Exemplo 01:Uma caixa foi montada a partir de um quadrado de papelão, de onde foram retirados quadrados de 2 cm de lado, um em cada canto, como mostra a figura. Desse modo, o papelão ficou com 48 cm2 de área. Qual é a medida do lado do quadrado de papelão usado no início do processo?

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Exemplo 02:

O quadrado de um número real, aumentado de 10 unidades, é igual a 7 vezes o número considerado. Qual é esse número real?

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Exemplo 03:

A soma de um número real positivo x com o seu quadrado dá 42. Determine esse número.

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Exemplo 04:

Multiplique o quadrado de um número real inteiro por 3. 0 resultado é igual ao quíntuplo do mesmo número aumentado de 2 unidades. Qual é esse número?

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Exemplo 05:

Um número natural é 20 unidades menor que o seu quadrado. Qual é esse número?

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Exemplo 06:

Qual é o maior número que se deve subtrair de cada fator do produto 5 • 8 para que esse produto diminua de 36 unidades?

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Exemplo 07:

O quadrado de um número é igual ao dobro desse mesmo número, menos 9/4. Existem valores reais que verificam essa condição?

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Exemplo 08:

Sejam três números naturais e consecutivos de tal forma que o produto dos dois menores é igual ao quádruplo do maior, mais duas unidades. Qual é o maiordesses três números?

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Exemplo 09:

(UNITAU-SP) Uma pessoa distribui 240 balas para um certo número de crianças. Se cada criança receber uma bala a menos, o número de balas que cada criança receber será igual ao número de crianças. Qual é o número de crianças?

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A raiz de uma equação do Segundo Grau ax2 + bx + c = 0, é o número que quando colocado no lugar da incógnita x, obtem-se

uma sentença verdadeira.

Exemplo 01

Verificar se o número 1 é raiz da equação 7x2 - 3x - 4 = 0.

Estudo das raízes de umaEquação do Segundo Grau

LEMBRE-SE:

∆ > 0 a equação tem duas raízes diferentes. ∆ = 0 a equação tem duas raízes iguais. ∆ < 0 a equação nao tem raízes reais.

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Exemplo 03

A equação 2x2 - 5x + 3m = 0 tem duas raízes reais e diferentes. Nessas condições, calcule o valor de m.

Exemplo 02

Sabe-se que o número -4 é raiz da equação x2 + 7x + c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c.

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Exemplo 04

Determine o valor de p na equação x2 - px + 9 = 0 para que essa equação tenha única raiz real.

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Exercícios01... Dentre os números -2,0,1 e 4, quais são raízes da equação x2 - 2x - 8 = 0.

02... (UEL-PR) Dada a equação kx2 - 3x - 2 = 0, calcule o valor de k para que uma das raízes da equação seja o número - 2.

03... O número é uma das raízes da equação x2 - 4x - 2 = 0. Essa afirmação é correta?

04... Sabe-se que o número 1 é raiz da equação ax2 - 6x + 1 = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente a.

05... (UCS-RS) Se 8 é uma das raízes da equação 2x2 - 3px + 40 = 0, qual é o valor do número p?

06... Determine o valor do coeficiente b na equação 2x2 - bx + 10 = 0 para que essa equação tenha uma única raiz real.

07... Qual deve ser o valor de m para que a equação 9x2 - 9x + m = 0 não tenha raízes reais?

08... Dada a equação (t - 1)x2 + tx + 1 = 0 (com t * 1), determine o valor de t para que a equação tenha uma única raiz real.

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Resposta01... -2 e 4

02... K = -1

03... Sim

04... A = 5

05... P = 7

06...

07... M > 9/4

08... T = 2

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Consideremos a equação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, e sejam x' e x" as raízes reais dessa equação. Entre essas raízes x' e x" e os coeficientes a,

b e c da equação existem duas relações importantes:

Relação das Raízes com os Coeficientes de uma Equação do Segundo Grau

x ′+x ′ ′=−𝑏𝑎

x ′ . x ′ ′=𝑐𝑎

As Raízes são

A relação entre as raíze´s

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Exemplo 01

A equação 6x2 - 8x - 3 = 0 apresenta duas raízes reais diferentes. Sem resolver a equação, determine a soma e o produto dessas duas raízes.

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Exemplo 02

Consideremos a equação 12x2 - (m + 2)x - 1 = 0, em que a soma das raízes é igual a 5/6. Nessas condições, determine o valor de m.

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Exemplo 03

Dada a equação 3x2 - 10x - 8 = 0, determine a soma dos inversos das raízes dessa equação, sem resolvê-la.

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Exemplo 04

Determine o valor de p na equação 1Ox2 - 2x + 3p - 2 de modo que uma raiz seja igual ao inverso da outra.

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Exemplo 05

Determine a soma dos quadrados das raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, sem resolver a equação.

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Exercícios01... Calcule a soma e o produto das raízes reais de cada uma das seguintes equações, sem resolvê-las:

a) x2 + 2x - 8 = 0 c) 12x2 - 6x - 1 = 0b) 6x2 - 4x - 9 = 0 d) 100x2 - 20x + 1 = 0

02... A equação x2 - 6x - 16 = 0 tem duas raízes reais diferentes Nessas condições determine o valor de:

a) x1 + x2 6 b) x1 • x2 -16 C)

03... Os números reais x1 e x2 são as raízes da equação 2x2 - 7x + 6 = 0. Nessas condições, sem resolver a equação, determine o valor da expressão (x1 + x2) + (x1 . x2).

04... Dado o equação 4x2 - 5x + c = 0, determine o valor do coeficiente c para que o produto das raízes dessa equação seja igual a -3/2.

Respostas

01... S = -2 e P = -802... S = 2/3 e P = -3/203... S = 1/2 e P = 1/1204... S = 1/5 e P = 1/100