diferentes estratégias de resolução. As fórmulas devem aparecer em

decorrência das experiências dos alunos na resolução de problemas, devem

ser moldadas e não ser o elemento de partida de permutações, arranjos,

combinações, entre outros.

A minha maior surpresa veio quando comecei a ler o PCNEM e observei

algumas passagens que me chamaram atenção:

Diante do que foi exposto, posso comentar sobre o processo ensino-

aprendizagem de análise combinatória que, durante minha vida escolar, que foi

marcada predominantemente pela aplicação de fórmulas, ficava

completamente perdido ao deparar com a situação problema não conseguindo

diferenciar se o problema era de combinação, arranjo ou permutação. Esta

realidade vivenciada por mim contrapõe-se ao que é proposto pelo PCNEM

conforme o trecho abaixo:

Após essas leituras, veio-me uma pergunta: “Porque é dada ênfase

maior às fórmulas, ao invés de se ter um foco nas resoluções dos problemas e

através deles, mostrar e ensinar Análise Combinatória, e fazer a comparação

entre as diversas soluções?”.

Claro que talvez sejamos questionados do porquê do não uso de

fórmulas. Elas até podem ser usadas, caso seja a escolha do aluno. Uso direto

e contínuo de fórmulas pode não mostrar a presença dos problemas de

Análise Combinatória no dia-a-dia, onde em simples tarefas do cotidiano

encontramos a sua presença. Por exemplo:

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10o De quantos modos pode se escolher de peças de roupa para se

usar?

o De quantos modos podemos “montar” de prato em restaurante?

Se for a escolha, o trabalho de Analise Combinatória através de

fórmulas pode se tornar mera aplicação de fórmulas, um mero exercício de

memorização em que, na maioria dos casos, o aluno não sabe nem porquê de

está usando determinada fórmula e nem onde aplicar, confundindo arranjo

com combinação e nem sabendo que é uma ou outra.

Deste modo, para realizar esta investigação faremos a apresentação de

algumas abordagens que sejam facilitadoras para a aprendizagem destes

conceitos.

Para tanto está investigação está dividida da seguinte maneira:

Na capitulo1, Relevância do tema, no capitulo 2, O papel do professor

de matemática, no capitulo 3, Material pedagógico para o ensino de analise

combinatória.

CAPÍTULO I

RELEVÂNCIA DO TEMA

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11

A relevância do tema são as vantagens do uso da metodologia de

ensino de Análise Combinatória através de problemas

1.1 O ensino de análise combinatória no ensino superior

O foco desse trabalho é o desenvolvimento de uma proposta alternativa.

A maior preocupação é mostrar que há possibilidade de usar a metodologia da

resolução de problemas no ensino de Análise Combinatória.

O ensino de Análise Combinatória sempre constituiu uma grande

barreira no Ensino Médio e superior.

Segundo Arago (1975), em seu livro Prelúdio à Análise Combinatória:

O ensino de Análise Combinatória foi calcado tradicionalmente em

definições e fórmulas, onde se habitua o estudante a um trabalho

mecânico que, muitas vezes, exclui compreensão do que está

fazendo. A confusão entre arranjos e combinações é comum em

classes de principiantes. E, em geral, o professor só consegue

desenvolver os agrupamentos simples, pois quando tentar abordar

agrupamentos com repetição, a situação se complica.(BACHX.

POPPE, TAVARES, 1975, sn.).

O que foi dito até o momento vai ao encontro do PCNEM, “que indica

que no ensino médio, etapa final da escolaridade básica, posteriormente no

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12superior, a matemática deve ser compreendida como uma parcela do

conhecimento humano, essencial para a formação de todos os jovens”.

No periódico Bolema (2007. p.113), o estudo de caso de implantação

de metodologia de resolução de problemas no ensino, foi relatada a

metodologia de ensino de matemática por meios de resolução de problemas:

“consiste em trabalhar com os alunos no início do tratamento dos conceitos

matemáticos, uma ou mais situações-problema que passam levá-los a

raciocinar sobre a necessidade de construir esses conceitos”.

Nessa etapa, a matemática vai além de seu caráter instrumental,

passando a ter um papel de integração entre outras disciplinas.

De acordo com Vasconcellos, Scordamaglio e Cândido:

Deve-se buscar a familiarização do aluno com o Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem e sua

aplicação na resolução de problemas.

Em primeiro lugar, estudar Análise Combinatória requer

competências especificas, tais como:

Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos

naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas

determinação de amostras e cálculo de probabilidade.

