V.S.F.F.735/1

PROVA 735/12 Págs.

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

10.º/11.º ou 11.º/12º Anos de Escolaridade

Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março

Duração da prova: 150 minutos 2.ª FASE

2007

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA B

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Identifique claramente os itens a que responde.

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta(excepto nas respostas que impliquem a elaboração deconstruções, desenhos ou outras representações).

É interdito o uso de «esferográfica-lápis» e de corrector.

As cotações da prova encontram-se na página 11.

A prova inclui um formulário (página 12).

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Em todos os itens da prova, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicandotodos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Apresente uma única resposta a cada item. Se escrever mais do que uma resposta,deve indicar, de forma inequívoca, a que pretende que seja classificada (riscandotodas as que pretende anular).

Sempre que, na resolução de um problema, recorrer à sua calculadora, apresentetodos os elementos recolhidos na sua utilização. Mais precisamente:

• sempre que recorrer às capacidades gráficas da sua calculadora, apresente ográfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas de pontos relevantes para aresolução do problema proposto (por exemplo, coordenadas de pontos deintersecção de gráficos, máximos, mínimos, etc.);

• sempre que recorrer a uma tabela obtida na sua calculadora, asapresente todas linhas da tabela relevantes para a resolução do problema proposto;

• sempre que recorrer a estatísticas obtidas na sua calculadora (média, desviopadrão, coeficiente de correlação, declive e ordenada na origem de uma recta deregressão, etc.), as listas que introduziu na calculadora para as obter.apresente

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1. A evolução da massa salarial de um conjunto de trabalhadores é, por vezes, explicável

através de modelos matemáticos.

Numa dada empresa, fez-se um estudo comparativo da evolução dos vencimentos (em

euros) de dois trabalhadores, e , entre 1998 e 2006.A B

• Relativamente ao trabalhador , o valor do vencimento mensal em cada ano, noA

período compreendido entre 1998 e 2006, é apresentado na tabela seguinte e

reproduzido num diagrama de dispersão.

Anos

Salário

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

*!! *") *%# *&$ *&& *() "!!! "!"& "!%$

Evolução do salário do trabalhador A

• Relativamente ao trabalhador , sabe-se que, em 1998, recebia mensalmenteB

'&# euros e que, nos anos seguintes, referentes ao período em estudo, o valor

do seu vencimento mensal pode ser obtido através do modelo

@ œ '&# ‚ " !&!#8 , 8�"

Nota: a variável está associada aos anos relativos ao período em estudo,8

concretamente, corresponde a 1998, corresponde a 1999, etc.8 œ " 8 œ #

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1.1. , indiqueUtilizando a sua calculadora um valor aproximado do coeficiente de

correlação linear entre as variáveis descritas na tabela (anos/salário) referente ao

trabalhador . Apresente o resultado com duas casas decimais.A

Interprete esse valor, tendo em conta o diagrama de dispersão correspondente.

1.2. Tome em atenção que o modelo que traduz a evolução do salário do trabalhador B

é uma progressão geométrica.

1.2.1. Indique o primeiro termo e a razão da progressão geométrica em questão.

1.2.2. Um trabalhador aufere, por ano, 12 ordenados mensais mais o subsídio

de férias e o décimo terceiro mês, ambos com valor igual ao do ordenado

mensal.

Utilizando a fórmula apropriada (que faz parte do formulário), calcule,

aproximadamente, o valor da totalidade dos vencimentos auferidos pelo

trabalhador entre 1998 e 2006, inclusive.B

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Nota: Sempre que, em cálculos intermédios, proceder a

arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

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2. O campo de futebol de um dado clube tem uma bancada destinada a não sócios, que leva

% !!! "! espectadores. Se o preço de cada bilhete for euros, prevê-se que a lotação

dessa bancada fique esgotada.

Com base em experiências anteriores, verifica-se que, se o preço de cada bilhete for

aumentado numa certa percentagem, , sobre o valor base ( euros), o número deB "!

espectadores baixa metade dessa percentagem. Por exemplo, se o preço dos bilhetes

aumentar % , , o número de espectadores sofre um decréscimo de %."! B œ ! " &,

Admitindo a exactidão do modelo descrito e considerando sempre o aumento percentual,

B "!, sobre o preço base ( euros), responda às questões que se seguem.

2.1. Mostre que, se for o aumento percentual do preço de cada bilhete para aquelaB

bancada, num dado jogo, então a receita de bilheteira, , é dada por:V

V B œ � #! !!! B � #! !!! B � %! !!! ! Ÿ B Ÿ #� � # , com

Tenha em atenção que:

• o preço de cada bilhete, , em função do aumento percentual, , é dado: B

por :ÐBÑ œ "! Ð" � BÑ

• o número de espectadores, , em função do aumento percentual, é8 B,

dado por 8ÐBÑ œ % !!! � # !!! B

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2.2. Um dos elementos da direcção do clube sugere que o preço de cada bilhete seja

de euros, para serem maximizadas as receitas de bilheteira. Porém, um#!

segundo elemento da direcção opõe-se, dizendo que o ideal é manter o preço de

cada bilhete a euros, uma vez que as receitas de bilheteira são superiores se"!

assim for.

Num pequeno texto, comente o argumento de cada um dos elementos da

direcção do clube, tendo em conta o objectivo de maximizar as receitas de

bilheteira.

