Exames Nacionais

1. Seja W o espao de resultados associado a uma certa experincia aleatria. Sejam A e B dois acontecimentos (A W e B W) independentes, com P (A) 0 0 . Qual das afirmaes seguintes necessariamente verdadeira?

(A) P (A) + P (B) = 1 (B) P (A B) = P (A) + P (B) (C) P (A) 0 P (B) (D) P (B | A) = P (B)

2. O cdigo de um autorrdio constitudo por uma sequncia de quatro algarismos. Por exemplo, 0137 .

Quantos desses cdigos tm dois e s dois algarismos iguais a 7 ?

(A) 486 (B) 810 (C) 432 (D) 600

3. Na figura 1, est representada, num referencial o. n. xOy , parte do grfico de uma funo g , de domnio 4 3 , + ? 3 .

A reta de equao y = 2x 4 assintota do grfico de g . Qual das afirmaes seguintes verdadeira?

(A) limx"+?

(g (x) 2x 4) = 0 (B) limx"+?

xg (x)

= 2

(C) limx"+?

(g (x) 2x + 4) = 0 (D) limx"+?

(g (x) 2x) = 0

Prova Escrita de Matemtica A12. Ano de Escolaridade

Prova 635/1. Fase

Durao da Prova: 150 minutos. Tolerncia: 30 minutos

2011

Decreto Lei n. 74/2004, de 26 de maro

ExAME nAcionAl do Ensino sEcundrio

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, selecione a nica opo correta.

Escreva, na folha de resposta:

o nmero do item;

a letra que identifica a nica opo escolhida.

No apresente clculos, nem justificaes.

Grupo I

x

g

y

O

Figura 1

Cotaes5

5

5

1.a Fase 2011

4. Seja f uma funo de domnio 30 , + ? 3 , definida por: f (x) = { 2x 9 se 0 x < 5 1 ex

x se x 5

Em qual dos intervalos seguintes o Teorema de Bolzano permite garantir a existncia de, pelo menos, um zero da funo f ?

(A) ]0 , 1[ (B) ]1 , 4[

(C) ]4 , 6[ (D) ]6 , 7[

5. Qual o valor de limx"0

a 1x2

sin2 ax2bb ?

(A) 4 (B) 0

(C) 14

(D) 12

6. Na figura 2, est representada, num referencial o. n. xOy , parte do grfico de uma funo polinomial f de grau 3 , de domnio R .

Sabe se que:

2 , 2 e 5 so zeros de f ; f ' representa a funo derivada de f .

Qual das afirmaes seguintes verdadeira?

(A) f ' (0) * f ' (6) = 0 (B) f ' ( 3) * f ' (6) < 0 (C) f ' ( 3) * f ' (0) > 0 (D) f ' (0) * f ' (6) < 0

7. Na figura 3, esto representadas, no plano complexo, as imagens geomtricas de quatro nmeros complexos z1 , z2 , z3 e z4 .

Qual o nmero complexo que, com n N , pode ser igual a i4n + i4n+1 + i4n+2 ?

(A) z1 (B) z2

(C) z3 (D) z4

x

fy

-2 2 5O

Im (z)

O Re (z)z1

z4

z2

z3

Figura 2

Figura 3

5

5

5

5

Exames Nacionais

8. Na figura 4, est representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular.

Sabe se que:

opontoA est situado no 1. quadrante;

opontoB est situado no 4. quadrante;

[AB] um dos lados de um polgono regular cujos vrtices so as imagens geomtricas das razes de ndice 5 do

complexo 32 cis ap2b ;

oarcoAB est contido na circunferncia de centro na origem do referencial e raio igual a OA .

Qual dos nmeros seguintes o valor da rea do setor circular AOB ?

(A) p5

(B) 4p5

(C) 2p5

(D) 8p5

Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os clculos que tiver de efetuar e todas as justificaes necessrias.

Ateno: quando, para um resultado, no pedida a aproximao, apresente sempre o valor exato.

Grupo II

1. Em C , conjunto dos nmeros complexos, considere:

z1 = 1 , z2 = 5i e z3 = cis anp40b , n N Resolva os dois itens seguintes sem recorrer calculadora.

1.1. O complexo z1 raiz do polinmio z3 z2 + 16z 16 . Determine, em C , as restantes razes do polinmio. Apresente as razes obtidas na forma trigonomtrica.