Identificar, analisar e aplicar conhecimentos sobre valores de

variáveis, representados em gráficos, diagramas e expressões

algébricas, realizando previsão de tendências, extrapolações,

interpolações e interpretações.

Analisar qualitativamente dados quantitativos representados

graficamente ou algebricamente relacionados a contextos

socioeconômicos, científicos e cotidianos. (VASCONCELLOS,

SCORDAMAGLIO e CÂNDIDO, 2005, p. 28).

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Sendo assim, podem-se propor situações problemas que dê a

possibilidade de produzir o conhecimento, onde o aluno pode participar

ativamente, compartilhando resultados, analisando reflexões, enfim,

aprendendo a aprender.

1.2 – A METODODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA

CONSTRUÇÃO DE CONCEITOS.

Para o aprendizado de análise combinatória é necessário que o aluno

desenvolva a habilidade de reconhecer e resolver problemas envolvendo

contextos variados. Porém, no decorrer do aprendizado, eles podem

desenvolver em ritmos diferenciados esse conjunto de habilidades.

A prática pedagógica mais freqüente consiste em ensinar um conceito,

procedimento ou técnica, e depois apresentar uma lista de problemas para

avaliar se o aluno é capaz de utilizar o que foi ensinado. Para a grande maioria

dos alunos, resolver um problema significa fazer cálculos mecanicamente, ou

simplesmente aplicar algo que aprenderam nas aulas.

De acordo com Giovanni, Giovanni Jr e Bonjorno:

A metodologia de resolução de problemas não é uma atividade para

ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação de

aprendizagem, mas sim orientação que oferece contexto em

que se podem aprender os conceitos matemáticos e desenvolver a

capacidade de comunicação e convívio em grupo. (Giovanni,

Giovanni Jr. e Bonjorno, 2005, p.10).

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É a partir de situações-problema que aluno vai construindo o saber

matemático. Desse modo ele terá a oportunidade de comparar diferentes

resoluções de um mesmo problema, com isso pode argumentar na defesa de

suas idéias.

A resolução de problemas tem um grande poder motivador para o aluno,

pois envolvem situações novas com diferentes atitudes e conhecimentos.

A utilização de problemas na prática da educação matemática é uma

metodologia que deve merecer atenção especial de todos os professores. É a

partir deles o aluno pode ser envolvido em situações do cotidiano.

A resolução de problemas é a razão de ser da Análise Combinatória,

que estuda a maneira de formar agrupamentos com um determinado número

de elementos dados e de determinar quantos são esses agrupamentos, sem

precisar contá-los um a um. Além disso, sabe-se que a busca para a solução

de problemas exige muita criatividade e iniciativa.

Durante as diversas leituras do PCN/PCNEM pude compreender que os

conceitos matemáticos são primordiais, mas não podem aparecer isolados.

Esses conceitos precisam ser apresentados de uma forma que o aluno

entenda que eles não estão sendo ensinados sem motivos justificáveis, e sim,

para serem utilizados na vida educacional, na vida profissional ou mesmo na

social.

Iezzi, diz que:

A Combinatória é de grande interesse nos mais variados campos.

. Química (Uniões entre Átomos).

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15 . Diretor de uma escola (Distribui professores por classe).

Mas geralmente, a combinatória é utilizada em industria e na ciência

em todos os níveis.(IEZZI, 1980, p. 120).

Dante (2001), não faz comentários sobre o uso da Análise Combinatória

em outros campos, porém, mostra as diversas formas de resolução, com ou

sem o uso de fórmulas. Sendo que nestes exercícios, nota-se a presença de

temas de diversas áreas, assim como autor anterior.

No livro de Vasconcellos, Scordamaglo e Cândido, são apresentados

exercícios, utilizando basicamente o Princípio Multiplicativo, que constitui a

base desse trabalho, tornando a Análise Combinatória mais atraente para os

alunos. Neste livro, é dedicado um capítulo para Arranjo e Permutação, e outro

somente para Combinação.

No capítulo referente a Arranjo e Permutação os autores dizem que:

O cálculo do número de arranjos e permutações aplica-se em

situações que descrevem fenômenos não determinísticos de

nosso cotidiano e de praticamente de todas as áreas de

conhecimento.(VASCONCELLOS, SCORDAMAGLO e CÂNDIDO,

2005, p.28).

