Prof. José do Carmo Toledo

O DESENHO GEOMÉTRICO COM RÉGUA E

COMPASSO

Nas construções geométricas, aqui propostas, utilizaremos somente régua e compasso. Esse era o método usado pelos geômetras gregos na Antigüidade.

A régua é usada apenas para traçar retas e não para medir segmentos. O compasso é utilizado para traçar arcos e circunferências e para transportar segmentos.

De antemão, é preciso deixar claro que toda construção através de instrumentos nos leva a resultados aproximados. Isso ocorre por vários motivos. Entre eles, podemos citar:

1. A representação de pontos é feita por pequenas bolinhas, apesar de o ponto geométrico não ter dimensão.

2. A representação de retas é feita por linhas grossas, apesar de a reta geométrica não ter espessura.

3. Os instrumentos, em geral, são imperfeitos.

As imperfeições de uma construção podem ser minimizadas mantendo-se o lápis – ou lapiseira – sempre bem apontados e utilizando-se grafite de dureza média – F ou H.

CONSTRUÇÕES BÁSICAS

Seis construções são consideradas básicas para a resolução dos problemas de Desenho Geométrico. São elas:

I. Traçar uma reta perpendicular a uma reta dada. II. Traçar a mediatriz de um segmento. III. Traçar uma reta paralela a uma reta dada. IV. Traçar o ângulo congruente a um ângulo dado. V. Construir a bissetriz de um ângulo. VI. Dividir um segmento em partes congruentes proporcionais.

Já que existem vários procedimentos para cada uma dessas construções, vamos adotar o de fixação mais rápida.

Reiteramos que todas essas construções serão realizadas apenas com régua e compasso.

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Neste Módulo, vamos estabelecer a primeira dessas construções. 1 - Construção de reta perpendicular a uma reta dada, por um de seus pontos:

DADOS:

CONSTRUA:

r s, tal que P r

Solução.

Siga os seguintes passos:

CONCLUSÃO: a reta r é a reta procurada.

1. Com centro em P e raio qualquer, trace um arco de circunferência e obtenha A e B na reta s.

2. Com raio maior que d(A,P), trace arcos de circunferência com centros em A e B, respectivamente, e obtenha o ponto M na sua interseção.

3. Trace a reta MP e chame-a de r.

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Justificativa:

2 - Construção de reta perpendicular a uma reta dada, por um ponto que não pertence à reta:

DADOS:

CONSTRUA:

r s, tal que P r

Solução.

Siga os seguintes passos:

P é o ponto médio de AB .

O quadrilátero ADBM é um losango.

Os segmentos AB e MD são as diagonais do losango ADBM .

Como sabemos:

MD é perpendicular a AB .

MD e AB se cruzam em P.

Assim, r é perpendicular a s e passa pelo ponto P.

1. Com centro em P e raio m maior que d(P, s), trace um arco de circunferência que intercepte a reta s em A e B.

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CONCLUSÃO: a reta r é a reta procurada.

Justificativa:

2. Com raio de medida m, trace dois arcos de circunferência com centros em A e B, respectivamente, e determine o ponto M, simétrico de P em relação a s.

3. Trace a reta MP e chame-a de r.

O quadrilátero AMBP é um losango.

Os segmentos AB e MP são as diagonais do losango AMBP.

Como sabemos:

AB é perpendicular a MP .

Assim, r é perpendicular a s e passa pelo ponto P.

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Exercícios 1. Construa pelo ponto P uma reta perpendicular à reta s da figura abaixo.

2. Construa pelo ponto P uma reta perpendicular à reta s da figura abaixo.

3. Construa pelo ponto A uma reta perpendicular à semi-reta AB da figura abaixo.

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4. Desenhe a reta tangente à circunferência no ponto P.

5. Construa um triângulo isósceles ABC que tenha, como base, o segmento

BC contido na reta r dada na figura abaixo.

6. Construa uma circunferência de 3 cm de raio e que tenha P como ponto de tangência.

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7. Construa a altura AH do triângulo ABC abaixo. Em seguida, meça a base

BC e a altura AH e calcule um valor aproximado, em cm2, da área desse triângulo.

8. Construa um triângulo retângulo ABC, sabendo que o cateto BC mede

3 cm e a hipotenusa AC mede 6 cm.