1.2. Determine o menor valor de n natural para o qual a imagem geomtrica de z2 * z3 , no plano complexo, est no terceiro quadrante e pertence bissetriz dos quadrantes mpares.

2. Uma companhia area vende bilhetes a baixo custo exclusivamente para viagens cujos destinos sejam Berlim ou Paris.

2.1. Nove jovens decidem ir a Berlim e escolhem essa companhia area. Cada jovem paga o bilhete com carto multibanco, ou no, independentemente da forma de pagamento utilizada pelos outros jovens.

Considere que a probabilidade de um jovem utilizar carto multibanco, para pagar o seu bilhete, igual a 0,6 .

Determine a probabilidade de exatamente seis desses jovens utilizarem carto multibanco para pagarem o seu bilhete.

Apresente o resultado com arredondamento s centsimas.

Im (z)

O

B

A

Re (z)

Figura 4

5

15

15

10

1.a Fase 2011

2.2. A companhia area constatou que, quando o destino Berlim, 5% dos seus passageiros perdem o voo e que, quando o destino Paris, 92% dos passageiros seguem viagem. Sabe se que 30% dos bilhetes a baixo custo que a companhia area vende tm por destino Berlim.

Determine a probabilidade de um passageiro, que comprou um bilhete a baixo custo nessa companhia area, perder o voo.

Apresente o resultado na forma de dzima.

3. Seja W o espao de resultados associado a uma certa experincia aleatria, e sejam A e B dois acontecimentos (A W e B W) , com P (A) 0 0 .

Mostre que P (B | A) 1 1 P (B)P (A)

.

4. Num museu, a temperatura ambiente em graus Celsius, t horas aps as zero horas do dia 1 de abril de 2010, dada, aproximadamente, por:

T (t) = 15 + 0,1t2 e 0,15t , com t [0 , 20] .

Determine o instante em que a temperatura atingiu o valor mximo recorrendo a mtodos exclusivamente analticos.

Apresente o resultado em horas e minutos, apresentando os minutos arredondados s unidades.

Se utilizar a calculadora em eventuais clculos numricos, sempre que proceder a arredondamentos use trs casas decimais.

5. Considere a funo f , de domnio R , definida por:

f (x) = {3

x 1 se x < 1

2 + In xx se x 1

5.1. O grfico de f admite uma assintota horizontal.

Seja P o ponto de interseo dessa assintota com a reta tangente ao grfico de f no ponto de abcissa e .

Determine as coordenadas do ponto P recorrendo a mtodos exclusivamente analticos.

5.2. Existem dois pontos no grfico de f cujas ordenadas so o cubo das abcissas.

Determine as coordenadas desses pontos recorrendo calculadora grfica.

Na sua resposta, deve:

equacionaroproblema;

reproduzirogrficodafunoouosgrficosdasfunesquetivernecessidadedevisualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;

assinalaressespontos;

indicarascoordenadasdessespontoscomarredondamentoscentsimas.

15

15

15

20

15

Exames Nacionais

6. Na figura 5, est representada, num referencial o. n. xOy , parte do grfico da funo f , de domnio R , definida por f (x) = 4 cos (2x) .

Sabe se que:

osvrticesA e D do trapzio [ABCD] pertencem ao eixo Ox ;

ovrticeB do trapzio [ABCD] pertence ao eixo Oy ;

ovrticeD do trapzio [ABCD] tem abcissa p6

;

ospontosA e C pertencem ao grfico de f ;

aretaCD paralela ao eixo Oy .

Resolva os dois itens seguintes recorrendo a mtodos exclusivamente analticos.

6.1. Determine o valor exato da rea do trapzio [ABCD] .

6.1. Seja f ' a primeira derivada da funo f , e seja f '' a segunda derivada da funo f .

Mostre que:

f (x) + f '(x) + f ''(x) = 4 (3 cos (2x) + 2 sin (2x)) , para qualquer nmero real x .

7. Na figura 6, est representada, num referencial o. n. xOy , parte do grfico da funo g .

Sabe se que:

g uma funo contnua em R ; g no tem zeros;

asegundaderivada,f '' , de uma certa funo f tem domnio R e definida por f ''(x) = g (x) * (x2 5x + 4) ;

f (1) * f (4) > 0 . Apenas uma das opes seguintes pode representar a funo f .