No outro capítulo, em que é tratada somente Combinação, ela

acrescenta que:

A compreensão da forma de agrupamentos, em que a ordem não

importa para diferenciá-los, mas apenas a natureza de seus

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16 elementos e os jogos de sorte, que tanto contribuíram para a

sistematização e formalização dos conceitos

Combinatórios.(VASCONCELLOS, SCORDAMAGLO e

CÂNDIDO, 2005, p.28; p.34.).

No livro prelúdio à Análise Combinatória (Bachx, Poppe, Tavares, 1975),

são apresentados exercícios, alguns resolvidos, se utilizando basicamente o

Princípio Multiplicativo. Dedica mais atenção às Permutações e Combinações

que aos Arranjos. Talvez isso ocorra em virtude do fato de os autores

dedicarem especial atenção ao Princípio Multiplicativo. O mesmo não ocorre

no caso das Permutações, pois este tema é utilizado no momento dedutivo da

fórmula das Combinações. O Princípio Multiplicativo é freqüentemente

retomado na apresentação e discussão das diversas fórmulas.

Com base nessas quatro obras, pode ser percebido que estudar análise

combinatória poderia se justificar também devido a sua ligação com outras

disciplinas ou áreas. Podemos citar como exemplo, a biologia, a estatística, a

probabilidade e a economia, assim como seu uso nos jogos.

Sendo assim, podem-se propor situações problemas que dê a

possibilidade de produzir o conhecimento, onde o aluno pode participar

ativamente compartilhando resultados, analisando reflexões, enfim,

aprendendo a aprender.

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17

CAPITULO II

O PAPEL DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA.

D´Ambrosio (2007, p.90) cita que a educação é uma estratégia da

sociedade para facilitar que cada indivíduo atinja seu potencial e para estimular

cada indivíduo a colaborar como outros em ações comuns na busca de um

bem comum, citando que:

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18

A função do professor é a de um associado aos alunos na

consecução das tarefas, e conseqüentemente na busca de

novos conhecimentos, alunos e professores devem crescer,

social e intelectualmente no processo. D´Ambrosio, 2007, p.90).

O professor é facilitador e gerenciador do processo de aprendizagem. E

que deve buscar sempre a melhor maneira de se ensinar, no caso deste

trabalho, Análise Combinatória.

Entende-se que este início pode ser um motivador para os alunos.

D´AMBROSIO (2007, p. 91), comenta que: “se motivar o aluno com situações

atuais se torna muito difícil em virtude desta ciência ter sido construída em

outros tempos”.

O professor deve criar um ambiente de cooperação, de busca, de

exploração e descoberta deixando claro que o mais importante é o processo e

não o tempo gasto para resolvê-lo ou a resposta final.

D` Ambrosio comenta que:

O professor que insistir no seu papel de fonte é transmissor de

conhecimento e está fadado a ser dispensado pelos alunos, pela

escola e pela sociedade em geral. O novo papel do professor será o

de gerenciar, de facilitar o processo de aprendizagem. (D´Ambrosio,

2007, p.79).

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19 O professor é o grande agente do processo educacional. A alma de

qualquer instituição de ensino é o professor. Por mais que se invista na

equipagem das escolas, em laboratórios, bibliotecas, sem negar a importância

de todo esse instrumental -, tudo isso não se configura mais do que aspectos

materiais se comparados ao papel e à importância do professor.

O professor e o aluno usando a resolução de problemas podem chegar

juntas as definições ou fórmulas, contudo, usando a metodologia da resolução

de problemas para conduzir o processo de aprendizagem.

CAPITULO 3

MATERIAL PEDAGÓGICO PARA O ENSINO DE

ANÁLISE COMBINATÓRIA

3.1 – Sugestão de conteúdo para o ensino de análise

combinatória através de problemas.

No início do aprendizado deste conteúdo, apresentarei problemas com um

número pequeno de elementos, para que se possam descrever todos os

possíveis casos e contá-los um a um para os alunos.

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20Alguns exemplos que serão usados para uma melhor percepção por parte do

aluno.

1- Paulo está pensando em ir para balada, porém está com uma enorme

dúvida, como se vestir. Neste momento, ele dispõe de poucas peças de roupas

passadas seu guarda roupa, ele tem a sua disposição duas calças (uma preta

e outra bege) e três blusas (branca, preta e azul).

Paulo não sabe como poderá fazer essas combinações. Diga quantas formas

possíveis Paulo pode se vestir.

Calça= C

Blusa= B

B1 C1B1 C1 B2 C1B2 B3 C1B3 B1 C2B1

C2 B2 C2B2 B3 C2B3

Logo será de fácil visualização que com a calça 1 Paulo terá 3 formas de

se vestir e com a calça 2 ele também possuirá 3 formas, então terá seis

formas diferentes de poder ir para balada.