Deve incluir, obrigatoriamente, na sua resposta:

• o valor da percentagem, , que a direcção do clube deve aplicar sobre oB

preço base ( euros), para que se maximizem as receitas de bilheteira,"!

e o respectivo valor da receita (no caso de discordar da opinião de cada

um dos elementos da direcção);

• um argumento, fundamentado, referente às propostas de cada um dos

elementos da direcção, dizendo se concorda, ou não, com elas;

• todos os elementos recolhidos na utilização da sua calculadora gráfica

que se tenham mostrado relevantes.

2.3. À entrada para o recinto do jogo, cada espectador, sócio ou não sócio, recebeu um

cartão numerado para se habilitar a um sorteio. Estavam presentes ')#&

espectadores, dos quais % eram não sócios. Foram sorteados,%!

simultaneamente, dois números. Qual a probabilidade de ambos os contemplados

serem sócios?

Apresente o resultado final com aproximação às centésimas.

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3. Numa determinada localidade, o responsável pelo planeamento urbanístico apresentou

uma proposta para a construção de uma rotunda com metros de diâmetro. No centro"!

da rotunda, pretende-se construir um jardim em forma de losango, com metros de#!

perímetro, como sugere a figura. À volta do jardim, serão colocados calçada e outros

elementos decorativos.

Relativamente à figura, considere que:

• os pontos e são os vértices do losango;Eß Fß G H

• o ponto é o centro da circunferência;S

• o ângulo tem de amplitude , EHS ! � �α α1

#

3.1. Mostre que a área, em , da zona destinada ao jardim é dada, em função de ,7#α

por:

E œ &! -9= Þ =/8 ! � �� �α α α α , 1

#

3.2. Determine .EŠ ‹1

%

Interprete geometricamente o resultado obtido, indicando qual a forma particular do

losango, para α œ1

%

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4. No período de testes que antecedeu a entrada em funcionamento de um gasómetro, com

capacidade de toneladas, procedeu-se ao seu enchimento, continuamente, durante"!!

#% horas.

Por razões de segurança, o gasómetro foi lastrado com toneladas de gás, após o que# &,

se iniciou a operação de enchimento. A partir daí, o seu enchimento foi feito de acordo

com o modelo:

, sendo Q > œ� � "!!

"�$* /�!ß%*> ! Ÿ > Ÿ #%

( representa a massa total, expressa em toneladas, existente no gasómetro horasQ >

desde o início do seu enchimento.)

Nota: Na resolução das questões seguintes, sempre que, em cálculos intermédios,

proceder a arredondamentos, conserve duas casas decimais.

4.1. Qual era a massa total, aproximada, existente no gasómetro horas após o início$

do seu enchimento?

Apresente o resultado arredondado às centésimas.

4.2. Durante o período em que decorre o enchimento do gasómetro, fará sentido afirmar

que existe um dado intervalo de tempo em que a taxa de variação média do modelo

assume um valor negativo?

Justifique devidamente a sua resposta.

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5. Para vedar três canteiros circulares, com metros de raio cada, um agricultor decidiu%

colocar uma rede em forma de triângulo equilátero, como a figura sugere.Ò ÓEFG ,

Relativamente à figura, considere que:

• as circunferências são tangentes entre si;

• os lados do triângulo são tangentes às circunferências;

• os pontos e são os centros das circunferências;Lß M N

• é o ponto médio de ;K FG Ò Ó

• é ponto do lado ;H EG L Ò Ó tangente à circunferência de centro

• é ponto de tangência das circunferências de centros e respectivamente;P M N ,

• é a amplitude do ângulo .α HEL

Quantos metros da rede mencionada necessita, aproximadamente, o agricultor para vedar

os três canteiros?

Apresente o resultado final arredondado às unidades.

Nota: Sempre que, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve três

casas decimais.

Sugere-se que:

• determine a altura do triângulo ;Ò ÓLMN

• determine a altura do triângulo ;Ò ÓEFG

• determine o lado do triângulo .Ò ÓEFG

FIM

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COTAÇÕES

1. 32 pontos...............................................................................

1.1 ................................................................12 pontos

1.2. ...............................................................20 pontos

1.2.1. .............................................. 8 pontos

1.2.2. ............................................ 12 pontos

2. 60 pontos...............................................................................

2.1. ...............................................................16 pontos

2.2. ...............................................................24 pontos

2.3. ...............................................................20 pontos

3. 44 pontos...............................................................................

3.1. .............................................................. 22 pontos

3.2. ...............................................................22 pontos

4. 40 pontos...............................................................................

4.1. .............................................................. 18 pontos

4.2. ...............................................................22 pontos

5. 24 pontos...............................................................................

TOTAL .................................................................... 200 pontos

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Formulário

Comprimento de um arco de circunferência

α α< � < ( )amplitude, em radianos, do ângulo ao centro raio; �

Áreas de figuras planas

Losango: H3+198+67+39<‚H3+198+67/89<

#

Trapézio: F+=/7+39<�F+=/7/89<#

‚E6>?<+

Polígono regular: Semiperímetro Apótema‚

Sector circular: α <#

#

(α� amplitude,

em radianos, do ângulo ao centro raio; < � )

Áreas de superfícies

Área lateral de um cone: 1 < 1( )< 1� �raio da base geratriz;

Área de uma superfície esférica: % <1#

( )< � raio

Volumes

Pirâmide: "$‚ Área da base Altura‚

Cone: "$‚ Área da base Altura‚

Esfera: %$

$1 ( )< < � raio

Progressões

Soma dos primeiros termos de uma8

Prog. Aritmética: ? �?

#

" 8 ‚ 8

Prog. Geométrica: ? ‚""� <

"� <

8