I II

III IV

Elabore uma composio na qual:

indiqueaopoquepoderepresentarf ;

apresenteasrazesqueolevamarejeitarasrestantesopes.

Apresente trs razes, uma por cada grfico rejeitado.

FIM

x41

y

O

x41

y

O

x41

y

O

x41

y

O

y

OD A

C B

f

x

Figura 5

x

g

y

O

Figura 6

15

10

15

Sugesto de resoluoCP

EN_M

A12

Po

rto

Edito

ra

Grupo I

1. Se A e B so acontecimentos independentes e se P (A) 0 0 ento P (B | A) = P (B) . Resposta: (D)

2 A posio dos algarismos iguais a 7 pode ser definida de 4C2 = 6 maneiras diferentes (a ordem pela qual ficam dispostos no interessa, por serem iguais). Os dois algarismos diferentes de 7 podem ser escolhidos, entre os restantes nove, para ocupar os outros dois lugares na sequncia de 9A'2 = 9 * 9 = 81 maneiras diferentes.

possvel formar, ento, 6 * 81 = 486 cdigos diferentes. Resposta: (A)

3. Se a reta de equao y = 2x 4 uma assintota do grfico da funo g e se o domnio de g o intervalo, 4 3 , + ? 3 , por definio de assintota no vertical, temos que limx"+?

(g (x) (2x 4)) = 0 , ou seja, lim

x"+?(g (x) 2x + 4) = 0 .

Resposta: (C)

4. f (x) = { 2x 9 se 0 x < 5

1 exx se x 5

, Df = [ 0 , + ?[ 12 limx2" 0

sina x2b

x2

2

limx"5

f (x) = limx"5

(2x 9) = 52 9 = 23 ; limx"5+

f (x) = limx"5+

1 exx =

1 e55

limx"5

f (x) 0 limx"5+

f (x) No existe limx"5

f (x) f descontnua no ponto x = 5 .

Fica excludo o intervalo ]4 , 6[ dado que a funo f contnua em [0 , 5[ e em ]5 , + ?[ mas no contnua no ponto x = 5 .

f (0) = 20 9 = 8 < 0 ; f (1) = 21 9 = 7 < 0 ; f (0) = 24 9 = 7 > 0 Como f contnua em [1 , 4] [0 , 5[ , f (1) * f (4) < 0 , o Teorema de Bolzano garante a existncia de pelo menos

um zero no intervalo ]1 , 4[ .

Resposta: (B)

5. limx"0

a 1x2

sin2 a x2bb = lim

x"0 sin2 a x2b

x2

= limx"0

sin a x2bx

2 = lim

x"0

sin a x2b

x2

= 12

limx2" 0

sin a x2b

x2

2

=

= a12* 1b2 = 1

4

Resposta: (C)

6. f funo polinomial do terceiro grau com dois extremos relativos. Ento, f derivvel em R e a funo derivada, f ' , admite dois e s dois zeros nos pontos correspondentes aos extremos de f .

Por observao do grfico de f possvel concluir que f ' ( 3) > 0 , f ' (0) < 0 e f ' (6) > 0 . Logo, f ' (0) * f ' (6) < 0 . Resposta: (D)

7. u = i4n + i4n + 1 + i4n + 2 = (i4)n + (i4)n * i1 + (i4)n * i2 = 1n + 1n * i + 1n * ( 1) = 1 + i 1 = i z2 pode ser igual a u .

Resposta: (B)

Sugesto de resoluo

CPEN_M

A12

Porto Editora

8. O polgono cujos vrtices so as imagens geomtricas das razes de ndice 5 do complexo 32 cis ap2b um

pentgono regular inscrito numa circunferncia de centro na origem O do referencial e raio igual a "5 32 , isto , de raio OA = 2 .

Assim, a rea do setor circular AOB igual quinta parte da rea de um crculo de raio igual a 2 , ou seja, igual a

p * 22

5= 4p

5 .

Resposta: (B)

Grupo II

1. z1 = 1 ; z2 = 5i ; z3 = cis anp40 b1.1. O complexo z1 = 1 uma raiz do polinmio z 3 z 2 + 16z 16 . Vamos usar a Regra de Ruffini para dividir este polinmio por z 1 .