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21

Neste segundo exemplo já iremos parar um tempo esperando as

opiniões.

2- Num restaurante há dois tipos de saladas, 3 tipos de pratos quentes e 3

tipos de sobremesas. Quais e quantas possibilidades temos para fazer uma

refeição com 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa?

Resolução: Representando por S1 e S2, os dois tipos de salada; P1, P2 e

P3 os três tipos de pratos quentes; e por D1, D2 e D3 os três tipos de

sobremesas, temos:

D1 S1P1D1

P1 D2 S1P1D2 D3 S1P1D3 D1 S1P2D1 P2 D2 S1P2D2 S1 D3 S1P2D3 D1 S1P3D1 P3 D2 S1P3D2 D3 S1P3D3 D1 S2P1D1 P1 D2 S2P1D2 D3 S2P1D3

Page 22: Exemplo de Monografia - AVM - Pós-Graduação · Se for a escolha, o trabalho de Analise Combinatória através de fórmulas pode se tornar mera aplicação de fórmulas, um mero

22 D1 S2P2D1 P2 D2 S2P2D2 S2 D3 S2P2D3 D1 S2P3D1 P3 D2 S2P3D2 D3 S2P3D3 D1 S3P1D1 P1 D2 S3P1D2 D3 S3P1D3 D1 S3P2D1 P2 D2 S3P2D2 S3 D3 S3P2D3 P3 D1 S3P3D1 D2 S3P3D2 D3 S3P3D3

Neste exercício foi visto de outra forma, através da árvore das possibilidades.

Pode ser visto que esta pessoa terá 18 possibilidades de escolher sua

refeição.

3) Ao lançarmos uma moeda e um dado (numerado de 1 até 6), temos as

seguintes possibilidades para o resultado (sendo C para cara e K para coroa)

Resolução:

Lados Dado Possibilidades

1 C1

2 C2 TEREMOS 12 POSSIBILIDADES. MOSTRE AO ALUNO QUE PODERIA LACAR PRIMEIRO O DADO E DEPOIS A MOEDA, ELE VERIA COM, ISSO QUE NÃO IA ALTERAR O

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23C 3 C3

4 C4

5 C5

6 C6

1 K1

2 K2

K 3 K3

4 K4

5 K5

6 K6

2) Três estradas A, B e C conduzem ao topo de um morro. De quantos Modos

diferentes uma pessoa pode subir e descer este morro?

Resolução:

Se a pessoa sobe por A, ela pode descer por A, B, C, o que lhe fornece 3

maneiras diferentes de fazer o percurso de ida e volta, indicados por:

(A, A) (A, B) (A, C).

Se a pessoa sobe por B, há novamente 3 modos diferentes de fazer o percurso

de ida e volta:

(B, A) (B, B) (B, C).

Analogamente por C:

(C, A) (C, B) (C, C).

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A (A, A).

A B (A, B).

C (A, C).

A (B , A)

B B (B , B)

C (B, C)

A (C, A)

C B (C, B)

C (C, C)

4) Num grupo de 4 rapazes e 3 moças, de quantos modos pode-se

escolher um rapaz para presidente e uma moça para secretária de uma

agremiação?

Resolução:

Designemos por :

R1, R2, R3, R4 os rapazes.

M1, M2, M3 as moças.

MOÇAS

RAPAZES M1 M2 M3,

R1 (R1, M1). (R1, M2). (R1, M3).

R2 (R2, M1). (R2, M2). (R2, M3).

R3 (R3, M1). (R3, M2). (R3, M3).

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R4 (R4 M1). (R4 M2). (R4 M3).

Concluímos, então que o número de escolhas é igual a 12.

3.1.1-Princípio fundamental da contagem

Será uma poderosa ferramenta, onde deve proporcionar a compreensão do

PFC, a caracterização de arranjos como seqüência, de permutações como

arranjos especiais, e a percepção de que o PFC é suficiente para calcular o

número de arranjos e permutações.

O Princípio Fundamental da Contagem, ou simplesmente PrincÍpio

Multiplicativo, é a principal idéia presente na resolução na resolução de

problemas. Veja como ele funciona!

Se um fato F1 pode acontecer de m1 maneiras diferentes e um fato F2 pode

acontecer de m2 maneiras diferentes. Logo, um fato Fn pode acontecer de mn

maneiras diferentes. Então, a sucessão F1, F2,..., Fn acontece de m1. m2. ... .

mn maneiras diferentes.

