exemplo de aplicaÇÃo de mÉtodos...

EXEMPLO: A figura abaixo corresponde a um cabo uniforme, como por exemplo uma linha de transmissão suspensa em dois apoios e sob a ação de seu próprio peso.

A curva correspondente é uma catenária, cuja equação é dada por:

,1cosh0

0

T

xTy

Onde,T0 -> tração do cabo em x = 0; -> peso por unidade de comprimento do cabo.

EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE MÉTODOS ITERATIVOS

Em x = L/2 , y = f, logo:

O comprimento S do cabo é dado por:

Resolver então o seguinte problema: Um cabo de telefone pesando 1,5 Kgf/m () está simplesmente apoiado em dois pontos cuja distância é de 30 metros (L). Para um comprimento de cabo de 33 metros(S) qual é o valor da flecha f?

1

2cosh

0

0

T

LTf

0

0

2sinh

2

T

LTS

(1)

(2)


Resolução: Observa-se que para determinar o valor da flecha na equação (1), é necessário o cálculo de T0 em (2). Este problema será resolvido com um método iterativo com precisão de 3 casas decimais (e = 10-3).

Tem-se então:

A equação (2), já que S = 33, fica:

O problema é, então, resolver a eq. acima ou determinar o zero da função:

5,222

30

333,12

5,1

LL

0

0

5,22sinh333,133

TT

335,22

sinh333,1)(0

00

TTTF


000

0

5.22cosh

993,295,22sinh333,1)(

TTTTF

05,22

sinh843,674

)(0

3

0

0

TTTF

Sabe-se que:

2sinh

uu eeu

2cosh

uu eeu


E, por isto, pode-se mostrar que:

uusenhu cosh uuu sinhcosh

Localização do zero:

T0 F F'

0 - -

1 ####### #######

2 102448 -525224

3 3582,18 -7833

4 706,198 -854,74

5 266,945 -210,03

6 136,948 -78,012

7 82,916 -36,84

8 55,466 -20,269

9 39,584 -12,371

10 29,533 -8,133

11 22,744 -5,651

12 17,927 -4,097

13 14,376 -3,072

14 11,678 -2,367

15 9,575 -1,865

16 7,902 -1,498

17 6,549 -1,222

18 5,436 -1,011

19 4,511 -0,847

T0 F F'

20 3,732 -0,716

21 3,069 -0,612

22 2,501 -0,527

23 2,01 -0,457

24 1,583 -0,399

25 1,209 -0,351

26 0,879 -0,31

27 0,586 -0,275

28 0,326 -0,246

29 0,093 -0,22

30 -0,116 -0,198

O zero está em:

(29 , 30)


Determinação do zero com o método de Newton - Raphson:

1,0

1,0

1,0,0

n

n

nnTF

TFTT

Eq. de iteração:

Onde,

335,22

sinh333,1)(1,0

1,01,0

n

nnT

TTF

000

0

5.22cosh

993,295,22sinh333,1)('

TTTTF


Determinação do zero com o método de Newton - Raphson:

a =29

b =30

F(a)*F''(a) > 0

F(b)*F''(b) < 0

T0,0 =29

N T0,N | F(T0,N) | | T0,N-T0,N-1|

0 29,000 - -

1 29,424 0,002 0,424

2 29,434 0,000 0,010

3 29,434 0,000 0,000

1,0

1,0

1,0,0

n

n

nnTF

TFTT

Eq. de iteração:

T0 = 29,434


Determinação do zero com o método das cordas:

a =29

b =30

F(a)*F''(a) > 0

F(b)*F''(b) < 0

p =29

T0,0 =30

N T0,N | F(T0,N) | | T0,N-T0,N-1|

0 30,000 - -

1 29,447 0,003 0,553

2 29,434 0,000 0,013

3 29,434 0,000 0,000

Eq. de iteração:

Onde,

T0 = 29,434


1,0

1,01,0

1,0,0

n

nn

nnTFpF

TpTFTT

335,22

sinh333,1)(1,0

1,01,0

n

nnT

TTF

Calculando-se a flecha com o valor obtido pelo método das cordas:

1

2cosh

0

0

T

LTf

mf 026,91434,292

305,1cosh

5,1

434,29


Exercício: Uma gamela de comprimento L tem seção transversal semicircular com

raio r (veja a figura abaixo). Quando a gamela está cheia com água até uma distância

h do topo, o volume V de água é:

21222250/

hrhr

harcsenrr,LV

Suponha que L = 10 pés, r = 1 pé e V = 12,4 pés cúbicos. Determine a profundidade

da água na gamela com precisão de 0,01 pé. Use o método da bisseção.


L

Resolução: Substituindo-se os dados na equação:

Assim, o exercício equivale a determinar, no intervalo (0 , 1), o zero da função:

21215010412/

hhharcsen,,

212150241/

hhharcsen,,

0241150212 ,hhharcsen,

/

241150212 ,hhharcsen,hf

/

Com o método da bisseção e e = 10-2.


i ai bi hi |f(hi)| bi - ai f(ai)f(hi)

1 0 1 0,5 0,63 1 -

2 0 0,5 0,25 0,16 0,5 -

3 0 0,25 0,13 0,07 0,25 +

4 0,13 0,25 0,19 0,05 0,12 -

5 0,13 0,19 0,16 0,01 0,06 +

6 0,16 0,19 0,18 0,03 0,03 -

7 0,16 0,18 0,17 0,01 0,02 -

8 0,16 0,17 0,17 0,01 0,01 -

Tem-se, então: h = 0,17 pé. E a profundidade: r – h = 1 – h = 0,83 pé.


Com o método de Newton – Raphson (MNR) com derivadas numéricas. Será usado e = 10-4.

e

e hfhfhf

2

22

e

ee hfhfhfhf

Escolha de h0:

0111:)1()1()1(

0)0()0(

)1;0(),(

2

ee hhhfemdomíniodeerroff

ff

ba

Assume-se h0 = 0

11

11

ii

iii

hfhf

hfhh

e

e

Eq. de iteração do MNR:


Cálculo dos valores da equação de iteração:

i h i f(h i) f(h i+ e) |h i - h i-1 |

0 0 0,3308 0,3306 -1 0,1654 0,0015 0,0013 0,1654

2 0,1662 -0,0001 -0,0003 0,0008

3 0,1661 0,0001 -0,0001 0,0001

Tem-se, então: h = 0,1661 pé. E a profundidade: r – h = 1 – h = 0,8339 pé.

11

11

ii

iii

hfhf

hfhh

e

e


exemplo de aplicaÇÃo de mÉtodos...

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