1 1 16 161 1 0 16

1 0 16 0

z 3 z 2 + 16z 16 = (z 1) (z 2 + 16) As restantes razes do polinmio so as solues da equao z 2 + 16 = 0 . z2 + 16 = 0 z2 = 16 z = " 16 z = 4i z = 4i Na forma trigonomtrica temos z = 4 cis a p

2b z = 4 cis ap

2b .

1.2. z2 * z3 = 5i * cis anp40 b = 5 cis ap2 b * cis anp40 b = 5 cis ap2 + np40 b = 5 cis a20p + np40 b No plano complexo, se a imagem geomtrica de z2 * z3 est no terceiro quadrante e pertence bissetriz dos qua

drantes mpares, ento:

20p + np40

= 5p4

+ 2kp , k Z 20p + np = 50p + 80kp , k Z np = 30p + 80kp , k Z n = 30 + 80k , k Z

Para k = 0 obtemos n = 30 que o valor pretendido.

2.

2.1. Seja X a varivel aleatria Nmero de jovens que utilizaram carto multibanco.

Trata se de uma varivel aleatria com distribuio binomial B (9 ; 0,6) .

P (X = 6) = 9C6 * (0,6)6 * (1 0,6)3 ) 0,25 A probabilidade de exatamente seis desses jovens utilizarem carto multibanco para pagarem o seu bilhete apro

ximadamente igual a 0,25 .

1.a Fase 2011

CPEN

_MA

12

Port

o Ed

itora

2.2. Sejam os acontecimentos:

A : O passageiro compra bilhete para Berlim.

B : O passageiro compra bilhete para Paris.

V : O passageiro segue viagem.

dado que:

P (A) = 30, = 0,3 ; P (V | A) = 5, = 0,05 ; P (V | B) = 92, = 0,92

Pretende se determinar P (V) .

P (B) = 1 0,3 = 0,7 P (V | B) = 1 0,92 = 0,08 P (V) = P (A V) + P (B V) = P (A) * P (V | A) + P (B) * P (V |B) = 0,3 * 0,05 + 0,7 * 0,08 = 0,071

A probabilidade pedida igual a 0,071 .

3. P (B | A) 1 1 P (B)P (A)

, P (A) 0 0 P (A) > 0 P (B | A) 1 1 P (B)

P (A) P (A) * P (B | A) P (A) (1 P (B))

P (A B) P (A) 1 + P (B) P (A) * P (B | A) = P (A B) P (A) P (B) + P (A B) 1 P (A) + P (B) P (A B) 1 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) 1

A proposio P (A B) 1 verdadeira, uma vez que a probabilidade de um acontecimento sempre menor ou igual a 1 . Resulta, ento, que P (B | A) 1 1 P (B)

P (A) , (A W e B W) tambm verdadeira.

4. T (t) = 15 + 0,1t2e0,15t , t 30 , 204 T ' (t) = (15 + 0,1t2e0,15t)' = 0 + (0,1t2)'e0,15t + 0,1t2(e0,15t)' = 0,2 t e0,15t + 0,1t2( 0,15)e0,15t = = 0,2te0,15t 0,015t2e0,15t = e0,15t (0,2t 0,015t2) T ' (t) = 0 e0,15t (0,2t 0,015t2) = 0 e0,15t = 0 0,2t 0,015t2 = 0 e0,15t > 0 , A t 30 , 20 3 t (0,2 0,015t) = 0 t = 0 0,2 0,015t = 0 t = 0 t = 0,2 0,005 t = 0 t =

403

t 0 403

20

T' 0 + 0 T Mn. Mx. Mn.

403

h = a393

+ 13b h = 13 h + 1

3 h = 13 h 20 min

A temperatura atingiu o valor mximo s 13 horas e 20 minutos do dia 1 de abril de 2010.

V

A

0,05

V

0,08

0,920,7

0,3

V

B

V

40 3

+ -0

Sugesto de resoluo

CPEN_M

A12

Porto Editora

5.1. limx"?

f (x) = limx"?

3x 1 =

3 ? = 0

limx"+?

f (x) = limx"+?

2 + In xx = limx"+?a2x + In xx b = limx"+? 2x + limx"+? In xx = 0 + 0 = 0

A reta de equao y = 0 a nica assintota horizontal do grfico da funo f .