Usando o primeiro exemplo de Paulo, poderíamos ter recorrido ao principio

geral da contagem, pois ele teria duas calças e três blusas, logo poderia ser

feito da seguinte maneira:

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F(modos)=número de calças x números de blusas

F(modos)= 2 x 3

F(modos)= 6

Outros exemplos:

a) Há quatro estradas ligando as cidades A e B, e três estradas ligando as

cidades B e C. De quantas maneiras diferentes pode-se ir de A até C,

passando por B?

SOLUÇÃO: A ação por duas etapas sucessivas. A primeira (ir de A até B) pode

ser realizada de 3 maneiras. Para cada uma dessas possibilidades, a segunda

(ir de B até C) pode ser realizada de 4 maneiras. Então, pelo PFC, o número

de maneiras de ir de A até C é: 3 x 4 = 12.

b) Para eleição do corpo de dirigente de uma empresa candidatam-se oito

pessoas. De quantas maneiras poderão ser escolhidos presidente e vice-

presidente.

SOLUÇÃO: Para escolher o presidente temos 8 possibilidades; para escolher o

vice-presidente, como uma pessoas já foi escolhida, temos 7 possibilidades.

Assim Pelo PFC temos 8 x 7 = 56 maneiras.

Obs: comentar que se trata de arranjo

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c) Anagrama é uma palavra formada pela transposição (troca, ou

permutação, ou “embaralhamento”) de letras de outra palavra. Por exemplo,

ROMA, MARO, OMAR, RAMO, MORA, RAOM, são alguns dos 24 anagramas

da palavra AMOR. Quantas são anagramas da palavra MARTELO?

SOLUÇÃO: Pelo PFC temos 7x6x5x4x3x2x1= 7! =5040 anagramas

d) O quadrangular final de um torneio mundial de basquete é disputado por

quatro seleções: Brasil, Cuba, Rússia, EUA. De quantas maneiras distintas

podemos ter os três primeiros colocados.

SOLUÇÃO: Em um conjunto de 4 equipes de basquete temos que escolher

uma seqüência de 3 equipes. Pelo PFC temos: 4 x 3 x 2= 24 maneiras

distintas, onde termos 4 equipes para 3 vagas.

e) Um edifício tem 16 portas. De quantas formas uma pessoa poderá

entrar no edifício e sair por uma porta diferente de que usou para entrar?

SOLUÇÃO: Para entrar existem 16 possibilidades, em seguida, para sair

existem 15 possibilidades. Então pelo PFC, existem 16×15 = 240

possibilidades.

f) ANAGRAMA é uma palavra formada pela transposição (troca, ou

permutação, ou "embaralhamento") de letras de outra palavra. Por exemplo:

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28ROMA, MARO, OMAR, RAMO, MORA, RAOM, são alguns dos 24 anagramas

da palavra AMOR. Quantos são os anagramas da palavra MARTELO?

SOLUÇÃO: Pelo PFC temos: 7×6×5×4×3×2×1 = 7! = 5040 anagramas.

g) Em um baralho de 52 cartas, três são escolhidas sucessivamente.

Quantas são as seqüências de resultados possíveis se a escolha for feita com

reposição?

SOLUÇÃO: Pelo PFC temos: 52×52×52 = 140608 seqüências.

h) Em uma obra havia três vagas para pedreiro. Cinco candidatos se

apresentaram para preencher as vagas. De quantas formas o encarregado da

obra pode escolher os três de que precisa?

SOLUÇÃO: Note que ele não vai usar todos os candidatos, de 5 escolherá

apenas 3. Além disso, a ordem em que ele vai escolhê-los não faz diferença

(se escolher primeiro Mário, depois José e por último Pedro, ou primeiro José,

depois Pedro e por último Mário, o grupo escolhido é o mesmo). Se a ordem

de escolha dos candidatos importasse, poderíamos usar o PFC. Nesse caso,

teríamos 5 candidatos para a primeira vaga, 4 candidatos para a segunda e 3

candidatos para a última. A solução seria 5 × 4 × 3 = 60. No entanto, usando o

PFC, contamos várias vezes o mesmo grupo de três candidatos. Para "tirar" as

repetições, vamos ter que dividir o resultado pelo número de vezes que eles se

repetem na contagem. Os grupos repetidos são as formas de "embaralhar" três

candidatos escolhidos. Sabemos que "embaralhar" três objetos é o mesmo que

fazer permutações de três objetos.