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3 - Construção de mediatriz de um segmento de reta:

DADOS:

CONSTRUA:

m, mediatriz de AB .

Solução.

Antes de qualquer procedimento, é necessário ter em mente que a mediatriz de um segmento é uma reta perpendicular ao segmento, passando pelo seu ponto médio. Lembrando que o losango é um quadrilátero cujas diagonais são perpendiculares entre si e se encontram nos seus respectivos pontos médios,

devemos construir um losango tal que o segmento AB seja uma de suas diagonais. Nesse caso, a reta-suporte da outra diagonal do losango construído é a mediatriz desejada. Siga, então, os passos que estão indicados na próxima ilustração:

CONCLUSÃO: a reta-suporte que contém MN é a mediatriz de AB.

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OBSERVAÇÃO: É possível construir a mediatriz de um segmento de reta por outros dois processos, bastante úteis nos seguintes casos:

Exercícios

1. Obtenha o ponto médio do segmento AB abaixo, sem usar uma régua graduada.

2. Dados os segmentos de medidas a e b, obtenha graficamente um

segmento de medida 2

ba b:

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3. Obtenha o ponto médio do segmento AB abaixo, sem usar uma régua graduada.

4. Sem usar uma régua graduada, divida o segmento AB, abaixo, em quatro partes iguais:

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5. O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das medianas desse triângulo. Obtenha o baricentro do seguinte triângulo:

6. O circuncentro de um triângulo é o ponto de encontro das mediatrizes desse triângulo. Obtenha o circuncentro do seguinte triângulo:

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7. Sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 8 cm são as medidas das diagonais de um losango ABCD, construa-o.

Exercícios COMPLEMENTARES 1. Construa um quadrado cuja diagonal mede 6 cm.

2. Inscreva um quadrado numa circunferência de 4 cm de raio.

3. Construa uma circunferência e divida-a em 4 partes iguais.

4. Considere os segmentos abaixo, de medidas a e b.

Faça o que se pede: sem usar uma régua graduada, construa um

segmento de medida igual a 4

ba b.

5. Inscreva o triângulo ABC abaixo numa circunferência.

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4 - Construção de reta paralela a uma reta dada, por um ponto dado:

DADOS:

CONSTRUA:

s //r , tal que P s.

Solução.

Siga os passos que estão indicados na ilustração a seguir.

Justificativa:

Vamos analisar a penúltima figura da construção anterior.

Podemos afirmar que:

ü o triângulo POQ é isósceles. Logo, b = 2

180 cc;

ü o triângulo POA é congruente ao triângulo QOB. Logo, a = d;

s

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ü como a + c + d = 180°, então a = 2

180 cc.

Conclusão: a = b.

Portanto, a reta-suporte do segmento PQ é paralela à reta r.

5 - Construção de reta paralela a uma reta dada, com uma distância dada:

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Exercícios

1. Construa uma reta m, paralela à reta c dada, passando pelo ponto E dado:

2. Construa uma reta r, paralela à reta s dada, distante 3 cm de s:

3. Construa duas retas, p e q, paralelas à reta w dada, tais que a distância de cada uma delas a w seja igual a d dado:

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4. Construa duas retas, t e u, tais que: t seja paralela à reta a, dada, passando por H; u seja paralela à reta d, dada, passando por S.

5. Construa um triângulo eqüilátero ABC, de 3 cm de lado, sabendo que o

lado AB é paralelo à reta s dada:

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6 - Construção de um ângulo congruente a um ângulo dado:

Dado: o ângulo A . Construa: o ângulo D congruente a A .

As etapas dessa construção são as seguintes:

Justificativa:

Os triângulos COB e FDE são congruentes (caso LLL).

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7 - Construção de um ângulo cuja medida é igual à soma das medidas de dois ângulos dados:

Os seguintes passos permitem obter essa construção.

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8 - Construção de um ângulo cuja medida é igual à diferença entre as medidas de dois ângulos dados:

Os seguintes passos permitem obter essa construção.

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Exercícios

1. Na figura abaixo, são dados o ângulo AOB e a reta r.

Transporte o ângulo AOB , de modo que o vértice O esteja em r.

2. Na figura abaixo, é dado um ângulo cuja medida, em graus, é .

Construa um triângulo retângulo ABC, sabendo que o cateto AC mede

6 cm e o ângulo BCA mede .