Seja y = mx + b uma equao da reta t , tangente ao grfico de f no ponto de abcissa e . f (e) = 2 + In ee =

2 + 1e =

3e

Ponto de tangncia: A reta t tangente no ponto de coordenadas ae , 3eb . Declive da reta t

Para x > 1 temos:

f '(x) = a2 + In xx b' = (2 + In x)' x (2 + In x) x'x2 = a0 + 1x b x (2 + In x) * 1x2 = 1 2 In x

x2= 1 + In x

x2

m = f '(e) = 1 + In ee2

= 1 + 1e2

= 2e2

Substituindo o valor de m e as coordenadas do ponto de tangncia na equao y = mx + b , vem: 3e =

2e2

* e + b 3e = 2e + b

3e +

2e = b b =

5e

Assim, y = 2e2

x + 5e uma equao da reta t , tangente ao grfico de f no ponto de abcissa e .

Ponto de interseo da reta t com a reta de equao y = 0 , assintota horizontal do grfico de f

{ y = 2e2

x + 5ey = 0

{ 0 = 2e2

x + 5ey = 0

{ 2x + 5e = 0y = 0 { x =5e2

y = 0

Logo, o ponto P tem de coordenadas a5e2

, 0b .5.2. Trata se de resolver graficamente a equao f (x) = x3 . Introduziram se na calculadora as funes Y1 = x3 e

Y2 = f (x) . Usando a ferramenta adequada, determinaram se as coordenadas dos pontos de interseo dos dois grficos. Reproduzem se, ao lado, os grficos observados bem como os valores obtidos, com aproximao s centsimas.

Assim, os dois grficos intersetam se nos pontos de coordenadas ( 1,12 ; 1,41) e (1,22 ; 1,80) (valores arredondados s centsimas).

y =

2 + ln x x

y =

3 x - 1

y = x3

xO

y

1 1,22

1,80

-1,41

-1,12

1.a Fase 2011

CPEN

_MA

12

Port

o Ed

itora

6.

6.1. A3ABCD4 = DA + CB2 * DC CB = DO = p

6

DC = ordenada de C = f a p6b = 4 cos a2 * p

6b

= 4 cos a p3b = 4 cos ap

3b = 4 * 1

2= 2

DA = DO + OA = p6+ abcissa de A

A abcissa de A o menor zero positivo de f :

f (x) = 0 4 cos (2x) = 0 cos (2x) = 0 2x = p2+ kp , k Z x = p

4+ kp

2 , k Z

Para k = 0 obtm se x = p4

, que abcissa do ponto A .

DA = DO + OA = p6+ p

4= 5p

12

A3ABCD4 = 5p12 + p62 * 2 = 5p12 + p6 = 7p126.2. f (x) = 4 cos (2x) f ' (x) = (4 cos (2x))' = 4( 2 sin (2x)) = 8 sin (2x) f '' (x) = ( 8 sin (2x))' = 8 * 2 cos (2x) = 16 cos (2x) f (x) + f ' (x) + f ''(x) = 4 cos(2x) 8 sin (2x) 16 cos (2x) = 12 cos (2x) 8 sin (2x) = 4(3 cos (2x) + 2 sin (2x))

7. Na parte do grfico da funo g que se apresenta verifica se que, por exemplo, g (0) > 0 . Ora, se g uma funo sem zeros, contnua em R e se g (0) > 0 , ento g (x) > 0 , A x R .

f '' (x) < 0 g (x) * (x2 5x + 4) < 0

Como g (x) > 0 , A x R temos que: f '' (x) < 0 x2 5x + 4 < 0 x 4 1 , 4 3 Aopoquepoderepresentarf a que se apresenta em III .

Aopo I de rejeitar porque se f '' (x) < 0 , A x 4 1 , 4 3 , o grfico da funo f tem a concavidade voltada para baixo neste intervalo, o que no se verifica no grfico apresentado nesta opo.

Naopo II verifica se que f (1) > 0 e f (4) < 0 , pelo que f (1) * f (4) < 0 . Logo, como dado que f (1) * f (4) > 0 esta opo tambm de rejeitar.

Naopo IV observa se que existe um ponto onde a funo descontnua. Ora, se, como dado, a segunda derivada de f tem domnio R , as funes f ' e f so contnuas em R . Logo, esta opo tambm se rejeita.

y

OD

C B

f

xA

Clculos auxiliares

x2 5x + 4 = 0

x = 5 "25 162

x = 1 x = 4

x2 5x + 4 < 0 x 4 1 , 4 341 -++