Logo, basta dividir 60 por 3!, ou seja, dividir 60 por 6 para não contarmos as

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29repetições dentro de cada grupo formado. Isso significa que há 10 maneiras de

escolher os três novos pedreiros, entre os 5 candidatos.

i) Quantos veículos podem ser emplacados num sistema em que cada

placa é formada por 2 letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)?

SOLUÇÃO: Pelo PFC temos: 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 6760000 veículos.

j) A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas

seguidas por uma seqüência de três algarismos distintos. Quantas senhas

poderiam ser "confeccionadas"?

SOLUÇÃO: Pelo PFC temos: 26×25×10×9×8 = 468000 senhas.

l) Quantos veículos podem ser emplacados num sistema em que cada

placa é formada por 2 letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)?

SOLUÇAO: Pelo PFC temos: 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 6760000

veículos.

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30m) Quantos veículos podem ser emplacados num sistema em que cada

placa é formada por 3 letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)?

SOLUÇÃO: Pelo PFC temos: 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 175760000

veículos

n) Quantos veículos podem ser emplacados num sistema em que cada

placa é formada por 3 letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)?

SOLUÇÃO: Pelo PFC temos: 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 =

175760000 veículos

Após esses exemplos, Pode-se construir com os alunos algumas

definições.

3.1.2- Permutação

Se tivermos n elementos distintos, então o número de agrupamentos

ordenados que podemos obter com todos esse n elementos é dado por:

n.(n-1).(n-2).(n-3)......3.2.1

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31

Esses agrupamentos ordenados recebem o nome de permutações

simples.

Pn= n.(n-1).(n-2).(n-3)......3.2.1

3.121- Fatorial

O valor obtido com Pn é também chamado de Fatorial do número natural

n e indicado por n! (lê-se “fatorial de n ou n fatorial”).

Assim temos n! = n. (n-1). (n-2). ... .3. 2. 1 se n >1.

Considere-se 0! = 1.

Exemplos:

o P5= 5.4.3.2.1=120

o 5! = 5.4.3.2.1=120

o De quantas maneiras podemos arrumar 5 pessoas em fila

indiana?

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32

Solução: Ao escolher uma pessoa para ocupar a primeira posição na fila temos

5 possibilidades; para o segundo lugar, como uma pessoa já foi escolhida,

temos 4 possibilidades; para o terceiro lugar sobram 3 pessoas a serem

escolhidas; para o quarto lugar 2 pessoas, e para o último lugar na fila sobra

apenas à pessoa ainda não escolhida. Então, pelo PFC temos: 5 × 4 × 3 × 2 ×

1 = 120. Assim, calculamos o número de modos de ordenar ("embaralhar") 5

elementos distintos. Em outras palavras, calculamos o número de permutações

simples de 5 elementos, ou seja, P5 = 120.

3.1.3- Arranjo

Arranjos simples de n elementos tomados p a p(p<=n) são os

agrupamentos ordenados diferentes que pode formar com p dos n elementos

dados.

A= n.(n-1).(n-2). ...(n-p+1) ou Anp= )!(

!pn

n−

Para a eleição do corpo dirigente de uma empresa candidatam-se

oito pessoas. De quantas maneiras poderão ser escolhidos presidente e

vice-presidente?

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33Solução: Para escolher o presidente temos 8 possibilidades; para escolher o

vice-presidente, como uma pessoa já foi escolhida, temos 7 possibilidades.

Assim pelo PFC temos: 8 × 7 = 56 maneiras.

Por outro lado, poderíamos usar a fórmula:

Este procedimento é chamado de cálculo do número de arranjos

simples de 2 elementos escolhidos entre 8 elementos, ou seja A8,2 = 56

3.1.4- Combinações.

Combinações simples de n elementos tomados p a p (p<=n) são

subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n

elementos.

Indica-se por pnpn CC ,, o número total de combinações de n elementos

tomados p a p e calcula-se por !)!(

! ,,, p

AouA

pnn

C pnpnpn =

−=

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34 Em uma obra havia três vagas para pedreiro. Cinco candidatos se

apresentaram para preencher as vagas. De quantas formas o encarregado

da obra pode escolher os três de que precisa?