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3. Na figura abaixo, é dado um ângulo cuja medida, em graus, é .

Construa um triângulo ABC, sabendo que o lado AB mede 4 cm, o lado

BC mede 5 cm e o ângulo CBA mede .

4. Na figura abaixo, são dados dois ângulos cujas medidas, em graus, são e , respectivamente.

Construa um triângulo ABC, sabendo que o lado AB mede 5 cm, o ângulo

CAB mede e o ângulo CBA mede .

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5. Na figura abaixo, é dado um ângulo cuja medida, em graus, é .

Construa um triângulo isósceles ABC cuja base BC mede 6 cm e cujo ângulo da base mede .

6. Dois triângulos são semelhantes se os ângulos de um são respectivamente congruentes aos ângulos do outro. Construa um triângulo DEF, semelhante ao triângulo ABC dado abaixo,

sabendo que DE = 2

3. AB.

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7. Na figura abaixo, são dados dois ângulos cujas medidas, em graus, são iguais a e a , respectivamente.

Faça o que se pede:

(a) Construa um ângulo cuja medida, em graus, é igual a + .

(b) Construa um ângulo cuja medida, em graus, é igual a – .

(c) Construa um ângulo cuja medida, em graus, é igual a 2 .

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8. Obtenha, graficamente, o complemento do ângulo dado abaixo.

9. Na figura abaixo, é dado um ângulo cuja medida, em graus, igual a .

Construa um triângulo ABC cuja base, BC, mede 5 cm, cuja altura, AH,

mede 4 cm e cujo ângulo ABC tem medida igual a .

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9 - Construção de bissetriz de um ângulo ou divisão de um ângulo pelo número 2:

Para efetuar essa construção, acompanhe as seguintes etapas:

Justificativa:

Observando os triângulos AOQ e BOQ, é possível afirmar que:

m( AO) = m(BO );

o lado OQ é comum aos dois triângulos;

m( AQ) = m(BQ ).

Conclusão: pelo caso LLL, os triângulos AOQ e BOQ são congruentes. Portanto, ângulos que se correspondem nos dois triângulos são respectivamente congruentes.

Isso garante, portanto, como se deseja, que m( AOQ) = m(BOQ).

Dado:

MON

Construa:

MOQ tal que m(MOQ) = 2

MON)m(;

ou seja, construa a bissetriz do

ângulo MON .

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Exercícios

1. Construa a bissetriz do ângulo POQ abaixo:

Responda:

Se, na construção que acabamos de fazer, tomarmos s = R,

pode-se afirmar, ainda, que a semi-reta OQ é a bissetriz do

ângulo MON ?

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2. O incentro de um triângulo é o ponto de encontro das bissetrizes internas dos ângulos do triângulo. Determine o incentro I do triângulo LUA abaixo:

3. Ainda no exercício anterior, faça o seguinte:

– trace a reta t, perpendicular ao lado LU do triângulo dado, que passa pelo incentro I;

– chame de B o ponto de interseção da reta t com o lado LU ;

– trace a circunferência de centro em I e raio IB .

Responda: qual é a posição da circunferência traçada em relação ao triângulo LUA ?

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4. Construa duas retas perpendiculares entre si. A seguir, construa um ângulo de 45°. 5. Faça o que se pede:

(a) Construa um triângulo ABC, sabendo que o ângulo CAB mede 45°,

que m( AB) = 4 cm e que m( AC) = 5 cm. (b) Responda: que designação recebe esse triângulo ABC ? 6. Construa um triângulo retângulo isósceles de 5 cm de hipotenusa.

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7. Construa um ângulo de 22°30’. 8. Faça o que se pede:

(a) Construa um triângulo retângulo com um ângulo agudo medindo 22°30’ e 10 cm de hipotenusa. (b) Calcule um valor aproximado de sen 22°30’ e cos 22°30’.

9. Depois de construir um triângulo eqüilátero qualquer, construa um ângulo de 30°.

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10. Construa um ângulo de 120°. 11. Divida a circunferência de centro O abaixo em oito partes iguais.

12. Divida a circunferência de centro O abaixo em seis partes iguais.

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13. Divida a circunferência de centro O abaixo em três partes iguais.

14. Construa um triângulo retângulo com um ângulo de 15° e um cateto medindo 10 cm. A seguir, calcule um valor aproximado de tg 15°.