Solução: Note que ele não vai usar todos os candidatos, de 5 escolherá

apenas 3. Além disso, a ordem em que ele vai escolhê-los não faz diferença

(se escolher primeiro Mário, depois José e por último Pedro, ou primeiro José,

depois Pedro e por último Mário, o grupo escolhido é o mesmo). Se a ordem

de escolha dos candidatos importasse, poderíamos usar o PFC. Nesse caso,

teríamos 5 candidatos para a primeira vaga, 4 candidatos para a segunda e 3

candidatos para a última. A solução seria 5 × 4 × 3 = 60. No entanto, usando o

PFC, contamos várias vezes o mesmo grupo de três candidatos. Para "tirar" as

repetições, vamos ter que dividir o resultado pelo número de vezes que eles se

repetem na contagem. Os grupos repetidos são as formas de "embaralhar" três

candidatos escolhidos. Sabemos que "embaralhar" três objetos é o mesmo que

fazer permutações de três objetos.

Logo, basta dividir 60 por 3!, ou seja, dividir 60 por 6 para não contarmos as

repetições dentro de cada grupo formado. Isso significa que há 10 maneiras de

escolher os três novos pedreiros, entre os 5 candidatos.

De outra maneira, podemos usar a fórmula do número binomial:

Assim, calculamos o número de combinações simples de 5 objetos (os 5

candidatos) tomados 3 a 3 (apenas 3 serão escolhidos), isto é, C5,3 = 10 .

3.2-Sugestão para o sequenciamento pedagógico.

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35

Quando da apresentação do conteúdo, procurei fazê-lo considerando o

sequenciamento que considero mais adequado. Destaco aqui algumas

considerações complementares referentes às estratégias pedagógicas a serem

consideradas pelo professor.

A familiarização do aluno com a organização da contagem passa, antes

de qualquer coisa, pela caracterização dos agrupamentos de objetos de um

conjunto, diante da situação-problema que lhe é oferecida. Isto lhe dará

subsídios para posteriormente, calcular o número desses agrupamentos.

Quando da resolução dos problemas que envolvem idéias combinatórias,

como as de arranjos e permutações, a pergunta “quais” pode ser usada para

anteceder a pergunta “quantos”. Tal procedimento favorecerá uma análise

adequada do processo de formação dos agrupamentos.

De acordo com Giovanni, Bonjorno e Giovanni Jr:

Ao destacar a resolução de problemas, o que se defende é uma

proposta que tenha como ponto partida não a definição, mas o

problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias,

demonstrações e teoremas matemáticos devem ser explorados a partir

de situações-problema, ou seja, contextos em que os alunos

necessitem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-los.

(GIOVANNI, GIOVANNI JR e BONJORNO, 2005, p.10).

Privilegiando a compreensão de idéias e conceitos ao invés da

mecanização ou da formalização precoce, propõe-se a familiarização do aluno

com problemas de contagem por meio da analise de situações-problema.

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36Algumas sugestões que podem ser usadas:

o A melhor solução para considerar fonte de partida é a do aluno; a

comparação de diversas resoluções e soluções servirá para aprimorar não só a

argumentação dos alunos, como, também, as idéias que atrapalham os

conceitos.

o No início do trabalho, os problemas apresentados devem possuir

um número pequeno de elementos, para que o aluno possa descrever todos os

casos possíveis e em seguida contá-los um a um.

o A quantidade de elementos envolvidos nos problemas deve

aumentar gradativamente, para que o aluno possa sentir a necessidade de

organizar a contagem de alguma maneira.

o As generalizações devem ficar para o final do processo de

compreensão desse Princípio, bem como a linguagem formal, que deve ser

construída paralelamente a essa compreensão.

3.3 - Considerações para a avaliação.

Antes de qualquer coisa, precisamos saber o que e avaliação.

Segundo Barreto e Silva (2002, p.5).

Avaliação é parte do processo de ensino e aprendizagem que tem

por finalidade garantir a qualidade; verificar a fidelidade da

execução dos pressupostos pedagógicos e dos objetivos que

determinam a proposta metodológica do curso; verificar o

conhecimento que está sendo produzido e assimilado pelo aluno,

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37 na sua intensidade e na maneira como isso ocorre. (BARRETO e

SILVA, 2002, p.sn).

Quando os resultados da avaliação não forem satisfatórios, o professor

deve buscar descobrir os motivos desse fracasso, tentando corrigir falhas ao

longo do processo.

De acordo com Giovanni, Bonjorno e Giovanni Jr, cita que:

A avaliação é um elemento significativo do processo de ensino,

envolvendo a pratica pedagógica do professor, o desempenho do

aluno e os princípios que norteiam o trabalho da unidade escolar.

Assim, avaliar vai além de simplesmente quantificar os resultados de

um processo ao término de um período. (GIOVANNI, GIOVANNI JR e BONJORNO, 2005, p.11).

Os objetivos de uma avaliação devem ser sobre o desenvolvimento das

habilidades e competência dos alunos

É sugerido ao professor que utilize problemas com objetivos similares

com os usados em aulas, hora por meio de trabalho em grupo, em outros

momentos por atividades individuais.

Entretanto, nesse processo de ensino-aprendizagem por meio da

resolução de problema, o aluno vai construindo novos saberes. A importância

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38de uma prova individual é bastante relativa, já que se deve considerar toda

construção do aluno como instrumento de avaliação.

Quando da realização de uma avaliação individual, sugere-se considerar

somente o resultado final, e sim, o processo que foi usado para chegar até

este.

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39

CONCLUSÃO

Algumas características da proposta desenvolvida considero

fundamentais no processo ensino-aprendizagem de Análise Combinatória,

como a familiarização dos alunos com diferentes exercícios, usando outras

estratégias de contagem que não as fórmulas. Partimos do diagrama de

árvores e do Princípio Multiplicativo.

Acredito ser este trabalho uma forma alternativa de aprendizagem de

Análise Combinatória. A palavra “alternativa” deve ser entendida como uma

construção de conceito não do professor para o aluno e sim entre o professor e

o aluno.

Entendo que usando a metodologia de resolução de problemas para a

aprendizagem de Análise Combinatória, pode-se até mesmo acabar com o uso

freqüente da frase “isso é muito difícil, não consigo aprender”, em Análise

Combinatória.

Através da resolução de problemas devem se mostrar os passos para

essa resolução, sempre ressaltando os aspectos de ordenação e repetição dos

elementos envolvidos no processo.

Partindo da resolução de problemas o aluno poderá construir conceitos

concretos, compreendendo o que ele esta fazendo e porque está fazendo, ou

invés de tentar decorar as fórmulas na véspera de avaliações.

Em relação as proposta de aulas de Análise Combinatória, ela indica

que deve ser explorado mais o uso do Princípio Multiplicativo sempre que

possível na resolução de problemas, pois os alunos podem compreender a

“potencialidade” e as aplicações dessa estratégia.

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40 Entendo que se deve mostrar a presença da Combinatória no cotidiano,

pois ela está muito presente, pode ser vista no ato de escolher uma roupa, em

montar uma refeição, em campeonatos que são feitos grupos de participantes

ou mesmo em jogos.

A idéia desse trabalho foi de mostrar que usando a resolução de

problemas e evitando o uso das fórmulas para a construção de conceitos, pode

se conseguir que o processo de ensino e aprendizagem de Análise

Combinatória ajude o aluno a uma melhor interpretação de problemas não só

neste tópico, como em outros tópicos de matemática, pois irá superar a

mecanização do uso continuo de fórmulas.

BIBLIOGRAFIA

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41

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a Análise Combinatória. 7ª . ed. São Paulo: Nacional, 1975.

D´AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: Da teoria a Pratica. 14ª ed.

Papirus. Campinas-SP, 2007.

VASCONCELLOS, Maria José Couto; SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha;

CÂNDIDO, Suzana Laino. Coleção Matemática: 1. São Paulo Ed. Brasil, 2005.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI Jr., José Ruy.

Matemática: Uma nova Abordagem. São Paulo. Ed. FTD, 2002.

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DANTE, Luiz Roberto. Contexto & Aplicações-2. São Paulo. Ed. Ática, 2001.

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Aula. São Paulo. Ed. FTD, 2000.

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ÍNDICE

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42

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATÓRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMÁRIO 7

INTRODUÇÃO 8

CAPÍTULO I

RELEVÂNCIA DO TEMA 11

1.1 – O ensino de análise combinatória

no ensino superior 11

1.2 – A metodologia de resolução de problemas

na construção de conceitos 13

CAPÍTULO II

O PAPEL DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 18

CAPÍTULO III

MATERIAL PEDAGÓGICO PARA O ENSINO

DE ANÁLISE COMBINATÓRIA 20

3.1 – Sugestão de conteúdo para o ensino de analise

combinatória através de problemas 20

3.11- Princípio fundamental da contagem 25

3.12- Permutação 31

3.121- Fatorial 31

3.13- Arranjo 33

3.14 Combinações 34

3.2 – Sugestão para o sequenciamento Pedagógico 35

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433.3-Considerações para a avaliação 37

CONCLUSÃO 40

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 42

ÍNDICE 43

FOLHA DE AVALIAÇÃO

Nome da Instituição:

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Título da Monografia:

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Avaliado por: Conceito: